中考数学压轴题专题费马点

第十三讲二次函数--费马点最值必备知识点费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点【结论】如图，点M 为锐角△ABC 内任意一点，连接AM 、BM 、CM ，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小【证明】以AB 为一边向外作等边三角形△ABE ，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ．∵△ABE 为等边三角形，∴AB ＝BE ，∠ABE ＝60°．而∠MBN ＝60°，∴∠ABM ＝∠EBN ．在△AMB 与△ENB 中，∵，∴△AMB ≌△ENB （SAS ）．连接MN ．由△AMB ≌△ENB 知，AM ＝EN ．∵∠MBN ＝60°，BM ＝BN ，∴△BMN 为等边三角形．∴BM ＝MN ．知识导航∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。

点P 为锐角△ABC 内任意一点，连接AP 、BP 、CP ，求xAP+yBP+zCP 最小值解决办法：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

如：保持BP 不变，xAP+yBP+zCP=)(y CP yz BP AP y x ，如图所示，B 、P 、P 2、A 2四点共线时，取得最小值。

例：点P 为锐角△ABC 内任意一点，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，连接AP 、BP 、CP ，求3AP+4BP+5CP 的最小值【分析】将△APC 绕C 点顺时针转90°到△A 1P 1C ，过P 2作P 1A 1的平行线，交CA 1于点A 2，且满足A 2P 2：P 1A 1=3：4.在Rt △PCP 2中，设PC=a ，由△CA 2P 2∽△CA 1P 1得CP 2=3a/4，则PP2=5a/4。

《费马点》解题思路费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离.若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点.一、若三角形有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在4ABC中，N BAC N120。

，求证：点A为4ABC 的费马点证明：如图，在△ABC内有一点P延长BA至C,使得AC=AC,作N CAP =N CAP,并且使得AP=AP,连结PP贝IJ4APC四△APC, PC=PC 因为N BAC N120。

所以N PAP=/CAC W60所以在等腰4PAP中，AP N PP所以PA+PB+PC N PP+PB+PC〉BC=AB+AC所以点A为4ABC的费马点二、若三角形的内角均小于120°,则以三角形的任意两边向外作等边三角形,两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点.如图，在4ABC中三个内角均小于120°,分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在4ABC内的交点为O,求证: 点。

为4ABC的费马点证明：在4ABC内部任意取一点O,；连接OA、OB、OC将4AOC绕着点A逆时针旋转60°,得到A AO, 口连接。

，则O' D=OC所以△AO。

，为等边三角形，OO'=AO所以0A+0C+0B=00,+0B+0/ D则当点B、。

、。

/、D四点共线时，OA+OB+OC最小此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O如图，在4ABC中，若N BAC、N ABC、N ACB均小于120°, O为费马点，则有N AOB=N BOC=N COA=120°,所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心例1 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（一6, 0）, 点B的坐标为（6, 0）,点C的坐标为（6, 4内），延长AC至点D 使得CD=AC,过点DE作DE//AB,交BC的延长线于点E,设G为y 轴上的一点，点P从直线y=无x+6城3与y轴的交点M出发，先沿y轴到达点G,再沿GA到达点A,若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要求到达A所用的时间最短解解・.・t= GM GA 2GA + GM 2 v v 2 v・•・当2GA+GM最小时，时间最短如图，假设在OM上存在一点G,则BG=AG・・.MG+2AG=MG+AG+BG把4MGB绕点B顺时针旋转60°,得到A M，G/ B,连结GG', MM, ・・・A GG' B、A MM，B都为等边三角形则GG'=G，B=GB又・・・M, G，=MG・・.MG+AG+BG=M/ G’+GG’+AG二•点A、M/为定点・・・AM,与OM的交点为G,此时MG+AG+BG最小・••点G的坐标为（0, 2S）例2 A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？解：如图，将4ABP绕点N逆时针旋转60°，得到A EBM；同样，将△DCQ绕点C顺时针旋转60°，得到△FCN，连结AE、DF，则A ABE、△DCF均为等边三角形，连结PM、QN，则△BPM，^CQN均为等边三角形所以当点E，M，P，Q，N，F共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段EF的长，如图，此时点P, Q在EF上，1= 2 = 3= 4 = 30 .进阶训练1.如图，在ABC中，ABC=60 , AB=5, BC=3, P是ABC 内一点，求PA+PB+PC的最小值，并确定当PA+PB+PC取得最小值时，APC的度数.答案：PA+PB+PC的最小值为7,此时APC=120【提示】如图，将APB绕点B逆时针旋转60 ，得到A'BP', 连结PP',A'C.过点A'作A'E BC,交CB的延长线于点E.解Rt A' EC求A'C的长，所得即为PA+PB+PC的最小值.2.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连结AM, CM, EN(1)当M在何处时，AM+CM的值最小？(2)当M在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由；(3)当AM+BM+CM的最小值为,：3 i时，求正方形的边长.答案：(1)当点M落在BD的中点时，AM+CM的值最小，最小值为AC的长；(2)连结CE,当点M位于BD与CE的交点处时.AM+BM+CM的值最小，最小值为CE的长.(3)正方形的边长为我.【提示】(3)过点E作EF BC,交CB的延长线于点F,解Rt EFC 即可.。

