2019-2020学年吉林省长春市南关区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析

2019—2020学年吉林省长春市南关区东北师大附中九年级(上)期末数学试卷(解析版)一、选择题（每小题3分,共24分）1．一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（）A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0,x2＝﹣2 D．x1＝0,x2＝2 2．下列各点在函数y＝﹣x2+1的图象上是（）A．（0,0）B．（1,1）C．（0,﹣1）D．（1,0）3．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0）,则关于x 的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（）A．x1＝1,x2＝﹣1 B．x1＝1,x2＝2 C．x1＝1,x2＝0 D．x1＝1,x2＝3 4．如图,AB是直径,,∠BOC＝40°,则∠AOE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．将抛物线y＝先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线所对应的函数式为（）A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2﹣3C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2+36．如图,正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值为（）A．1 B．C．D．7．已知函数y＝﹣x2+bx+c,其中b＞0,c＜0,此函数的图象可以是（）A．B．C．D．8．如图,四边形ABCO是平行四边形,OA＝2,AB＝6,点C在x轴的负半轴上,将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF,AD经过点O,点F恰好落在x轴的正半轴上．若点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上,则k的值为（）A．4B．12 C．8D．6二、填空题（每小题3分,共18分）9．某中学随机地调查了50名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是小时．10．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0,3）,B（2,3）,抛物线所对应的函数表达式为．11．如果关于x的方程x2﹣x+k＝0（k为常数）有两个相等的实数根,那么k＝．12．如图,扇形纸叠扇完全打开后,扇形ABC的面积为300πcm2,∠BAC＝120°,BD＝2AD,则BD的长度为cm．13．如图,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC＝2,则cos D ＝．14．已知抛德物线y＝+1有下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到轴的距离始终相等,如图,点M的坐标为（,3）,P是抛物线y＝+1上一个动点,则△PMF周长的最小值是．三、解答题15．（11分）先化简,再求值：,其中x＝﹣3．16．（6分）小红玩抽卡片和旋转盘游戏,有两张正面分别标有数字1,﹣2的不透明卡片,背面完全相同；转盘被平均分成3个相等的扇形,并分别标有数字﹣1,3,4（如图所示）,小云把卡片背面朝上洗匀后从中随机抽出一张,记下卡片上的数字；然后转动转盘,转盘停止后,记下指针所在区域的数字（若指针在分格线上,则重转一次,直到指针指向某一区域为止）．请用列表或树状图的方法（只选其中一种）求出两个数字之积为负数的概率．17．（6分）现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高度发展,据调查,长春市某家快递公司今年三月份完成投递的快递总件数为10万件,预计五月份完成投递的快递总件数将增加到12.1万件,现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同,求该快递公司完成投递的快递总件数三月份到五月份的月平均增长率．18．（7分）某校在开展读书交流活动中,全体师生积极捐书,为了解所捐书籍的种类,对部分书据进行了抽样调查,李老师根据调查数据绘制了如下不完整的统计图,请根据统计图回答下面问题：（1）本次抽样调查的书有本；（2）将条形统计图补充完整；（3）本次活动师生共捐书1600本,请估计科普类书籍的本数．19．（7分）如图,已知AB是⊙O的直径,过O点作OP⊥AB,交弦AC于点D,交⊙O于点E,且使∠PCA＝∠ABC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠P＝60°,PC＝2,求PE的长．20．（7分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c,函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表：（1）此二次函数图象的对称轴是直线,此函数图象与x轴交点个数为．（2）求二次函数的函数表达式；（3）当﹣5＜x＜﹣1时,请直接写出函数值y的取值范围．21．（8分）周未,小丽骑自行车从家出发到野外郊游,从家出发0.5小时到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地,小丽离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,行驶10分钟时,恰好经过甲地,如图是她们距乙地的路程y（km）与小丽离家时间x（h）的函数图象．（1）小丽骑车的速度为km/h,H点坐标为；（2）求小丽游玩一段时间后前往乙地的过程中y与x的函数关系；（3）小丽从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远．22．（9分）在四边形ABCD中,∠B+∠D＝180°,对角线AC平分∠BAD．（1）如图1,若∠DAB＝120°,且∠B＝90°,求证：AD+AB＝AC；（2）如图2,若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉,（1）中的结论是否成立？如果成立,请证明这个结论．（3）如图3,若∠DAB＝90°,请直接写出AD、AB与对角线AC的数量关系．23．（10分）二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是抛物线,定义一种变换,先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′,再将得到的对称抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位,得到新的抛物线y m,我们称y m叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．（1）已知：二次函数y＝2（x+2）2+1,它的顶点关于原点的对称点为,这个抛物线的2阶变换的表达式为．（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6′＝（x﹣1）2+5．①二次函数M的函数表达式为．②若二次函数M的顶点为点A,与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B,在抛物线y6′＝（x﹣1）2+5上是否存在点P,使点P与直线AB的距离最短,若存在,求出此时点P的坐标．（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A,与y轴交于点B,该抛物线的m阶变换的顶点为点C．若△ABC是以AB为腰的等腰三角形,请直按写出m的值．24．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝16,BC＝12,点D、E分别为边AB、BC中点,点P从点A出发,沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动,到点B停止．当点P不与点A重合时,过点P作PQ∥AC,且点Q在直线AB左侧,AP＝PQ,过点Q作QM⊥AB交射线AB于点M．设点P运动的时间为t（秒）（1）用含t的代数式表示线段DM的长度；（2）求当点Q落在BC边上时t的值；（3）设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位）,当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时,求S与t的函数关系式；（4）当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时,直接写出此时t的值．参考答案一、选择题1．解：∵x2﹣2x＝0,∴x（x﹣2）＝0,则x＝0或x﹣2＝0,解得：x1＝0,x2＝2．故选：D．2．解：∵y＝﹣x2+1,∴当x＝0时,y＝1≠0,故点（0,0）不在函数图象上,当x＝1时,y＝﹣12+1＝0≠1,故点（1,1）不在函数图象上,点（1,0）在函数图象上,当x＝0时,y＝1≠﹣1,故点（0,﹣1）不在函数图象上,故选：D．3．解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数）,∴该抛物线的对称轴是：x＝．又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0）,∴根据抛物线的对称性质知,该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2,0）,∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1,x2＝2．故选：B．4．解：∵,∠BOC＝40°,∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°,∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．故选：D．5．解：根据“左加右减,上加下减”的法则可知,将抛物线y＝先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得到抛物线的函数关系式是y＝（x﹣2）2﹣3．故选：B．6．解：∵正六边形的任一内角为120°,∴∠1＝30°（如图）,∴a＝2cos∠1＝,∴a＝2．故选：D．7．解：∵a＝﹣1＜0,b＞0,c＜0,∴该函数图象的开口向下,对称轴是x＝﹣＞0,与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．8．解：由题意可得,OA＝2,AF＝2,∴∠AFO＝∠AOF,∵AB∥OF,∠BAO＝∠OAF,∴∠BAO＝∠AOF,∠BAF+∠AFO＝180°,解得,∠BAO＝60°,∴∠DOC＝60°,∵AO＝2,AD＝6,∴OD＝4,∴点D的横坐标是：﹣4×cos60°＝﹣2,纵坐标为：﹣4×sin60°＝﹣2,∴点D的坐标为（﹣2,﹣2）,∵D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上,∴﹣2＝,得k＝4,故选：A．二、填空题（每小题3分,共18分）9．解：＝6.4．