翻折问题参考答案

北师大版七年级下册 平行线 纸片翻折问题 专题练习一、单选题1．如图,长方形纸片ABCD 中,AB =3cm,AD =9cm,将此长方形纸片折叠,使点D 与点B 重合,点C 落在点H 的位置,折痕为EF ,则△ABE 的面积为（ ）A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D ．12cm 2 2．如图,在长方形ABCD 纸片中,//AD BC ,//AB CD ,把纸片沿EF 折叠后,点C 、D 分别落在C '、D 的位置．若65EFB ∠=︒,则AED '∠等于（ ）A ．70°B ．65°C ．50°D ．25° 3．如图,在四边形ABCD 中,△A=120°,△C=80°．将△BMN 沿着MN 翻折,得到△FMN ．若MF △AD,FN △DC ,则△F 的度数为（ ）A ．70°B ．80°C ．90°D ．100° 4．如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点,D C 分别落在点',D C '的位置,若65EFB ∠=︒,则'AED ∠等于（ ）A ．50B ．55C ．60D ．655．如图,已知长方形纸片ABCD , 点E 、F 在BC 边上,点G 、H 在AD 边上,分别沿EG 、FH 折叠,使点B 和点C 都落在点M 处,若a +β=224°,则△EMF 的度数为（ ）A ．90°B ．91°C ．92°D ．94°6．将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后,若边//AD BC ,则翻折角1∠与2∠一定满足的关系是（ ）A ．122∠=∠B ．1290∠+∠=︒C ．1230∠-∠=︒D ．213230∠-∠=︒ 二、填空题 7．如图,将一张长方形的纸片沿折痕EF 翻折,使点B 、C 分别落在点M 、N 的位置,且△AFM ＝12△EFM,则△AFM ＝_____°．8．如图,四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上, 将BMN△沿MN翻折,得△FMN,若MF△AD,FN△DC,则△B =___°．9．如图,矩形ABCD中将其沿EF翻折后,D点恰落在B处,△BFE= 65°,则△AEB=____________.10．如图所示,把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠,若△BDE＝20°,那么△BED＝__．11．如图所示,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF,若△EFC′＝125°,那么△ABE的度数为________．12．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,若△34CBD=,则△ABC=______°．、为折痕,边BA与BE折叠后紧靠在一起,若13．如图,将一长方形纸片折叠,BC BD∠=︒,则DBEABC25∠=__________度．14．如图,将正方形纸片ABCD 折叠,使点D 落在BC 边点E 处,点A 落在点F 处,折痕为MN ,若32NEC FMN ∠=︒∠=，_____︒．三、解答题15．手工制作课上,老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样,若折痕与一条边BC 的夹角△EFB =30°,你能说出△EGF 的度数吗？16．同学们,我们己学习了角平分线的概念和性质,那么你会用它们解决有关问题吗？ （1）如图（1）,己知AOB ∠,请你画出它的角平分线OC ,并填空：因为OC 是AOB ∠的平分线,所以△______=△______12AOB =∠ （2）如图（2）,己知AOC ∠,若将AOC ∠沿着射线OC 翻折,射线OA 落在OB 处,请你画出射线OB,射线OC 一定平分AOB ∠．理由如下：因为BOC ∠是由AOC ∠翻折而成,而翻折不改变图形的形状和大小,所以BOC ∠=∠_______,所以射线_________是△_________的角平分线．拓展应用（3）如图（3）,将长方形纸片的一角折叠,使顶点A 落在C 处,折痕为OE ,再将它的另一个角也折叠,顶点B 落在OC 上的D 处并且使OD 过点C,折痕为OF ．直接利用（2）的结论；△若30AOE ∠=︒,求EOF ∠的度数．（写出计算说理过程）△若AOE m∠=︒,求EOF∠的度数有什么规律？（写出∠的度数,从计算中你发现了EOF计算说理过程）17．如图△,将一张长方形纸片沿EF对折,使AB落在A B''的位置；（1）若△1的度数为a,试求△2的度数（用含a的代数式表示）；（2）如图△,再将纸片沿GH对折,使得CD落在C D''的位置．EF C G',△1的度数为a,试求△3的度数（用含a的代数式表示）：△若//'⊥',△3的度数比△1的度数大20°,试计算△1的度数．△若B F C G参考答案：1．A【解析】【分析】根据折叠的条件可得：BE DE =,在Rt BAE 中,利用勾股定理就可以求解．【详解】将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,9cm AD =,9BE AE ∴=-,根据勾股定理得：229(9)AE AE +=-,解得：4(cm)AE =．21436(cm )2ABE S ∴=⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形,掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．2．C【解析】【分析】由折叠可知,△DEF =△D ′EF ,由题可知,AD △BC ,可知△DEF =△EFB =65°,由平角为180°,可知△AED ′的度数．【详解】解：由折叠可知,△DEF =△D ′EF ,△AD △BC ,△△DEF =△EFB =65°,△△AED ′=180°-△DEF -△EFB =50°．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质及折叠的性质,掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 3．B【解析】【分析】首先利用平行线的性质得出△BMF=120°,△FNB=80°,再利用翻折变换的性质得出△FMN=△BMN=60°,△FNM=△MNB=40°,进而求出△B 的度数以及得出△F 的度数．【详解】△MF△AD,FN△DC,△A=120°,△C=80°,△△BMF=120°,△FNB=80°,△将△BMN 沿MN 翻折得△FMN,△△FMN=△BMN=60°,△FNM=△MNB=40°,△△F=△B=180°-60°-40°=80°,故选B ．【点睛】主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质,得出△FMN=△BMN,△FNM=△MNB 是解题关键．4．A【解析】【分析】先根据//AD BC 得出DEF EFB ∠=∠,再由翻折变换的性质得出'D EF DEF ∠=∠,由平角的定义即可得出结论．【详解】解：△四边形ABCD 是矩形△//AD BC△DEF EFB ∠=∠△65EFB ∠=△65DEF EFB ∠=∠=△四边形''EFC D 由四边形EFCD 翻折而成,△'65D EF DEF ∠=∠=,△'180'180656550AED DEF D EF ∠=-∠-∠=--=．故选A ．【点睛】本题考查的是图形的翻折变换,熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．5．C【解析】【分析】根据四边形ABCD是长方形,可得AD△BC,得到△BEG+α=180°,△CFH+β=180°,进而得到△BEG+△CFH=360°-（α+β）=136°,由折叠性质可知,△BEG=△GEM,△CFH=△HFM,进而得到△BEM+△CFM=272°,根据平角的定义列式得到△MEF+△MFE=88°,再根据三角形的内角和即可得解．【详解】解：△四边形ABCD是长方形,△AD△BC,△△BEG+α=180°,△CFH+β=180°,△△BEG=180°-α,△CFH=180°-β,△α+β=224°,△△BEG+△CFH=360°-（α+β）=136°,由折叠可知：△BEG=△GEM,△CFH=△HFM,△△BEM+△CFM=2（△BEG+△CFH）=272°,△△MEF+△MFE=360°-（△BEM+△CFM）=360°-272°=88°,△△EMF=180°-（△MEF+△MFE）=92°,故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质及三角形的内角和．6．B【解析】【分析】根据平行可得出△DAB+△CBA=180°,再根据折叠和平角定义可求出1290∠+∠=︒．【详解】解：由翻折可知,△DAE=21∠,△CBF=22∠,△//AD BC,△△DAB+△CBA=180°,△△DAE+△CBF=180°,∠+∠=°,即2122180△1290∠+∠=︒,故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质,解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．