中考数压轴题之费马点模型详解如图，在四边形ABCD中，ZB=60°,AD=30°,AB=BC.(1)求Z4+ZC的度数；(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系，并说明理由；(3)若AB=l i点E在四边形ABCD内部运动，且满足？IE?=BE2*CE2)求点E运动路径的长度.这期这道题并不是中考真题，我也没找到是哪里的模考题，但是不影响这道题的重要性，这种类型的题目，同学们如果做过总结，会发现很简单，如果不做总结，考试时间都给你想你也想不出来,下面我们就来看看这道题吧第一问，求匕A+zC的度数，这个很简单，就是270。

第二问让我们连接BD,探究一下三条边之间的关系A这关系看不出来，我们能够拿尺子量一下，发现不是加和关系，那么考虑勾股定理关系,发现就是它。

这里要注意一下，有的题目会让我们猜测关系，但是关系往往不是那么容易看出来的，所以我们有必要借助一些工具,比如刻度尺,量角器这些来进行辅助猜测。

既然判断出是勾股定理关系，那么我们该怎么证明呢？首先想到是要把它们放到一个三角形当中去，不过这个三角形在哪里呢？这边就需要同学们积累一下了，遇到这种边相等，且存在勾股定理关系的，我们要想到旋转。

A我们将红色的三角形绕点B顺时针旋转60。

到蓝色的三角形的位置，因为BA=BC,所以旋转过来刚好能重合，我去居然这么巧!其实就是因为相等才想到旋转的，这种技巧需要大家记忆，否则你考试很难考自己想出来的。

之后我们就发现，AD=CD',BD=BD'，不过好像还是没有把这三条边放到一个三角形当中去，不急，我们还要连接DD，,这样^DD，就是等边三角形，怎么突然它就是等边三角形了？因为我旋转了60°,而且BD=BD',所以它自然是等边三角形。

