上海宝山区2020-2021学年高三第一学期数学期末考试(高考一模)卷

绝密★启用前2021届上海市宝山区高三上学期（一模）期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．直线310x y +-=的一个法向量可以是（） A ．(3,1)- B ．(3,1)C ．(1,3)D ．(1,3)-答案：C【分析】先求解出直线的一个方向向量，设出法向量，利用数量积为零计算即可.解：直线310x y +-=的一个方向向量为11,3v ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设直线的法向量为()1,m t =，因为0v m ⋅=，所以1103t -=，得3t =，所以法向量()1,3m =.故选：C.2．“函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2”，是“ωπ=”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件答案：B【分析】验证当函数()sin()f x x ω=最小正周期为2时，ωπ=是否成立；验证ωπ=成立时函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2是否成立，再结合充分必要条件定义即可得出答案.解：解：当函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2时， 所以22,||T πωπω==∴=±,不能得出ωπ=，故充分性不成立， 当ωπ=时，()sin()f x x ω=的最小正周期为22||T πω==，故必要性成立 综上：“函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2”，是“ωπ=”的必要非充分条件. 故选：B.点评：充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.3．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为（） A ．121B ．321C ．521D ．721答案：C【分析】直接利用组合数的应用求出基本事件的个数，进而求出概率的值. 解：根据题意：从10个数中任取5个不同的数， 则基本事件为51010987649725254321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，则这5个不同的数的中位数为4的有：224560C C ⋅=，故概率60525221P ==. 故选：C4．下列结论中错误的是（）A ．存在实数x ，y 满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，并使得4(1)(1)9x y ++>成立B ．存在实数x ，y 满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，并使得4(1)(1)7x y ++=成立C ．满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，且使得4(1)(1)9x y ++=-成立的实数x ，y 不存在D ．满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，且使得成4(1)(1)9x y ++<-立的实数x ，y 不存在答案：A【分析】画出约束条件的可行域，判断目标函数取得最值时的位置，然后判断选项的正误即可.解：解：画出不等式组11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩表示的平面区域，如图阴影所示：(1,2),(1,0),(1,2),(1,0)A B C D ---，令4(1)(1)z x y =++，可知可行域内的点在边界时，z 取得最大值或最小值；对于A 项，最优解在1x y +=时，214(1)(1)4(1)(2)4()92z x y x x x =++=+-=--+， 因为1x ≤，所以z 的最大值为9，且此时12x y ==. 所以选项A 错误；对于B 项，4(1)(1)7x y ++=即7(1)(1)4x y ++=， 由基本不等式知(1)(1)(1)(1)2x y x y +++≥++11x y +=+时等号成立，即27(1)(1)24x y x y ++=++=，解得712x y ==-，且点771,1)22--在可行域内，故B 项正确，不选； 对于C 项，最优解在1x y +=-时，214(1)(1)4(1)()4()12z x y x x x =++=+-=-++，因为1x ≤，所以81z -≤≤.所以满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，且使得4(1)(1)9x y ++=-成立的实数x ，y 不存在，所以C 项正确，不选；对于D 项，由对C 项的分析可知，满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，且使得成4(1)(1)9x y ++<-立的实数x ，y不存在，所以D 项正确，不选；故选：A.点评：本题考查线性规划的应用，判断最优解的位置是解题的关键，难度较大. 二、填空题5．若集合(,3),(4,)A B =-∞-=-+∞，则A B =_________．答案：(4,3)--【分析】根据集合交集定义运算即可得出答案. 解：解：因为集合(,3),(4,)A B =-∞-=-+∞， 所以(4,3)AB --=.故答案为：(4,3)--点评：集合基本运算的方法技巧:（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算； （2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解，对于端点处的取舍，可以单独检验. 6．抛物线y 2=6x 的准线方程为_____． 答案：32x =-解：因为抛物线的焦点在x 轴上，2p=6,那么其准线方程为32x =-7．已知复数z 满足11i z =-（i 为虚数单位），则z =___________． 答案：1i -【分析】根据复数的除法运算求解即可. 解：因为11i z =-， 所以11z i i-==-，即1z i =-. 故答案为：1i -8．设(1,2),(2,1)a b ==，则a 和b 的夹角大小为___________．（结果用反三角函数表示） 答案：4arccos5【分析】直接利用向量的坐标运算求出向量的数量积和向量的模，进一步利用夹角公式的应用求出结果.解：解：向量(1,2),(2,1)a b ==，所以4 cos555a ba bθ⋅===⨯，所以4arccos5θ=.故答案为：4arccos5.点评：本题主要考查向量的坐标运算、向量的夹角运算、向量的模，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.9．已知二项式612xx⎛⎫+⎪⎝⎭，则其展开式中的常数项为_________．答案：160【分析】写出二项式展开式的通项，令x的幂指数等于0，找到3r=，计算常数项即可.解：由二项式展开式()61612rrrrT C xx-+⎛⎫= ⎪⎝⎭为常数项，可知3r=，所以常数项为3362160C⋅=. 10．若实数x，y满足2030xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y=+的最大值为___________．答案：4【分析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果.解：不等式组2030xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由2z x y=+可得2y x z=-+，则z表示直线2y x z=-+在y轴的截距，由图像可得，当直线2y x z =-+过点C 时，在y 轴的截距最大，即z 有最大值；联立2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得()1,2C ，故max 224z =+=.故答案为：4.点评：方法点睛：该题主要考查求线性目标函数的最值，解题方法如下： （1）根据题意，画出约束条件画出其对应的可行域；（2）观察图形，找出最优解，联立方程组，求得最优解，代入目标函数求得最值.11．已知圆锥的底面半径为1θ的大小为_________． 答案：π【分析】圆锥的底面半径为12π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.解：圆锥的底面半径为12=， 即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长2l π=即为展开后所得扇形的弧长， 所以根据弧长公式可知22πθ=， 解得θπ= 故答案为：π12．