第二十四讲与圆有关的计算,考标完全解读)考点考试内容考试要求弧长弧长的计算掌握扇形扇形的面积掌握圆柱的侧面积理解圆柱圆柱的全面积了解圆锥的侧面积理解圆锥圆锥的全面积了解,感受某某中考)1.(2016某某中考)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(D)A．3πB．6πC．9πD．12π2．(2010某某中考)将半径为5的圆(如图①)剪去一个圆心角为n°的扇形后围成如图②所示的圆锥，则n＝__144°__．,核心知识梳理)弧长的计算1．由圆的周长公式C ＝2πR ，可以推得弧长的计算公式为l ＝__n πR180__．(R 为圆的半径，n 为弧所对的圆心角的度数)【提示】在弧长公式中，有l ，n ，R 三个量，已知其中的两个量，可以求出第三个量． 【针对练习】一个扇形的弧长是20πcm ，面积是240πcm 2，那么扇形的圆心角是__150°__．扇形面积的计算2．由圆的面积公式S ＝πr 2，可以推得扇形面积公式为①S＝__n πr 2360__，②S ＝__12lr__．(r 为圆的半径，n是扇形的圆心角的度数，l 为扇形的弧长)【提示】在扇形面积公式中，对于S, l ，n ，r 四个量，可以“知二求二”【针对练习】如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，以BC 为直径的圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是__1__．圆柱与圆锥侧面积和全面积的计算3．圆柱侧面积和全面积的计算侧面积：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长为圆柱的底面周长C ，另一边长为圆柱的母线长为l ，若圆柱的底面半径为r ，则S 圆柱侧＝__Cl__＝2πrl ，全面积：S 圆柱侧＝S 圆柱侧＋2S 圆柱底＝__2πrl__＋__2πr 2__．4．圆锥侧面积和全面积的计算(1)侧面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C ，半径等于圆锥的母线长l ，若圆锥的面底半径为r ，这个扇形的圆心角为α，则α＝r l ·360°，S 圆锥侧＝12Cl ＝__απr2360__．(2)全面积：S 圆锥全＝S 圆锥侧＋S 圆锥底＝__απr 2360＋πr 2__．【针对练习】已知圆锥的底面半径为 5 cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为∠1，则sin ∠1的值为____513__．,重点难点解析)正多边形中有关的计算【命题规律】考查正多边形中的有关计算，题目以填空、选择题的形式出现．【例1】如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为(A )A .3－π2B .3－2π3C ．23－π2D ．23－2π3【解析】由于六边形ABCDEF 是正六边形，所以∠AOB ＝60°，故△OAB 是等边三角形，OA ＝OB ＝AB ＝2，设点G 为AB 与⊙O 的切点，连接OG ，则OG⊥AB，OG ＝OA ·sin 60°，再根据S 阴影＝S △OAB －S 扇形OMN ，进而可得出结论．【答案】A【针对训练】1．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为(C )A ．33B ．36C .323D .3262．如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，M ，N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是__42__．弧长、扇形的面积的计算【命题规律】考查弧长、扇形面积的计算公式、题目以填空、选择题的形式出现．【例2】(2017某某中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠BCD ＝30°，CD ＝43，则S 阴影＝(B )A ．2πB .83π C .43πD .38π【解析】根据垂径定理求得CE ＝ED ＝23，然后由圆周角定理知∠DOE＝60°，然后通过解直角三角形求得线段OD ，OE 的长度，最后将相关线段的长度代入S 阴影＝S 扇形ODB －S △DOE ＋S △BEC .【答案】B 【针对训练】3．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8 cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为(A ) A .83cmB .163cmC ．3 cmD .43cm4.(2017某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝22，以BC 的中点O 为圆心分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，则DE ︵的长为(B )A .π4B .π2C ．πD ．2π5．(某某中考)如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠ACD ＝120°. (1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积． 