那么后面就简单了，BD与DD'是相等的，所以三条边都转化到了A CDD'当中，那么问题就转化为证明/DCD'=90°了。

专题40 中考最值难点突破费马点问题（原卷版）模块一典例剖析+针对训练费马点问题解题技巧：旋转变换．类型一费马点模型典例1（2020秋•仓山区校级期中）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则点P叫做△ABC的费马点，此时P A+PB+PC的和最小，称为△ABC的费马距离．（1）若点P是等边三角形三条高的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点．（2）如图（2），分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．求证：P点为△ABC的费马点．（3）若图（2）中，AB＝5，AC＝4，BC＝a，BD＝b，则△ABC的费马距离＝．针对训练1．（2021春•滨海县期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）当M点在何处时，2AM的值最小，并说明理由；（3）当M点在何处时，2AM+BM的值最小，并说明理由．2．（2021春•历下区期末）【操作发现】（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C′；②连接BB′，此时∠ABB′＝°；【问题解决】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：（2）如图2，在等边△ABC中，点P在内部，且P A＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABP′，连接PP′，寻找P A、PB、PC三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；【学以致用】（3）如图3，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，且P A＝5，PC＝2√2，∠BPC ＝135°，求PB；【思维拓展】（4）注意：从以下①②中，你任意选择一道题解答即可．①等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内部一点，若BC＝4，则AP+BP+CP的最小值＝；②如图4，若点P是正方形ABCD外一点，P A＝3，PB=√3，PC=√15，求∠APB的度数．3．（2019春•金水区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点．（1）如图1，连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，则CE＝．（2）如图2，连接P A，PB，PC，当AC＝BC＝8时，求P A+PB+PC的最小值．类型二费马点模型变式典例2（2021春•碑林区校级期中）[问题发现]如图①，在△OAB中，OB＝3，若将△OAB绕点O逆时针旋转120°得△OA′B′，连接BB'．则BB'＝．[问题探究]如图②，已知△ABC是边长为4√3的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC 内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，P的对应点为Q．求P A+PB+PC的最小值．[实际应用]如图③，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800，点P是长方形内一动点，且S△P AD ＝2S△PBC，点Q为△ADP内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．针对训练1．（2021•雁塔区校级模拟）【问题情境】如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5√3，则△ABC的外接圆的半径值为．【问题解决】如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．【问题解决】如图3，正方形ABCD是一个边长为3√3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE=√3cm，点P是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据√3≈1.7，10.52＝110.25）．模块二2023中考押题预测一．选择题1．（2017秋•义乌市月考）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为√2的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF＝（）A．2√3B．1+√3C．6D．3√32．（2022春•山亭区期中）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．40°B．30°C．50°D．65°二．填空题3．（2019秋•开福区校级月考）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时P A+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且P A＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为．4．（2019秋•梁溪区期末）如图，已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为1+√3，则这个正方形的边长为．5．（2021•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB＝AC=√7，BC＝2√3，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC ＝；若AB＝2√3，BC＝2，AC＝4，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC＝．6．（2022秋•洪山区校级期中）如图，以等边△ABC的一边BC为底边作等腰△BCD，已知AB＝3，CD=BD=√3，且∠BDC＝120°，在△BCD内有一动点P，则PB+PC+PD的最小值为．7．（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时，①∠BDC＝；②AD的最小值是．三．解答题8．（2009•湖州）自选题：若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°，P A＝3，PC＝4，则PB的值为；（2）如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′＝P A+PB+PC．9．问题探究：（1）如图1，已知，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，则对角线AC、BD的位置关系是．（2）如图2，已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．△ABC内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2，求AC的长．问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4√3），延长AC至点D，使CD=12AC，过点D作DE⊥y轴于点E．设G为y轴上一点，点P从点E出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点．若点P在直线GA上运动速度为定值v，在y轴上运动速度为2v，试确定点G的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短，并求此时点G的坐标．10．（2017•利辛县一模）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点．（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP；（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．12．（2022春•兰溪市校级月考）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．【基础巩固】（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC ＝60°，AC=4√6，求AE+BE+CE＝；【尝试应用】（2）如图2，等边三角形ABC边长为4√3，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．。

费马点问题
例1 ( 2013 年常州中考) 如图2，在Ｒt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 1，BC = 3，
点O 为Ｒt△ABC 内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC = ∠COB = ∠BOA = 120°，按下列要求画图( 保留画图痕迹) :
以点B 为旋转中心，将△AOB 绕点 B 顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B( 其中点A、O 的对应点分别为点A'、O') ，并回答下列问题:
∠ABC = ; ∠A'BC = ; OA + OB+ OC =
例 2 ( 2016 年朝阳中考) 小颖在学习“两点之间，线段最短”查阅资料时发现: △ABC 内总存在一点P 与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶
点的距离之和最小
例3 ( 2010 年宁德中考) 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD( 不含 B 点) 上任意一点，将BM 绕点 B 逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
( 1) 求证: △AMB ≌△ENB;
( 2) ① 当M 点在何处时，AM + CM 的值最小;
② 当M 点在何处时，AM + BM + CM 的值最小，并说明理由;
( 3) 当AM + BM + CM 的最小值为3+ 1 时，求正方形的边长。

