2020-2021学年高考数学理科一模测试题及答案解析一

2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数3213iz i-+=++，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．QP B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R =3．（5分）若2242(),log 3,log 63a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．（5分）若x ，y 满足约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩则2z x y =+的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．35．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升” )的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为( )立方分米．A ．40B ．853C ．30D ．7336．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为( )A ．314B ．37C ．67D ．13287．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N ．若2MF FN =，则||MF 的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．28．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是( )A ．sin 2sin 2x xy e = B ．cos2cos2x xy e = C ．cos2|cos2|xx y e =D ．cos |cos |xx y e =9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒并测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是( )A ．300 mB ．600 mC ．3003mD ．6003m10．（5分）已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；③函数()f x 的最小正周期为π． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．311．（5分）已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt ACD ∆与Rt BCD)∆组成的三角形，如左图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至△1D AC 处1(D 不在平面ABC 上）．若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(θ )A ．(0,45)θ∈︒︒B ．(0θ∈︒，45]︒C ．(0θ∈︒，60]︒D ．(0,60)θ∈︒︒12．（5分）设符号{min x ，y ，}z 表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数(){|2|f x min x =-，2x ，|2|}x +则下列结论正确的是( )A ．[0x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->B ．[1x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->C ．x R ∀∈，(())()f f x f xD ．x R ∀∈，(())()f f x f x >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．（5分）函数y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 ．14．（5分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，若()()a a b b a b ++-的最大值为1，则向量a ，b 的夹角θ的最小值为 ，|2|a b +的取值范围为 ．15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是16．（5分）已知双曲线C 的方程为2218y x -=，右焦点为F ，若点(0,6)N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ，*n N ∈时，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的中点．（1）求证：//CE 平面BMD ；（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．19．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且||4AB =，椭圆C 3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(1M ，)(0)m m ≠在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AM F ∆面积是BM E ∆面积的5倍，求m 的值．20．（12分）BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高()i cm x166167160173178169158173体重()i kg y57 58 53 61 66 57 50 66（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg ．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考公式：2211()1(nii i n ii yy R y==-=-∑∑．1122211()()ˆ()nnix i yi ix yi i nnixixi i xy x yn bxxn----==--==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．ˆˆˆi i ie y bx a =--． 参考数据：8178880i i i x y ==∑，281226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，821()226i i y y =-=∑．21．（12分）已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈．（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据5:0.223)4ln ≈请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （2）设()||||||||f OA OB OC OD α=+，当63ππα时，求()f α的值域．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =-+-． （Ⅰ）求不等式()4f x 的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，求2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数3213iz i-+=++，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数3(13)2221313i i i z i i i-++=+=+=+++，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)在第一象限． 故选：A ．2．（5分）设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．QP B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R =【解答】解：集合{|||3}{|3P x x x x =>=<-或3}x >，2{|4}{|2Q x x x x =>=<-或2}x >，P Q ∴，故选：B ．3．（5分）若2242(),log 3,log 63a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【解答】解：由 可得49a =，42log 6log c == 则 可知，1bc a >>>， 故选：B ．4．（5分）若x ，y 满足约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩则2z x y =+的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．3【解答】解：由约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩作出可行域如图，化目标函数2z x y=+为直线方程的斜截式，122zy x=-+，由图可知，当直线122zy x=-+过(3,0)A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．故选：D．5．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升”)的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为()立方分米．A．40B．853C．30D．733【解答】解：由三视图还原原几何体如图，要加工成如图所示散斗，则长方体木料长的最小值为4，宽的最小值为4，高的最小值为52， 则则长方体木料的最小体积为544402⨯⨯=立方分米． 故选：A ．6．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为( ) A ．314B ．37C ．67D ．1328【解答】解：不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，基本事件总数2828n C ==，取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数：116212m C C ==，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为123287m p n ===． 故选：B ．7．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N ．若2MF FN =，则||MF 的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【解答】解：由抛物线的方程可得焦点(2,0)F ，准线方程为：2x =-，作MA 垂直于y 轴交于A ，因为2MF FN =，所以可得F 为线段MN 的三等分点，即13NF MN =，由NFO NMA ∆∆∽，所以13OF MA =，即3326MA OF ==⨯=，所以||628MF =+=， 故选：A ．8．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是( )A ．sin 2sin 2x xy e = B ．cos2cos2x xy e = C ．cos2|cos2|xx y e =D ．cos |cos |xx y e =【解答】解：由图象可知，当0x =时，0y ≠，故排除选项A ； 又对任意的x ，函数值0y ，故排除选项B ； 对选项D ，当12x π=>时，0y =，这与图象矛盾，综上，选项C 满足题意． 故选：C ．9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒并测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是( )A ．300 mB ．600 mC ．3003mD ．6003m【解答】解：设AB x =，由图利用直角三角形的性质可得：BC AB x ==，3BD x =， 在BCD ∆中，由余弦定理可得：22236002600cos120x x x =+-⨯︒，化为：23001800000x x --=，解得600x =． 故选：B ．10．（5分）已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；③函数()f x 的最小正周期为π． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3 【解答】解：332cos sin sin 2,[2,2]0,[2,2]2222()2|cos |sin sin 2,2cos sin sin 2,[2,2)2sin 2,[2,2)2222x x x x k k x k k f x x x x k Zx x x x k k x x k k ππππππππππππππππ⎧⎧-+∈++∈++⎪⎪⎪⎪=+==∈⎨⎨⎪⎪+∈-++∈-++⎪⎪⎩⎩，其大致图象如图所示，①()f x 的图象不关于直线4x π=对称，即①错误；②()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增，即②正确； ③()f x 的最小正周期为2π，即③错误． 所以真命题只有②， 故选：B ．11．（5分）已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt ACD ∆与Rt BCD)∆组成的三角形，如左图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至△1D AC 处1(D 不在平面ABC 上）．若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(θ )A ．(0,45)θ∈︒︒B ．(0θ∈︒，45]︒C ．(0θ∈︒，60]︒D ．(0,60)θ∈︒︒【解答】解：作//AP DM ，1AD 可以看成以AC 为轴线，以45︒为平面角的圆锥的母线， 由题意知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时， 1PAD ∠取得最大值，则1PAD ∠的最大值为60︒，此时，1D ∈平面ABC ，1D 不在平面ABC 上，1(0,60)PAD ∴∠∈︒︒，∴在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(0,60)θ∈︒︒．故选：D ．12．（5分）设符号{min x ，y ，}z 表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数(){|2|f x min x =-，2x ，|2|}x +则下列结论正确的是( )A ．[0x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->B ．[1x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->C ．x R ∀∈，(())()f f x f xD ．x R ∀∈，(())()f f x f x >【解答】解：如图所示：由题意可得A 中，2,[0,1]()|2|,(1,)x x f x x x ⎧∈=⎨-∈+∞⎩B 中，当12x 时，120x --，(2)(2)2()f x f x x f x -=--=，当23x <时，021x <-，(2)2()f x x f x --=，当34x <时，122x <-，(2)2(2)42()f x x x x f x -=--=--=，当4x ，22x -，恒有(2)()f x f x -<，所以B 不正确，A 也不正确；C 中，从图象上看，[0x ∈，)+∞，()f x x ，令()t f x =，则0t ，所以()f t t ，即(())()f f x f x ，故C 正确，D 不正确． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．（5分）函数y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 210x y --= ． 【解答】解：1y x nx =+，∴11y x'=+， 1|112x k y =∴='=+=，∴函数1y x nx =+在点(1,1)处的切线方程为12(1)y x -=-，整理，得210x y --=． 故答案为：210x y --=．14．（5分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，若()()a a b b a b ++-的最大值为1，则向量a ，b 的夹角θ的最小值为23π，|2|a b +的取值范围为 ． 【解答】解：设向量a ，b 的夹角为θ，则[0θ∈，]π； 又||2a =，||1b =，所以22()()421cos 12cos 134cos a a b b a b a a b b a b θθθ++-=++-=+⨯⨯+⨯⨯-=+， 即34cos 1θ+， 解得1cos 2θ-； 则向量a ，b 的夹角θ的最小值为23π； 即2[3πθ∈，]π； 所以222(2)444421cos 488cos a b a a b b θθ+=++=+⨯⨯⨯+=+， 又cos [1θ∈-，1]2-，所以88cos [0θ+∈，4]，所以|2|a b +的取值范围是[0，2]． 故答案为：23π，[0，2]． 15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是 124125【解答】解：飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀． 某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45， 则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是： 0033411241()()55125P C =-=． 故答案为：124125．16．（5分）已知双曲线C 的方程为21x =，右焦点为F ，若点(0,6)N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为 2【解答】解：双曲线的标准方程为2218y x -=，设双曲线的左焦点为F '，由双曲线C 可得(3,0)F ，(3,0)F '-，||NF =MNF ∆周长为||||||||||MN MF NF MN MF ++=++，由双曲线的定义可得||||22MF MF a '-==， 即有||||||||2MN MF MN MF '+=++， 当P 在左支上运动到M ，N ，F '共线时，||||MN MF '+取得最小值||NF '=则有MNF ∆周长的最小值为22=．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ，*n N ∈时，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 【解答】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =， 设数列的首项为1a ，公差为d ， 则：1112335a d a d a d+=⎧⎨+=+⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)n a n n =+-=．数列{}n b 满足：2124b b ==，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+．① 所以1122111(24)2n n n a b a b a b n b ---++⋯+=-+．② ①-②得：1(22)(24)n n n n a b n b n b -=---， 由于n a n =， 整理得12nn b b -=（常数）， 所以数列{}n b 是以12b =为首项，2为公比的等比数列． 所以1222n n n b -=⨯=． 由于首项符合通项公式， 所以2n n b =．证明：（2）由（1）得2n n n n a nc b ==， 所以212222n n nT =++⋯+①， 故2311122222n n nT +=++⋯+② ①-②得：211111(1)1111122()112222222212n n n n n n n n n n T +++-=++⋯+-=-=---， 所以112222n n n nT -=--<． 即122n c c c ++⋯+<．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的中点．（1）求证：//CE 平面BMD ；（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：连接ME ，因为点M ，E 分别是PA ，PD 的中点，所以12ME AD =，//ME AD ，所以//BC ME ，BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形， 所以//CE BM ．又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊂/平面BMD ， 所以//CE 平面BMD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则又1(2CQ =-，1-，1)，(1CE =-，0，1)，设平面CEQ 的法向量为(n x =，y ，)z ，列方程组00n CQ n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得：120x y z x z ⎧--+=⎪⎨⎪-+=⎩其中一个法向量为(2n =，1，2)，设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是22sin 3414001θ==++++， 进而求得5cos θ=（15分） 19．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且||4AB =，椭圆C 3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(1M ，)(0)m m ≠在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AM F ∆面积是BM E ∆面积的5倍，求m 的值．【解答】解：（1）由题意可得：222243a ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=；（2）(1,)M m ，(2,0)A -，(2,0)B ，∴直线AM 的斜率3AM m k =， ∴直线AM 的方程为：(2)3my x =+， 联立方程22(2)314m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294E m y m =+， 同理可得2414F my m =+，5AMF BME S S ∆∆=，即()5()ABF ABM ABE ABM S S S S ∆∆∆∆-=-， 54ABF ABE ABM S S S ∆∆∆∴=-，∴22412||5||4||1494m mm m m=-++，又0m ≠， 42161630m m ∴-+=，解得214m =或34， 点M 在椭圆内，∴234m <， ∴214m =， 12m ∴=±．20．（12分）BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg ．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考公式：22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑．1122211()()ˆ()nnix i yi ix yi i nnixixi i xy x yn bxxn----==--==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．ˆˆˆi i ie y bx a =--． 参考数据：8178880i i i x y ==∑，281226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，821()226i i y y =-=∑．【解答】解：（1）由题意知线性回归方程为ˆ0.875.9y x =-， 计算6ˆ570.816975.9 2.3e=-⨯+=-， 7ˆ500.815875.90.5e=-⨯+=-， 8ˆ660.817375.9 3.5e=-⨯+=； 完善下列残差表如下，计算22121()111(0.010.090.81 2.250.25 5.290.2512.25)10.090.90226()nii i n ii yy R yy ==-=-=-⨯+++++++≈-=-∑∑；所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值20.90R ≈． （2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且858y =，由8178880i i i x y ==∑，计算修订后8178880173661735877496i i i x y ='=-⨯+⨯=∑，又281226112i ix ==∑，168x =，修订后1(858.56658)57.58y '=⨯⨯-+=，所以1222177496816857.5ˆ0.6752261128168ni ix yi nixi x yn bxn --=-=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ57.50.67516855.9ay bx ='-=-⨯=-； 所以x 关于y 的线性回归方程是ˆ0.67555.9yx =-． 21．（12分）已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈．（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据5:0.223)4ln ≈【解答】解：（1）设直线y x =与()y f x =相切于点0(P x ，02())ln ax b +， 2()af x ax b '=+， 002()1af x ax b '∴==+，02ax b a ∴+= (0)a >，又点P 在切线y x =上，002()ln ax b x ∴+=， 022ln a x ∴=，02222b a ax a aln a ∴=-=-，因此22222ab a a ln a =-(0)a >，设g （a ）22222a a ln a =-，0a >，g '∴（a ）2422(122)a aln a a ln a =-=-，令g '（a ）0>得，0a <<g '（a ）o <得，a > g ∴（a）在上单调递增，在，)+∞上单调递减， g ∴（a）的最大值为4e g =， ab ∴的最大值为4e ； （2）函数2()(1)(1)()(g x ax a axf x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，等价于方程22(1)(1)(1)ln ax ax a ax +=+++有两个不相等的实根，设1t ax =+，则等价于方程220lnt t at --= (0)t >有两个不同的解，即关于t 的方程22lnt t a t-= (0)t >有两个不同的解， 设22()lnt t h t t -=，则2222()t lnt h t t --'=， 设2()22m t t lnt =--，由0t >可知()m t '=-， ()m t ∴在(0,)+∞上单调递减，又m （1）10=>，575()204164m ln =-<， ∴存在05(1,)4t ∈使得0()0m t =，即200220t lnt --=，∴20022lnt t +=， ∴当0(0,)t t ∈时，()0m t >，()0h t '>，函数()h t 单调递增；当0(t t ∈，)+∞时，()0m t <，()0h t '<，函数()h t 单调递减，∴函数()h t 的极大值为220000000022229()2(,0)10lnt t t h t t t t t --===-∈-， 要使得关于t 的方程22lnt t a t-= (0)t >有两个不同的解，则0()a h t <， 当1a =-时，设2()2p t lnt t t =-+， 则2()21p t t t'=-+，可知()p t在上单调递增，在，)+∞上单调递减， 又p （1）0=，0p >，p （e ）220e e =-+<， ()p t ∴有两个不同的零点，符合题意，a ∴的最大整数值为1-．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程；（2）设()||||||||f OA OB OC OD α=+，当63ππα时，求()f α的值域．【解答】解：（1）1:4cos()3C πρθ=-，即22cos sin ρρθθ=+，化为直角坐标方程为22(1)(4x y -+=把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a -=，因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线20a =经过圆心(1，解得2a =，故2C 的直角坐标方程为0x =．（2）由题意可得，当63ππα时，||4sin OA α=；||4cos()3OB πα=-；||4cos OC α=；||4sin()3OD πα=-， ∴设2()||||||||16sin cos 16cos()sin()8sin 28sin(2)12sin 2)3336f OA OB OC OD ππππαααααααααα=+=+--=--=+=+，当63ππα时，52266πππα+， 383sin(2)836πα+，故()f α的值域为[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =-+-．（Ⅰ）求不等式()4f x 的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，求【解答】解：（Ⅰ）1()42324x f x x ⎧<⎪⇔⎨⎪-+⎩或1124x x ⎧<⎪⎨⎪⎩或1324x x ⎧⎨-⎩， 解得223x -， 故不等式()4f x 的解集为2{|2}3x x -（Ⅱ）132,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=<⎨⎪-⎪⎪⎩，1()2min f x ∴=，即12m =， 又a ，b ，c R +∈且12a b c ++=，z 则2221a b c ++=，设x =yz =， 222x y xy +，2222121222xy x y a b a b +=+++=++，同理：2222yz a c ++，2222xz c a ++，2222222222228xy yz xz a b b c c a ∴++++++++++=，2222()222212121812x y z x y z xy yz xz a b c ∴++=+++++++++++=， 23x y z ∴++，即123，当且仅当16a b c ===时，取得最大值．。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=1+i，则−2z|=()A. 0B. 1C.D. 22.设集合A={−40}，B={x|2x+a0}，且A B={x|−2x1}，则a=()A. −4B. −2C. 2D. 43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. B. C. D.4.已知A为抛物线C:=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=()A. 2B. 3C. 6D. 95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(，)(i=1，2，，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+C. y=a+D. y=a+b x6.函数f(x)=−的图像在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+17.设函数f(x)=(x+)在[−，]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.8.(x+y2)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()xA. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)，且3cos2α−8cosα=5，则=()A. B. C. D.10.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为ABC的外接圆，若的面积为4，AB=BC=AC=，则球O的表面积为()A. 64B. 48C. 36D. 3211.已知M:+−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，且切点为A，B，当|PM||AB|最小时，直线AB的方程为()A. 2x−y−1=0B. 2x+y−1=0C. 2x−y+1=0D. 2x+y+1=012.若2a+log2a=4b+2log4b，则()A. a>2bB. a<2bC. a>D. a<二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为__________．14.设，为单位向量，且||=1，则||=__________．15.已知F为双曲线C:−=1(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为__________．16.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=，AB AC，AB AD，CAE=，则FCB=__________．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.设{}是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．(1)求{}的公比;(2)若=1，求数列{}的前n项和．18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=DO．(1)证明：PA平面PBC;(2)求二面角B−PC−E的余弦值．19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为．(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率．20.已知A，B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点．21.已知函数f(x)=+−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)当x0时，f(x)+1，求a的取值范围．22.[选修4−4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为4−16+3=0．(1)当k=1时，是什么曲线?(2)当k=4时，求与的公共点的直角坐标．23.[选修4−4:坐标系与参数方程]已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．答案和解析1. D解：由z =1+i 得z 2=2i ，2z =2+2i ，|z 2−2z |=|2i −(2+2i)|=2．2. B解：由已知可得A ={x|−2⩽x ⩽2}，B ={x|x ⩽−a2}， 又因为A ∩B ={x|−2⩽x ⩽1}， 所以−a2=1，从而a =−2,3. C解：如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a,侧面三角形底边上的高为ℎ′， 则由题意可得{ℎ2=12aℎ′ℎ2=(ℎ′)2−(a2)2,故(ℎ′)2−(a2)2=12aℎ′，化简可得4(ℎ′a )2−2(ℎ′a )−1=0,解得ℎ′a=1±√54．负值舍去可得ℎ′a=1+√544.C解：设点A的坐标为(x,y)，由点A到y轴的距离为9，可得x=9,由点A到点C的焦点的距离为12，可得x+p2=12解得p=6．5.D解：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a+bln x．6.B解：先求函数的导函数f′(x)=4x3−6x2，则由函数的几何意义可知在点(1,f(1))的切线斜率为k=f′(1)=−2．又因为f(1)=−1，则切线方程为y−(−1)=−2(x−1)，则y=−2x+1．7.C解：由图可知f(−4π9)=cos(−4π9w+π6)=0，所以−4π9w+π6=π2+kπ(k∈Z),化简可得w=−3+9k4(k∈Z)，又因为T<2π<2T，即2π|w|<2π<4π|w|，所以1<|ω|<2，当且仅当k=−1时1<|ω|<2，所以w=32，所以最小正周期T=2π|w|=4π3．8.C解：(x+y)5的展开式通项为C5r x5−r y r，r=0，1，2，3，4，5，则(x+y2x )(x+y)5的展开式有xC5r x5−r y r，y2xC5r x5−r y r，取r=3和r=1时可得10x3y3，5x3y3，合并后系数为15，9.A解：∵3cos2α−8cosα=5，∴3(2cos2α−1)−8cosα=5，即3cos2α−4cosα−4=0，(3cosα+2)(cosα−2)=0，α∈(0,π)，即cosα=−23，又α∈(0,π)，sinα>0，∴sinα=√1−cos2α=√53，10.A解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，=2r=4，得AB=OO1=2√3，由正弦定理：ABsin60∘由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，11.D解：圆M方程化为：(x−1)2+(y−1)2=4，圆心M(1,1)，半径r=2，根据切线的性质及圆的对称性可知，则|PM|⋅|AB|=4S△PAM=2|PA|⋅|AM|，要使其值最小，只需|PA|最小，即|PM|最小，此时，=√5，|PA|=√|PM|2−|AM|2=1，∴|PM|=√5(x−1)，联立l的方程解得P(−1,0)，过点M且垂直于l的方程为y−1=12以P为圆心，|PA|为半径的圆的方程为(x+1)2+y2=1，即x2+y2+2x=0，结合圆M的方程两式相减可得直线AB的方程为2x+y+1=0，12.B解：根据指数及对数的运算性质，4b+2log4b=22b+log2b，∵log2(2b)=log2b+1>log2b，∴22b+log2(2b)>22b+log2b=2a+log2a，根据函数f(x)=2x+log2x是定义域上的增函数，由f(2b)>f(a)，得a<2b，13.1解：根据约束条件画出可行域为：由z=x+7y得y=−17x+17z，平移直线y=−17x，要使z最大，则y=−17x+17z在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，14.√3解：|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =2+2a⃗⋅b⃗ =1，a⃗⋅b⃗ =−12，|a⃗−b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =2−2a⃗⋅b⃗ =3，∴|a⃗−b⃗ |=√3．15.2解：由题意可知，B在双曲线C的右支上，且在x轴上方，∵BF垂直于x轴，把x=c代入x2a2−y2b2=1，得y=b2a，∴B点坐标为(c,b2a)，又A点坐标为(a,0)，∴k AB=b2a−0c−a=3，化简得b2=3ac−3a2=c2−a2，即2a2−3ac+c2=0，解得c=2a或c=a(舍)，故e=ca=2．16.−14解：由已知得BD=√2AB=√6，∵D、E、F重合于一点，∴AE=AD=√3，BF=BD=√6，∴△ACE中，由余弦定理得，∴CE=CF=1，BC²=AC²+AB²，BC=2，∴在△BCF中，由余弦定理得．17.解：⑴设等比数列{a n}的公比为q(q≠1)，由题意知：2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2，所以q2+q−2=0，解得q=−2．(2)若a1=1，则a n=(−2)n−1，所以数列{na n}的前n项和为T n=1+2×(−2)+3×(−2)2+⋯+n(−2)n−1，则−2T n=−2+2×(−2)2+3×(−2)3+⋯+n(−2)n，两式相减得3T n=1+(−2)+(−2)2+(−2)3+(−2)n−1−n(−2)n=1−(−2)n1−(−2)−n(−2)n=1−(3n+1)(−2)n3，所以T n=1−(3n+1)(−2)n9．18.(1)证明：不妨设⊙O的半径为1，则AO=OB=OC=1，AE=AD=2，AB=BC=CA=√3，DO=√DA2−OA2=√3，PO=√66DO=√22，PA=PB=PC=√PO2+AO2=√62，在△PAC中，PA2+PC2=AC2，故PA⊥PC，同理可得PA⊥PB，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，∴PA ⊥平面PBC ．(2)解：以OE ，OD 所在直线分别为y ，z 轴，圆锥底面内垂直于OE 的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则有B (√32,12,0),C (−√32,12,0),P (0,0,√22),E (0,1,0)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,√22)， 设平面PBC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，解得n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)， 同理可得平面PCE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√6,−2√3)， 由图形可知二面角B −PC −E 为锐角，则cosθ=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√55， 故二面角B −PC −E 的余弦值为2√55．19. 解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，则P =(12)4=116．(2)设甲输掉一场比赛为事件A ，乙输掉一场比赛为事件B ，丙输掉一场比赛为事件C ， 四场比赛能结束为事件N ，则P(N)=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BABA)+P(BCBC)=116×4=14所以需要进行第五场比赛的概率为P =1−P(N)=1−14=34(3) 丙获胜的概率为：P =P (ABAB )+P(BABA)+P(ABACB)+P(BABCA)+P(ABCAB)+P(ABCBA) +P(BACAB)+P(BACBA)+P(ACABB)+P(ACBAB)+P(BCABA)+P(BCBAA) =(12)4×2+(12)5×10=716．20. 解：由题意A (−a,0),B (a,0),G (0,1),AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1), AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−1=8⇒a 2=9⇒a =3， ∴椭圆E 的方程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (−3,0),B (3,0),P (6,m )，则直线PA 的方程为y =m 9(x +3)，联立{y =m 9(x +3)x 29+y 2=1⇒(9+m 2)x 2+6m 2x +9m 2−81=0,由韦达定理−3x C =9m 2−819+m 2⇒x C =−3m 2+279+m 2，代入直线PA 的方程y =m 9(x +3)得，y C =6m9+m 2，即C (−3m 2+279+m 2,6m9+m 2)，直线PB的方程为y=m3(x−3)，联立{y=m3(x−3)x29+y2=1⇒(1+m2)x2−6m2x+9m2−9=0,由韦达定理3x D=9m2−91+m2⇒x D=3m2−31+m2，代入直线PA的方程y=m3(x−3)得，y D=−2m1+m2，即D(3m2−31+m2,−2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2=4m3(3−m2)，∴直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m3(3−m2)(x−3m2−31+m2)，整理得y=4m3(3−m2)(x−32)，∴直线CD过定点(32,0)．21.解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，记g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，所以g(x)=f′(x)=e x+2x−1在R上单调递增，又f′(0)=0，得当x>0时f′(x)>0，即f(x)=e x+x2−x在(0,+∞)上单调递增；当x<0时f′(x)<0，即f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减．所以f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当x=0时，a∈R；②当x>0时，f(x)≥12x3+1即a≥12x3+x+1−e xx2，令ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3记m(x)=e x−12x2−x−1，m′(x)=e x−x−1令q(x)=e x−x−1，因为x>0，所以q′(x)=e x−1>0，所以m′(x)=q(x)=e x−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m′(x)=e x−x−1> m′(0)=0所以m(x)=e x−12x2−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m(x)=e x−12x2−x−1>m(0)=0，故当x∈(0,2)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(0,2)上单调递增；当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(2,+∞)上单调递减；所以[ℎ(x)]max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可知，实数a的取值范围是[7−e24,+∞)．22.解：(1)当k=1时，曲线C1的参数方程为{x=costy=sint，化为直角坐标方程为x2+y2=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆．(2)k=4时，曲线C1的参数方程为{x=cos 4ty=sin4t，化为直角坐标方程为√x+√y=1，曲线C2化为直角坐标方程为4x−16y+3=0，联立{√x+√y=14x−16y+3=0，解得{x=14y=14,所以曲线C1与曲线C2的公共点的直角坐标为(14,14 )．23.解：(1)函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|=，图像如图所示：(2)函数f(x+1)的图像即为将f(x)的图像向左平移一个单位所得，如图，联立y=−x−3和y=5x+4解得交点横坐标为x=−，原不等式的解集为．。

