方程的规律_解方程(二)

列方程解应用题前面我们已经介绍了各种典型应用题的解题规律，介绍了各种典型公式，只要我们弄清了已知与未知之间的数量关系，依据公式和解题规律，就可以使复杂的应用题归类作答。

然而如果有些题目所属的类型不那么典型，或者是几种类型的题目融在一起，一下子不能找到解题公式，那又该怎么办呢？我们这里介绍的列方程解应用题是适应性很广泛的解题方法。

前面我们所介绍的各种应用题，既可以用特定的公式作解，也可以利用列方程的方法作解。

这里介绍列方程解应用题是在解答应用题的方法上帮助同学拓宽思路。

（一）概念1.什么叫方程？含有未知数的等式叫方程。

方程这个概念包含着两层意思，一是方程必须是等式，二是在等式里必须含有未知数。

这两点就是判别一个式子是不是方程的标准，二者缺一不可。

2.什么是方程的解？使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

3.什么是解方程？求方程的解的过程叫做解方程。

4.什么是用方程解应用题？用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。

（二）用方程解答应用题的关键及规律由于方程必须含有未知数，因此，首先必须弄清题意，找出未知数并设它为x。

未知数x 设定了，就把它当作已知看待，与原有的已知条件放在一起，再根据等量关系列出方程。

这就是列方程解应用题的关键和规律。

根据这个规律，就决定了列方程解应用题用下列四个步骤：1.弄清题意，找出未知数并用x表示；设未知数方法有两种（1）直接设法（题目要求什么数就设什么数为x）。

（2）间接设法（先设某一个数为x，后通过这个数x去求所要求的未知数）。

2.找出应用题中数量间的相等关系；3.列方程，并求解；4.按题意检验，写出答案。

（三）列方程解应用题的方法：主要有综合法和分析法1.综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。

这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。

2.分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。

《解方程（二）》教学设计教学目标：1、通过观察天平称重的具体情境，类比等式变形的过程，抽象出等式性质，即等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为零的数），等式仍然成立；进一步了解等式性质是解方程的根据。

2、会用等式的性质解形如2X=10的简单方程。

教学过程：一、谈话导入，引发猜想。

1、同学们，上一节课我们已经学习了"等式两边都加上(或减去)同一个数，等式仍然成立"，受这个规律的启发，你有什么新的猜想呢？2、对于他的猜想，谁还有补充？为什么？3、谁能把大家的猜想用一句话来概括一下？4、我们的猜想是否正确呢？（ppt出示？）今天我们就来一起走进《解方程二》，验证大家的猜想。

板书课题。

二、合作交流，尝试验证怎样验证我们的猜想呢？（举例子、用天平）（这个同学给大家的建议不错）有请我们的老朋友“天平”闪亮登场！1、出示合作学习要求2、组长组织组员合作探究3、小组代表展示汇报（选一组天平展讲）4、师过渡语：一个数学规律的探究只做一次实验往往是不够的，数学家门经常要经过很多次的探究论证才能得出，那我们就再请一组同学来验证一下吧。

5、现在请大家一起自豪大声的读出我们探究的规律。

6、这就是等式的又一个性质，你认为哪些词最重要？为什么？7、规律探究出来了，你会用规律吗？8、出示4y=2000，集体解方程，根据昨天《解方程一》的经验，你觉得这个方程该怎么解呢？（师提醒解方程的格式：先写“解：”，等号对齐，未知数一般写在等号左边）10、师：关于刚才解方程的过程，大家有什么疑问吗？ 11、y=500对吗？怎么验证呢？（生口答，师板演） 12、还有疑问吗？为什么非要除以4呢？两边都除以别的不为0的数也可以呀？ 13、师小结：等式两边到底选择怎样的乘除运算，其本质就是依据等式性质，通过乘除的相互抵消，得出未知数的值。

