2019-2020年七年级数学上《实数》专题复习讲义

【3.1 平方根】1、平方根的含义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

即a x =2，x 叫做a 的平方根。

2、平方根的性质与表示 ⑴ 表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。

⑵ 1、一个正数有两个平方根：a ± （根指数２省略）2、０有一个平方根，为０，记作00=3、负数没有平方根⑶ 平方与开平方互为逆运算 开平方：求一个数a 的平方根的运算。

a a =2=⎩⎨⎧-a a 00<≥a a ()a a =2（0≥a ）⑷ a 的双重非负性 0≥a 且0≥a （应用较广） Eg ：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸ 如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

拓展：两次根式的运算区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4= ４开平方后，得____【典型例题】1、 25的平方根是 ，算术平方根是 ．=+412_________ ． 2、已知2x =100，则x= ． 已知2+x =2，则2)2(+x =______．3、如果一个非负数的平方根是2a-1和a-5,则这个数是________．4、下列说法中，正确的个数是 （ ）① ±5是25的平方根 ② 49的平方根是－7 ③ 8是16的算术平方根 ④ －3是9的平方根A ．1B ．2C ．3D ．45、已知实数a 、b 、c 满足，2|a-1|+2b c ++2)21(-c =0,,求a+b+c 的值.6、若12112--+-=x x y ，求x ，y 的值。

7、已知325y 2+--=x ,求x 取何值时，y 有最大值。

【学生练习1】1、522y 2++-+-=x x x ，求x y 的平方根和算术平方根。

2、若0|2|1=-++y x ，求x+y 的值。

七年级上册数学实数的知识点在七年级上学期的数学课程中，实数是一个重要的知识点。

实数包括有理数和无理数，它们合在一起构成了实数集，是数学中的基本概念之一。

下面我们来详细了解实数的概念、性质以及应用。

一、实数的概念与分类实数包括有理数和无理数两种数，其中有理数可以用分数或整数来表示，而无理数则不能用有限的小数或分数表示。

有理数包括正有理数、负有理数和零。

其中正有理数是指可以用正整数除以正整数得到的数，符号为“+”；负有理数是指可以用负整数除以正整数得到的数，符号为“-”；零是任何数除以自己得到的结果，符号为“0”。

无理数指不能写成有理数（分数）形式的实数。

例如，√2 、π、e 等均为无理数，它们不能表示为有限小数或分数。

二、实数的性质1. 实数集是一个完全有序的集合，即不论任何两个实数大小的关系如何，都必然可以判断出它们的大小关系。

2. 实数集满足加法和乘法的结合律、交换律和分配律。

3. 实数集中存在一个数 0 ，使 0 + a = a + 0 = a ，其中 a 为任意实数。

4. 实数集中每个数都有一个相反数，即对于任意实数 a ，都存在一个数 -a ，使得 a + ( -a ) = 0 。

5. 实数集中每个非零数都有一个倒数，即对于任意非零实数a ，都存在一个数 1/a 使得 a × (1/a) = 1 。

三、实数的应用实数的应用极为广泛，下面仅选取了数学中常见的一些应用进行介绍。

1. 直线和曲线的方程在解直线和曲线的方程时，实数是解题的基础。

例如，在求一条直线的斜率时，需要用到两个实数之间的除法运算，而这个运算必须用到实数，因为它是不满足分式的整数和真分数的性质的。

2. 负数的应用在实际生活中，经常会遇到一些与负数相关的问题，例如负债、温度计的读数等。

在这些情况下，需要用到负数的概念。

通过掌握实数的概念，可以更好地理解这些问题，并解决它们。

3. 高中数学的基础实数是高中数学的基础，如学习三角函数、导数、积分等内容都需要掌握实数的相关知识。

备战2019年中考二轮讲练测第一篇专题整合篇专题01 实数的概念与运算（讲案）一讲考点——考点梳理（一）实数的基本概念（1）数轴的三要素为原点、正方向和单位长度. 数轴上的点与实数构成一一对应.（2）只有符号不同的两个数叫做互为相反数.实数a 的相反数为—a. 若a ，b 互为相反数，则b a +=0.（3）若两数乘积为1，则这两个数叫做互为倒数。

非零实数a 的倒数为a1. 若a ，b 互为倒数，则ab =1.（4）数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。

