2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习 寒假作业(十八) 统计、统计案例(注意命题点的区分度)

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第三节统计与统计案例考纲解读1. 理解随机抽样的必要性和重要性。

2. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.3. 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画出频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.4. 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.5. 能从样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字牲估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。

6. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。

7. 会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.8. 了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

9. 了解常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题。

（1）独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.(2)回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.命题趋势探究1。

本节内容是高考必考内容，以选择题、填空题为主.2. 命题内容为：(1）三种抽样（以分层抽样为主）；(2)频率分布表和频率分布直方图的制作、识图及运用。

(1）(2）有结合趋势，考题难度中下.3。

统计案例为新课标教材新增内容，考查考生解决实际问题的能力。

2018年(全国卷1)高三理科数学寒假作业18第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设{}|2A x Z x =∈≤，{}2|1,B y y x x A ==+∈，则B 的元素个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．无数个2.设复数21a i z i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（ ）A ．12-B ．12i -C ．32-D ．32i - 3.函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到cos 2y x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83πB ．3π C.103π D ．6π 5.ABC ∆外接圆圆心O ，半径为1，2AO AB AC =+ 且OA AB = ，则向量BA在向量BC 方向的投影为（ ）A ．12-B．2-C. 2D ．12 6.设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-<⎩，则1x y x μ+=+的取值范围是（ ）A ．21,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．21,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭7.已知ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为2，则这个三角形的周长为（ ） A ．18 B ．21 C. 15 D ．24 8.定义123nnp p p p ++++…为n 个正数123n p p p p ++++…的“均倒数”，已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b +++=…（ ） A ．910 B ．1011 C.1112 D ．1129.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()2250.2a f =，()1b f =，513log 3log 5c f ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c << C.c a b << D ．a b c <<10.已知点()1,0M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB = ，则MA BA 的取值范围是（ ） A ．2,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,9 C.2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D．3⎤⎥⎣⎦11.三棱锥P ABC -中，已知3APC BPC APB π∠=∠=∠=，点M 是ABC ∆的重心，且PA PB +9PB PC PC PA += ，则PM的最小值为（ ）A．3B．12.已知函数()(),12,1xe xf x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．(]1,11,13e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.以下四个命题，正确的是 ．①命题“若()f x 是周期函数，则()f x 是三角函数”的否命题是“若()f x 是周期函数”，则()f x 不是三角函数；②命题“存在x R ∈，20x x ->”的否定是“对于任意x R ∈，20x x -<”；③在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“A B >”成立的充要条件；④若函数()f x 在()2015,2017上有零点，则一定有()()201520170f f < .14.在ABC ∆中，AB BC =，7cos 18B =-，若以,A B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．15.在直角梯形ABCD ，AB CD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，2AB =，,E F 分别为,AB AC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）.若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是 ．16.已知三棱锥O ABC -，,,A B C 三点均在球心为O 的球表面上，1AB BC ==，120ABC ∠=︒，三棱锥O ABC -O 的表面积是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，()cos25cos 2B A C -+=. （1）求角B 的值； （2）若1cos 7A =，ABC ∆的面积为BC 边上的中线长.18. （本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足：13a =，()1181n n n n a a n N n a a *+++=∈+-，设1n nb a =，22212n nS b b b =+++…. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：14n S <; （3）若数列{}n c 满足()1312n nn n c λ-=+- （λ为非零常数），确定λ的取值范围，使n N *∈时，都有1n n c c +>.四棱锥P ABCD -中，点P 在平面ABCD 内的射影H 在棱AD 上，PA PD ⊥，底面ABCD 是梯形，//BC AD ，AB AD ⊥，且1AB BC ==，2AD =.（1）求证：PAB PAD ⊥平面平面；（2）若直线AC 与PD 所成角为60︒，求二面角A PC D --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为()110F -，，()21,0F ，短轴的两个端点分别为12,B B . （1）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的短轴为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程.函数()21ln 12a f x a x x +=++. （1）当12a =-时，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值； （2）讨论函数()f x 的单调性； （3）当10a -<<时，有()()1ln 2af x a >+-恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求半圆1C 的普通方程；（2）设动点A 在半圆1C 上，动线段OA 的中点M 的轨迹为2C ，2C 与直线2y =+交点为D ，求点D 的直角坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,m n R ∈，()2f x x m x n =++-. （1）求()f x 的最小值；（2）若()f x 的最小值为2，求224n m +的最小值.2018年(全国卷1)高三理科数学寒假作业18答案一、选择题1-5:ACCBD 6-10:DCBAA 11、12：CD 二、填空题 13.③ 14.3815.[]1,1- 16.64π 三、解答题17.（1）由条件知，即22cos 5cos 30B B +-=，解得1cos 2B =或cos 3B =-（舍去），又0B π<<，3B π=∴.由①②知，7b =，5c =，由余弦定理得，8a ==，BC边上的中线AD ==18.（1）1181n n n na a n a a +++=+-，()22181n n a a n +-=+∴，则()()()()()222222222112211812+9=21n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+-+++⎡⎤⎣⎦……()212n a n n =+≥∴，当1n =时，12113a =⨯+=也适合，()21n a n n N +=+∈∴.（2）()()222221111111144144414121n n b a n n n n n n n n n ⎛⎫===<==- ⎪+++++⎝⎭+， 1111111111142231414n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴….（3）()1312n nn n C λ-=+- ，1n n C C +>∴，对n N +∈恒成立.即()()111312312nn n n n n λλ-+++->+-，即()()1113312120n n n n n n λλ-++-+--->，即()231320nn nλ+-> ，()23132n nn λ--> ∴，即()1312n n λ-⎛⎫->- ⎪⎝⎭，对n N +∈恒成立，当n 为偶数时，132n λ-⎛⎫>- ⎪⎝⎭对n N +∈恒成立，13322n -⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，32λ>-∴，当n 为奇数时，132n λ-⎛⎫< ⎪⎝⎭对n N +∈恒成立，1312n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，1λ<∴，又已知0λ≠，312λ-<<∴且0λ≠，λ∴范围是3|02λλλ⎧⎫-<≠⎨⎬⎩⎭且. 19.（1）PH ABCD ⊥ 平面，AB ABCD ⊂平面，PH AB ⊥∴，AB AD ⊥ ，AD PH H = ，,AD PH PAD ⊂平面，AB PAD ⊥∴平面，又AB PAB ⊂平面， PAB PAD ⊥∴平面平面.（2）以A 为原点，如图建立空间直角坐标系A xyz -，PH ABCD ⊥ 平面，z PH ∴轴//，则()000A ，，，()110C ，，，()020D ，，，设AH α=，()02,0PH h a h =<<>，()0,,P a h ∴，()0,,AP a h = ，()0,2,DP a h =- ，()1,1,0AC =， PA PD ⊥ ，∴()220AP DP a a h =-+=，AC 与PD 所成角为60︒，1cos ,2AC DP <>==∴，()222a h -=∴，()()210a a --=∴， 02a << ，1a =∴，0h > ，1h =∴，()0,1,1P ∴，()0,1,1AP = ∴，()1,1,0AC = ，()1,0,1PC =- ，()1,1,0DC =-，设平面APC 的法向量为(),,n x y z =，由00n AP y z n AC x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，得平面APC 的一个法向量为()1,1,1n =-， 设平面DPC 的法向量为(),,m x y z =，由0m PC x z m DC x y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ ，得平面DPC 的一个法向量为()1,1,1，1cos ,3m n m n m n <>== ∴， 二面角A PC D --的平面角为钝角， ∴二面角A PC D --的余弦值为13-.20.（1）112F B B ∆为等边三角形，则2222222224333:3114113a a b b x c C y a b c b ⎧=⎪⎧⎧-==⎪⎪⇒⇒⇒+=⎨⎨⎨-==⎪⎩⎩⎪=⎪⎩； （2）容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=，当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，由()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222221421k x k x k +-+-0=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2122421k x x k +=+，()21222121k x x k -=+ ，()1111,F P x y =+ ，()1221,FQ x y =+，11F P FQ ⊥ ，110F P FQ = ∴，即()()()1212121211x x y y x x x x +++=++()()()()()22222121212271111111021k k x x k x x k x x k k -++--=+--+++==+，解得217k =，即k =l的方程为10x -=或10x -=. 21.（1）当12a =-时，()21ln 124x f x x =-++，()211=222x x f x x x--+=∴′.()f x 的定义域为()0,+∞，∴由()0f x =′，得1x =，()f x ∴在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值只可能在()()11,,f f f e e ⎛⎫⎪⎝⎭取到，而()514f =，213124f e e⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2124e f e =+，()()2max 124e f x f e ==+，()()min 514f x f ==.（2）()()21a x a f x x++=′，()0,x ∈+∞，①当10a +≤，即1a ≤-时，()0f x <′，()f x ∴在()0,+∞单调递减；②当0a ≥时，()0f x >′，()f x ∴在()0,+∞单调递增；③当10a -<<时，由()0f x >′得21a x a ->+，x >∴x <，()f x ∴在⎫+∞⎪⎪⎭递增，在⎛ ⎝上递减；；综上，当0a ≥时，()f x 在()0,+∞递增；当10a -<<时，()f x在⎫+∞⎪⎪⎭递增，在⎛ ⎝上递减.当1a ≤-时，()f x 在()0,+∞递减. （3）由（2）知，当10a -<<时，()min f x f =，即原不等式等价于()1ln 2a f a >+-，即()111ln 212a a aa a a +-+>+-+ ，整理得，()ln 11a +>- 11a e >-，又10a -<< ，a ∴的取值范围为11,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 22.解：（1）由互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，且,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得，半圆1C 的普通方程：()()222420,04x y x y +-=-≤≤≤≤.（2）设(),M x y ，由中点坐标公式得曲线2C 的普通方程为()()221110,02x y x y +-=-≤≤≤≤，与直线2y =+联立，所以点12D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭或()0,2D . 23.解：（1）()3,,23,2x m n x mn x m n m x f x nx m n x --+≤-⎧⎪⎪-++-<<=⎨⎪⎪+-≥⎩ ，()f x ∴在,2n ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭是减函数，在,2n ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，∴当2nx =时，()f x 取最小值22n n f m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，()f x 的最小值为2n m +，22nm +=∴.,m n R+∈ ，22222112242424n n nm m m⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≥+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2nm=，即1m=，2n=时，取等号，2244nm⎛⎫+⎪⎝⎭∴的最小值为2.。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（二）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1z的共轭复数为（）AB C D2．若双曲线221yxm-=的一个焦点为()3,0-，则m=（）A．B．C．D．643()fx）ABC D4．函数()12xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,x∈+∞的值域为D，在区间()1,2-上随机取一个数x，则x D∈的概率是（）A．12B．13C．14D．15．记()()()()72701272111x a a x a x a x-=+++++⋅⋅⋅++，则012a a a+++6a⋅⋅⋅+的值为（）A．1 B．2 C．129 D．21886．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．87．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）A ．一鹿、三分鹿之一B．一鹿C．三分鹿之二D．三分鹿之一8）A．B．C．D．9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）A ．12B ．18C ．120D ．12510．当实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p ，而由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．4311．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）AB1- C1D12．已知函数()e e x x f x -=+（其中是自然对数的底数），若当0x >时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

