高三数学备考冲刺140分问题43推理问题的常见求解策略含解析2

问题43推理问题的常见求解策略一、考情分析推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,它包括合情推理与演绎推理,合情推理又包括归纳推理和类比推理,归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,由部分到整体、归纳推理由个别到一般的推理类比；推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,它是由特殊到特殊的推理；演绎推理从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论．演绎推理是由一般到特殊的推理．高考中归纳推理和类比推理常以客观题形式出现,演绎推理常和其他知识交汇,以解答题形式出现,下面分别总结几类推理问题的求解策略,共同学们参考.二、经验分享1.归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性．2.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．3.演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提,一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．4.合情推理在近年来的高考中,考查频率逐渐增大,题型多为选择、填空题,难度为中档．解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题,常因条件不足,了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题,应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由,再去类比另一类问题．三、知识拓展数学史上的著名推理问题1. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=,121215F =+=,2222117F =+=,32321257F =+=,4242165537F =+=的观察,发现其结果都是素数,于是提出猜想：对所有的自然数n ,任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉,发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数,推翻费马猜想. 2. 四色猜想：1852年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”,四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用1200个小时,作了100亿逻辑判断,完成证明. 四、题型分析（一）归纳推理的求解策略 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．(2)归纳推理是一种重要的思维方法,但结果的正确性还需进一步证明,一般地,考查的个体越多,归纳的结论可靠性越大．因此在进行归纳推理时,当规律不明显时,要尽可能多地分析特殊情况,由此发现其中的规律,从而获得一般结论．(3)归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题和填空题,难度稍大,属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：①数值的归纳；②代数式的归纳；③图形的归纳．【例1】某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度相等,两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,…,依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．【分析】分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有3＝(3×2－3)条线段,二级分形图有9＝(3×22－3)条线段,三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段,按此规律n 级分形图中的线段条数a n＝(3×2n－3)(n∈N*)．【答案】a n＝(3×2n－3)(n∈N*)【点评】(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的；(3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用．【小试牛刀】【江西省南昌市2019届高三第一次模拟】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )A．4072 B．2026 C．4096 D．2048【答案】A【解析】由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n，可得当n＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，故选：A．（二）类比推理的求解策略在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误．类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移.【例2】若等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,前n 项的和为S n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列,且通项为S n n ＝a 1＋(n－1)·d2.类似地,请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1,公比为q ,前n 项的积为T n ,则数列________为等比数列,通项为________．【分析】解题的关键是找出等差数列与等比数列性质的关联【点评】因为在等差数列{a n }中前n 项的和为S n 的通项,且写成了S n n ＝a 1＋(n －1)·d2,所以在等比数列{b n }中应研究前n 项的积为T n 的开n 方的形式,等差数列中的求和类比等比数列中的乘积,类比可得：数列{n T n }为等比数列,通项为n T n ＝b 1·(q )n －1.【点评】等差数列与等比数列的类比,要注意运算的转换：和差→积商,乘积→乘方【小试牛刀】在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1,外接圆面积为S 2,则S 1S 2＝14,推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ­ABC 的内切球体积为V 1,外接球体积为V 2,则V 1V 2＝________．【答案】127【解析】正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1,故正四面体P ­ABC 的内切球体积为V 1,外接球体积为V 2,则V 1V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.（三）演绎推理的求解策略演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式,是一种必然性推理．演绎推理的模式为： 三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做 出的判断.应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的．如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得结论也是错误的．【例3】数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1＝1,a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋)．证明：(1)数列{S nn }是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ,a n ＋1＝n ＋2n S n ,∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n ),即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ,(小前提)故{S nn }是以2为公比,1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义,这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2),∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2),(小前提)又a 2＝3S 1＝3,S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1,(小前提) ∴对于任意正整数n ,都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)【点评】“三段论”式的演绎推理一定要保证大前提正确,且小前提是大前提的子集关系,这样经过正确推理,才能得出正确结论；常见易错点是对大前提“凭空想象、思维定势、想当然”,从而出错,或者小前提与大前提“不兼容”“不包容”“互补”而出错．【小试牛刀】【陕西省2019届高三第二次教学质量检测】一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ） A ．若，则乙有必赢的策略 B ．若，则甲有必赢的策略 C ．若，则甲有必赢的策略D ．若，则乙有必赢的策略【答案】A 【解析】若，则乙有必赢的策略。

【高考复习】高考数学140分方法各种题型解题思路我所说的学习方法指的是最有效率的优化学习思想，是根据自己的实际情况在最短的时间内获取最有效的成果。

学习最主要的技巧是分析、解读、联想、应用。

同学和家长都知道，高中学习方法我对自己想读的大学做了深入的了解，已经很清楚在高考中大概要达到一个什么样的分数才能进入这所大学(尽管因为竞赛，我已先行获得高考自主选拔录取降分的优惠，但我的目标是裸分考进心目中的学校)，然后把这些分数分配到各个科目。

我发现，数学只要考到130多分就够了，然后我把这130多分再分配到各个题型上去，看哪些题可以舍弃，哪些题不能舍弃，这使我对整张数学试卷的答题策略有了清晰的认识。

首先我分析了近几年本省数学考卷的构成：十道选择题→五道填空题→六道大题。

对于前十五道题，我研究了近几年高考卷，发现大部分是基础题，只需要训练速度与准确度，少部分是技巧题，需要比较好的思维和联系课本知识的能力。

对这一部分题型，我专门去买了小题集(里面有很多套测试题，每套只有十道选择题和五道填空题)来专项突破。

每天测一套，我做练习的目的是提高速度和准确度，目标是在25分钟之内完成并保证100%正确率。

刚开始一套测下来要用四十多分钟，还常出错。

在基础知识复习的基础上，这部分题就靠多练，练了几十套之后就很有感觉了，上手很顺畅。

最后我基本达到了自己的目标，25分钟完成，偶尔错1题。

更多高中学习方法信息查看对于后面的大题，我发现本省高考数学试题安排几年来都是固定的顺序(结果2021年高考时顺序变了，这个还是要小心)，16三角函数→17数列→18概率/排列组合→19立体几何→20解析几何→21函数与导数(我们高考时概率/排列组合和函数与导数的顺序调换了)。

其中，20、21题比较难，21题是压轴题，18、19题尽管不难，但对书写要求比较高，表达不规范常被扣分。

16、17题则比较容易。

于是我的对策是分而治之：16、17题偶尔做做练练速度;18、19题经常做，把过程都写下来，对照标准答案看自己哪一步写得不规范，哪里可以更简洁;高强度的训练重点放在了20、21题。