实数a 的绝对值记作|a|，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a ．（二）有效数字与科学记数法（1）有效数字：是指从一个近似数的左边第一个不是0的数字开始，一直到这个数的最后一位的所有数字.（2）科学记数法：把一个数表示成a×10n 的形式，其中1≤a ＜10的数，n 是整数.当该数的绝对值大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数的绝对值小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）（三）实数的分类与大小比较（1）实数的分类：有理数和无理数统称实数.（2）实数的大小比较：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；正数>0，负数<0，正数>负数；两个负数比较大小，绝对值大的< 绝对值小的．常用方法：性质法、数轴法、倒数法、平方法、比差法、比商法.（四）实数的运算1.数的开方（1）任何正数a 都有两个平方根,它们互为相反数.其中正的平方根a 叫a 的算术平方根.负数没有平方根，0的算术平方根为0.（2）任何一个实数a 都有立方根，记为3a .（3）=2a ⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a .2.数的乘方：=n aa n a a a a 个⋅⋅，其中a 叫做底数，n 叫做指数. =0a 1（其中a ≠0 且a 是实数）=-p a pa 1（其中a ≠0）3. 实数运算：先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，同一级运算按照从左到右的顺序依次进行.同一级的运算是可以相互转化的.4. 运算律的应用：主要有加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律，以及分配律.(五)探究数、式规律（1）一般按照“特殊——一般——特殊”的思维过程，使用“观察——猜想——验证”的思路，最终得出正确的结果；（2）列表法与举例法是在解答探索数式规律的问题时最常用的方法.二讲题型——题型解析（一）对实数基本概念的考查.例1、【2018年广东省中考】一个正数的平方根分别是x+1和x ﹣5，则x=_____．【答案】2【解析】【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于x 的方程，解方程即可得．【详解】根据题意知x+1+x ﹣5=0，解得：x=2，故答案为：2．（二）对有效数字与科学记数法的考查.例2、【2018年广西壮族自治区贵港市中考】一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（ ）A ． 2.18×106B ． 2.18×105C ． 21.8×106D ． 21.8×105【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】2180000的小数点向左移动6位得到2.18，所以2180000用科学记数法表示为2.18×106，故选A.（三）对实数的分类与大小比较的考查例3、【2018年山东省菏泽市中考】下列各数：-2，0，，0.020020002…，，，其中无理数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】分析：根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.详解：是有理数，0是有理数，是有理数，0.020020002…是无理数，是无理数，是有理数，所以无理数有2个，故选C.【点评】本题考查了无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数.常见的形式有：开方开不尽的数,如2等;;圆周率π及一些含有π的数都是无理数.要掌握实数、有理数、无理数的定义，以及非负数、非正数等一些相关的概念.（四）对实数的运算的考查例4、【广东省2018年中考数学试题】计算：|﹣2|﹣20180+（）﹣1【答案】3.【解析】【分析】按顺序先分别进行绝对值化简、0次幂的计算、负指数幂的计算，然后再按运算顺序进行计算即可得.【详解】|﹣2|﹣20180+（）﹣1=2﹣1+2=3．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，涉及到绝对值的化简、0指数幂的运算、负指数幂的运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键.（五） 对实数中的非负数及性质的考查例5、已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ．20或16B ．20C ．16D ．以上答案均不对【答案】B ．【解析】试题分析：根据题意得：，解得：．（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B ．考点：1.等腰三角形的性质；2.非负数的性质；3.三角形三边关系；4.分类讨论．学科网（六）对数、式规律的考查例6、【2018年湖北省荆门市中考】将数1个1，2个，3个，…，n 个（n 为正整数）顺次排成一列：1，，，，，，…，，，…，记a 1=1，a 2=，a 3=，…，S 1=a 1，S 2=a 1+a 2，S 3=a 1+a 2+a 3，…，S n =a 1+a 2+…+a n ，则S 2018=_____．【答案】630x -=4080x y -=⎧⎨-=⎩48x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，根据数列中数的排列规律找出“前2018个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，2个”是解题的关键．三讲方法——方法点睛（一）解决有关实数的基本概念的问题要掌握相反数、倒数、绝对值等概念的内涵和区别．（二）（1）对于实数的分类要掌握实数、有理数、无理数的定义，以及非负数、非正数等一些相关的概念（2）实数大小的比较可以利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法.除此之外常用的方法有“差值比较法”适用于比较任何两数的大小；“商值比较法”只适用于比较两个正数的大小；“平方法”、“倒数法”常用于比较二次根式的大小；“底数比较法”、“指数比较法”常用于比较幂的大小.（三）解决与非负数的性质相关的问题的关键是掌握：（1）常见的非负数有；任何一个实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0；任何一个实数a的平方是非负数,即a2≥0；若a为非负数，则a也为非负数，即a≥0；（2）非负数具有的性质是：非负数有最小值，最小值为0；有限个非负数的和仍是非负数；几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.（四）对于实数的运算（1）熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算.（2）注意运算顺序，分清先算什么，再算什么.（五）科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10-n 的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.（六）解决探索数、式规律问题的方法常见的有列表法和举例法.四练实题——随堂小练1.