故答案为：6.4．10．解：将A（0,3）,B（2,3）代入抛物线解析式得：,解得：b＝﹣2,c＝3,则抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3．故答案为：y＝x2﹣2x+3．11．解：∵a＝1,b＝﹣1,c＝k,∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×k＝1﹣4k＝0,解得k＝．12．解：设AD＝x,则AB＝3x．由题意300π＝,解得x＝10,∴BD＝2x＝20cm．故答案为20．13．解：连接BC,∴∠D＝∠A,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°,∵AB＝3×2＝6,AC＝2,∴cos D＝cos A＝＝＝．故答案为：．14．解：过点M作ME⊥x轴于点E,ME与抛物线交于点P′,如图所示．∵点P′在抛物线上,∴P′F＝P′E．又∵点到直线之间垂线段最短,MF＝＝,∴当点P运动到点P′时,△PMF周长取最小值,最小值为ME+MF＝+3．故答案为：+3．三、解答题（共10小题,满分71分）15．解：原式＝（﹣）+＝+＝,当x＝﹣3时,原式＝＝＝．16．解：列表如下：由列表可知,有6种等可能的结果,其中两数之积为负数的有3种,∴P （两数之积为负数）＝＝．17．解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ,根据题意得：10（1+x ）2＝12.1,解得：x 1＝0.1,x 2＝﹣2.1（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%．18．解：（1）本次抽样调查的书有8÷20%＝40（本）,故答案为：40；（2）其它类的书的数量为40×15%＝6（本）,补全图形如下：（3）估计科普类书籍的本数为1600×＝480（本）．19．解：（1）连接OC ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB ＝90°,∴∠BCO +∠ACO ＝90°,∵OC ＝OB ,∴∠B ＝∠BCO ,∵∠PCA ＝∠ABC ,∴∠BCO ＝∠ACP ,∴∠ACP +∠OCA ＝90°,∴∠OCP ＝90°,∴PC 是⊙O 的切线；（2）∵∠P＝60°,PC＝2,∠PCO＝90°,∴OC＝2,OP＝2PC＝4,∴PE＝OP﹣OE＝OP﹣OC＝4﹣2．20．解：（1）从表格看,函数的对称轴为：x＝﹣2,此函数图象与x轴交点个数为2个,一个在x＝﹣3或x＝﹣2之间,一个在x＝﹣2或﹣1之间,故答案为：2个；（2）函数对称轴为：x＝﹣2＝﹣,解得：b＝﹣4,x＝0,y＝﹣2＝c,故函数的表达式为：y＝﹣x2﹣4x﹣2；（3）x＝﹣5时,y＝﹣7,x＝1时,y＝﹣7,函数的顶点坐标为：（﹣2,2）,故y的取值范围为：﹣7＜y＜2．21．解：（1）由函数图可以得出,小丽家距离甲地的路程为10km,花费时间为0.5h,故小丽骑车的速度为：10÷0.5＝20（km/h）,由题意可得出,点H的纵坐标为20,横坐标为：,故点H的坐标为（,20）；故答案为：20；（,20）；（2）设直线AB的解析式为：y1＝k1x+b1,将点A（0,30）,B（0.5,20）代入得：y1＝﹣20x+30,∵AB∥CD,∴设直线CD的解析式为：y2＝﹣20x+b2,将点C（1,20）代入得：b2＝40,故y2＝﹣20x+40；（3）设直线EF的解析式为：y3＝k3x+b3,将点E（,30）,H（,20）代入得：k3＝﹣60,b3＝110,∴y3＝﹣60x+110,解方程组,解得,∴点D坐标为（1.75,5）,30﹣5＝25（km）,所以小丽出发1.75小时后被妈妈追上,此时距家25km；22．（1）证明：在四边形ABCD中,∠D+∠B＝180°,∠B＝90°,∴∠D＝90°,∵∠DAB＝120°,AC平分∠DAB,∴∠DAC＝∠BAC＝60°,∵∠B＝90°,∴∠ACB＝30°,∴AB＝AC,同理AD＝AC．∴AD+AB＝AC；（2）解：（1）中的结论成立,理由如下：以C为顶点,AC为一边作∠ACE＝60°,∠ACE的另一边交AB延长线于点E, ∵∠BAC＝60°,∴△AEC为等边三角形,∴AC＝AE＝CE,∵∠D+∠ABC＝180°,∠DAB＝120°,∴∠DCB＝60°,∴∠DCA＝∠BCE,∵∠D+∠ABC＝180°,∠ABC+∠EBC＝180°, ∴∠D＝∠CBE,在△CDA和△CBE中,,∴△CDA≌△CEB（AAS）,∴AD＝BE,∴AD+AB＝AC；（3）解：结论：AD+AB＝AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E,∵∠D+∠ABC＝180°,∠DAB＝90°,∴∠DCB＝90°,∵∠ACE＝90°,∴∠DCA＝∠BCE,又∵AC平分∠DAB,∴∠CAB＝45°,∴∠E＝45°．∴AC＝CE．又∵∠D+∠ABC＝180°,∠CBE+∠ABC＝180°, ∴∠D＝∠CBE,在△CDA和△CBE中,,∴△CDA≌△CBE（AAS）,∴AD＝BE,∴AD+AB＝AE．在Rt△ACE中,∠CAB＝45°,∴△ACE是等腰直角三角形,∴AE＝AC,∴AD+AB＝AC．23．解：（1）原二次函数的顶点为（﹣2,1）,则顶点关于原点的对称点为（2,﹣1）,则这个抛物线的2阶变换的表达式：y＝﹣2（x﹣2）2﹣1,故答案为：（2,﹣1）,y＝﹣2（x﹣2）2﹣1；（2）①6阶变换的关系式对应的函数顶点为：（1,﹣1）,则函数M的顶点为：（﹣1,1）, 则其表达式为：y＝﹣（x+1）2+1,故答案为：y＝﹣（x+1）2+1；②存在,理由：y＝﹣（x+1）2+1,令y＝0,则x＝﹣2或0,故点B（﹣2,0）,而点A（﹣1,1）,将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：,解得：, 故直线AB的函数表达式为：y＝x+2,y′＝（x﹣1）2+5＝x2﹣2x+6,6如下图,过点P作PD⊥AB交于点D,故点P作y轴的平行线交AB于点H,∵直线AB的倾斜角为45°,则DP＝PH,设点P（x,x2﹣2x+6）,则点H（x,x+2）,DP＝PH＝（x2﹣2x+6﹣x﹣2）＝（x2﹣3x+4）,∵＞0,故DP有最小值,此时x＝,故点P（,）；（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A,与y轴交于点B,则点A（﹣1,4）、点B（0,1）,抛物线的m阶变换的函数表达式为：y＝3（x﹣1）2﹣4+m,故点C（1,m﹣4）,则AB2＝10,AC2＝4+（m﹣8）2,BC2＝1+（m﹣5）2,当AB＝AC时,10＝4+（m﹣8）2,解得：m＝8；当AB＝BC时,同理可得：m＝8或2,故m的值为：8+或8﹣或8或2．24．解：（1）如图1中,在RtABC中,∵AC＝16,BC＝12,∠C＝90°,∴AB＝＝＝20,∵PQ∥AC,∴∠A＝∠QPM,∵∠C＝∠PMQ＝90°,∴△ACB∽△PMQ,∴＝＝,∴＝＝,∴PM＝4t,MQ＝3t,当0＜t≤时,DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10．当＜t≤4时,DM＝AM﹣AD＝9t﹣10．（2）如图2中,当点Q 落在BC 上时,∵PQ ∥AC ,∴＝,∴＝, 解得t ＝,∴当点Q 落在BC 边上时t 的值为s ．（3）如图3﹣1中,当＜t ≤时,重叠部分是△DMK ,S ＝×DM ×MK ＝×（9t ﹣10）×（9t ﹣10）＝t 2﹣t +．如图3﹣2中,当≤t ≤4时,重叠部分是△PBK ,S ＝•PK •BK ＝×（20﹣5t ）•（20﹣5t）＝6t2﹣48t+96．（4）如图4﹣1中,当直线CQ平分∠PQM时,设直线CQ交AB于G,作GK⊥PQ于K．∵∠QKG＝∠QMG＝90°,∠GQK＝∠GQM,QG＝QG,∴△QGK≌△QGM（AAS）,∴QK＝QM＝3t,PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t,∴PG＝PK＝t,∵PQ∥AC,∴＝,∴＝,∴t＝．如图4﹣2中,当CM平分∠QMP时,作CG⊥AB于G．21 / 21∵•AC •BC ＝•AB •CG ,∴CG＝＝＝,AG＝＝＝, ∵∠CMG ＝∠GCM ＝45°,∴CG ＝GM＝, ∴AM ＝9t＝+,解得t ＝, 综上所述,满足条件的t的值为s或s ．。

2019-2020学年吉林省长春市南关区九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）若方程（n﹣1）x2+x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．n≠1B．n≥0C．n≥0且n≠1D．n为任意实数2．（3分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10B．14C．10或14D．8或103．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝44．（3分）抛物线y＝x2﹣4x+4的顶点坐标为（）A．（﹣4，4）B．（﹣2，0）C．（2，0）D．（﹣4，0）5．（3分）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y＝5（x+2）2+3B．y＝5（x﹣2）2+3C．y＝5（x+2）2﹣3D．y＝5（x﹣2）2﹣36．（3分）抛物线y＝x2﹣4x+1与y轴交点的坐标是（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，﹣3）D．（0，2）7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与一次函数y＝cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c的图象．下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②使y≤3成立的x的取值范围是x≤﹣2；③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1；④该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；⑤4a﹣2b+c＜0．其中正确的结论有．（把所有正确结论的序号都填在横线上）10．（3分）抛物线y＝3（x+2）2﹣7的对称轴是．11．（3分）若y＝ax2+bx+a2﹣2（a、b为常数）的图象过原点且开口向下，则a的值为12．（3分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后需滑行m才能停下来．13．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴为直线．14．（3分）如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取点A，过点A 作AH⊥x轴于点H．在抛物线y＝x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点，且以点Q为直角顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是．三、解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）解方程：（x+1）（x﹣3）＝6．16．（6分）淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？17．