方程cos2sin 0x x -=在区间[0,]π上的所有解的和为__________． 答案：π【分析】利用二倍角公式，将方程cos2sin 0x x -=，转化为22sin sin 10x x +-=求解. 解：方程cos2sin 0x x -=， 即为：22sin sin 10x x +-=， 解得1sin 2x =或sin 1x =-， 因为[0,]x π∈， 所以6x π=或56x ππ=， 所以方程在区间[0,]π上的所有解的和为π 故答案为：π13．已知函数()f x 的周期为2，且当01x <≤时，4()log f x x =，那么92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________． 答案：12-【分析】根据函数()f x 为周期函数，得91()22f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，代入函数4()log f x x =即可得解. 解：解：因为函数()f x 是周期为2的周期函数，所以91()22f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又当01x <≤时，4()log f x x =，所以142911lg 21lg 21()log 222lg 22lg 22f f --⎛⎫====⨯=- ⎪⎝⎭. 故答案为：12-点评：函数周期性的判定与应用：（1）判定:判断函数的周期只需证明()()(0)f x T f x T +=≠便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题（2）应用:根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则(kT k ∈Z 且0)k ≠也是函数的周期14．设数列{}n x 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，均有1n n S x +=-，则6S =___________． 答案：6364-【分析】由1n n S x +=-，利用数列通项和前n 项和的关系，求得数列是等比数列，然后利用前n 项和公式求解. 解：当1n =时，112x =-， 当2n ≥时，由1n n S x +=-， 得111n n S x --+=-， 两式相减得112n n x x -=， 又2112x x =，所以数列{}n x 是以12-为首项，以12为公比的等比数列，所以66111226316412S ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--=，故答案为：6364-15．设函数()sin 2cos2(,)f x a x b x a b R =⋅+⋅∈，给出下列的结论： ①当0,1a b ==时，()f x 为偶函数； ②当1,0a b ==时，(2)f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数；③当1a b ==-时，2x f ⎛⎫⎪⎝⎭在区间(2,2)ππ-上恰有3个零点；④当1a b ==时，设()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()t ϕ，最小值为()t ψ，则()()t t ϕψ-≤．则所有正确结论的序号是_________． 答案：①④【分析】①当0,1a b ==时，()cos 2f x x =，由偶函数的定义判断①正确；②当1,0a b ==时，(2)sin 4f x x =，由复合函数的单调性判断②错误；③当1a b ==-时，2sin()26xf x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，求得函数的零点判断③错误；④当1a b ==时，()2sin(2)6f x x π=+，令()()()4g t f t f t π=+-，求其最大值判断④正确.解：①当0,1a b ==时，()cos 2f x x =，定义域为R ，且()()f x f x -=，函数为偶函数，故①正确；②当1,0a b ==时，(2)sin 4f x x =，由0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4(0,)x π∈，则sin 4y x =在(0,)4π上不单调，故②错误；③当1a b ==-时，cos 2sin()26x f x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由2sin()06x π-=，即,,,66x k k Z x k k Z ππππ-=∈=+∈，则6x π=±，76x π=±，共四个零点，故③错误；④当1a b ==时，()2cos22sin(2)6f x x x x π=+=+，周期22T ππ==， 区间,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的长度为4π，即为14周期， 所以当区间,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递增区间或单调递减区间时，()()t t ϕψ-最大， 令()()()|2cos(2)2sin(2)|466g t f t f t t t πππ=+-=+-+ 5|)||)|6412t t πππ=++=+，即()()t t ϕψ-≤，故④正确； 故答案为：①④.点评：思路点睛：该题考查的是有关sin()y A x ωϕ=+型函数的图象与性质，解题思路如下： （1）首先根据题意，化简整理函数解析式；（2）结合函数解析式，根据相应正、余弦函数的性质，对照判断其正误； （3）在解题的过程中，化简函数解析式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键16．若定义在N 上的函数(),()f x g x 满足：存在0x N ∈，使得()()00f x g x <成立，则称()f x 与()g x 在N 上具有性质(,)P f g ，设函数1()2x a f x -=与3()g x x =，其中，0a >，已知()f x 与()g x 在N 上不具有性质(,)P f g ，将a 的最小值记为0a ．设有穷数列{}n b 满足[]()1101,1,504n n b b b n N n a *+==+∈≤⨯，这里[]0a 表示不超过0a 的最大整数．若去掉{}n b 中的一项t b 后，剩下的所有项之和恰可表为()2m m N *∈，则t mb+的值为_________．答案：2626【分析】问题可转化为()()f x g x ≥在N 上恒成立，令31()02x a z x x -=-≥在N 上恒成立，根据函数的单调性求出20a e =，从而求出n S ，再求出答案即可.解：因为()f x 与()g x 在N 上不具有性质(,)P f g ，所以()()f x g x ≥在N 上恒成立，令31()02x a z x x -=-≥在N 上恒成立，当21'()ln 302xz x a a x =⋅-=时，a 最小， 所以联立()0'()0z x z x =⎧⎨=⎩，得到2011ln 36x a x =+， 令21()36x h x x =+，则311'()32h x x=-， 当0,1x =时，'()0h x <，()h x 递减， 当2,3,4,x =时，'()0h x >，()h x 递增，所以117(1),(2)224h h ==，所以(1)(2)h h <， 当1x =时，20a e =，所以50473528n ≤⨯=，因为111,1n n b b b +==+，所以n b n =， 所以2(1)3528352922n t n n S b m +⨯==+=，2495.026==，取2495m =，则131t b =，所以131********t b m +=+=， 故答案为：2626.点评：方法点睛：该题考查的是有关函数恒成立问题，数列的应用以及转化思想，解题方法如下：（1）根据题意，将问题转化，将其转化为31()02x a z x x -=-≥在N 上恒成立，利用导数研究其单调性，得到最值，求得相应的参数值； （2）根据数列相关公式求得的n S ；（3）根据题意，建立相应的等量关系式求得结果. 三、解答题17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，T为1DD 上一点，已知12,4,2,6DT AB BC AA ====．（1）求直线TC 与平面ABCD 所成角的大小（用反三角函数表示）； （2）求点1C 到平面1ATC 的距离． 答案：（1）1arctan2（或5arcsin ）；（2）4217． 【分析】方法一（几何法）：（1）连结TC ，由已知可得直线TC 与平面ABCD 所成的角即为TCD ∠，解三角形可求得直线TC 与平面ABCD 所成角的大小.