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理）一、选择题1.设2()3()46z z z z i ++-=+，则z =(）A.12i -B.12i +C.1i +D.1i -答案：C 解析：设z a bi =+，则z a bi =-，2()3()4646z z z z a bi i ++-=+=+，所以1a =，1b =，所以1z i =+.2.已知集合{|21,}S s s n n Z ==+∈，{|41,}T t t n n Z ==+∈，则S T = ()A.∅B.SC.TD.Z 答案：C 解析：21s n =+，n Z ∈；当2n k =，k Z ∈时，{|41,}S s s k k Z ==+∈；当21n k =+，k Z ∈时，{|43,}S s s k k Z ==+∈.所以T S Ü，S T T = .故选C.3.已知命题:p x R ∃∈﹐sin 1x <；命题||:,1x q x R e∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（）A.p q∧B.p q ⌝∧C.p q∧⌝D.()p q ⌝∨答案：A 解析：根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，故x R ∃∈，sin 1x <，p 为真命题，而函数||x y y e ==为偶函数，且0x ≥时，||1x y e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.，则q 也为真命题，所以p q ∧为真，选A.4.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案：B 解析：12()111x f x x x -==-+++，()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数.5.在正方体1111ABCD ABC D -中，P 为11BD 的中点，则直线PB 与1A D 所成的角为（）A.2πB.3πC.4πD.6π答案：D 解析：如图，1P B C ∠为直线PB 与1A D 所成角的平面角.易知11AB C ∆为正三角形，又P 为11AC 中点，所以16PBC π∠=.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种答案：C 解析：所求分配方案数为2454240C A =.7.把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin()4y x π=-的图像，则)(f x =（）A.7sin()212x π-B.sin()212x π+C.7sin(212x π-D.sin(212x π+答案：B解析：逆向：231sin()sin(sin() 412212 y x y x y xππππ=-−−−→=+−−−−−−−→=+左移横坐标变为原来的倍.故选B.8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A.7 9B.23 32C.9 32D.2 9答案：B解析：由题意记(0,1)x∈，(1,2)y∈，题目即求74x y+>的概率，绘图如下所示.故113311123224411132 ABCDAM ANSPS==⨯-⋅-⨯⨯==⨯阴正.9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点,,E H G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”.GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB =（）A.⨯+表高表距表高表目距的差B.⨯-表高表距表高表目距的差C.⨯+表高表距表距表目距的差D.⨯-表高表距表距表目距的差答案：A 解析：连接DF 交AB 于M ，则AB AM BM =+.记BDM α∠=，BFM β∠=，则tan tan MB MBMF MD DF βα-=-=.而tan FG GC β=，tan EDEHα=.所以11(()tan tan tan tan MB MB GC EH GC EH MB MB MB FG ED ED βαβα--=-=⋅-=⋅.故ED DF MB GC EH ⋅⨯==-表高表距表目距的差，所以高AB ⨯=+表高表距表高表目距的差.10.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a >答案：D 解析：若0a >，其图像如图（1），此时，0a b <<；若0a <，时图像如图（2），此时，0b a <<.综上，2ab a <.11.设B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足，2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A.[)2B.1[,1)2C.2D.1(0,2答案：C 解析：由题意，点(0,)B b ，设00(,)P x y ，则2222200002221(1)x y y x a a b b +=⇒=-，故22222222222000000022()(122y c PB x y b a y by b y by a b b b =+-=-+-+=--++，0[,]y b b ∈-.由题意，当0y b =-时，2PB 最大，则32b b c -≤-，22b c ≥，222a c c -≥，2c c a =≤，2(0,2c ∈.12.设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c -，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.c a b <<答案：B 解析:设()ln(1)1f x x =+，则(0.02)b c f -=，易得1()1f x x '==+当0x ≥时，1x +=≥()0f x '≤.所以()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以(0.02)(0)0f f <=，故b c <.再设()2ln(1)1g x x =++，则(0.01)a c g -=，易得2()21g x x '==+当02x ≤<时，1x ≥=+，所以()g x '在[0.2)上0≥.故()g x 在[0.2)上单调递增，所以(0.01)(0)0g g >=，故a c >.综上，a c b >>.二、填空题13.已知双曲线C ：221(0)x y m m-=>的一条渐近线为0my +=，则C 的焦距为.答案：4解析：易知双曲线渐近线方程为by x a=±，由题意得2a m =，21b =，且一条渐近线方程为y x m=-，则有0m =（舍去），3m =，故焦距为24c =.14.已知向量(1,3)a = ，(3,4)b = ，若()a b b λ-⊥，则λ=.答案：35解析：由题意得()0a b b λ-⋅= ，即15250λ-=，解得35λ=.15.记ABC ∆的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，60B =︒，223a c ac +=，则b =.答案：解析：1sin24ABC S ac B ac ∆===4ac =，由余弦定理，222328b a c ac ac ac ac =+-=-==，所以b =.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ==，BA BC =，2AC =，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，AC AB =，2BC =，俯视图为④.三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y，样本方差分别己为21s 和22S .（1）求x ，y，21s ，22s ：（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果2212210s s y x +-≥，否则不认为有显著提高)。