7．36【解析】【分析】△EFM可得△EFM＝△BFE＝由折叠的性质可得△EFM＝△EFB,设△AMF＝x°,由△AFM＝122x°,然后根据平角的定义列方程求出x的值即可得答案．【详解】△将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折,使点B、C分别落在点M、N的位置,△△EFM＝△EFB,设△AFM＝x°,△EFM,△△AFM＝12△△EFM＝△BFE＝2x°,△x°+2x°+2x°＝180°,解得：x＝36,△△AFM＝36°．故答案为：36【点睛】此题考查了折叠的性质与平角的定义．解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．8．95【解析】【详解】△MF△AD,FN△DC,△△BMF=△A=100°,△BNF=△C=70°.△△BMN沿MN翻折得△FMN,△△BMN=12△BMF=12×100°=50°,△BNM=12△BNF=12×70°=35°.在△BMN中,△B=180°－（△BMN＋△BNM）=180°－（50°＋35°）=180°－85°=95°. 9．50°【解析】【分析】根据翻折求出各个角的度数,再根据平角180°求出△AEB的度数即可.【详解】如图所示,由矩形ABCD可得AD△BC,△△1=△BFE =65°,由翻折得△2=△1=65°,△△AEB =180°-△1- △2 =180°-65°-65°=50°.10．140°【解析】【分析】由AD△BC,利用“两直线平行,内错角相等”可得出△CBD的度数,由折叠的性质可得出△EBD 的度数,结合△CBE＝△CBD+△EBD可得出△CBE的度数,由AD△BC,利用“两直线平行,同旁内角互补”可求出△BED的度数．【详解】解：△AD△BC,△△CBD＝△BDE＝20°．由折叠的性质可知：△EBD＝△CBD＝20°,△△CBE＝△CBD+△EBD＝40°．△AD△BC,△△BED＝180°﹣△CBE＝140°．故答案为：140°．【点睛】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质,牢记“两直线平行,同旁内角互补”是解题的关键．11．20°【解析】【分析】由折叠的性质知：△EBC′、△BC′F都是直角,△BEF=△DEF,因此BE△C′F,那么△EFC′和△BEF互补,这样可得出△BEF的度数,进而可求得△AEB的度数,则△ABE可在Rt△ABE中求得．【详解】解：由折叠的性质知,△BEF=△DEF,△EBC′、△BC′F都是直角,△BE△C′F,△△EFC′+△BEF=180°,又△△EFC′=125°,△△BEF=△DEF=55°,△△BED=110°,△△AEB=180°-△BED=70°在Rt△ABE中,可得△ABE=90°-△AEB=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后角相等．12．73【解析】【分析】首先根据折叠的性质得出ABE ABC ∠=∠,然后利用()11802ABC CBD ∠=⨯︒-∠求解即可． 【详解】如图,由折叠可知ABE ABC ∠=∠,34,180CBD EBD ∠=︒∠=︒,()()11180180347322ABC CBD ∴∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒, 故答案为：73．【点睛】本题主要考查几何图形中的角度计算,掌握折叠的性质是解题的关键．13．65【解析】【分析】根据折叠的性质得到△ABC =△FBC =25°,△FBD =△DBE ,再根据平角的定义得到△FBD +△DBE ,从而计算△DBE ．【详解】解：由折叠可知：△ABC =△FBC =25°,△FBD =△DBE ,△△FBD +△DBE =180°-（△ABC +△FBC ）=130°,△△DBE =130°÷2=65°,故答案为：65．【点睛】本题考查了折叠问题,解题的关键是掌握折叠前后对应角相等．14．119【解析】【分析】根据正方形的性质得到△A=△C=△D=90°,根据折叠的性质得到△F=△A=90°,△FEN=△C=90°,△DNM=△ENM,根据平角的定义得到△ENM=12（180°-△ENC）=12（180°-58°）=61°,根据四边形的内角和即可得到结论．【详解】解：△四边形ABCD是正方形,△△A=△C=△D=90°,△将正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边点E处,点A落在点F处,△△F=△A=90°,△FEN=△D=90°,△DNM=△ENM,△△NEC=32°,△△ENC=58°,△△ENM=12（180°-△ENC）=12（180°-58°）=61°,△△FMN=360°-90°-90°-61°=119°,故答案为：119．【点睛】本题考查了角的计算,翻折变换的问题,折叠问题其实质是轴对称,对应线段相等,对应角相等,找到相等的角是解决本题的关键．15．120°【解析】【分析】由平行线的性质可得△DEF=△EFG=30°,由折叠性质可得△GEF=△DEF=30°,可求△DEG,再利用平行线性质可求△EGC即可．【详解】解：因为AD∥BC（已知）,所以△DEF=△EFG=30°（两直线平行,内错角相等）,因为△GEF=△DEF=30°（对折后重合部分相等）,所以△DEG=2△DEF=60°,所以△EGC=180°－△DEG=180°－60°=120°（两直线平行,同旁内角互补）．【点睛】本题考查平行线性质,折叠性质,掌握平行线性质,折叠性质是解题关键．16．（1）△AOC,△BOC；（2）△AOC,OC,△AOB；（3）△90︒,过程见解析,△90°,EOF∠始终是90°,过程见解析．【解析】【分析】(1)根据角的平分线的定义解答即可；(2)根据折叠的意义解答即可；(3)△根据折叠的意义,平角的定义,角平分线的定义解答即可；△根据计算探究规律．【详解】解：（1）如图(1),根据角的平分线的定义,知△AOC＝△BOC,故答案为：△AOC,△BOC；∠=∠AOC,所以射线OC_是△AOB的角平分线,（2）如图(2),BOC故答案为：△AOC,OC,△AOB；（1）（2）（3）（3）△由（2）“翻折”结论得30EOC AOE ︒∠=∠=,12DOF BOF BOD ∠=∠=∠, 而180180()BOD AOC AOE EOC ∠=︒-∠=︒-∠+∠180230120︒︒︒=-⨯=, 所以111206022DOF BOF BOD ︒︒∠=∠=∠=⨯=, 所以306090EOF EOC DOF ∠=∠+=︒+︒=︒；△当AOE m ∠=︒时,同理可得,EOC AOE m ∠=∠=︒,()1118029022DOF BOF BOD m m ︒︒︒︒∠=∠=∠=-=-, 所以()9090EOF EOC DOF m m ∠︒=︒︒︒=∠++-=,综上所述,发现EOF ∠始终是90°．【点睛】本题考查了角的平分线,角的平分线的基本作图,折叠的意义,折叠的应用,熟练掌握角的平分线的意义和折叠的意义是解题的关键．17．（1）12902a ⎛⎫=-︒ ⎪⎝⎭∠；（2）△13454a ⎛⎫=+︒ ⎪⎝⎭∠；△50° 【解析】【分析】（1）由平行线的性质得到△4=△B ′FC =α,由折叠的性质可知,△2=△BFE ,再根据平角的定义求解即可；（2）△由（1）知,△BFE =1902a ⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭,根据平行线的性质得到△BFE =△C ′GB =1902a ⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭,再由折叠的性质及平角的定义求解即可；△由（1）知,△BFE =△EFB ′=90°-12△1,由B ′F △C ′G 可知,△B ′FC +△FGC ′=90°,再根据折叠的性质得到△1+180°-2△3=90°,结合△3=△1+20°即可求解．【详解】解：（1）如图,由题意可知,A′E//B′F,△△4=△1=α,△AD//BC,△△4=△B′FC=α,由折叠的性质可知,△2=△BFE,△△BFE+△2+△B′FC=180°,△△2=12×（180°-α）=1902a⎛⎫-︒⎪⎝⎭；（2）△由（1）知,△BFE=90°-12α,△EF//C′G,△△BFE=△C′GB=1902a⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭,再由折叠的性质可知,△3+△HGC=180°-1902a⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭,△△3=△HGC=1454a⎛⎫+︒ ⎪⎝⎭；△由（1）知,△BFE=△EFB′=90°-12△1,由B′F△C′G可知,△B′FC+△FGC′=90°,△180°-2×(90°-12△1)+(180°-2△3)=90°,即△1+180°-2△3=90°,△△3=△1+20°,△△1=50°．【点睛】此题考查了平行线的性质,以及折叠的性质,熟记“两直线平行,同位角相等”、“两直线平行,内错角相等”及折叠的性质是解题的关键．。