课时跟踪检测（二十三） 圆锥曲线1．(2018届高三·石家庄摸底)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围． 解：(1)设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)， 设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2， 则k 1＝y x ＋4，k 2＝yx －4. 由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.从而，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3. 所以－20＜OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→≤－523.当直线PQ 的斜率不存在时，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的值为－20. 综上，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围为⎣⎡⎦⎤－20，－523. 2．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝ 2 NM ―→.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP ―→·PQ ―→＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP ―→＝(x －x 0，y )，NM ―→＝(0，y 0)． 由NP ―→＝ 2 NM ―→，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )， 则OQ ―→＝(－3，t )，PF ―→＝(－1－m ，－n )， OQ ―→·PF ―→＝3＋3m －tn ，OP ―→＝(m ，n )，PQ ―→＝(－3－m ，t －n )． 由OP ―→·PQ ―→＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ ―→·PF ―→＝0，即OQ ―→⊥PF ―→. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .3．(2018届高三·西安八校联考)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆上的点T (2，2)到点F 1，F 2的距离之和等于4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，A 为椭圆C 的左顶点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .问：以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解：(1)由椭圆上的点T (2，2)到点F 1，F 2的距离之和是42，可得2a ＝42，a ＝2 2. 又T (2，2)在椭圆上，因此4a 2＋2b 2＝1，所以b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为椭圆C 的左顶点为A ， 所以点A 的坐标为(－22，0)．因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于E ，F 两点，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0＞0)，则点F (－x 0，－y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1消去y ，得x 2＝81＋2k 2， 所以x 0＝221＋2k 2，则y 0＝22k 1＋2k 2， 所以直线AE 的方程为y ＝k1＋1＋2k 2(x ＋22)．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ， 令x ＝0，得y ＝22k1＋1＋2k 2，即点M 0，22k1＋1＋2k 2.同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2.所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k 2－22k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |.设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫0，－2k . 则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k 2)|k |2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4. 令y ＝0，得x 2＝4，即x ＝2或x ＝－2.故以MN 为直径的圆经过两定点P 1(2,0)，P 2(－2,0)．4.(2017·安徽二校联考)已知焦点为F 的抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2＝1，直线l 与抛物线相切于点P ，与圆相切于点Q .(1)当直线l 的方程为x －y －2＝0时，求抛物线C 1的方程； (2)记S 1，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求S 1S 2的最小值．解：(1)设点P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 22p ，由x 2＝2py (p ＞0)得， y ＝x 22p ，求得y ′＝xp ，因为直线PQ 的斜率为1， 所以x 0p ＝1且x 0－x 202p －2＝0，解得p ＝2 2.所以抛物线C 1的方程为x 2＝42y .(2)点P 处的切线方程为y －x 202p＝x 0p (x －x 0)，即2x 0x －2py －x 20＝0，OQ 的方程为y ＝－px 0x . 根据切线与圆相切，得|－x 20|4x 20＋4p2＝1，化简得x 40＝4x 20＋4p 2，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0x －2py －x 20＝0，y ＝－px 0x ， 解得Q ⎝⎛⎭⎫2x 0，4－x 202p .所以|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |＝1＋x 20p 2⎪⎪⎪⎪x 0－2x 0＝ p 2＋x 20p ·⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0，又点F ⎝⎛⎭⎫0，p2到切线PQ 的距离 d 1＝|－p 2－x 20|4x 20＋4p2＝12x 2＋p 2， 所以S 1＝12|PQ |d 1＝12·p 2＋x 20p ·⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0·12x 20＋p 2＝x 20＋p 24p ⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0， S 2＝12|OF ||x Q |＝p 2|x 0|，而由x 40＝4x 20＋4p 2知，4p 2＝x 40－4x 20＞0，得|x 0|＞2， 所以S 1S 2＝x 20＋p 24p ⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0·2|x 0|p＝(x 20＋p 2)(x 20－2)2p 2＝(4x 20＋x 40－4x 20)(x 20－2)2(x 40－4x 20) ＝x 20(x 20－2)2(x 20－4) ＝x 20－42＋4x 20－4＋3≥22＋3，当且仅当x 20－42＝4x 20－4时取等号，即x 20＝4＋22时取等号，此时p ＝2＋2 2. 所以S 1S 2的最小值为22＋3.。

2018届高考理科数学二轮专题复习讲义。

统计与统计案例本文介绍了统计与统计案例中的一些考点和热点分类，以及一些跟踪演练题目的解析。

在考试中，会以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等。

同时，在概率与统计的交汇处命题，难度适中。

抽样方法有三种：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样。

简单随机抽样适用于总体中个体数较少的情况，而系统抽样适用于个体数较多的情况。

分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况。

对于一些具体的题目，我们可以根据题意和抽样比例计算出样本中产品的最小编号或者应该抽取的学生人数。

在随机抽样的各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的。

系统抽样又称为“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同。

分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例。

最后，我们来看一道跟踪演练题目。

题目要求从福利彩票“双色球”中选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行、第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字。