解：(1)连接OC.∵AC＝CD ，∠ACD ＝120°， ∴∠CAB ＝∠D＝30°.∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠CAB＝30°.∴∠OCD ＝180°－∠CAB－∠D－∠OCA＝90°.∴CD 是⊙O 的切线； (2)∵∠CAB＝30°，∴∠COB ＝2∠CAB＝60°. ∴S 扇形BOC ＝60π×22360＝23π.在Rt △OCD 中，∵CDOC＝tan 60°，∴CD ＝2 3. ∴S Rt △OCD ＝12OC ×CD ＝12×2×23＝2 3.∴图中阴影部分的面积为：23－2π3. 圆柱、圆锥侧面积、全面积的计算【命题规律】考查用扇形围成圆锥侧面或用直角三角形绕一边旋转所得几何体的全面积的计算，题目以填空、选择题的形式出现．【例3】(2017某某中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱体部分的高BC＝6 cm，圆锥体部分的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是(C) A．68πcm2B．74πcm2C．84πcm2D．100πcm2【解析】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积．【答案】C【针对训练】6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是(A)A.10πcm2B．210πcm2C．6πcm2D．3πcm27．如图，圆锥底面的半径为10 cm，高为1015cm.(1)求圆锥的全面积；(2)若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM＝3AM，求它所走的最短距离．解：(1)由题意，可得圆锥的母线SA＝AO2＋SO2＝40(cm)，圆锥的侧面展开扇形的弧长l＝2π·OA＝20πcm，∴S 侧＝12l ·SA ＝400πcm 2，S 圆＝πAO 2＝100πcm 2，∴S 全＝S 圆＋S 底＝(400＋100)π＝500π(cm 2)；(2)沿母线SA 将圆锥的侧面展开，如图，则线段AM 的长就是蚂蚁所走的最短距离． 由(1)知，SA ＝40 cm ，弧AA′＝20πcm ， ∵n π×40180＝20πcm ， ∴∠S ＝n ＝180×20π40π＝90°，∵SA ′＝SA ＝40 cm ，SM ＝3A′M，∴SM ＝30 cm ，∴在Rt △ASM 中，由勾股定理得AM ＝50(cm )．所以，蚂蚁所走的最短距离是50 cm .有关圆计算的综合问题【命题规律】将计算圆的弧长、扇形的面积与三角形、四边形等知识综合起来，考查学生综合解决问题的能力．【例4】(某某中考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是边AC 上的一点，连接BD ，使∠A＝2∠1，E 是BC 上的一点，以BE 为直径的⊙O 经过点D.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若∠A＝60°，⊙O 的半径为2，求阴影部分的面积．(结果保留根号和π)【解析】(1)由OD ＝OB 得∠1＝∠ODB，则根据三角形外角性质得∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，而∠A＝2∠1，所以∠DOC＝∠A，由于∠A＋∠C＝90°，所以∠DOC＋∠C＝90°，则可根据切线的判定定理得到AC 是⊙O 的切线；(2)由∠A＝60°得到∠C＝30°，∠DOC ＝60°，根据含30°的直角三角形三边的关系得CD ＝3OD ＝23，然后利用阴影部分的面积＝S △COD －S 扇形DOE 和扇形的面积公式求解．【答案】解：(1)连接OD ， ∵OD ＝OB ， ∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC ＝∠1＋∠ODB＝2∠1， 而∠A＝2∠1， ∴∠DOC ＝∠A， ∵∠A ＋∠C＝90°， ∴∠DOC ＋∠C＝90°， ∴OD ⊥DC ， ∴AC 是⊙O 的切线； (2)∵∠A＝60°， ∴∠C ＝30°，∠DOC ＝60°，在Rt △DOC 中，OD ＝2， ∴CD ＝3OD ＝23，∴阴影部分的面积＝S △COD －S 扇形DOE ＝12×2×23－60·π·22360 ＝23－2π3.【针对训练】8．如图所示，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2 cm ，⊙A 与BC 相切于点D ，阴影部分的面积为(B ) A ．1＋23πB ．2－π2C ．3－π3D ．4－π49．已知：如图，在半径为4的⊙O 中，圆心角∠AOB＝90°，以半径OA ，OB 的中点C ，F 为顶点作矩形CDEF ，顶点D ，E 在⊙O 的劣弧AB 上，OM ⊥DE 于点M.试求图中阴影部分的面积．解：∵OA＝OB ＝4， ∴AB ＝42， ∴CF ＝22， ∴DM ＝ 2.