2021年福建省莆田市初中毕业班质量检查数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．计算()20211-的结果（ ）A ．2021-B ．1-C ．1D ．20212．如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．据统计，2020年莆田市常住人口约为2910000人，将2910000用科学记数法表示为（ ） A ．52.9110⨯B ．62.9110⨯C ．529.110⨯D ．70.29110⨯4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列运算中正确的是（ ） A ．55102a a a += B ．326326a a a ⋅= C ．623a a a ÷=D ．222(2)4ab a b -=6．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，连结AC 、AD 、BD ，若35CAB ∠=，则ADC ∠的度数为( )A ．35B ．55C ．65D ．707．我国古代数学名著《算法统宗》中记载“以绳测井”问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长井深各几何？”其大意为：用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，那么井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么井外余绳一尺，问绳长和井深各多少尺？设绳长为x 尺，根据题意列方程，正确的是（ ）A ．()()3441x x +=+B ．3441x x +=+C ．4134x x -=- D ．4134x x+=+ 8．科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）A ．6米B ．12米C ．16米D ．20米9．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．若ABC 的三边所围成的区域面积记为1S ，黑色部分面积记为2S ，其余部分面积记为3S ，则下列关系式正确的是（ ）A ．12S SB ．23S S =C ．231S S S +=D ．222231S S S +=10．二次函数2y ax bx c =++的最大值为a b c -+，且()()()()()4,,3,,1,,2,,3,1M c N m P m Q n R n --+中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是（ ） A ．这两点一定是M 和N B ．这两点一定是Q 和R C ．这两点可能是M 和Q D ．这两点可能是P 和Q二、填空题11．如果一个扇形的圆心角为90︒，弧长为π，那么该扇形的半径为______．12．若x =244x x +=______． 13．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼．如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则可估计鱼塘中约有鱼________条．14．某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标A 的位置为（3，30°），目标B 的位置为（2，180°），目标C 的位置为（4，240°），则图中目标D 的位置可记为_____．15．莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四海．在湄洲妈祖庙的正殿前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两岸同胞共同瞻仰．小颖想测量雕像的高，她先测得雕像的影长为4.1m ，并在同一时刻测得一根长为1.4m 的竹竿的影长是0.4m ．请你帮她算一下，石雕妈祖像高是______m ．16．在平面直角坐标系中，若原点O 关于直线12y x k =-+的对称点O '在双曲线k y x=上，则k 的值为______．17．如图，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，//,AB CD AE DF =，下列3个条件：①A D ∠=∠；②BF CE =；③//AE DF ，选出能推出AB CD =的一个条件．已知：如图，//,AB CD AE DF =，___________（写出一种情况即可）；求证：AB CD =．三、解答题18．计算：0202112cos45-+︒．19．先化简，再求值：2112x x x x x ⎛⎫-+÷- ⎪⎝⎭，其中x ＝3． 20．如图，ABC 中，,40AB AC BAC =∠=︒，将线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AD ，连接BD ．