数理统计第三章(2)概论

d ln L = dθ
n θ
+
n
ln xi
i =1
=0
，得到极大似然估计
θˆ = − n = −1 = −1 。
n
∑ ln X i
i =1
∑ 1 n
n i=1 ln X i
ln X
1
3.3 设总体 ξ 服从 Poisson 分布，概率分布为
P{ξ = k} = λk e−λ , k = 0, 1, 2,L ， k!
Xi =
X
。
3.7 已知总体 ξ 服从 Maxwell 分布，概率密度为
⎧
ϕ
(
x)
=
⎪ ⎨
4x2 a3 π
− x2
e a2
⎪⎩
0
x>0 x≤0
其中， a > 0 是未知参数， ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本，求 a 的极大似然估计。
解 似然函数
∏ ∏ L =
n
ϕ(xi )
i =1
∏ ∏ ∏ L =
n
ϕ(xi )
=
⎪⎧ ⎨
n i =1
θ
xiθ −1 = θ n
n i =1
xiθ −1
i =1
⎪⎩
0
0 < xi < 1 ( i = 1,2,L, n) 其他
n
∑ 当 L ≠ 0 时，对 L 取对数，得到 ln L = n lnθ + (θ −1) ln xi 。 i =1
∑ 解方程
⎧aˆ = X − ⎩⎨bˆ = X +
3S 3S
。
(2) 似然函数
3
∏ ∏ L =
n

P ( X Y 1) 1 2dxdy . 2 D
x y 1
y=x G D O 1 x+y=1 x

f ( x, y )dxdy
(2)
P(Y X )
2
dx
0
1
x
2
x
2dy 1 / 3 .
y 1 0
y = x2
y=x G
1 x
(3) P(| X | 0.3) P(0.3 X 0.3)
pij P( X xi ) P(Y y j X xi ) .
例3.1.1 设随机变量X在1,2,3三个整数中等可能取值，另一个随机 变量Y在1~X中等可能地取一整数值，求(X,Y)的概率分布。
解：由假设，随机变量X的可能取值为1,2,3. 而Y≤X，故Y 的可能取值范围也 为1,2,3. 首先，当 j>i 时，{X=i,Y=j} 为不可能事件，故 P(X=i,Y=j)=0，j>i. 当 j≤i 时，根据概率的乘法公式，有 P(X=i,Y=j)=P(X=i)•P(Y=j | X=i) =1/i • 1/3，i=1,2,3. 由此得(X, Y)的概率分布如下：
3.2 边缘分布
二维随机变量的联合分布是把(X，Y)看作一个整体的 分布。其中分量X和Y都是一维随机变量，也有各自的 分布，分别称X和Y的分布为二维随机变量(X，Y)关于 X和Y的边缘分布。 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，分别记 关于X和Y的边缘分布函数为Fx(x)和Fy(y)，由于 Fx(x)=P(X≤x,Y<+∞ )=F(x,+∞ ), 同理，有 Fy(y)=F(+∞ ,y). 由此看出，边缘分布函数Fx(x)，Fy(y)完全由联合分布 函数F(x，y)来确定。

解得 ∴ 两人技术水平相当,但乙的技术比甲稳定.
0
0
2、D(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
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利用期望 性质
请自己用此公式计算常见分布的方差.
2 指数分布的期望和方差 分别为 θ和 θ .
例5 设随机变量 X具有概率密度
1 x , 1 x 0 , f(x ) x ,0 x 1 , 1 0 其他 . ,
求D (X).
解
E( X) ( 1 x ) d x x ( 1 x ) d x x
反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 P{X=C}=1, 且C=E(X);
2. 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X); 3. 若C是常数,则D(X+C)= D(X);
1 . D ( C ) 0
2 证明： D () CE { [ C E () C ] }0
2. D(CX ) C 2 D( X )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D ( X YD ) () X D () Y
设Ｘ1，Ｘ2 ，…Ｘｎ相互独立且方差都存在，则
D ( X X X ) 1 2 n D ( X ) D ( X ) D ( X ) 1 2 n
方差 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点 距目标的位置如图：

中心
中心
乙炮射击结果 乙炮
甲炮射击结果
你认为哪门炮射击效果好一些呢? 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .

p 2
M p
i
M
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第三章 多维随机变量及其分布
3.2.3 边际密度函数
第32页
巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)，则
X 的密度函数为 ：
p(x) p(x,y)dy
Y 的密度函数为 ： p(y) p(x,y)dx
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第三章 多维随机变量及其分布
3.3.1 多维随机变量 ➢ 定义3.1.1
若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量.
➢ 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).
4/29/2020
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第三章 多维随机变量及其分布
第3页
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
则称 (X, Y) 服从 D 上的均匀分布， 记为 (X, Y) U (D) .
4/29/2020
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第三章 多维随机变量及其分布
第20页
四、二维正态分布
若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为：
1 p(x,y)
212 12
exp2(112)(x121)2 (y222)2 2(x11)(y22)
记 P(Ai) = pi ,
i = 1, 2, ……, r
记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.
则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为： P (X 1 n 1 ,X 2 n 2 ,......,X r n r )= n 1 ! n 2 n ! L !n r !p 1 n 1 p 2 n 2 L L p r n r
解: 由题意得