（2）运用等体积法可求得点1C 到平面1ATC 的距离. 方法二（向量法）：（1）如图，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系. 运用线面角的向量求解方法可求得直线TC 与平面ABCD 所成角的大小. （2）由点到面的距离的向量方法可求得点1C 到平面1ATC 的距离. 解：方法一：（1）连结TC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，因为1DD ⊥平面ABCD ，即TD ⊥平面ABCD ，所以直线TC 与平面ABCD 所成的角即为TCD ∠，在Rt TCD 中，由2DT =，4CD AB ==，可得1tan 2DT TCD CD ∠==， 又0,2TCD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，故1arctan 2TCD ∠=， 所以直线TC 与平面ABCD所成角的大小为1arctan2. （2）由已知可得125AT TC ==，1214AC =， 所以1121462212A TCS=⨯⨯=.又1164122TCC S =⨯⨯=. 设点1C 到平面1ATC 的距离为h .在长方体1111ABCD A B C D -中， 因为11A D ⊥平面11CDC D ，即11A D ⊥平面1TCC ， 再由1111C A TC A TCC V V --=得11111133A TC TCC S h S A D ⋅=⋅△△， 所以，11114217221TCC A TCSA D h S⋅===.即点1C 到平面1ATC 的距离为421.方法二：（1）如图，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系.由已知可得A (2，0，0)、B (2，4，0)、C (0，4，0)、D (0，0，0)、T (0，0，2)， 故()0,4,2TC =-，又平面ABCD 的一个法向量()0,0,1n =， 设直线TC 与平面ABCD 所成角的大小为θ，则2sin 4TC n TC nθ⋅===⋅0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，故arcsin θ= 所以直线TC 与平面ABCD 所成角的大小为arcsin5. （2）注意到1C (0，4，6)，1A (2，0，6)，及T (0，0，2)，C (0，4，0)，故()12,0,4AT =--，()0,4,2CT =-，()10,4,4C T =--， 设平面1ATC 的一个法向量为(),,m x y z =， 由已知，得100m AT m CT ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即240420x z y z --=⎧⎨-+=⎩，所以42x yz y =-⎧⎨=⎩，可取()4,1,2m =-，所以点1C 到平面1ATC的距离为107C T m m⋅⨯==即点1C 到平面1ATC . 点评：关键点点睛：利用法向量求解空间角和距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 18．已知函数()()1mf x x m R x =+∈-． （1）当1m =时，解不等式()1(1)f x f x +>+；（2）设[3,4]x ∈，且函数()3y f x =+存在零点，求实数m 的取值范围． 答案：（1）()(),01,-∞⋃+∞；（2）[]21,12--. 【分析】（1）本题首先可根据1m =得出()11f x x x =+-，然后将不等式转化整理为()10x x ->，通过计算即可得出结果；（2）本题可将当[]3,4x ∈时函数()3y f x =+存在零点转化为当[]3,4x ∈时方程()241m x =-++有解，然后令()()214g x x =-++，求出当[]3,4x ∈时函数的值域，即可得出结果.解：（1）当1m =时，()11f x x x =+-，1x ≠，不等式()()11f x f x +>+，即()11111x x x x⎛⎫+> ⎪⎝⎭+++-， 整理得111x x >-，1101x x->-，()101x x >-，()10x x ->，解得0x <或1x >， 故原不等式的解集为()(),01,-∞⋃+∞.（2）当[]3,4x ∈时，函数()3y f x =+存在零点， 即当[]3,4x ∈时，方程301mx x ++=-有解， 即当[]3,4x ∈时，方程()241m x =-++有解， 令()()214g x x =-++，当[]3,4x ∈时，函数()()214f x x =-++的值域为[]21,12--，故实数m 的取值范围为[]21,12--.点评：关键点点睛：本题考查不等式的解法以及根据零点所在区间求参数范围，主要考查一元二次不等式的解法以及利用函数值域求参数范围，能否将当[]3,4x ∈时函数()3y f x =+存在零点转化为当[]3,4x ∈时方程()241m x =-++有解是解决本题的关键，考查转化与化归思想，是中档题.19．设函数()sin()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的最小正周期为2π，且()f x 的图像过坐标原点．（1）求ω、ϕ的值；（2）在ABC 中，若2222()3()2()()()()f B f C f A f B f C f A +=⋅⋅+，且三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，试求()b f B C c⋅+的值．答案：（1）1ω=，0ϕ=；（2）1. 【分析】（1）由题意，利用22ππω=，()00f =，即可求解.（2）由2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A+=⋅⋅+，结合余弦定理可得：222sin cos 2b c A A bc bc+-=≥=，sin cos )4A A A π--≤，可得b =，可得34A π=，即可求出. 解：（1）依题意，可得22ππω=，所以1ω=，故()()sin f x x ϕ=+，因为()f x 的图象过坐标原点，所以()00f =，即sin 0ϕ=， 因为22ππϕ-<<，因此，0ϕ=.（2）由（1）得()sin f x x =，由已知，可得2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=⋅⋅+， 所以222232sin b c A bc a +=⋅+，再利用余弦定理，并整理得222sin cos 2b c A A bc+-=，因为2222222b c bc bc +≥=，所以sin cos 2A A -≥，又sin cos =2sin()24A A A π--≤，所以sin cos 2A A -=，且2b c =，34A π=，故()()2sin 2sin 1b f B C c B C A c c⋅+⋅+===.点评：本题考查了解三角形的内容，一般解三角形的基本策略为：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20．已知12,F F 分别为椭圆22:14xy Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的一点．（1）若点M 的坐标为(1,)(0)m m >，求12F MF △的面积；（2）若点M 的坐标(0,1)，且直线3()5y kx k R =-∈与Γ交于两不同点A 、B ，求证：MA MB ⋅为定值，并求出该定值；（3）如图，设点M 的坐标为(,)s t ，过坐标原点O 作圆222:()()M x s y t r -+-=（其中r 为定值，01r <<且||s r ≠）的两条切线，分别交Γ于点P ，Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k ．如果12k k 为定值，试问：是否存在锐角θ，使2||||5sec OP OQ θ⋅=⋅？若存在，试求出θ的一个值；若不存在，请说明理由． 答案：（1）32；（2）0MA MB ⋅=，证明见详解；（3）不存在. 【分析】（1）将点(1,)(0)M m m >代入求出2m =，再求出左、右焦点即可求解. （2）将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量数量积的坐标运算即可求解.（3）设出直线OP :1y k x =，直线OQ :2y k x =，利用点到直线的距离公式可得1k 、2k 是关于ξ的方程()222222220s rst t r ξξ--+-=的两实根，根据题意12k k 为定值，可得1214k k δ==-，5r =，设()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线OP :1y k x =，直线OQ :2y k x =与椭圆联立，求出52OP OQ ⋅≤，即求. 