拉格朗日乘法法则

拉格朗日数乘法的法则

拉格朗日数乘法的计算方法是：首先将原有的函数用拉格朗日函数来表示，拉格朗日函数是将原有函数的约束条件也表示在其中，然后求解拉格朗日函数的极值，即求出拉格朗日乘子的值，最后将拉格朗日乘子代入原有函数，求解出拉格朗日数乘法的最大值或最小值。

举例来说，考虑函数f(x, y) = 2x + y，其中x, y的取值范围分别是[0, 2],

[1, 4]，要求求f(x, y)的极值。将原有函数用拉格朗日函数来表示，即L(x, y, λ) = 2x + y + λ(2 - x - 4 + y)，其中λ为拉格朗日乘子，求解L(x,

y, λ)的极值。

由于拉格朗日函数是凸函数，因此拉格朗日数乘法求解的是凸优化问题，因此可以通过求解拉格朗日函数的极值来求解凸优化问题。

首先，对于拉格朗日函数求解极值，需要先求解拉格朗日乘子的值，即求解λ的值，得到λ=0。再求拉格朗日函数的极值，即求解2x+y+λ(2-x-4+y)的极值，利用求导得到x=1，y=3，将x=1, y=3代入原函数f(x, y)得到f(1, 3) = 5，因此函数f(x, y) = 2x + y在约束条件[0, 2], [1,

4]下的最大值为5。

矩阵向量求导法则，拉格朗⽇函数转⾃在学习算法的过程中，常常需要⽤到向量的求导。下边是向量的求导法则。

拉格朗⽇乘⼦法：应⽤在求有约束条件的函数的极值问题上。

通常我们需要求解的最优化问题有如下⼏类：

(i) ⽆约束优化问题，可以写为:

min f(x);

(ii) 有等式约束的优化问题，可以写为:

min f(x),

s.t. h_i(x) = 0; i =1, ..., n

(iii) 有不等式约束的优化问题，可以写为：

min f(x),

s.t. g_i(x) <= 0; i =1, ..., n

h_j(x) = 0; j =1, ..., m

对于第(i)类的优化问题，常常使⽤的⽅法就是Fermat定理，即使⽤求取f(x)的导数，然后令其为零，可以求得候选最优值，再在这些候选值中验证；如果是凸函数，可以保证是最优解。

对于第(ii)类的优化问题，常常使⽤的⽅法就是拉格朗⽇乘⼦法（Lagrange Multiplier) ，即把等式约束h_i(x)⽤⼀个系数与f(x)写为⼀个式⼦，称为拉格朗⽇函数，⽽系数称为拉格朗⽇乘⼦。通过拉格朗⽇函数对各个变量求导，令其为零，可以求得候选值集合，然后验证求得最优值。

对于第(iii)类的优化问题，常常使⽤的⽅法就是KKT条件。同样地，我们把所有的等式、不等式约束与f(x)写为⼀个式⼦，也叫拉格朗⽇函数，系数也称拉格朗⽇乘⼦，通过⼀些条件，可以求出最优值的必要条件，这个条件称为KKT条件。

(a) 拉格朗⽇乘⼦法（Lagrange Multiplier)

对于等式约束，我们可以通过⼀个拉格朗⽇系数a 把等式约束和⽬标函数组合成为⼀个式⼦L(a, x) = f(x) + a*h(x), 这⾥把a和h(x)视为向量形式，a是横向量，h(x)为列向量，之所以这么写，完全是因为csdn很难写数学公式，只能将就了.....。

然后求取最优值，可以通过对L(a,x)对各个参数求导取零，联⽴等式进⾏求取，这个在⾼等数学⾥⾯有讲，但是没有讲为什么这么做就可以，在后⾯，将简要介绍其思想。

教学设计示例

分数乘以整数

重点：

（1）理解分数乘以整数的意义

（2）理解并掌握分数乘以整数的计算法则

难点：

在计算的过程中，能约分的要先约分，然后再乘。

设计思想：

发挥学生的主体作用，在独立尝试的基础上，进行同学间的广泛交流，在对比、择优、质疑的基础上，归纳分数乘以整数的意义和法则。

教学过程：

一、 设疑激趣：

1. 下面各题怎样列式？你是怎样想的？

5个12是多少？ 10个23是多少？ 25个70是多少？

（概括：整数乘法表示求几个相同加数的和的简便运算）

2. 计算下面各题，说说怎样算？

+ + = + + =

说一说，这两道题目有什么区别和联系？第二小题还有什么更简便的方法吗？请你自己试一试。

同学之间交流想法： + + = = 3× ×3=

×3=这个算式表示什么？为什么可以这样计算？

教师板书 + + = ×3=

3. 出示： （课件1）

这道题目又该怎样计算呢？

二、 自主探索：

1. 出示例1，读题，说说 块是什么意思？

2. 根据已有的知识经验，自己列式计算。

三、 学生交流、质疑：

1. 学生汇报，并说一说你是怎样想的？ 方法 a. + + = = = （块）

方法b. ×3= + + = = = = （块）

2. 比较这两种方法，有什么联系和区别？

（联系：两种方法的结果是一样的。区别：一种方法是加法，另一种方法是乘法。）

教师根据学生的回答，板书 + + = ×3

3. 为什么可以用乘法计算？

（加法表示3个 相加，因为加数相同，写成乘法更简便。）

4. ×3表示什么？怎样计算？

有理数乘法法则

一、教学目标

1．知识与技能：了解并掌握有理数的乘法运算，了解倒数的概念；

2. 过程与方法：通过观察，归纳，猜测等教学过程掌握有理数乘法法则

3. 情感态度与价值观：通过本节课的学习激发学生对数学的学习兴趣。

二．学情分析

有理数的乘法是继有理数的加减法之后的又一种基本运算．有理数乘法既是有理数运算的深入，又是进一步学习有理数的除法、乘方的基础，对后续代数学习是至关重要的．与有理数加法法则类似，有理数乘法法则也是一种规定，给出这种规定要遵循的原则是“使原有的运算律保持不变”．本节课是在小学已掌握的乘法运算的基础上，通过合情推理的方式，得到“要使正数乘正数（或0）的规律在正数乘负数、负数乘负数时仍然成立，那么运算结果应该是什么”的结论，从而使学生体会乘法法则的合理性．与加法法则一样，正数乘负数、负数乘负数的法则，也要从符号和绝对值来分析．由于绝对值相乘就是非负数相乘，因此，这里关键是要规定好含有负数的两数相乘之积的符号，这是有理数乘法的本质特征，也是乘法法则的核心．

三．教学重难点

了解并掌握有理数的乘法法则以及学会求一个有理数的倒数

四、教学过程设计

1.温故知新：

（1）有理数加法运算法则：

*同号相加结果取相同的符号并把绝对值相加。

*异号相加绝对值相等时和为0，绝对值不等时取绝对值大的数的符号并用绝对值大的减去绝对值小的。

*和零相加一个数与零相加仍得这个数。

（2）有理数减法运算法则：

*减去一个数等于加上这个数的相反数

2.情景设置 甲水库的水位每天升高3CM，乙水库的水位每天下降3CM，4天后甲、乙水库水位的总变化量各是多少？

（用“+”表示水位上升，用“-”表示水位下降）

（1）4天后甲水库的水位变化量为

3+3+3+3= 3*4 = 12 (cm)

（2）4天后乙水库的水位变化量为

(-3)+ (-3)+ (-3)+ (-3) = (-3)*4 = -12 (cm)