根据题意和随机数表，我们可以计算出第四个被选中的红色球号码为06.解析：1) 样本编号题目，根据系统抽样的方法，计算出样本组距为9，然后根据已知编号推算出样本中还有一个学生的编号为14，故选B。

2) 该部分内容排版混乱，需要重新排版。

频率分布直方图中，横坐标表示组距，纵坐标表示频率，频率等于组距乘以组距。

各小长方形的面积之和为1.在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标即为众数。

中位数左边和右边的小长方形的面积和相等。

平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。

3) 根据题目可以列出方程，设未知数为x，平均数为a，中位数为b，众数为c，则有：(10+2+5+2+4+2+x)/7=a，中位数为2或5，众数为2，根据众数的定义可得c=2，因此有：b-a=c-b，代入已知数据可得b=3a-4，根据平均数的定义可得：(10+2+5+2+4+2+x)/7=a，解出a=5，代入b=3a-4可得b=11，因此中位数为11，根据中位数的定义可得：(10+2+5+2+4+2+x)/7=11，解出x=3，所以所有可能值之和为25+3=28，因此答案为B。

2018年高考数学(理数) 统计案例专项练习1.某城镇社区为了丰富辖区内广大居民的业余文化生活，创建了社区“文化丹青”大型活动场所，配备了各种文化娱乐活动所需要的设施，让广大居民健康生活、积极向上．社区最近四年内在“文化丹青”上的投资金额统计数据如表：（为了便于计算，把2015年简记为5，其余以此类推）（1）利用所给数据，求出投资金额y与年份x之间的回归直线方程；（2）预测该社区在2019年在“文化丹青”上的投资金额．2.第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜下一届中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为0.8，丙猜中国代表团的概率为0.6，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX.3.随着互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M 的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图：（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系，求y关于x 线性回归方程，并预测M公司2017年4月的市场占有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如右表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：4.随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关？（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差.5.随着电子产品的不断更新完善，更多的电子产品逐步走入大家的世界，给大家带来了丰富多彩的生活，但也带来了一些负面的影响，某公司随即抽取1000人对某电子产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的年龄层次以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过10.1%的前提下，认为电子产品的态度与年龄有关系？（2）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员进行抽奖活动，奖金额以及发放的概率如下：现在甲、乙两人参与了抽奖活动，记两人获得的奖金总金额为Y，求Y的分布列和数学期望.6.随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视．为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示：（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？（2）在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在这15人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有9人．从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人，求这3人中使用非国产手机的人数X的分布列和数学期望．参考公式：7.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如下图所示.（1）求频率分布直方图中x的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50，150)内的用户记为A类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250,350)内的用户记为B类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如图所示：①从B类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？附表及公式：8.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y 如下表：数据表明y与x之间有较强的线性关系.（1）求y关于x的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？9.第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全2×2列联表：并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.附表及公式：10.为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如下表：（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？参考公式：（）．附表：（2）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（3）以（2）中的频率作为概率.该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为X，求X的数学期望E(X).参考答案1.解：2.解：3.解：5.解：7.解：9.解：。

普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因,故,应选B.考点：集合的交集运算.2. 复数，，是虚数单位.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】z=（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i，∴|z|=2=，化为a2=1．解得a=±1．故选：D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用与销售利润的统计数据如下表：广告费用（万元）2356销售利润（万元）57911由表中数据，得线性回归方程：，，则下列结论错误的是（）A. B. C. 直线过点 D. 直线过点【答案】D【解析】【分析】求出回归直线方程，根据回归方程进行判断．【详解】=，．∴直线l经过点（4，8）．=（﹣2）×（﹣3）+（﹣1）×（﹣1）+1×1+2×3=14．=（﹣2）2+（﹣1）2+12+22=10．∴=，=8﹣1.4×4=2.4．∴回归方程为y=1.4x+2.4．当x=2时，y=1.4×2+2.4=5.2．∴直线l过点（2，5.2）故选：D．【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.4. 已知数列为等差数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a3=1，a10+a11=9，∴2a1+3d=1，2a1+19d=9，解得a1=﹣，d=．∴a5+a6=2a1+9d=﹣2×+9×=4．故选：A．【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.5. 已知函数则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分段函数的表达式从内向外依次代入求值即可．【详解】f（）=log5=﹣2，=f（﹣2）=，故选：B．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三视图判断几何体为三棱柱，求其面积即可．【详解】三棱柱的表面积为5个面的面积之和，又因为底面是正三角形，边长为2，棱柱的高为：3．所以S=2×+3×2×3=18+2．故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. 已知直线与圆相交于，，且为等腰直角三角形，则实数的值为（）A. 或B.C. 或D.【答案】C【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【详解】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。

课时跟踪检测（十八) 数列1．（2017· 长沙模拟）已知数列｛a n}满足a1＝错误!，a n＋1＝3a n －1（n∈N＊）．（1)若数列{b n}满足b n＝a n－错误!,求证：｛b n｝是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n.解：（1）证明:由已知得a n＋1－错误!＝3错误!（n∈N＊），从而有b n ＝3b n。

又b1＝a1－错误!＝1,＋1所以｛b n｝是以1为首项,3为公比的等比数列．(2）由(1）得b n＝3n－1，从而a n＝3n－1＋错误!，所以S n＝1＋错误!＋3＋错误!＋…＋3n－1＋错误!＝1＋3＋…＋3n－1＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.2．（2017·云南模拟）已知数列｛a n｝中，a错误!＋2a n－n2＋2n ＝0。

（1)求数列｛a n｝的通项公式；（2)求数列｛a n}的前n项和S n.解：（1）由a错误!＋2a n－n2＋2n＝0，得(a n－n＋2)(a n＋n)＝0。

∴a n＝n－2或a n＝－n。

∴｛a n}的通项公式为a n＝n－2或a n＝－n。

(2）①当a n＝n－2时,易知{a n}为等差数列,且a1＝－1，∴S n＝错误!＝错误!＝错误!。

②当a n＝－n时，易知{a n｝也为等差数列，且a1＝－1,∴S n＝错误!＝错误!＝－错误!。

故S n＝错误!3．（2017·南京模拟)已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，且a1＝1，S3＋S4＝S5。

(1）求数列{a n}的通项公式；(2）令b n＝（－1）n－1a n，求数列｛b n}的前2n项和T2n.解:(1)设等差数列{a n｝的公差为d，由S3＋S4＝S5，可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，所以3（1＋d）＝1＋4d，解得d＝2.∴a n＝1＋(n－1）×2＝2n－1.(2)由(1），可得b n＝(－1）n－1·（2n－1)．∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋（4n－3）－(4n－1）＝（1－3)＋（5－7)＋…＋(4n－3－4n＋1）＝（－2）×n＝－2n.4．已知等差数列｛a n}的各项均为正数，a1＝1，前n项和为S n.数列{b n }为等比数列，b 1＝1,且b 2S 2＝6,b 2＋S 3＝8.（1)求数列{a n ｝与｛b n ｝的通项公式;（2)求错误!＋错误!＋…＋错误!。