解：（1）由已知条件得22114m +=，因为0m >，所以2m =，又1F 、2F 的坐标分别为(，0)、0)， 因此，12F MF △的面积为13222⋅=. （2）设(),A A A x y ，(),B B B x y ，由221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得()222464410525k x kx +--=， 显然22566425k ∆=+>，且()()2224541642541A B A B k x x k x x k ⎧+=⎪+⎪⎨⎪⋅=⎪+⎩，又35A A y kx =-，35B B y kx =-，所以，()()()()26418,1,1255A A B B A B A B MA MB x y x y x x k k x x ⋅=-⋅-+-=++()()()2226482464105252541541k k k k k ⎡⎤⎢⎥=+⋅-⋅+=++⎢⎥⎣⎦， 即0MA MB ⋅=为定值.（3）满足25sec OP OQ θ⋅=的锐角不存在. 理由如下：因为直线OP :1y k x =与Mr =，即()222221120s rkstk t r --+-=，同理，由直线OQ :2y k x =与M 相切，可得()222222220s r k stk t r --+-=， 于是，1k 、2k 是关于ξ的方程()222222220s rst t r ξξ--+-=的两实根，注意到s r ≠，且2214s t +=，故222212222214s r t r k k s r s r⎛⎫-- ⎪-⎝⎭==--， 因12k k 为定值，故不妨设12k k δ=（定值），于是有222214s r s r δ--=-，即()2211104s r δδ⎛⎫⎡⎤++-+-= ⎪⎣⎦⎝⎭. 依题意可知，s 变化，而r 、δ均为定值，所以()2104110r δδ⎧+=⎪⎨⎪-+-=⎩，解得1214k k δ==-，5r =， 再设()11,P x y ，()22,Q x y ，由22114x y y k x⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2121221121114414x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩； 同理可得2222222222114414x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩.所以()()()()2222122222112222124144141414k k OP OQ x y x y k k ++⋅=++=⨯++()221211992544242424k k k k =+≤+=+⋅⋅++，即22254OP OQ ⋅≤，亦即52OP OQ ⋅≤，（※） 若锐角θ︒，使25sec OP OQ θ⋅=，则55sec 22OP OQ θ⋅=>，与（※）相矛盾. 因此，这样的锐角θ不存在.点评：关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出1214k k δ==-，r =52OP OQ ⋅≤，考查了分析能力、运算求解能力，综合性比较强，难度较大.21．若有穷数列{}n x ：12,,,n x x x 满足1,0i i i x x t x +≥+>（这里i ，,3,11n N n i n *∈≥≤≤-，常数0t >），则称又穷数列{}n x 具有性质()P t ． （1）已知有穷数列{}n x 具有性质()P t （常数12t ≥），且2132112n n n x x x x x x ---+-++-≤，试求t 的值； （2）设1222i i i a a t a t +=++-+-（,,3,11i n N n i n *∈≥≤≤-，常数2t >），判断有穷数列{}n a 是否具有性质()2P t -，并说明理由；（3）若有穷数列{}n y ：12,,,n y y y 具有性质(1)P ，其各项的和为20000，12,,,n y y y 中的最大值记为A ，当A N *∈时，求A n +的最小值． 答案：（1）12；（2）当10a ≤时，有穷数列{a n }不具有性质P （t ﹣2），当10a >时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2），证明过程见解析；（3）110.【分析】（1）根据有穷数列{x n }具有性质P （t ），可得（n ﹣1）t≤12n -，即可求出t 的值； （2）根据有穷数列{x n }具有性质P （t ）的定义，证明即可； （3）由已知可得A+n≥20003122n n +-，结合基本不等式即可求出． 解：（1）因为有穷数列{x n }具有性质P （t ），所以|x i+1﹣x i |＝x i+1﹣x i ≥t，即|x i+1﹣x i |≥t，（i ＝1，2，3，…n﹣1），再由已知条件可得(1)n t -≤|x 2﹣x 1|+|x 3﹣x 2|+…+|x n ﹣x n ﹣1|12n -≤， 即1(1)2n n t --≤， 而n≥3，所以12t ≤，又12t ≥，所以12t =； （2）当10a ≤时，有穷数列{a n }不具有性质P （t ﹣2）， 当10a >时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2），理由如下： 若10a ≤时，则有穷数列{a n }显然不具有性质P （t ﹣2），若10a >，则由t ＞2，可得a 2＝2|a 1+t+2|﹣|a 1+t ﹣2|＝2（a 1+t+2）﹣（a 1+t ﹣2）＝a 1+t+6，即a 2＝a 1+t+6，所以a 2＞a 1+t ﹣2，且a 2＞0，同理可得a 3＝a 2+t+6，（a 2＞0），则a 3＞a 3+t ﹣2，且a 3＞0， …一般地若a i ＝a i ﹣1+t+6，（a i ﹣1＞0），则a i ＞a i ﹣1+t ﹣2，且a i ＞0，于是a i+1＝2|a i +t+2|﹣|a i +t ﹣2|＝2（a i +t+2）﹣（a i +t ﹣2）＝a i +t+6，即a i+﹣1＝a i +t+6， 所以a i ＞a i ﹣1+t ﹣2，且a i ＞0，（仍有a i+1＞0i ，这里i 、n∈N，n≥3，1≤i≤n﹣1）， 因此当a 1＞0时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2）， 综上，当a 1≤0时，有穷数列{a n }不具有性质P （t ﹣2）， 当a 1＞0时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2），（3）由已知可得y n ﹣1≤y n ﹣1，y n ﹣2≤y n ﹣2，…，y 1≤y n ﹣（n ﹣1）， 故y 1+y 2+…+y n ＝ny n ﹣[1+2+…+（n ﹣1）]，即2000≤ny n ﹣(1)2n n -， 整理可得y n 2000122n n ≥+-， 显然y n ＝A ，于是有A+n 2000311222n n ≥+-≥=注意到A 110，所以A+n≥110，可取y1＝2，y i＝36+i，（i＝2，3，…，37），因此A+n的最小值为110．点评：关键点睛：解决本题的关键就是对题中所给的定义的理解，考查了推理论证能力，转化与化归能力，属于难题。

2020--2021学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：120分）一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2.将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝3．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则下列选项错误的是（）A．B．C．D．4．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A．18%B．20%C．36%D．40%5.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°6.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）A．4B．6.25C．7.5D．97．从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为（）A．B．C．D．8.若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y39.若二次函数的与的部分对应值如下表：x-2-10123y1472-1-2-1则当x=5时，y的值为（）A．-1B．2C．7D．1410.已知，则函数和的图象大致是（）A．B．C．D．二.