③a＞0时， 在（0， ）上是减函数，在（ ，+∞）上是增函数，
∴ 时，g（x）取得最小值 ，
解 得，a≥4，显然a＜4和a＞4时，都不满足f（x）在（0，2）上是减函数，只有a＝4时满足f（x）在（0，2）上是减函数，
∴满足条件的a的集合是{4}．
故答案为：{4}．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，4}，则∁UA＝（ ）
A．{5，6}B．{1，2，3，4}C．{2，5，6}D．{2，3，4，5，6}
（1）讨论f（x）在其定义域内的单调性；
（2）若a＝1，且f（x1）＝f（x2），其中0＜x1＜x2，求证：x1+x2+x1x2＞3．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以 和 为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为 的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．
∴cos∠AOB＝ ，即∠AOB＝60°．
（1）若λ＞0，μ＞0，
设 ＝2 ， ＝2 ，则 ＝ + ，
∵|λ|+|μ|＝λ+μ≤2，故当λ+μ＝2时，E，F，P三点共线，
故点P表示的区域为△OEF，

理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则a =（ ） A ． 0 B ． -4 C ． -4或1 D ．-4或02. 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ）A ．6种B ． 12种C ．18种D ．24种3. 已知函数()sin f x x x =+，若()()()23,2,log 6a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a <<4.在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设,AB a AD b ==u u u r u u u r ，则向量BF =u u u r（ ） A ．1233a b+B ．1233a b -- C. 1233a b -+ D ．1233a b - 5.已知抛物线2:C y x =，过点(),0P a 的直线与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB <u u u r u u u rg，则a 的取值范围是 （ ）A ．(),0-∞B ．()0,1 C. ()1,+∞ D ．{}16.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，则阳马111C ABB A -的外接球的表面积是 （ ）A ．25πB ． 50π C. 100π D ．200π7. 若,x y 满足约束条件44030y x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则1x y +的取值范围是（ ）A ．5,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 3,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．15,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的n 是10，则与输出结果S 的值最接近的是（ ）A ． 28eB ． 36e C. 45e D ．55e9.在ABC ∆中，点D 为边AB 上一点，若3,32,3,sin 3BC CD AC AD ABC ⊥==∠=，则ABC ∆的面积是（ ） A ．922 B ．1522C. 62 D ．122 10.某市1路公交车每日清晨6：30于始发站A 站发出首班车，随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从A 站搭乘该公交车上班，甲在6：35-6：55内随机到达A 站候车，乙在6：50-7：05内随机到达A 站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是 （ ） A ．16 B ． 14 C. 13 D ．51211.如图，Rt ABC ∆中，,6,2AB BC AB BC ⊥==，若其顶点A 在x 轴上运动，顶点B 在y 轴的非负半轴上运动.设顶点C 的横坐标非负，纵坐标为y ，且直线AB 的倾斜角为θ，则函数()y f θ=的图象大致是 （ ）A ．B ．C. D ．12. 定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ． -1 B ．12-C. 13- D ．13二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.在复平面内，复数()228z m m m i =+--对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范围是． 14.已知tan 24πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则1sin 2cos 2αα-=．15.过双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，且斜率为2的直线与E 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是．16.一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为1，则该正方体的体积是．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知等比数列{}n a 中，*11211120,,,64n n n n a a n N a a a ++>=-=∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()221log nn n b a =-g ，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下： 包裹重量（单位：kg ）1234 5包裹件数43 30 15 8 4包裹件数范围 0100: 101200: 201300: 301400: 401500:包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450 天数6630126（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101400:之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//,AF DE AF AD ⊥，且平面BED ⊥平面ABCD .（1）求证：AF CD ⊥； （2）若0160,2BAD AF AD ED ∠===，求二面角A FB E --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且两个焦点的坐标分别为()()1,0,1,0-. （1）求E 的方程；（2）若,,A B P 为E 上的三个不同的点，O 为坐标原点，且OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求证：四边形OAPB 的面积为定值.21. 已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈. （1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围； （2）当1x >时，()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B两点，且1AB ，求α的值.23. 【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()()1f x x a a R =--∈.（1）若()f x 的最小值不小于3，求a 的最大值；（2）若()()2g x f x x a a =+++的最小值为3，求a 的值.试卷答案一、选择题1-5: DBDCB 6-10: BABCA 11、12：AC 二、填空题13. ()2,0- 14. 12-15. (16.三、解答题17.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， 因为12112n n n a a a ++-=，所以11111112n n n a q a q a q -+-=， 因为0q >，解得2q =， 所以17*122,64n n n a n N --=⨯=∈； （2）()()()()()()2227221log 1log 217nnnn n n b a n -=-=-=--g g g ，设7n c n =-，则()()21nn n b c =-g ，()()()()()()222222212342121234212n n n n n T b b b b b b c c c c c c --⎡⎤⎡⎤=++++++=-++-+++-+⎣⎦⎣⎦L L()()()()()()12123434212212n n n n c c c c c c c c c c c c --=-+++-++++-++L ()()2123421226272132132n n n n c c c c c c n n n n --+-⎡⎤⎣⎦=++++++==-=-L .18.解：（1）样本中包裹件数在101400:之间的天数为48，频率484605f ==， 故可估计概率为45， 显然未来3天中，包裹件数在101400:之间的天数X 服从二项分布，即43,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，故所求概率为223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭； （2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为1530201525830415100+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元）， 将题目中的天数转化为频率，得若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：EY500.11500.12500.53000.23000.1235⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.19.（1）证明：连接AC，由四边形ABCD为菱形可知AC BD⊥，∵平面BED⊥平面ABCD，且交线为BD，∴AC⊥平面BED，∴AC ED⊥，又//AF DE，∴AF AC⊥，∵,AC AD AAF AD⊥=I，∴AF⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴AF CD⊥；（2）解：设AC BD O=I，过点O作DE的平行线OG，由（1）可知,,OA OB OG两两互相垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，设()1202AF AD ED a a===>，则)()()()3,0,0,0,,0,3,0,2,0,,4A aB a F a a E a a-，所以()()()()3,,0,0,0,2,0,2,4,3,,2 AB a a AF a BE a a BF a a a=-==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，设平面ABF的法向量为(),,m x y z=u r，则m ABm AF⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u rgu r u u u rg，即3020x yz⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取3y=()3,0m=u r为平面ABF的一个法向量，同理可得()0,2,1n=r为平面FBE的一个法向量.则2315cos,525m n==⨯，又二面角A FB E--的平面角为钝角，则其余弦值为1520.解：（1）由已知得1,2c a ===∴1a b ==，则E 的方程为2212x y +=； （2）当直线AB 的斜率不为零时，可设:AB x my t =+代入2212x y +=得： ()2222220my mty t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122222,22mt t y y y y m m -+=-=++，()2282m t ∆=+-，设(),P x y ，由OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，得()121212122224,222mt ty y y x x x my t my t m y y t m m =+=-=+=+++=++=++， ∵点P 在椭圆E 上，∴()()22222221641222t m t m m+=++，即()()22224212t m m+=+，∴2242t m =+，AB ===原点到直线x my t =+的距离为d =∴四边形OAPB的面积：22122242OABS S AB d t ∆==⨯⨯===. 当AB的斜率为零时，四边形OAPB的面积112222S =⨯⨯=，∴四边形OAPB 21.解：（1）函数()g x 的定义域为()0,+∞，当12m =-时，()2ln g x a x x =+，所以()222a x a g x x x x +'=+=，①当0a =时，()2,0g x x x =>时无零点，②当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 取10ax e-=，则21110aa g e e --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()11g =，所以()()010g x g <g ，此时函数()g x 恰有一个零点，③当0a <时，令()0g x '=，解得x =当0x <<()0g x '<，所以()g x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0g x '>，所以()g x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.要使函数()f x 有一个零点，则ln 02ag a ==即2a e =-，综上所述，若函数()g x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >；（2）令()()()()22121ln h x f x m x mx m x x =--=-++，根据题意，当()1,x ∈+∞时，()0h x <恒成立，又()()()()1211221x mx h x mx m x x--'=-++=， ①若102m <<，则1,2x m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，且()1,2h x h m ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不符题意. ②若12m ≥，则()1,x ∈+∞时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，且()()()1,h x h ∈+∞，所以不符题意.③若0m ≤，则()1,x ∈+∞时，恒有()0h x '<，故()h x 在()1,+∞上是减函数，于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210m m -+≤，解得1m ≥-，故10m -≤≤.综上，m 的取值范围是[]1,0-.22.解：（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把,3x x y y ''==代入上述方程得，()22103y x y '''+=≥， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥， 令cos ,sin x y ρθρθ==， 所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,3cos sin 2cos 1ρθπθθθ==∈++；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由1ρθα=⎧⎨=⎩，得1A ρ=， 由2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得B ρ=，11=，∴1cos 2α=±， 而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 23.解：（1）因为()()min 1f x f a ==-，所以3a -≥，解得3a ≤-，即max 3a =-；（2）()()212g x f x x a a x x a =+++=-++，当1a =-时，()310,03g x x =-≥≠，所以1a =-不符合题意，当1a <-时，()()()()()()()12,12,112,1x x a x a g x x x a x a x x a x -++≥-⎧⎪=--+≤<-⎨⎪---+<⎩，即()312,12,1312,1x a x a g x x a x a x a x -+≥-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+-<⎩， 所以()()min 13g x g a a =-=--=，解得4a =-，当1a >-时，同法可知()()min 13g x g a a =-=+=，解得2a =，综上，2a =或-4.。