高考数学冲刺：数学各题题解答方法(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;(3)证明两平面同垂直于一条直线。

3、两个平面平行的主要性质：(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”。

(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

(3)两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。

(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等。

(6)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

以上性质(2)、(3)、(5)、(6)在课文中虽未直接列为”性质定理“，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。

解答题分步骤解决可多得分01、合理安排，保持清醒。

数学考试在下午，建议中午休息半小时左右，睡不着闭闭眼睛也好，尽量放松。

然后带齐用具，提前半小时到考场。

02、通览全卷，摸透题情。

刚拿到试卷，一般较紧张，不宜匆忙作答，应从头到尾通览全卷，尽量从卷面上获取更多的信息，摸透题情。

这样能提醒自己先易后难，也可防止漏做题。

03、解答题规范有序。

一般来说，试题中容易题和中档题占全卷的80%以上，是考生得分的主要来源。

对于解答题中的容易题和中档题，要注意解题的规范化，关键步骤不能丢，如三种语言(文字语言、符号语言、图形语言)的表达要规范，逻辑推理要严谨，计算过程要完整，注意算理算法，应用题建模与还原过程要清晰，合理安排卷面结构……对于解答题中的难题，得满分很困难，可以采用“分段得分”的策略，因为高考阅卷是“分段评分”。

比如可将难题划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，能解决到什么程度就解决到什么程度，获取一定的分数。

有些题目有好几问，前面的小问你解答不出，但后面的小问如果根据前面的结论你能够解答出来，这时候不妨引用前面的结论先解答后面的，这样跳步解答也可以得分。

数列问题篇数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

高三数学刷题技巧掌握解题思路快速解决难题高三数学是学生们备战高考的关键时期，解答数学题成为提高成绩的关键。

但是，面对繁重的学习任务和复杂的数学题目，很多学生感到无从下手。

本文将介绍一些高效的刷题技巧，帮助高三学生掌握解题思路，迅速解决难题。

一、理清知识框架，从基础题攻克难题在刷题之前，首先要理清知识框架，明确各个分支的重点难点。

这样做有利于从基础题逐步攀升到难题，渐入佳境。

对于高三学生而言，基础题目是巩固知识和培养解题思维的重要环节。

开始刷题时，可以先从基础题目入手，通过大量练习加深对基础知识点和解题思路的理解。

同时，要善于总结题目的解题方法和思路，从而加深对数学知识的理解。

在解题过程中，要注意思考和思维的灵活运用，提高解题的速度和准确性。

二、定期进行知识点回顾与强化训练学过的知识点往往容易忘记，特别是在高强度的高三备考中。

因此，定期进行知识点的回顾与强化训练是非常必要的。

可以将高三数学知识点分成若干个部分，每周选择一个或几个部分进行回顾与强化训练。

可以通过刷题软件、习题集、试卷等方式进行练习，并根据练习结果检查自己的知识掌握情况。

对于掌握不牢固的知识点，要有针对性地进行重点复习和训练，直到熟练。

三、熟练掌握解题套路，培养审题能力解题套路是高三数学刷题的关键，熟练掌握解题套路可以帮助学生快速解决难题。

在刷题过程中，要仔细审题，理解题目的要求和限制条件。

根据题目的特点和解题方法，选择合适的解题思路和步骤，避免走弯路。

一些经典的解题套路如数学归纳法、逆向思维、重叠法等，经常出现在高考试卷中，学生要掌握并灵活运用。

此外，要善于将复杂的问题分解为简单的子问题，通过求解子问题逐步得到最终答案。

这种拆解问题的能力是解决高难度数学题目的关键。

四、合理规划刷题时间，坚持每日练习刷题并不是一蹴而就，需要学生长期坚持。

因此，要合理规划刷题时间，并将其作为日常学习的重要组成部分。

可以每日抽出固定的时间进行数学刷题，保持连续性和持久性。

高考数学技巧如何快速解决复杂的逻辑推理题高考数学作为考试科目中的一个重要部分，在逻辑推理题方面常常给考生带来挑战。

逻辑推理题需要考生通过理解问题，分析逻辑关系，找出规律，并运用相应的解题技巧来解答。

本文将介绍一些解决复杂逻辑推理题的技巧，帮助考生更快速地解答这类题目。

一、理清题意，提炼关键信息复杂的逻辑推理题在题干中往往包含大量的信息，考生需要先理清题意，明确所给条件和问题所要求的答案。

可以使用画图、列式或者其他方式将关键信息提炼出来，帮助自己更好地理解问题，减少遗漏和混淆。

二、寻找逻辑关系，确定解题思路在理解题意的基础上，考生需要寻找题目中的逻辑关系。

通过观察题干，找出条件之间的联系以及问题与条件之间的关系。

这些逻辑关系不仅有助于揭示解题思路，还能帮助考生找到解题的关键。

例如，题目中可能包含条件之间的逻辑关系、因果关系、排除关系等，通过分析这些关系可以更快速地找到解题方法。

三、掌握常见解题方法针对逻辑推理题，考生需要掌握一些常见的解题方法，以便更快地解答复杂题目。

以下是几种常见的解题方法：1. 穷举法：穷举法适用于条件较少、解空较小的题目。

通过逐个尝试可能的解空，排除不符合条件的选项，从而找到符合题意的答案。

2. 推理归纳法：推理归纳法适用于具有一定逻辑关系的题目。

通过观察题干中的条件，总结归纳出其中的规律或者结论，并运用这些规律或者结论来解答问题。

3. 分情况讨论法：分情况讨论法适用于条件较多、解空较大的题目。

将问题分解成几个情况，分别考虑每种情况下的可能性，并找出满足条件的解空。

4. 反证法：反证法适用于需要证明某一命题的题目。

通过假设命题为假，从而推导出与已知条件相矛盾的结论，从而得出命题为真的结论。

以上的解题方法并不是适用于所有的逻辑推理题，考生需要根据具体题目情况选择合适的解题方法，并在实践中不断熟练运用。

四、加强练习，提高解题速度和准确性解决复杂逻辑推理题最基本的方法就是多做题、多练习。

数学6大解答题技巧，高考数学超越140分秘籍对于众多高中生来说，数学是一座巨大的拦路虎，如何高效地学习数学是大家都很头疼的问题，今天为大家收集到了高中140+学霸的6大解题技巧一起练起来吧！1.三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性（转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式（奇变、偶不变；符号看象限）时，很容易因为粗心，导致错误！一着不慎，满盘皆输！）。