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的图象与y轴交于（0，3）点．（1）求m的值；（2）求抛物线与x轴的交点坐标和它的顶点坐标；（3）画出这个二次函数的图象；（4）x取什么值时，抛物线在x轴的上方？18．（7分）某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y＝kx+b的关系（如图所示）（I）根据图象，求一次函数y＝kx+b的解析式，并写出自变量x的取值范围；（Ⅱ）该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少？最大利润值为多少？19．（7分）如图，小明今年国庆节到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B 时，它经过了200m，缆车行驶的路线与水平夹角∠α＝16°，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面夹角∠β＝42°，求缆车从点A到点D 垂直上升的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74）20．（7分）如图，O是坐标原点，过点A（﹣1，0）的抛物线y＝x2﹣bx﹣3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点．（1）求b的值以及点D的坐标；（2）连接BC、BD、CD，在x轴上是否存在点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（8分）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A 地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）请写出甲的骑行速度为米/分，点M的坐标为；（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．22．（9分）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P＝（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q＝（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）①求w关于t的函数解析式；②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．23．（10分）在直角三角形ABC中，若AB＝16cm，AC＝12cm，BC＝20cm．点P从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，如果点P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，那么：（1）如图1，请用含t的代数式表示，①当点Q在AC上时，CQ＝；②当点Q在AB上时，AQ＝；③当点P在AB上时，BP＝；④当点P在BC上时，BP＝．（2）如图2，若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动，当QA＝AP时，试求出t的值．（3）如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，当AQ＝BP时，试求出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），且CO＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）P点为对称轴右侧第四象限抛物线上的点连接BC、PC、PB，设P的横坐标为t，△PBC的面积为S求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，线段BP绕B顺时针旋转90°，得到对应线段BN，点P的对应点为点N，在对称轴左侧的抛物线上取一点Q，射线BQ与射线PC交于点H，若点N在y轴上，且HQ ＝PQ，求点Q的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．解：∵方程（n﹣1）x2+x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，∴n≥0且n﹣1≠0，即n≥0且n≠1．故选：C．2．解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，∴22﹣4m+3m＝0，m＝4，∴x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6．①当6是腰时，2是底边，此时周长＝6+6+2＝14；②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．所以它的周长是14．故选：B．3．解：∵x2+2x﹣3＝0∴x2+2x＝3∴x2+2x+1＝1+3∴（x+1）2＝4故选：D．4．解：∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴抛物线顶点坐标为（2，0）．故选：C．5．解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣2）2﹣3．故选：D．6．解：当x＝0时，y＝x2﹣4x+1＝1，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），故选：A．7．解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y 轴右边可得a、b异号，故b＞0，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数y＝cx+a在第一、三、四象限，故选：B．8．解：当0≤t＜2时，S＝×2t××（4﹣t）＝﹣t2+2t；当2≤t＜4时，S＝×4××（4﹣t）＝﹣t+4；只有选项D的图形符合．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．解：由函数图象可得，二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，故①正确，使y≤3成立的x的取值范围是x≤﹣2或x≥0，故②错误，一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1×2＝﹣2，故③错误，该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，故④正确，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故⑤错误，故答案为：①④．10．解：∵y＝3（x+2）2﹣7，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，故答案为：x＝﹣2．11．解：因为：y＝ax2+bx+a2﹣2（a、b为常数）的图象过原点且开口向下，所以，a2﹣2＝0，解得a＝±，由抛物线的开口向下所以a＜0，∴a＝舍去，即a＝﹣．故答案为：﹣12．解：∵y＝60x﹣1.5x2＝﹣1.5（x﹣20）2+600，∴当x＝20时，y取得最大值，此时y＝600，故答案为：600．13．解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，∴对称轴为直线x＝1，故答案为：x＝1．14．解：在Rt△AOH中，∠AOH＝30°；由题意，可知：当∠POQ＝30°或∠POQ＝60°时，以点Q为直角顶点的△POQ与△AOH全等，故∠POx＝60°或∠POx＝30°；①当∠POx＝60°时，k OP＝tan60°＝，所以，直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式，有：，解得，，∴P1（，3），∴A1（3，）；②当∠POx＝30°时，k OP＝tan30°＝，所以，直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式，有：，解得，，∴P2（，），∴A2（，）．故答案：（3，），（，）．三、解答题（共10小题，满分78分）15．解：方程整理得：x2﹣2x﹣9＝0，这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣9，∵△＝4+36＝40＞0，∴x＝＝1±，则x1＝1+，x2＝1﹣．16．解：（1）捐款增长率为x，根据题意得：10000（1+x）2＝12100，解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍去）．则x＝0.1＝10%．答：捐款的增长率为10%．（2）根据题意得：12100×（1+10%）＝13310（元），答：第四天该校能收到的捐款是13310元．17．解：（1）把（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得：m＝3；（2）抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3令y＝0得：﹣x2+2x+3＝0∴x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点坐标为（1，4）（3）列表得：图象如图，．（4）由图象可知：当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．18．解：（Ⅰ）由函数的图象得：，解得：，∴所以y＝﹣x+100（50≤x≤80）；（Ⅱ）设每天获得的利润为W元，由（Ⅰ）得：W＝（x﹣50）y＝（x﹣50）（﹣x+100）＝﹣x2+150x﹣5000＝﹣（x﹣75）2+625，∵﹣1＜0，＝625即该公司要想第天获得最大利润，应把销售单价为75元/件，最大利∴当x＝75时，W最大润为625元．19．解：Rt△ABC中，斜边AB＝200米，∠α＝16°，BC＝AB•sinα＝200×sin16°≈54（m），Rt△BDF中，斜边BD＝200米，∠β＝42°，DF＝BD•sinβ＝200×sin42°≈132，因此缆车垂直上升的距离应该是BC+DF＝186（米）．答：缆车垂直上升了186米．20．解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx﹣3，得1+b﹣3＝0，解得b＝2．y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4）．（2）如图，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即A（﹣1，0），B（3，0），D（1，﹣4）．由勾股定理，得BC2＝18，CD2＝1+1＝2，BD2＝22+16＝20，BC2+CD2＝BD2，∠BCD＝90°，①当△APC∽△DCB时，，即，解得AP＝1，即P（0，0）．②当△ACP∽△DCB时，，即，解得AP＝10，即P′（9，0）．综上所述：点P的坐标（0，0）（9，0）．21．