寒假作业(一) 集合与常用逻辑用语(注意解题的速度)一、选择题1．设集合A ＝{x |log 2x <0}，B ＝{m |m 2－2m <0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,1) C ．(0,2)D ．(1,2)解析：选C 由题意可得A ＝(0,1)，B ＝(0,2)，所以A ∪B ＝(0,2)．2．(2017·沈阳一检)命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12解析：选D 命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12”即可．3．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 4．若集合M ＝⎩⎨⎧x ∈R ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＋2x －1≤0，N 为自然数集，则下列选项中正确的是( )A ．M ⊆{x |x ≥1}B ．M ⊆{x |x >－2}C ．M ∩N ＝{0}D ．M ∪N ＝N解析：选C ∵M ＝⎩⎨⎧x ∈R ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＋2x －1≤0＝{x |－2≤x <1}，N 为自然数集，∴M ⊆{x |x ≥1}错误，M ⊆{x |x >－2}错误，M ∩N ＝{0}正确，M ∪N ＝N 错误．5．(2018届高三·洛阳五校联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D 由Venn 图知阴影部分表示的集合为(∁R A )∩B ，依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，故(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}．6．设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x ||x |≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( ) A ．－1<x ≤1 B ．x ≤1 C ．x >－1D ．－1<x <1解析：选D 由题意可知，x ∈A ⇔x >－1，x ∉B ⇔－1<x <1，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是－1<x <1.7．已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |x 2－3x ≤0，x ∈N}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,4} B ．{－2，－1,0} C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}解析：选D ∵A ＝{x ||x |≤2}＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－3x ≤0，x ∈N}＝{0,1,2,3}，∴A ∩B ＝{0,1,2}．8．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． 9．已知命题p ：∀a ∈R ，方程ax ＋4＝0有解；命题q ：∃m 0>0，直线x ＋m 0y －1＝0与直线2x ＋y ＋3＝0平行．给出下列结论，其中正确的有( )①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是真命题； ③命题“(綈p )∨q ”为真命题； ④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 因为当a ＝0时，方程ax ＋4＝0无解，所以命题p 为假命题；当1－2m ＝0，即m ＝12时两条直线平行，所以命题q 是真命题．所以綈p 为真命题，綈q 为假命题，所以①错误，②错误，③正确，④正确．故正确的命题有2个．10．下列说法中正确的是( )A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的充要条件B ．若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1<0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”解析：选D 当f (0)＝0时，函数f (x )不一定是奇函数，如f (x )＝x 2，所以A 错误；若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1≤0，所以B 错误；p ，q 只要有一个是假命题，则p ∧q 为假命题，所以C 错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D 正确．11．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕：A i ⊕A j ＝A k ，k 为i ＋j 除以4的余数(i ，j ＝0,1,2,3)，则满足关系式(x ⊕x )⊕A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 因为x ∈S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，故x 的取值有四种情况．若x ＝A 0，根据定义得，(x ⊕x )⊕A 2＝A 0⊕A 2＝A 2，不符合题意，同理可以验证x ＝A 1，x ＝A 2，x ＝A 3三种情况，其中x ＝A 1，x ＝A 3符合题意，故选C.12．若f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(3，＋∞)解析：选D P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为函数f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x ＋t <2}＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则有2－t <－1，即t >3.二、填空题13．已知全集为R ，集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}，则A ∪∁R B ＝________. 解析：因为A ＝{x |x －1≥0}＝[1，＋∞)，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}＝{x |x 2－5x ＋6≥0}＝{x |x ≤2或x ≥3}，∁R B ＝(2,3)，所以A ∪∁R B ＝[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)14．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，m ≥2tan x ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2tan x 的最大值为2tan π3＝23，∴m ≥23，实数m 的最小值为2 3.答案：2 315．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－x≤16，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－x≤16＝{x |22≤2x －2≤24}＝{x |4≤x ≤6}＝[4,6]，∵A ⊆B ，∴a ≤4，b ≥6，∴a －b ≤4－6＝－2，即a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]16．设全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤2x }，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4x }，给出以下命题：①A ∩B ＝A ，②A ∪B ＝B ，③A ∩(∁U B )＝∅，④B ∩(∁U A )＝U ，其中正确命题的序号是________．解析：集合A 表示的是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部的点构成的集合，集合B 表示的是以(2,0)为圆心，2为半径的圆及其内部的点构成的集合，易知A ⊆B ，利用Venn 图可知，①②③正确，④错误．答案：①②③寒假作业(二) 函数的图象与性质(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．已知函数y ＝2x ＋1，x ∈{x ∈Z|0≤x <3}，则该函数的值域为( ) A ．{y |1≤y <7} B ．{y |1≤y ≤7} C ．{1,3,5,7}D ．{1,3,5}解析：选D 由题意可知，函数的定义域为{0,1,2}，把x ＝0,1,2代入函数解析式可得y ＝1,3,5，所以该函数的值域为{1,3,5}．2．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)解析：选B 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0,1]．∴原函数的定义域为(0,1]．3．(2017·成都第一次诊断性检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝( )A ．－18 B.18C ．－1258 D.1258解析：选B 由f (x ＋3)＝f (x )知，函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.4．(2018届高三·长沙四校联考)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )解析：选A 令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22时，y ′＝1x －2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.故A 符合．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤0，－log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：选D 当a ≤0时，2a－2＝－2无解；当a >0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74.6．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.7．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：选B 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.8．设函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x)(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选A 法一：因为函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x)(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以－x 3(a －x＋m ·a x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )，即x 3(1＋m )(a x ＋a －x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以1＋m ＝0，即m ＝－1.法二：因为f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )是偶函数，所以g (x )＝a x ＋m ·a －x是奇函数，且g (x )在x ＝0处有意义，所以g (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1.9．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D ∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图象开口向上，对称轴为x ＝a ，∴a <1.∴g (x )＝f x x ＝x ＋ax－2a . 若a ≤0，则g (x )＝x ＋ax－2a 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．若0<a <1，则g (x )＝x ＋a x－2a 在(a ，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．综上可得g (x )＝x ＋ax－2a 在(1，＋∞)一定是增函数．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x －x ，x >0，－ln －x ＋x ，x <0，则关于m 的不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m <ln 12－2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．(0,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选C 因为函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，－x <0，f (－x )＝－ln x －x ＝f (x )，同理，当x <0时，也有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝－ln 2－2＝ln 12－2，所以由偶函数的性质知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m <f (2)，且m ≠0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m >2，且m ≠0，解得0<m <12或－12<m <0. 11．若函数f (x )＝x 2＋ln(x ＋a )与g (x )＝x 2＋e x－12(x <0)的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0，e)D ．(0， e ]解析：选C 若函数f (x )与g (x )的图象上存在关于y 轴对称的点，则f (x )与g (－x )＝x 2＋e －x －12(x >0)的图象有交点，也就是方程ln(x ＋a )＝e －x －12有正数解，即函数y ＝e －x －12与函数y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，结合图象可知，只需ln a <e 0－12，∴ln a <12，∴0<a < e.12．已知函数f (x )的定义域为D ，若对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝2－f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝( )A.32 B ．1C ．2 D.52解析：选A 令x ＝1，可得f (1)＝2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12f (1)＝1，令x ＝12，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，令x ＝13，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12，因为函数是非减函数，所以12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝1＋12＝32.13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：因为f (x )是奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，所以当－1≤x <0时，0<－x ≤1，f (－x )＝－2x (1＋x )＝－f (x )，即f (x )＝2x (1＋x )(－1≤x <0)．又f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝－12.答案：－1214．已知函数f (x )＝4＋x 2ln 1＋x 1－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上的最大值与最小值分别为M 和m ，则M ＋m ＝________.解析：令g (x )＝x 2ln 1＋x 1－x，则g (－x )＝(－x )2ln 1－x 1＋x ＝－x 2ln 1＋x 1－x ＝－g (x )，所以函数g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，则函数g (x )＝f (x )－4的最大值M －4和最小值m －4之和为0，即M －4＋m －4＝0，∴M ＋m ＝8.答案：815．(2018届高三·江西师大附中月考)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x－a 2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：令2x＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ＝t －a t，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]16．已知函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数； ②指数函数f (x )＝2x(x ∈R)是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题的序号是________．解析：对于①，当x 1＝2，x 2＝－2时，f (x 1)＝4＝f (x 2)，故①错；对于②，f (x )＝2x为单调递增函数，故②正确；而③④显然正确．答案：②③④二、能力拔高练1．当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x的图象大致是( )解析：选B 由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，∵a >0，∴x ＝－2a <0，故排除A 、C ；当x 趋近于－∞时，e x趋近于0，故f (x )趋近于0，排除D.2．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1解析：选 C 依题意得，曲线y ＝f (x )，即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.3．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选 C 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9，故选C.4．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若不等式f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2327，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2327，1 C ．[1,3]D ．(－∞，1]解析：选B ∵函数f (x )是定义域在R 上的偶函数，且－x 3＋x 2－a ＝－(x 3－x 2＋a )，∴f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立等价于2f (x 3－x 2＋a )≥2f (1)对x∈[0，1]恒成立，又∵f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴－1≤x 3－x 2＋a ≤1对x ∈[0,1]恒成立．设g (x )＝x 3－x 2，则g ′(x )＝x (3x －2)，则g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1上单调递增，又g (0)＝g (1)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－427，∴g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－427，0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a －427≥－1，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2327，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，若f (a )＋f (g (2))＝0，则实数a的值为________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，所以g (2)＝log 22＝1，f (g (2))＝f (1)＝1， 由f (a )＋f (g (2))＝0，得f (a )＝－1.当a >0时，因为f (a )＝a 2>0，所以此时不符合题意； 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－1，解得a ＝－2. 答案：－26.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6)上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④寒假作业(三) 基本初等函数、函数与方程(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．(2018届高三·吉林实验中学摸底)若f (x )是幂函数，且满足f 9f 3＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A.12 B.14 C ．2D ．4解析：选B 设f (x )＝x α，由f 9f 3＝9α3α＝3α＝2，得α＝log 32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19log 32＝14. 2．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( ) A ．f (p ＋1)＞0 B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A 由题意知，f (0)＝c ＞0，函数图象的对称轴为x ＝－12，则f (－1)＝f (0)＞0，设f (x )＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 则－1＜x 1＜x 2＜0，根据图象知，x 1＜p ＜x 2， 故p ＋1＞0，f (p ＋1)＞0.3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象(图略)，可知函数g (x )与h (x )在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.4．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715，c ＝log 279，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a解析：选C ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714>⎝ ⎛⎭⎪⎫9715＝b ，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715>1，c ＝log 279<log 21＝0，∴c <b <a .5．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间为( ) A ．[1,2] B ．[2,3] C ．[3,4]D ．[4,5]解析：选B ∵函数f (x )＝ln x ＋2x －6在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，f (2)·f (3)<0，∴函数f (x )的零点位于区间[2,3]内．6.(2017·潍坊模拟)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝log a (x －b )的图象大致是( )解析：选B 法一：结合二次函数的图象可知，a >1，－1<b <0，所以函数g (x )＝log a (x －b )单调递增，排除C ，D ；把函数y ＝log a x 的图象向左平移|b |个单位，得到函数g (x )＝log a (x －b )的图象，排除A ，选B.法二：结合二次函数的图象可知，a >1，－1<b <0，所以a >1,0<－b <1，在g (x )＝log a (x －b )中，取x ＝0，得g (0)＝log a (－b )<0，只有选项B 符合，故选B.7.已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞0，gx ，x ＜0.