2021年河北省唐山市高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．假设复数z满足〔3+4i〕z=25，那么复平面内表示z的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合A={x|x2﹣x＞0}，，那么〔〕A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B3．假设函数，那么f〔f〔2〕〕=〔〕A．1 B．4 C．0 D．5﹣e24．一个几何体的三视图如下图，那么其体积为〔〕A．π+2 B．2π+4 C．π+4 D．2π+25．在△ABC中，∠B=90°，，，那么λ=〔〕A．﹣1 B．1 C．D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，假设S4=﹣4，S6=6，那么S5=〔〕A．1 B．0 C．﹣2 D．47．双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线=〔〕平行，交另一条渐近线于点B，那么S△ABFA．B．C．D．8．二项式〔x﹣a〕7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，那么dx=〔〕A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．9．一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如下图的程序框图，假设输入的n为6时，输出结果为2.45，那么m可以是〔〕A．0.6 B．0.1 C．0.01 D．0.0510．ω＞0，将函数f〔x〕=cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，那么ω的最小值是〔〕A．B．3 C．D．11．在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，那么乙、丙都不与甲相邻出场的概率是〔〕A．B．C．D．12．a＞b＞0，a b=b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．那么正确结论的序号是〔〕A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．假设变量x，y满足约束条件，那么z=x+y的最小值是．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且，假设a4=32，那么a1=．15．抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，，抛物线C上的点B 满足AB⊥AF，且|BF|=4，那么p=．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=4，AC=5，那么BC的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔12分〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2=λab．〔1〕假设，，求sinA；〔2〕假设λ=4，AB边上的高为，求C．18．〔12分〕某市春节期间7家超市的广告费支出x i〔万元〕和销售额y i〔万元〕数据如下：超市A B C D E F G广告费支出x i1246111319销售额y i19324044525354〔1〕假设用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；〔2〕用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更适宜，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．参数数据及公式：，，，ln2≈0.7．19．〔12分〕如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=2，M、N分别是AB、A1C的中点．〔1〕求证：MN∥平面BB1C1C；〔2〕假设平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．20．〔12分〕椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕点P，M，N为椭圆C上的三点，假设四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．21．〔12分〕函数f〔x〕=sinx+tanx﹣2x．〔1〕证明：函数f〔x〕在〔﹣，〕上单调递增；〔2〕假设x∈〔0，〕，f〔x〕≥mx2，求m的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分. 22．〔10分〕直线l的参数方程为〔t为参数，0≤φ＜π〕，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=1，l与C交于不同的两点P1，P2．〔1〕求φ的取值范围；〔2〕以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．23．x，y∈〔0，+∞〕，x2+y2=x+y．〔1〕求的最小值；〔2〕是否存在x，y，满足〔x+1〕〔y+1〕=5？并说明理由．2021年河北省唐山市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．假设复数z满足〔3+4i〕z=25，那么复平面内表示z的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法那么、几何意义即可得出．【解答】解：〔3+4i〕z=25，∴〔3﹣4i〕〔3+4i〕z=25〔3﹣4i〕，∴z=3﹣4i．那么复平面内表示z的点〔3，﹣4〕位于第四象限．应选：D．【点评】此题考查了复数的运算法那么、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．2．集合A={x|x2﹣x＞0}，，那么〔〕A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】集合的表示法．【分析】先分别求出集合A和B，由此得到A∪B=R．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，，∴A∩B={x|﹣或1＜x＜}，A∪B=R．应选：B．【点评】此题考查并集、交集的求法及应用，是根底题，解题时要认真审题，注意并集、交集定义的合理运用．3．假设函数，那么f〔f〔2〕〕=〔〕A．1 B．4 C．0 D．5﹣e2【考点】函数的值．【分析】由函数的解析式先求出f〔2〕的值，再求出f〔f〔2〕〕的值．【解答】解：由题意知，，那么f〔2〕=5﹣4=1，f〔1〕=e0=1，所以f〔f〔2〕〕=1，应选A．【点评】此题考查分段函数的函数值，对于多层函数值应从内到外依次求值，注意自变量的范围，属于根底题．4．一个几何体的三视图如下图，那么其体积为〔〕A．π+2 B．2π+4 C．π+4 D．2π+2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，由图中数据，可得体积．【解答】解：由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，体积为+=π+2，应选A．【点评】此题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．5．在△ABC中，∠B=90°，，，那么λ=〔〕A．﹣1 B．1 C．D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的三角形法那么求出，再由⊥得出•=0，列出方程求出λ的值．【解答】解：△ABC中，，，∴=﹣=〔2，λ+2〕，又∠B=90°，∴⊥，∴•=0，即2﹣2〔λ+2〕=0，解得λ=﹣1．应选：A．【点评】此题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是根底题目．6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，假设S4=﹣4，S6=6，那么S5=〔〕A．1 B．0 C．﹣2 D．4【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=﹣4，S6=6，∴d=﹣4，d=6，解得a1=﹣4，d=2．那么S5=5×〔﹣4〕+×2=0，应选：B．【点评】此题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线=〔〕平行，交另一条渐近线于点B，那么S△ABFA．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=〔x﹣2〕，代入y=﹣x，解得B的坐标，由三角形的面积公式，计算可得答案．【解答】解：由双曲线，可得a2=1，b2=3，故c==2，∴A〔1，0〕，F〔2，0〕，渐近线方程为y=±x，不妨设BF的方程为y=〔x﹣2〕，代入方程y=﹣x，解得：B〔1，﹣〕．=|AF|•|y B|=•1•=．∴S△AFB应选：B．【点评】此题考查双曲线方程的运用，注意运用渐近线方程，关键求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．8．二项式〔x﹣a〕7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，那么dx=〔〕A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．【考点】二项式系数的性质．【分析】在〔x﹣a〕7的展开式的通项中，令x的指数为4，求出r值，再表示出x4项的系数，解关于a的方程即可求出a，利用定积分可得结论．【解答】解：〔x﹣a〕7的展开式的通项为〔﹣1〕r a r C7r x7﹣r，令7﹣r=4得r=3，∴展开式中x4项的系数〔﹣1〕3 a3C73=﹣35a3=﹣280，∴a=2，∴dx=lnx=1．应选：C．【点评】此题考查二项式定理的应用，解决指定项的系数问题．牢记定理是前提，准确计算是关键．9．一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如下图的程序框图，假设输入的n为6时，输出结果为2.45，那么m可以是〔〕A．0.6 B．0.1 C．0.01 D．0.05【考点】程序框图．【分析】根据中的流程图，我们模拟程序的运行，可得：|2.5﹣3|≥m，且|2.45﹣2.5|＜m，解得m的取值范围，比拟各个选项即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=6，a=3b=2.5，不满足条件|b﹣a|＜m，执行循环体，a=2.5，b=2.45，由题意，此时应该满足条件|b﹣a|＜m，退出循环，输出b的值为2.45．可得：|2.5﹣3|≥m，且|2.45﹣2.5|＜m，解得：0.05＜m≤0.5，应选：B．【点评】此题主要考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的方法，属于根底题．10．ω＞0，将函数f〔x〕=cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，那么ω的最小值是〔〕A．B．3 C．D．【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】利用诱导公式化简和同名函数，根据三角函数平移变换规律，建立关系．即可求ω的最小值．【解答】解：由函数f〔x〕=cosωx=sin〔ωx〕图象向右平移个单位后得到：sin〔〕，由题意可得：，〔k∈Z〕解得：，∵ω＞0，∴当k=0时，ω的值最小值为．应选A【点评】此题主要考查函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，属于根底题．11．在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，那么乙、丙都不与甲相邻出场的概率是〔〕A．B．C．D．【考点】列举法计算根本领件数及事件发生的概率．【分析】先求出根本领件总数n==120，再求出乙、丙都不与甲相邻出场包含的根本领件个数m=++=36，由此能求出乙、丙都不与甲相邻出场的概率．【解答】解：在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，根本领件总数n==120，乙、丙都不与甲相邻出场包含的根本领件个数m=++=36，∴乙、丙都不与甲相邻出场的概率p==．应选：D．【点评】此题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12．a＞b＞0，a b=b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．那么正确结论的序号是〔〕A．①③B．②③C．①④D．②④【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据题意，得出=，f〔x〕=，x＞0，利用导数判断0＜x＜e时f〔x〕增，x＞e时f〔x〕减；x=e时f〔x〕取得最大值；根据f〔a〕=f〔b〕得出a＞e＞b，判断①正确②错误；由＞e＞b得出f〔b〕＜f〔〕且f〔a〕＜f〔〕，即ab＞e2，判断④正确③错误．【解答】解：∵a＞b＞0，a b=b a，∴blna=alnb，∴=，设f〔x〕=，x＞0，∴f′〔x〕=，当0＜x＜e时，f′〔x〕＞0，函数f〔x〕单调递增，当x＞e时，f′〔x〕＜0，函数f〔x〕单调递减，当x=e时，f〔x〕max=f〔e〕=；∵f〔a〕=f〔b〕，∴a＞e＞b＞0，∴①正确，②错误；∴＞e＞b，∴f〔b〕＜f〔〕，∴f〔a〕＜f〔〕，∴a＞＞e，∴ab＞e2，④正确，③错误；综上，正确的命题是①④．应选：C．【点评】此题考查了利用构造函数的方法判断数值大小的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．假设变量x，y满足约束条件，那么z=x+y的最小值是﹣2．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合定点最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A〔﹣1，﹣1〕，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1﹣1=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且，假设a4=32，那么a1=．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】利用，a4=32，可得=32，即可得出结论．【解答】解：∵，a4=32，∴=32，∴a1=，故答案为．【点评】此题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比拟根底．15．抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，，抛物线C上的点B 满足AB⊥AF，且|BF|=4，那么p=2或6．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线AB的方程，与抛物线方程联立，求出B的横坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，k AF=﹣，∴直线AB的方程为y=x+，代入y2=2px，可得p2x2﹣12px+36=0，∴x=，∵|BF|=4，∴+=4，∴p=2或6，故答案为2或6．【点评】此题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系的运用，属于中档题．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=4，AC=5，那么BC的取值范围是〔1，〕．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，BC=m．由PA，PB，PC两两互相垂直，得a2+b2=16，a2+c2=25，b2+c2=m2⇒m2=41﹣2a2，在△ABC中，⇒1＜m＜．【解答】解：如图设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，BC=m．∵PA，PB，PC 两两互相垂直，∴a2+b2=16，a2+c2=25，b2+c2=m2⇒m2=41﹣2a2在△ABC中，⇒1＜m＜故答案为〔1，〕【点评】此题考查了空间位置关系，关键是把空间问题转化为平面问题，属于中档题．三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔12分〕〔2021•唐山一模〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2=λab．〔1〕假设，，求sinA；〔2〕假设λ=4，AB边上的高为，求C．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】〔1〕由结合正弦定理得：，结合范围可求，即可得解sinA的值．〔2〕由题意及三角形面积公式可求，由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围，可求C的值．【解答】解：〔1〕由，，结合正弦定理得：，于是．因为，所以，可得．〔2〕由题意可知，得：．从而有：，即，又因为，所以，．【点评】此题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．〔12分〕〔2021•唐山一模〕某市春节期间7家超市的广告费支出x i〔万元〕和销售额y i〔万元〕数据如下：超市A B C D E F G广告费支出x i1246111319销售额y i19324044525354〔1〕假设用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；〔2〕用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更适宜，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．参数数据及公式：，，，ln2≈0.7．【考点】线性回归方程．【分析】〔1〕求出回归系数，可得y关于x的线性回归方程；〔2〕对数回归模型更适宜．当x=8万元时，预测A超市销售额为47.2万元．【解答】解：〔1〕，所以，y关于x的线性回归方程是〔2〕∵0.75＜0.97，∴对数回归模型更适宜．当x=8万元时，预测A超市销售额为47.2万元．【点评】此题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，比拟根底．19．〔12分〕〔2021•唐山一模〕如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=2，M、N分别是AB、A1C的中点．〔1〕求证：MN∥平面BB1C1C；〔2〕假设平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】〔1〕连接AC1，BC1，那么N∈AC1且N为AC1的中点，证明：MN ∥BC1，即可证明MN∥平面BB1C1C；〔2〕以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，求出平面B1MN，即可求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．【解答】〔1〕证明：连接AC1，BC1，那么N∈AC1且N为AC1的中点，又∵M为AB的中点，∴MN∥BC1，又BC1⊂平面BB1C1C，MN⊄平面BB1C1C，故MN∥平面BB1C1C．…〔4分〕〔2〕解：由A1A⊥平面ABC，得AC⊥CC1，BC⊥CC1．以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，设CC1=2λ〔λ＞0〕，那么M〔1，0，1〕，N〔0，λ，1〕，B1〔2，2λ，0〕，，=〔﹣1，λ，0〕，．取平面CMN的一个法向量为，由，得：，令y=1，得，同理可得平面B1MN的一个法向量为，∵平面CMN⊥平面B1MN，∴，解得，得，又，设直线AB与平面B1MN所成角为θ，那么．所以，直线AB与平面B1MN所成角的正弦值是．【点评】此题考查线面平行的证明，考查线面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．〔12分〕〔2021•唐山一模〕椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕点P，M，N为椭圆C上的三点，假设四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】〔1〕由椭圆的离心率得出a、c的关系，再由a、b、c的平方关系，把点Q的坐标代入椭圆C的方程，求出b、a的值，写出椭圆C的方程；〔2〕讨论直线PN的斜率k不存在和斜率k存在时，分别计算四边形OPMN的面积S，即可得出四边形OPMN的面积为定值．【解答】解：〔1〕由椭圆的离心率为，得，∴=∴，∴a2=2b2；将Q代入椭圆C的方程，得+=1，解得b2=4，∴a2=8，∴椭圆C的方程为；〔2〕当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为：或，从而有，所以四边形OPMN的面积为；当直线PN的斜率k存在时，设直线PN方程为：y=kx+m〔m≠0〕，P〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕；将PN的方程代入C整理得：〔1+2k2〕x2+4kmx+2m2﹣8=0，所以，，，由得：，将M点坐标代入椭圆C方程得：m2=1+2k2；点O到直线PN的距离为，，四边形OPMN的面积为．综上，平行四边形OPMN的面积S为定值．【点评】此题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，考查了转化法与方程组以及根与系数关系的应用问题，是综合性题目．21．〔12分〕〔2021•唐山一模〕函数f〔x〕=sinx+tanx﹣2x．〔1〕证明：函数f〔x〕在〔﹣，〕上单调递增；〔2〕假设x∈〔0，〕，f〔x〕≥mx2，求m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】〔1〕利用导函数的性质证明即可．〔2〕利用导函数求解x∈〔0，〕，对m进行讨论，构造函数思想，结合导函数的单调性，求解m的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕=sinx+tanx﹣2x那么，∵，∴cosx∈〔0，1]，于是〔等号当且仅当x=0时成立〕．故函数f〔x〕在上单调递增．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得f〔x〕在上单调递增，又f〔0〕=0，∴f〔x〕＞0，〔ⅰ〕当m≤0时，f〔x〕＞0≥mx2成立．〔ⅱ〕当m＞0时，令p〔x〕=sinx﹣x，那么p'〔x〕=cosx﹣1，当时，p'〔x〕＜0，p〔x〕单调递减，又p〔0〕=0，所以p〔x〕＜0，故时，sinx＜x．〔*〕由〔*〕式可得f〔x〕﹣mx2=sinx+tanx﹣2x﹣mx2＜tanx﹣x﹣mx2，令g〔x〕=tanx﹣x﹣mx2，那么g'〔x〕=tan2x﹣2mx由〔*〕式可得，令h〔x〕=x﹣2mcos2x，得h〔x〕在上单调递增，又h〔0〕＜0，，∴存在使得h〔t〕=0，即x∈〔0，t〕时，h〔x〕＜0，∴x∈〔0，t〕时，g'〔x〕＜0，g〔x〕单调递减，又∵g〔0〕=0，∴g〔x〕＜0，即x∈〔0，t〕时，f〔x〕﹣mx2＜0，与f〔x〕＞mx2矛盾．综上，满足条件的m的取值范围是〔﹣∞，0]．【点评】此题主要考查导函数的性质来解决三角函数的问题，构造函数，利用导函数求单调性讨论m解决此题的关键．属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.22．〔10分〕〔2021•唐山一模〕直线l的参数方程为〔t为参数，0≤φ＜π〕，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=1，l与C交于不同的两点P1，P2．〔1〕求φ的取值范围；〔2〕以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔1〕求解曲线C的直角坐标方程，将直线l的参数方程〔t为参数，0≤φ＜π〕，带入，得到关于t的一元二次方程的关系式，由题意判别式大于0，可得φ的取值范围．〔2〕利用参数的几何意义即可求线段P1P2中点轨迹的参数方程．【解答】解：〔1〕曲线C的极坐标方程为ρ=1，根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1，将代入x2+y2=1得t2﹣4tsinφ+3=0〔*〕由16sin2φ﹣12＞0，得，又0≤φ≤π，∴所求φ的取值范围是；〔Ⅱ〕由〔1〕中的〔*〕可知，，代入中，整理：得P1P2的中点的轨迹方程为〔φ为参数，〕．故得线段P1P2中点轨迹的参数方程为为〔φ为参数，〕．【点评】此题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换和参数方程的几何意义的运用．23．〔2021•唐山一模〕x，y∈〔0，+∞〕，x2+y2=x+y．〔1〕求的最小值；〔2〕是否存在x，y，满足〔x+1〕〔y+1〕=5？并说明理由．【考点】根本不等式．【分析】〔1〕根据根本不等式的性质求出的最小值即可；〔2〕根据根本不等式的性质得到〔x+1〕〔y+1〕的最大值是4，从而判断出结论即可．【解答】解：〔1〕，当且仅当x=y=1时，等号成立．所以的最小值为2．〔2〕不存在．因为x2+y2≥2xy，所以〔x+y〕2≤2〔x2+y2〕=2〔x+y〕，∴〔x+y〕2﹣2〔x+y〕≤0，又x，y∈〔0，+∞〕，所以x+y≤2．从而有〔x+1〕〔y+1〕≤≤=4，因此不存在x，y，满足〔x+1〕〔y+1〕=5．【点评】此题考查了根本不等式的性质，注意应用性质的条件，此题是一道中档题．。

高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。

如需改动，先擦干净再涂其他答案。

不得在试卷上作答。

2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。

如需改动，先划掉原答案再写新答案。

不得用铅笔或涂改液。

不按要求作答无效。

3.答题卡需整洁无误。

考试结束后，交回试卷和答题卡。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。

3B。

4C。

7D。

82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。

iB。

-iC。

2iD。

-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。

80B。

85C。

90D。

954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。

已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。

如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。

4/5B。

3/4C。

2/3D。

3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。

120B。

160C。

200D。

2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。

3.119B。

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。

合肥市2021届高三调研性检测数学试（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足1zi -=，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）A.B.C.D. 3B首先根据题意得到z i =，再计算模长即可.因为1zi -=，所以221++===iz i ii.所以==z 故选：B2. 若集合{}1A xx =>∣，{}2230B x x x =--≤∣，则A B =（ ） A. (1,3] B. [1,3] C. [1,1)- D. [1,)-+∞A化简集合B ，根据交集的定义，即可求解.{}2230[1,3]B x x x =--≤=-∣, {}1(1,)A x x =>=+∞∣,(1,3]A B ∴=。