解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：＝240（米/分），240×（11﹣1）÷2＝1200（米），则点M的坐标为（6，1200），故答案为：240，（6，1200）；（2）设MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），∵y＝kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），∴，解得，∴直线MN的解析式为：y＝﹣240x+2640；即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y＝﹣240x+2640；（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，乙的速度：1200÷20＝60（米/分），如图1所示：∵AB＝1200，AC＝1020，∴BC＝1200﹣1020＝180，分5种情况：①当0＜x≤3时，1020﹣240x＝180﹣60x，x＝＞3，此种情况不符合题意；②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间，∴1020﹣240x＝60x﹣180，x＝4，③当＜x＜6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，∴240x﹣1020＝60x﹣180，x＝＜，此种情况不符合题意；④当x＝6时，甲到B地，距离C地180米，乙距C地的距离：6×60﹣180＝180（米），即x＝6时两人距C地的路程相等，⑤当x＞6时，甲在返回途中，当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]＝60x﹣180，x＝6，此种情况不符合题意，当甲在A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180＝60x﹣180，x＝8，综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．22．解：（1）设8＜t≤24时，P＝kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入，得：，解得：，∴P＝t+2；（2）①当0＜t≤8时，w＝（2t+8）×＝240；当8＜t≤12时，w＝（2t+8）（t+2）＝2t2+12t+16；当12＜t≤24时，w＝（﹣t+44）（t+2）＝﹣t2+42t+88；②当8＜t≤12时，w＝2t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2，∴8＜t≤12时，w随t的增大而增大，当2（t+3）2﹣2＝336时，解题t＝10或t＝﹣16（舍），当t＝12时，w取得最大值，最大值为448，此时月销量P＝t+2在t＝10时取得最小值12，在t＝12时取得最大值14；当12＜t≤24时，w＝﹣t2+42t+88＝﹣（t﹣21）2+529，当t＝12时，w取得最小值448，由﹣（t﹣21）2+529＝513得t＝17或t＝25，∴当12＜t≤17时，448＜w≤513，此时P＝t+2的最小值为14，最大值为19；综上，此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨．23．解：（1）①当点Q在AC上时，CQ＝t；②当点Q在AB上时，AQ＝t﹣12；③当点P在AB上时，BP＝16﹣2t；④当点P在BC上时，BP＝2t﹣16；故答案为：t；t﹣12；16﹣2t；2t﹣16；（2）由题意得，12﹣t＝2t，解得，t＝4；（3）∵AQ＝BP∴当点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动时，12﹣t＝16﹣2t，解得，t＝4，当点P在线段BC上运动，点Q在线段CA上运动时，12﹣t＝2t﹣16，解得，t＝，当点P在线段BC上运动，点Q在线段AB上运动时，t﹣12＝2t﹣16，解得，t＝4（不合题意）则当t＝4或t＝时，AQ＝BP．24．解：（1）如图1中，由题意C（0，﹣3），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵OC＝3OA，∴OA＝1，∴A（﹣1，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把（0，﹣3）代入得到a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）如图1中，连接OP，设P（t，t2﹣2t﹣3）．S＝S△POC +S△POB﹣S△OBC＝×3×t+×3×（﹣t2+2t+3）﹣×3×3＝﹣t2+t（1＜t＜3）．（3）如图2中，作PM⊥AB于M．∵∠BON＝∠PMB＝∠PBM＝90°，∴∠NBO+∠PBM＝90°，∠PBM+∠BPM＝90°，∴∠OBN＝∠BPM，∵PB＝PN，∴△BON≌△PMB（AAS），∴PM＝OB＝3，∴P（2，﹣3），∵C（0，﹣3），∴PC∥AB，∴∠ABH＝∠BHP，∵QH＝QP，∴∠QHP＝∠QPH，∴tan∠ABQ＝tan∠QPH，∴∠ABQ＝∠QPH，设Q（m，m2﹣2m﹣3）．∴＝，解得m＝﹣，经检验m＝﹣是分式方程的解，∴Q（﹣，﹣）．。

2019-2020学年吉林省长春市南关区东北师大附中九年级（上）大练习数学试卷（一）一、选择题[每小题3分，共24分）. 1．3-的绝对值是( ) A ．3-B ．3C ．3±D ．132．下列各式中，y 是x 的二次函数的是( )A ．22y x =-B ．52y x =-C ．y =D ．21y x =3．二次函数2(1)y x =-图象的对称轴是( ) A ．直线1x =-B ．直线1x =C ．直线2x =-D ．直线2x =4．一元二次方程210x x ++=的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根D ．无法确定5．把抛物线2y x =向上平移2个单位，得到抛物线2y ax c =+，则a 、c 的值分别是( ) A ．1，2B ．1，2-C ．1-，2D ．1-，2-6．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，直角边AC 是直角边BC 的2倍，则cos A 的值是( )A ．12B C D 7．函数2(0)y ax a =-≠与2(0)y ax a =≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．8．平行于x 轴的直线与抛物线2(2)y a x =-的一个交点坐标为(1,2)-，则另一个交点坐标为( )A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(5,2)D ．(1,4)-二、填空题[每空3分，共18分）9︒= ．10．抛物线22(1)5y x =-+的顶点坐标是 ．11．点1(4,)A y -、2(5,)B y -在抛物线25(2)3y x =-+-上，则1y 2y （填>，=或)< 12．已知二次函数232(1)mm y m x -+=-的图象开口向上，则m = ．13．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为1m ，旗杆顶部与平面镜的水平距离为8m ，若小明的眼睛与地面的距离为1.6m ，则旗杆的高度为 （单位)m14．如图，O 的半径为2．1C 是函数2y x =的图象，2C 是函数2y x =-的图象，则阴影部分的面积是 ．三、解答题（共78分）15．先化简，再求值：2869(1)11x x x x x -++-÷--，其中12x =． 16．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，ABC ∆与△A B C '''是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O ；（2）求出ABC ∆与△A B C '''的位似比．17．端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？ 18．平行四边形ABCD 中，过A 作AE BC ⊥，垂足为E ，连DE 、F 为线段DE 上一点，且1B ∠=∠．求证：ADF DEC ∆∆∽．19．已知函数23(2)92y x =-++（1）抛物线的开口向 、对称轴为直线 、顶点坐标 ； （2）当x = 时，函数有最 值，是 ；（3）当x 时，y 随x 的增大而增大：当x 时，y 随x 的增大而减小； （4）该函数图象可由232y x =-的图象经过怎样的平移得到的？20．如图，二次函数2(2)4(y a x a =++为常数，0)a ≠，当1x =时，5y =-． （1）求a ；（2）求此抛物线与x 轴、y 轴交点； （3）画出函数的图象．21．感知：如图（1），在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接BE ，DE ，MM ，点M ，P ，N 分别为DE ，BE ，BC 的中点，则PM 与PN 的数量关系是 ．探究：把ADE ∆绕点A 顺时针方向旋转，如图（2），连接BD ，CE （1）证明：PM PN =； （2）PMN ∠的度数为 ︒．应用：把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若3AD =，9AB =，PMN ∆面积的最大值为 ．22．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 在AB 上，2AD =，点E ，F 同时从点D 出发，分别沿DA 、DB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止，在点E ，F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与ABC ∆在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒，正方形EFGH 与ABC ∆重叠部分面积为S ．（1）当02t <<时，求正方形EFGH 的顶点刚好落在线段AC 上时t 的值；（2）当2t …时，直接写出当EGB ∆为等腰三角形时t 的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若”()1,2,(2)b a b b a ⎧-⎪'=⎨<⎪⎩当时当时…，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点(2,3)的限变点的坐标是(2,2)，点(2,5)--的限变点的坐标是(2,5)-，点(1,3)的限变点的坐标是(1,3)（1）①点，1)-的限变点的坐标是 ． ②在点(2,2)A -、(2,0)B 中有一个点是双曲线2y x=上某一个点的限变点，这个点是 ；（填“A ”或“B ” )（2）若点P 在关于x 的二次函数2y x =-的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '…或b n '…，其中m n >．令s m n =-，直接写出s 的值；（3）若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-->-剟的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是25b -'剟，直接写出k 的取值范围．2019-2020学年吉林省长春市南关区东北师大附中九年级（上）大练习数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题[每小题3分，共24分）. 1．3-的绝对值是( ) A ．3-B ．3C ．3±D ．13【解答】解：3-的绝对值是3． 故选：B ．2．下列各式中，y 是x 的二次函数的是( )A ．22y x =-B ．52y x =-C ．y =D ．