若f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)对应的图象如图所示，则g (x )＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－xB ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x解析：选D 由图象可知，当x ＞0时，函数f (x )单调递减，则0＜a ＜1，∵f (1)＝12，∴a ＝12，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－g (x )，即g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x ，故g (x )＝－2x ，x ＜0. 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＋21－x －1，1－x ≤0，|lg 1－x |－1，1－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg 1－x |－1，x <1.易知当x ≥1时，函数g (x )有1个零点，当x <1时，函数有两个零点，所以函数g (x )的零点共有3个．9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋a 的图象经过第二、三、四象限，g (a )＝f (a )－f (a ＋1)，则g (a )的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,2)D ．(－∞，2)解析：选A ∵函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋a 的图象经过第二、三、四象限，∴a <－1.则g (a )＝f (a )－f (a ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋a －⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a .∵a <－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >3，则23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a>2，故g (a )的取值范围是(2，＋∞)．10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)解析：选A ∵对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．11．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在[0,2]上为增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值为( )A ．8B ．－8C ．0D ．－4解析：选B ∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )， ∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，又由f (x －4)＝－f (x )可得f (x ＋2)＝－f (x ＋6)＝－f (x －2)，因为f (x )是奇函数，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以f (x )的图象关于x ＝2对称，结合在[0,2]上为增函数，可得函数的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.12．对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β＝{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3]解析：选D 函数f (x )＝ex －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3必经过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则⎩⎪⎨⎪⎧g 0≥0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a2－a ＋3≤0，解得2≤a ≤3.13．(2017·陕西质检)已知函数y ＝4a x －9－1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则log m n＝________.解析：依题意知，当x －9＝0，即x ＝9时，y ＝4－1＝3，故定点为A (9,3)，所以m ＝9，n ＝3，故log m n ＝log 93＝12.答案：1214．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．解析：在同一平面直角坐标系内，画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |和y ＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m <1.答案：(0,1)15．对于实数a 和b ，定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a b ＋1，a ≥b ba ＋1，a <b，则ln e 2*⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝________.解析：∵a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋1，a ≥b ，b a ＋1，a <b ，ln e 2＝2<⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝3，∴ln e 2]19－12＝3×(2＋1)＝9.答案：916．(2018届高三·河北衡水中学月考)已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝13x ＋1，g (x )＝f 1x ＋f 2x2＋|f 1x －f 2x |2，若a ，b ∈[－1,5]，且当x 1，x 2∈[a ，b ]时，g x 1－g x 2x 1－x 2＞0恒成立，则b －a 的最大值为________．解析：当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1x ＋f 2x2＋f 1x －f 2x2＝f 1(x )；当f 1(x )＜f 2(x )时，g (x )＝f 1x ＋f 2x 2＋f 2x －f 1x2＝f 2(x )．综上，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，f 1x ≥f 2x ，f 2x ，f 1x ＜f 2x ，即g (x )是f 1(x )，f 2(x )两者中的较大者．在同一平面直角坐标系中分别画出函数f 1(x )与f 2(x )的图象，如图所示，则g (x )的图象如图中实线部分所示．由图可知g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (x )在[a ，b ]上单调递增，故a ，b ∈[0,5]，所以b －a 的最大值为5.答案：5二、能力拔高练1．若函数y ＝a －a x(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵当a >1时，函数y ＝a －a x在[0,1]上单调递减，∴a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0<a <1时，函数y ＝a －a x在[0,1]上单调递增，∴a －1＝0且a －a ＝1，此时无解．∴a ＝2，因此log a 56＋log a 485＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫56×485＝log 28＝3. 2．已知函数f (x )＝4x－m ·2x＋1只有一个零点，则m ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解析：选C 依题意，方程4x－m ·2x＋1＝0只有一个实数根，设t ＝2x(t >0)，则t 2－mt ＋1＝0，由Δ＝m 2－4＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，t ＝1，即2x ＝1，则x ＝0；当m ＝－2时，t ＝－1，即2x＝－1(舍去)．故函数只有一个零点时，m ＝2.3．(2017·云南一检)已知a ，b ，c ，d 都是常数，且a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选 D f (x )＝2 017－(x －a )·(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.4．(2017·成都二诊)已知函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12.若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，有g (x )＝f (x )，且函数g (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．g (π)<g (3)<g (2)B ．g (2)<g (3)<g (π)C ．g (π)<g (2)<g (3)D ．g (2)<g (π)<g (3)解析：选B 因为函数f (x )的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以a 12＝22⇒a ＝12.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上单调递减．函数g (x ＋2)为偶函数，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )且f (x )单调递减，所以x ∈[2,6]时，g (x )单调递增，根据对称性，可知距离对称轴x ＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g (2)<g (3)<g (π)．故选B.5．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为M ，N ，且M N .若对任意的x ∈M ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )是f (x )的“拓展函数”．已知f (x )＝13log 2x ，若g (x )是f (x )的“拓展函数”，且g (x )为偶函数，则符合条件的函数g (x )的一个解析式是________．解析：由题意可知， 当x >0时，g (x )＝13log 2x ，又函数g (x )是偶函数，故当x <0时，g (x )＝13log 2(－x )，所以g (x )＝13log 2|x |(x ≠0)．答案：g (x )＝13log 2|x |(x ≠0)(其他符合条件的函数也可以)6．(2017·云南玉溪统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2；由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．答案：[－1,2)寒假作业(四) 导数的运算及几何意义(注意解题的速度)一、选择题1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f ′(x )等于( )A.cos xx2B.－sin xx2C.cos x －x sin xx2D ．－cos x ＋x sin xx2解析：选D f ′(x )＝－1x 2cos x －sin x x ＝－cos x ＋x sin xx2. 2．已知f (x )＝x 33＋ax 2＋x 是奇函数，则f (3)＋f ′(1)＝( )A ．14B ．12C ．10D ．－8解析：选A 由题意得，f (－x )＝－f (x )，所以a ＝0，f (x )＝x 33＋x ，f ′(x )＝x 2＋1，故f (3)＋f ′(1)＝14.3．已知某个车轮旋转的角度α(rad)与时间t (s)的函数关系是α＝π0.32t 2(t ≥0)，则车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度是( )A ．20π rad/sB ．10π rad/sC ．8π rad/sD ．5π rad/s解析：选B 由题意可得α′＝πt 0.16，车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度为π×1.60.16＝10π rad/s.4．(2018届高三·广州五校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：选D ∵y ′＝12e 12x ，∴k ＝12e 142⨯＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.5．若⎠⎛12(x －a )d x ＝⎠⎜⎛0π4cos 2x d x ，则a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：选B ⎠⎛12(x －a )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ax | 21＝32－a ，⎠⎜⎛0π4cos 2x d x ＝12sin 2x ＝12.由32－a ＝12，得a ＝1.6．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(3)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵f (x )＝2xf ′(1)＋x 2， ∴f ′(x )＝2f ′(1)＋2x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝－4＋2x . ∴f ′(3)＝－4＋6＝2.7．(2018届高三·湖南名校联考)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1，x 2－1，x ∈[1，2]，则21-⎰f (x )dx 的值为( )A.π2＋43B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3解析：选A21-⎰f (x )d x ＝11-⎰1－x 2d x ＋21⎰(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝π2＋43.8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 结合图象及题意可知直线l 与曲线f (x )相切的切点为(3,1)，将其代入直线方程得k ＝－13，所以f ′(3)＝－13，且g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 9．(2017·成都一诊)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4e C.e 24D.e 4解析：选A 由y ＝tx ，得y ′＝t 2tx ，则切线斜率为k ＝t4，所以切线方程为y －2＝t 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t ，即y ＝t 4x ＋1.设切线与曲线y ＝e x ＋1＋1的切点为(x 0，y 0)．由y ＝e x ＋1＋1，得y ′＝ex ＋1，则由e x 0＋1＝t 4，得切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln t4－1，t 4＋1，故切线方程又可表示为y －t 4－1＝t4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －ln t4＋1，即y ＝t4x －t4ln t 4＋t2＋1，所以由题意，得－t4ln t 4＋t2＋1＝1，即ln t4＝2，解得t ＝4e 2.10.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)，f ′(2)，f (2)－f (1)的大小关系是( )A ．f′(1)<f′(2)<f (2)－f (1)B ．f′(2)<f (2)－f (1)<f′(1)C ．f′(2)<f ′(1)<f (2)－f (1)D ．f′(1)<f (2)－f (1)<f′(2)解析：选D 由题意得(1，f (1))，(2，f (2))两点连线的斜率为f 2－f 12－1＝f (2)－f (1)，而f ′(1)，f ′(2)分别表示函数f (x )在点(1，f (1))，(2，f (2))处的切线的斜率，结合图象可知f ′(1)<f2－f 12－1<f ′(2)，即f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2)．11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2.12．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上 解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f(x 0)＝3x 0，故M(x 0，f(x 0))在直线y ＝3x 上． 二、填空题13．已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为________． 解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x＝－1，得x ＝1或x ＝－32(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2.答案：214．若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x 的最小值为________． 解析：f (m )＝⎠⎛1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x | m1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立，故f (m )的最小值为－1.答案：－115．已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，则切线方程是________． 解析：设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)， 则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3， 故切线方程为y ＝(6x 20－3)x ＋32，又点N 在切线上，∴2x 30－3x 0＝(6x 20－3)x 0＋32， 解得x 0＝－2，∴切线方程为y ＝21x ＋32. 答案：y ＝21x ＋32 16．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：根据题意得f ′(x )＝－4e xe 2x ＋2e x＋1， ∴k ＝－4e x＋1e x ＋2≥－42＋2＝－1，当且仅当e x＝1e x 时等号成立，且k <0，则曲线y ＝f (x )在切点处的切线的斜率－1≤k <0，又k ＝tan α，结合正切函数的图象，可得α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π寒假作业(五) 导数的应用(注意命题点的区分度)一、选择题1．函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(e ，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e解析：选C f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝1或－1或0 D ．x ＝0 解析：选C ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，∴由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0， 得x ＝0或x ＝1或x ＝－1，又当x <－1时f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0， 当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．3．(2017·长春三模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定 解析：选A 设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x ex2＝f ′x －f xex，由题意知g ′(x )＞0，所以g (x )在R 上单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f x 1e x 1＜f x 2e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)． 4．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18解析：选D f ′(x )＝3x 2－3a ，因为x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，所以f ′(2)＝12－3a ＝0，解得a ＝4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，f ′(x )＝3x 2－12.由3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数f (x )在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝18.5．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5,0)B ．(－5,0)C ．[－3,0)D ．(－3,0)解析：选C 由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x＝－3，则结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0) .6．(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选D 由f ′(x )的图象知，f ′(x )的图象有三个零点，故f (x )在这三个零点处取得极值，排除A 、B ；记导函数f ′(x )的零点从左到右分别为x 1，x 2，x 3，又在(－∞，x 1)上f ′(x )<0，在(x 1，x 2)上f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，x 1)上单调递减，排除C ，故选D.7．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 D ．不确定解析：选C 因为f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12.因为f ′(x )＝－sin x ＋1≥0恒成立， 所以f (x )＝cos x ＋x 是R 上的增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6. 8．(2018届高三·黄冈调研)定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f 2f 1<16 B ．4<f 2f 1<8C ．3<f 2f 1<4 D ．2<f 2f 1<3 解析：选B ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x 2′＝f ′x ·x 2－2xf x x 4＝xf ′x －2f x x 3>0， ∴y ＝f xx 2在(0，＋∞)上单调递增， ∴f 222>f 112，即f 2f 1>4.∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x 3′＝f ′x ·x 3－3x 2f x x 6＝xf ′x －3f x x 4<0， ∴y ＝f xx 3在(0，＋∞)上单调递减， ∴f 223<f 113，即f 2f 1<8.综上，4<f 2f 1<8. 9．(2017·张掖一诊)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )>1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )>32－2sin 2x 2的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π3，4π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12>0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )， ∴f (2cos x )>32－2sin 2x 2，即g (2cos x )>0， ∴2cos x >1，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3.10．已知函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数。