填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）11.方程x2＝3x根为．12.关于x的一元二次方程（x+3）2＝m有实数根，则m的值可以为（写出一个即可）．13.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是m．14.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点A′落在直线BC上，连接AB′，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则AB′的长为．15.一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为．16.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是．17.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．④一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；上述结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）第14题第16题第17题三.解答题（一）（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）18.解方程：19.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．⑴画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的OA1B1，并写出点A1的坐标；⑵在⑴的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．19.如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长．三.解答题（二）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）21.如图，反比例函数和一次函数y＝kx﹣1的图象相交于A（m，2m），B两点．⑴求一次函数的表达式；⑵求出点B的坐标，并根据图象直接写出满足不等式＜kx﹣1的x的取值范围．22.甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示．若x+y为奇数，则甲获胜；若x+y为偶数，则乙获胜．⑴用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；⑵你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．23.新冠疫情期间，某网店以100元/件的价格购进一批消毒用紫外线灯，该网店店主结合店铺数据发现，日销量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价和日销售量的四组对应值如表：售价（元/件）150160170180日销售量（件）200180160140另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．注：日销售纯利润=日销售量×（售价-进价）-每日固定成本.（1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）日销售纯利润为（元），求出与的函数表达式；（3）当售价定为多少元时，日销售纯利润最大，最大纯利润是多少．三.解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）24.如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC，点Q是上的一点．⑴求证：BC是⊙O的切线；⑵已知∠BAO＝25°，求∠AQB的度数；⑶在⑵的条件下，若OA＝18，求的长．25．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB 上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E．⑴求抛物线解析式；⑵当点P运动到什么位置时，DP的长最大？⑶是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．惠城区2020--2021学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷答案一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.D2.B3.D4.B5.C6.A7.B8.C9.C10.A二.填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）11.0，312.略（m即可）13.1014.15.6π16.417.②③④三.解答题（一）（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）18.解：19.解：⑴如图所示，点A1的坐标是（1，﹣4）；……2分⑵∵点A（4，1），∴OA＝，∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：．……6分20.解：∵半径OC⊥弦AB于点D，∴＝，……2分∴∠E＝∠BOC＝22.5°，∴∠BOD＝45°，∴△ODB是等腰直角三角形，……4分∵AB＝2，∴DB＝OD＝1，∴OB＝……6分三.解答题（二）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）21.解：⑴∵A（m，2m）在反比例函数图象上，∴2m＝，∴m＝1，∴A（1，2）．……2分又∵A（1，2）在一次函数y＝kx﹣1的图象上，∴2＝k﹣1，即k＝3，∴一次函数的表达式为：y＝3x﹣1．……4分⑵由解得或，∴B（﹣，﹣3）……6分∴由图象知满足不等式＜kx﹣1的x的取值范围为﹣＜x＜0或x＞1．……8分22.解：树状图如图所示，……3分⑴共有16种等可能的结果数；……5分⑵x+y为奇数的结果数为8，x+y为偶数的结果数为8，∴P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，∴P（甲胜）＝P（乙胜），∴这个游戏对双方公平．……8分23.解：(1)(3分)设一次函数的表达式为y=kx+b，将点(150,250)，(160,180)代入上式得解得故y关于x的函数解析式为y=-2x+500.(2)（2分）由题意得：=y(x-100)-2000=(-2x+500)(x-100)-2000=-2x2+700x-52000(3)（3分），∵-2＜0，∴有最大值，∴当175(元/件)时，的最大值为9250（元）．三.解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）24.⑴证明：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠PBC，∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP，∵OC⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠OAP+∠APO＝90°，∴∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠CBO＝90°，∴BC是⊙O的切线；……4分⑵解：∵∠BAO＝25°，∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，∴∠AQB＝（∠AOP+∠POB）＝130°＝65°……7分⑶解：由⑵得，∠AQB＝65°，∴∠AOB＝130°，∴的长＝的长＝＝．……10分25.解：⑴∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3……2分⑵过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直线AB解析式为y＝x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝∵∴当时，DP的长最大此时，点P运动到坐标为（﹣，）.……6分⑶存在点P使△PDE为等腰直角三角形设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴对称轴为直线x＝﹣1∵PE∥x轴交抛物线于点E∴E、P关于对称轴对称∴﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t∴＝﹣2﹣t∴PE＝|﹣|＝|﹣2﹣2t|……8分∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t，如图(1)∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t，如图(2)∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时，使△PDE为等腰直角三角形．……10分图(1)图(2)备用图。