ABCP中考数学复习线段和差最值系列之费马点皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点． 问题：在△ABC 内找一点P ，使得P A +PB +PC 最小．【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．以上依据似乎都用不上，怎么办？若点P 满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC 值最小，P 点称为该三角形的费马点．一、如何作费马点问题要从初一学到的全等说起：（1）如图，分别以△ABC 中的AB 、AC 为边，作等边△ABD 、等边△ACE ． （2）连接CD 、BE ，即有一组手拉手全等：△ADC ≌△ABE ．（3）记CD 、BE 交点为P ，点P 即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC 为边作等边△BCF ，连接AF ，必过点P ，有∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ．有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC <120°，若120BAC ∠≥︒ ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：EB ACAB CDE此时CD 与BE 交点P 点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P 点到A 、B 、C 距离之和大于A 点到A 、B 、C 距离之和．所以，是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A 点！当然这种情况不会考的，就不多说了．二、为什么是这个点为什么P 点满足∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°，P A +PB +PC 值就会最小呢？归根结底，还是要重组这里3条线段：P A 、PB 、PC 的位置，而重组的方法是构造旋转！在上图3中，如下有△ADC ≌△ABE ，可得：CD =BE ．类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF =BE =CD ．巧的，它们仨的长度居然一样长！更巧的是，其长度便是我们要求的P A +PB +PC 的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！ 接下来才是真正的证明：考虑到∠APB =120°，∴∠APE =60°，则可以AP 为边，在PE 边取点Q 使得PQ =AP ，则△APQ 是等边三角形．△APQ 、△ACE 均为等边三角形，且共顶点A ，故△APC ≌△AQE ，PC =QE ． 以上两步分别转化P A =PQ ，PC =QE ，故P A +PB +PC =PB +PQ +QE =BE ．没有对比就没有差别，我们换个P 点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ ，同样有△APC ≌△AQE ，转化P A =PQ ，PC =QE ，显然，P A +PB +PC =PB +PQ +QE >BE ．还剩下第3个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！【中考再现】问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：P A +PC =PE ．问题解决：如图2，在△MNG 中，MN =6，∠M =75°，MG=O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！如图，以MG 为边作等边△MGH ，连接NH ，则NH 的值即为所求的点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）过点H 作HQ ⊥NM 交NM 延长线于Q 点，根据∠NMG =75°，∠GMH =60°，可得∠HMQ =45°，∴△MHQ 是等腰直角三角形， ∴MQ =HQ =4，∴NH== 练习题1.如图，在△ABC 中，△ACB=90°，AB=AC=1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．2. 如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．NG图2图1ABCD EPHGN M464Q HGN MABCDME3.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=15，现在要找两点E、F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为__________4.如图，等腰Rt∆ABC中，AB=4，P为∆ABC内部一点，则PA+PB+PC的最小值为_______5.如图，∆ABC中，AB=4，,∠ABC=75°，P为∆ABC内的一个动点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为________6.如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则PA+PB+PC的最小值为______7.在Rt∆ABC中，∠ACB=90°，AC=1，，点O为Rt∆ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，则OA+OB+OC=_______8.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=BC=3，AD=4，∠BAD=90°，点P是四边形内部一点，则PA+PB+PD的最小值是______9.如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB=2，，则PA+PB+PC 的最小值为_______10.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则PA+PB+PD的最小值为__________11.已知，在∆ABC中，∠ACB=30°点P是ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为__________12.如图，设点P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2则PC的最大值为______13.如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2PC的最大值为________14.如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2则PO的最大值为_________.15.如图，在Rt∆ABC中，∠BAC=90⁰，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD 绕点A逆时针旋转90⁰，得到AE，连接CE、DE，点F是DE的中点，连接CF问题：在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小，当PA+PB+PC 取最小值时，AP的长为m，用含有m的式子表示CE的长.参考答案1.7.8.7 9.3 10. 12.2+13.2+1 15.32m +。