（1）根据题意，补全图形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）求DBC ∠的度数．21．2021年3月23日，莆田市校园读书月活动暨第一届校园阅读论坛正式启动，开启了莆田市“书香校园、智慧阅读”2.0版的新篇章．某初中校组织全校1000名学生参加“数学文化知识竞赛”，从全校随机抽取100名学生调查学生的答题情况，得到如下成绩统计表：（1）根据上表数据，下列结论正确的是___________（写出所有正确结论的序号）； ①众数落在8090x ≤<分数段； ②中位数落在8090x ≤<分数段 ③平均数落在8090x ≤<分数段； ④极差落在3050x <≤分数段（2）学校从90100x ≤≤分数段的4名学生中随机抽取2名进行学习交流．已知4名学生中，1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．22．如图，ABC 中，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，A BCD ∠=∠．（1）求证：AC 为O 的切线；（2）在BC 上取点E ，使BE BD =，过点E 作//EF AB 交AC 于点F ．若EF BD =，求sin A 的值．23．鞋业是福建省莆田市的支柱产业、当家产业，历经30多年的发展，莆田已经成为世界知名运动鞋制造基地．某鞋厂准备生产A ，B 两种品牌运动鞋共100万双，已知生产每双A 种品牌和B 种品牌运动鞋共需成本185元，且每双B 种品牌运动鞋成本比A 种高15元．（1）求A ，B 两种品牌运动鞋每双的成本分别是多少元；（2）“闽宁对口扶贫协作援宁群体”遵循“优势互补、互惠互利、长期协作、共同发展”的方针，该鞋厂主动扛起对口帮扶宁夏脱贫攻坚的历史使命，每售出1双A 种品牌运动鞋就捐出a 元．根据市场供需情况，计划生产A 种品牌运动鞋至少60万双，B 种品牌运动鞋至少20万双．已知A ，B 两种品牌运动鞋每双售价分别为115元和125元，该鞋厂将如何安排生产才能获得最大利润？24．如图1，矩形ABCD 中，4,8AB BC ==，点E 为BC 边上的动点，连接DE ．过点E 作EF BD ⊥于点F ，点G 为DE 的中点，连接,,CF CG GF ．（1）求证：2FGC BDC ∠=∠； （2）设BE x =，GFC 的面积为S ， ①求S 与x 的函数关系式；②如图2，点M ，N 分别在AD ，CD 上，且92DM =，1DN =，连接,GM GN ，当GM GN +取最小值时，求S 的值．25．已知函数()211y mx m x =+-和()2210,0()y nx n x m n =+-><的图象在第一象限内的交点为A ，且函数12,y y 的图象分别与x 轴正半轴交于点B ，C ． （1）求点A 的坐标； （2）若90BAC ∠=︒， ①求证：1mn =-；②函数12,y y 图象的顶点分别为M ，N ，设ABC 的外心为点P ，OMN 的内心为点Q ．问是否存在m ，n 的值，使得O ，P ，Q 三点共线？若存在，求m ，n 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．B 【分析】根据幂的定义进行计算即可求解． 【详解】 解：()20211=1--．故选：B 【点睛】本题考查了幂的运算，n a 表示n 个a 相乘，熟知幂的定义是解题关键． 2．D 【分析】主视图就是从正面看，看横和竖两个方向正方形的个数. 【详解】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边2个小正方形，第三层右边2个小正方形， 故选D ． 【点睛】考核知识点：三视图.理解三视图的意义是关键. 3．B 【分析】科学记数法要求小数点在第一位不为零的整数后面，其他数为小数，且小数点移动的位数等于幂的指数，向左移动，指数为正，向右移动，指数为负． 【详解】62910000 2.9110=⨯A ：小数点在2后面，但是指数错误，选项错．B ：小数点在2后面，指数位数与小数点右移动位数相同，选项正确．C ：小数点不在第一位不为零的整数后面，选项错误．D ：小数点应该在不为零的第一个整数后面，选项错误． 故选：B【点睛】本题考查科学记数法的原则，能熟练应用原则是解题的关键． 4．C 【分析】据中心对称图形的定义及轴对称图形的定义依次判断各项后即可解答． 【详解】选项A ，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； 选项 B ，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； 选项C ，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； 选项D ，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误． 