下列各数中，绝对值最大的数是（ ）　A．﹣3B．﹣2C．0D．1【答案】A．【解析】|﹣3|＞|﹣2|＞1＞|0|，故选A．2．在﹣，0，﹣2，，1这五个数中，最小的数为（ ）A ．0B ．12-C ．﹣2D 13．【答案】C ．3.古生物学家发现350 000 000年前，地球上每年大约是400天，用科学记数法表示350 000 000=【答案】3.5×108．【解析】将350 000 000用科学记数法表示为：3.5×1084．已知x 、y 为实数，且y=92-x ﹣29x -+4，则x ﹣y=　【答案】﹣1或﹣7.【解析】由题意得x 2﹣9≥0，x 2﹣9≤0，∴x 2﹣9=0，解得x=±3，∴y=4，∴x ﹣y=﹣1或﹣7．5．观察以下等式：32﹣12=8，52﹣12=24，72﹣12=48，92﹣12=80，…由以上规律可以得出第n 个等式为 ．【答案】（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2=8n 6与0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）【答案】＞【解析】1-2，2＞0，0．考点：实数大小比较．7. 高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]=2，[﹣1.5]=﹣2．则下列结论：①[﹣2.1]+[1]=﹣2；②[x]+[﹣x]=0；③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3；④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1、2．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．【答案】①③．【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．【解析】①[﹣2.1]+[1]=﹣3+1=﹣2，正确；②[x]+[﹣x]=0，错误，例如：[2.5]=2，[﹣2.5]=﹣3，2+（﹣3）≠0；③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3，正确；④当﹣1≤x＜1时，0≤x+1＜2，﹣1＜﹣x+1≤1，[x+1]+[﹣x+1]的值为2，故错误．故答案为：①③．考点：有理数的混合运算；新定义．8.（2-2014）0-2cos30°-（12）-1．-1．【解析】原式．9.计算：4sin45°+|﹣2|（13）0．【答案】3.【解析】考点：1.实数的运算；2.特殊角三角函数值；3.零指数幂.10.计算：（12）﹣1﹣|（1﹣π）0．【答案】．【解析】试题分析：根据负整数指数幂，去绝对值，二次根式的化简以及零指数幂的计算法则计算．试题解析：原式=2+1=3+考点：实数的运算;零指数幂；负整数指数幂．五练原创——预测提升1．在我市2016年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到5400000平方米，将数据5400000用科学记数法表示为（ ）A ．0.54×107B ．54×105C ．5.4×106D ．5.4×107【答案】C ．【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，n 的值为这个数的整数位数减1，所以5400000=5.4×106，故选C ．2．若2（a+3）的值与4互为相反数，则a 的值为（ ）A ．﹣1B ．﹣72C ．﹣5D ．12【答案】C.【解析】已知2（a+3）的值与4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0可得2（a+3）+4=0，解得a=﹣5，故选C.3．数轴上点A 表示的实数可能是（ ）A ．7B ．10C ．17D ．26【答案】C.【解析】 ∵4＜17＜5，∴数轴上点A 表示的实数可能是17；故选C ．4.下列各数：227，π，cos60°，0　A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ．【解析】据无理数定义得有，π 是无理数．故选B ．学科网5．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=256时，输出的y 等于（ ）A 、2B 、4C 、2D 、22【答案】C ．6.若21(3)0a b -++=，则a b =（） A ．1B ．－1 C ．3 D ．－3【答案】D.【解析】∵21(3)0a b -++=，∴a-1=0，b+3=0，∴a=1，b=-3，∴1(3)3a b =-=-.故选D.7.按照如图的操作步骤，若输入x 的值为2，则输出的值是_____．（用科学计算器计算或笔算）【答案】2【解析】【分析】将x=2代入程序框图中计算即可得到结果．【详解】将x=2代入得：3×22﹣10=12﹣10=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8. 古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角形数是 ．【答案】5050．【分析】设第n 个三角形数为a n ，分析给定的三角形数，根据数的变化找出变化规律“a n =1+2+…+n =(1)2n n +”，依此规律即可得出结论．【解析】设第n 个三角形数为a n ，∵a 1=1，a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…∴a n =1+2+…+n =(1)2n n +，将n =100代入a n ，得：a 100=100(1001)2+=5050，故答案为：5050．9. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（,a b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：()()()()253251372i i i i-++=++-+=+()()()21212221213i i i i i i i +´-=´-+´-=+-++=+；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：3i =_________，4i =___________；（2）计算：()()134i i +´-；（3）计算：232017i i i i ++++ ．【答案】（1）﹣i ，1；（2）7﹣i ；（3）i ．【分析】（1）把i 2=﹣1代入求出即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i 2=﹣1代入求出即可；（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．10. 观察下列等式：第一个等式：122211132222121a ==-+´+´++；第二个等式：2222232111322(2)2121a ==-+´+´++；第三个等式：3332342111322(2)2121a ==-+´+´++；第四个等式：4442452111322(2)2121a ==-+´+´++；按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a 6= = ；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：a n == ；（3）a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6= （得出最简结果）；。