专题：几何翻折变换（折叠问题）1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．2、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长．3、如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】1、解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。

在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。

∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=23t2=－23（舍去）．∴点P的坐标为（23，6）。

（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。

∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。

专题复习(五) 图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1 三角形中的折叠问题(·宜宾)如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若C(32，32)，则该一次函数的解析式为________．【思路点拨】 利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO ，AO 的长，进而得出A 、B 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB 的解析式．【解答】 连接OC ，过点C 作CD⊥x 轴于点D ，∵将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB，C(32，32)，∴AO ＝AC ，OD ＝32，DC ＝32，BO ＝BC ，则tan ∠COD ＝CD OD ＝33，故∠COD＝30°，∠BOC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，且∠CAD＝60°. 则sin60°＝CD AC ，则AC ＝DCsin60°＝1，故A(1，0)，sin30°＝CD CO ＝32CO ＝12.则CO ＝3，故BO ＝3，B 点坐标为(0，3)，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋3，把A(1，0)代入解析式可得k ＝－ 3. ∴直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋ 3.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．1．(·绵阳)如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（ ）A.34B.45C.56D.672．(·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC ＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．3．(·宜宾)如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________．4．(·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________．类型2 四边形及其他图形中的折叠问题(·南充)如图，在矩形纸片ABCD 中，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP ＞AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，求AB 的长．【思路点拨】 (1)由矩形的性质得∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ ＝∠AMP ＝∠DQC ，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD ；(2)设AP ＝x ，由折叠关系可得：BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x ，AM ＝1，根据△AMP∽△BPQ 得：AMBP＝AP BQ ，即BQ ＝x 2，根据△AMP∽△CQD 得：AP CD ＝AM CQ ，即CQ ＝2，从而得出AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋2－1＝x 2＋1，根据Rt △FDM 中∠DMF 的正弦值得出x 的值，从而求出AB 的值．【解答】 (1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD. 理由如下：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠B＝∠C＝90°.根据折叠可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ ＝∠BPQ，∴∠APM ＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°. ∵∠APM ＋∠AMP＝90°，∴∠BPQ ＝∠AMP，∴△AMP ∽△BPQ ， 同理：△BPQ∽△CQD. ∴△AMP ∽△BPQ ∽△CQD. (2)设AP ＝x ，∴由折叠关系，BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x.由△AMP∽△BPQ 得，AM BP ＝AP BQ ，即1x ＝xBQ ，得BQ ＝x 2.由△AMP∽△CQD 得，AP CD ＝AM CQ ，即x 2x ＝1CQ ，得CQ ＝2.∴AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2.∴MD ＝AD －1＝x 2＋1.∵在Rt△FDM 中，sin ∠DMF ＝35，∴2x x 2＋1＝35.解得x 1＝3，x 2＝13(不合题意，舍去)． 即AB ＝6.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．1．(·南充)如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′处，若AE ＝2，DE ＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．12B ．24C ．12 3D ．16 32．(·泸州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝24，tanC ＝2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为（ ）A．13 B.152C.272D．123．(·德阳)将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x＋b与此新图象的交点个数的情况有（）A．6种 B．5种 C．4种 D．3种4．(·成都)如图，在□ABCD中，AB＝13，AD＝4，将ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．5．(·内江)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝2，BC＝3，则EF的长为________．6．(·南充)如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD(包括端点)，设BA′＝x，则x的取值范围是________．7．(·绵阳)如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.(1)求证：△DEC≌△EDA；(2)求DF的值；(3)如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．参考答案类型1 三角形中的折叠问题1．B 提示：∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠B＝∠C＝60°.又∵折叠△ABC，使得点C 恰好与边AB 上的点D 重合，折痕为EF ，∴∠EDF ＝∠C＝60°，CE ＝DE ，CF ＝DF.∴∠ADE＋∠FDB＝120°.∴∠AED ＝∠FDB.∴△AED∽△BDF.∴AE BD ＝AD BF ＝DEFD .设等边△ABC 边长为6个单位，CE ＝x ，CF ＝y ，AE ＝6－x ，BC ＝6－y ，∴6－x 4＝26－y ＝x y ，解得x ＝145，y ＝72.∴x ∶y ＝4∶5，故选择B.2.65°3.1.54.(10，3)类型2 四边形及其他图形中的折叠问题1．D 2.A3.B 提示：由题意，易知y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)，顶点坐标为(1，4)，顶点关于x 轴对称点的坐标为(1，－4)．当直线y ＝x ＋b 过(－1，0)时，b ＝1，此时直线与新的函数图象只有一个交点；当b>1时，此时直线与新的函数图象无交点；当直线y ＝x ＋b 过(3，0)时，b ＝－3，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－3<b<1时，此时直线与新的函数图象有三个交点；当直线y ＝x ＋b 过(1，－4)时，b ＝－5，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－5≤b<－3时，此时直线与新的函数图象有四个交点；观察图象，易知：当b<－5时，此时直线与新的函数图象有二个交点；综上，直线y ＝x ＋b 与此新图象的交点的个数的情况有5种，故选B.4.35. 6 提示：作AH⊥BC 于H.∵分别以AE ，BE 为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处，∴DE ＝EF ，CE ＝EF ，AF ＝AD ＝2，BF ＝CB ＝3.∴DC＝2EF ，AB ＝5.∵AD∥BC，∠C ＝90°， ∴四边形ADCH 为矩形，∴AH ＝DC ＝2EF ，HB ＝BC －CH ＝BC －AD ＝1.在Rt△ABH 中，AH ＝AB 2－BH 2＝26，∴EF ＝ 6. 6.2≤x≤87.(1)证明：由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，∴AD ＝CE ，DC ＝EA ，∠ACD ＝∠CAE. 在△CED 与△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝AD ，DE ＝ED ，DC ＝EA ，∴△DEC ≌△EDA.(2)∵∠ACD＝∠CAE，∴AF ＝CF.设DF ＝x ，则AF ＝CF ＝4－x ，在Rt△ADF 中，AD 2＋DF 2＝AF 2，即32＋x 2＝(4－x)2，解得x ＝78，即DF ＝78.(3)由矩形PQMN 的性质得PQ∥CA， ∴PE CE ＝PQCA. 又∵CE＝3，AC ＝AB 2＋BC 2＝5.设PE ＝x(0＜x ＜3)，则x 3＝PQ 5，即PQ ＝53x.过E 作EG⊥AC 于G ，则PN∥EG，∴CP CE ＝PN EG. 又∵在Rt△AEC 中，EG ·AC ＝AE·CE，解得EG ＝125.∴3－x 3＝PN 125，即PN ＝45(3－x)．设矩形PQMN 的面积为S ，则S ＝PQ·PN＝－43x 2＋4x ＝－43(x －32)2＋3(0＜x ＜3)．∴当x ＝32，即PE ＝32时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为3.。

图形运动——翻折1.理解图形翻折的概念和性质；2.培养学生利用图形翻折的性质解决相关问题；3.培养学生体验动感过程和动态思维能力；4.培养学生分析问题、解决问题的能力。

知识结构一．图形翻折的性质和特征：二．图形翻折的常见题型：图形运动之翻折边长例1.如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BC =4， ∠ADC =30°，把△ADC 沿AD 所在直线翻折后点C 落在点C ′ 的位置，那么点D 到直线BC ′ 的距离是 ．（★★★）例 2.如下左图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 ．（★★★）例3.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，CD 是AB 边上的中线，将ACD ∆沿CD 所在的直线翻折后到达ECD ∆的位置，如果AB CE ⊥，那么=ABAC．（★★★）例4在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．（★★★★）例5.如图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是______．（★★★★★）例6.在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠AOB =45°，BD =2，将△ABC 沿直线AC 翻 折后点B 落在点'B 处，那么DB ′的长为 ．（★★★★★）例7.在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，若将△ABC 沿直线BD 翻折，使点C 落在直线AC 上的点 C ′处，AC ′＝3，则BC ＝ ．（★★★★★）我来试一试！1.如图，在直角坐标平面内，线段AB 垂直于y 轴，垂足为B ，且2AB =，如果将线段AB 沿y 轴翻折，点A 落在点C 处，那么点C 的横坐标是 ．（★★★）2.在三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图2），折痕DE 的长为 ．（★★★）3.在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠ADC=30°，将△ADC 沿AD 折叠，使C 点落在'C 的位置，若BC=4，则'BC 的长为 （ ）（★★★） A ．32 B.22 C.4 D.34．已知在三角形纸片ABC 中，∠C =90度，BC =1，AC =2，如果将这张三角形纸片折叠，使点A 与点B 重合，折痕交AC 于点M ，那么AM = ．（★★★）5.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 是△ABC 的角平分线，将△BCD 沿着直线BD 折叠，点C 落在点1C 处，如果5AB =，4AC =，那么sin ∠1ADC 的值是 ．6.如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若32=AB ，则AE 的长为（ ）（★★★★） A. 34 B. 6 C. 3 D. 41.如图1，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，点M 与点N 恰好重合，则AE :BE 等于（ ） （★★★）(A) 2:1； (B) 1:2； (C) 3:2； (D) 2:3．2.如图2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，75,ABC ︒∠=将梯形沿直线EF 翻折，使B 点落在线段AD 上，记作'B 点，连结'B B 、交EF 于点O ，若'90B FC ︒∠=，则:EO FO = ．（★★★★）3．如图3，把正△ABC 的外接圆对折，使点A'落在BC 的中点上，若BC=6，则折痕在△ ABC 内的部分DE 的长为 ．（★★★★）4．如图4，平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()1,2，联结OB ，将△ABC 沿直线OB 翻折，点A 落在点D 的位置，则点D 的坐标为 ．（★★★★）5.如图5，在△ABC 中，MN ∥AC ，直线MN 将△ABC 分割成面积相等的两部分．将△BMN 沿直线MN 翻折，点B 恰好落在点E 处，联结AE ，若AE ∥CN ，则:AE NC = ．（★★★★）6.如图6，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D 的直线折 叠， 使点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交AB 于点F.若BE:EC=m:n ，则AF:FB= ．（★★★★）7.如图7，将ABE ∆沿直线AC 翻折，使点B 与AE 边上的点D 重合，若5AB AC ==，9AE =，则CE = ．（★★★★★）图形运动之翻折角度例1.如图1，把直角三角形纸片沿着过点B 的直线BE 折叠，折痕交AC 于点E ，欲使直角顶点C 恰好落在斜边AB 的中点上，那么∠A 的度数必须是 ．（★★★）例2.如图2，在ABC ∆，AB AC =，点D 在边AB 上，将BDC ∆沿CD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，且AE DE =，那么_____A ∠=度．（★★★）例3.如图3，将正方形纸片ABCD 分别沿AE 、BF 折叠（点E 、F 是边CD 上两点），使点C 与D 在形内重合于点P 处，则=∠EPF ______________度．（★★★★）例4.如图4，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，58EFG ∠=，那么___AEG ∠=度． （★★★）例5.如图5，EF 为正方形ABCD 的对折线，将DAK ∆翻折，使顶点A 与EF 上的点G 重合，则____DKG ∠=．（★★★★）例6.如图6，等边OAB ∆直角坐标系中的位置如图示，折叠三角形使点B 与y 轴上的点C 重合，折痕为MN ，且CN 平行于x 轴，则___CMN ∠=．（★★★★）1.在R t △ABC 中，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△A CM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于__________度．（★★★）2.如下右图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，直线BD 交AC 于D ，把直角三角形沿着直线BD 翻折，使点C 落在斜边AB 上，如果△ABD 是等腰三角形，那么∠A 等于（ ）（★★★）A 、600B 、450C 、300D 、22.503.已知，点D E 、为ABC ∆两边的中点，将ABC ∆沿线段DE 折叠，使点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若=50B ∠，则BDF ∠的度数是_________．（★★★）4如图示，在矩形ABCD 中，点F 在CD 上，将矩形ABCD 沿着AF 翻折，点D 恰好落在BC 边上，如果70AFE ∠=，那么_____BAE ∠=度．（★★★）5.如图示，在Rt ABC ∆中，9050ACB A ∠=∠=，，将其折叠，使得点A 落在边CB 上的'A 处，折痕为CD ，则'_____A DB ∠=．（★★★）6.如图示，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着边AB AC 、边翻折180形成的，若=150BAC ∠，那么=_____θ∠．（★★★）7.在ABC ∆中，AC BC =， 90ACB ∠=︒，点D 是斜边AB 的中点，将ABC ∆沿某条直线折叠，使点C 落在点D 处，折痕MN 交AC 、BC 于M 、N ，则CND ∠的度数为 ．（★★★★）8.在ABC ∆中，90C ∠=︒，CM 是ACB ∠的平分线，将CBM ∆沿着CM 折叠，点B 落在AC 上的B '处，如果B A B M ''=，那B ∠的度数为 ．（★★★★）9.如图3，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点G 在BC 上，60BEG ∠>︒，将GBE ∆沿直线GE 折叠得到GHE ∆．联结AH ，则与BEG ∠相等的角的个数为 ．（★★★★）图形运动之翻折面积例1.有一块矩形的纸片ABCD ，AB=9，AD=6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为 ． （★★★）例2.平行四边形ABCD 中，3,4==BC AB ，∠B ＝60°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AFE ，那么△AFE 与四边形AECD 重叠部分的面积是 ．（★★★）例3.如图1，长方形纸片ABCD 中，AD ＝9，AB =3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，点C 至点C /，折痕为EF ．求△BEF 的面积是 ．（★★★★）例4.如图2，将矩形纸片ABCD 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上点P 处，已知︒=∠90MPN ，PM=3，PN=4，，那么矩形纸片ABCD 的面积为______．（★★★★）例5.如图3，正方形纸片ABCD 中，边长为4，E 是BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN 。