14、师：淘气给大家刚才解方程的过程配了一副图，谁能看懂，给大家分享一下自己的想法。

三、学以致用，小试牛刀。

方程全部知识点总结一、方程的定义在数学上，方程是指由未知数和已知数，通过运算符号以及等号组成的数学式，常用于描述两个数量在某种关系上相等的情况。

通常来说，方程可以表示为：F(x) = G(x)，其中F(x)和G(x)是两个关于未知数x的表达，它们的值相等。

例如：x + 2 = 5就是一个简单的方程，表示未知数x加上2的结果等于5。

二、方程的基本概念1. 未知数和已知数：在方程中，未知数是指需要求解的数，常用x、y、z等字母来代表；已知数是指已知值或者变量，可以是数字、常数或者其他未知数。

2. 等式：方程的基本构成要素之一就是等式，表示两个数或两个式子相等。

等号左边和等号右边的值相等，才能构成一个方程。

3. 解：求解方程意味着找到使得方程成立的未知数的值。

解可以有一个或者多个，也可能没有解。

解方程的过程就是找到使得等式成立的未知数的值。

4. 方程的次数：方程中未知数的最高次数称为方程的次数。

比如一次方程、二次方程等。

5. 线性方程和非线性方程：根据未知数的次数，方程可以分为线性方程和非线性方程。

一次方程是线性方程的典型例子，非线性方程则包括二次方程、三次方程等。

6. 系数：方程中未知数前面的数字或者参数称为系数，它们可以是实数、复数、甚至函数。

7. 参数方程：在一些特殊的问题中，方程中还会出现参数（通常用t表示），这时方程称为参数方程。

三、方程的解法1. 方程的解法就是求解未知数的值，常用的解法包括代数法、几何法、图像法、方法学法等。

最常用的代数法有以下几种：（1）唯一解的求法：对于只有一个解的方程，可以通过代数运算，利用等式的性质逐步消解未知数的系数，得到最终的解。

（2）一元二次方程的求解：一元二次方程通常是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其解法包括因式分解、配方法、公式法等。

（3）二元一次方程组的求解：当方程中含有两个未知数时，就构成了二元一次方程组，常用的求解方法包括代数消元法、矩阵法、图解法等。

3.3 解一元一次方程(二)-去括号与去分母同步习题精讲精练【高频考点精讲】1．一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．2．规律总结：（1）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（2）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式。

将ax＝b系数化为1时，一是弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二是要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．【热点题型精练】一、选择题1．方程3x﹣2（x﹣3）＝5去括号变形正确的是（）A．3x﹣2x﹣3＝5 B．3x﹣2x﹣6＝5 C．3x﹣2x+3＝5 D．3x﹣2x+6＝52．把方程去分母，下列变形正确的是（）A．2x﹣x+1＝1 B．2x﹣（x+1）＝1 C．2x﹣x+1＝6 D．2x﹣（x+1）＝63．下列方程变形中，正确的是（）A．方程去分母，得5（x﹣1）＝2xB．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1）去括号，得3﹣x＝2﹣5x﹣1C．方程3x﹣2＝2x+1移项，得3x﹣2x＝﹣1+2D．方程系数化为1，得t＝14．一元一次方程的解为（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝﹣12 D．x＝125．解方程时，把分母化为整数，得（）A．B．C．D．6．解方程4（x﹣1）﹣x＝2（x+）步骤如下：①去括号，得4x﹣4﹣x＝2x+1；②移项，得4x+x﹣2x＝4+1；③合并同类项，得3x＝5；④化系数为1，x＝．从哪一步开始出现错误（）A．①B．②C．③D．④7．若关于x的方程kx﹣2x＝14的解是正整数，则k的整数值有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个8．某同学在解关于x的方程3a﹣x＝13时，误将“﹣x”看成“x”，从而得到方程的解为x＝﹣2，则原方程正确的解为（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣C．x＝D．x＝29．若“△”是新规定的某种运算符号，设x△y＝xy+x+y，则2△m＝﹣16中，m的值为（）A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣610．代数式2ax+5b的值会随x的取值不同而不同，如下表是当x取不同值时对应的代数式的值，则关于x的方程2ax+5b＝0的解是（）x﹣4﹣3﹣2﹣102ax+5b12840﹣4A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4二、填空题11．当x＝时，代数式2x﹣与代数式x﹣3的值相等．12．方程1﹣＝去分母后为．13．小明解方程＝﹣3去分母时，方程右边的﹣3忘记乘6，因而求出的解为x＝2，则原方程正确的解为．14．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{，1}＝x，则x＝．三、解答题15．解方程：（1）2（x+8）＝3x﹣1（2）16．已知y＝3是方程6+（m﹣y）＝2y的解，那么关于x的方程2m（x﹣1）＝（m+1）（3x﹣4）的解是多少？17．定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝a﹣2b，比如：2⊕（﹣3）＝2﹣2×（﹣3）＝2+6＝8．（1）求（﹣3）⊕2的值；（2）若（x﹣3）⊕（x+1）＝1，求x的值．18．（1）小玉在解方程去分母时，方程右边的“﹣1”项没有乘6，因而求得的解是x＝10，试求a 的值．（2）当m为何值时，关于x的方程5m+3x＝1+x的解比关于x的方程2x+m＝5m的解大2？3.3 解一元一次方程(二)--去括号与去分母同步习题精讲精练【高频考点精讲】1．一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．3．规律总结：（1）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（2）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式。