2.数列题1.证明一个数列是等差（等比）数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差（公比）的等差（等比）数列；2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法；如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法（用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。

利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。

简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证；3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单（所以要有构造函数的意识）。

3立体几何题1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单；2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系；3.注意向量所成的角的余弦值（范围）与所求角的余弦值（范围）的关系（符号问题、钝角、锐角问题）。

4概率问题1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数；2.搞清是什么概率模型，套用哪个公式；3.记准均值、方差、标准差公式；4.求概率时，正难则反（根据p1+p2+...+pn=1)；5.注意计数时利用列举、树图等基本方法；6.注意放回抽样，不放回抽样；7.注意“零散的”的知识点（茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等）在大题中的渗透；8.注意条件概率公式；9.注意平均分组、不完全平均分组问题。

5圆锥曲线问题1.注意求轨迹方程时，从三种曲线（椭圆、双曲线、抛物线）着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法；2.注意直线的设法（法1分有斜率，没斜率；法2设x＝my+b（斜率不为零时），知道弦中点时，往往用点差法）；注意判别式；注意韦达定理；注意弦长公式；注意自变量的取值范围等等；3.战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。

高考数学突破140 掌握规律攻克平面向量的破解技巧【考纲解读】掌握向量的加法和减法，掌握实数与向量的积，解两个向量共线的充要条件，解平面向量基本定，解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件.【命题规律】平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中.【学法导航】1．(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．2．数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．3．在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【高频考点突破】考点1 平面向量的线性运算【规律方法】用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式即可得λ1，λ2的值．考点2 平面向量的数量积【规律方法】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.注意向量的数量积不满足消去率和结合律.4.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.考点3 平面向量和三角函数的综合问题【规律方法】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．。

高中数学推理证明题的解题思路与方法整理高中数学中，推理证明题是一种常见的题型，要求学生运用所学的数学知识和推理能力，通过逻辑推理和严密的证明过程解决问题。

这类题目常常考察学生对数学概念的理解、运用定理的能力以及逻辑推理的能力。

本文将整理一些常见的高中数学推理证明题的解题思路与方法，并通过具体的题目举例，说明此题的考点，以帮助高中学生或他们的父母更好地应对这类题目。

一、对称性证明法对称性证明法是一种常见的证明方法，常用于证明几何图形的性质。

这种方法的关键是利用图形的对称性质，通过证明一部分，然后利用对称性推导出其他部分。

例如，有一个题目要求证明一个三角形的两条边相等，可以通过证明这两条边对应的两个角相等，然后利用对称性证明两边相等。

这种方法在解决几何证明题时非常实用，能够简化证明过程，提高解题效率。

二、递推法递推法是一种常见的证明方法，常用于证明数列的性质。

这种方法的关键是通过已知条件和已证明的结论，推导出下一个条件或结论，从而逐步推导出整个数列的性质。

例如，有一个题目要求证明一个数列满足递推公式an=an-1+an-2，可以通过已知条件a1=1，a2=1，然后利用递推公式逐步推导出an的表达式，从而证明数列的性质。

递推法在解决数列证明题时非常实用，能够简化证明过程，提高解题效率。

三、反证法反证法是一种常见的证明方法，常用于证明命题的否定。

这种方法的关键是假设命题的否定成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。

例如，有一个题目要求证明一个数是无理数，可以假设该数是有理数，然后推导出矛盾的结论，从而证明该数是无理数。

反证法在解决数学证明题时非常实用，能够简化证明过程，提高解题效率。

四、数学归纳法数学归纳法是一种常见的证明方法，常用于证明数学命题的通用性。

这种方法的关键是通过证明命题对于某个特定的情况成立，然后证明命题对于下一个情况也成立，从而推导出命题对于所有情况都成立。

例如，有一个题目要求证明一个等式对于所有正整数都成立，可以通过证明当n=1时等式成立，然后假设当n=k时等式成立，再证明当n=k+1时等式也成立，从而推导出等式对于所有正整数都成立。