故选C ． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 5．D 【分析】直接利用合并同类项法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则运算即可求出答案． 【详解】解：（A ）5552a a a +=，故A 错误； （B ）532326a a a =，故B 错误； （C ）624a a a ÷=，故C 错误； （D ） 222(2)4ab a b -=，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则的应用，熟练运用运算法则是解决本题的关键． 6．B 【分析】先求出CDB ∠，由ADB 90∠=，可得ADC ∠． 【详解】AB 是O 的直径，ADB 90∠∴=，又CDB CAB 35(∠∠==圆周角定理)，ADC 903555∠∴=-=．故选B ． 【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是掌握圆周角定理的内容． 7．C 【分析】设绳长为x 尺，根据两次不同方法的测量，得到井深的式子，令它们相等列出方程． 【详解】解：设绳长为x 尺，如果将绳子折成三等份，那么井外余绳四尺，则井深是：43x-， 如果将绳子折成四等份，那么井外余绳一尺，则井深是：14x-，可以列方程：4134x x-=-．故选：C ． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程． 8．B 【分析】根据机器人每次转的方向和角度得出机器人所走过的路线是正多边形，求出正多边形的边数在结合每次走的距离即可解答． 【详解】根据题意可得，机器人所走过的路线是正多边形， 每一次都是左转30，向前走1米，∴正多边形的边数为3603012︒÷︒=， ∴机器人所走的总路程为12112⨯=（米），故选：B ． 【点睛】本题考查了正多边形的应用，解题关键是根据每次转的方向和角度求出正多边形的边数． 9．A 【分析】根据面积的和差关系表示出1S 与3S ，2S 与3S 的关系，再利用勾股定理即可得答案． 【详解】∵ABC 的三边所围成的区域面积记为1S ，黑色部分面积记为2S ，其余部分面积记为3S ， ∴2S =2231111()()2222AB AC S ππ⋅+⋅-=2231()8AB AC S π⋅+-， 1S =2233111()228BC S BC S ππ⋅-=⋅-，∵在Rt △ABC 中，222BC AB AC =+， ∴12S S ，故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理及圆的面积公式；熟练掌握勾股定理，正确表示出各图形的面积关系是解题的关键． 10．C 【分析】根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 的最大值为a ﹣b +c ，得到a ＜0，对称轴x ＝﹣1，根据题意逐项判断即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的最大值为a ﹣b +c ， ∴抛物线开口向下，对称轴为x ＝﹣1，A. 若M 和N 不在该二次函数图象上，则由题意知P （1，m ），Q （2，n ），R （3，n +1）一定在图象上，而x ＞﹣1时y 随x 增大而减小，这与Q （2，n ），R （3，n +1）矛盾，故A 不符合题意；B. 若Q 和R 不在该二次函数图象上，则M （﹣4，c ）一定在图象上，而抛物线与y 轴交点（0，c ）一定在图象上，这样抛物线对称轴为4022x -+==-，这与抛物线对称轴为x ＝﹣1矛盾，故B 不符合题意；C. M 和Q 可能不在该二次函数图象上，故C 符合题意；D. 若P 和Q 不在该二次函数图象上，则M （﹣4，c ）一定在图象上，同B 理由，故D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象上点坐标特征，解题的关键是根据题意得到a ＜0，对称轴x ＝﹣1，理解二次函数的性质．11．2【分析】设扇形的半径为r ，根据弧长公式得到90180r ππ⋅⋅=，解方程即可求解． 【详解】设扇形的半径为r ，根据弧长公式得到90180r ππ⋅⋅=， 解得2r ．故答案为：2【点睛】 本题考查了弧长的计算：180n r l π=（弧长为l ，圆心角的度数为n ，圆的半径为r ）熟练掌握是解题关键．12．1【分析】先把已知条件变形得到21x +=两边平方得到24412x x ++=，从而得到244x x +的值．【详解】 2x -=21x ∴=即21x +=()2212x ∴+=即24412x x ++= ∴2441x x +=故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，利用整体代入得方法计算可简化计算．