21y x =【解答】解：A 、y 是x 的二次函数，故此选项正确； B 、不是二次函数，故此选项错误； C 、不是二次函数，故此选项错误；D 、不是二次函数，故此选项错误．故选：A ．3．二次函数2(1)y x =-图象的对称轴是( ) A ．直线1x =- B ．直线1x =C ．直线2x =-D ．直线2x =【解答】解：2(1)y x =-是抛物线的顶点式，∴对称轴为直线1x =．故选：B ．4．一元二次方程210x x ++=的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根D ．无法确定【解答】解：△214130=-⨯=-<， 所以方程无实数根． 故选：C ．5．把抛物线2y x =向上平移2个单位，得到抛物线2y ax c =+，则a 、c 的值分别是( )A ．1，2B ．1，2-C ．1-，2D ．1-，2-【解答】解：抛物线2y x =的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)向上平移2个单位得到点的坐标为(0,2)，所以平移后抛物线解析式为22y x =+， 所以1a =，2c =． 故选：A ．6．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，直角边AC 是直角边BC 的2倍，则cos A 的值是( )A ．12B C D 【解答】解：设BC x =，则2AC x =，则AB ==，则cosAC A AB === 故选：C ．7．函数2(0)y ax a =-≠与2(0)y ax a =≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：在2y ax =-， 2b ∴=-，∴一次函数图象与y 轴的负半轴相交，①当0a >时，∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，②当0a <时，∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，故选：A ．8．平行于x 轴的直线与抛物线2(2)y a x =-的一个交点坐标为(1,2)-，则另一个交点坐标为( )A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(5,2)D ．(1,4)-【解答】解：把点(1,2)-代入抛物线2(2)y a x =-， 解得29a =， 抛物线22(2)29y x =-=解得11x =-，25x =，因此抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(5,2)． 故选：C ．二、填空题[每空3分，共18分）9︒2．【解答】解：原式32==． 故答案为：32． 10．抛物线22(1)5y x =-+的顶点坐标是 (1,5) ． 【解答】解：22(1)5y x =-+是抛物线解析式的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(1,5)．11．点1(4,)A y -、2(5,)B y -在抛物线25(2)3y x =-+-上，则1y > 2y （填>，=或)< 【解答】解：抛物线25(2)3y x =-+-，当2x >-时，y 随x 的增大而减小，当2x <-时，y 随x 的增大而增大，点1(4,)A y -、2(5,)B y -位于对称轴左侧， 12y y ∴>，故答案为：>12．已知二次函数232(1)mm y m x -+=-的图象开口向上，则m = 3 ．【解答】解：232(1)mm y m x -+=-是二次函数，2322m m ∴-+=得0m =或3， 又图象的开口向上， 10m ∴->，即1m >， 3m ∴=．13．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为1m ，旗杆顶部与平面镜的水平距离为8m ，若小明的眼睛与地面的距离为1.6m ，则旗杆的高度为 12.8 （单位)m【解答】解：如图，1BC m =，8CE m =， 1.6AB m =， 由题意得ACB DCE ∠=∠， ABC DEC ∠=∠， ACB DCE ∴∆∆∽， ∴AB BC DE CE =，即1.618DE=， 12.8DE ∴=．即旗杆的高度为12.8m ． 故答案为：12.8．14．如图，O 的半径为2．1C 是函数2y x =的图象，2C 是函数2y x =-的图象，则阴影部分的面积是 2π ．【解答】解：1C 是函数2y x =的图象，2C 是函数2y x =-的图象， ∴两函数图象关于x 轴对称， ∴阴影部分面积即是半圆面积，∴面积为：21222ππ⨯=．故答案为：2π． 三、解答题（共78分）15．先化简，再求值：2869(1)11x x x x x -++-÷--，其中12x =． 【解答】解：原式229(3)11x x x x --=÷-- 2(3)(3)11(3)x x x x x +--=--33x x +=-， 当12x =时， 原式13721532+==--． 16．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，ABC ∆与△A B C '''是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O ；（2）求出ABC ∆与△A B C '''的位似比．【解答】解：（1）；（2）:6:121:2AO A O '==（2分）． 17．端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？【解答】解：设这种粽子的标价是x 元/个，则节后的价格是0.6x 元/个， 依题意，得：9672270.6x x+=， 解得：8x =，经检验，8x =是原方程的解，且符合题意．答：这种粽子的标价是8元/个．18．平行四边形ABCD 中，过A 作AE BC ⊥，垂足为E ，连DE 、F 为线段DE 上一点，且1B ∠=∠．求证：ADF DEC ∆∆∽．【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，//AB CD ，ADF DEC ∴∠=∠，180C B ∠+∠=︒．1B ∠=∠，1180AFD ∠+∠=︒，C AFD ∴∠=∠，ADF DEC ∴∆∆∽．19．已知函数23(2)92y x =-++ （1）抛物线的开口向 下 、对称轴为直线 、顶点坐标 ；（2）当x = 时，函数有最 值，是 ；（3）当x 时，y 随x 的增大而增大：当x 时，y 随x 的增大而减小；（4）该函数图象可由232y x =-的图象经过怎样的平移得到的？ 【解答】解：二次函数23(2)92y x =-++ （1）抛物线的开口方向向下，对称轴为直线2x =-，顶点坐标为(2,9)-；故答案为，下，2x =-，(2,9)-；（2）当2x =-时，函数y 有最大值，是9．故答案为2-，大，9；（3）当2x <-时，函数y 随着x 的增大而增大，当2x >-时，函数y 随着x 的增大而减小． 故答案为：2<-、2>-．（4）函数232y x =-的图象先向左平移2个单位，再向上平移9个单位即可得到23(2)92y x =-++． 20．如图，二次函数2(2)4(y a x a =++为常数，0)a ≠，当1x =时，5y =-．（1）求a ；（2）求此抛物线与x 轴、y 轴交点；（3）画出函数的图象．【解答】解：（1）当1x =时，5y =-．∴代入2(2)4y a x =++得：25(12)4a -=++1a ∴=-．（2）1a =-．∴该二次函数的解析式为：2(2)4y x =-++令0y =得：20(2)4x =-++解得：14x =-，20x =∴与x 轴交点为( 4.0)-，(0.0)令0x =得：0y =∴抛物线与x 轴交点为( 4.0)-、(0.0)与y 轴交点：(0.0)．（3）由（2）可知：抛物线的对称轴为直线2x =-，与x 轴的交点为(0,0)，(4,0)-，顶点坐标为(2,4)-，图象过(1,5)-，由对称性可得其还过(5,5)--点，根据这些特殊点可以画出图象，如图所示：21．感知：如图（1），在ABC=，点D，E分别在边AB，AC∠=︒，AB AC∆中，120BAC上，AD AE=，连接BE，DE，MM，点M，P，N分别为DE，BE，BC的中点，则PM与PN的数量关系是PM PN=．探究：把ADE∆绕点A顺时针方向旋转，如图（2），连接BD，CE（1）证明：PM PN=；（2）PMN∠的度数为︒．应用：把ADE∆绕点A在平面内自由旋转，若3∆面积的最大值为．AD=，9AB=，PMN【解答】解：感知：AB AC=，=，AD AE∴=，BD CE点M，P，N分别为DE，BE，BC的中点，∴=，22BD PM=，CE PN∴=，PM PN故答案为：PM PN=探究：（1）证明：120BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，又AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，BD EC ∴=，点P ，M 分别是BE ．DE 的中点，12PM BD ∴=，//PM BD ， 点N ．P 分别是BC ，BE 的中点，12PN EC ∴=，//PN EC ， PM PN ∴=；（2）ABD ACE ∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，PM PN =，PMN ∴∆是等腰三角形，//PM BD ，DBE MPE ∴∠=∠，//PN BD ，BNP BCE ∴∠=∠，DBN DBP EBC MPE EBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN MPE EPN MPE EBC PNB DBN BCE ABC ABD BCE ABC ACE BCE ABC ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠，120BAC ∠=︒，60ACB ABC ∴∠+∠=︒，60MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等边三角形；60PMN ∴∠=︒故答案为：60；（3）由（2）知，PMN ∆是等边三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，PM 最小时，PMN ∆面积最小 ∴点D 在BA 的延长线上，PMN ∆的面积最大，12BD AB AD ∴=+=，6PM ∴=，236PMN S ∆∴===最大．故答案为：22．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 在AB 上，2AD =，点E ，F 同时从点D 出发，分别沿DA 、DB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止，在点E ，F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与ABC ∆在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒，正方形EFGH 与ABC ∆重叠部分面积为S ．（1）当02t <<时，求正方形EFGH 的顶点刚好落在线段AC 上时t 的值；（2）当2t …时，直接写出当EGB ∆为等腰三角形时t 的值．