6--多项式运算

多项式的运算多项式是代数中的基本概念之一，它由常数、变量和指数幂的乘积组成。

在数学中，多项式的运算是解决代数问题的重要手段之一。

本文将介绍多项式的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法。

一、多项式的加法和减法多项式的加法和减法是最基本的运算，其操作规则比较简单。

1. 加法对于两个多项式的加法，只需要将相同次数的项的系数相加，保留相同的指数。

例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x^2 + 4x + 1将两个多项式相加得到：(A + B) = (3x^2 + 2x^2) + (5x + 4x) + (2 + 1)(A + B) = 5x^2 + 9x + 32. 减法多项式的减法与加法类似，只需将减数中各项的系数取相反数，然后按照加法的规则进行计算。

例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x^2 + 4x + 1将两个多项式相减得到：(A - B) = (3x^2 - 2x^2) + (5x - 4x) + (2 - 1)(A - B) = x^2 + x + 1二、多项式的乘法多项式的乘法是将两个多项式的每一项分别相乘，并将同类项合并。

例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x + 1将两个多项式进行乘法运算得到：(A * B) = (3x^2 * 2x) + (3x^2 * 1) + (5x * 2x) + (5x * 1) + (2 * 2x) + (2 * 1)(A * B) = 6x^3 + 3x^2 + 10x^2 + 5x + 4x + 2(A * B) = 6x^3 + 13x^2 + 9x + 2三、多项式的除法多项式的除法是将一个多项式除以另一个多项式，在实际计算中可采用长除法的方法进行。

例如：被除多项式：6x^3 + 16x^2 + 9x + 2除数多项式：2x + 1进行除法运算得到：3x^2 + 7x + 1____________________2x + 1 | 6x^3 + 16x^2 + 9x + 2- (6x^3 + 3x^2)_______________13x^2 + 9x + 2- (13x^2 + 6.5x)______________2.5x + 2- (2.5x + 1.25)___________0.75通过长除法运算可以得到商多项式为：3x^2 + 7x + 1，余数为0.75。

初一六次多项式的因式分解例题题目：初一六次多项式的因式分解例题一、初一六次多项式的概念初一六次多项式是指最高次幂为6的多项式，一般形式为ax^6 +bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx + g。

初一六次多项式的特点是其最高次幂为6，其中a、b、c、d、e、f、g为常数项。

二、初一六次多项式的因式分解例题我们以一个具体的例题来演示初一六次多项式的因式分解：例题：将6x^6 - 11x^5 + 6x^4 + 9x^3 - 4x^2 - 9x + 2进行因式分解。

步骤一：因式分解的第一步是要尝试提取公因式，观察多项式中各项的系数，尝试找出它们的公因式。

在这个例子中，我们可以提取出公因式x-1，得到(x-1)(6x^6 - 5x^5 + 6x^4 + 9x^3 - 4x^2 - 9x + 2)。

步骤二：接下来，我们需要对括号中的多项式进行进一步的因式分解。

为了简化计算，我们可以利用常见多项式的因式公式进行分解，或者采用其他因式分解的方法。

在这个例子中，我们可以通过分组法或其他方法，将多项式进一步分解为两个或多个一次或二次多项式的乘积。

步骤三：继续对得到的一次或二次多项式进行因式分解，直到无法再进行因式分解为止，即得到多项式的全部因式分解式。

三、初一六次多项式因式分解的重要性初一六次多项式的因式分解是代数学中非常重要的一部分，它可以帮助我们更好地理解多项式的结构和性质，进一步提高我们的代数运算能力。

通过因式分解，我们可以简化复杂的多项式表达式，找到多项式的根和零点，解决方程和不等式，求出多项式的最值和极值点等问题，为数学问题的求解提供了便利和方法。

四、个人观点和理解初一六次多项式的因式分解是一项需要耐心和技巧的任务，但掌握了因式分解的方法和技巧，就可以轻松解决复杂的代数问题。

我认为初一六次多项式的因式分解是非常重要的，它不仅可以帮助我们更好地理解代数知识，还可以提高我们的数学解题能力。

多项式的运算规则汇总
1. 加法运算规则
多项式的加法运算规则如下：
- 同类项相加，系数相加得到新的系数；
- 不同类项之间无法进行加法运算。

2. 减法运算规则
多项式的减法运算规则如下：
- 注意减法是对减数的每一项取相反数，然后进行加法运算；
- 同类项相减，系数相减得到新的系数；
- 不同类项之间无法进行减法运算。

3. 乘法运算规则
多项式的乘法运算规则如下：
- 按分配律展开，将每个项分别与另一个多项式的每一项进行乘法运算，然后将同类项相加；
- 同类项的系数相乘得到新的系数；
- 不同类项之间无法进行乘法运算。