问题02 含参数的常用逻辑问题一、考情分析集合是高考数学考查热点内容,难度中等或中等以下.判断命题的真假、全称命题与特称命题的否定,充分条件与必要条件的判断,是考查的主要形式,常与其他知识交汇考查,其中由命题真假或两条件之间的关系确定参数范围,是本节中的一个难点．二、经验分享(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；(2)注意下面两种叙述方式的区别：①p是q的充分不必要条件；②p的充分不必要条件是q.(3)充分条件、必要条件的三种判定方法①定义法：根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题．②集合法：根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．③等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题．(4)充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．②要注意区间端点值的检验．(5)“p∨q”“p∧q”“ p”等形式命题真假的判断步骤①确定命题的构成形式；②判断其中命题p、q的真假；③确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．(6)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x＝x0,使p(x0)成立．(7)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词．②对原命题的结论进行否定．(8)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决． 三、知识拓展1．从集合角度理解充分条件与必要条件若p 以集合A 的形式出现,q 以集合B 的形式出现,即A ＝{x |p (x )},B ＝{x |q (x )},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件； (2)若A ⊇B ,则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ,则p 是q 的充要条件； (4)若A B ,则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A B ,则p 是q 的必要不充分条件； 2．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：p 、q 中有一个为真,则p ∨q 为真,即有真为真； (2)p ∧q ：p 、q 中有一个为假,则p ∧q 为假,即有假即假； (3)⌝p ：与p 的真假相反,即一真一假,真假相反．.3．“否命题”与“命题的否定”的区别．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,“否命题”是对原命题既否定其条件,又否定其结论,而“命题的否定”是否定原命题,只否定命题的结论． 四、题型分析(一)与充分条件、必要条件有关的参数问题充分条件和必要条件的理解,可以翻译成“若p 则q ”命题的真假,或者集合与集合之间的包含关系,尤其转化为集合间的关系后,利用集合知识处理．【例1】【2017湖南省郴州市上学期第一次质量监测】设集合2{|21,03}A y y x x x ==-+≤≤,集合2{|(21)(1)0}B x x m x m m =--+-≤.已知命题:p x A ∈,命题:q x B ∈,且命题p 是命题q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.【分析】先化简给定集合,再利用p 是q 的必要不充分条件⇔ ⊂B A ≠解题 【解析】由已知得{|04}A y y =≤≤,{|1}B x m x m =-≤≤.∵p 是q 的必要不充分条件,∴A B ⊂≠.则有104m m -≥⎧⎨≤⎩.∴14m -≤≤,故m 的取值范围为[1,4].【点评】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．【小试牛刀】【2019届河北辛集8月月考】已知f （x ）是R 上的减函数，且f （0）=3，f （3）=﹣1，设P={x||f （x+t ）﹣1|＜2}，Q={x|f （x ）＜﹣1}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是（ ）A ． t≤0 B． t≥0 C． t≤﹣3 D ． t≥﹣3 【答案】C(二)与逻辑联接词有关的参数问题逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关,由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关,其中往往会涉及参数的取值范围问题．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围． 【例2】【2017宁夏育才中学月考】已知命题函数321()3f x mx x x =++在区间(1,2)上单调递增；命题:q 函数C 的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1,若“()p q ∨⌝”为真命题,“()p q ⌝∨”也为真命题,求实数m 的取值范围.【分析】先确定pq 真值相同．再根据p ,q 同真时或同假确定实数m 的取值范围.【解析】若p 为真命题, 2()210f x mx x '=++≥在(1,2)x ∈上恒成立,22121(1)1m x x x ≥--=-++,∵215(1)14x -++<-,∴54m ≥-．若q 为真命题,则当1x >-时,4()111g x x m x '=+-+>+,41m x x <++,∵4411241311x x x x +=++-≥-=++,当且仅当1x =时取等号,∴3m <．由已知可得若p 为真命题,则q 也为真命题；若p 为假命题,则q 也为假命题,当p ,q 同真时,534m -≤<,同假时m 无解,故5,34m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭．【点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．然后再根据复合命题的真假列不等式(组)求参数范围 【小试牛刀】【2019届一轮复习讲练测】已知，命题函数的值域为，命题函数在区间内单调递增．若是真命题，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D(三)与全称命题、特称命题真假有关的参数问题全称命题和特称命题从逻辑结构而言,是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化,达到解题的目的．【例3】若命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题,则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）[10,6]- （B ）(6,2]- （C ）[2,10]- （D ）(2,10)-【分析】命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”的否定是真命题,故将本题转化为恒成立问题求解． 【解析】由命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题,则命题“x R ∀∈使得22+50x mx m ++≥”为真命题．所以24(25)0,210m m m =-+≤∴-≤≤V ．故选（C ）．【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为恒成立问题处理． 【小试牛刀】【2017山东潍坊2017届高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-，,2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，,()212log 11x mx -+<-成立,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. （四）与全称量词、特称量词有关的参数问题全称量词“∀”表示对于任意一个,指的是在指定范围内的恒成立问题,而特称量词“∃”表示存在一个,指的是在指定范围内的有解问题,上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围．【例3】已知命题p ：“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”,命题q ：“022,2=-++∈∃a ax x R x ”． 若命题“p 且q ”是真命题,则实数a 的取值范围为（ ） A ．2-≤a 或1=a B ．2-≤a 或21≤≤a C ．1≥a D ．12≤≤-a【分析】若命题“p 且q ”是真命题,则命题,p q 都是真命题,首先将命题,p q 对应的参数范围求出来,求交集即可．【点评】命题p 是恒成立问题,命题q 是有解问题．【小试牛刀】【2018云南省红河州统一检测】若命题“，”为假命题，则的取值范（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】，为假命题，等价于，为真命题不妨设：由，知，从而于是，即，故选五、迁移运用1．【山东省日照市2018届高三5月校际联考】已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A． (1，+∞) B． (－∞，3) C． (1，3) D．【答案】C【解析】由“”是真命题可知命题p,q均为真命题，若命题p为真命题，则：，解得：，若命题q为真命题，则：，即，综上可得，实数a的取值范围是，表示为区间形式即.本题选择C选项.2．【山东省乐陵2019届高三一轮检测】已知P：，q：，且q是p的充分条件，则a的取值范围为A． B． C．或 D．或【答案】B3．【河北省武邑中学高三第四次模拟】设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】对应的集合为，对应的集合为，故或，解得或，故选D．4．【峨眉山市第七教育发展联盟2018届高考适应性考试】己知命题：“关于的方程有实根”，若非为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是( ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由命题有实数根，则则所以非时是非为真命题的充分不必要条件，所以，则m的取值范围为，所以选A5．【衡水金卷.2018年高三调研卷模拟二】已知，命题函数的值域为，命题函数在区间内单调递增.若是真命题，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D6．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】记命题为“点满足（）”，记命题为“满足”，若是的充分不必要条件，则实数的最大值为_________．【答案】【解析】依题意可知，以原点为圆心，为半径的圆完全在由不等式组所围成的区域内，由于原点到直线的距离为，所以，实数的最大值为7．【湖南省澧县一中2018届高三一轮复习第一次检测】已知命题p：“存在x∈R，使”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_____．【答案】【解析】非p即：“对任意x∈R， 4x+2x+1+m0”，如果“非p”是假命题，即m－4x－2x+1，而令t=，y===，，所以m<0，故答案为。