连结OD, 在Rt △ODM 中，OM 2＝16－(2)2＝14， ∴OM ＝14， ∴MN ＝14－22，∴S 阴＝S 扇形OAB －S △OAB －S 矩PDEQ ＝4π－8－22(14－22) ＝4π－47.,当堂过关检测)1．(2017某某中考)如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O，连接OB ，OD ，若∠BOD＝∠BCD，则BD ︵的长为(C )A ．πB .32πC ．2πD ．3π,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2017某某中考)如图，矩形ABCD 的边AB ＝1，BE 平分∠ABC，交AD 于点E ，若点E 是AD 的中点，以点B 为圆心，BE 为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是(B )A ．2－π4B .32－π4C ．2－π8D .32－π83．(2017某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为BD ︵，则图中阴影部分的面积是(A )A .π6B .π3C .π2－12D .12,(第3题图)) ,(第5题图))4．已知扇形的圆心角是120°，半径6 cm ，把它围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面圆半径是__2__cm . 5．(2017某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，以直角边AB 为直径作半圆交AC 于点D ，以AD 为边作等边△ADE，延长ED 交BC 于点F ，BC ＝23，则图中阴影部分的面积为__33－32π__．(结果不取近似值)6.(2017某某中考)如图，分别以正五边形ABCDE 的顶点A ，D 为圆心，以AB 长为半径画BE ︵，CE ︵.若AB ＝1，则阴影部分图形的周长为__65π＋1__.(结果保留π)7．一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1，则这个圆锥形零件的全面积是__5π____．8．(2017枣庄中考)如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB ＝12，∠C ＝60°，则FE ︵的长为__π__．word 11 / 11 ,(第8题图)) ,(第9题图))9．(2017某某中考)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．⊙O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为 1 m ，根据设计要求，若∠EOF＝45°，则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为__（π＋2）28__． 10．(2017某某中考)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AC ＝3，∠BOC ＝2∠AOC.若用扇形OAC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是__12__． ,(第10题图)) ,(第11题图))11．(2017某某中考)如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，如此继续下去，则六边形A 4B 4C 4D 4E 4F 4的面积是__318__．。
第二十三讲 与圆有关的位置关系宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1．(2014·宜宾中考)如图，已知AB 为⊙O 的直径，AB ＝2，AD 和BE 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，过 圆上一点C 作⊙O 的切线CF ，分别交AD 、BE 于点M 、N ，连结AC 、CB.若∠ABC＝30°，则AM ＝32．(2017·宜宾中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AD 平分∠CAE 交⊙O 于点D ，且AE⊥CD，垂足为点E.(1)求证：直线CE 是⊙O 的切线； (2)若BC ＝3，CD ＝32，求弦AD 的长．(1)证明：连结OD.∵AD 平分∠EAC，∴∠OAD ＝∠EAD.∵OA＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA， ∴∠EAD ＝∠ODA，∴OD ∥AE.∵AE ⊥DC ， ∴OD ⊥CE ，∴直线CE 是⊙O 的切线； (2)解：连接BD. ∵∠CDO ＝∠ADB＝90°，∴∠ODA ＝∠CDB＝∠OAD.∵∠BCD ＝∠DCA，∴△CDB ∽△CAD ， ∴CD CA ＝CB CD ＝BD DA ，∴CD 2＝CB·CA，∴(32)2＝3CA ，∴CA ＝6，∴AB ＝CA －BC ＝3, BD AD ＝CD CA ＝326＝22.设BD ＝2k ，AD ＝2k.在Rt △ADB 中，2k 2＋4k 2＝32，∴k ＝62，∴AD ＝ 6.3．