【费马点】平面内，到三角形的三个顶点的距离之和最小的点称为费马点【结论】如图所示，△ABC 的三个内角均不大于120°，P 为三角形内一点，当点P 与△ABC 三个顶点的连线夹角均为120°时，PA +PB +PC 的值最小.（PA +PB +PC=AD=BE=CF ） 【费马点作法】如图，以△ABC 的三边向外分别作等边三角形，然后把外面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P ，点P 就是原三角形的费马点.【证明】如图，将△ABP 绕点B 逆时针旋转60°，得到△A 'BP '，连接P P '，则△BPP 是等边三角形，所以PB =PP '. 由旋转的性质可得P A +PB +PC =P 'A '+PP '+PC >A 'C 因此，当A '、P '、P 、C 四点共线时，P A 十PB 十PC 的值最小.因为△BPP '是等边三角形，即∠BPP '=60°， 所以∠BPC =120°.因为∠APB =∠A 'P 'B ，∠BP 'P =60°， 所以∠APB =180°-60°=120°，则∠CP A =360°-120°-120°=120°， 故∠BPC =∠APB =∠CP A =120°.CBAPPDFECBAA'P'ABCP费马点结论:1) 对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点; 2) 对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点. 费马问题解决问题的方法是运用旋转变换.1) 利用旋转把三条共点线段转化成折线段， 2) 利用两点之间线段最短 构造直角三角形，利用勾股定理 模型巧记求到三角形三个顶点距离和的最小值，只需要以三角形的一条边为边作等边三角形，那么原三角形的第三个顶点和等边三角形的第三个顶点的距离就是最小值 例1、P 是边长是2的等边△ABC 内的一点， 求PA+PB+PC 的最小值【分析】把△APC 绕A 逆时针旋转60°，得到△AP'C'，连接PP' 易知△APP'是等边三角形∴PC=P'C∴∠CAC'=60°∴P A+PB+PC=PB+PP'+PC’当且仅当BPP'C '共线时取得最小值∵AB =2;∴AD =1；BD =3∴.C'D =3∴BC =23 点评：①用旋转把三条共点线段转化成折线段 ②利用两点之间线段最短③构造直角三角形，利用勾股定理例2、P 是边长是1的正方形ABCD 内的一点， 求PA+PB+PC 的最小值【分析】把△APB 绕B 逆时针旋转，得到△BP'A'，连接PP' ∴△BPP '是等边三角形 ∴BP=BP ' ∴∠PBP '=60°∴P A+PB+PC=P'A'+PP'+PC ，当且仅当CPP'A'共线时取得最小值∵AB =AB '=1;A'P'PCBA∴A'M =12；BM =32；∴CM =232；CA '=622例3、P 是△ABC 内的一点，BC=6,AC=5,∠ACB =30°， 求P A+PB+PC 的最小值 【分析】把△APC 绕C 顺时针旋转60°，得到△CP'A',连接PP' ∴△CPP '是等边三角形 ∴CP=PP'∴∠PCP '=60°∴P A+PB+PC=P 'A'+PB+PP '当且仅当BPP ’A ’共线时取得最小值 ∵CA=CA '=5；CB=6，∠ACB =30° ∴∠A 'CB =60° ∴A 'B =61什么是加权费马点问题？标准的费马点问题式中的三条线段的系数全为1。