4. 除法运算规则
多项式的除法运算规则如下：
- 仅当被除数的次数不小于除数的次数时，才能进行除法运算；
- 使用长除法法则进行计算，逐步计算每个系数。

5. 降幂法则
降幂法则是对多项式进行处理时的常用策略，其主要目的是将
多项式按照幂次递减的顺序排列。

6. 升幂法则
升幂法则是对多项式进行处理时的常用策略，其主要目的是将
多项式按照幂次递增的顺序排列。

7. 特殊运算规则
多项式的特殊运算规则包括幂运算、取系数运算等，根据具体
的运算要求进行处理。

以上是多项式的运算规则汇总，理解和熟练掌握这些规则对于
进行多项式运算非常重要。

数字与代数式的运算规则一、数字的运算规则1.1 加法运算：两个数相加，结果为它们的和。

1.2 减法运算：两个数相减，结果为它们的差。

1.3 乘法运算：两个数相乘，结果为它们的积。

1.4 除法运算：两个数相除，结果为它们的商。

1.5 乘方运算：一个数自乘若干次，结果为它的幂。

1.6 分数运算：分数的加减乘除法，同分母分数相加减，异分母分数相加减需通分，分数与整数相乘相当于分子乘以整数，分数与整数相除相当于分子除以整数。

二、代数式的运算规则2.1 代数式的加减法：同类型代数式相加减，只需将它们相应的系数相加减，变量部分保持不变。

2.2 代数式的乘除法：同类型代数式相乘除，只需将它们相应的系数相乘除，变量部分保持不变。

2.3 代数式的乘方：对代数式进行乘方运算时，先对系数进行乘方运算，再对变量进行乘方运算。

2.4 代数式的乘除以多项式：代数式乘以多项式，相当于代数式分别乘以多项式的每一项；代数式除以多项式，相当于代数式分别除以多项式的每一项。

2.5 代数式的乘除以单项式：代数式乘以单项式，相当于代数式乘以单项式的系数，变量部分保持不变；代数式除以单项式，相当于代数式除以单项式的系数，变量部分保持不变。

2.6 合并同类项：将含有相同变量的同类项合并，合并时只需将它们的系数相加减，变量部分保持不变。

2.7 代数式的化简：化简代数式，就是将其中的同类项合并，并去掉多余的括号。

2.8 代数式的求值：求代数式的值，就是将代数式中的变量替换为具体的数值，进行计算。

三、运算顺序3.1 同级运算从左到右依次进行。

3.2 乘方运算优先于乘除运算。

3.3 乘除运算优先于加减运算。

3.4 含有括号的运算，先计算括号内的运算。

3.5 函数运算，先计算函数内的运算。

四、运算定律4.1 交换律：加法交换律、乘法交换律。

4.2 结合律：加法结合律、乘法结合律。

4.3 分配律：乘法分配律。

4.4 恒等律：加法恒等律、乘法恒等律。

4.5 相反数律：一个数的相反数加上它等于零。

初中数学多项式的四则运算公式定理1 单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法(包括乘方)运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式单项式中的数字因数叫做这个单项式(或字母因数)的数字系数,简称系数当一个单项式的系数是1或-1时,〝1〞通常省略不写一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数如果在几个单项式中,不管它们的系数是不是相同,只要他们所含的字母相同,并且相同字母的指数也分别相同,那么,这几个单项式就叫做同类单项式,简称同类项所有的常数都是同类项12 多项式有有限个单项式的代数和组成的式子,叫做多项式多项式里每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项,叫做常数项单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减,而单项式中的字母的乘方指数不变在多项式中,所含的不同未知数的个数,称做这个多项式的元数经过合并同类项后,多项式所含单项式的个数,称为这个多项式的项数所含个单项式中最高次项的次数,就称为这个多项式的次数13 多项式的值任何一个多项式,就是一个用加、减、乘、乘方运算把数和未知数连接起来的式子14 多项式的恒等对于两个一元多项式f(x)、g(x)来说,当未知数x同取任一个数值a时,如果它们所得的值都是相等的,即f(a)=g(a),那么,这两个多项式就称为是恒等的记为f(x)==g(x),或简记为f(x)=g(x) 性质1 如果f(x)==g(x),那么,对于任一个数值a,都有f(a)=g(a) 性质2 如果f(x)==g(x),那么,这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等15 一元多项式的根一般地,能够使多项式f(x)的值等于0的未知数x的值,叫做多项式f(x)的根2 多项式的加、减法,乘法21 多项式的加、减法22 多项式的乘法单项式相乘,用它们系数作为积的系数,对于相同的字母因式,那么连同它的指数作为积的一个因式3 多项式的乘法多项式与多项式相乘,先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项,再把所得的积相加23 常用乘法公式公式I 平方差公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差公式II 完全平方公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2两数(或两式)和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们积的2倍3 单项式的除法两个单项式相除,就是它们的系数、同底数的幂分别相除,而对于那些只在被除式里出现的字母,连同它们的指数一起作为商的因式,对于只在除式里出现的字母,连同它们的指数的相反数一起作为商的因式一个多项式处以一个单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。