解方程（二）教学设计一、教学内容：北师大版小学数学四年级下册第五单元70-71页二、教材分析：本节课是在学习了用字母表示数和认识方程、解方程（一）的基础上进行教学的。

学生已经通过天平初步掌握了有关方程、等式的基本性质一的意义。

基于上述情况，设计让学生通过天平自己动手，进而发现等式的性质去验证等式的基本性质（二）。

这样的设计切实关注了学生的学习过程，让学生在观察中发现、在合作探究和讨论中总结，提高了学生学习知识的能力。

三、学情分析：这一内容是学生在学习了解方程（一）的基础上学习的，对于学生来说难度不大。

让学生自己动手，通过合作探究、讨论寻找这些等式变化的特点,学生有观察、分析、迁移的学习能力，有着对等量关系，数学式子的知识基础。

所以本课教学就恰好地利用学生这些能力来理解等式的性质，从而解决解方程的问题。

四、教学目标：1、知识技能：学生通过天平的变化，探索等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立的性质，利用等式的性质解简单的方程。

2、教学思考：学生通过观察天平变化，经历了从生活情境到方程模型的建构过程。

3、问题解决:在观察、合作探究、讨论等活动中，发现等式的性质，发展了抽象能力，并从中体会数学的建模思想。

4、情感态度价值观：学生通过探究等式的性质进一步感受数学与生活之间的密切联系，激发学习数学的兴趣。

五、教学重点：学生通过天平的变化，理解等式的性质，等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。

六、教学难点：等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立的规律推导。

七、教学准备：课件、题单八、教学过程：（一）复习旧知，导入新课1、上节课我们学习了解方程（一），请同学们拿出题单，做上面的方程题。

2、你是怎样求出未知数的？3、等式的基本性质告诉我们：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。

你们猜想一下等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数），等式仍然成立吗？这节课我们就来探究这个问题，板书：解方程（二）【设计意图：从学生学过的知识出发，通过学习，使学生的兴趣和思维进入到课堂学习中。