13．1200【详解】设鱼塘中约有x 条鱼，根据题意得：305200x = 解得：1200x =，经检验，x =1200是原方程的根，即鱼塘中大约有1200条鱼.14．（5，120°）．【分析】根据坐标的意义，第一个数表示距离，第二个数表示度数，根据图形写出即可．【详解】由图可知，图中目标D 的位置可记为（5，120°）．故答案为（5，120°）．【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解位置坐标的实际意义是解题的关键． 15．14.35【分析】根据题意作出图形，根据相似三角形的判定与性质即可求解．【详解】解：如图，设石雕妈祖像高为AB ，影长为BE ，同一时刻竹竿高度为CD ，竹竿影长为DE ， ∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ， ∴=AB BE CD DE， 即 1.4=4.10.4AB ， ∴AB =14.35m ．故答案为：14.35【点睛】本题考查了相似三角形的应用，理解题意，画出图形熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．16．2532【分析】根据一次函数的性质及反比例函数的性质确定k>0，已知原点O 关于直线12y x k =-+的对称点O'，可得直线12y x k=-+是线段O O'的垂直平分线，再求得直线12y x k=-+与x轴、y轴的交点坐标分别为（2k，0），（0，k），即可得OA=2k，OB=k，过点C作CD⊥OA于点D，易证12ODCD=，设,2OD a CD a==，可得点C的坐标为（a，2a），由此求得线段O O'的解析式为y=2x，再把y=2x与12y x k=-+联立得方程组122y x ky x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，解方程组得2545x ky k⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可得点C的坐标（25k，45k）；根据点C为线段O O'的中点，可得点O'的坐标为（45k，85k），代入双曲线kyx=，即可求得得k=2532．【详解】当k<0时，直线12y x k=-+过二、三、四象限，双曲线kyx=过二、四象限，∵原点O关于直线12y x k=-+的对称点O'在第三象限，∴点O'不在双曲线kyx=，这与已知点O'在双曲线kyx=上相矛盾，∴k不能小于0；当k>0时，直线12y x k=-+过一、二、四象限，双曲线kyx=过一、三象限，∵原点O关于直线12y x k=-+的对称点O'在第一象限，∴点O'可以在双曲线kyx=上，∵原点O关于直线12y x k=-+的对称点O'，∴直线12y x k=-+是线段O O'的垂直平分线，∵直线12y x k=-+与x轴、y轴的交点坐标分别为（2k，0），（0，k），∴OA=2k，OB=k，如图，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，∵∠DCO +∠DOC =90°，∠OAB +∠DOC =90°，∴∠DCO =∠OAB ，∵tan ∠DCO =OD CD，tan ∠OAB =122OB k OA k == ∴12OD CD =， 设,2OD a CD a ==，可得点C 的坐标为（a ，2a ），设O O '的解析式为y =mx ，把点C 的坐标（a ，2a ）代入得，2a=ma ，解得m =2，∴O O '的解析式为y =2x ，把y =2x 与12y x k =-+联立得， 122y x k y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩ ， 解得，2545x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点C 的坐标（25k ，45k ） ∵点C 为线段O O '的中点，∴点O '的坐标为（45k ，85k ）， ∵点O '在在双曲线k y x=上， ∴8455k k k =， 解得k =2532． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，求得线段O O '的解析式及线段O O '与直线12y x k =-+的交点坐标是解决问题的关键． 17．①或③；见解析【分析】若选①，由//AB CD 可得B C ∠=∠，由AAS 定理可得ABE DCF △≌△，利用三角形的性质定理可得结果；若选③，由//AE DF 可得AEB DFC =∠∠，可证得ABE DCF △≌△，利用全等三角形的性质定理可得结果．【详解】.法一：若选①，证明如下：∵//AB CD ，∴B C ∠=∠．∵,A D AE DF ∠=∠=，∴ABE DCF △≌△．∴AB CD =．法二：若选③，证明如下：∵//AB CD ，∴B C ∠=∠．∵//AE DF ，∴AEB DFC =∠∠．