专题18 统计与统计案例1．如图是2014年在某电视节目中七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ． 84，4．84B ． 84，1．6C ． 85，1．6D ． 85，4 【答案】C2．某中学高一年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加国防知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A ． 8B ． 168C ． 9D ． 169 【答案】C【解析】∵甲班学生成绩的平均分是85，∴79+78+80+80+x +85+92+95=85×7，即x =6． ∵乙班学生成绩的中位数是83，甲班学生成绩的中位数是80+x =83，得x =3； ∴若1≤y ，则中位数为81，不成立．若y >1，则中位数为80+y =83，解得y =3． ∴x +y =6+3=9，本题选择C 选项．点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据． 3．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2．5万元，则11时到12时的销售额为（ ）A． 6万元 B． 8万元 C． 10万元 D． 12万元【答案】C点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．4．如果个数的平均数为，则的平均数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】的平均数为1，，，的平均数为，故选A．【思路点睛】本题主要考查平均数的求法，属于中档题．要解答本题首先根据个数的平均数为得到，从而可得的平均数为．5．某中学初中部共有120名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A ． 128B ． 144C ． 174D ． 167 【答案】B【解析】女教师人数为： 120*0.7150*0.4144+=． 6．下列说法中正确的是（ ）①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱； ②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心(),x y ；③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度； ④相关指数2R 用来刻画回归的效果， 2R 越小，说明模型的拟合效果越好． A ． ①② B． ③④ C． ①④ D． ②③ 【答案】D7．下面是22⨯列联表：则表中a b ，的值分别为（ ）A ． 84，60B ． 42，64C ． 42， 74D ． 74， 42 【答案】B【解析】因2163a +=，故42a =，又22a b +=，则64b =，应选答案B ．8．在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，55名男乘客中有24名晕机，34名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用的数据分析方法应是( ) A ．频率分布直方图 B ．回归分析 C ． 独立性检验 D ． 用样本估计总体 【答案】C【解析】根据题意，结合题目中的数据，列出2×2列联表，求出观测值K 2，对照数表可得出概率结论，这种分析数据的方法是独立性检验．本题选择C 选项． 9．下列说法错误的是（ ）A ． 10xy ≠是5x ≠或2y ≠的充分不必要条件B ． 若命题2:,10p x R x x ∀∈++≠，则2:,10p x R x x ⌝∃∈++= C ． 线性相关系数r 的绝对值越接近1，表示两变量的相关性越强D ． 用频率分布直方图估计平均数，可以用每个小矩形的高乘以底边中点横坐标之和 【答案】D10．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t (单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，则p 的值为（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60 【答案】D考点：回归分析．11．当今人口政策受到人们的广泛关注，下表是某大学人口预测课题组通过研究预测的1564岁人口所占比例的结果：已知所占比例y 关于年份代号t 的线性回归方程为 1.7y t m =-+，则m =（ ）A ．67.8B ．68C ．68.5D ．68.7 【答案】D 【解析】试题分析：因6.6356162626568,3554321=++++==++++=y t ，故m +⨯-=37.16.63，即7.68=m ，应选D ．考点：线性回归方程及运用． 12．下列命题中正确的有（ ）①设有一个回归方程ˆ23yx =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位； ②命题:p “0x R ∃∈，20010x x -->”的否定p ⌝“x R ∀∈，210x x --≤”；③“命题p 或q 为真”是“命题p 且q 为真”必要不充分条件；④在一个22⨯列联表中，由计算得26.679k =，则有99．9%的把握确认这两个变量间有关系．A ．1个B ．2个C ．3个D．4个本题可以参考独立性检验临界值表【答案】B【解析】考点：命题的真假．。