引导验证：请同学们小组合作，交换方法验证等式两边都除以同一个不为0的数，等式是否成立。

学生进行动手操作，验证猜想，在小组内讨论交流。

教师根据学生回答，出示教材第70页第三、四幅情境图，并板书式子让学生明确规律。

通过验证让学生再次归纳：等式两边都除以同一个不为0的数，等式仍然成立。

我们的
猜想是正确的。

引导学生思考：这里为什么强调是不为0的数呢？
学生自由发言后，师强调：因为0不能做除数。

（三）实际应用。

引导：俗话说“学以致用”，请你用发现的规律，解出我们前面列出的方程：4y＝2000。

然后和小组的同伴说一说自己的想法。

学生独立思考，交流讨论后，指名回答：方程两边都除以4，根据4y÷4＝2000÷4，得出y＝500。

师板书，强调解方程的书写格式，以4y＝2000为例：
注意：当计算熟练后，应用等式性质的过
程可以省略不写。

引导学生检验方程：将500代人方程中，4x500＝2000，等式成立，所以y＝500是方程的解。

【设计意图】由等式的性质一推想出等式的性质二，充分地给予学生探究与思维的时间和空间，学生作为一个探索着、研究者，深刻体验到学习的快乐。

1．课件出示习题：解方程。

七年级数学下册 方程的简单变形（二）教案 华东师大版 知识技能目标1.运用方程的变形规律熟练解方程；2.理解解方程的步骤，掌握移项变号规则．过程性目标通过解方程过程的探讨，使学生获得解方程的步骤，体会数学中由特殊到一般的思想方法．教学过程一、创设情境方程的变形是怎样的？请同学们利用方程的变形，求方程2x + 3 = 1的解．并讨论：(1)解方程的每一步的依据是什么？(2)解方程应解到什么形式为止？(3)通过解方程，你能归纳出解方程的一般步骤吗？二、探究归纳解2x = 1－3，………………移项；2x = －2，………………合并同类项；x = －1．………………未知数的系数化为1．(1)第一步的依据是方程的变形：在方程的两边同时减去3；第二步的依据是合并同类项；第三步的依据是方程的变形：方程的两边同时除以2．(2)解方程应得到x = a 的形式．(3)解方程的一般步骤是：①移项；②合并同类项；③系数化为1．三、实践应用例1 解下列方程，并能说出每一步的变形过程．(1)8x = 2x －7 ；(2)6 = 8 + 2x ；(3)2y －21 =321 y ； (4)3y －2 = y + 1 + 6y ．解(1)8x = 2x －7，移项，得8x －2x =－7，合并同类项，得6x = －7，系数化为1，得x = －67． (2)分析本题含有未知数的项在方程的右边，在解题时可考虑先把8 + 2x 放到方程的左边，把6放到方程的右边，然后再解方程．解8 + 2x = 6，移项2x = 6－8，合并同类项2x = －2，系数化为1x = －1．注意：(1)移项和改变多项式各项的顺序是不同的，把8 + 2x 放在方程左边，6放到方程的右边时，符号不变．(2)也可考虑直接把含未知数的项2x 移到方程的左边，然后再解方程．或解 6 = 8 + 2x ，移项－ 2x = 8 － 6，合并同类项－ 2x =2，系数化为1x = －1．或解6 = 8 + 2x ，移项6－8 = 2x ，合并同类项－2 = 2x ，即 2x = －2，系数化为1x =－1．以上三种解法，让学生通过对比分析，体会每种方法的优点，寻求较简捷的方法．(3) 2y －21 =321 y 移项2y －y 21=－3 + 21， 合并同类项y 23= －25， 系数化为1y = －25÷23= －25×32， 即y = －35．注将系数化为1时，如果系数是分数，要特别细心，若结果是分数，则要化为最简分数． 思考：这个方程还有其他的解法吗？能否采用把方程的分母去掉把系数化为整数？并比较哪种方法更好？(4)3y －2 = y + 1 + 6y ，合并同类项3y －2 = 7y + 1，移项3y －7y = 1 + 2，合并同类项－4y = 3，系数化为1y = 3÷(－4) = 3 ×(－41) =－43．通过上面的解方程，想一想，你能选择解方程的步骤了吗？例2 解下列方程，并按例1的解题格式书写解题过程．(1)2x :3 = 6:5； (2)1.3x +1.2－2x =1.2－2.7x ．分析把方程中的比先化为分数，再解方程．解(1) 2x :3 = 6:5，56=32x，系数化为1x =56÷32= 56×32= 54．(2) 1.3x + 1.2－2x =1.2－2.7x ，移项1.3x －2x +2.7x = 1.2－1.2，合并同类项2x = 0，系数化为1x = 0÷2 = 0．例3 已知y 1 = 3x + 2，y 2 = 4－x ．当x 取何值时，y 1与 y 2互为相反数？分析y 1与 y 2互为相反数，即y 1+ y 2 = 0．本题就转化为求方程3x + 2 + 4－x = 0的解． 解由题意得：3x + 2 + 4－x = 0，3x －x = －4－2，x = －3．所以当x = －3时，y 1与 y 2互为相反数．四、交流反思1.解方程的一般步骤为：(1)移项；(2)合并同类项；(3)系数化为1．2.方程解的结果是化为x = a 的形式．3.移项时要注意改变符号．4.将系数化为1时，如果系数是分数，要特别细心，若结果是分数，则要化为最简分数．五、检测反馈1.解下列方程，并写出每步变形的依据．(1)3x + 4 = 0； (2)7y + 6 = －y ； (3)41852=-x －0.2x ； (4)1－3121+=x x ．2.解下列方程：(1)3x －7 + 4x = 6x －2； (2)10y + 5 = 11y －5－2y ；(3)a －1 = 5 + 2a ； (4)x x 413243-=+；(5)512131-=--x x ； (6)415321+=-x x ． 3.已知y 1 = 3x + 2，y 2 = 4－x ．(1)当x 取何值时，y 1 = y 2？ (2)当x 取何值时，y 1比 y 2大4?。