故选：A.3. 若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）A. 92- B. 4- C. 3- D. 1D根据变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域，然后平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，目标函数取得最小值.由变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域如图所示：平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，经过点1,0A ，此时目标函数取得最小值，最小值是1，故选：D4. 为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的A 、B 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的A 、B 型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确．．．的是（ ）A. 估计A 型号口罩的合格率小于B 型号口罩的合格率B. Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C. Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D. Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 D根据茎叶图中的数据计算出两种型号口罩的合格率，可判断A 选项的正误；求出两组数据的众数，可判断B 选项的正误；求出两组数据的中位数，可判断C 选项的正误；利用排除法可判断D 选项的正误. 对于A选项，由茎叶图可知，A 型号口罩的不合格数为658210124131416202130199++⨯++⨯++++++=，B 型口罩的不合格数为245682101131416212528180++++⨯++⨯+++++=，A 型号口罩的合格率为1991301115001500-=，B 型口罩的合格率为1801320115001500-=， 所以，A 型口罩的合格率小于B 型口罩的合格率，A 选项正确； 对于B 选项，Ⅰ组数据的众数为12，Ⅱ组数据的众数11，B 选项正确； 对于C 选项，Ⅰ组数据的中位数为12，Ⅱ组数据的11，C 选项正确； 由排除法可知D 选项不正确.故选：D.5. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-，则5S =（ ）A. 81B. 121C. 243D. 364B利用递推式与等比数列求和的通项公式即可得出.31,22n n S a =-∴当2n ≥时，113122n n S a --=-，∴111313133222222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭， 化简可得：13n n a a -=， 当1n =时，1113122a S a ==-，解得：11a =. ∴数列{}n a 是等比数列,首项为1,公比为3,()()55151113121113a q S q-⨯-∴===--.故选：B.6. 函数cos ()x xx xf x e e -=+在[],ππ-上的图象大致是（ ）A. B.C .D.A先由函数的奇偶性定义，判断()f x 为奇函数，排除B ，D ，再由()f x 在(0,),(,)22πππ函数值的正负值判断，即可得出结论.cos (),[,]x xx xf x x e eππ-=∈-+定义域关于原点对称， cos ()(),()x xx xf x f x f x e e ---==-∴+是奇函数，图象关于原点对称，排除选项B ，D ，(0,),()0,,()022x f x x f x ππ∈>==，(,),()02x f x ππ∈<，所以选项C 不满足，选项A 满足.故选：A. 7. 周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20C先计算出4个人的全排列，再减去不符合情况的种数即可.4个人坐四个座位，共有4424A =种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪伴，共有222228A A =种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有24-8=16种坐法. 故选：C .8. 已知函数()2)0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A. 32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 372,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. 37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，338288T πππ=-=，从而可求出2,4πωϕ==-，()2)4f x x π=-，进而由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求得答案解：由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以18k πωϕπ+=，1k Z ∈，2224k ππωϕπ+=+或2232,24k k Z ππωϕπ+=+∈，因为338288T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=， 因为0>ω，所以2ω=， 所以14k πϕπ=-，1k Z ∈，2324k πϕπ=-+或222,4k k Z πϕπ=-+∈ 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=-， 所以()2)4f x x π=-，由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：D 由三视图可知，几何体为一个三棱锥A BCD -， 如下图所示：根据三视图可知，4DB =，2DC =，高为2，1182323A BCD V DC DB -∴=⨯⨯⨯⨯=，∴所求几何体体积：83，故选：C .10. 在ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，则：①1122EF CA BC =-；②1122BE AB BC =-+；③AD BE FC +=； ④0GA GB GC ++=． 上述结论中，正确的是（ ） A. ①② B. ②③C. ②③④D. ①③④C 分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误. 如下图所示：对于①，F 、E 分别为AB 、AC 的中点，111222FE BC CA BC ∴=≠-，①错误； 对于②，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ，由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+，1122BE AB BC ∴=-+，②正确；对于③，由②同理可得2AD AB AC =+，1122AD AB AC ∴=+，同理可得1122CF CA CB =+，()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=， AD BE CF FC ∴+=-=，③正确；对于④，易知点G 为ABC 的重心，所以，23GA AD =-，23GB BE =-，23GC CF =-，因此，()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=，④正确.故选：C. 11. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为C 的渐近线上一点，直线2F M 交C 于点N ，且20F M OM ⋅=，2232F M F N =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 A设点M 为第一象限内的点，求出直线2F M 的方程，可求得点M 的坐标，由2232F M F N =可求得点N 的坐标，再将点N 的坐标代入双曲线C 的方程，进而可求得双曲线C 的离心率.设点M 为第一象限内的点，可知直线OM 的方程为by x a=，()2,0F c ，2F M OM ⊥，所以，直线2F M 的方程为()ay x c b=--， 联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),N x y ，()222,,0,a ab b ab F M c c c c c ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2,F N x c y =-，2232F M F N =，()23232b x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得222323a c x c ab y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2222,33a c ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点N 的坐标代入双曲线C 的方程得22222222331a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， 可得22249e e e⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得25e =，1e >，解得5e =故选：A.12. 已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（ ）A. (),0-∞B. (),1-∞-C. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出该函数的极小值()10f x =，由题意得出()()2111321111321010f x ax bx f x ax bx x ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，进而可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得出32111222a b x x x +=--，令110t x =<，由0a <可得出12t <-，构造函数()32222g t t t t =--，求得函数()y g t =在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的值域，由此可求得+a b 的取值范围.()321f x ax bx x =+++且0a <，()2321f x ax bx '=++，24120b a ∆=->， 则方程()0f x '=必有两个不等的实根1x 、2x ，设12x x <， 由韦达定理得1223bx x a+=-，12103x x a=<，则必有120x x <<，且()21113210f x ax bx '=++=，① 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()12,x x ，单调递减区间为()1,x -∞和()2,x +∞.由于()010f =>，若函数()y f x =有两个零点，则()32111110f x ax bx x =+++=，②联立①②得21132111321010ax bx ax bx x ⎧++=⎨+++=⎩，可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以，32111222a b x x x +=--， 令110t x =<，令()32222g t t t t =--，则()a b g t +=， ()3222210a t t t t =+=+<，解得12t <-，()()()()2264223212311g t t t t t t t '=--=--=+-.当12t <-时，()0g t '>，此时，函数()y g t =单调递增，则()321111122222224a b g t g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<-=⨯--⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡上的相应位置． 13. 若命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行；则命题p ⌝是________命题（填“真”或“假”）．假先写出p ⌝，再判断真假即可.命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行； 命题p ⌝：若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α平行，假命题. 故答案为：假命题.14. 若直线l 经过抛物线24x y =-的焦点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切，则直线l 的方程为________．0x =或4330x y --=先根据抛物线方程24x y =-，求得焦点坐标()0,1F -，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，两种情况设直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求解. 因为抛物线方程为24x y =-， 所以焦点坐标为：()0,1F -，当直线的斜率不存在时，设直线方程为：0x =， 圆心到直线的距离为1d r ，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线方程为：1y kx =-，即10kx y --=， 圆心到直线的距离为2311k d r k -===+，解得43k =， 所以直线方程为4330x y --=， 故答案为：0x =或4330x y --=15. 已知函数()cos ()f x x x x R =-∈，α，β是钝角三角形的两个锐角，则(cos )f α________(sin )f β （填写：“>”或“<”或“=”）．>对函数()f x 求导判断其单调性，再由钝角三角形内角判断cos ,sin αβ的大小. 由()1sin 0f x x '=+≥，可得()f x 在R 上单调递增， 因为α，β是钝角三角形两个锐角，所以2παβ+<，022ππβα<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，sin sin 2πβα⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，sin cos βα<，所以()(cos )sin f f αβ> 故答案为：>16. 已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为________． 18连AO 交BC 于D ，由顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，得AD BC ⊥，进而证明,,BC PA PC AB PD BC ⊥⊥⊥，由2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△。

2020-2021普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）()31-，（B ）()13-，（C ）()1,∞+（D ）()3∞--，【解析】A∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ．（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则AB =（A ）{}1（B ）{12}，（C ）{}0123，，，（D ）{10123}-，，，， 【解析】C()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，，∴{}01B =，，∴{}0123A B =，，，，故选C ．（3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b +⊥，则m= （A ）8-（B ）6-（C ）6 （D ）8【解析】D()42a b m +=-，，∵()a b b +⊥，∴()122(2)0a b b m +⋅=--=解得8m =， 故选D ．（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（A ）43- （B ）34- （C ）3 （D ）2【解析】A圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=， 故圆心为()14，，24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A ．（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【解析】BE F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法故选B ．（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：()222234l =+=，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 【解析】B平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈， 故选B ．（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【解析】C第一次运算：0222s =⨯+=，第二次运算：2226s =⨯+=， 第三次运算：62517s =⨯+=， 故选C ．（9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】D∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn【解析】C由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知π41m n=，∴4πmn=，故选C ．（11）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 （A 2 （B ）32（C 3 （D ）2 【解析】A离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====--- 故选A ．（12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点 为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m【解析】B由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称， 而111x y x x+==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x +='=2i i y y +， ∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．（13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =． 【解析】2113∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =， ()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =．（14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 【解析】②③④（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 【解析】 (1,3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足， 若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足， 故甲（1，3），（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b =． 【解析】 1ln2-ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ） ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x =212x =- ∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，； 当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．（18）（本小题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．X0.85aa 1.25a 1.5a 1.75a 2a P0.300.150.20 0.200.100.05平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 0.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23．（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置10OD '=. （I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.【解析】⑴证明：∵54AE CF ==， ∴AE CFAD CD=， ∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥， ∴EF DH ⊥，∴EF DH'⊥．∵6AC =， ∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥， ∴4OB =， ∴1AEOH OD AO=⋅=， ∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+， ∴'D H OH ⊥． 又∵OHEF H =，∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =，，，()'133AD =-，，，()060AC =，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴()1345n =-，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =，，， ∴12129575cos 5210n n n n θ⋅+===⋅， ∴295sin θ=（20）（本小题满分12分）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-= 解得2x =-或228634k x k -=-+，则222861223434k AM k k -=+=++因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k kk ==⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN =，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=， 2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM⎫==⎪+⎭． ⑵直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=解得x =x =所以AM +=所以3AN k k=+因为2AM AN =所以23kk=+，整理得，23632k ktk-=-．因为椭圆E的焦点在x轴，所以3t>，即236332k kk->-，整理得()()23122k kk+-<-2k<<．（21）（本小题满分12分）(I)讨论函数2(x)e2xxfx-=+的单调性，并证明当0x>时，(2)e20;xx x-++>(II)证明：当[0,1)a∈时，函数()2e=(0)x ax ag x xx-->有最小值.设()g x的最小值为()h a，求函数()h a的值域.【解析】⑴证明：()2e2xxf xx-=+()()()22224ee222xxx xf xx x x⎛⎫-' ⎪=+=⎪+++⎝⎭∵当x∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x'>∴()f x在()()22,-∞--+∞，和上单调递增∴0x>时，()2e0=12xxfx->-+∴()2e20xx x-++>⑵()()()24e2ex xa x x ax ag xx----'=()4e2e2x xx x ax ax-++=()322e2xxx axx-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=[)01a∈，由(1)知，当0x>时，()2e2xxf xx-=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解．使得2e2ttat-⋅=-+，(]02t∈，当(0,)x t∈时()0g x'<，()g x单调减；当(,)x t∈+∞时()0g x'>，()g x单调增()()()222e1ee1e22t tt ttta t th at t t-++⋅-++===+记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD ，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.(I) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(II)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.【解析】（Ⅰ）证明：∵DF CE ⊥∴Rt Rt DEF CED △∽△∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠DF CF DG BC= ∵DE DG =，CD BC =∴DF CF DG BC= ∴GDF BCF △∽△∴CFB DFG ∠=∠∴90GFB GFC CFB GFC DFG DFC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒∴180GFB GCB ∠+∠=︒．∴B ，C ，G ，F 四点共圆．（Ⅱ）∵E 为AD 中点，1AB =，∴12DG CG DE ===， ∴在Rt GFC △中，GF GC =，连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△，∴1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB l 的斜率． 【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，=即22369014k k =+，整理得253k =，则k =． （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+． 【解析】解：⑴当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-； 当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立； 当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<． 综上可得，{}|11M x x =-<<．⑵当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+， 证毕．。

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．35．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是_______（用数字作答）．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=_______；a2+a6+a10+…+a4n+10=_______．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为_______．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是_______．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是_______．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为_______（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．【解答】解：===1+i，故选C．2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由x﹣1＞0，解得：x＞1，故函数y=ln（x﹣1）的定义域为M=（1，+∞），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴∁U N={x|x≥1或x≤0}，∴M⊆（∁U N），故选：D．3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”等价于a＞b，可得“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．即可判断出结论．【解答】解：∵“”⇔a＞b⇒“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．∴“”是“e a＞e b”的充分不必要条件．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．3【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件i＜4，S=3，i=2满足条件i＜4，S=8，i=3满足条件i＜4，S=19，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．故选：B．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据折现统计图即可判断各选项．【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．该几何体的体积V=××1=．故选：A．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得切点，进而得到此时圆的半径，结合图象即可得到所求范围．【解答】解：圆的圆心为（0，1），半径为r，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），可得n=，①y=的导数为y′=﹣，可得切线的斜率为﹣，由两点的斜率公式可得•（﹣）=﹣1，即为n﹣1=m（m﹣1）2，②由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0，化为（n2﹣n﹣1）（n2+1）=0，即有n2﹣n﹣1=0，解得n=或，则有或．可得此时圆的半径r==．结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1=x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．令10﹣3r=4，可得r=2，∴展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为10．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；a2+a6+a10+…+a4n+10=（n+3）（4n+11）．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，∴a4=1+3d=7，解得d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴a2=1+2=3，a6=1+5×2=11，a6﹣a2=8，∴a2+a6+a10+…+a4n+10=×3+×8=（n+3）（4n+11）．故答案为：2n﹣1，（n+3）（4n+11）．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t 为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为（，）．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】将曲线C2的参数方程代入曲线C1的方程，可得t=1，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，求得ρ，θ，即可得到所求坐标．【解答】解：将曲线C2的参数方程（t为参数）代入曲线C1的方程为x2+y2=2，可得（2﹣t）2+t2=2，解得t=1，可得交点的直角坐标为（1，1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，可得ρ==，tanθ=1，0＜θ＜，可得θ=．可得交点的极坐标为（，）．故答案为：（，）．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域图示：因为y=a（x+1）过定点C（﹣1，0）．当a≤0时，直线y=a（x+1）与区域D有公共点，满足条件．当a＞0时，当直线y=a（x+1）过点A时，由公共点，由得，即A（3，3），代入y=a（x+1）得4a=3，a=，又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．此时0＜a≤．综上所述，a≤．故答案为：．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是（0，）．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意可作出图形，将，带入并进行向量的数乘运算便可以得出，这样根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义便可得到，从而便可得出实数n的取值范围．【解答】解：如图，由得：；∴；∴；∴；∴；∴实数n的取值范围是．故答案为：．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为22．【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【分析】根据A，B两名学生的每一项的特征数是否相同，进行求解计算即可．【解答】解：若第i（i=1，2，…，12）项能力特征相同，则差为0，特征不相同，绝对值为1，则用x i表示A，B两名学生的不同能力特征项数为=|a1﹣b1|+|b2﹣c2|+…+|c12﹣a12|=，设第三个学生为C=（c1，c2，…，c12），则d i=|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|，1≤i≤12，∵d i的奇偶性和（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）=0一样，∴d i是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S=d1+d2+…+d12为偶数，又S≥7×3=21．则S≥22，取A=（0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1），B=（1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1），C=（1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，1），则不同能力特征数总和恰好为22，∴最小值为22，故答案为：，22三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当ω=1时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．（Ⅱ）化简函数的解析式为：f（x）=．通过，求出．然后求解T的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当ω=1时，==．令．解得．所以f（x）的单调递增区间是．…（Ⅱ）由==．因为，所以．则，n∈Z．解得．又因为函数f（x）的最小正周期，且ω＞0，所以当ω=时，T的最大值为4π．…16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由此能求出这两名学生阅读名著本数之和为4的概率．（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由题意可知，．…（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．由题意可得，，，，．所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P随机变量X的均值．…（Ⅲ）．…17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥AB．结合AC⊥AA1，证明AC⊥平面AA1B1B．推出A1C1⊥平面AA1B1B．即可证明A1C1⊥AP．（Ⅱ）以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面APM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值．（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一个法向量，求出，利用．求出λ，即可证明结果．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：由已知∠A1AB=∠A1AC=90°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，所以∠BAC=90°，即AC⊥AB．又因为AC⊥AA1且AB∩AA1=A，所以AC⊥平面AA1B1B．由已知A1C1∥AC，所以A1C1⊥平面AA1B1B．因为AP⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AP．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC，AB，AA1两两垂直．分别以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2）．因为M为线段BC的中点，P为线段BB1的中点，所以．易知平面ABM的一个法向量=（0，0，1）．设平面APM的一个法向量为=（x，y，z），由，得取y=2，得=（﹣2，2，﹣3）．由图可知，二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角，所以===．所以二面角P﹣AM﹣B的余弦值为．…（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），且，λ∈[0，1]，则（x1，y1﹣2，z1）=λ（0，﹣1，2），所以x1=0，y1=2﹣λ，z1=2λ．所以．设平面AMP的一个法向量为=（x0，y0，z0），由，得取y0=1，得（显然λ=0不符合题意）．又，若A1C∥平面AMP，则．所以．所以．所以在线段BB1上存在点P，且时，使得直线A1C∥平面AMP．…18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，函数的导函数，通过（1）当a≥0时，（2）当a ＜0时，当0＜x＜﹣a时，当x＞﹣a时，导函数的符号，判断函数的单调性．（Ⅱ）（1）当﹣a≤1时，（2）当1＜﹣a＜2时，（3）当﹣a≥2时，分别求解函数的最值．（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数（x＞0），求出导函数，（1）当a＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0．（2）当a＞0时，类比求解，推出当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．．（1）当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）=0，得x=﹣a．当0＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x＞﹣a时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当﹣a≤1时，即a≥﹣1时，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以在区间[1，2]上，f（x）min=f（1）=1，显然函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零；（2）当1＜﹣a＜2时，即﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）在[1，﹣a）上为减函数，在（﹣a，2]上为增函数，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣a+aln（﹣a）．依题意有f（x）min=﹣a+aln（﹣a）＞0，解得a＞﹣e，所以﹣2＜a＜﹣1．（3）当﹣a≥2时，即a≤﹣2时，f（x）在区间[1，2]上为减函数，所以f（x）min=f（2）=2+aln2．依题意有f（x）min=2+aln2＞0，解得，所以．综上所述，当时，函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零．…（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，切线方程为．因为切线过点P（1，3），则．即．…①令（x＞0），则．（1）当a＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．因此当a＜0时，切线的条数为0．（2）当a＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．取，则．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．取，则=．设，u（t）=e t﹣2t，则u′（t）=e t﹣2．当t＞1时，u′（t）=e t﹣2＞e﹣2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立．所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．因此当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．综上所述，当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；当a≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．…19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的方程，求出a，b，c．通过椭圆的定义求解三角形的周长，求解椭圆的离心率．（Ⅱ）联立，利用直线l与椭圆C有两个交点，求出﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理，求解AB坐标，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，推出k1+k2=0，即可证明|PM|=|PN|．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，a2=4，b2=2，所以c2=2．因为是椭圆C上的点，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4．所以△PF1F2的周长为．易得椭圆的离心率．…（Ⅱ）证明：由得．因为直线l与椭圆C有两个交点，并注意到直线l不过点P，所以解得﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，．显然直线PA与PB的斜率存在，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，则======．因为k1+k2=0，所以∠PMN=∠PNM．所以|PM|=|PN|．…20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）写出数列{a n}的前若干项，观察可得等比数列{b n}的公比最小为4，即可得到所求；（ⅱ）由（ⅰ）可知{b n}的通项公式，由等差数列的通项公式可得．证明k n为正整数即可；（Ⅱ）设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，求出c1，c2，求得公比q，只要证是数列{a n}的项，运用归纳法，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）观察数列{a n}的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…．因为数列{a n}是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是，最小公比是4．（ⅰ）以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128．（ⅱ）由（ⅰ）可知b1=2，公比q=4，所以．又，所以，即．再证k n为正整数．显然k1=1为正整数，n≥2时，，即，故为正整数．所以，所求通项公式为；（Ⅱ）证明：设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，且，，所以公比．因为等比数列{c n}各项为整数，所以q为整数．取k2=5m+2（m∈N*），则q=3m+1，故．只要证是数列{a n}的项，即证3k n﹣1=5•（3m+1）n﹣1．只要证（n∈N*）为正整数，显然k1=2为正整数．又n≥2时，，即，又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，故n≥2时，k n也都是正整数．所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，其公比q=3m+1有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列{a n}所包含的以a2=5为首项的不同无穷等比数列有无数多个．2020年9月12日。

