常见函数的图像及函数不等式

函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。

实际上，他们之间的联系非常紧密。

如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。

★函数与方程之间的关系。

先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。

对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。

如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。

我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。

所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。

这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。

这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。

举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。

令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。

接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。

如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。

在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。

有时候只需要作出大致图像即可。

既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。

很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。

一、一元二次函数及一元二次不等式一、二次函数1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。

2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。

3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac ab x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2ab ac ab --，对称轴是直线ab x 2-=。

（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min -=，无最大值。

② 当0<a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。

（3）当0>a ，函数在区间)2,(ab --∞上是减函数，在),2(+∞-ab上是增函数。

当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab --∞上是增函数。

【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y【练习1】（1）求作函数362++=x x y 的图象。

（2）求作函数342+--=x x y 的图像【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x （二）一元二次函数性质【例2】求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。

【解】 7)3(79626222-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ； 01> ∴当3-=x 时， 7min -=y 函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。

【练习2】求函数1352++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。

103)5(232=-⨯-=-ab ，2029)5(431)5(44422=-⨯-⨯-⨯=-ab ac∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(，对称轴为2029=x05<- ∴当103=x 时，函数取得最大值2029=maz y函数在区间]103,(-∞上是增函数，在区间),3[+∞-上是减函数。

常见的几个函数不等式及其应用武汉市教育科学研究院孔峰在近几年的高考中，无论是国家考试中心的数学命题，还是一些独立命题省市的数学命题，有一些函数不等式在命题中出现的频率很高，它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，下面分别介绍这些函数不等式.一、函数不等式的介绍（1）)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx①证明：令x x x f -+=)1ln()(，则xx x x f +-=-+='1111)(.当01<<-x 时，0)(>'x f ；当0>x 时，0)(<'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极大值，故0)0()(=≤f x f ，所以)1()1ln(->≤+x x x .令x x x x g +-+=1)1ln()(，则22)1()1()1(11)(x xx x x x x g +=+-+-+='.当01<<-x 时，0)(<'x f ；当0>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极小值，故0)0()(=≥g x g ，)1)(1ln(1->+≤+∴x x xx .综上可知，)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx.变式：)0(1ln >-≤x x x ，②)0(11ln >≥+x x x .③（2）)1)(1(21ln ≥-≤x x x x ④)10)(1(21ln ≤<-≥x xx x ⑤证明：令)1(21ln )(x x x x f --=，则02)1(11(211)(22≤--=+-='x x xx x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递减.所以，当1≥x 时，0)1()(=≤f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≥f x f .所以，不等式④，⑤成立.变式：)0(1)1ln(≥+≤+x x xx ⑥（3）)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x ⑦)10(1)1(2ln ≤<+-≤x x x x ⑧证明：令1)1(2ln )(+--=x x x x f ，则0)1()1()(22≥+-='x x x x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递增.当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≤f x f .所以，不等式⑦，⑧成立.（4）)10(211)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ⑨证明：令x x x f 1)1ln(1)(-+=，则221)1(ln )1(1)(x x x x f +++-='，而)1(ln ]1)1][ln(1)1[ln()1(ln 1)1(ln )(222222x x x x x x x x x x x x x x f ++-++++=++-+='，由⑥式)0(1)1ln(≥+≤+x x xx 知，0)(<'x f ，所以)(x f 在10≤<x 上为减函数，12ln 1)1()(-=≥f x f .由⑦式)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 知211)1ln(1<-+x x .综上可知，不等式⑨成立.（5）)0(1)211()1ln(≥++≤+x x x x x ⑩证明：令1)211()1ln()(++-+=x x x x x f ，则0)1(2)(22≤+-='x x x f .故0)0()(=≤f x f .所以，不等式⑩成立.变式：)0)(111(2111ln(>++≤+x x x x ⑪利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式：（6）贝努尼不等式：当1->x 时，)0,1(1)1(<≥+≥+αααα或x x ，⑫)10(1)1(<<+≤+αααx x ⑬（7）)0(21)1ln(2≥-≥+x x x x ⑭二、常见的函数不等的作用利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。

高考中所有的函数图像大汇总 专项二 高考用到的函数图像总结高考中用到的函数图像是指：一次函数图像、反比例函数图像、二次函数图像、幂函数图像（五种）、对勾（也称对号）函数图像、指数函数图像、对数函数图像、简单的三角函数图像、简单的三次函数图像一、一次函数图像（1）函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，它的定义域是R ，值域是R ； （2）一次函数的图象是直线，这条直线不能竖直，所以一次函数又叫线性函数；（3）一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 叫直线的斜率，b 叫直线在y 轴上的截距； 0>k 时，函数是增函数，0<k 时，函数是减函数；注意截距不是距离的意思，截距是一个可正可负可为零的常数 （4）0=b 时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；0≠b 时，它既不是奇函数，也不是偶函数； （5）作一次函数图像时，一般先找到在坐标轴上的两个点，然后连线即可 二、反比例函数图像 （一）反比例函数的概念1．（）可写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可写成xy=k 的形式，用它可迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x 轴、y 轴无交点．（二）反比例函数及其图象的性质函数解析式：（），自变量的取值范围：越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．图像越远离坐标轴越小，图象的弯曲度越大．图像越靠近坐标轴 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k 的几何意义如图1，设点P （a ，b ）是双曲线上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为．图1 图2 三、二次函数图像(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称（2）我们在做题的时候，作比较详细的二次函数图像，需要作出开口方向、对称轴所在位置、与两个坐标轴的交点位置、顶点所在位置，而不能随手一条曲线，就当做二次函数的图像了。