2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。

2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ．3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞0}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）已知复数z 满足z （1-i ）=4（i 为虚数单位），则|z|=___ ．6.（填空题，4分）在△ABC 中，若AB=2，∠B= 5π12 ，∠C= π4 ，则BC=___ ． 7.（填空题，5分）函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的反函数的定义域为___ ．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答）9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ．11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ． 13.（单选题，5分）若a 、b 是实数，则a ＞b 是2a ＞2b 的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为 (1282416) ，则该线性方程组的解的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.无数个D.不确定15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（ ） A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.317.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）18.（问答题，14分）已知函数 f (x )=sin (ωx +π6) （ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，若 f (A2)=1 ，求sinB+sinC 的取值范围．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点．（1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22 ）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x 3)=12h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．【正确答案】：[1] 12 【解析】：由 n 2n+1 = 12+1n，再利用极限运算法则即可得出．【解答】：解： lim n→∞n 2n+1 = lim n→∞12+1n= 12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了极限运算法则、乘法公式，属于基础题． 2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ． 【正确答案】：[1]16π【解析】：利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】：解：球的半径为2，所以球的表面积为：4πr 2=16π 故答案为：16π【点评】：本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题． 3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ． 【正确答案】：[1]y=1【解析】：由抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p2 =1，即可求得抛物线的准线方程．【解答】：解：抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p 2 =1， ∴抛物线的焦点坐标为（0，-1），准线方程：y=1， 故答案为：y=1．【点评】：本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|x2≤1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞0}，B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B=（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）已知复数z满足z（1-i）=4（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：直接利用复数的模的运算求出结果．【解答】：解：复数z满足z（1-i）=4，则z=41−i，所以|z|=4|1−i|=√2=2√2．故答案为：2 √2【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（填空题，4分）在△ABC中，若AB=2，∠B= 5π12，∠C= π4，则BC=___ ．【正确答案】：[1] √6【解析】：由三角形的内角和即B，C的值，求出A角的值，再由正弦定理可得边BC的值．【解答】：解：A=π−B−C=π−5π12−π4=π3，由正弦定理得ABsinC =BCsinA，所以BC=ABsinAsinC=2sinπ3sinπ4=√6．故答案为：√6．【点评】：本题考查正弦定理的应用，属于基础题．7.（填空题，5分）函数f（x）=1+log2x（x≥4）的反函数的定义域为___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）【解析】：直接利用反函数的定义域和值域的关系求出结果．【解答】：解：函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的值域为[3，+∞）， 故其反函数的定义域为[3，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：反函数的定义域与原函数的值域的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答） 【正确答案】：[1] 12【解析】：先求出展开式的通项公式，然后根据通项公式判断系数为有理数的情况的个数，再根据古典概率的求法艰苦求解．【解答】：解：因为 (x +√2)7展开式的通项为 T r+1=C 7r x 7−r(√2)r =C 7r 2r2x 7−r，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 而r∈[0，7]（r∈N ），故有r=0，2，4，6满足题意， 所以所求概率 P =48=12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了二项式定理的简单应用，涉及到古典概率的求法，属于基础题． 9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1][0，1]【解析】：由题意取EF 中点为，然后结合图形的性质和平面向量的运算法则即可求得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【解答】：解：取EF 中点为O ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO 2−OE 2 ， 因为正方形的边长为2，所以 AO =√2，OE ∈[1，√2] ， 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0，1] ．故答案为：[0，1]．【点评】：本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ． 【正确答案】：[1]S n =2n+1-2【解析】：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由 |an+1S n11|=2 变形可得a n+1-S n =2，令n=1和n=2可得a 2-S 1=a 2-a 1=2和a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，联立两式可得a 1、q ，由等比数列的前n 项和公式可得答案．