线性代数应该这样学6：积空间，商空间，多项式在本系列中，我的个⼈见解将使⽤斜体标注。

每篇⽂章的最后，我将选择摘录⼀些例题。

由于⽂章是我独⾃整理的，缺乏审阅，难免出现错误，如有发现欢迎在评论区中指正。

⽬录Part 1：积空间积空间与和空间都是把多个向量空间联系在⼀起的⼯具，最后也会给出它们的联系。

向量空间的积(product of vector spaces) 设V1,⋯,V m都为F上的向量空间，规定它们的积为V1×⋯×V m={(v1,⋯,v m):v1∈V1,⋯,v m∈V m}.⼜被称为笛卡尔直积，在规定了向量空间积上的加法、标量乘法后，向量空间的积空间也成为向量空间。

V1×⋯×V m上的加法：(u1,⋯,u m)+(v1,⋯,v m)=(u1+v1,⋯,u m+v m).V1×⋯×V m上的乘法：λ(v1,⋯,v m)=(λv1,⋯,v m).要把积空间上的元素与m元组区分开。

m元组中每⼀个分量都是F上的数，积空间上的元素每⼀个分量都是V i(F)上的向量，因此⼆者的维数是不同的。

积的维数等于维数的和设V1,⋯,V m都是有限维向量空间，则V1×⋯×V m都是有限维的，且dim(V1×⋯×V m)=dim V1+⋯+dim V m.证明这个结论，只需要找到V1×⋯V m的⼀组基即可。

设e i,k是V i上的第k个基向量，则,⋯,0)(e1,1,⋯,0)⋯(e1,dim V1⋮⋮)(0,⋯,e m,1)⋯(0,⋯,e m,dim Vm以上向量阵中第i⾏拥有dim V i个元素，且容易证明它们线性⽆关、张成V1×⋯×V m，所以是积空间的⼀组基。

积空间与和设U1,⋯,U m都是V的⼦空间，线性映射Γ:U1×⋯×U m→U1+⋯+U m定义为Γ(u1,⋯,u m)=u1+⋯+u m,则U1+⋯+U m是直和当且仅当Γ是单射。

初中数学多项式的运算多项式是数学中一个非常重要而且广泛应用的概念。

它可以用于表示各种各样的数学关系和函数，从而解决实际问题。

多项式的运算是学习数学的基础，本文将介绍多项式的基本运算和相关概念。

一、多项式的定义和基本概念多项式由常数项、一次项、二次项等按照一定规则排列组合而成。

它的一般形式可以表示为：$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，其中$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$为常数，$x$为变量，$n$为非负整数，$n$称为多项式的次数，$a_n$称为多项式的首项系数。

二、多项式的加法和减法多项式的加法和减法是最基本的运算。

对于两个多项式$P(x)$和$Q(x)$，它们的加法运算可以表示为：$P(x)+Q(x)=(a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+...+(a_1+b_1)x+(a_0+b_0)$。

减法运算可以表示为：$P(x)-Q(x)=(a_n-b_n)x^n+(a_{n-1}-b_{n-1})x^{n-1}+...+(a_1-b_1)x+(a_0-b_0)$。

在进行加法和减法运算时，需要将同类项进行配对，并根据指数规则进行合并。

三、多项式的乘法多项式的乘法是将两个多项式相乘得到一个新的多项式。

对于两个多项式$P(x)$和$Q(x)$，它们的乘法运算可以表示为：$P(x) \cdotQ(x)=a_m \cdot b_n \cdot x^{m+n}+...+a_1 \cdot b_1 \cdot x^2+a_1 \cdotb_0 \cdot x+a_0 \cdot b_0$。

在进行乘法运算时，需要将每一项按照指数大小排列，并根据指数规则进行合并。

四、多项式的除法多项式的除法是将一个多项式除以另一个多项式得到商式和余式。

对于一个多项式$P(x)$除以一个非零多项式$Q(x)$，可以表示为：$P(x) = Q(x) \cdot g(x) + R(x)$，其中$g(x)$为商式，$R(x)$为余式。

又例如，2()21f x x ，3()3 1.g x x x因为()f x 与()g x 除去零次多项式外没有其他的公因式，则((),())1f x g x ，即()f x 与()g x 是互质的。