高三数学学习中的做题策略与技巧高三是学生们备考中最重要的一年，数学作为其中的一门核心科目，在学生的备考过程中占据着重要的位置。

为了提高数学成绩，学生们需要掌握一些有效的做题策略和技巧。

本文将介绍一些在高三数学学习中常用的做题方法，帮助学生们更好地应对数学考试。

一、整体把握题意在开始做题之前，学生应该先整体把握题意。

这意味着在阅读题目之后，要先理解题目的要求和背景，明确问题的关键点和线索。

同时，可以将问题进行归纳总结，将关键信息和相应的数学知识进行对应。

通过对题目的整体了解，可以更好地解决问题，减少遗漏和错误。

二、分析解题方法1. 找出关键点：在解决数学问题时，经常会遇到一些关键点或特征，这些关键点或特征对于解题是至关重要的。

学生们需要有能力识别并找出这些关键点，然后根据不同的数学知识和解题方法来解决问题。

2. 探究数学关系：数学是一门关注数学关系的学科，学生们应该尝试通过观察、分析和推理来探究数学关系。

例如，可以通过画图、列方程、设变量等方法来找出数学问题中的规律和关系，从而解决问题。

3. 利用已有知识：在高三学习中，学生们已经掌握了较多的数学知识，可以利用这些已有的知识来解决问题。

需要学生们灵活运用所学的数学公式、定理和方法，将问题转化成可以用已知知识解决的形式。

三、创造解题方法在面对一些难题时，学生们需要培养创造性思维，寻找新的解题方法。

可以通过反向思维、类比思维或联想思维等方法，从不同的角度出发，找到解决问题的突破口。

此外，学生们还可以尝试运用一些辅助工具，如图形辅助、公式转化等，来辅助解决问题。

四、做题技巧1. 多做题：只有通过大量的练习，才能更好地掌握数学知识和解题方法。

学生们应该多做一些典型的例题和试题，熟悉不同类型题目的解题思路和方法。

通过大量的练习，可以提高自己的解题速度和准确率。

2. 注意细节：在解决数学问题时，细节是非常重要的。

学生们需要注意题目中的条件限制、特殊要求等，避免在计算过程中遗漏关键步骤或者出现错误。

高考数学4332原则首先，说说4个步骤。

高考数学解题一般可以分为四个步骤：理解题意、制定解题方案、开始解题、检查解题。

在理解题意阶段，学生需要仔细阅读题目，理解题目要求，明确解题目标。

在制定解题方案阶段，学生需要根据题目要求，选择适当的数学方法和步骤，制定出解题的具体路线图。

在开始解题阶段，学生需要按照自己制定的方案，逐步解题，进行计算和推理。

最后，在检查解题阶段，学生要对解题过程和结果进行仔细检查，确保答案的准确性和完整性。

然后，讲讲3个层次。

高考数学题目的难度通常可以分为三个层次：基础层次、提高层次、拓展层次。

基础层次的题目主要考察基本的数学知识和运算技巧，属于必考内容。

提高层次的题目则更加复杂和有挑战性，需要较高的数学能力和问题解决能力。

拓展层次的题目则是考察学生的拓展思维和创新能力，通常具有一定的探索性和拓展性。

接下来，谈谈3个梯度。

高考数学难度也可以按照三个梯度来划分：简单梯度、中等梯度、困难梯度。

简单梯度的题目通常是相对简单和直接的，解题方法比较明确，适合考察基本的记忆和应用能力。

中等梯度的题目则需要一定的拓展和思考，可能需要综合运用多个概念和方法来解决。

困难梯度的题目则是考察较高层次的思维和解题能力，通常比较复杂，解题路径可能相对模糊。

最后，说说2个元素。

高考数学解题通常有两个重要元素：基本知识和解题思路。

基本知识是解题的基础，包括各种公式、定理、性质等。

在解题过程中，要熟练运用基本知识，灵活地组合和应用。

而解题思路则是解题的关键，它影响解题的方向和方式。

学生要注重培养解题思路，学会分析问题、抽象问题、建立模型等解题技巧。

总之，高考数学4332原则是一个非常实用的解题原则，它能帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题效率。

通过按照4个步骤、3个层次、3个梯度、2个元素的原则进行数学学习和解题，学生可以更好地应对高考数学考试，取得理想的成绩。

高考数学技巧如何巧妙运用数学推理解决难题高考数学是许多学生觉得较为困难的一门科目，特别是在解决数学推理题时更是令人头疼。

本文将介绍一些高考数学技巧，帮助学生们巧妙运用数学推理解决难题，以提高解题的准确性和效率。

一、数学运算规律的灵活应用数学运算规律是数学题中最基础、最重要的部分，熟练掌握并灵活运用这些规律是解题的关键。

在进行数学推理时，我们可以根据题目中给出的条件和求解的目标，灵活地应用数学运算规律来推导解题思路。

例如，对于复杂的方程式，可以通过代数运算和恒等式的变形来简化方程，使其更容易求解。

二、善用图形和图像的辅助在解决数学推理题时，我们可以通过绘制图形或图像，以直观的方式展示问题，方便我们理解和推理。

通过绘制图形，我们可以更好地理解题目中给出的条件，并根据图形特征进行推理。

在解析几何题中，通过绘制图形可以更清晰地看到几何关系，从而推导出解题方法和结论。

三、运用数据分析和统计学方法在解决与数据分析、统计学相关的数学推理题时，我们可以利用数据分析和统计学的方法来求解。

例如，在解决概率问题时，可以通过列出样本空间和事件概率的计算，求解出所求概率。

在解决统计学问题时，可以通过分析数据的特征，使用统计学方法来推导结论。

四、发现数学模式和规律在高考数学中，有许多题目可以通过观察数学模式和规律来解决。

发现数学模式和规律需要我们对题目有深入的理解和积累一定的经验。

通过观察和总结题目中的规律，我们可以将问题转化为更简单的形式或者使用已有的数学知识来解决。

这种方法在解决数列、函数和概率等问题时特别有效。

五、巧用答题技巧除了数学推理本身的技巧，我们还可以巧用一些答题技巧来提高解题的效率和准确性。

例如，在解决选择题时，可以通过排除法来缩小选项范围，提高正确选项的概率。

在解决填空题时，可以通过代入法、逆向思维等方法来快速得到解。

总结起来，高考数学技巧的巧妙运用需要我们深入理解数学概念和知识，并将其合理地运用到数学推理中。

高三数学高考数学难点攻克与解题技巧分享高三学生即将迎来人生中的重要考试——高考。

数学作为其中一个科目，常常被认为是学生们最头疼的一门课程之一。

为了帮助高三学生攻克高考数学的难题，本文将分享一些解题技巧和攻克数学难点的方法。

一、攻克高考数学难点的思路在解决数学难题时，我们常常受困于问题的纷繁复杂和数学知识的庞杂，导致思路混乱。

因此，攻克高考数学难点的第一步是正确的思维方式。

以下是一些建议：1. 确定重点：针对高考，了解每个知识点的权重和难度，有针对性地进行备考，将更多的精力放在重点知识上。

2. 了解题目类型：熟悉不同类型的数学问题，了解各种类型问题的解题思路和方法，为遇到难题时提供更多的解法选择。

3. 细致化解题过程：在解题过程中，要注重思维的细致化，将大问题拆解为小问题，逐步解决，避免一步到位的思维束缚。

二、解题技巧分享1. 题目分析：在解题之前，充分理解题目中的条件和要求，辨别出特殊信息和关键数据。

2. 制定解题计划：在上一步的基础上，确定解题的思路和步骤，将问题转化为数学表达式或方程式。

3. 运用数学工具：尽量利用数学工具和公式，减少计算出错的概率。

例如，在解决三角函数问题时可以使用特殊角的数值和基本三角函数公式。

4. 做好边角问题：在解答复杂题目时，遇到边角问题要特别注意。

边角问题可能会导致解题过程中出现奇怪的答案，因此务必检查计算过程。

5. 反向思维：遇到困难时，尝试从反向思维的角度出发。

即将答案倒推回题干，验证是否符合题目给出的条件。

6. 多练习多积累：在解题过程中，多进行练习，积累各类题目的解题经验和技巧。

通过大量练习，可以提高解题速度和准确性。

三、难点解析与攻克方法1. 空间几何和平面向量：这两个知识点往往是高考中的难点。

掌握空间几何的坐标表示法和方向向量的计算方法，熟悉平面向量的运算规则和性质，可以帮助解决相关题目。

2. 导数与微分：理解导数的几何意义和微分的应用场景，熟练掌握导数和微分的计算方法，可以更好地解决相关题目。

高中数学推理证明题的逻辑推理步骤与答题技巧高中数学中，推理证明题是考查学生逻辑推理能力和数学思维能力的重要题型之一。

在解答这类题目时，学生需要掌握一定的逻辑推理步骤和答题技巧。

本文将以具体的题目为例，详细介绍高中数学推理证明题的逻辑推理步骤与答题技巧。

一、题目分析假设有一道题目如下：已知：在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(-1,4)在直线y=kx+b上，且点C(5,1)在直线y=kx+b的下方。