【解答】：解：根据题意，数列{a n }为等比数列，设等比数列{a n }的公比为q ， 数列{a n }满足 |a n+1S n11|=2 ，则有a n+1-S n =2， 当n=1时，有a 2-S 1=a 2-a 1=2，即a 1q-a 1=2 ①当n=2时，有a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，即a 1q 2-（a 1+a 1q ）=2 ② 联立 ① ② 可得：a 1=2，q=2， 则数列{a n }的前n 项和为S n = a 1(1−q n )1−q =2n+1-2，故答案为：S n =2n+1-2．【点评】：本题考查等比数列的前n 项和，涉及数列的递推公式的应用，属于基础题． 11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 【正确答案】：[1] {1−2√22，1+2√22，2} 【解析】：由题意，转化为两个函数问题，即设 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ，作出图，即可求解实数a 的取值构成的集合．【解答】：解：由方程f （x ）=1，得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 令 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ， 则h （x ）=|x-a|+a 的顶点（a ，a ）在y=x 上，而y=x 与 g (x )=2x +1 的交点坐标为（2，2），（-1，-1），联立 {y =−x +2a y =2x +1 得x 2+（1-2a ）x+2=0，由Δ=（1-2a ）2-8=0，解得 a =1−2√22 或 1+2√22， 作出图象，数形结合，要使得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 则实数a 的取值范围是 a =1−2√22 或 1+2√22或2．故答案为 {1−2√22，1+2√22，2} ．【点评】：本题考查了方程有实根问题转化为有交点问题，数形结合思想，和作图的能力，属于中档题． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [√22，1)【解析】：首先利用直线和曲线的位置关系，求出直线的斜率的最小值，进一步求出结果．【解答】：解： 2√2a+√a 2+9b 25a+3b =2√2+√1+9(b a)25+3⋅b a，故可看作 A (3×ba，√1+9(b a)2) 与 B(−5，−2√2) 两点的斜率，其中点A 在y 2-x 2=1（x ＞0，y ＞0）上，故k AB 最小值在相切时取得， 设 y +2√2=k (x +5) ，联立 {y +2√2=k (x +5)y 2−x 2=1，消去y ，可得（k 2-1）x 2+2k （5k-2 √2 ）x+（5k-2 √2 ）2-1=0， 由Δ=26k 2-20 √2 k+7=0，解得 k 1=√22，k 2=713√2 （舍）当 ba →+∞时， k AB =2√2+√1+9(b a)25+3×b a →1，故 2√2a+√a 2+9b 25a+3b 的取值范围是 [√22，1) ． 故答案为： [√22，1) ．【点评】：本题考查的知识要点：基本不等式，关系式的变换，极限的求法，属于中档题．13.（单选题，5分）若a、b是实数，则a＞b是2a＞2b的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：根据题意，结合指数函数的性质，分析可得若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，由充分必要条件的定义即可得答案．【解答】：解：根据题意，因为y=2x是增函数，若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，则a＞b是2a＞2b的充要条件，故选：C．【点评】：本题考查充分必要条件的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．)，则该线性方程组的解的个数14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为(1282416为（）A.0个B.1个C.无数个D.不确定【正确答案】：C【解析】：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y即可．【解答】：解：该线性方程组可化为方程x+2y=8，故有无数组解；故选：C．【点评】：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（）A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 【正确答案】：D【解析】：利用平面的基本性质及推论可知A ，B 错误，D 正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选项C 错误．【解答】：解：对于选项A ：不共线的三点确定一个平面，故A 错误， 对于选项B ：由墙角模型可知，显然B 错误，对于选项C ：根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误，对于选项D ：因为a || b ，所以a 与b 唯一确定一个平面，设为平面α，又c 与a 和b 都相交，所以c 也在平面α内，即直线a 、b 、c 共面，故选项D 正确， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】：B【解析】： ① 由偶函数的定义，举例即可判断； ② 举例即可判断； ③ F （x ）的值域中不含负无理数，故可判断； ④ 根据函数零点即是方程的解，观察解的个数即可判断．【解答】：解： ① 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，所以f （1）=1，f （-1）=-1，所以f （x ）不是偶函数，故错误；② 因为f （3）=3＜f （ √5 ）=5，所以f （x ）在[0，+∞）不是增函数，故错误； ③ 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，显然F （x ）的值域中不含负无理数，故f （x ）的值域不为R ，故错误；④ g （x ）=f （x ）-a 的零点即x=a ，x 为有理数或x 2=a ，x 为无理数， 对于x=a ，x 为有理数，必有解x=a ，对于x 2=a ，x 为无理数，必有解x=± √a 或无解， 故g （x ）=f （x ）-a 有三个零点或一个，故正确； 故选：B ．【点评】：本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，函数的奇偶性和周期性，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2 ，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）【正确答案】：【解析】：（1）由V=S △ABC •A 1A ，即可得解；（2）易知∠MBC 或其补角即为所求，再在△MBC 中，由余弦定理求得cos∠MBC 的值，即可．【解答】：解：（1）∵ S △ABC =12×1×1=12 ， ∴V=S △ABC •A 1A= 12 ×4=2． （2）∵BC || B 1C 1，∴∠MBC 或其补角是异面直线BM 与B 1C 1所成的角， 在△MBC 中，BM=CM= √5 ，BC= √2 ，由余弦定理得，cos∠MBC= BM 2+BC2−CM22BM•BC= √1010，∴∠MBC=arccos √1010，故异面直线BM与B1C1所成的角为arccos√1010．【点评】：本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出异面直线的夹角是解题的额关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18.（问答题，14分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若f(A2)=1，求sinB+sinC的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由函数的最小正周期可得ω的值，进而求出函数的单调递增区间；（2）由（1）及f（A2）=1可得A的值，由三角形的内角和为π及A的值可得B用C的角表示，再由B的范围，求出sinB+sinC的取值范围范围．