（2）能同时被非零多项式()f x 与g (x )整除的多项式中，次数最低的多项式称为()f x 与 g (x )的最低公倍式. 显然，()()((),())f xg x f x g x 是()f x 与g (x )的最低公倍式，把它们记为[(),()]f x g x ，即[(),()]f x g x ＝()()((),())f xg x f x g x这个关系类似于整数中的最小公倍数与最大公约数的关系.（3）若((),())f x g x ＝1，则称分式()()f xg x 为既约分式或最简分式. 分式运算的结果都要化为既约分式.（4）与分数类似，分式的基本性质是： ① ()()f x g x ＝()()()()f x h x g x h x (h (x )≠0)； ②()()f x g x ＝()()()()f x h xg xh x (h (x )≠0)， 即分子、分母同乘以(或除以)一个非零多项式，分式的值不变.这个性质是分式进行约分与通分的基础.二、综合除法综合除法是多项式除法运算的一种简便算法，实质上它是分离系数法通过变形发展的结果.设()f x 与g (x )为多项式，且()f x 的次数不低于g (x )的次数，而g (x )≠0，当()f x 除以g (x )得商q (x )和余式r (x )时，有()()f x g x ＝q(x )＋()()r x g x （1） 或 ()f x ＝g (x )×q (x )＋r (x ) （2） 成立. 其中q (x )的次数是()f x 与g (x )的次数的差，r (x )的次数低于g (x )的次数. 易得（2）式中q (x )与r (x )唯一存在.显然，当()f x 能够被g (x )整除时，r (x )＝0.注意：多项式除以多项式时，被除式与除式都要按降幂排列，凡缺项都要用“0”补上. 为了说明综合除法，先看我们已经学过的长除法.例1 求()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋15除以g (x )＝x －2的商及余式. 解2x 4＋5x 3－24x 2＋0＋15－) 2x 4－4x 3x －22x 3 ＋ 9x 2－6x －129x 3－24x 2－) 9x 3－18x 2（商 式）－6x 2＋0 －) －6x 2＋12x－12x ＋15 －) －12x ＋24－9 （余 式）故()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋15除以g (x )＝x －2的商式q (x )＝2x 3＋9x 2－6x －12，余式r (x )＝－9.我们可以看到，多项式除法运算和乘法运算一样，最关键的是各项系数的运算. 因而也可以用分离系数法将上式写成：2 ＋5 －24 ＋0 ＋15－) 2 －41 －22 ＋9 －6 －129 －24－) 9 －18（商 式） －6 ＋0－) －6 ＋12－12 ＋15 －) －12 ＋24－9 （余 式）所以()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋15除以g (x )＝x －2的商式q (x )＝2x 3＋9x 2－6x －12，余式r (x )＝－9.显然，分离系数法比长除法简单. 为了使除法格式书写更简单一些，我们进一步讨论被除式、除式、商式以及余式间的系数关系.设多项式121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a (a n ≠0)除以x －a 所得的商是121210()n n n n q x b x b x b x b (1n b ≠0)余数是r .下面用待定系数法来确定q (x )中的系数与余数r . 由（2）式得()f x ＝(x －a )×q (x )＋r （3） 即 121210n n n n n n a x a x a x a x a121210()()n n n n x a b x b x b x b r1121010()()()n n n n n n b x b ab x b ab x r ab因为上式为恒等式，两边x 的同次项系数相等，即a n ＝1n b121n n n a b ab………… a 1＝b 0－ab 1 a 0＝r －ab 0于是有1n b ＝a n2n b ＝11n n a ab………… b 0＝a 1＋ab 1 r ＝a 0＋ab 0把这一计算过程列成竖式为a n 1n a … a 1 a 0 ＋） 1n ab … ab 1 ab 0a（4）1n b 1n a ＋1n ab … a 1＋ab 1 a 0＋ab 0↓ ↓ ↓ ↓1n b 2n b … b 0 r例如，求()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋15除以g (x )＝x －2的商及余数. 先把()f x 按x 降幂排列，并用“0”补上缺项，即()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋0＋15由此确定（4）式中第一行各项的系数依次是2, 5,24 , 0, 15. 再由x －2确定a ＝2，于是由（4）式得2 ＋5 －24 0 ＋15＋4 ＋18 －12 －24 22 ＋9 － 6 －12－ 9因此，所求的商为2x 3＋9x 2－6x －12，余数为－9. 用算式（4）进行的除法，叫做综合除法.例2 用综合除法计算：(x 3＋8x 2－2x －14) (x ＋1). 解1 ＋8 －2 －14－1 －7 ＋ 9 －11 ＋7 －9－ 5于是所求的商式为x 2＋7x －9，余数是－5.如果g (x )＝kx －b (k ≠0)，可先将除式变形为kx －b ＝k b x k用综合除法求出()f x 除以b x k的商q *(x )和余式r *. 它们满足关系式：()f x ＝q *(x )b x k＋r *，即()f x ＝1k q *(x )(kx －b )＋r *把这个式子与()f x ＝q (x )(kx －b )＋r 相比较，得q (x )＝1kq *(x )， r ＝r * 以上说明，当除式为kx －b 时，可先用b x k 除被除式()f x . 若bx k除()f x 所得的商与余式依次为q *(x )与r *，则kx －b 除()f x 所得的商与余式就分别是q *(x ) k 与r *. 一般地，在多项式除法中，如果把除式缩小k 倍，则所得的商就扩大k 倍，但余式不变.例3 用综合除法求()f x 除g (x )的商q (x )及余数r ，其中()f x ＝6x 3＋13x 2＋27x ＋15， g (x )＝3x ＋2解 因为g (x )＝3x ＋2＝323x，于是6 ＋13 ＋27 ＋15－4 －6 －14－233 6 ＋9 ＋21＋12 ＋3 ＋7所以q (x )＝2x 2＋3x ＋7，r ＝1.对于除式高于一次多项式时，仍可以类似进行，只不过书写较为复杂. 例如，计算(2x 4－7x 3＋16x 2－15x ＋15) (x 2－2x ＋3)因为除式的首项系数是1，只改变除式第二、三项系数的符号，运算可简写为2 －7 ＋16 －15 ＋15＋4 －6－6 ＋9＋） ＋8 －12＋2 －32 －3 ＋4＋2 ＋3于是所求的商式为2x 2－3x ＋4，余式为2x ＋3.