新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题实数知识框图朱国林定义一个数的平方等于a，这个数叫 a 的平方根一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数性质零的平方根是零；负数没有平方根熟记：平方根等于它本身的数是0平方根一个正数 a 的平方根表示成：± a （读做“正、负根号a”），其中 a 叫做符号表示被开方数。

如 3 的平方根是：± 3 ，那么4的平方根是：开平方求一个数的平方根的运算叫做开平方，可用平方运算求一个数的平方根定义正数的正平方根称为算术平方根，0 的算术平方根是0算术平方根性质熟记：算术平方根等于它本身的数是0 和 1定义一个数的立方等于 a，这个数叫 a 的立方根一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0 的立方根是 0性质熟记：立方根等于它本身的数是0， 1 和-1立方根一个数 a 的立方根表示成：3 a ，其中a叫做被开方数。

符号表示如 3 的立方根是：3 3 ，那么-8的立方根是：开立方求一个数的平方根的运算叫做开平方，可用平方运算求一个数的平方根正有理数有限小数或无限循环小数，都可以写成M有理数零N负有理数形式（ M 、 N 均为整数，且N≠ 0）分类无理数正无理数无限不循环小数负无理数实数性质实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数一样注意掌握以下公式：①a2 3 a3a②考点一、关于“ 说法正确的是”的题型考点二、有关概念的识别考点三、计算类型题考点四、数形结合类型五、实数绝对值的应用考点六、实数非负性的应用考点七、实数应用题将考点与相关习题联系起来考点一、关于“ 说法正确的是”的题型1、下列说法正确的是（）A ．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数C．无限小数是无理数 D ．是分数42、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④-17是 17 的平方根。

其中正确的有（）A．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3、下列结论中正确的是（）A ．数轴上任一点都表示唯一的有理数B ．数轴上任一点都表示唯一的无理数C. 两个无理数之和一定是无理数D. 数轴上任意两点之间还有无数个点考点二、有关概念的识别.22 ，1、下面几个数：0.34 ，1.010010001，30.064 ，3π， 5 ，其中，无理数的个数有（）7A. 1B. 2C. 3D. 42、下列说法中正确的是（）A.81 的平方根是±3B. 1 的立方根是± 1C. 1=±1D. 5 是5的平方根的相反数3、一个自然数的算术平方根为a，则与之相邻的前一个自然数是考点三、计算类型题1、设26 =a，则下列结论正确的是（）A.4.5<a<5.0B.5.0<a<5.5C.5.5<a<6.0D.6.0<a<6.54、对于有理数x，2013xx20131的值是x3、(32(329)10)4、 4(x-1) 2=9考点四、数形结合1. 点 A 在数轴上表示的数为 3 5 ，点B在数轴上表示的数为 5 ，则A，B两点的距离为______2、如图，数轴上表示1， 2 的对应点分别为 A ，B ，点 B 关于点 A 的对称点为C，则点 C 表示的数是（）A． 2 －1B．1－2C．2－2D． 2 －2考点五、实数绝对值的应用1、| 3 2 2|+| 32|-| 2 3 |考点六、实数非负性的应用21．已知：3a b| a 49|0，求实数a，b的值。