(2018·宜宾中考)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为BC 延长线上一点，且BC ＝CD ，CE ⊥AD 于点E.(1)求证：直线EC 为⊙O 的切线；(2)设BE 与⊙O 交于点F ，AF 的延长线与CE 交于点P ，已知∠PCF ＝∠CBF，PC ＝5，PF ＝4，求sin ∠PEF 的值．(1)证明：连接OC.∵CE ⊥AD 于点E ，∴∠DEC ＝90°.∵BC ＝CD ，∴点C 是BD 的中点．又∵点O 是AB 的中点，∴OC 是△BDA 的中位线，∴OC ∥AD ， ∴∠OCE ＝∠CED＝90°，∴OC ⊥CE.又∵点C 在⊙O 上，∴直线EC 为⊙O 的切线； (2)解：连结AC.∵AB 是⊙O 的直径，点F 在⊙O 上， ∴∠AFB ＝∠PFE＝90°＝∠CEA.∵∠EPF ＝∠EPA，∴△PEF ∽△PAE ，∴PE 2＝PF·PA. ∵∠FBC ＝∠PCF＝∠C AF ，∠CPF ＝∠APC， ∴△PCF ∽△PAC ，∴PC 2＝PF·PA， ∴PE ＝PC.在Rt △PEF 中，sin ∠PEF ＝PF PE ＝45.宜宾中考考点梳理点与圆的位置关系1．点与圆的三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外．与其对应关系简明介绍如下：。
第八章圆第二十二讲圆的有关性质,考标完全解读) 考点考试内容考试要求圆的相关概念圆的定义理解弦、弧、圆心角的定义理解圆的对称性了解圆的有关性质及定理垂径定理掌握圆周角定理了解弦、弧、圆心角之间的关系了解圆内接四边形的性质了解,感受宜宾中考)1.(2016宜宾中考)在平面直角坐标系内，以点P(1，1)为圆心，5为半径作圆，则该圆与y 轴的交点坐标是__(0，3)或(0，－1)__2．(2015宜宾中考)如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF ︵的中点，弦CF 交AB 于点E ，若⊙O 的半径为2，则CF ＝__．,核心知识梳理)与圆有关的概念及其性质1．圆的定义(1)到定点距离__相等__的所有点构成的图形叫做圆；(2)在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做__圆心__，线段OA叫做__半径__．2．圆心确定圆的____位置__，半径确定圆的__大小__．圆心相同的圆叫做同心圆，能够重合的两个圆叫做等圆．3．圆的有关概念(1)弦：连接圆上任意两点的线段；(2)直径：经过圆心的弦，直径等于半径的2倍；(3)弧：圆上任意两点间的部分．【温馨提示】圆上任一条弦都对应两条弧．4．圆的对称性(1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在__直线__都是圆的对称轴．(2)圆是中心对称图形，对称中心是__圆心__．垂径定理及其推论5．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 6．垂径定理的推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦及其所对的一条弧的弦经过圆心，并且平分弦所对的另一条弧； (4)圆的两条平行弦所夹的弧__相等__． 7．垂径定理及其推论的延伸．根据圆的对称性，如图，在以下五条结论：①AC ︵＝BC ︵；②AD ︵＝BD ︵；③AE＝BE ；④AB⊥CD；⑤CD 是直径，只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即“知二推三”．【针对练习】已知，AB 是⊙O 的直径，弦C D⊥AB 于点P ，CD ＝10 cm ，AP ∶PB ＝1∶5，则⊙O 的半径为__35__ cm . 8．垂径定理的应用用垂径定理进行证明或计算时，常需作出圆心到弦的垂线段(弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用由半径、弦心距和半弦构成直角三角形来达到求解的目的，这样圆中的弦长a 、半径r 、弦心距d 及弓形高h 四者之间就可以做到“知二求二”．【针对练习】如图，一个宽为2 cm 的刻度尺(刻度单位：cm )，放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为__134__ cm .弦、弧、圆心角之间的关系9．定理：在__同圆__或__等圆__中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．10．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的弦__相等____；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的弧__相等__． 【针对练习】如图，在⊙O 中，已知BD ︵＝CE ︵，那么图中共有__4__对全等三角形．圆周角定理11．圆周角的定义：顶点在__圆__上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角．12．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__一半__．