例4 用综合除法求：(6a 5＋5a 4b －8a 3b 2－6a 2b 3－6ab 4＋b 5) (2a 3＋3a 2b －b 3)解 因为(2a 3＋3a 2b －b 3)＝23233122a a b b，于是6 ＋5 －8 －6 －6 ＋1－9 ＋0 ＋3＋6 ＋0 －2＋3 ＋0 －1 －32＋0＋1226 －4 －2 ＋0 －8 ＋03 －2 －1所以q ＝3a 2－2ab －b 2，r ＝48.ab三、分式的运算与分数相似，分式也具有以下运算法则，其中()f x , g (x ), h (x ), k (x ), m (x ), n (x )都是多项式，且g (x ), h (x ), k (x )都不为0.（1）符号法则：()()f x g x ＝()()f x g x ＝－()()f x g x ＝－()()f xg x （2）加、减运算法则：()()f x h x ()()g x h x＝()()()f xg xh x ()()f x h x ()()g x k x ＝()()[(), ()]f x m x h x k x ()()[(), ()]g x n x h x k x ＝()()()()[(), ()]f x m xg x n xh x k x 其中m (x )h (x )＝n (x )k (x )＝[h (x ), k (x )].（3）乘、除运算法则：()()f x g x()()h x k x ＝()()()()f x h xg x k x ()()f x g x ()()h x k x ＝()()f x g x()()k x h x ＝()()()()f x k xg xh x （4）乘方法则：()[()]()[()]nnnf x f xg x g x()()()()[()][()]()()()()[()][()]n n nn nn n f x h x f x h x f x h x g x k x g x k x g x k x其中n N .（5）繁分式化解.若一个分式的分子或分母中含有分式，则称这个分式是繁分式. 化简繁分式就是要把它的分子和分母都化成整式. 通常可用分式的基本性质或分式的除法来化简.例5 计算下列各题： （1）2x －23242x x x ＋122x －242(1)x x x ； （2）2222a b a ab b － 33a b a b . 解 （1）原式＝2222(1)(3)(1)2(21)22(1)x x x x x x x x＝22442(1)x xx x ＝24(1)2(1)x x x x ＝21x .（2）原式＝22a b a ab b 22a b a ab b ＝24224()a b a a b b . 例6 化简：2222(1)(1)11(1)2(1)1111x x x x x x x x. 解 这是一个繁分式，可先把其分子、分母分别化简后，再进行除法运算. 但仔细观察式子的特点，就会看出分子、分母都是完全平方式，所以可以直接写成完全平方，再进行除法.原式＝222222111(1)1(1)1(1)11(1)1x x x x x x x x例7 已知a ＋b ＋c ＝0，求证：2222222221110b c a c a b a b c证明 由a ＋b ＋c ＝0知，a 2＝(b ＋c )2，于是2222221112()bc b c a b c b c 同理222112ac c a b ， 222112ab a b c把以上三式相加，并再次应用a ＋b ＋c ＝0，得222222222111b c a c a b a b c111222bc ac ab 2a b c abc ＝0所以 2222222221110b c a c a b a b c 习题 2-31. 用综合除法求()f x 除以()g x 的商式q 和余式r . （1）2()5412f x x x ，()2g x x ；（2）5432()3456f x x x x x x ，()1g x x ； （3）8()1f x x ，()1g x x ；（4）23()62921f x x x x ，()32g x x ； （5）3223()32f x x ax a x a ，()32g x x a ； （6）42()3561f x x x x ，2()34g x x x .2. 试把多项式3231013x x 表示成关于(2)x 的三次多项式.3. 试用综合除法求出下列各题中的,,,a b c d . （1）2221(1)(1)x x a x b x c ；（2）3232648(1)(1)(1)x x x a x b x c x d ； （3）32323810(2)(2)(2)x x a x b x c x d . 4. 化简下列分式：（1）2291487x x x x ； （2）22222222a b c ab a b c bc ；（3）323261161282718x x x x x x .5. 判断323211x x x x x x 是不是最简分式，为什么？6. 计算：（1）222111325643x x x x x x ；（2）222()6()()()()()()a b ab a b a b b c b a b c a b c b； （3）2222)26(12()a x x y m n m n m n x y m n； （4）22918(69).3x x x x x7. 化简下列各式：（1）2112111x x x x x； （2）11111111a.8.（1）已知2, 1a b ，求221a a b a a b a b a b的值； （2）已知12, 3x y ，求2222412916494(23)x xy y x y x y 的值.9.（1）若111, 1a b b c ，求证：10abc ； （2）若, , y x z y x za b c x z y x z y ，求证：()()()8a b c a b c a b c .10. 若a b b c c ax y z，且,,a b c 互不相等，求证：0x y z . 第四节 部分分式部分分式是分式运算和变形的重要内容，在高等数学中有着重要的应用. 如果一个有理分式的分子的次数小于分母的次数，则这个有理式分式叫做真分式；反之，就叫做假分式.利用多项式除法，总可以把一个假分式化成一个整式与一个真分式的和，且这种表示法是唯一的.因为假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和的形式，所以我们只研究真分式的情形就可以了.以往我们都是通过分式的加、减、乘、除等运算，把几个不同的分式转化为一个既约分式，但在很多实际问题中，却要求把一个真分式分解为几个真分式的代数和的形式. 例如，5321(31)(1)311x x x x x其中两个是比较简单的真分式，叫做原分式53(31)(1)x x x 的部分分式.定义 4.1（部分分式） 由一个真分式分解成几个真分式的代数和，这几个分式中的每一个真分式叫做原分式的部分分式或分项分式.由前面做分式加法的经验，再注意到(31)x 和(1)x 互质，可以知道，它们的最低公倍式是(3x －1)(x －1)，所以53(31)(1)x x x 一定是这样两个真分式31a x 与1b x 的和，即设53(31)(1)311x a bx x x x （1）其中a , b 是待定常数. 