2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5} 2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．84．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．585．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．247．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．09．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．110．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．311．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN 的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB ．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN 的最大值为二、填空题（共4小题）.13．已知向量，，若，则k ＝．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为．（用数值表示）15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝．三、解答题（第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5}解：∵集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}＝{x|﹣2＜x＜5}，＝{x|﹣3≤x≤3}，∴∁R N＝{x|x＜﹣3或x＞3}，∴（∁R N）∩M＝{x|3＜x＜5}．故选：A．2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i解：i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．8解：由已知得，抛物线y2＝2px的准线方程为，且过点A（﹣2，3），故，p＝4．故选：C．4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．58解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a8，a12依次成等比数列，∴a82＝a2a12，即（a1+7d）2＝（a1+d）（a1+11d），可得19d2＝﹣a1d，∵d≠0，∴a1＝﹣19d，又由已知可得a1＝1，在，因此，，故选：A．5．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．解：设切线长为d，由题设条件可得：d2＝（m﹣2）2+（3﹣0）2﹣1＝（m﹣2）2+8≥8，∴，当且仅当m＝2时取“＝“，故选：D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．24解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，由于锥体的高为4，故．故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R 恒成立，则2×+φ＝2kπ+，k∈Z，所以φ＝2kπ+，k∈Z，由于φ∈（0，2π），所以φ＝，即f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间是．故选：B．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．0解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（1﹣2×1011）＝f（1），又由当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（1）＝lg3，则f（﹣2021）＝f（1）＝lg3，故选：C．9．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．1解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），可得k+1＝2，即k＝1，f（1）＝b＝2，f（x）的导数为f′（x ）＝，即有a＝1，则2a+b＝2+2＝4．故选：A．10．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．3解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|＝3b ，所以，两式相乘得．结合c2＝a2+b2得．故e ＝．故选：B．11．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌解：根据题意，列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，可得2058年是戊寅．故选：C．12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN的最大值为解：设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即，内切球半径为棱长的一半，即．∵M、N分别为外接球和内切球上动点，∴，解得：a＝2．即正方体惨长为2，C正确；∴正方体外接球表面积为，A正确；内切球体积为，B正确；线段MN的最大值为，D错误．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则k＝12．解：根据题意，向量，，则，若，则有，解得k＝12，故答案为：12．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为﹣20．（用数值表示）解：二项式（x﹣）6＝[x+（﹣x﹣1）]6，其展开式的通项公式为：T r+1＝•x6﹣r•（﹣x﹣1）r＝（﹣1）r••x6﹣2r，当6﹣2r＝0时，得r＝3，所以展开式的常数项为：T4＝（﹣1）3•＝﹣20．故答案为：﹣20．15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值9．解：由约束条件直线可行域如图，令t＝x+2y，由图可知，当直线t＝x+2y过A时，t有最大值为t＝2，此时z＝3x+2y的最大值为9．故答案为：9．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝84．解：2（S n+2+S n）＝4S n+1+1，化为，即，∵，∴{a n}为等差数列，公差，∴．故答案为：84．三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．解：（1）因为，所以＝＝，整理可得a2+c2﹣b2＝ac，可得cos B＝＝＝，因为B∈（0，π），可得B＝．（2）在△ABC中，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c＝2b，所以cos B＝≥，当且仅当b＝时取等号，此时B＝，C＝，所以△ABC的面积S＝ab＝＝．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．解：（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71～80岁的居民人数为0.004×10×2000＝80万．由图2知．年龄在71～80岁的居民签概率为0.7．所以该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数为80×0.7＝56万．（2）由题知此地区年龄段在71～80的每个居民签约家庭医生的概率为P＝0.7，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人”为事件B，随机变量为X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为：．数学期望E（X）＝3×0.7＝2.1，方差D（X）＝3×0.7×0.3＝0.63．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，0，1），＝（0，2，0），＝（2，0，﹣1），设平面DAE的法向量为＝（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，，即，，令x1＝1得＝（1，0，2），令x2＝1得＝（1，1，0）．∴cos＜＞＝＝＝．∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．（2）证明：由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由k TA＝k PA，得＝，k TB＝k QB，得＝，两式相除得＝•，又+＝1，故﹣1＝﹣•＝﹣，故＝﹣，于是＝•＝﹣•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，所以，所以＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．解：（1）因为f（x）＝e x（x+a），所以f'（x）＝e x（x+a+1）．………………………………………………………………（1分）由f'（x）＞0，得x＞﹣a﹣1；由f'（x）＜0，得x＜﹣a﹣1．………………………………………………………………所以f（x）的增区间是（﹣a﹣1，+∞），减区间是（﹣∞，﹣a﹣1）．………………………（2）因为g（x）＝f（x﹣a）﹣x2＝xe x﹣a﹣x2＝x（e x﹣a﹣x）．由g（x）＝0，得x＝0或e x﹣a﹣x＝0．………………………………………………………………………设h（x）＝e x﹣a﹣x，又h（0）＝e﹣a≠0，即x＝0不是h（x）的零点，故只需再讨论函数h（x）零点的个数．因为h'（x）＝e x﹣a﹣1，所以当x∈（﹣∞，a）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．…………………………………………所以当x＝a时，h（x）取得最小值h（a）＝1﹣a．………………………………………①当h（a）＞0，即a＜1时，h（x）＞0，h（x）无零点；…………………………………②当h（a）＝0，即a＝1时，h（x）有唯一零点；…………………………………………③当h（a）＜0，即a＞1时，因为h（0）＝e﹣a＞0，所以h（x）在（﹣∞，a）上有且只有一个零点．……………………………………………令x＝2a，则h（2a）＝e a﹣2a．设φ（a）＝h（2a）＝e a﹣2a（a＞1），则φ'（a）＝e a﹣2＞0，所以φ（a）在（1，+∞）上单调递增，所以，∀a∈（1，+∞），都有φ（a）≥φ（1）＝e﹣2＞0．所以h（2a）＝φ（a）＝e a﹣2a＞0．………………………………………………………所以h（x）在（a，+∞）上有且只有一个零点．所以当a＞1时，h（x）有两个零点．………………………………………………………综上所述，当a＜1时，g（x）有一个零点；当a＝1时，g（x）有两个零点；当a＞1时，g（x）有三个零点．……………………………………………………………（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．解：（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x2+y2+12x+11＝0，即（x+6）2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为（﹣6，0）；（2）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ1+ρ2＝﹣12cosα，ρ1ρ2＝11，，由，得，，tanα＝＝±＝，所以l的斜率为或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，不等式g（x2）＜﹣，即，即，解得x2＞4或x2＜﹣3（舍去），由x2＞4，解得x＜﹣2或x＞2，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（2）由题意知，只需满足f（x）mix≥g（x）max即可，因为f（x）＝x2+1，所以f（x）min＝1，依题意，当时，g（x）＝，得f（x）min≥g（x）max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．。

2021年高考数学第一次适应性试卷（理科）（一模）一、选择题（每题5分）.1．已知集合A＝{x|x2＞4），B＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．复数z＝的虚部是（）A．i B．C．﹣i D．﹣3．若，则＝（）A．B．C．D．4．（+2）5的展开式中，x2的系数是（）A．4B．8C．10D．205．已知直线l，两个不同的平面α和β．下列说法正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l∥βB．若l∥α，α⊥β，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若l⊂α，α∥β，则l∥β6．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3＝2，S4＝7，则数列{a n}的通项公式a n＝（）A．n﹣1B．C．2n﹣4D．（n﹣1）（n﹣2）7．过点P（2，2）的直线l1与圆（x﹣1）2+y2＝1相切，则直线l1的方程为（）A．3x﹣4y+2＝0B．4x﹣3y﹣2＝0C．3x﹣4y+2＝0或x＝2D．4x﹣3y﹣2＝0或x＝28．已知函数f（x）＝，则其大致图象为（）A．B．C．D．9．春天是鲜花的季节，水仙花就是其中最迷人的代表，数学上有个水仙花数，它是这样定义的：“水仙花数”是指一个三位数，它的各位数字的立方和等于其本身．三位的水仙花数共有4个，其中仅有1个在区间（150，160）内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则在集合{142，147，152，154，157，“水仙四妹”}，共6个整数中，任意取其中3个整数，则这3个整数中含有“水仙四妹”，且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是（）A．B．C．D．10．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点在直线x+y﹣1＝0上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A、B两点，则|AB|＝（）A．12B．14C．16D．1811．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，过点F1的直线与两条渐近线的交点分别为M、N两点（点F1位于点M与点N之间），且，又过点F1作F1P⊥OM于P（点O为坐标原点），且|ON|＝OP|，则双曲线E的离心率e＝（）A．B．C．D．12．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小顺序为（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c二、填空题（共4小题）.13．已知向量＝（﹣2，1），＝（x，4），若⊥，则x＝．14．记S n为递增等比数列{a n}的前n项和，若a2＝2，a4＝a3+4，则S10的值为．15．函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，且g（x）的图象的一条对称轴是直线x ＝﹣，则ω的最小值为．16．已知母线长为6的圆锥的顶点为S，点A、B为圆锥的底面圆周上两动点，当SA与SB 所夹的角最大时，锐角△SAB的面积为8，则此时圆锥的体积为．三、解答题：共70分。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试课标1理科数学2020年全国1高考数学与2020全国1高考数学难度方面相对持平，在选择题和填空题方面难度有所提升，解答题方面难度有所减缓.在保持稳定的基础上，进行适度创新，尤其是选择填空压轴题.试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础性的考查，同时加大了综合性、应用性和创新性的考查，如理科第2、3、10、11、12、16、19题，文科第2、4、9、12、19题.1.体现新课标理念，重视对传统核心考点考查的同时，增加了对数学文化的考查，如理科第2题，文科第4题以中国古代的太极图为背景，考查几何概型.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求.3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精神.如理科第6、10、13、15题，文科第5、12、13、16题对数形结合思想的考查；理科第11，文科第9题对函数与方程思想的考查；理科第12、16题对数学的科学与人文价值的考查.4.体现了创新性，如理科第19题，文科第19题立意新、情景新、设问新，增强了学生数学应用意识和创新能力.命题趋势：（1）函数与导数知识：以函数性质为基础，考查函数与不等式综合知识，如理科第5题，；以基本初等函数为背景考查构造新函数解决比较大小问题，如理科第11题；对含参单调性以及零点问题的考查，如理科21题，比较常规.（2）三角函数与解三角形知识：对三角函数图像与性质的考查，如理科第9题；；对解三角形问题的考查，如理科第17题.重视对基础知识与运算能力的考查.（3）数列知识：对数列性质的考查，如理科第4题；突出了数列与现实生活的联系，考查学生分析问题的能力，如理科第12题，难点较大.整体考查比较平稳，没有出现偏、怪的数列相关考点.（4）立体几何知识：对立体几何图形的认识与考查，如理科第7题，试题难度不大，比较常规；对简单几何体的体积知识的考查，如理科第16题，用到函数知识进行解决，体现了综合性，难度较大，立体几何解答题的考查较常规，如理科对二面角的考查.（5）解析几何知识：对圆锥曲线综合知识的考查，如理科第15题，难度偏大；解答题考查较为常规，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，重视对学生运算能力的考查.【试卷解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B =R U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I【答案】A2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】试题分析：设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，则正方形的面积为2a ，圆的面积为24a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221248a a ππ⋅=，选B. 秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率1142p <<，故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】试题分析：设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.秒杀解析：因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x ⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好2x 的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B8．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1D．A≤1 000和n=n+2【答案】D9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D. 【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A2222||sin cos()2p pDE παα==-，所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+=11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】试题分析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -LL L则该数列的前(1)122k k k ++++=L 项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭L L 要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +L 的部分和，即1212221t t k -+=+++=-L ，所以2314tk =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 对应满足的最小条件为293054402N ⨯=+=，故选A. 【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】2314．设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y=-的最小值为.【答案】5-15．已知双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.23【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】415【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.【考点】三角函数及其变换.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A -PB -C 的余弦值.则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.969.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i ii i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=，0.0080.09≈．试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.20.（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，24t -，（t ，24t -）. 则221242421t t k k ---++==-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简. 21.（12分）已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 17 a.【解析】试题分析：（1）先将曲线C 和直线l 化成普通方程，然后联立求出交点坐标；（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点(3cos ,sin )θθ，l 的距离为17d =.对a 进行讨23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│.（1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.【解析】试题分析：（1）将1a =代入，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤，对x 按1x <-，11x -≤≤，1x >讨论，得出最值的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，。