【解答】解：（1）①当点G 落在线段AC 上时，如图1所示：则2GF t =，2AF t =+90AFG ACB ∠=∠=︒，A A ∠=∠，AFG ACB ∴∆∆∽， ∴GF AF BC AC=，即2268t t +=， 解得：65t =； ②当点H 落在线段AC 上时，如图2所示：则2AE t =-，2EH t =，90AEH ACB ∠=∠=︒，A A ∠=∠，AEH ACB ∴∆∆∽， ∴EH AE BC AC=， 即2268t t -=， 解得：611t =； ∴当02t <<时，正方形EFGH 的顶点刚好落在线段AC 上时t 的值为65秒或611秒； （2）当2t …时，EGB ∆为等腰三角形，如图3所示： 则4EF =，四边形EFGH 为正方形，EG ∴==由题意得：82(2)12BE t t =+--=-，8BF t =-，BG ∴===①当EG BE =时，12t =-，12t ∴=-；②当GE GB =时，=解得：14t =，212t =（不合题意舍去）；③当BE BG =时，12t -=，解得：8t =；综上所述，当2t …时，EGB ∆为等腰三角形时t 的为12-或4或8．23．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若”()1,2,(2)b a b b a ⎧-⎪'=⎨<⎪⎩当时当时…，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点(2,3)的限变点的坐标是(2,2)，点(2,5)--的限变点的坐标是(2,5)-，点(1,3)的限变点的坐标是(1,3)（1）①点，1)-的限变点的坐标是 ． ②在点(2,2)A -、(2,0)B 中有一个点是双曲线2y x =上某一个点的限变点，这个点是 ；（填“A ”或“B ” )（2）若点P 在关于x 的二次函数2y x =-的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '…或b n '…，其中m n >．令s m n =-，直接写出s 的值；（3）若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-->-剟的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是25b -'剟，直接写出k 的取值范围．【解答】解：（1）①2a =<，故||1b b '==，故答案为：，1)； ②假设限变点(2,2)A -对应的原点应该为：(2,2)-或(2,2)--，这两个点都不在反比例函数图象上；假设限变点(1,3)B 对应的原点应该为：(1,2)，点(1,2)在反比例函数图象上； 故答案为：B ；（2）依题意，2y x =-图象上的点P 的限变点Q 必在函数2221(2)||(2)x x b x x x ⎧--'=⎨-=<⎩…的图象上（如图1)，当2x =时，415y =--=-，即点(2,5)B -，5b '=-，故2x …时，5b y '=-… 当2x <时，0y b ='…，0m =，5n =-，5s m n =-=；（3）依题意，3(2,2)y x x k k =-->-剟图象上的点P 的限变点Q 必在函数4(2)|3|3(22)x x b x x x -⎧'=⎨-=--<⎩……的图象上（如图2)．当2x =时，b '取最小值，242b '=-=-， 当5b '=时，45x -=或35x -+=，9x ∴=或2x =-， 当1b '=时，41x -=，5x ∴=．25b '-剟，∴由图象可知，k 的取值范围时：59k 剟．。

人教版数学九年级上册期末考试试题及答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐，假设这三种可能性相同，现在有一个人经过该路口，恰好直行的概率是（）A．B．C．D．3．若关于x的一元二次方程mx2﹣x＝有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m≥﹣1且m≠0 C．m＞﹣1且m≠0 D．m≠04．如图，点A是反比例函数图象的一点，自点A向y轴作垂线，垂足为T，已知S＝4，△AOT 则此函数的表达式为（）A．B．C．D．5．如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（）A．（﹣1，3）B．（4，0）C．（3，﹣3）D．（5，﹣1）6．一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（）A．（x﹣3）2＝15 B．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝15 D．（x+3）2＝3 7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．88．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y29．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．10．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8二、填空题（共6小题，每题4份，共24分）11．（4分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B1的坐标为．13．（4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】14．（4分）已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP 长为厘米．15．（4分）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是km．16．（4分）在△ABC中，AB＝9，AC＝6．点M在边AB上，且AM＝3，点N在AC边上．当AN ＝时，△AMN与原三角形相似．三、解答题（本题共7小题，共66分）17．（12分）（1）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°（2）解方程：x2+x﹣1＝018．（7分）随着信息技术的迅猛发展，人民去商场购物的支付方式更加多样、便捷．除了现金、银行卡支付以外，还有微信、支付宝以及其他支付方式．在一次购物中，小明和小亮都想从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．19．（7分）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．20．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）分别交于点A（4，1），B（﹣1，a）（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出kx+b＞的x的取值范围．21．（9分）如图，为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°，开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米（结果精确到1千米）？（参考数据：≈1.4，≈1.7）22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC 的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．（1）求∠DAF的度数；（2）求证：AE2＝EF•ED；（3）求证：AD是⊙O的切线．23．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1与x轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上有点P，使△PBC面积为1，求出点P的坐标．参考答案一、选择题1．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐，假设这三种可能性相同，现在有一个人经过该路口，恰好直行的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可求出答案．解：∵共有直行、左拐、右拐这3种选择，∴恰好直行的概率是，故选：B．【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．3．若关于x的一元二次方程mx2﹣x＝有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m≥﹣1且m≠0 C．m＞﹣1且m≠0 D．m≠0【分析】将原方程变形为一般式，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．解：原方程可变形为mx2﹣x﹣＝0．∵关于x的一元二次方程mx2﹣x＝有实数根，∴，解得：m≥﹣1且m≠0．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，列出关于m的一元一次不等式是解题的关键．＝4，4．如图，点A是反比例函数图象的一点，自点A向y轴作垂线，垂足为T，已知S△AOT 则此函数的表达式为（）A．B．C．D．【分析】由图象上的点所构成的三角形面积为可知，该点的横纵坐标的乘积绝对值为2，又因为点M在第二象限内，所以可知反比例函数的系数．＝8；解：由题意得： |k|＝2S△AOT又因为点M在第二象限内，则k＜0；所以反比例函数的系数k为﹣8．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．5．如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（）A．（﹣1，3）B．（4，0）C．（3，﹣3）D．（5，﹣1）【分析】画图可得结论．解：画图如下：则A'（5，﹣1），故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握顺时针或逆时针旋转是解决问题的关键．6．一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（）A．（x﹣3）2＝15 B．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝15 D．（x+3）2＝3【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．解：方程整理得：x2﹣6x＝6，配方得：x2﹣6x+9＝15，即（x﹣3）2＝15，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．8【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP ＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝＝，∴CD＝2CH＝2．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．8．若点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（3，y 3）在双曲线y ＝（k ＜0）上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 1＜y 2【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题． 解：∵点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（3，y 3）在双曲线y ＝（k ＜0）上，∴（﹣2，y 1），（﹣1，y 2）分布在第二象限，（3，y 3）在第四象限，每个象限内，y 随x 的增大而增大，∴y 3＜y 1＜y 2．