去分母，得53(1)(31)x a x b x于是有 53(3)()x a b x a b （2） 比较两边同次项的系数，得353a b a b所以2, 1.a b 把2, 1a b 代入（1）式，得5321(31)(1)311x x x x x这种求部分分式的方法称为待定系数法. 也可以这样来解：因为（2）式是恒等式，x 可以取任意值，令1x ，代入恒等式（2），得1b ；再令13x ，代入（2）式，得a ＝2. 所以5321(31)(1)311x x x x x这种求部分分式的方法称为数值代入法.例1 化分式43322132x x x x x x为部分分式.解 原分式为假分式，应先化为带分式，即43232322131(1)3232x x x x x x x x x x x x231(1)(1)(2)x x x x x x设 231(1)(2)12x x a b cx x x x x x去分母得231(1)(2)(2)(1)x x a x x bx x cx x下面用数值代入法求a , b , c . 令0,x 得112a ，12a； 1,x 得131(1)(12)b ，1b ；2,x 得461(2)(21)c ，1.2c所以 433221111(1)32212(2)x x x x x x x x x x例2 化分式23211x x 为部分分式.解 因为321(1)(1)x x x x ，故设23221111x a bx cx x x x 于是 2221(1)()(1)x a x x bx c x 即 2221()()x a b x a b c x a c 比较两边同次项系数，得201a b a b c a c解这个方程组，得1, 1, 0.a b c 所以232211111x xx x x x 例3 化分式2225(2)(12)x x x x 为部分分式.解 类比于例2，原式可设为212(2)ax e cxx ，但由于 2222(2)(2)(2)(2)2(2)(2)(2)2(2)ax e ax a a e a x a e a a ex x x x x而2a e 为常数，令2a e b ，于是可设22225(2)(12)2(2)12x x a b cx x x x x即 2225(2)(12)(12)(2)x x a x x b x c x以2x 代入上式，得53b ；以12x 代入上式，得179c .为了求得a ，比较上式两边2x 的系数，得12a c . 将179c代入上式，得49a . 所以 222254517(2)(12)9(2)3(2)9(12)x x x x x x x例4 化分式2321(1)x x x 为部分分式.解 把分子展开为关于1x 的二次多项式，即2221(1)(1)[(1)](1)x x a x b x c a x b x c由此可看出，连续作综合除法，就可求出,,.a b c2 －1 ＋1＋2 ＋1 12 ＋1＋2……………c＋22 ＋3…… ba所以 22212(1)3(1)2x x x x因此 223323212(1)3(1)2232(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x x x此题也可设232321(1)1(1)(1)x x a b cx x x x然后用待定系数法求,,,a b c 但计算较繁.例5 用综合除法化分式32225(1)x x x x x 为部分分式.解 根据多项式的综合除法，有1 ＋1 ＋1 ＋5＋1 －1＋2 －21－11 ＋2＋2 ＋3即 3225(2)(1)(23)x x x x x x x 在上式两边同除以22(1)x x ，得32222225223(1)1(1)x x x x x x x x x x x此题也可先设32222225(1)1(1)x x x ax b cx dx x x x x x然后用待定系数法求解.例6 化分式2225416(1)(3)x x x x x 为部分分式.解 设22222254163(1)(3)1(1)x x ax b cx d ex x x x x x x x于是5x 2－4x ＋16＝222()(1)(3)()(3)(1)ax b x x x cx d x e x x （3）令3x ，代入（3）式，得e ＝1.把e ＝1代入（3）式，再把22(1)x x 移到左边，整理得43222215x x x x 2()(1)(3)()(3)ax b x x x cx d x （4）（4）式两边同时除以(3)x ，得3225()(1)()x x x ax b x x cx d （5）（5）式两边同时同除以2(1)x x ，得22232()11x cx dx ax b x x x x（6）比较（6）式两边同次项的系数，得1,a 2,b 2,c 3d . 所以22222254162231(1)(3)1(1)3x x x x x x x x x x x x综合以上各例，可归纳出以下结论：如果多项式()g x 在实数集内能分解成一次因式的幂与二次质因式的幂的乘积，即220()()()()()g x b x a x b x px q x rx s其中2240, , 40,p q r s 则真分式()()f xg x 可以分解成如下部分分式之和：1211211122221211222212()()()() ()() ()() ()()A A A f x g x x ax a x a B B B x b x b x b M x N M x N M x N x px q x px q x px qR x S R x S R x S x rx s x rx s x rx s（7）其中111111A A B B M M N N R R S S ，, ，, , ，, , ，, , ，, , ，, 都是常数.在（7）式中应注意以下两点：（1）如果分母()g x 关于()x a 的最高因式为(),k x a 则分解后有下列k 个部分分式 之和：121()()k k k A A A x a x a x a其中12,,,k A A A 都是常数.（2）如果分母()g x 关于2()x px q 的最高因式为2()k x px q ，其中240,p q 则分解后有下列k 个部分分式之和：11222212()()k k k k M x N M x N M x N x px q x px q x px q其中11,,,,,k k M M N N 都是常数.对于某些分式，也可用视察法把它分解为部分分式. 例如，1111;()()1;()()x a x b a b x a x b x a b x a x b a b x a x b22223222244414(4)(4)(4)4x x x x xx x x x x x x x x x； 22222(2)424;(2)(2)2(2)x x x x x x2222222(44)444(2)44411.(2)(2)(2)(2)2(2)x x x x x x x x x x x习题 2-41. 把下列分式化为部分分式：（1）61;(21)(31)x x x（2）382;x x x （3）223;(1)(2)(3)(4)x x x x x x（4）32421;(2)x x x（5）426;21x x （6）2221;(1)(2)x x x x（7）231;(2)(1)x x x（8）22221;()x x x x（9）3423;1x x x x（10）52321.