∵AE DF =，∴ABE DCF △≌△．∴AB CD =．【点睛】本题只要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 18．0【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质，零指数幂的性质分别化简计算即可．【详解】解：原式112=-11=0=．【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19．11x +；14. 【分析】先利用通分计算括号里的分式减法，再计算分式的除法，最后将x 的值代入计算即可.【详解】2112x x x x x ⎛⎫-+÷- ⎪⎝⎭ 22121x x x x x x ⎛⎫-+=÷- ⎪⎝⎭ 211x x x x--=÷ 1(1)(1)x x x x x -=⋅+- 11x =+ 将3x =代入得：原式11314==+. 【点睛】本题考查了分式的减法、分式的除法、平方差公式，熟记各运算法则和公式是解题关键. 20．（1）见解析；（2）10DBC ∠=︒【分析】（1）线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒，得到等边三角形，据此根据等边三角形的性质做边AB 的垂直平分线，以点A 为圆心，AB 长为半径，在垂直平分线上画弧就得到点 D ，连接．或者分别以点A 、B 为圆心，AB 长为半径做弧，交于一点，连接．（2）观察知DBC ABC ABD ∠=∠-∠，分别在对应三角形中求解计算．【详解】（作法一）如图，AD 、BD 即为所求 ．（作法二）如图，线段AD ，BD 即为所求．（2）解：∵,40AB AC BAC =∠=︒，∴70ABC ∠=︒．∵由旋转可知，60,BAD AB AD ∠=︒=，∴ABD △为等边三角形，∴60ABD ∠=︒．∴10DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，涉及了尺规作图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键21．（1）②④；（2）56【分析】（1）由众数、中位数、平均数以及极差的定义求解即可；（2）画树状图，共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中抽到的2名学生来自不同年级的结果有10种，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）（1）①由众数的定义得：众数不一定落在80≤x ＜90分数段，故不正确；②由中位数的定义得：中位数落在80≤x ＜90分数段，故②正确；③平均数不一定落在80≤x ＜90分数段，故③不正确；④由极差的定义得：极差落在30＜x≤50分数段，故④正确；故答案为：②④；（2）分别记七，八年级的学生为A 和B ，记九年级两位同学为12C ,C ，则根据题意，画如下的树状图：总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中学生来自不同年级的结果有10种，所以P （不同年级）105126== 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了统计表、众数、中位数、平均数、极差．22．（1）见解析；（2． 【分析】（1）BC 为直径，得到90A ACD ∠+∠=︒，根据A BCD ∠=∠，得到90ACB ∠=︒，问题得证；（2）先证明A EFC ∠=∠，BCD EFC ∠=∠，设,CE x BE y ==，则,BC x y EF BD y =+==，得到sin x EFC y ∠=，sin BD y DCB BC x y∠==+，即x y y x y =+，得到220x xy y +-=，进而得到210x x y y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得到sin x A y ==． 【详解】解：（1）证明：∵BC 为直径，∴90BDC ∠=︒，∴90A ACD ∠+∠=︒．∵A BCD ∠=∠，∴90BCD ACD ∠+∠=︒．∴90ACB ∠=︒，∴AC 为O 的切线．（2）解：∵EF AB ∥，∴A EFC ∠=∠．∵A BCD ∠=∠，∴BCD EFC ∠=∠．设,CE x BE y ==，则,BC x y EF BD y =+==． ∴sin x EFC y ∠=，sin BD y DCB BC x y∠==+， ∴x y y x y=+， ∴220x xy y +-=， ∴210x x y y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1sin 2x A y ==． 【点睛】 本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数、圆周角定理等知识，熟知相关知识并灵活应用是解题关键．