人教版数学八年级下期第十八章平行四边形翻折问题训练一、选择题1.如图所示，小明将一张矩形纸片ABCD分别沿EF，FG，GH，HE翻折，且使折叠后点A和点B的对应点为同一点M，点C和点D的对应点为同一点N，已知AD＝8，AB＝6，则四边形EFGH的周长是（）A. 15B. 152C. 87D. 472.如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE=1，则△CDF的面积是（ ）A. 1+324B. 62+8C. 32+4D. 3223.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的F点处，若△FDE的周长为14，△FCB的周长为22，则FC的长度为（ ）A. 4B. 6C. 5D. 34.如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC上的一点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当AB=2CF时，则NM的长为（ ）A. 12B. 1 C. 32D. 545.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E为AD的中点，点F是AB边上任意一点，现将△AEF沿EF翻折，点A的对应点为A′，则当△A′BC面积最小时，折痕EF的长为（ ）A. 32B. 2C. 22D. 3226.如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（ ）A. 23B. 34C. 43D. 32二、填空题7.如图，将矩形纸片ABCD沿直线AF翻折，使点B恰好落在CD边的中点E处，点F在BC边上，若CD=6，则FC=______．8.如图，把菱形ABCD沿折痕AH翻折，使B点落在BC延长线上的点E处，连结DE，若∠B=32°，则∠CDE=______°．9.如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD=2AB，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在BC上(如图中的点A’)，折痕交AB于点G，则∠ADG=______度．10.如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别为AB、CD上的点，∠CFE=60°，将四边形BCFE沿EF翻折，得到四边形B′C′FE，C′恰好落在AD边上，B′C′交AB于G，则GE的长是______．11.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60∘，点M是AD边的中点，连接MC，过点M将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为________．12.如图，正方形ABCD的边长为6，E为边AD上一点，连接BE，把△ABE沿BE翻折，得到△BEG，延长EG交DC于点P，EF平分∠DEP，过点F作FH⊥EP，垂足为H.当EH=GH时，BP的长为_________．三、解答题13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△ODC沿CD翻折，点O落在点E处．求证：四边形OCED是菱形．14.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=8，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP（点A落在点E处），PE与CD相交于点O，且OE=OD．（1）求证：△PDO≌△GEO；（2）求DP的长．15.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE翻折，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB=3，AD=5，求四边形CEFG的面积.16.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D是AB的中点，E是BC上的一点，将△ACE沿AE翻折，点C落在AB边上的F处.（1）求BE的长；（2）若CD交AE于点G，连接GF，证明四边形CEFG是菱形.17.将长方形纸片ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E.∠DBC=15°，CD=3cm.（1）求证：EB=ED（2）计算AE的长（3）计算长方形ABCD的周长和面积.18.已知点P 为正方形ABCD 的边AD 上的一个动点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP位置，BE 延长线交射线CD 于F．（1）如图1，当点P 为AD 的中点时，求证：AB＋DF＝BF；（2）如图2，若AB＝6，AP＝4，求EF 的长；（3）如图3，BF 延长线交射线AD 于G，PE 延长线交BC 延长线于H，Q 为BC 延长线上一点，当四边形PHQG 为菱形时，求∠ABP 的大小．参考答案1.C2.A3.A4.A5.D6.C7.38.429.1510.4-2311.7-112.626513.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DO=CO，由折叠可得，OD=ED，OC=EC，∴OD=ED=OC=EC，∴四边形OCED是菱形．14.证明：在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∴△PDO≌△GEO（ASA）∠DOP=∠EOG（2）∵△PDO≌△GEO；∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=8-x，DG=x，∴CG=10-x，BG=10-（8-x）=2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即64+（10-x）2=（2+x）2，解得x=203∴DP=4315.解：（1）∵将△BCE沿BE翻折，得到△BEF，∴EF=EC，∠FEG=∠CEG，∵FG∥CE，∴∠CEG=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=FG，∴FG=CE，∴四边形FGCE是平行四边形，又∵EF=FG，∴四边形CEFG是菱形；（2）由折叠的性质，BF=BC，EF=EC，∵AB=3，AD=5，∴BF=5，∴AF=4，∴FD=1，设EC=x，则EF=x，DE=3-x，在Rt △DEF 中，x 2=1+（3-x ）2，∴x =53，延长FG 交BC 于H ，∵FG ∥CD ，∴GH ⊥BC ，∴S △GCE =S △BCE -S △BCG ，即S △GCE =12×3×53-12×3×（3-53）=12，∴四边形CEFG 的面积=2S △GCE =1．16.解：（1）由题意得：AC =BC =2,,∴∠B =∠BAC =45° ,∴AB =22，∵AF =AC =2，∴FB =22−2，∵∠B =45° ,∠ EFB =90° ,∴△EFB 为等腰直角三角形，∴EB =4−22；（2）∵△ABC 是等腰直角三角形，且点D 是AB 的中点， ，，∴CD//EF ，，又，，∴CG =CE =EF ，∴四边形CEFG 为平行四边形，∵CE =EF ，∴四边形CEFG 是菱形.17.解：（1）证明：∵将长方形纸片沿BD 翻折∴∠CBD =∠C 1BD∴AD//BC∴∠EDB=∠CBD.∴∠EDB=∠C1BD.∴EB=ED；（2）四边形ABCD是长方形纸片∴AB=CD=3cm∠A=90°∵∠DBC=15°∴∠DBC=∠C1BD=∠EDB=15°∴∠AEB=30°.∴在Rt△AEB,BE=6.∴AE=33；（3）∵长方形ABCD中，AD=6+33,CD=3.∴长方形ABCD周长：18+63面积：18+93．18.证明：（1）连接PF，由题意，PE=PA=PD，∠PEF=90∘=∠D，又∵PF=PF，∴R t∆PDF≌R t∆PEF，∴DF=EF，∴AB+DF=BE+EF=BF；解：（2）延长BP、CD交于点G，设EF=x，∵AB //CD，∴∠G=∠ABP=∠PBF，∴GF=BF=6+x，∵AB //CD，∴∆ABP∽∆DGP，∴DG AB =DPAP，∴DG6=24，∴DG=3，∴DF=GF-DG=3+x，∵PF2=PD2+DF2=PE2+EF2，∴22+(3+x)2=x2+4，解得：x=12，即EF的长为12；（3）如图，∵四边形PHQG 为菱形，∴PG=PH，∵AD //BC，∴∠APB=∠PBH，∵∠APB=∠BPH，∴∠PBH=∠BPH，∴BH=PH，∴PG=BH，∴四边形PBHG是平行四边形，又∵PH⊥BG，∴四边形PBHG 为菱形，∴PB=PG，∴∠PGB=∠PBG=∠ABP，∵∠ABG+∠PGB=90∘，∴3∠ABP=90∘，∴∠ABP=30∘.。