2021年上海市高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）（2021•闵行区一模）已知集合A={x||x﹣|＞}，U=R，则∁U A=[﹣1，4]．【考点】：补集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集即可．【解析】：解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U=R，∴∁U A=[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]【点评】：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（4分）（2021•闵行区一模）若复数z满足（z+2）（1+i）=2i（i为虚数单位），则z=﹣1+i．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由（z+2）（1+i）=2i，得，∴z=﹣1+i．故答案为：﹣1+i．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（4分）（2021•闵行区一模）函数f（x）=xcosx，若f（a）=，则f（﹣a）=﹣．【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知得f（a）=acosa=，由此能求出f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．【解析】：解：∵f（x）=xcosx，f（a）=，∴f（a）=acosa=，∴f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．故答案为：﹣．【点评】：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．（4分）（2021•闵行区一模）计算=．【考点】：极限及其运算．【专题】：导数的综合应用．【分析】：利用极限的运算法则即可得出．【解析】：解：∵=，∴=．∴原式==．故答案为：．【点评】：本题考查了极限的运算法则，属于基础题．5．（4分）（2021•闵行区一模）设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=1．【考点】：反函数．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系得到4x﹣2x+1=0，求解x的值得答案．【解析】：解：由4x﹣2x+1=0，得（2x）2﹣2•2x=0，即2x=0（舍）或2x=2，解得x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为：1．【点评】：本题考查了反函数，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系，是基础题．6．（4分）（2021•闵行区一模）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=．【考点】：二倍角的余弦．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由θ∈（，π），sin﹣cos=，求出sin2θ，然后求出cos2θ．【解析】：解：∵θ∈（，π），sin﹣cos=，∴1﹣sinθ=，∴sinθ=，∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣=﹣．故答案为：．【点评】：本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正确选取．7．（4分）（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题．【分析】：求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解析】：解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．【点评】：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．8．（4分）（2021•闵行区一模）已知集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：概率与统计．【分析】：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，由此能求出“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率．【解析】：解：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，∴“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：p=．故答案为：．【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．（4分）（2021•闵行区一模）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：画出图形，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径，则当且同向时，则取得最大值．【解析】：解：如图，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径为3×=，则当且同向时，则取得最大值．所以3||cos∠BAM=3（+OM）=；故答案为：．【点评】：本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，考查了推理能力和计算能力，属于难题．10．（4分）（2021•闵行区一模）函数y=|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．【考点】：对数的运算性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：y=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．对x分类讨论：当x≥1时，f（x）=1+2log2x；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x；当时，f（x）=1，即可得出．【解析】：解：y=|2x|+|x|=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．当x≥1时，f（x）=1+2log2x≥1，当且仅当x=1时取等号；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x≥1，当且仅当x=时取等号；当时，f（x）=1，因此时等号成立．综上可得：函数f（x）取最小值1时x的取值范围是．故答案为：．【点评】：本题考查了绝对值函数、对数函数的单调性、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（4分）（2021•闵行区一模）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：运用函数f（x）=（）x与g（x）=x关于直线y=x对称，可知h（x）关于直线y=x对称．利用y=x与y=5﹣x的交点，结合图求解即可．【解析】：解：∵函数f（x）=（）x，g（x）=x，关于直线y=x对称，记函数h（x）=，∴可知h（x）关于直线y=x对称．∵y=x与y=5﹣x，交点为A（2.5，2.5）∴y=5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2=2×=5∴函数F（x）=h（x）+x﹣5，的零点．设h（x）与y=5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x﹣5零点问题．故函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．故答案为：5．【点评】：本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题，12．（4分）（2021•闵行区一模）已知F1、F2是椭圆Γ1：=1和双曲线Γ2：=1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则mn的最大值为．【考点】：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】：解三角形；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设|PF1|=s，|PF2|=t，求出焦点，可得c=2，由余弦定理可得s，t的方程，再由椭圆和双曲线的定义可得m，n的关系，再由重要不等式a2+b2≥2ab，即可求得最大值．【解析】：解：设|PF1|=s，|PF2|=t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c=2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=s2+t2﹣2stcos60°即s2+t2﹣st=16，由椭圆的定义可得s+t=2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t=2n（n＞0），解得s=m+n，t=m﹣n．即有16=（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）=m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m=n，取得最大值．故答案为：．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查椭圆和双曲线的定义，同时考查三角形的余弦定理和重要不等式的运用，属于中档题．13．（4分）（2021•闵行区一模）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2SsinA＜（•）sinB，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cosBcosC＞sinBsinC；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是①②④．【考点】：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：解三角形．【分析】：由题意可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又bsinA=asinB＞0，可得cosB＞sinA＞0，可得A、B均是锐角，从而可得A+B＜90°，∠C＞90°，由余弦定理及两角和的余弦公式结合三角函数值的符合即可判断得解．【解析】：解：∵2SsinA＜（•）sinB，∴2×bcsinA×sinA＜cacosBsinB，∴可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又由正弦定理可得：bsinA=asinB＞0，则cosB＞sinA＞0，可得：A、B均是锐角，而cosB=sin（90°﹣B），故有sin（90°﹣B）＞sinA，即90°﹣B＞A，则A+B＜90°，∠C＞90°，∴由余弦定理可得：cos∠C=＜0，即有：c2＞a2+b2，故②正确，∴由余弦定理可得：cos∠A=＞0，可得a2＜b2+c2，故①正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=﹣cosA＜0，故③不正确；故答案为：①②④．【点评】：本题考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，两角和的余弦公式等知识的应用，借助考查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，属于中档题．14．（4分）（2021•闵行区一模）已知数列f（2x）=af（x）+b满足：对任意n∈N*均有a n+1=pa n+3p ﹣3（p为常数，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为{﹣1，﹣3，﹣29}．【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：从{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}中任取两值作为a2，a3的值，求出p．从而求出a4，a5，由此能求出a1所有可能值的集合．【解析】：解：（1）取a2=﹣19，a3=﹣7时，﹣7=﹣19p+3p﹣3，解得p=，=﹣4，不成立；（2）取a2=﹣19，a3=﹣3时，﹣3=﹣19p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（3）取a2=﹣19，a3=5时，5=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=5×=﹣7，a5=﹣7×=﹣1，不成立；（4）取a2=﹣19，a3=10时，10=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=10×=﹣，不成立；（5）取a2=﹣19，a3=29时，29=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（6）取a2=﹣7，a3=﹣3时，﹣3=﹣7p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（7）取a2=﹣7，a3=5，得5=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣2，∴a4=﹣2×5﹣3×2﹣3=﹣19，a5=﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3=29，∴﹣7=﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1=﹣1；（8）取a2=﹣7，a3=10时，10=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣，=，不成立；（9）取a2=﹣7，a3=29时，29=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣8，a4=29×（﹣8）+3×（﹣8）﹣3=﹣259，不成立；（10）取a2=﹣7，a3=﹣19时，﹣19=﹣7p+3p﹣3，解得p=4，a4=﹣19×4+3×4﹣3=﹣67，不成立；（11）取a2=﹣3，a3=﹣19时，﹣19=﹣3p+3p﹣3，不成立；（12）取a2=﹣3，a3=﹣7时，﹣7=﹣3p+3p﹣3，不成立；（13）取a2=﹣3，a3=5时，5=﹣3p+3p﹣3，不成立；（14）取a2=﹣3，a3=10时，10=﹣3p+3p﹣3，不成立；（15）取a2=﹣5，a3=29时，29=﹣3p+3p﹣3，不成立；（16）取a2=5，a3=﹣19时，﹣19=5p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=﹣19×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=29，a5=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（17）取a2=5，a3=﹣7时，﹣7=5p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣1，不成立；（18）取a2=5，a3=﹣3时，﹣3=5p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（19）取a2=5，a3=10时，10=5p+3p﹣3，解得p=，=，不成立；（20）取a2=5，a3=29时，29=5p+3p﹣3，解得p=4，a4=29×4+3×4﹣3=125，不成立；（21）取a2=10，a3=﹣19时，﹣19=10p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣，不成立；（22）取a2=10，a3=﹣7时，﹣7=10p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×=﹣，不成立；（23）取a2=10，a3=﹣3时，﹣3=10p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（24）取a2=10，a3=5时，5=10p+3p﹣3，解得p=，a4=5×﹣3=，不成立；（25）取a2=10，a3=29时，29=10p+3p﹣3，解得p=，a4=29×+3×=，不成立；（26）取a2=29，a3=﹣19时，﹣19=29p+3p﹣3，解得p=﹣，=5，，29=﹣﹣3×，解得a1=﹣67；（27）取a2=29，a3=﹣7时，﹣7=29p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×﹣3=﹣，不成立；（28）取a2=29，a3=5时，5=29p+3p﹣3，解得p=，a4==1，不成立；（29）取a2=29，a3=10时，10=29p+3p﹣3，解得p=，a4=10×=，不成立；（30）取a2=29，a3=﹣3时，﹣3=29p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3．综上所述，a的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．故答案为：{﹣1，﹣3，﹣67}．【点评】：本题考查满足条件的集合的求法，是基础题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）（2021•闵行区一模）已知圆O：x2+y2=1和直线l：y=kx+，则k=1是圆O与直线l相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆；简易逻辑．【分析】：圆O与直线l相切，可得圆心到直线的距离d==1，求出k，即可得出结论．【解析】：解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d==1，∴k=±1，∴k=1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查充要条件的判断，正确运用点到直线的距离公式是关键．16．（5分）（2021•闵行区一模）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1 B．1 C．256 D．﹣256【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和．【解析】：解：令二项式（2﹣）8中的x=1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8=1∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．【点评】：求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察给二项式中的x赋值求得．17．（5分）（2021•闵行区一模）已知y=f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：据函数零点的定义，函数零点的判定定理，运用特殊函数判断即可．【解析】：解：①y=x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A不正确，②y=x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）=﹣1，f（b）=1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选；D【点评】：本题主要考查函数零点的定义，函数零点的判定定理，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题18．（5分）（2021•闵行区一模）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2021的方差为λ1，数据的方差为λ2，k=．则（）A．k=4．B．k=2．C．k=1．D．k的值与公差d的大小有关．【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：分别计算平均数与方差，即可得出结论．【解析】：解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2021的平均数为=a1008，所以λ1=[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2021﹣a1008）2]=•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2=[（a1﹣a1﹣d）2+（a2﹣a1﹣d）2+…+（a2021﹣a1﹣d）2]=•（12+22+…+10072）．所以k==2，故选：B．【点评】：本题考查等差数列的通项与求和，考查平均数与方差的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2021•闵行区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：解法一：利用线面垂直的判定定理可得：A1C1⊥平面BB1C1C，因此∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．利用tan∠A1BC1=即可得出．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，利用线面角公式：即可得出．【解析】：解法一：∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，B1C1∩C1C=C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．设CC1=y，，∴，∴．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．得点B（0，2，0），C1（0，0，y），A1（2，0，y）．则，平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，则，∴．【点评】：本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的向量计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）（2021•闵行区一模）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【考点】：函数模型的选择与应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x；（Ⅱ）4360﹣﹣16x≥2760，由此得到年产量x的取值范围．【解析】：解：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x=50．【点评】：本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法．属于中档题．21．（14分）（2021•闵行区一模）椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•=0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）代入点P，求得a2=2，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，b，c的关系，解方程即可得到c，即有椭圆方程；（2）方法一、运用点差法，设出C，D的坐标，代入椭圆方程，作差再由中点坐标公式，求得CD的斜率，得到直线CD的方程，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到；方法二、运用对称的方法，设出C，D的坐标，再作差，可得直线CD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到．【解析】：解：（1）由于椭圆Γ过点，即有，解得a2=2，又•=0，则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，又，得，，即有，而b2=a2﹣c2=2﹣c2，所以c2﹣2c+1=0得c=1，故椭圆Γ的方程是．（2）法一：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，且x1+x2=2，y1+y2=1，由，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即，所以CD所在直线的方程为，将，代入x2+2y2=2得，即有x1+x2=2，x1x2=．．法二：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（2﹣x1，1﹣y1），则，两等式相减得，将，代入x2+2y2=2得，则有．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查平面向量的数量积的坐标表示和点差法、弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．22．（16分）（2021•闵行区一模）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立，请说明理由．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数的取值范围．（3）利用函数的单调性求出函数的值域，进一步说明函数的单调性问题．【解析】：解：（1）=，函数f（x）的最小正周期T=π，（2）当时，，，存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（3）存在唯一的，使f（x1）•f（x2）=1成立．当时，，，设，则a∈[﹣1，1]，由，得．所以x2的集合为，∵，∴x2在上存在唯一的值使f（x1）•f（x2）=1成立．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用正弦型函数的定义域求函数的值域，函数的存在性问题的应用．23．（18分）（2021•闵行区一模）已知数列{a n}为等差数列，a1=2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q=2022成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】：数列与不等式的综合．【专题】：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】：（1）法1、求数列{a n}、{b n}的通项公式，在于求等差数列的公差和等比数列的首项和公比，设出等差数列{a n}的公差d和等比数列{b n}的公比为q．在已知数列递推式中令n=1，2，3分别得到关于待求量的关系式，然后求解公差和公比，则等差数列的公差和等比数列的公比可求；法2：由已知数列递推式取n=n﹣1（n≥2）得另一递推式，两式作差后得到，由数列{a n}为等差数列，可令a n=kn+b，得，由，得（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，由系数为0求得q，b，k的值得数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，由（4p+4）2﹣2q=2022，得4p2+8p﹣501为奇数，进一步得到2q﹣2为奇数，求得q=2，进一步求出，这与p∈N*矛盾；（3）把数列{a n}的通项公式代入λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos整理，设，可得数列{b n}单调递增．则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n，然后假设存在实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，分n为奇数和n为偶数求得，结合λ是非零整数可求得满足条件的λ．【解析】：解（1）法1：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q．∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4，令n=1，2，3分别得a1b1=4，a1b1+a2b2=20，a1b1+a2b2+a3b3=68，又a1=2，∴，即，解得：或．经检验d=2，q=2符合题意，不合题意，舍去．∴．法2：∵①则（n≥2）②①﹣②得，，又a1b1=4，也符合上式，∴，由于{a n}为等差数列，令a n=kn+b，则，∵{b n}为等比数列，则（为常数），即（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，∴q=2，b=0，又a1=2，∴k=2，故；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，则（4p+4）2﹣2q=2022，化简得4p2+8p﹣501=2q﹣2，由p∈N*得，4p2+8p﹣501为奇数，∴2q﹣2为奇数，故q=2．得4p2+8p﹣501=1，即2p2+4p﹣251=0，故，这与p∈N*矛盾，∴不存在满足题设的正整数p，q；（3）由a n=2n，得，设，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n.，∵b n＞0，∴b n+1＞b n，数列{b n}单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，则①当n为奇数时，得；②当n为偶数时，得，即．综上，，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．【点评】：本题考查了数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，训练了利用函数的单调性求函数的最值，体现了数学转化、分类讨论、分离参数等数学思想方法，属难题．。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=1+i，则−2z|=()A. 0B. 1C.D. 22.设集合A={−40}，B={x|2x+a0}，且A B={x|−2x1}，则a=()A. −4B. −2C. 2D. 43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. B. C. D.4.已知A为抛物线C:=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=()A. 2B. 3C. 6D. 95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(，)(i=1，2，，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+C. y=a+D. y=a+b x6.函数f(x)=−的图像在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+17.设函数f(x)=(x+)在[−，]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.8.(x+y2)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()xA. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)，且3cos2α−8cosα=5，则=()A. B. C. D.10.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为ABC的外接圆，若的面积为4，AB=BC=AC=，则球O的表面积为()A. 64B. 48C. 36D. 3211.已知M:+−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，且切点为A，B，当|PM||AB|最小时，直线AB的方程为()A. 2x−y−1=0B. 2x+y−1=0C. 2x−y+1=0D. 2x+y+1=012.若2a+log2a=4b+2log4b，则()A. a>2bB. a<2bC. a>D. a<二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为__________．14.设，为单位向量，且||=1，则||=__________．15.已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C:−=1(a>0,b>0)C上的点且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为__________．16.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=，AB AC，AB AD，CAE=，则FCB=__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设{}是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．(1)求{}的公比;(2)若=1，求数列{}的前n项和．18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=DO．(1)证明：PA平面PBC;(2)求二面角B−PC−E的余弦值．19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为．(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率．20.已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，G为E的上顶点，E:+=1(a>1)=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点．21.已知函数f(x)=+−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)当x0时，，求a的取值范围．f(x)+122.[选修4−4:坐标系与参数方程]为参数).以坐标原点在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为4−16+3=0．(1)当k=1时，是什么曲线?(2)当k=4时，求与的公共点的直角坐标．23.[选修4−4:坐标系与参数方程]已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=1+i，则−2z|=()A. 0B. 1C.D. 2【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的四则运算与模长，属于基础题．【解答】解：由z=1+i得z2=2i，2z=2+2i，|z2−2z|=|2i−(2+2i)|=2．故答案选D．2.设集合A={−40}，B={x|2x+a0}，且A B={x|−2x1}，则a=()A. −4B. −2C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的交集运算，属于基础题．【解答】}，解：由已知可得A={x|−2⩽x⩽2}，B={x|x⩽−a2又因为A∩B={x|−2⩽x⩽1}，=1，从而a=−2,所以−a2故答案选B．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了立体几何中的比例关系，属于基础题． 根据题意列出a,ℎ′,ℎ的关系式，化简即可得到答案． 【解析】 解：如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a,侧面三角形底边上的高为ℎ′， 则由题意可得{ℎ2=12aℎ′ℎ2=(ℎ′)2−(a2)2,故(ℎ′)2−(a2)2=12aℎ′，化简可得4(ℎ′a )2−2(ℎ′a )−1=0,解得ℎ′a=√5+14．故答案选C ．4. 已知A 为抛物线C:=2px(p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质，属于基础题． 利用抛物线的性质建立等式，即可求得p 的值． 【解析】解：设点A 的坐标为(x,y)，由点A 到y 轴的距离为9，可得x =9,由点A 到点C 的焦点的距离为12，可得x +p2=12 解得p =6． 故答案选C ．5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(，)(i=1，2，，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+C. y=a+D. y=a+b x 【答案】D【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，属于基础题．连接各点，判断图象的大致走向，可判断函数为对数模型．【解析】解：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a+bln x．故答案选D．6.函数f(x)=−的图像在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+1【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的切线方程，属于基础题．求出导函数与点(1,f(1))的切线斜率，由直线方程的点斜式可得切线方程，即可得解．【解析】解：先求函数的导函数f′(x)=4x3−6x2，则由函数的几何意义可知在点(1,f(1))的切线斜率为k=f′(1)=−2．又因为f(1)=−1，则切线方程为y−(−1)=−2(x−1)，则y=−2x+1．故答案选B．7.设函数f(x)=(x+)在[−，]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了余弦函数的图象与性质，属于中档题．先利用f(−4π9)=0得到w=−3+9k4(k∈Z)，由T<2π<2T，可得，由w=−3+9k4(k∈Z)可得k的值，w的值可得，即可求解．【解析】解：由图可知f(−4π9)=cos(−4π9w+π6)=0，所以−4π9w+π6=π2+kπ(k∈Z),化简可得w=−3+9k4(k∈Z)，又因为T<2π<2T，即2π|w|<2π<4π|w|，所以，当且仅当k=−1时，所以w=32，所以最小正周期T=2π|w|=4π3．故答案选C．8.(x+y2x)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C【解析】【分析】本题考查二项式定理，属基础题．【解答】解：(x+y)5的展开式通项为C5r x5−r y r，r=0，1，2，3，4，5，则(x+y2x )(x+y)5的展开式有xC5r x5−r y r，y2xC5r x5−r y r，取r=3和r=1时可得10x3y3，5x3y3，合并后系数为15，故答案为C．9.已知(0,)，且3cos2α−8cosα=5，则=()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属基础题．【解答】解：∵3cos2α−8cosα=5，∴3(2cos2α−1)−8cosα=5，即3cos2α−4cosα−4=0，(3cosα+2)(cosα−2)=0，即cosα=−23，又α∈(0,π)，sinα>0，∴sinα=√1−cos2α=√53，故答案为A．10.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为ABC的外接圆，若的面积为4，AB=BC=AC=，则球O的表面积为()A. 64B. 48C. 36D. 32【答案】A【解析】【分析】本题考查球的结构与性质，球的表面积公式，属中档题．【解答】解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABX是正三角形，=2r=4，得AB=OO1=2√3，由正弦定理：ABsin60∘由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，故答案为A．11.已知M:+−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，且切点为A，B，当|PM||AB|最小时，直线AB的方程为()A. 2x−y−1=0B. 2x+y−1=0C. 2x−y+1=0D. 2x+y+1=0【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式，切线的性质，属较难题．【解答】解：圆M方程化为：(x−1)2+(y−1)2=4，圆心M(1,1)，半径r=2，根据切线的性质及圆的对称性可知，则|PM|⋅|AB|=4S△PAM=2|PA|⋅|AM|，要使其值最小，只需|PA|最小，即|PM|最小，此时，=√5，|PA|=√|PM|2−|AM|2=1，∴|PM|=√5(x−1)，联立l的方程解得P(−1,0)，过点M且垂直于l的方程为y−1=12以P为圆心，|PA|为半径的圆的方程为(x+1)2+y2=1，即x2+y2+2x=0，结合圆M的方程两式相减可得直线AB的方程为2x+y+1=0，故答案为D．12.若2a+log2a=4b+2log4b，则()A. a>2bB. a<2bC. a>D. a<【答案】B【解析】【分析】本题考查指数及对数的运算性质，指数及对数函数的单调性，属中档题．【解答】解：根据指数及对数的运算性质，4b+2log4b=22b+log2b，∵log2(2b)=log2b+1>log2b，∴22b+log2(2b)>22b+log2b=2a+log2a，根据函数f(x)=2x+log2x是定义域上的增函数，由f(2b)>f(a)，得a<2b，故答案为B．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为__________．【答案】1【解析】【分析】本题考查利用线性规划求最值问题，属基础题．【解答】解：根据约束条件画出可行域为：由z=x+7y得y=−17x+17z，平移直线y=−17x，要使z最大，则y=−17x+17z在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，故答案为1．14.设，为单位向量，且||=1，则||=__________．【答案】√3【解析】【分析】本题考查平面向量数量积与平面向量模之间的关系，属于中档题．【解答】解：|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =2+2a⃗⋅b⃗ =1，a⃗⋅b⃗ =−12，|a⃗−b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =2−2a⃗⋅b⃗ =3，∴|a⃗−b⃗ |=√3．故答案为√3．15.已知F为双曲线C:−=1(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为__________．【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质，属于中档题．分别求出A、B点坐标，再根据条件列方程即可求解．【解答】解：由题意可知，B在双曲线C的右支上，且在x轴上方，∵BF垂直于x轴，把x=c代入x2a2−y2b2=1，得y=b2a，∴B点坐标为(c,b2a)，又A点坐标为(a,0)，∴k AB=b2a−0c−a=3，化简得b2=3ac−3a2=c2−a2，即2a2−3ac+c2=0，解得c=2a或c=a(舍)，故e=ca=2．故答案为2．16.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=，AB AC，AB AD，CAE=，则FCB=__________．【答案】−14【解析】【分析】本题考查利用正余弦定理解三角形，属于中档题．【解答】解：由已知得BD=√2AB=√6，∵D、E、F重合于一点，∴AE=AD=√3，BF=BD=√6，∴△ACE中，由余弦定理得，∴CE=CF=1，∴在△BCF中，由余弦定理得．故答案为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设{}是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．(1)求{}的公比;(2)若=1，求数列{}的前n项和．【答案】解：⑴设等比数列{a n}的公比为q(q≠1)，由题意知：2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2，所以q2+q−2=0，解得q=−2．(2)若a1=1，则a n=(−2)n−1，所以数列{na n}的前n项和为T n=1+2×(−2)+3×(−2)2+⋯+n(−2)n−1，则−2T n=−2+2×(−2)2+3×(−2)3+⋯+n(−2)n，两式相减得3T n=1+(−2)+(−2)2+(−2)3+(−2)n−1−n(−2)n=1−(−2)n1−(−2)−n(−2)n=1−(3n+1)(−2)n3，所以T n=1−(3n+1)(−2)n9．【解析】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，错位相减法的应用，属于中档题．(1)设出等比数列的公比，由等差中项的性质，列方程求解即可；(2)由题意写出数列{a n}的通项公式，从而可根据错位相减法求出数列{na n}的前n项和．18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=DO．(1)证明：PA平面PBC;(2)求二面角B−PC−E的余弦值．【答案】(1)证明：不妨设⊙O的半径为1，则AO=OB=OC=1，AE=AD=2，AB=BC=CA=√3，DO=√DA2−OA2=√3，PO=√66DO=√22，PA=PB=PC=√PO2+AO2=√62，在△PAC中，PA2+PC2=AC2，故PA⊥PC，同理可得PA⊥PB，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，∴PA⊥平面PBC．(2)解：以OE，OD所在直线分别为y，z轴，圆锥底面内垂直于OE的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，则有B (√32,12,0),C (−√32,12,0),P (0,0,√22),E (0,1,0)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0),CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,√22)， 设平面PBC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，解得n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)， 同理可得平面PCE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√6,−2√3)， 由图形可知二面角B −PC −E 为锐角，则cosθ=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√55， 故二面角B −PC −E 的余弦值为2√55．【解析】本题考查线面垂直的证明和二面角的求法，属于中档题； (1)求出各线段长度，用勾股定理找出垂直关系即可证明 (2)建立空间直角坐标系，求法向量即可求解．19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为． (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率．【答案】解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，则P =(12)4=116．(2)设甲输掉一场比赛为事件A ，乙输掉一场比赛为事件B ，丙输掉一场比赛为事件C ，四场比赛能结束为事件N ，则P(N)=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BABA)+P(BCBC)=116×4=14所以需要进行第五场比赛的概率为P =1−P(N)=1−14=34(3) 丙获胜的概率为：P =P (ABAB )+P(BABA)+P(ABACB)+P(BABCA)+P(ABCAB)+P(ABCBA) +P(BACAB)+P(BACBA)+P(ACABB)+P(ACBAB)+P(BCABA)+P(BCBAA) =(12)4×2+(12)5×10=716．【解析】本题考查概率的计算，属于中档题; 分类讨论求概率即可．20. 已知A ，B 分别为椭圆E:+=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，=8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ， (1)求E 的方程;(2)证明：直线CD 过定点． 【答案】解：由题意A (−a,0),B (a,0),G (0,1),AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1), AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−1=8⇒a 2=9⇒a =3， ∴椭圆E 的方程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (−3,0),B (3,0),P (6,m )， 则直线PA 的方程为y =m 9(x +3)，联立{y=m9(x+3)x29+y2=1⇒(9+m2)x2+6m2x+9m2−81=0,由韦达定理−3x C=9m2−819+m2⇒x C=−3m2+279+m2，代入直线PA的方程y=m9(x+3)得，y C=6m9+m2，即C(−3m2+279+m2,6m9+m2)，直线PB的方程为y=m3(x−3)，联立{y=m3(x−3)x29+y2=1⇒(1+m2)x2−6m2x+9m2−9=0,由韦达定理3x D=9m2−91+m2⇒x D=3m2−31+m2，代入直线PA的方程y=m3(x−3)得，y D=−2m 1+m2，即D(3m2−31+m2,−2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2=4m3(3−m2)，∴直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m3(3−m2)(x−3m2−31+m2)，整理得y=4m3(3−m2)(x−32)，∴直线CD过定点(32,0)．【解析】本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题；(1)求出各点坐标，表示出向量；(2)求出C，D两点坐标，进而求出直线CD，即可证明．21.已知函数f(x)=+−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)当x0时，f(x)+1，求a的取值范围．【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，记g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，所以g(x)=f′(x)=e x+2x−1在R上单调递增，又f′(0)=0，得当x>0时f′(x)>0，即f(x)=e x+x2−x在(0,+∞)上单调递增；当x<0时f′(x)<0，即f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减．所以f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当x=0时，a∈R；②当x>0时，f(x)≥12x3+1即a≥12x3+x+1−e xx2，令ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3记m(x)=e x−12x2−x−1，m′(x)=e x−x−1令q(x)=e x−x−1，因为x>0，所以q′(x)=e x−1>0，所以m′(x)=q(x)=e x−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m′(x)=e x−x−1> m′(0)=0所以m(x)=e x−12x2−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m(x)=e x−12x2−x−1>m(0)=0，故当x∈(0,2)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(0,2)上单调递增；当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(2,+∞)上单调递减；所以[ℎ(x)]max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可知，实数a的取值范围是[7−e24,+∞)．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、导数与不等式等知识，考查运算求解、逻辑推理能力及分类讨论的数学思想，难度较大．22.[选修4−4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为4−16 +3=0．(1)当k =1时，是什么曲线? (2)当k =4时，求与的公共点的直角坐标．【答案】解：(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，化为直角坐标方程为x 2+y 2=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆．(2)k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t，化为直角坐标方程为√x +√y =1， 曲线C 2化为直角坐标方程为4x −16y +3=0，联立{√x +√y =14x −16y +3=0，解得{x =14y =14, 所以曲线C 1与曲线C 2的公共点的直角坐标为(14,14)．【解析】本题考查简单曲线的参数方程、极坐标方程，参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化等知识，考查运算求解能力，难度一般．23. [选修4−4:坐标系与参数方程]已知函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|．(1)画出y =f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x +1)的解集．【答案】解：(1)函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|=，图像如图所示：(2)函数f(x+1)的图像即为将f(x)的图像向左平移一个单位所得，如图，联立y=−x−3和y=5x+4解得交点横坐标为x=−，原不等式的解集为．【解析】本题考查解绝对值不等式，考查了运算求解能力及数形结合的思想，难度一般．。