23．（1）生产A 种运动鞋成本85元，B 种运动鞋成本100元；（2）当5a <时，鞋厂将选择生产A 种运动鞋80万双，B 种运动鞋20万双能获得最大利润；当5a =时，利润均为2500万元；当5a >时，鞋厂将选择生产A 种运动鞋60万双，B 种运动鞋40万双能获得最大利润【分析】（1）设生产A 种品牌运动鞋成本m 元，B 种运动鞋成本n 元，根据“生产每双A 种品牌和B 种品牌运动鞋共需成本185元，且每双B 种品牌运动鞋成本比A 种高15元”，列出方程组，解方程组即可求解；（2）设生产A 种品牌运动鞋x 万双，则生产B 种品牌运动鞋()100x -万双，获得利润为w 元．根据题意求得()52500w a x =-+；根据“生产A 种品牌运动鞋至少60万双，B 种品牌运动鞋至少20万双”，列出不等式组，解不等式组求得x 的取值范围，再根据一次函数的性质对a 的值进行分类讨论，确定获得最大利润的方案．【详解】（1）设生产A 种品牌运动鞋成本m 元，B 种运动鞋成本n 元，依题意，得185,15.m n n m +=⎧⎨-=⎩解得85,100.m n =⎧⎨=⎩ 答：生产A 种运动鞋成本85元，B 种运动鞋成本100元．（2）设生产A 种品牌运动鞋x 万双，则生产B 种品牌运动鞋()100x -万双，获得利润为w 万元．则利润()()()()1158512510010052500w x x ax a x =-+---=-+．又∵60,10020.x x ≥⎧⎨≥⎩－解得6080x ≤≤． ①当50a ->时，w 随x 的增大而增大，∴当5,80a x <=时，max 290080w a =-； ②当50a -=，即5a =时，2500w =；③当50a -<时，w 随x 的增大而减小，∴当5,60a x >=时，max 280060w a =-．综上所述，当5a <时，鞋厂将选择生产A 种运动鞋80万双，B 种运动鞋20万双能获得最大利润；当5a =时，利润均为2500万元；当5a >时，鞋厂将选择生产A 种运动鞋60万双，B 种运动鞋40万双能获得最大利润．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及一次函数的应用，根据题意正确列出方程组及一次函数的解析式是解决问题的关键．24．（1）见解析；（2）②2188105S x x =-+；②52 【分析】（1）如图1，先根据直角三角形斜边中线可得FG CG =，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得结论；（2）①如图2，过G 作GH CF ⊥于点H ，证明FGH BDC ∆∆∽，令GH a =，则2FH a =，4FC a =，FG =，DE =，根据三角形面积公式和勾股定理可得结论； ②如图3，分别取BD ，CD 中点O ，P ，作点N 关于OP 的对称点N '，连接MN '交OP 于点G ，此时GM GN +的最小值为MN '，可知1DN NP N P ==='，3DN '=，根据三角形中位线定理可得23EC PG ==，得5x =，代入S 与x 的函数关系式中可得结论．【详解】（1）证明：如图1，四边形ABCD 是矩形，90DCE ∴∠=︒，在Rt DCE ∆中，G 为DE 中点，12CG DE ∴=． EF BD ⊥，90EFD ∴∠=︒，12FG DE ∴=， FG CG ∴=，法一：FG DG CG ==，GFD GDF ∴∠=∠，GCD GDC ∠=∠，2FGE GDF ∴∠=∠，2CGE GDC ∠=∠，2FGC FGE CGE BDC ∴∠=∠+∠=∠；法二：∵FG GE GC GD ===，∴E ，F ，D ，C 四点共圆．∴2FGC BDC ∠=∠．（2）①法一：如图2，过G 作GH CF ⊥于点H ，FG CG =，2FGC FGH ∴∠=∠，2FGC BDC ∠=∠，BDC FGH ∴∠=∠，90GHF DCB ∠=∠=︒，FGH BDC ∴∆∆∽，2FH BC GH CD∴==，令GH a =，则2FH a =，4FC a =，FG =，DE =，2114222S FC GH a a a ∴=⋅=⨯⨯=， 8CE x =-，4CD =，()()22222284DE CE CD x ∴=+=-+=，22144205a x x ∴=-+， 2188105S x x ∴=-+． 法二：连接AC 交BD 于点O ，则OB OC OD ==，∴2BOC BDC FGC ∠=∠=∠．∵1FG BO GC OC==， ∴FGC BOC ∽． ∴2BOC SFG S OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∵8,4BC CD ==，∴BD BO ==，182BOC BCD S S ==． ∵22222111()420244FG DE CE CD x x ⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭， ∴2188105S x x =-+． 