人教版数学八年级下期第十八章平行四边形翻折问题训练一、选择题1.如图,在正方形ABCD 中,AB =4,E 是CD 的中点,将△BCE 沿BE 翻折,得到△BFE ,连接DF ,则DF 的长度是（ ）A.55 B. 255 C. 355 D. 4552.如图,▱ABCD 中,点E 在边BC 上,以AE 为折痕,将△ABE 向上翻折,点B 正好落在CD 上的点F 处,若△FCE 的周长为7,△FDA 的周长为21,则FD 的长为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 83.如图，在▱ABCD 中，AB =5，AD =6，将▱ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为（ ）A. 3B. 12C. 15D. 44.如图所示,在矩形ABCD 中,E 为AD 边上一点,将矩形沿BE 翻折后,点A 的对应点为A ',延长EA '交BC 于点F ,若∠ABE =35∘,则∠BFE 的大小为( )A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘5.如图所示，在矩形ABCD中，AC=13，AD=5，O是AC的中点，E为AB上任意一点，连接EO，将△AOE沿OE翻折至△A′OE，A的对应点为A′，连接A′C，当A′E⊥AB时，求A′C的长为（ ）A. 4B. 32C. 732D. 7226.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边B′处，若AE=3，DE=9，∠AEF=120°，则矩形ABCD的面积是（ ）A. 36B. 363C. 48D. 483二、填空题7.如图,E为▱ABCD的边AD上一点,将△ABE沿BE翻折,得到△FBE,点F在BD上,且EF=DF.若∠C=54∘,则∠ABE= °.8.如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD，FC=a，FD=b，则▱ABCD的周长为______ .9.如图，平行四边形ABCD中，点E在AD上，以BE为折痕，把△ABE向上翻折，点A正好落在CD边的点F处，若△FDE的周长为6，△FCB的周长为20，那么CF 的长为______．10.如图，四边形ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将∠A翻折，使得点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，则EG＝________cm．11.如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ΔABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为7，ΔFCB的周长为23，则FC的长为．12.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=45 ∘，AD=2，E，H分别为边AB，CD上一点．将平行四边形ABCD沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C，若FG⊥CD，C为FG的中点，则EF的长度为__________．三、解答题13.如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM，将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，连接DM．当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．14.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于F．（1）求证：△FDC≌△FEA（2）若AB=4，BC=6，求图中阴影部分的面积．15.如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD．（1）求证：OP＝OF；（2）若设AP＝x，试求CF的长（用含x的代数式表示）；（3）求AP的长．16.已知长方形ABCD中，AD=10cm,AB=6cm,点M在边CD上，由C往D运动，速度为1cm/s，运动时间为t秒，将△ADM沿着AM翻折至△AD´M，点D对应点为D´，AD´所在直线与边BC交于点P.（1）如图1，当t=0时，求证：PA=PC；（2）如图2，当t为何值时，点D´恰好落在边BC上；（3）如图3，当t=3时，求CP的长.17.已知矩形ABCD，把△BCD沿BD翻折，得△BDG，BG，AD所在的直线交于点E，过点D作DF∥BE交BC所在直线于点F．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若AB=8，AD=4，求四边形BEDF的面积．18.如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=12，P为AD上一点，将▵ABP沿BP翻折至▵EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，BE与CD交于点G．（1）求证：AP=DG；（2）求线段AP的长．参考答案1.D2.C3.D4.D5.D6.B7.49.58.4a+2b9.710.43−611.8.12.2-213.证明：∵AB∥DM，∴∠BAM=∠AMD，∵△ADC是由△ABC翻折得到，∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，∴∠DAM=∠AMD，∴DA=DM=AB=BM，∴四边形ABMD 是菱形．14.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠B =∠D =90°，∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠E =∠B ，AB =AE ，∴AE =CD ，∠E =∠D ，在△AEF 与△CDF 中，∠E =∠D∠AFE =∠CFD AE =CD ，∴△AEF ≌△CDF （AAS ）；（2）∵AB =4，BC =6，∴CE =AD =6，AE =CD =AB =4，∵△AEF ≌△CDF ，∴AF =CF ，EF =DF ，∴DF 2+CD 2=CF 2，即DF 2+42=（6-DF ）2，∴DF =53，∴阴影部分的面积=S △ACD -S △CDF =12×4×6-12×4×53=263．15.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠A =∠C =90°，由翻折的性质可知：∠E =∠A =90°，∴∠E =∠D ，在△ODP 和△OEF 中，∠D =∠EOD =OE ∠DOP =∠EOF，∴△ODP ≌△OEF （ASA ）．∴OP =OF ．（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =8，∵△ODP ≌△OEF （ASA ），∴OP =OF ，OD =OE ．∴DF =EP ．∵AP =PE =DF =x ，∴CF =8-x ．（3）∵AD =BC =6，PA =PE =DF =x ，∴PD =EF =6-x ，CF =8-x ，BF =BE -EF =8-（6-x ）=2+x ，在Rt △FCB 根据勾股定理得：BC 2+CF 2=BF 2，即62+（8-x ）2=（x +2）2，解得：x =4.8，∴AP =4.8．16.证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠DAC =∠ACB ，∵折叠∴∠DAC =∠D 'AC∴∠ACB =∠D 'AC∴AP =PC（2）∵折叠∴AD =AD '=10cm ，DM =D 'M ，在Rt △ABD '中，BD '=AD′2−AB 2=8cm ，∴CD '=BC -BD '=10-8=2cm ，在Rt △D 'MC 中，D 'C 2+CM 2=D 'M 2，∴4+CM 2=（6-CM ）2，∴CM =83cm∴t =831=83（3）如图，连接MP ，∵t=3，∴CM=3cm，∴DM=CD-CM=3cm，∵折叠∴AD=AD'=10cm，DM=D'M∴D'M=CM，且MP=MP∴Rt△CMP≌Rt△D'MP（HL）∴CP=D'P在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，∴36+（10-CP）2=（10+CP）2，cm.∴CP=91017.解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC，根据题意可知△BCD≌△BDG，∴∠DBG=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，∵AD∥BC，DF∥BE，∴四边形BEDF为平行四边形，又∵DE=BE，∴四边形BEDF为菱形；（2）设菱形BEDF的边长为x，则AE=DE-AD=x-4，在Rt△AEB中，BE2=AE2+AB2，即x2=（x-4）2+82，解得x=10，∴菱形BEDF的面积=DE•AB=10×8=80．18.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=12，CD=AB=16，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOG，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，∴AP=DG；（2）解：如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=12，CD=AB=16，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=16，在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOG，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=12-x，DG=x，∴CG=16-x，BG=16-（12-x）=4+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即122+（16-x）2=（x+4）2，解得：x=9.6，∴AP=9.6，第11页，共11页。

