中考数学分式与分式方程复习教案分式方程及应用

2013中考数学分式与分式方程复习教案-分式方程及应用

教学目标 掌握分式方程的解法及分式方程的综合应用。

重点、难点 重点：分式方程求解；

难点：利用分式方程解决实际问题。

考点及考试要求 解分式方程和列分式方程解应用题是中考的重要考点，有时与函数、其他知识综合考察。常以填空、选择、解答题的形式出现。

教学内容

一、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

1解分式方程：分式方程整式方程

①去分母：方程两边同时乘以最简公分母（最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂），将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号；

②按解整式方程的步骤：移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项，系数化为1，求出未知数的值；

③验根：求出未知数的值后必须验根。因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。

方法A：直接代入原方程，看其是否成立。

方法B：代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。

增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根。

2分式方程的应用

列分式方程解应用题的一般步骤为：

（1）设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；

（2）列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；

（3）列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；

（4）解方程并检验；

（5）写出答案。

在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验它是否符合题意。 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解。

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．

3基本题型：

（1）解分式方程

例1：解下列分式方程：25211111 332552323xxxxxxxxx（）；（2）；（）；

2222213(1)1142312211xxxxxxxxxxxx（4）；（5）；（6）

分析：（1）用去分母法；（2）（3）（4）题用化整法；（5）（6）题用换元法；

分别设211xyx，1yxx，解后勿忘检验。

（2）利用增根的意义解题

例1： (2012年四川巴中)若关于x的方程2x－2＋x＋m2－x＝2有增根，则m的值是________．

（3）列分式方程解决实际问题

例1：某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6 m3，求该市今年居民用水的价格．

解：设市去年居民用水的价格为x元／m3，则今年用水价格为(1+25％) x元／m3．根据题意，得36186 x=(125%)xx，解得1.8

经检验，x=1．8是原方程的解．所以(125%)2.25x ．

答：该市今年居民用水的价格为 2．25 x元／m3．

注：分式方程应注意验根．本题是一道和收水费有关的实际问题．解决本 题的关键是根据题意找到相等关系：今年5月份的用水量一去年12月份的用量=6m3.

例2：某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？为什么？

略解：第一种方案获利630 000元；第二种方案获利725 000元；第三种方案先设将x吨蔬菜精加工，用时间列方程解得60x，故可算出其获利810000元，所以应选择第三种方案。

例3．(2012年山东菏泽改编)我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12 000元购进的科普书与用8 000元购进的文学书的本数相等．

（4）综合题

例1.(2012年江苏泰州)当x为何值时，分式3－x2－x的值比分式1x－2的值大3?

例2.(2012年山东莱芜)对于非零实数a，b，规定a⊕b＝1b－1a.若2⊕(2x－1)＝1，则x的 值为( )

A.56 B.54 C.32 D．－16

二、课堂练习：

1.方程1111xxx去分母后，可得方程（ ）

2222210;20;210;220AxxBxxCxxDxx

2.解方程2221xxxx，设2yxx，将原方程化为（ ）

222210;20;20;20AyByyCyyDyy

3. 已知方程261=311xaxax的解与方程的解相同，则a等于（ ）

A．3 B．－3 C、2 D．－2

4. 方程10311243xx的解是 。

5. 分式方程0111xkxxxx有增根x=1，则 k的值为________

6. 满足分式方程x+11x-22xx的x值是（ ）： A．2 B．－2 C．1 D．0

7. 解方程：

213311235(1)2;(2)1;(3)1111111xxxxxxxxxx

222528311(4)60;(5)11343xxxxxxxxxx

8. 就要毕业了，几位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费用1200元，后来又有2名同学参加进来，但总费用不变，于是每人可少分摊30元，试求原计划结伴游玩的人数．

9. 2004年12月28日，我国第一条城际铁路一合宁铁路（合肥至南京）正式开工建设．建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由目前的312 km缩短至154 km，设计时速是现行时速的2．5倍，旅客列车运行时间将因此缩短约3．13小时，求合宁铁路的设计时速．

三、家庭作业

1.某服装厂准备加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为：

2.北京奥运会开幕前，某体育用品商店预测某品牌运动服装能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每套进价多了10元.

（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部销售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少多少元？

3一个批发兼零售的文具商店规定，凡一次购买铅笔300枝以上（不包括300枝），可以按批发价付款；购买铅笔300枝以下（包括300枝），只能按批发价付款.小明来该商店购买铅笔，如果给全校八年级的学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需要120元；如果多买60枝，那么可以按零售价付款，同样需要120元.若全校八年级的学生有x名，请解答下列问题：

（1）x的取值范围

（2）若按批发价购买11枝与零售价购买9枝的款相同，求这个学校的八年级的学生共有多少名？

4．(2012年江苏无锡)某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：

投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%；

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．

(1)请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么(注：投资收益率＝投资收益实际投资额×100%)?

(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？

5．(2012年湖北黄冈)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800 件投入市场，服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2 倍，A，B 两车间共同完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A，B两车间每天分别能加工多少件．