要求：证明直线y=kx+b的斜率k大于0。

二、解题步骤1. 理清题意和要求首先，我们要理解题目中给出的已知条件和要求。

已知点A和点B在直线y=kx+b上，点C在直线y=kx+b的下方。

要求证明直线y=kx+b的斜率k大于0。

2. 利用已知条件推导结论根据题目中的已知条件，我们可以得出以下推论：由于点A(2,3)和点B(-1,4)在直线y=kx+b上，可以得到两个方程：3=2k+b （1）4=-k+b （2）由于点C(5,1)在直线y=kx+b的下方，可以得到以下不等式：1>5k+b （3）3. 进行逻辑推理为了证明直线y=kx+b的斜率k大于0，我们需要进行逻辑推理。

根据已知条件和推论，我们可以得出以下结论：由方程（1）和方程（2）相减，消去b，得到：k=-1将k的值代入方程（1）或方程（2）中，可以求得b的值：b=5将k和b的值代入不等式（3）中，可以得到：1>5*(-1)+51>0由此可见，1大于0，即直线y=kx+b的斜率k大于0。

三、解题技巧在解答推理证明题时，以下几点是需要注意的解题技巧：1. 理解题意和要求首先，要仔细阅读题目，理解题意和要求。

弄清楚已知条件和需要证明的结论，对于题目中的关键信息要有清晰的认识。

2. 利用已知条件推导结论根据已知条件，利用数学知识和推理能力，进行逻辑推导，得出中间结论。

这些中间结论是证明最终结论的基础，要仔细推敲和验证。

3. 进行逻辑推理在推理过程中，要运用逻辑推理的方法，从已知条件出发，逐步推导出结论。

高考数学技巧如何利用数学推理解决复杂的逻辑题高考作为一个决定学生升学命运的关键考试，对于考生来说，数学科目往往是他们最头疼的一门。

尤其在解决逻辑题时，很多学生常常感到迷茫和无助。

然而，通过运用数学推理，我们可以有效解决这类复杂的逻辑题。

本文将探讨几种常用的数学技巧，来指导考生在高考中灵活运用数学推理，解决复杂的逻辑题。

I. 数学推理简介在开始讨论高考数学技巧如何利用数学推理解决复杂的逻辑题之前，我们首先需要了解数学推理的概念。

数学推理是运用逻辑推理和数学知识，由已知条件出发，利用逻辑规律推导出结论的过程。

数学推理可以帮助我们在解决复杂逻辑题时，建立逻辑思维的框架，从而更加系统和有条理地分析问题。

II. 运用代入法解决逻辑题代入法是一种常用且有效的数学技巧，特别适用于解决涉及复杂逻辑关系的题目。

在高考数学中，很多逻辑题都可以通过代入法来解答。

具体来说，我们可以将给定的条件用符号化表示，然后代入已知的条件进行计算，从而获得结论或新的条件。

举个例子来说明代入法的使用。

假设有一道题目，要求我们根据已知条件判断一些数的大小关系。

我们可以将这些数用变量表示，然后将已知条件代入运算，通过计算得到结论。

通过代入法，我们可以更好地理解数值之间的关系，更加灵活地应用数学推理。

III. 运用条件推理解决逻辑题条件推理是解决高考数学逻辑题的另一种重要方法。

条件推理是通过已知的条件和逻辑关系，推导出新的条件和结论。

在解决复杂逻辑题时，我们需要运用条件推理构建逻辑链条，从而逐步推出答案。

举个例子来说明条件推理的使用。

考虑一个关于集合的题目，要求我们根据已知条件推断集合元素的情况。

我们可以运用条件推理，通过观察已知条件之间的逻辑关系，逐步得出集合元素的性质。

通过条件推理，我们可以将复杂的逻辑题目转化为逐步推理的过程，更加清晰地找出解题思路。

IV. 运用数学证明解决逻辑题数学证明是解决逻辑题的一种重要方法，特别适用于需要推导出结论的题目。

问题42实际应用中的统计解答题一、考情分析概率统计在高考中扮演着很重要的角色,概率统计解答题是全国卷及多数省市高考数学必考内容,内容主要涉及古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、二项分布、正态分布、频率分布直方图、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等.回顾近几年的高考试题,可以看出概率统计解答题,大多紧密结合社会实际,以现实生活为背景设置试题,注重知识的综合应用与实际应用,作为考查实践能力的重要载体,命题者要求考生会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,建立数学模型,再应用数学原理和数学工具解决实际问题.该类问题阅读量一般比较大,但难度多为中等或中等偏易. 二、经验分享(1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1. 利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．(3)解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0. (4)判定两个变量正、负相关性的方法①画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．②相关系数：r >0时，正相关；r <0时，负相关．③线性回归方程中：b ^>0时，正相关；b ^<0时，负相关．(5) 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：①确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；② 根据一组观测值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；③ 求出线性回归方程．线性回归分析问题的类型及解题方法 ①求线性回归方程利用公式，求出回归系数b ^，或待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．②利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．③利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b ^.(6)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强． (7)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法①通过计算K 2的大小判断：K 2越大，两变量有关联的可能性越大．②通过计算|ad －bc |的大小判断：|ad －bc |越大，两变量有关联的可能性越大． (8)独立性检验的一般步骤 ①根据样本数据制成2×2列联表． ②根据公式计算K 2的观测值k .③比较k 与临界值的大小关系，作统计推断． 三、知识拓展 四、题型分析(一) 期望与方差的应用数学期望反应的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反应随机变量取值在其平均值附近的离散程度.现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差这思想来对事件发生大小的可能性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否等很多问题都与这两个特征两量有关.(1)若我们希望实际的平均水平较理想,则先求随机变量12ξξ，的期望,当12E E ξξ=时,不应认为它们一定一样好,需要用12,D D ξξ来比较这两个随机变量的方差,确定它们的偏离程度. (2)若我们希望比较稳定性,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或接近.【例1】例3.7（2018新课标I 卷理20）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【分析】利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数确定其单调性，再求最大值点，注意；(2)先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此.令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为.（2）由（1）知，.（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于，故应该对余下的产品作检验.【点评】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【小试牛刀】【广东省江门市2019届第一次模拟】甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪元，每单提成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分每单提成元，大于单的部分每单提成元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）若将大于单的工作日称为“繁忙日”，根据以上频数表能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“繁忙日”与公司有关？（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘，你会推荐小王去哪家？为什么？参考公式和数据：【解析】（1）依题意得，公司与“繁忙日”列联表,，所以，能在犯错误的概率不超过的前提下认为“繁忙日”与公司有关 .（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，，当时，，当时，，当时，，当时， . 所以，的所有可能取值为、、、、，的分布列为：.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为,所以甲公司送餐员日平均工资为（元）,因为，故从更高收入角度考虑推荐小王去乙公司应聘；因为乙公司比甲公司繁忙，故从工作闲适角度考虑推荐小王去甲公司应聘． (二)正态分布的应用正态分布随处可见，处处显现着他神秘的身影.对于某一件事或者某个要达到的目标，很多很多的个体发挥出来的水平大致上服从正态分布.也就是说，对于大量个体的发挥统计，常常能看到正态分布“冥冥之中”束缚着整体的状态. 对于某个单独的单位，一般来说，对于“发挥出来的水平”这件事，也往往有波动的效果，不管是机器、工具还是我们人本身：有的时候，超水平发挥了；有的时候正常发挥；有的时候又会发挥失常.这种东西应该也可以抽象为围绕期望水平的正态分布. 而对于若干数据，包括发挥水平、排位情况，但是没有整体数据的时候，如果能推测是正态分布的情形，就可以近似计算出分布函数来，然后去估计其他的分布情况.这是反向推导的过程. 生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等.【例2】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ．（1）假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件数,求()1P X …及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.969.96 10.01 9.929.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s ===,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1216i =⋯，，，． 用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除()ˆˆˆˆ3,3μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布()2,N μσ,则()–330.9974P Z μσμσ<<+=,160.99740.9592≈0.09≈．