八年级数学翻折变换(折叠问题)参考答案与试题解析work Information Technology Company.2020YEAR八年级数学翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．2．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则点F到BC边的距离是（）A．8B．12C．D．【分析】作EM⊥AB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得出FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，得出BF＝（16+x），求出FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF＝21．作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，由直角三角形的性质得出BN＝BF＝，得出FN＝BN＝即可．【解答】解：作EM⊥AB于M，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB，∠B＝60°，∵EM⊥AB，∴∠BEM＝30°，∴BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，∵AF：BF＝2：3，∴BF＝（16+x），∴FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2＝x2，解得：x＝19，或x＝﹣16（舍去），∴BF＝（16+19）＝21，作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，∴BN＝BF＝，∴FN＝BN＝，即点F到BC边的距离是，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB 边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（）A．B．C．D．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′H＝AB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′＝＝＝，由折叠的性质得到BF＝BB′＝，DE ⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵AB′＝AC＝，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′＝＝＝，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BF＝BB′＝，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴＝，∴＝，∴EF＝，故答案为：．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）A．B．C．3D．【分析】由折叠的性质可知∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．求出∠ECD＝30°．由三角形的外角性质得出∠E＝75°﹣30°＝45°，过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，由直角三角形的性质得出CH＝AC＝1，AH＝CH＝．得出HD＝AD﹣AH＝2﹣．求出EH ＝CH＝1．得出DE＝EH﹣HD＝﹣1，AE＝AD+DE＝1+，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝1，BM＝AM＝．由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：在Rt△ACH中，CH＝AC＝1，AH＝CH＝．∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴EH＝CH＝1．∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴AE＝AD+DE＝1+，∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，∴∠ABM＝30°，∴AM＝AB＝1，BM＝AM＝．∴△ABE的面积＝AE×BM＝×（1+）×＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF，点E落在边CD上，若AB＝5，BC＝4，则BF的长为（）A．B．C．D．【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，根据折叠的性质得到AE＝AB＝5，EF＝BF，根据勾股定理得到DE＝＝＝3，求得CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵将△ABF沿AF折叠为△AEF，∴AE＝AB＝5，EF＝BF，∴DE＝＝＝3，∴CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，∵EF2＝CF2+CE2，∴x2＝（4﹣x）2+22，解得：x＝，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的矩形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（）A．B．C．D．26【分析】由勾股定理得出BD＝＝13，由折叠的性质可得ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，得出∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝1，设AM＝NM ＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NM ＝AM＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∴BD＝＝＝13，由折叠的性质可得：ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，∴∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝13﹣12＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，NM2+BN2＝BM2，∴x2+12＝（5﹣x）2，解得：x＝，∴NM＝AM＝，∴△MNB的面积＝BN×NM＝×1×＝；故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质．熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7．如图，在△ABC中∠ACB＝90°、∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形、将四边形ACBD折叠，使点D与点C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的是（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH 中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将△ABE沿AE翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为（）A．B．C．D．【分析】由折叠的性质可得AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，由中点性质可得B'E＝2C'E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求可求CE的长，由“AAS”可证△AB'F≌△DC'F，可得C'F＝B'F＝，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°由折叠的性质可得：AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，∵点C'恰好为EB'的中点，∴B'E＝2C'E，∴BE＝2CE，∴BC＝AD＝3EC，∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，AD2＝AE2+DE2，∴1+4CE2+1+CE2＝9CE2，解得：CE＝，∴B'E＝BE＝，BC＝AD＝，C'E＝，∴B'C'＝，在△AB'F和△DC'F中，∴△AB'F≌△DC'F（AAS），∴C'F＝B'F＝，∴EF＝C'E+C'F＝，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出CE 的长是本题的关键．9．如图，▱ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（）A．2B．3C．D．【分析】过B′作B′H⊥AD于H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝B′H＝AB′，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，求得∠AEB′＝60°，解直角三角形得到HE＝B′H＝，B′E＝2，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB，推出AE＝CE，根据全等三角形的性质得到DE＝B′E＝2，求得AD＝AE+DE＝3+3，过A作AG⊥BC于G，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过B′作B′H⊥AD于H，∵∠B′AE＝45°，∴△AB′H是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，∴AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，∴∠AEB′＝60°，∴AH＝B′H＝×6＝3，∴HE＝B′H＝，B′E＝2，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∵∠AB′E＝∠B＝∠D，∠AEB′＝∠CED，∴△AB′E≌△CDE（AAS），∴DE＝B′E＝2，∴AD＝AE+DE＝3+3，∵∠AEB′＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，∴∠BAC＝75°，∴AC＝AD＝BC，∠ACB＝30°，过A作AG⊥BC于G，∴AG＝AC＝，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB 的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的值为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH 中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，∴AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．二．填空题（共7小题）13．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为（6+4）厘米．【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，∴BE＝AE，AG＝GC，∵∠AGE＝30°，AE＝EG＝2厘米，∴AG＝6厘米，∴BE＝AE＝2厘米，GC＝AG＝6厘米，∴BC＝BE+EG+GC＝（6+4）厘米，故答案为：（6+4），【点评】此题考查翻折问题，关键是根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE＝DB＝CD＝AB，∴∠DEC＝∠DCE＝∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE＝∠DCB，∠ACB＝90°，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DCE＝∠ACE＝∠DCB＝30°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝CD，∴AC＝DE，∵AC∥DE，AC＝CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠B＝30°，∴AC＝，∴AE＝．【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则CE＝2．【分析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD＝2DF，A'F＝EF，通过勾股定理可得AB的长度，可可求AD，DF，BF的长度，可得BF＝DF，可证BEDA'是平行四边形，可得BE＝A'D＝2，根据勾股定理可得CE的长度【解答】解：如图连接BE∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4∴AB＝4∵D是AB中点∴BD＝AD＝2∵折叠∴AD＝A'D＝2，S△ADE＝S△A'DE∵S△DEF＝S△ADE∴AD＝2DF，S△DEF＝S△A'DE∴DF＝，A'F＝EF∴BF＝DF＝，且A'F＝EF∴四边形BEDA'是平行四边形∴A'D＝BE＝∴根据勾股定理得：CE＝2故答案为2【点评】本题考查了折叠问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是用面积法解决问题．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，tan A＝，BC＝，点D是AB边上一点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折得△B1CD，DB1⊥AC且交于点E，则DE＝．【分析】作BF⊥AC于F，证明△B1EC≌△CFB（AAS），得出B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，得出BD＝B1D＝3a+1，得出方程，解方程即可．【解答】解：作BF⊥AC于F，如图所示：则∠AFB＝∠CFB＝90°，在Rt△ABF中，tan A＝＝，AB＝5，∴AF＝4，BF＝3，sin A＝＝，∴CF＝AC﹣AF＝1，由折叠的性质得：B1C＝BC＝，∠CB1E＝∠ABC，B1D＝BD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠CB1E＝∠BCF，∵DB1⊥AC，∴∠B1EC＝90°＝∠CFB，在△B1EC和△CBF中，，∴△B1EC≌△CFB（AAS），∴B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，∴BD＝B1D＝3a+1，∵AD+BD＝AB，∴3a+1+5a＝5，∴a＝，∴DE＝；故答案为：【点评】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及方程的解题思想，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形全等是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC沿斜边AC折叠，使点B落在B’，点D，点E分别为BC和AB′上的点，连接DE交AC于点F，把四边形ABDE沿DE 折叠，使点B与点C重合，点A落在A′，连接AA′交B′C于点H，交DE于点G．若AB＝3，BC＝4，则GE的长为．【分析】设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，可得x2＝32+（4﹣x）2，解得x＝，由△CA′H∽△AGE，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：由题意四边形ABCA′是矩形，BD＝CD＝2，AG＝GA′＝2，∵BC∥AA′，∴∠BCA＝∠CAA′，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠HCA＝∠HAC，∴HC＝HA，设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝，∴A′H＝4﹣＝，由△CA′H∽△AGE，可得：＝，∴＝，∴EG＝．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为6．【分析】作CM⊥AB于M，由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，由平行四边形的性质得出AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，求出AD＝AC，AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC＝30°，由直角三角形的性质得出CM＝，证出AD＝BC＝2CM＝3，再由勾股定理即可得出结果．【解答】解：作CM⊥AB于M，如图所示：由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，∠BAD＝∠BCD＝180°﹣∠B＝150°，∴∠B'AD＝150°﹣30°﹣30°＝90°，∵BC＝AC，∴AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，∴CM＝，∴AD＝BC＝2CM＝3，在Rt△AB'D中，由勾股定理得：B'D＝＝＝6；故答案为：6．【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出∠B'AD＝90°是解题关键．19．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC 边上的F点处．已知折痕AE＝10，且CE：CF＝4：3，那么该矩形的周长为96．【分析】由CE：CF＝4：3，可以假设CE＝4k，CF＝3k推出EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵CE：CF＝4：3，∴可以假设CE＝4k，CF＝3k∴EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，∵∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠CEF，∴△ABF∽△FCE，∴∴∴BF＝12k∴AD＝BC＝15k，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2+DE2，∴1000＝225k2+25k2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴矩形的周长＝48k＝96，故答案为：96【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．。