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题12费马点问题-年8月17日﹣1665年1月12日），生于法国南部图卢兹（Toulouse ）附近的波蒙•德•罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A ，B ，C ，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，△ABC （三个内角均小于120°）的三条边的张角都等于120°，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°的点P ，就是到点A ，B ，C 的距离之和最小的点，后来人们把这个点P 称为“费马点”． 下面是“费马点”的证明过程：如图2，将△APB 绕着点B 逆时针旋转60°得到△A ′P ′B ，使得A ′P ′落在△ABC 外，则△A ′AB 为等边三角形，∴P ′B ＝PB ＝PP ′，于是P A +PB +PC ＝P ′A ′+PP ′+PC ≥A ′C ，∴当A '，P '，P ，C 四点在同一直线上时P A +PB +PC 有最小值为A 'C 的长度，∵P ′B ＝PB ，∠P 'BP ＝60°，∴△P 'BP 为等边三角形，则当A '，P '，P ，C 四点在同一直线上时，∠BPC ＝180°﹣∠P 'PB ＝180°﹣60°＝120°，∠APB ＝∠A 'PB ＝180°﹣∠BP 'P ＝180°﹣60°＝120°，∠APC ＝360°﹣∠BPC ﹣∠APC ＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∴满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°的点P ，就是到点A ，B ，C 的距离之和最小的点；ABC 所在平面上一点，且∠APB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝120°，则点P 叫做△ABC 的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC＝60°，P A＝3，PC＝4，求PB的长．（2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′＝P A+PB+PC．（3）已知锐角△ABC，∠ACB＝60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和，S△BCE与S△ACF的和是否相等．【例2】探究问题：（1）阅读理解：①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时P A+PB+PC的值为△ABC的费马距离；②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA＝AC•BD．此为托勒密定理；（2）知识迁移：①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC＝P A；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；第二步：在上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C＝P′A+（P′B+P′C）＝P′A+；第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离．（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB＝30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；（3）点P为△ABO内的一个动点，设m＝P A+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m 取得最小值时，线段AP的长．1．已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB＝AC＝，BC＝2，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC＝；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC＝．2．在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，P A＝4，则△P AC的面积为．3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为．4．如果点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF＝．5．法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时P A+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且。

第十讲线段和最小之“费马点问题”问题背景“费马点”——就是到三角形三个顶点的距离之和最小的点．“费马点”问题在中考考查时主要隐藏在求PA＋PB＋PC的最小值问题，通常将某三角形绕点旋转一定的角度，从而将三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题．模型分析1、对于一个各角不超过120°的三角形，“费马点”是对各边的张角都是120°的点；2、对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．费马点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC最小，这就是所谓的“费马”问题．【模型计算】如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP′C′，则可以构造出等边三角形APP′，从而得到AP＝PP′，CP＝C′P′，所以将PA＋PB＋PC的值转化为PP′＋PB＋P′C′的值，则线段BC′的长即为所求的最小值．经典例题剖析例1．如图，在△ABC中，P为平面内一点，连结P A，PB，PC，分别以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD．【探究】求证：PM＝PC，MD＝P A【应用】若BC＝a，AC＝b，∠ACB＝60°，则P A+PB+PC的最小值是______________（用a，b 表示）例2．如图，矩形ABCD中，AB＝2√3，BC＝6，P为矩形内一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC 的最小值是________________。

强化练习1．如图，已知正方ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为1+√3，则这个正方形的边长为______．2．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：P A+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG=4√2．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是________．3．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为√3+1时，求正方形的边长．。

对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．△三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是下面简单说明如何找点P使它到ABC所谓的费尔马问题．图1解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°△的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都因此，当ABC是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．1.( 株洲)已知P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA+PB+PC 的最小值．2.（ 北京）如图. 在平面直角坐标系xOy 中. 点B 的坐标为(0,2). 点D 在x 轴的正半轴上. 30ODB ∠=︒. OE 为△BOD 的中线. 过B 、E 两点的抛物线23y ax x c =++与x 轴相交于A 、F 两点(A 在F 的左侧).等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上，点P 为△ABO 内的一个动点. 设m PA PB PO =++.请直接写出m 的最小值, 以及m 取得最小值时, 线段AP 的长. (备用图)图2图1B3.（ 延庆）小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC，求AP 的最大值。