【分析】 (1)先确定()~160.0026X B ，,再利用EX np =求期望；（2）（i ）判断监控生产过程的方法是否合理,可通过一天内抽取的16个零件中,尺寸落()33μσμσ-+，之外概率的大小判断,（ii ）剔除异常数据,在利用公式求μ和σ.【解析】 （1）由题可知尺寸落在()33μσμσ-+，之内的概率为0.9974,落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026．()()016160C 10.99740.99740.9592P X ==-≈,()()11010.95920.0408P X P X =-=≈-=…,由题可知()~160.0026X B ，,所以()160.00260.0416E X =⨯=. （2）（i ）尺寸落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026,由正态分布知尺寸落()33μσμσ-+，之外为小概率事件,因此上述监控生产过程的方法合理．（ii ）39.9730.2129.334μσ-=-⨯=,39.9730.21210.606μσ+=+⨯=,()()339.33410.606μσμσ-+=，，,因为()9.229.33410.606∉，, 所以需对当天的生产过程检查． 因此剔除9.22,剔除数据之后：9.97169.2210.0215μ⨯-==．()()()()()222222[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.02σ=-+-+-+-+-+()()()()()222229.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02-+-+-+-+-+()()()()()22222110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]0.00815-+-+-+-+-⨯≈.所以0.09σ=≈.【点评】正态分布是概率统计中相对较独立的一个考点,且已经从冷点转化为热点,求解此类问题,一般从,μσ入手,对于应用问题,要注意从较大的阅读量中提取有用的信息.以下两类问题是正态分布中的基本问题：(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ－σ,μ＋σ),(μ－2σ,μ＋2σ),(μ－3σ,μ＋3σ)中的哪一个.【小试牛刀】【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率．(I)求频率分布直方图中的值；(II)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布，其中若，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．【解析】解：(Ⅰ)由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50公斤的概率为，则，在上有13人，该组的频率为0.13，则，所以，即c=0.07.(Ⅱ)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在的概率为0.07×10=0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X服从二项分布，则，，，，所以，X的概率分布列为：E(X)=3×0.7=2.1(Ⅲ)由N(60,25)得由图（2）知.所以可以认为该校学生的体重是正常的.(三) 用样本估计总体频率分布直方图是高考考查的热点，考查频率很高，题型有选择题、填空题，也有解答题，难度为低中档．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．【例3】2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这户损失超过元的农户中随机抽取户进行重点帮扶，设抽出损失超过元的农户数为，求的分布列和数学期望. 【分析】（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．【解析】（1）记每个农户的平均损失为元，则；（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户），随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列为；数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．【点评】用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法．分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观． 【小试牛刀】中国农业银行开始为全国农行ATM 机安装刷脸取款系统.某农行营业点为调查居民对刷脸取款知识的了解情况,制作了刷脸取款知识有奖调查问卷,发放给2018年度该行的所有客户,并从参与调查且年龄(单位:岁)在[25,55]内的客户中随机抽取100名给予物质奖励,再从中选出一名客户参加幸运大抽奖.调查结果按年龄分成6组,制作成如下的频数分布表和女客户的年龄茎叶图,其中a ∶b ∶c =2∶4∶5.女客户的年龄茎叶图幸运大抽奖方案如下:客户最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为,第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛掷一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖.规定:抛出的硬币,若反面朝上,则客户获得5000元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,客户需进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,如果中奖,则获得奖金10000元,如果未中奖,则所获得的奖金为0元.(1)求a ,b ,c 的值,若分别从男、女客户中随机选取1人,求这2人的年龄均在[40,45)内的概率; (2)若参加幸运大抽奖的客户所获奖金(单位:元)用X 表示,求X 的分布列与数学期望E (X ). 【解析】(1)由频数分布表知,a+b+c=100-45=55. 因为a ∶b ∶c=2∶4∶5, 所以a=×55=10,b=×55=20,c=×55=25,由茎叶图可知年龄在[25,30)内的女客户有2人,年龄在[30,35)内的女客户有4人,年龄在[35,40)内的女客户有8人,年龄在[40,45)内的女客户有10人,年龄在[45,50)内的女客户有6人,年龄在[50,55]内的女客户有10人,故年龄在[40,45)内的男客户有15人,在100名客户中,男客户有60人,女客户有40人,所以从男客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P 1=,从女客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P 2=,则分别从男、女客户中随机选取1人,这2人的年龄均在[40,45)内的概率P =P 1×P 2=.(2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,5000,10000,则P (X =0)=,P (X =5000)=,P (X =10000)=.X 的分布列为E (X )=0×+5000×+10000×=5200(元).(四) 回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则无意义．根据回归方程进行的估计仅是一个预测值，而不是真实发生的值． 用最小二乘法求回归方程，关键在于正确求出系数a ^，b ^，由于a ^，b ^的计算量较大，计算应仔细小心． 【例4】【湖北省黄冈市2019届模拟】某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该基地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量（千克）与使用某种液体肥料的质量（千克）之间的关系如图所示.（1）依据上图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量（单位：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式，参考数据：，.【分析】(1)根据公式得到相关系数的值，通过比较得到判断；（2）分别求出安装一台，两台，三台时的利润均值，得到结果.【解析】（1）由已知数据可得，.∵，，.∴相关系数.∵，∴可用线性回归模型拟合与的关系.（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪.①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元.②安装2台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润（元），，故的分布列为∴（元）.③安装3台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，3台光照控制仪都运行，周总利润（元），，故的分布列为∴（元）.综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪.【点评】判断两个变量是否具有相关关系的常用方法：(1)利用散点图进行判断；(2)利用相关系数r进行判断．【小试牛刀】【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】某商场营销人员进行某商品市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：反馈点数（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量（千件）与返还点数之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：（i）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；（ii）将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：①，；②.【解析】（1）易知，，，，.则关于的线性回归方程为，当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.（2）（i）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值的平均值，及中位数的估计值分别为：，中位数的估计值为.（ii）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为，“欲望膨胀型”消费者人数为.，，，故随机变量的分布列为.(五) 独立性检验独立性检验的一般步骤(1)假设两个分类变量x与y没有关系；(2)计算出K2的观测值，其中K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）；(3)把K2的值与临界值比较，作出合理的判断．【例5】【福建省莆田市2019届高三下学期教学质量检测】为推进“千村百镇计划”，年月某新能源公司开展“电动莆田绿色出行”活动，首批投放台型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月。