图形操作问题图形操作问题是当今中考命题的热点，是数形结合思想的拓展与升华，这类中考题，立足基础，突出创新与数学思想方法的考察.它有助于学生发展空间观念和创新能力的培养.解决这类题目，要求大家积极参与操作、实验、观察、猜想、探索、发现结论全过程，有效地提高解答操作题的能力.题型之一折叠与翻折问题例1 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=32，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 .【思路点拨】先根据翻折的性质确定D点的位置，然后再运用锐角三角函数、勾股定理以及中位线定理等知识可求出BD的长.【解答】如图，先规范地绘制出图形，如图，取AC中点E，作线段BE的垂直平分线，那么该直线为直线l，与BC交于D点，连接DE，则DB=DE.作BC边的垂线AG、EF.∵AB=AC，BC=8，tanC=32，∴GC=4，AG=6.易知EF为△AGC的中位线，EF=3，CF=2. 设BD=x，则DF=6-x.在Rt△EDF中，∠EFD=90°，DF2+EF2=DE2，即(6-x)2+32=x2，解得x=154.∴BD=154.方法归纳：图形的折叠与翻折都属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件.另外折叠和翻折还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质.1.(·宁波)用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是( )2.(·泰安)如图1是一直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图2，再将图2沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图3，则折痕DE的长为( )A. 83cm B.23cm C.22cm D.3 cm3.(·德州)如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝25.以上结论中，你认为正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.(·潜江调考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为( )A.2B.2C.22D.35.(·襄阳)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形.其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.①④6.(·宜宾)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′= .7.(·南充)如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD(包括端点)，设BA′=x，则x的取值范围是 .8.(·随州)如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕（如图2）.设AE=x（0<x<2），给出下列判断：x=1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x=12时，EF+GH>AC;③当0<x<2时，六边形AEFCHG面积的最大值是11 4；④当0<x<2时，六边形AEFCHG周长的值不变.其中正确的是 .（写出所有正确判断的序号）题型之二分割与剪拼问题例2 (·淄博)矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=4.(1)如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形，你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；(2)请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形.要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪纸，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图(使正方形的顶点都在网格的格点上).【思路点拨】(1)要在矩形纸片中裁剪出的一个正方形面积最大，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽；(2)先根据剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等求出正方形的边长为25，从而借助勾股定理在网格中确定4和2作为直角边构造直角三角形，将原长方形剪成4个直角边为4和2的直角三角形和4个边长为1的小正方形，然后把直角三角形的斜边作为新正方形的边长，通过旋转等图形变换拼出新正方形.【解答】(1)能.要在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形面积最大，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽，即4，所以最大面积是16.(2)由剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等可知，剪拼成的面积最大的正方形=25.所以先将长方形的长边分为4和1两部分，然后将4×4的大正方的边长是45形部分剪成4个斜边为25的直角三角形，将1×4的长方形剪成4个边长为1的小正方形，具体剪法如下图：方法归纳：解决有关图形的裁剪和剪拼问题，关键是要分清裁剪和剪拼的区别，裁剪只包含“剪”的过程，而剪拼既包含“剪”的过程，又包含“拼”的过程，两者有着本质的区别，正确区分二者的意义是正确解决本题的关键.解决剪拼问题的突破口是剪拼前后的图形的面积不变.1.(·广东)如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是 .2.(·绵阳)对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G 分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”.若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为 .3.(·宁波)用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角不再利用).A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面.现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法.(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数；(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？4.(·宿迁)如图是两个全等的含30°角的直角三角形.(1)将其相等边拼在一起，组成一个没有重叠部分的平面图形，请你画出所有不同的拼接平面图形的示意图；(2)若将(1)中平面图形分别印制在质地、形状、大小完全相同的卡片上，洗匀后从中随机抽取一张，求取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率.5.(·宁波)课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法.我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种) (2)△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；(3)如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长.题型之三学具操作问题例3 (·广东)有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=6.在三角板DEF 中，∠FDE=90°，DF=4，3将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动.(1)如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，求∠EMC的度数和BF的长；(2)如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求CF和BF的长；(3)在三角板DEF的运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x的取值范围.【思路点拨】(1)利用三角形的外角性质或者三角形的内角和即可求得答案；(2)解直角三角形AFC即可；(3)本题需要分类讨论，以点C在三角板DEF的上方、内部、下方三种情况来讨论，同时注意点C分别在DE、FE上时BF的长.【解答】(1)三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∠E=30°，∠EMC=15°.三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，BF=AB-DF=2.(2)由平移可知：∠ACF=∠E=30°.在Rt△ACF中，cos∠ACF=ACCF，tan∠ACF=AFAC,∴CF=ACcos ACF∠=630cos︒=43.AF=AC·tan∠ACF=6×tan30°=23.∴BF=AB-AF=6-23.(3)如图，分三种情况讨论：过点M作MN⊥AB于点N,则MN∥DE∥AC，∠NMB=∠B=45°, ∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x.∴△FMN∽△FED.∴MNDE=FNFD,43=4MN x-.解得33+x.①当0≤x≤2时，如图4，设DE与BC相交于点G,则DG=DB=4+x.y=S△BGD-S△BMF=12·DB·DG-12BF·MN=12(4+x)2-12x·332+x.即y=-13+x2+4x+8;②当2＜x≤6-23时，如图5.y=S△BCA-S△BMF=12·AC2-12·BF·MN=12×36-12x·33+x.即y=-33+x2+18;③当6-23<x≤6时，如图6，设AC与EF交于点H. ∵AF=6-x，∠AHF=∠E=30°，∴AH=3AF=3(6-x).y=S△FHA=12(6-x)·3(6-x)=3(6-x)2.综上所述，当0≤x≤2时，y=-134+x2+4x+8;当2<x≤6-23时，y=-334+x2+18;当6-23<x≤6时，y=32(6-x)2.方法归纳：本题属于“操作类”问题，解题的重要方法是“实际操作”，即在解题的时候，用三角板进行了实际操作，会很快就求得第(1)问的结论，对于第(3)问的结论，通过“操作”可确定只需分三种情况讨论.1.(·泰安)将两个斜边长相等的一副三角板纸片如图1放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°.把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图2，连接D1B，则∠E1D1B的度数为( )A.10°B.20°C.7.5°D.15°2.(·孝感调考)如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是度.3.(·娄底)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图1所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM=AN；(2)当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.4.将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短的直角边长为3.(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由；(2)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由；(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为多少时四边形ABC1D1为矩形？5.(·衡阳)将一副三角尺如图1摆放在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF 中，∠EDF=90°，∠E=45°，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.(1)求∠ADE的度数；(2)如图2，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断PMCN的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出PMCN的值；反之，请说明理由.参考答案题型之一折叠与翻折问题1.D2.A提示：由图形的操作可知：∠DBC=30°,∠DC′A=90°,∠EDC′=30°,∵BC=4 cm,∴DC′=DC=433cm,∴DE=83cm.3.C提示：易证四边形CFHE是平行四边形，对角线HC与EF垂直，故四边形CFHE是菱形，①正确；∵DE的长度无法确定，只有当DE=433时，EC才平分∠DCH.故②不正确；当H与A重合时，BF最小为3，当点E与点D重合时，BF最大为4.故③正确；当点H与点A重合时，求出EF＝25.故④正确.4.B提示：连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP′为菱形，则PP′⊥BC，CD＝12CQ=12（6-t），∴BD=6-12（6-t）=3+12t.在Rt△BPD中，22，而2，∴22212t)，解得t=2.故选B.5.D提示：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出3，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PFB=60°，BF=PF，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确.6.3 27.2≤x≤8提示：当折痕经过B点时，BA′=BA=8,此时x最大；当折痕经过D点时，x=2，此时x最小.8.①④题型之二 分割与剪拼问题1.平行四边形2.143.(1)裁剪出的侧面个数为：6x+4(19-x)=（2x+76）个，裁剪出的底面个数为：5(19-x)=（-5x+95）个；(2)由题意得 2763x +=5952x -+.解得x=7. 2763x +=30. 答：能做30个盒子.4.(1)如图：(2)其中轴对称图形有4个，所以取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率为46=23. 5.(1)如图：(2)其中轴对称图形有4个，所以取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率为46=23. 题型之三 学具操作问题1.D2.1443.(1)证明：∵∠α+∠EAC=90°，∠NAF+∠EAC=90°，∴∠α=∠NAF. 又∵∠B=∠F,AB=AF ，∴△ABM ≌△AFN.∴AM=AN.(2)四边形ABPF 是菱形.理由：∵∠α=30°，∠EAF=90°,∴∠BAF=120°.又∵∠B=∠F=60°,∴∠B+∠BAF=60°+120°=180°，∠F+∠BAF=60°+120°=180°， ∴AF ∥BC ，AB ∥EF ，∴四边形ABPF 是平行四边形.又∵AB=AF,∴四边形ABPF 是菱形.4.(1)是.理由：∵△ABD ≌△CDB ，∴AD=BC ，AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形.(2)是.理由:∵∠ABD=∠C1D1B1=30°，∴AB∥C1D1.又∵AB=C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形.(3)由(2)知四边形ABC1D1是平行四边形，∴只要使∠ABC1=90°,四边形ABC1D1即为矩形.又∵∠ABD=30°，∴∠B1BC1=60°.∴∠BC1B1=30°.设BB1=x，则BC1=2x.由勾股定理，得BC21-BB21=B1C21.即(2x)2-x2=32.解得3.即当点B3,四边形ABC1D1为矩形.5.(1)由题意知：CD是Rt△ABC中斜边AB上的中线，∴AD=BD=CD. ∵在△BCD中，BD=CD且∠B=60°，∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD=∠BDC=60°.∴∠ADE=180°-∠BDC-∠EDF=180°-60°-90°=30°.(2)PMCN的值不会随着α的变化而变化，理由如下：∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠MPD=∠BCD=60°.∵∠MPD=∠BCD=60°，∠PDM=∠CDN=α，∴△MPD∽△NCD，∴PMCN=PDCD.又由(1)知AD=CD，∴PMCN=PDCD=PDAD.∵在△APD中，∠A=∠ADE=30°，∴在等腰△APD中，PDAD3=33.∴PMCN=PDCD=PDAD=33.。