故选：D ．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．9．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）A ．2B ．C ．D ．【分析】根据勾股定理，可得AC 、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案．解：如图：，由勾股定理，得AC ＝，AB ＝2，BC ＝，∴△ABC 为直角三角形，∴tan ∠B ＝＝，【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．10．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．解：∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3、MQ＝4，∴OM＝5，又∵MP′＝2，∴OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6，【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．二、填空题（共6小题，每题4份，共24分）11．（4分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．【分析】利用底面周长＝展开图的弧长可得．解：，解得r＝．故答案为：．【点评】解答本题的关键是有确定底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B1的坐标为（﹣2，﹣）．【分析】把B的横纵坐标分别乘以﹣得到B′的坐标．解：由题意得：△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，又∵B（3，1）∴B′的坐标是[3×（﹣），1×（﹣）]，即B′的坐标是（﹣2，﹣）；故答案为：（﹣2，﹣）．【点评】本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．13．（4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.2 米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB•sin∠BAC＝12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．故答案为：6.2．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．14．（4分）已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP 长为（﹣1）厘米．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，∴AP＝AB＝2×＝（﹣1）厘米．故答案为（﹣1）．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．15．（4分）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是km．【分析】首先由题意可证得：△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD 中，CD＝BC•sin60°，求得答案．解：过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAD＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝2km，在Rt△CBD中，CD＝BC•sin60°＝2×＝（km）．故答案为：．【点评】此题考查了方向角问题．注意证得△ABC是等腰三角形是解此题的关键．16．（4分）在△ABC中，AB＝9，AC＝6．点M在边AB上，且AM＝3，点N在AC边上．当AN ＝2或4.5 时，△AMN与原三角形相似．【分析】分别从△AMN∽△ABC或△AMN∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解：由题意可知，AB＝9，AC＝6，AM＝3，①若△AMN ∽△ABC ，则＝，即＝， 解得：AN ＝2；②若△AMN ∽△ACB ，则＝，即＝， 解得：AN ＝4.5；故AN ＝2或4.5．故答案为：2或4.5．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．三、解答题（本题共7小题，共66分）17．（12分）（1）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°（2）解方程：x 2+x ﹣1＝0【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算；（2）先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．解：（1）原式＝4×﹣3×+2××＝2﹣3+1 ＝1﹣； （2）△＝12﹣4×（﹣1）＝5，x ＝＝ 所以x 1＝，x 2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：将一元二次方程配成（x +m ）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了特殊角的三角函数值．18．（7分）随着信息技术的迅猛发展，人民去商场购物的支付方式更加多样、便捷．除了现金、银行卡支付以外，还有微信、支付宝以及其他支付方式．在一次购物中，小明和小亮都想从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（7分）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．【分析】由∠BAE＝∠CAD知∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，再根据线段的长得出＝＝，据此即可得证．解：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，∴＝＝，∴△ABC∽△AED．【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．20．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）分别交于点A（4，1），B（﹣1，a）（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出kx+b＞的x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数的解析式，把点A（4，1）与点B（﹣1，﹣4）代入一次函数y＝kx+b，即可得到一次函数解析式为y＝x﹣3；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）由图象即可得kx+b＞的x的取值范围．解：（1）∵点A（4，1）与点B（﹣1，a）在反比例函数y＝（m≠0）图象上，∴m＝4，即反比例函数的解析式为y＝，当x＝1时，y＝﹣4，即B（﹣1，﹣4），∵点A（4，1）与点B（﹣1，﹣4）在一次函数y＝kx+b（k≠0）图象上，∴，解得：，∴一次函数解析式为y＝x﹣3；（2）对于y＝x﹣3，当y＝0时，x＝3，∴C（3，0），∴S△AOB ＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝；（3）由图象可得，当﹣1＜x＜0或x＞4时，kx+b＞．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积公式，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．21．（9分）如图，为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°，开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米（结果精确到1千米）？（参考数据：≈1.4，≈1.7）【分析】过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD的长度和AC的长度，在直角△CBD中，解直角三角形求出BD的长度，再求出AD的长度，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．解：过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝80千米，∴CD＝BC•sin30°＝80×＝40（千米），AC＝＝40≈56.4（千米），∵cos30°＝，BC＝80（千米），∴BD＝BC•cos30°＝80×＝40（千米），∵tan45°＝，CD＝40（千米），∴AD＝40（千米），∴AB＝AD+BD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2≈27（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27千米．【点评】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC 的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．（1）求∠DAF的度数；（2）求证：AE2＝EF•ED；（3）求证：AD是⊙O的切线．【分析】（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出∠BAF和∠BAD度数，即可求出答案；（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可；（3）连接AO，求出∠OAD＝90°即可．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴∠D＝∠CBD，∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣∠BAC）＝72°，∴∠AFB＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝72°＝36°，∴∠D＝∠CBD＝36°，∴∠BAD＝180°﹣∠D﹣∠ABD＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∠BAF＝180°﹣∠ABF﹣∠AFB＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠DAF＝∠DAB﹣∠FAB＝108°﹣72°＝36°；（2）证明：∵∠CBD＝36°，∠FAC＝∠CBD，∴∠FAC＝36°＝∠D，∵∠AED＝∠AEF，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴AE2＝EF×ED；（3）证明：连接OA、OF，∵∠ABF＝36°，∴∠AOF＝2∠ABF＝72°，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝×（180°﹣∠AOF）＝54°，由（1）知∠DAF＝36°，∴∠DAO＝36°+54°＝90°，即OA⊥AD，∵OA为半径，∴AD是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．