寒假作业(十八) 统计、统计案例(注意命题点的区分度)一、选择题1．(2017·福州质检)在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批航空用耐热垫片中非优质品约为( )A．2.8 kg B．8.9 kgC．10 kg D．28 kg解析：选B 由题意可知，抽到非优质品的概率为5280，所以这批航空用耐热垫片中非优质品约为500×5280＝12514≈8.9 kg.2．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：选A 根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A错误．由图可知，B、C、D正确．3.一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则x－y的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选D 由题意得，72＋77＋80＋x ＋86＋905＝81，解得x ＝0，易知y ＝3，∴x －y＝－3.4．采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，1 000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：选A 由题意组距为1 00050＝20，故抽到的号码构成以8为首项，以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n ＝8＋(n －1)×20＝20n －12.由751≤20n －12≤1 000，解得38.15≤n ≤50.6.再由n ∈N *，可得39≤n ≤50，故做问卷C 的人数为50－39＋1＝12.5．已知x ，y 的取值如下表所示：若y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为y ^＝b ^x ＋2，则b ^＝( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2解析：选B 由表中数据得x ＝3，y ＝5，线性回归方程一定过样本中心点(x ，y )，所以5＝3b ^＋132，解得b ^＝－12.6．(2017·广州模拟)为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是( )A ．35B ．48C ．60D ．75解析：选C 设被抽查的美术生的人数为n ，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5,15,25，所以n ＝5＋15＋250.75＝60.7．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，计算得K 2的观测值k ＝8.01，若推断“喜欢乡村音乐与性别有关系”，则这种推断犯错误的概率不超过( )A ．0.01B ．0.025C ．0.005D ．0.001解析：选C 由K 2的观测值k ＝8.01，观测值同临界值进行比较可知，这种推断犯错误的概率不超过0.005.8．在某次测量中得到的A 样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．平均数B ．标准差C ．众数D ．中位数解析：选B A 样本数据的平均数x ＝2756，B 样本数据的平均数x ′＝x －5.A 样本数据的方差s 2＝16[(42－x )2＋(43－x )2＋…＋(50－x )2]，B 样本数据的方差s ′2＝16[(42－x )2＋(43－x )2＋…＋(50－x )2]，所以A ，B 两样本的标准差相同．9．某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示)．据此估计此次考试成绩的众数是( )A ．100B ．110C ．115D ．120解析：选C 众数是一组数据中出现次数最多的数，结合题中频率分布折线图可以看出，数据“115”对应的纵坐标最大，所以相应的频率最大，频数最大，据此估计此次考试成绩的众数是115.10．以模型y ＝c e kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝ln y ，其变换后得到线性回归方程z ＝0.3x ＋4，则c ＝( )A ．0.3B ．e 0.3C ．4D ．e 4解析：选D 因为z ＝ln y ＝ln(c e kx)＝ln c ＋kx ，又z ＝0.3x ＋4，所以ln c ＝4，c ＝e 4.11．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列{a n }，已知a 2＝2a 1，且样本容量为300，则对应小长方形面积最小的一组的频数为( )A ．20B ．40C ．30D ．无法确定解析：选A 在等比数列{a n }中，a 2＝2a 1，则q ＝2，由题意S 4＝a 11－241－2＝15a 1＝1，a 1＝115，即小长方形面积最小的一组的面积为115，所以频数为300×115＝20，故选A.12．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选B 不妨设样本数据为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5，则由样本方差为4，知(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20.若5个整数的平方和为20，则这5个整数的平方只能在0,1,4,9,16中选取(每个数最多出现2次)，当这5个整数的平方中最大的数为16时，分析可知，总不满足和为20；当这5个整数的平方中最大的数为9时，0,1,1,9,9这组数满足要求，此时对应的样本数据为x 1＝4，x 2＝6，x 3＝7，x 4＝8，x 5＝10；当这5个整数的平方中最大的数不超过4时，总不满足和为20，因此不存在满足条件的另一组数据．故选B.二、填空题13．具有线性相关关系的变量x ，y 满足如下表所示的一组数据．若y 与x 的线性回归方程为y ^＝3x －32，则m 的值是________.解析：由已知得x ＝14×(0＋1＋2＋3)＝2，y ＝4×(－1＋1＋m ＋8)＝m4＋2，又点(x ，y )在线性回归直线上，所以m 4＋2＝3×32－32，解得m ＝4.答案：414．(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．解析：应从丙种型号的产品中抽取 60×300200＋400＋300＋100＝18(件)．答案：1815．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，计算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.已知家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则变量x 与y ________(填“正相关”或“负相关”)；若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄是________千元．解析：由题意知n ＝10，x ＝110∑i ＝110x i ＝8，y ＝110∑i ＝110y i ＝2，∴b ^＝184－10×8×2720－10×82＝0.3，a ^＝2－0.3×8＝－0.4，∴y ^＝0.3x －0.4，∵0.3>0，∴变量x 与y 正相关． 当x ＝7时，y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 答案：正相关 1.716．(2017·石家庄质检)设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为________．解析：设样本数据的平均数为x ，则y i ＝2x i －1的平均数为2x －1，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为12 017[(2x 1－1－2x ＋1)2＋(2x 2－1－2x ＋1)2＋…＋(2x 2017－1－2x ＋1)2]＝4×12 017[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 2 017－x )2]＝4×4＝16.答案：16三、解答题17．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表.(1)画出茎叶图，由茎叶图判断哪位选手的成绩较稳定；(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适．解：(1)茎叶图如图所示：由茎叶图可知，乙的成绩较稳定．(2)因为v甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，v乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33. 甲的中位数：33，乙的中位数：33.5.s2甲＝16[]－2＋52＋－2＋42＋22＋－2＝473，s2乙＝16[]02＋－2＋52＋12＋－2＋32＝383，故s甲＝1413，s乙＝1143，所以选乙参赛更合适．18．某校拟在高一年级开设英语口语选修课，该年级男生600人，女生480人．按性别分层抽样，抽取90名同学做意向调查．(1)求抽取的90名同学中的男生人数；(2)将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别有关”？附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)该校高一年级的男、女生之比为600∶480＝5∶4，所以按照分层抽样，男生应抽取50名．(2)2×2列联表如下：由K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，代入数据得K2＝－250×40×55×35＝45077≈5.844>5.024.所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为“该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别有关”．19．(2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，故样本中分数小于50的频率为0.1，故分数在区间[40,50)内的人数为100×0.1－5＝5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100＝20. (3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为 (0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12＝30.所以样本中的男生人数为30×2＝60， 女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.20．下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：(1)求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；(2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x ，y 的线性回归方程y ^ ＝b ^x ＋a ^.（附：b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x ）解：(1)x ＝15×(79＋81＋83＋85＋87)＝83， ∵y ＝15×(77＋79＋79＋82＋83)＝80， ∴s 2y ＝15× [(77－80)2＋(79－80)2＋(79－80)2＋(82－80)2＋(83－80)2]＝4.8. (2)由(1)知x ＝83，y ＝80，则∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝(－4)×(－3)＋(－2)×(－1)＋0×(－1)＋2×2＋4×3＝30，∑i ＝15(x i －x )2＝(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42＝40，∴b ^＝3040＝0.75，a ^＝80－0.75×83＝17.75. 故所求的线性回归方程为y ^＝0.75x ＋17.75.。