专题二十：角度的计算（8）——折叠问题专题导入如图，将长方形ABCD折叠，使得点D与点B重合。

思考：①∠BEF与∠DEF的关系；②∠CFE与∠D’FE的关系。

方法点睛折叠的本质是轴对称，折叠前后的图形是“一样的”，所以有以下两个常用结论：①对应角相等；②对应边相等。

在折叠的图形中计算角度，必然用上对应角相等的性质。

典例精讲1．如图，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕，若EA′恰好平分∠FEB．（1）判断∠FEA与∠A′EB的大小关系，并说明理由；（2）求∠FEB的度数．举一反三2．如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，若∠DEF ＝75°，则∠AED′等于多少？3．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF．将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得到折痕EC；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．（1）图中有哪几条角平分线，他们各是哪个角的平分线？（2）如果射线NA′平分∠DNE，那么射线CB′平分∠ECF吗？为什么？专题过关4．如图，把一张长方形的纸片沿着EF折叠，点C、D分别落在M、N的位置，且∠MFB=1 2∠MFE．则∠AEN＝（）A．30°B．36°C．45°D．72°5．如图所示，把一张长方形的纸片按折痕EF那样折叠后，C、D两点分别落在N、M点处，若∠AEM＝80°，则∠DEF的度数为．6．如图，将长方形纸片的两角分别折叠，使顶点B落在B′处，顶点A落在A′处，EC、ED为折痕，并且点E、A′、B′在同一条直线上．若∠BED＝32°，求∠CED和∠AEC 的度数．7．如图1，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在点A'处，BC为折痕．（1）如图1，若∠1＝25°，求∠A'BD的度数；（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与BA'重合，折痕为BE，如图2所示，求∠CBE的度数．8．如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，M、N分别在射线BC和射线AD上，连接EM，EN，将三角形MBE沿EM折叠（把物体的一部分翻转和另一部分贴拢），点B落在点B′处；将三角形NAE沿EN折叠，点A落在点A′处．（1）若∠MEB＝30°，∠NEA＝45°，用直尺、量角器画出射线EB′与EA′；（2）若∠MEB＝30°，∠NEA＝45°，求∠A'EB'的度数；（3）若∠MEB＝α，∠NEA＝β，用含α、β的代数式表示∠A'EB'的度数．9．把一长方形（四个角为90°）纸片ABCD的一角折起来，折痕为AE，使∠EAB′＝∠DAB′，如图1．（1）求∠EAD；（2）再沿AC对折长方形ABCD，使B点落在F点上，如图2．若∠EAF＝80°，求∠CAB′．10．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．（1）若∠BEB′＝110°，则∠BEC＝°，∠AEN＝°，∠BEC+∠AEN ＝°．（2）若∠BEB′＝m°，则（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．11．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．【参考答案】1．解：（1）∠FEA＝∠A′EB，理由如下：由翻折的对称可得：∠FEA＝∠FEA'，∵EA′恰好平分∠FEB，∴∠FEA'＝∠A′EB，∴∠FEA＝∠A′EB；（2）由（1）可知，∠FEA＝∠A′EB＝∠FEA'，又∵∠FEA+∠A′EB+∠FEA'＝180°，∴∠FEA＝∠A′EB＝∠FEA'＝60°，∴∠FEB＝∠FEA'+∠A′EB＝60°+60°＝120°；2．解：由折叠可得，∠DEF＝∠D'EF＝75°，∴∠DED'＝150°，∴∠AED'＝180°﹣∠DED'＝30°．3．解：（1）由翻折可得∠AEN＝∠A′EN，∠ANE＝∠A′NE，∠BCE＝∠B′CE，∠BEC＝∠B′EC，所以，NE是∠AEA′和∠ANA′的平分线，CE是∠BEB′和∠BCB′的平分线；（2）射线CB′平分∠ECF．理由如下：∵射线NA′平分∠DNE，∴∠DNA′＝∠A′NE，∴∠ANE=13×180°＝60°，在Rt△ANE中，∠AEN＝90°﹣∠ANE＝90°﹣60°＝30°，∴∠BEC=12（180°﹣30°×2）＝60°，在Rt△BCE中，∠BCE＝90°﹣60°＝30°，∴∠B′CD＝90°﹣30°×2＝30°，∴∠B′CD＝∠B′CE，∴射线CB′平分∠ECF．4．B．5．50°．6．解：∵EC和ED是折痕，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴2（∠2+∠3）＝180°，∴∠2+∠3＝90°，即∠CED＝90°．又∠2＝∠1＝32°，∴∠4＝∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣32°＝58°，即∠AEC＝58°．7．解：（1）∵角的顶点A落在点A'处，BC为折痕，∴∠1＝∠ABC＝25°．∴∠A'BD＝180°﹣25°﹣25°＝130°；（2）由折叠性质得∠1＝∠ABC=12∠ABA′，∠2＝∠DBE=12∠A'BD，∴∠1+∠2=12∠ABA′+12∠A'BD=12（∠ABA'+∠A'BD）=12×180°＝90°．即∠CBE＝90°．8．解：（1）图形如图1中所示：（2）与翻折可知：∠AEA′＝2∠AEN＝90°，∠BEB′＝2∠BEM＝60°，∴∠A′EB′＝180°﹣90°﹣60°＝30°．（3）当α+β≤90°时，∠A′EB′＝180°﹣2（α+β），当α+β＞90°时，∠A′EB′＝2（α+β）﹣180°．9．解：（1）根据折叠可得：∠BAE＝∠EAB′，∵∠EAB′＝∠B′AD，∴∠BAE＝90°÷3＝30°，∴∠EAD＝90°﹣30°＝60°；（2）根据折叠可得：∠BAC＝∠F AC，∵∠EAF＝80°，∴∠BAF＝80°+30°＝110°，∴∠BAC＝55°，∴∠CAB′＝60°﹣55°＝5°．10．解：（1）55，35，90．（2）不变．由折叠的性质可得：∠BEC＝∠B'EC，∠AEN＝∠A'EN，∵∠BEB′＝m°，∴∠AEA'＝180°﹣m°，可得∠BEC＝∠B'EC=12∠BEB′=12m°，∠AEN＝∠A'EN=12∠AEA'=12（180°﹣m°），∴∠BEC+∠AEN=12m°+12（180°﹣m°）＝90°，故∠BEC+∠AEN的值不变；（3）由折叠的性质可得：∠B'CF＝∠B'CE，∠B'CE＝∠BCE，∴∠B'CF＝∠B'CE＝∠BCE=13×90°＝30°，在Rt△BCE中，∵∠BEC与∠BCE互余，∴∠BEC＝90°﹣∠BCE＝90°﹣30°＝60°，∴∠B'EC＝∠BEC＝60°，∴∠AEA'＝180°﹣∠BEC﹣∠B'EC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AEN=12∠AEA'＝30°，∴∠ANE＝90°﹣∠AEN＝90°﹣30°＝60°，∴∠ANE＝∠A'NE＝60°，∴∠DNA'＝180°﹣∠ANE﹣∠A'NE＝180°﹣60°﹣60°＝60°．11．解：（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF∴∠NEF=12∠AEF，∠MEF=12∠BEF∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF=12∠AEF+12∠BEF=12（∠AEF+∠BEF）=12∠AEB∵∠AEB＝180°∴∠MEN=12×180°＝90°（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG∴∠NEF=12∠AEF，∠MEG=12∠BEG∴∠NEF+∠MEG=12∠AEF+12∠BEG=12（∠AEF+∠BEG）=12（∠AEB﹣∠FEG）∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°∴∠NEF+∠MEG=12（180°﹣30°）＝75°∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°（3）若点G在点F的右侧，∠FEG＝2α﹣180°，若点G在点F的左侧，∠FEG＝180°﹣2α．。

2021年中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习一选择题：1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，假设∠AEB=55°，那么∠DAF=( )A．40° B．35° C．20° D．15°2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，假设∠EFB=65°，那么∠AED′等于〔〕A．50° B．55° C．60° D．65°3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，假设AE=2，DE=6，∠EFB=60°，那么矩形ABCD 的面积是〔〕A．12 B．24 C．12 D．164.如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，那么DE长为〔〕A．3 B．4 C．5 D．65.将矩形纸片ABCD按如下图的方式折叠，得到菱形AECF.假设AB=3，那么BC的长为〔〕A．1 B．2 C. D.6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，那么重叠局部△AFC的面积为〔〕A．12 B．10 C．8 D．67.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．假设AE=5，BF=3，那么CD的长是〔〕C．9 D． 108.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP〔P为AB中点〕所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．那么∠DEC的大小为〔〕A．78° B．75° C．60° D．45°9.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．假设CE的长为7cm，那么MN的长为〔〕A． 10 B． 13 C． 15 D． 1210.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，假设EH=12厘米，EF=16厘米，那么边AD的长是 ( )A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米11.如图，在矩形 OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线 OB 折叠后，点 A 与点 D 重合，OD 与 BC交于点 E，那么点 D 的坐标是〔〕A．〔4，8〕B．〔5，8〕C．〔，〕 D．〔，〕12.将矩形纸片ABCD按如下图的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．那么BC的长为〔〕A. B. 2 C. 3 D.13.如图，矩形纸片ABCD中，AD=3cm，点E在BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，那么AB的长是( )A.1 cm B．cm C．2 cm D． cm14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为〔〕A．3或4 B．4或3C．3或4 D．3或415.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=AB．将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．对于以下结论：①EF=2BE，②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的选项是( )A．①② B．②③C．①③ D．①④16.如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合，假设此时=,那么△AMD′的面积与△AMN的面积的比为( )A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1: 917.图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长B G交CD于点F，假设CF=1，FD=2，那么BC的长为( )18.如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，AB=6，△ABF的面积是24，那么FC等于〔〕. A．2 B．3 C．4 D．519.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为〔〕A．B．C．D．20.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动。