(1)x x x x2. 求和：.()()(2)[(1)][]a a ax x a x a x a x n a x na3. 用视察法把下列分式化为部分分式： （1）1;(1)(2)x x （2）;(2)(3)xx x （3）31;2x x（4）2;(3)x x （5）222.(3)x x第五节 根 式本节的主要内容是根式的概念、根式的性质以及根式的运算等，我们将在实数集内介绍这些概念.一、根式及其性质若 (1,), n x a n n N 则称x 为a 的n 次方根，并分别称a 与n 为被开方数与根指数. 求a 的n 次方根称为把a 开n 次方.在实数集内，任何实数a 都能开奇次方. a 的奇次方根记作(n 为奇数)例如，27 的3次方根是3 ，而32的5次方根就是2 . 在实数集内，负数不能开偶次方，即负数的偶次方根无意义. 而任何正数a 的偶次方根却有正、负两个实数根，并分别把它们记作与 (n 为偶数)例如，16的四次方根就分别是2 与 2. 零的任何次方根都是零.式子称为根式. 根式与有理式统称为代数式.若0a ≥，则称为a 的n 次算术根.从以上的分析可以看到：一个数的算术根只有一个，且是非负的.因为任何负数的奇次方根都是一个负数，而且它等于这个数的绝对值的同次方根的相反数，即0, )a n 为奇数. 而负数的偶次方根无意义，因此，我们研究根式的性质，只需研究算术根的性质即可.根据算术根的定义，我们有(0,1,)n a a n n N ≥ （1）若无特别说明，从现在起本节所有的字母都是非负的.根据（1）式不难导出根式的性质：（1）；（2）（3）0)b ；（4）m（5） . 其中m , n ,p N .称根指数相同的根式为同次根式，否则称为异次根式. 利用性质（1）可以把异次根式化为同次根式.例1 把化为同次根式.解 取根指数2, 3, 6的最小公倍数6作为公共的根指数. 根据性质（1）可得这类似于分数中的通分. 反之，也可约去根指数与被开方数的指数的公约数. 例如，这类似于分数中的约分.二、根式的化简若根式适合条件：（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数的每个因子的指数都小于根指数； （3）被开方数不含分母， 则称这个根式为最简根式.例如，2,都是最简根式，而 .所谓化简根式就是利用根式的性质把一根式化为最简根式.例2 把下列根式化简：2.解 2 .2几个根式都化成最简根式后，若被开方数相同，根指数也相同，则称这些根式为同类根式. 例如，与3就是同类根式. 同类根式可以合并，例如(a b c三、根式的运算根式的运算结果应是最简根式，而且要把同类根式合并. 例3 计算：（1）263x（2）解 （1）原式23 4（2）原式例4 计算： 解 这是同次根式相乘，根据性质（2），得原式2ab 对于异次根式的乘除可利用性质（1）先化成同次根式，再分别用性质（2）与性质（3）计算.例5 计算：（1）（2）解 （1）原式20（2）原式性质（4）与性质（5）可以分别用来计算根式的乘方与开方.例6 计算：（1）9;（2）.解 （1）原式9932512xy（2）原式我们曾经多次在a ≥0的条件下应用a (a ≥0)来化简根式. 而对于0a ，则由算术根是非负的，以及它的平方应等于被开方数，可知(0)a a以上两式可合并为,(0),(0)a a a a≥ 根据绝对值的定义，上式也可写作()a a R一般地，若a R ，则,(),()a n a n为偶数为奇数例7 化简: ).a a R 解 由于(1),(10)(1),(10)a a a a a a a≥所以 21,(1)1,(1)a a a a≥例8 化简:).x R解 由66x x ，得再根据性质（1），（2）得(0)(0)x x≥四、分母有理化把一个分式的分母中的根号化去，称为分母有理化. 分母有理化一般是用一个适当的代数式同乘以分子与分母，使分母不含根式.例9 把下列各式的分母有理化：（1）（2）解 （1）（2）122例10 设22 (0, 0),1abx a b b证明：,(1)1,(01)b b b b≥ 证明 由220, 0, 0, 0.1aba b x a x a x b知, ≥于是²1b＝a212b ab22111b a b 212b ab ＝22(1)12b b b ,(1)1,(01)b b b b≥ 为化简根式，有时也需要把分子有理化. 例11 若01x ，化简：1x解 由01x ，得原式＝＝＝1习题 2-51. 把下列各题化成同次根式:（1）,,；（2）,.2. 把下列根式化成最简根式：（1） （2）（3） （4）；（5）6；（6）（7）（8）()x y . 3. 计算：（1） （2）；（3）； （4）（5）； （6）1).4. 计算：（1）（2）5. 把下列各式的分母有理化：（1）（2）；（3）(1)x ；（4）.6. 求证：（1）m n ；（2）a b .7. 设12x ，求s 的值. 第六节 零指数、负指数与分数指数幂对于以正整数n 为指数的幂，我们有1a an n a a a a个且有幂的运算法则：m n m n a a a ， ()m n mn a a ， ()n n n ab a b其中,, ,m n a b N R .现在要将幂的指数推广到有理数，即考察形如3222, 3, 5 等的幂. 它们分别是：（1）若0a ，则01a . 零的零次幂无意义. （2）若0, a n N ，则1n na a. 零的负整数幂无意义. （3）若0a ，, , 1,p q q N N则1 p p qqp qa a a.零的正分数幂是零；零的负分数幂无意义.根据（1）、（2）、（3）容易验证零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂都满足幂的运算法则.例1 计算：121234120276121(1)(24)(2)964.解 原式2113322422551111942(1)412255951631134163254 163491.15460例2 化简： （1）203325101322(0.5)π272；（2）1220.75131[(0.027)15(0.0016)(101100)]4.解 （1）原式＝233512564(2)(2)127＝233324(2)213＝19954.81616（2）原式＝123234341[(0.3)15(0.2)1]4＝12231[0.3150.21]4＝1211.214＝12211.12＝2091 1111.例3化简：3312542(2)(3)4a b a ba b.解原式＝35131(4)2264a b＝15442232a b＝232b.例4化简：112222233333221 x x x x xx x x x x.解设1133,,1,x A x B A B则 所以原式＝333332222222A B A B AA B A B AB A AB＝222222A AB B A AB B AA B A B A B＝2222AB AAA B本题应用了换元法. 在指数运算中，如能适当运用换元法往往可使运算化繁为简. 分数指数幂也可用来简化根式.例5化简：解原式＝512213663344a b a b a b＝152312463463a b＝531212a b .例6化简：解原式＝113632x yx y＝3111263x y＝4433x y＝.例7化简：3.。