法三：过点F 作FH BC ⊥于点H ．∵,EF BD CD BC ⊥⊥，∴BFH FEH BDC ∽∽．∴2BH HF BC HF HE CD===． ∴1155HE BE x ==．∴25FH x =． ∴21165BCD BEF FECD S S S x =-=-四边形． ∵点G 为DE 中点，∴2,2DEF DFG DCE DCG S S S S ==． ∴2118210GFEC FECD S S x ==-四边形四边形． ∵211218(8)22555FEC S EC FH x x x x =⋅=-⋅=-+， ∴2188.105FEC GFEC S S Sx x =-=-+四边形②如图3，分别取BD ，CD 中点O ，P ，点E 在线段CB 上运动，G 为DE 中点，∴点G 在线段OP 上运动，∴作点N 关于OP 的对称点N '，连接MN '交OP 于点G ，此时GM GN +的最小值为MN '．1DN NP N P =='=，3DN ∴'=， PG PN DM N D ''=， 1332PG DM ∴==， //PG BC ，DP CP =，23EC PG ∴==，5BE BC EC ∴=-=，即5x =，2188105S x x =-+， 185********S ∴=⨯-⨯+=． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及直角三角形的性质，注意准确作出辅助线、充分利用相似三角形的对应边成比例是解此题的关键．25．（1）()1,1A ；（2）①见解析；②存在，11m n ==【分析】（1）两个函数联立方程组，解关于x 、y 的方程组，根据交点在第一象限即可求解； （2）①分别用含m 、n 的式子表示出点B 、C 的坐标，过点A 作AD BC ⊥于点D ，则ABD CAD ∽△△，得到2AD BD CD =，即可得到关于m 、n 的关系式，整理即可求解；②根据二次函数的性质求出点M 、N 的坐标分别为21(1),24m m M m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，21(1),24n n N n n ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，过点M 作ME x ⊥轴于点E ，过点N 作NF x ⊥轴于点F ，得到1tan 2m MOE -∠=，1tan 2n NOF -∠=，根据Rt ABC 外心P 在x 轴上，得到Q 也在x 轴上，NOF MOE ∠=∠，得到2m n +=，联立12mn m n =-⎧⎨+=⎩，求出m 、n 舍去不合题意的解，问题得解．【详解】（1）解：联立22(1),(1).y mx m x y nx n x ⎧=+-⎨=+-⎩ 解得()()20m n x n m x -+-=， ∴()()20m n x x --=， ∵0,0m n ><，∴m n ≠，∴20x x -=，解得120,1x x ==，当1x =时，121y y ==，∴()1,1A ；（2）①证明：令10y =，得()210mx m x +-=， 解得1210,m x x m -==， ∴1,0m B m -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 同理1,0n C n -⎛⎫⎪⎝⎭， 过点A 作AD BC ⊥于点D ，则ABD CAD ∽△△，∴2AD BD CD =，∵111m BD m m -=-=，111n CD n n -=-=-， ∴111m n-⋅=， ∴1mn =-；②由题意得函数12,y y 图象的顶点分别为21(1),24m m M m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，21(1),24n n N nn ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 过点M 作ME x ⊥轴于点E ，过点N 作NF x ⊥轴于点F ， 则2(1)14tan 122m m m MOE m m --∠==-，2(1)14tan 122n n n NOF n n---∠==-． ∵Rt ABC 外心P 在x 轴上，∴当O ，P ，Q 三点共线时，Q 也在x 轴上，此时，NOF MOE ∠=∠， ∴1122n m --=， ∴2m n +=．联立12mn m n =-⎧⎨+=⎩解得1111m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩2211m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩（舍去），∴存在11m n ==，使O ，P ，Q 三点共线．【点睛】本题为二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质，三角形外接圆、内切圆的性质，相似三角形的性质是解题关键．。
