人教版九年级数学下册教学课件：27.2.1相似三角形的判定3

画△ ，使三个角分别为60°，45°, 75° 。
①同桌分别量出两个三角形三边的长度； ②同桌这两个三角形相似吗?
即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形 的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．
一定需三个角吗？
相似三角形的识别方法：
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两 角对应相等，那么这两个三角形相似． 思考 如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它 们是否一定相似？
例2 如图，Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC 上一点，AE=5,ED⊥AB,垂足为D。求AD的长，
解：∵ ED⊥AB ∴∠EDB=90°. 又∠C=90°, ∠A= ∠A ∴△AED∽△ABC
AD AE AC AB
AD AC•AE 85 4 AB 10
C
E B
A
D
已知：Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.中，∠C=∠C1.
相似三角形的识别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线。
方法3：三边对应成比例。
方法4：两边对应成比例且夹角。
O
O
(30 与60 )
观察你与老师的直角三角尺
,会相似吗？
这两个三角形的三个内角的 大小有什么关系？
相
三个内角对应相等。
似
三个内角对应相等的两个三角 形一定相似吗？
C
A
DB
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
你能写出对应边的比例式吗?
2、填一填
（ 1 ） 如 图 3 ， 点 D 在 AB 上 ， 当 ∠ 时， △ACD∽△ABC。
＝∠

使△ADE∽△ACB． 又∵ A′D=AB，∠A=∠A′，
（5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。 √
（6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。 ×
（7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。 √
（8）相似的两个三角形一定大小不等。 ×
2. AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD 于F，你能从中找出几对相似三角形？
定理1：三边成比例的两个三角形相似.
的三角形与△ABC相似，想一想满足
条件的直线共有多少条？试画出图形 例3 弦AB和CD相交于⊙O内一点P.
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，
∴△ABC∽△A′B′C′.
并简要说明理由. 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，
（ ）所有的等边三角形都相似。 √ 平行于三角形一边的直线
（1）所有的等腰三角形都相似。
3
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
（4）所有的直角三角形都相似。 （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。
例4 如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8．
×
例2 △ABC 中， D是AB上的点，且 ∠B= ∠ACD.
OP
B
C
例4 如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8． E 是 AC 上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为 D．求 AD 的长．
归纳： 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
思考：对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等.
那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？

∵ DE∥BC ∵ ∠EDC=∠DCB， 又∵ ∠1=∠B
∴△DEC∽△CDB
例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。 已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。 求证：ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900，
4 、∵
AB AC DE DF ∠A=∠D
B
A
D
∴△ABC∽△DEF
E C
F
问题引入：
观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或 45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起 来是相似的。一般地，如果两个三角形有两组对应角相 等，它们一定相似吗？
猜想：
△ABC 和△DEF相似吗？
一角对应相等的两个三角形不一定相似。
基础演练
1、下列图形中两个三角形是否相似？
A’ A A C B
D A B
(1)
C B’ A’
C’
(2)
D
A
E
E C
B
(3)
C
B’
C’
B
(4)
在△ABC 中， D、E 分别是AB、 AC延长线上的点， 且 DE∥BC，试说明△ABC与△ADE相似．
D A
解: ∵ DE∥BC （已知） E ∴ ∠AED＝∠C （两直线平行，内错角相等）， ∵∠EAD＝∠CAB.（对顶角相等） B ∴△ADE∽△ABC.
判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角
形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'

角形相似吗？
01
探究与证明（通过三边判定两个三角形相似）
在△ABC和△A’B’C’中，
AB
A′B′
=
BC
B′C′
=
AC
A′C′
, 求证:△ ABC ∽△ A′B′C′？
提示：
A’
两个三角形除对应边成比例外无其他条件，通
A
过构建条件的方法证明两个三角形相似。
证明：
B
C
D
B’
E
C’
在线段A'B'上截取A'D=AB，
∠A’ED=∠A’C’B’
∴ △ ABC ∽△ A′B′C′
01
小结
三边判定三角形相似定理：三边成比例的两个三角形相似。
A’
A
B
几何语言：
∵
C
B’
C’
AB
A′B′
=
BC
B′C′
=
AC
A′C′
∴ △ABC∽△A’B’C
01
探究与证明（通过两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似）
AB
AC
在△ABC和△A’B’C’中, A′B′ = A′C′ , ∠A = ∠A′ , 求证:△ ABC ∽△ A′B′C′？
01
探究与证明（通过两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似）
AB
AC
在△ABC和△A’B’C’中, A′B′ = A′C′ , ∠A = ∠A′ ,
求证:△ ABC ∽△ A′B′C′？
∵△A'DE∽△A'B‘C’
A’
A′D
A
′
AB=A’D
AC
D
B
DE
∴ A′B′ = B′C′ = A′C′，而