问题43推理问题的常见求解策略一、考情分析推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,它包括合情推理与演绎推理,合情推理又包括归纳推理和类比推理,归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,由部分到整体、归纳推理由个别到一般的推理类比；推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,它是由特殊到特殊的推理；演绎推理从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论．演绎推理是由一般到特殊的推理．高考中归纳推理和类比推理常以客观题形式出现,演绎推理常和其他知识交汇,以解答题形式出现,下面分别总结几类推理问题的求解策略,共同学们参考.二、经验分享1.归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性．2.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．3.演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提,一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．4.合情推理在近年来的高考中,考查频率逐渐增大,题型多为选择、填空题,难度为中档．解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题,常因条件不足,了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题,应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由,再去类比另一类问题．三、知识拓展数学史上的著名推理问题1. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=,121215F =+=,2222117F =+=,32321257F =+=,4242165537F =+=的观察,发现其结果都是素数,于是提出猜想：对所有的自然数n ,任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉,发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数,推翻费马猜想. 2. 四色猜想：1852年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”,四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用1200个小时,作了100亿逻辑判断,完成证明. 四、题型分析（一）归纳推理的求解策略 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．(2)归纳推理是一种重要的思维方法,但结果的正确性还需进一步证明,一般地,考查的个体越多,归纳的结论可靠性越大．因此在进行归纳推理时,当规律不明显时,要尽可能多地分析特殊情况,由此发现其中的规律,从而获得一般结论．(3)归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题和填空题,难度稍大,属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：①数值的归纳；②代数式的归纳；③图形的归纳．【例1】某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度相等,两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,…,依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．【分析】分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有3＝(3×2－3)条线段,二级分形图有9＝(3×22－3)条线段,三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段,按此规律n 级分形图中的线段条数a n＝(3×2n－3)(n∈N*)．【答案】a n＝(3×2n－3)(n∈N*)【点评】(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的；(3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用．【小试牛刀】【江西省南昌市2019届高三第一次模拟】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )A．4072 B．2026 C．4096 D．2048【答案】A【解析】由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n，可得当n＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，故选：A．（二）类比推理的求解策略在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误．类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移.【例2】若等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,前n 项的和为S n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列,且通项为S n n ＝a 1＋(n－1)·d2.类似地,请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1,公比为q ,前n 项的积为T n ,则数列________为等比数列,通项为________．【分析】解题的关键是找出等差数列与等比数列性质的关联【点评】因为在等差数列{a n }中前n 项的和为S n 的通项,且写成了S n n ＝a 1＋(n －1)·d2,所以在等比数列{b n }中应研究前n 项的积为T n 的开n 方的形式,等差数列中的求和类比等比数列中的乘积,类比可得：数列{n T n }为等比数列,通项为n T n ＝b 1·(q )n －1.【点评】等差数列与等比数列的类比,要注意运算的转换：和差→积商,乘积→乘方【小试牛刀】在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1,外接圆面积为S 2,则S 1S 2＝14,推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ­ABC 的内切球体积为V 1,外接球体积为V 2,则V 1V 2＝________．【答案】127【解析】正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1,故正四面体P ­ABC 的内切球体积为V 1,外接球体积为V 2,则V 1V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.（三）演绎推理的求解策略演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式,是一种必然性推理．演绎推理的模式为： 三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做 出的判断.应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的．如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得结论也是错误的．【例3】数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1＝1,a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋)．证明：(1)数列{S nn }是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ,a n ＋1＝n ＋2n S n ,∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n ),即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ,(小前提)故{S nn }是以2为公比,1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义,这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2),∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2),(小前提)又a 2＝3S 1＝3,S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1,(小前提) ∴对于任意正整数n ,都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)【点评】“三段论”式的演绎推理一定要保证大前提正确,且小前提是大前提的子集关系,这样经过正确推理,才能得出正确结论；常见易错点是对大前提“凭空想象、思维定势、想当然”,从而出错,或者小前提与大前提“不兼容”“不包容”“互补”而出错．【小试牛刀】【陕西省2019届高三第二次教学质量检测】一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ） A ．若，则乙有必赢的策略 B ．若，则甲有必赢的策略 C ．若，则甲有必赢的策略D ．若，则乙有必赢的策略【答案】A 【解析】若，则乙有必赢的策略。