2021年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）（附解析）2021年成都市高2021届高三第一次诊断考试数学问题（科学）第ⅰ卷（选择题，共50分）一、多项选择题：本主题共有10个子题，每个子题得5分，每个子题给出的四个选项共50分，只有一个符合问题要求1．已知集合a?{x?z|(x?1)(x?2)?0}，b?{x|?2?x?2}，则ab?（a） {x | 1 | x | 2}（b）{1,0,1}（c）{0,1,2}（d）{1,1}2？在ABC中，“a？？2”是“cosa？”424（a）充分和不必要条件（b）必要和不充分条件（c）充要条件（d）既不充分也不必要条件3.如图所示，剩余部分与开挖部分的体积比为（a）3:1（b）2:1（c）1:1（d）1:2正视图侧视图77?19154c?log4．设a?()，b?()，，则a,b,c的大小顺序是2997俯视图（a）b?a?c（b）c?a?b（c）c?b?a（d）b?c?a已知空间中的两条线，N和m，是不同的，？，？对于空间中的两个不同平面，以下命题是正确的的是（a）如果M/？，m/然后呢？/？（b）如果我？？，Mn、那么n/？（c）若m//?,m//n，则n//?（d）若m??,m//?，则6.执行如图所示的程序框图，如果输出结果不大于50，则输入整数k的最大值为（a）4（b）5（c）6（d）77．已知菱形abcd边长为2，?b?开始输入KS？0，n？0n？K不，是吗？s2n？2n？N1输出s？，P点满足AP？？AB，3结束？？r、如果是BD？内容提供商？？3.那么？价值在于121（c）3（a）121（d）?3（b）？1X2y28。

在双曲线2上？2.1的左顶点a（a？0，B？0）是一条斜率为1的直线，这是两条双曲线ab1渐近线的交点分别为b,c.若ab?bc，则此双曲线的离心率为2（a）10（b）5（c）3（d）2xy409．设不等式组?x?y?2?0表示的平面区域为d.若指数函数y?ax(a?0且a?1)的图Y2.0如果图像通过区域D上的点，则a的值范围为（a）[2，3]（b）[3,??)（c）(0，]（d）[,1)10.如果序列{an}中的任意三个连续奇数项和三个连续偶数项可以构成三角形的边长，则{an}称为“次三角形”序列；对于“次三角形”序列{an}，如果函数y？F（x）使1313bn?f(an)仍为一个“亚三角形”数列，则称y?f(x)是数列{an}的一个“保亚三角形函数（n？n），数字序列{CN}的第一n项的总和是Sn，C1？2022，5Sn？1？席席？10080，如果{CN}的项目n的最大值是G（x）？LGX是序列{CN}（参考数据：LG2×10.301，LG2022×3.304）（A）33（B）34（C）35（D）36的“次三角保留函数”。