（时间：40分钟)1．根据如下样本数据:x 3 4 5 6 7 8y 4。

0 2。

5 －0.50.5 －2。

0 －3.0得到的回归方程为错误!＝bx ＋a ,则( ） A ．a >0,b 〉0 B ．a 〉0，b <0 C ．a 〈0，b >0 D ．a <0，b 〈0答案 B解析 由表中数据画出散点图,如图，由散点图可知b 〈0，a >0.2．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i ）（i ＝1,2，…，8），其回归直线方程是错误!＝错误!x ＋a ,且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6.则实数a 的值是( )A 。

错误! B.错误! C 。

错误! D 。

错误!答案 B解析 依题意可知样本点的中心为错误!,则错误!＝错误!×错误!＋a ，解得a ＝错误!。

3．根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7y4.0a －5。

4 －0。

5 0.5b －0。

6得到的回归方程为y 就( ） A ．增加1。

4个单位 B ．减少1。

4个单位 C ．增加7.9个单位 D ．减少7。

9个单位答案 B 解析 依题意得a ＋b －25＝0.9,故a ＋b ＝6.5 ①,又样本点的中心为（5,0.9)，故0。

9＝5b ＋a ②,联立①②,解得b ＝－1。

4，a ＝7。

9，则错误!＝－1.4x ＋7.9，可知当x 每增加1个单位时，y 就减少1.4个单位,故选B 。

4．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢键子运动，计算得到统计量K 2的观测值k ≈4.892,参照附表，得到的正确结论是( )P (K 2≥k ） 0.10 0。

05 0。

025A ．有97。

5%B ．有97.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关"C ．在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关" 答案 C解析 因为K 2的观测值k ≈4。

高考第17题之（一)错误!三角函数与解三角形［说明］高考第17题主要集中在“三角函数与解三角形”与“数列”两个知识点命题，每年选其一进行考查．年份卷别考题位置考查内容命题规律分析201 7全国卷Ⅰ解答题第17题正、余弦定理、三角形的面积公式以及两角和的余弦公式三角函数与解三角形在解答题中一般与三角恒等变换、平面向量等知识进行综合考查．题目难度中等偏下，多为201 7全国卷Ⅱ解答题第17题诱导公式、二倍角公式、余弦定理以及三角形的面积公式201 7全国卷Ⅲ解答题第17题余弦定理、三角形的面积公式201 6全国卷Ⅰ解答题第17题正、余弦定理及应用201 5全国卷Ⅱ解答题第17题正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式解答题第一题．1．(2017·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c。

已知△ABC的面积为错误!。

（1)求sin B sin C;（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．解：(1)由题设得错误!ac sin B＝错误!,即错误!c sin B＝错误!.由正弦定理得错误!sin C sin B＝错误!。

故sin B sin C＝错误!.（2）由题设及（1）得cos B cos C－sin B sin C＝－错误!,即cos（B＋C）＝－错误!.所以B＋C＝2π3，故A＝错误!.由题设得错误!bc sin A＝错误!，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9,即（b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝错误!。

故△ABC的周长为3＋错误!.2．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A）＝c。

（1）求C；（2)若c＝错误!,△ABC的面积为错误!,求△ABC的周长．解：（1)由已知及正弦定理得2cos C（sin A cos B＋sin B cos A）＝sin C，即2cos C sin（A＋B)＝sin C,故2sin C cos C＝sin C。

[限时规范训练]单独成册一、选择题1．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关解析：因为y＝－0.1x＋1，x的系数为负，故x与y负相关；而y与z正相关，故x与z负相关．答案：C2．一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数为()A．19B．17C．16 D．15解析：由题意得样本数据在[20,60)内的频数为30×0.8＝24，则样本在[40,50)和[50,60)内的数据个数之和为24－4－5＝15，故选D.答案：D3．某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的支持态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7.069，则认为“学生性别与支持活动有关”的犯错误的概率不超过()A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%附：P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828解析：“学生性别与支持活动有关系”，即认为“学生性别与支持活动有关系”出错的概率不超过1%，故选B.答案：B4．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45 B．50C．55 D．60解析：由频率分布直方图可知，低于60分的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数为150.3＝50.答案：B5．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师 1 800青年教师 1 600合计 4 300A.90C．180 D．300解析：设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得x900＝3201 600，故x＝180. 答案：C6．由观测的样本数据算得变量x 与y 满足线性回归方程y ^＝0.6x －0.5，已知样本平均数x ＝5，则样本平均数y 的值为( ) A ．0.5 B ．1.5 C ．2.5D ．3.5解析：回归直线必经过样本中心点，于是有y ＝0.6×x －0.5＝0.6×5－0.5＝2.5，故选C. 答案：C7．某商场在今年元宵节的促销活动中，对3月5日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．10万元B ．15万元C ．20万元D ．25万元解析：由频率分布直方图得0.4÷0.1＝4，∴11时至12时的销售额为5×4＝20，故选C. 答案：C8．某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：分数段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 人数1366分数段 [80,85) [85,90) [90,95) 人数211( ) A ．70分B ．75分C ．80分D ．85分解析：∵40200×20＝4，∴按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为80分． 答案：C 二、填空题9.如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．解析：由题中茎叶图可得甲、乙两组同学成绩的平均数都是92，方差分别是323，143，所以方差较小的那组同学成绩的方差是143. 答案：14310．某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为________．解析：系统抽样的抽取间隔为244＝6，若抽到的最小编号为3，则抽取到的最大编号为6×3＋3＝21. 答案：2111．某校对高三年级1 600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是________．解析：设样本中女生x 人，则男生x ＋10人，所以x ＋x ＋10＝200，得x ＝95，设该校高三年级的女生有y 人．由分层抽样的定义可知2001 600＝95y ，解得y ＝760. 答案：76012．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，得到频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]，则频率分布直方图中a 的值为________．解析：∵(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，∴a＝0.006.答案：0.006三、解答题13．某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据进行分组，得到如下频率分布表：分组频数频率[39.95,39.97)10[39.97,39.99)20[39.99,40.01)50[40.01,40.03]20合计100(1)将频率分布表补充完整(结果保留两位小数)，并画出频率分布直方图；(2)将频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率；(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40. 00)作为代表，据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．解析：(1)频率分布表如下：分组频数频率[39.95,39.97)100.10[39.97,39.99)200.20[39.99,40.01)500.50[40.01,40.03]200.20合计100 1.00(2)误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97,40.03]内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.(3)这批乒乓球直径的平均值大约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．14．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评，某校高二年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高二年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频率统计表如下：表一：等级优秀合格尚待改进频数15x 5表二：等级优秀合格尚待改进频数153y(1)计算x，y的值；(2)由表一、表二中统计数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．解析：(1)设从高二年级男生中抽出m 人，则m500＝45500＋400，m ＝25，从高二年级女生中应抽出的人数为45－25＝20，故表一为男生数据，表二为女生数据，所以x ＝25－15－5＝5，y ＝20－15－3＝2. (2)2×2列联表如下：因为K 2＝45×(15×530×15×25×20＝30×15×25×20＝98＝1.125＜2.706，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”． 15．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地2018年的粮食需求量．解析：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得，x ＝0，y ＝3.2，b ＝ (－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2012)＋a ^＝6.5(x －2012)＋3.2， 即y ^＝6.5(x －2012)＋260.2.(2)利用回归直线方程，可预测2018年的粮食需求量为6.5(2018－2012)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．。