多项式的基本性质多项式是数学中常见的一种函数形式，具有广泛的应用。

本文将介绍多项式的基本性质，包括多项式的定义、次数、系数、因式分解等内容。

1. 多项式的定义多项式是由若干个单项式相加或相减得到的表达式。

单项式由常数和变量的乘积组成，变量的指数必须是非负整数。

多项式的形式可以表示为：P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ其中，P(x) 表示多项式的函数形式，a₀、a₁、a₂...aₙ 表示多项式的系数，x 是变量，n 表示多项式的次数。

2. 多项式的次数多项式的次数是指多项式中各个单项式的指数最高项的指数。

例如，对于多项式 P(x) = 2x³ + 4x² - 3x + 1，最高项的指数是 3，因此该多项式的次数为 3。

3. 多项式的系数多项式中的系数是指各个单项式中变量的系数。

例如，对于多项式P(x) = 2x³ + 4x² - 3x + 1，系数分别为 2、4、-3 和 1。

4. 多项式的加法和减法多项式的加法和减法是指将两个或多个多项式相加或相减的运算。

当两个多项式相加或相减时，只需将对应的系数相加或相减，并保持各个单项式的指数不变。

例如，对于多项式 P(x) = 2x³ + 4x² - 3x + 1 和Q(x) = -x² + 2x - 1，它们的和为 R(x) = 2x³ + 3x² - x。

5. 多项式的乘法多项式的乘法是指将两个或多个多项式相乘得到一个多项式的运算。

多项式的乘法需要运用分配律和乘法的交换律、结合律。

例如，对于多项式 P(x) = 2x + 1 和 Q(x) = 3x² - 2x，它们的乘积为 R(x) = 6x³ - 4x² +3x - 2。

6. 多项式的因式分解多项式的因式分解是将一个多项式表示为两个或多个较简单的多项式的乘积形式。