【解答】：解：（1）因为f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期为π，所以T=2πω=π，所以ω=2，f（x）=sin（2x+ π6），令2kπ- π2≤2x+ π6≤2kπ+ π2，k∈Z，解得：kπ- π3≤x≤kπ+ π6，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间是[kπ- π3，kπ+ π6]，k∈Z．（2）在△ABC中，若f(A2)=1，由（1）得，f(x)=sin(2x+π6)，所以sin(A+π6)=1因为0＜A＜π，所以A+π6=π2，解得：A= π3，即sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=32sinB+√32cosB=√3sin(B+π6)，因为0＜B＜2π3，所以π6＜B+π6＜5π6；所以12＜sin(B+π6)≤1，√32＜√3sin(B+π6)≤√3，所以sinB+sinC 的取值范围 (√32，√3] ．【点评】：本题考查三角函数的性质，三角形的角的求法，属于中档题．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）当1≤n≤6时，每月食材显然都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=16＞0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立，分两种情况，分别求出p 的最小值，再取较大者即可求出结果．【解答】：解：（1）当1≤n≤6时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=646×7-（-6×49+774×7-618）=16＞0，第7个月该食材够用， 所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立， ① 当1≤n≤6时，pn≥635n 恒成立，可得p≥635，② 当7≤n≤12时，pn≥-6n 2+774n-618恒成立，即 p ≥774−6(n +103n) 恒成立， 因为774-6（n+ 103n） ≤774−6×2√n •103n≈652.2，当且仅当n=103n，即n= √103 ≈10.15时，等号成立，又因为n∈N *，且n≤12，所以当n=10时， 774−6(n +103n) 的最大值为652.2，综上所述，p≥652.2，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点． （1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得椭圆的a ，b ，c ，可得焦距2c ；（2）设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，解方程可得m ，进而得到直线方程；（3）求得M 的坐标，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，运用向量的坐标运算，可得 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ，分别讨论M 在椭圆上和双曲线上，化简整理可得所求范围．【解答】：解：（1）由椭圆C 1： x 24+y 2 =1， 可得a=2，b=1，c= √a 2−b 2 = √3 ， 则椭圆C 1的焦距为 2c =2√3 ；（2）由k OQ = 12 ，设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx+2m 2-2=0， 由Δ=4m 2-8（m 2-1）=8-4m 2＞0，得 |m |＜√2 ， x A +x B =-2m ，x A x B =2m 2-2，所以|AB|= √1+14 • √(−2m )2−4(2m 2−2) = √5 • √2−m 2 ， 又Q 到直线l 的距离为 d =√52由 S △QAB =12d |AB |=|m |√2−m 2=1，m =±1 ，所以 l ：y =12x ±1 ；（3）由 { x 2+4y 2=4  x 2−y 2=1 ，解得 {x M =2√105 y M =√155 ，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，则 F 1(−√3 ， 0) ， F 2(√3 ， 0) ， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x ， −y) ， NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−x ， −y) ， 所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ；当点N 在曲线x 2+4y 2=4（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−3y 2 ， 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45 ，当y=0时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =1 ，所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， 1] ；当点N 在曲线x 2-y 2=1（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2−2 ； 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ；综上， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x3)=12 h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合非减函数的定义，即可得出答案．（2）根非减函数的定义，推出2≤x 1＜x 2≤4，则g （x 1）-g （x 2）≤0恒成立，即可得a 的取值范围．（3）由h（1）+h（0）=1，推出h（1）=1，h（13）=h（23）= 12，根据题意可得12≤h（x）≤ 12，推出∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，再结合由② 推出，h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020）的值．【解答】：解：（1）f1（x）不是，f2（x）是．因为f1（1）＞f1（2），则f1（x）不是[1，4]上的非减函数，f2（x）= {1，1≤x≤2 2，2＜x≤4，∀x1，x2∈[1，2]，且设1≤x1＜x2≤2，则f2（x1）=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1，x2∈（2，4]，且设2＜x1＜x2≤4，则f2（x1）=2x1-3＜2x2-3=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1∈[1，2]，∀x2∈（2，4]，则f2（x1）=1，f2（x2）=2x2-3＞1，显然满足f2（x1）≤f2（x2），综上所述，f2（x）是[1，4]上的非减函数．（2）∀x1，x2∈[2，4]，设2≤x1＜x2≤4，则g（x1）-g（x2）≤0，g（x1）-g（x2）=2 x1 + 2a2x1 -（2 x2 + 2a2x2）=2 x1 -2 x2 +（2a2x1 - 2a2x2）=2 x1 -2 x2 + 2a2x12x2（2 x2 -2 x1）=（2 x1 -2 x2）（1- 2a2x12x2）≤0，则∀x1，x2∈（2，4]，设2≤x1＜x2≤4，不等式1- 2a2x12x2≥0恒成立，即2a≤2 x1 2 x2，则a≤8．（3）h（1）+h（0）=1，所以h（1）=1，所以h（13）= 12h（1）= 12，h（23）=1-h（13）= 12，得出h（13）=h（23）= 12，∀x∈（13，23），因为函数h（x）在[0，1]上为非减函数，所以h（13）≤h（x）≤h（23），所以12≤h（x）≤ 12，得到∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，由② h（x3）= 12h（x）知，h（x）= 12h（3x），h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020），所以h（12020）= 1128．【点评】：本题考查函数的非减函数的定义，函数的单调性，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。