13．推论：(1)同弧或等弧所对的圆周角__相等__；(2)半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【针对练习】如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝40°，则∠CAD＝____50°__．圆内接四边形的性质14．圆内接四边形的对角__互补__，它的任意一个外角等于这个角的__对角__．,重点难点解析)有关圆中圆心角与圆周角的计算【命题规律】考查对圆心角、圆周角定理的理解和运用．基础题目，以填空、选择题的形式出现．【例1】 (2017招远期中)如图， ⊙O 直径为10 cm ，两条直径AB ，CD 相交成90°角．∠AOE＝50°，OF 是∠BOE 的平分线．求圆心角∠COF 的度数．【解析】由平角的定义得到∠BOE＝130°，由角平分线的定义得到∠BOF＝12∠BOE ＝65°，于是得结论．【答案】解：∵∠AOB＝180°，∠AOE ＝50°， ∴∠BOE ＝130°， ∵OF 是∠BOE 的平分线， ∴∠BOF ＝12∠BOE ＝65°，∵两条直径AB ，CD 相交成90°角， ∴∠COF ＝90°－65°＝25°. 【针对训练】1．(2017青岛中考)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AED＝20°，则∠BCD 的度数为( B )A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°,(第1题图)),(第2题图))2．(泰安中考)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于( B)A．12.5°B. 15°C. 20°D. 22.5°3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，切线CD 与OB 的延长线交于点D.若∠A＝30°，CD ＝23，则⊙O 的半径长为__2__．垂径定理【命题规律】考查垂径定理的应用，题目常与勾股定理结合，是中考的热点．题目以填空、选择题的形式出现．【例2】如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为P ，BP ＝2 cm ，CD ＝6 cm ，求直径AB 的长．【解析】连接OC ，由垂径定理可知CP ＝12CD ＝3，设半径为r ，由勾股定理可求出r 的值．【答案】解：连结OC. ∵OB ⊥CD ，O 为圆心， ∴CP ＝12CD ＝3，设OC ＝OB ＝r ， ∴OP ＝r －2，在Rt △OCP 中，由勾股定理得： (r －2)2＋32＝r 2， ∴r ＝134，∴直径AB ＝2r ＝132.【针对训练】4．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连结CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是( D )A ．AD ＝2OB B ．CE ＝EOC ．∠OCE ＝40°D ．∠BOC ＝2∠BA D,(第4题图)),(第5题图))5．如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD＝30°，OB⊥AD，交AC于点B，若OB＝3，则BC＝__3__．6．已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB，CD之间的距离为( D)A．7 cm B．17 cmC．12 cm D．17 cm或7 cm圆的性质的综合应用【命题规律】考查利用圆的性质解决问题的能力．题目以解答题形式出现较多．【例3】(2017崇左中考)如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O相交于点D，E，连结DE，现给出两个命题： ①若AC ＝AB ，则DE ＝CE ；②若∠C＝45°，记△CDE 的面积为S 1，四边形DABE 的面积为S 2，则S 1＝S 2，那么( )A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①是假命题，②是假命题D ．①是真命题，②是真命题【解析】根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠B，根据圆内接四边形的性质得到∠B＝∠C DE ，根据等腰三角形的判定判断①；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方判断②.【答案】D 【针对训练】7．(2017苏州中考)如图，已知△ABC 内接于☉O，AB 是直径，点D 在☉O 上，DO ∥BC ，过点D 作DE⊥AB，垂足为E ，连结CD 交OE 边于点F.(1)求证：△DOE∽△ABC； (2)求证：∠ODF＝∠BDE；(3)连结OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若S 1S 2＝27，求sin A 的值．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵DE ⊥AB ， ∴∠DEO ＝90°， ∴∠DEO ＝∠ACB.