23．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1与x轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上有点P，使△PBC面积为1，求出点P的坐标．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+1与x轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），可以求得该抛物线的解析式；（2）根据题意和（1）中的抛物线解析式可以求得点C的坐标，从而可以得到直线BC的函数解析式，然后根据在直线BC上方的抛物线上有点P，使△PBC面积为1，即可求得点P 的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+1与x轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1；（2）∵y＝﹣x2+x+1，∴当x＝0时，y＝1，即点C的坐标为（0，1），∵B（3，0），C（0，1），∴直线BC的解析式为：y＝x+1，设点P的坐标为（p，﹣p2+p+1），将x＝p代入y＝x+1的，y＝p+1，∵△PBC面积为1，∴＝1，解得，p1＝1，p2＝2，当p1＝1时，点P的坐标为（1，），当p＝2时，点P的坐标为（2，1），2即点P的坐标为（1，）或（2，1）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．九年级上学期期末考试数学试题(含答案)一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的；本题共8个小题，每小题2分，共16分）1．（2分）如图，一个空心圆柱体，其左视图正确的是（）A．B．C．D．2．（2分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（）A．两个不等的实数根B．两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定3．（2分）有3张纸牌，分别是红桃2，红桃3，黑桃A，把纸牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张，则两人抽的纸牌均为红桃的概率是（）A．B．C．D．4．（2分）下列说法正确的是（）A．有两个角为直角的四边形是矩形B．矩形的对角线相等C．平行四边形的对角线相等D．对角线互相垂直的四边形是菱形5．（2分）如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB＝4，AB＝6，BE＝3，则EC的长是（）A．4B．2C．D．6．（2分）已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是（）A．该函数图象经过点（﹣1，1）B．该函数图象在第二、四象限C．当x＜0时，y随着x的增大而减小D．当x＞1时，﹣1＜y＜07．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝10厘米，点E在边AB上，且AE＝2厘米，如果动点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，动点Q 在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当△BPE与△CQP全等时，t的值为（）A．2B．1.5或2C．2.5D．2或2.58．（2分）如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于点A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连接BE，若AB＝2，则BE的最小值为（）A．+1B．2﹣1C．3D．4﹣二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）9．（3分）方程x2＝2x的解是．10．（3分）某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中2只有标志．从而估计该地区有黄羊只．11．（3分）小明的身高1.6米，他在阳光下的影长为0.8米，同一时刻，校园的旗杆影长为4.5米，则该旗杆高米．12．（3分）如图，已知点A在反比例函数图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且△ABC的面积为3，则该反比例函数的表达式为．13．（3分）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm，则可列方程为．14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE交对角线AC于点F，则∠EFC＝°．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0），E为AB的中点，EF∥AO交OB于点F，AF与EO交于点P，则EP的长为．16．（3分）如图，正方形A1ABC的边长为1，正方形A2A1B1C1边长为2．正方形A3A2B2C2边长为4，…依此规律继续做正方形A n+1A n B n∁n，其中点A，A1，A2，A3，…在同一条直线上，连接AC1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，…，若记△AA1D1的面积为S1，△A1A2D2的面积为S2…，△A n﹣1A n D n的面积为S n，则S2019＝．三、解答题（本大题共2个题，17题6分，18题5分，共11分）17．（6分）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x﹣1）2＝2；（2）2x2+5x＝﹣218．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在小方格的格点上．（1）点A的坐标是；点C的坐标是；（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为1：2，请在网格中画出△A1B1C1；（3）△A1B1C1的面积为．四、解答题（本大题共3个题，19题6分，20，21题各8分，共22分）19．（6分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：千帕）随气体体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示．（1）写出符合表格数据的P关于V的函数表达式；（2）当气球的体积为20立方米时，气球内气体的气压P为多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，依照（1）中的函数表达式，基于安全考虑，气球的体积至少为多少立方米？20．（8分）小明和小亮两同学做游戏，游戏规则是：有一个不透明的盒子，里面装有两张红卡片，两张绿卡片，卡片除颜色外其它均相同，两人先后从盒子中取出一张卡片（不放回），若两人所取卡片的颜色相同，则小明获胜，否则小亮获胜．（1）请用画树状图或列表法列出游戏所有可能的结果；（2）请根据你的计算结果说明游戏是否公平，若不公平，你认为对谁有利？21．（8分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的长；（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．五、解答题（本大题共3个题，22题8分，23题9分，24题10分，共27分）22．（8分）利民商场经营某种品牌的T恤，购进时的单价是300元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是400元时，销售量是60件，销售单价每涨10元，销售量就减少1件．设这种T恤的销售单价为x元（x＞400）时，销售量为y件、销售利润为W元．（1）请分别用含x的代数式表示y和W（把结果填入下表）：（2）该商场计划实现销售利润10000元，并尽可能增加销售量，那么x的值应当是多少？23．（9分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2，点A的纵坐标为4．（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；（2）直线AB交x轴于点D，过点D作直线l⊥x轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形OP AQ是矩形，求出点P的坐标．24．（10分）如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上的点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，过点C作CG∥EF交BA（或其延长线）于点G，连接DF，FG．（1）FG与CE的数量关系是，位置关系是．（2）如图2，若点E是CB延长线上的点，其它条件不变．①（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断，并给予证明；②DE，DF分别交BG于点M，N，若BC＝2BE，求．2018-2019学年辽宁省锦州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的；本题共8个小题，每小题2分，共16分）1．【解答】解：一个空心圆柱体，其左视图为．故选：B．2．【解答】解：∵x2+x+1＝0，∴△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴该方程无实数根，故选：C．3．【解答】解：列表如下：∴一共有9种等可能的结果，其中两次抽得纸牌均为红桃的有4种结果，∴两次抽得纸牌均为红桃的概率为，故选：A．4．【解答】解：A、错误．有3个角为直角的四边形是矩形．B、正确．矩形的对角线相等．C、错误．平行四边形的对角线不一定相等．D、错误．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选：B．5．【解答】解：∵DE∥AC，∴DB：AB＝BE：BC，∵DB＝4，AB＝6，BE＝3，∴4：6＝3：BC，解得：BC＝，∴EC＝BC﹣BE＝．故选：C．6．【解答】解：对于y＝，当x＝﹣1时，y＝1，∴该函数图象经过点（﹣1，1），A正确，不符合题意；∵k＝﹣1＜0，∴该函数图象在第二、四象限，B正确，不符合题意；当x＜0时，y随着x的增大而增大，C错误，符合题意；当x＞1时，﹣1＜y＜0，D正确，不符合题意，故选：C．7．【解答】解：当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP，∵AB＝8厘米，BC＝10厘米，AE＝2厘米，∴BE＝CP＝6厘米，∴BP＝10﹣6＝4厘米，∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵∠B＝∠C＝90°，∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米，即可．∴点P，Q运动的时间t＝最新人教版九年级（上）期末模拟数学试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）。