∵OD ∥BC ，∴∠DOE ＝∠ABC， ∴△DOE ∽△ABC ；(2)∵△DOE∽△ABC，∴∠ODE ＝∠A.∵∠A 和∠BDC 是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC， ∴∠ODE ＝∠BDC，∴∠ODF ＝∠BDE； (3)∵△DOE∽△ABC，∴S △DOE S △ABC ＝(OD AB )2＝14，即S △ABC ＝4S △DOE ＝4S 1. ∵OA ＝OB ，∴S △BOC ＝12S △ABC ，即S △BOC ＝2S 1.∵S 1S 2＝27，S 2＝S △BOC ＋S △DOE ＋S △DBE ＝2S 1＋S 1＋S △DBE ， ∴S △DBE ＝12S 1，∴BE ＝12OE ，即OE ＝23OB ＝23OD ，∴sin A ＝sin ∠ODE ＝OE OD ＝23.8．(2017武汉中考)如图，△ABC 内接于⊙O，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D.(1)求证：AO 平分∠BAC；(2)若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，求AC 和CD 的长．解：(1)延长AO 交BC 于点H ，连结BO.∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴A ，O 在线段BC 的中垂线上，∴AO ⊥BC.又∵AB＝AC ，∴AO 平分∠BAC； (2)过点D 作DK⊥AO 于K.∵由(1)知AO⊥BC，OB ＝OC ，BC ＝6， ∴BH ＝CH ＝12BC ＝3，∠COH ＝12∠BOC.∵∠BAC ＝12∠BOC ，∴∠COH ＝∠BAC.在Rt △COH 中，∠OHC ＝90°，sin ∠COH ＝HCCO .∵CH ＝3，∴sin ∠COH ＝3CO ＝35，∴CO ＝AO ＝5.∵CH ＝3，∴OH ＝OC 2－HC 2＝52－32＝4. ∴AH ＝AO ＋OH ＝5＋4＝9，tan ∠COH ＝tan ∠DOK ＝34.在Rt △ACH 中，∠AHC ＝90°，AH ＝9，CH ＝3， ∴tan ∠CAH ＝CH AH ＝39＝13，AC ＝AH 2＋HC 2＝92＋32＝310.由(1)知∠COH＝∠BOH，tan ∠BAH ＝tan ∠CAH ＝13.设DK ＝3a.在Rt △ADK 中，tan ∠BAH ＝13.在Rt △DOK 中，tan ∠DOK ＝34.∴OK ＝4a ，DO ＝5a ，AK ＝9a ， ∴AO ＝OK ＋AK ＝13a ＝5. ∴a ＝513，DO ＝5a ＝2513，CD ＝OC ＋OD ＝5＋2513＝9013，∴AC ＝310，CD ＝9013.,当堂过关检测)1．同圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比是( A)A.2：1B. 3：1 C．2：1 D．3：12．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是( A)A．45°B．60°C．75°D．90°,(第2题图)),(第3题图))3．如图，CD 是⊙O 的弦，点P 在弦CD 上，过点P 作PA⊥OP 交⊙O 于点A ，已知，CP ＝2 cm ，PD ＝8 cm ，则PA ＝__4______cm .4. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝9，连接AC ，D 是圆周上一点，连接DB ，DC ，且tan ∠BDC ＝34，求⊙O 的直径AB 的长．解：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. 又∵ ∠A＝∠D，∴tan ∠BAC ＝BC AC ＝tan ∠BDC ＝34.又∵BC＝9，∴9AC ＝34，∴AC ＝12，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝122＋92＝15.5．如图是一块车轮碎片的示意图，点O 是这块轮片的圆心，AB ＝24 cm ，C 是弧AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝4 cm ，求原轮片的半径．解：在Rt △OAD 中，设半径是x ，则OA ＝x ，OD ＝x －4，AD ＝12AB ＝12.根据勾股定理定理得到： x 2＝(x －4)2＋122， 解得x ＝20.所以原轮片的半径是20 cm .6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥PD；(2)若BC ＝3，sin P ＝35，求⊙O 的直径．解：(1)∵∠C＝∠P，∠1＝∠C， ∴∠1＝∠P，∴CB ∥PD ；(2)连接AC ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.又∵CD⊥AB，∴ BC ︵＝BD ︵，∴∠P ＝∠CAB.又∵sin P ＝35，∴sin ∠CAB ＝35，即BC AB ＝35，又知，BC ＝3，∴AB ＝5，∴直径为5.。