七年级数学上册知识点实数在七年级数学上册学习中，学生将深入了解实数的概念和性质。

实数是数学中最基本和最常见的数字类型。

本文将介绍实数的重要性质、运算规律、实数轴等知识点，帮助学生更好地理解实数并提高数学能力。

一、实数的定义和性质实数是数学中的一种基本数字类型。

它可以表示所有可能的数字，包括整数、分数和无理数。

这些数字可以用十进制数系统表示。

实数有很多性质。

其中最基本的性质是序性：对于任意两个实数a和b，它们要么相等，要么a>b，要么a<b。

此外，实数具有可加性、可乘性、传递性等重要性质。

二、实数的运算规律对于实数，有加、减、乘、除四种基本运算。

在进行这些运算时，需要遵循一定的规律。

1.加法规律对于任意实数a、b和c，有：• 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)• 交换律：a+b=b+a• 存在单位元素：存在实数0，使得a+0=a• 存在相反数：对于任意实数a，存在实数-b，使得a+(-b)=0 2.乘法规律对于任意实数a、b和c，有：• 结合律：(ab)c=a(bc)• 交换律：ab=ba• 存在单位元素：存在实数1，使得a×1=a• 存在倒数：对于任意非零实数a，存在实数1/a，使得a×(1/a)=13. 运算优先级在进行实数运算时，需要遵循特定的优先级。

一般来说，先进行括号内的运算，然后按照乘除加减的顺序进行计算。

4.有理数的比较有理数之间可以通过大小比较符号来进行比较。

在进行比较时，需要注意分母大小、分子大小、符号以及进位等因素。

三、实数轴实数轴是一条数轴，用于表示实数之间的大小关系。

实数轴上的每个点都对应一个实数，并与它在数轴上的位置一一对应。

在实数轴上，零点是一个特殊的点，它将数轴分成两个部分，分别为正数部分和负数部分。

任何实数都可以表示为：a=b-c，其中b和c均为正数，且c≤a<c+1。

总结：本文介绍了七年级数学上册的重要知识点实数，包括实数的定义和性质、实数的运算规律以及实数轴等方面。

6.3实数【考点梳理】考点一：实数的概念与分类考点二：实数和数轴问题考点三：实数的大小比较考点四：无理数的估算考点五：无理数的整数和小数部分考点六：实数的运算考点七：实数的程序框图或新定义运算考点八：与实数有关的规律问题知识点一：无理数无限不循环小数称为无理数。

（开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环的数。

）如2，3等知识点二：实数：有理数和无理数统称实数。

知识点三：实数与数轴每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。

即实数和数轴上的点是一一对应的。

技巧归纳：1、a是一个实数，它的相反数为-a2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

（在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。

）题型一：实数的概念与分类1．（22-23七年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是()A．实数分为正实数和负实数B．无限小数都是无理数C．带根号的数都是无理数D．无理数都是无限不循环小数【答案】D【分析】根据实数的分类以及有关概念逐一分析即可解决.【详解】A.实数分为正实数、负实数和零，故此选项错误；B.无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误；C.带根号的数不一定是无理数，如4，9等，故此选项错误；D.无理数都是无限不循环小数，故此选项正确；故选：D【点睛】此题考查了实数的分类以及有关概念，掌握实数的分类和相关概念是解答此题的关键. 2．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（）A．实数可分为有理数和无理数B．无理数可分为正无理数和负无理数；C．无理数都是无限小数D．无限小数都是无理数．【答案】D【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可．【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意；无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意；无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意；无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键．3．（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）下列说法正确的有（）①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是有理数；④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可．【详解】解：①无理数都是实数，原说法正确；②实数包括无理数和有理数，原说法错误；③无限循环小数是有理数，原说法错误；④带根号的数不一定是无理数，如9，原说法错误；⑤不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，原说法错误；故正确的只有1个，故选：A ．题型二：实数和数轴问题4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形ABCD 的面积为5，顶点A 在数轴上，且表示的数为1．现以A 为圆心，AB 为半径画圆，与数轴交于点E （E 在A 的右侧），则点E 表示的数为（）A ． 3.2-B ．5-C ．51--D ．51+【答案】D 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得5AB AE ==，结合A 点所表示的数及AE 间距离可得点E 所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．【详解】解：∵正方形ABCD 的面积为5，且AB AE =，∴5AB AE ==，∵点A 表示的数是1，且点E 在点A 的右侧，∴点E 表示的数为51+．故选：D ．5．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别是1和3，点A 到点B 的距离等于点C 到点B 的距离，则点C 表示的数是（）A ．31-B ．231-C ．232-D ．31+【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，以及数轴上两点之间的距离，根据题意得出AB ，再根据点A 到点B 的距离等于点C 到点B 的距离，推出BC ，利用数轴上两点之间的距离即可解题．【详解】解： 数轴上A ，B 两点表示的数分别是1和3，31AB ∴=-，点A 到点B 的距离等于点C 到点B 的距离，∴31BC =-，∴点C 表示的数是331231+-=-．故选：B ．6．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）实数a 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．11a a -<<-<B ．11a a -<-<<C ．11a a <-<-<D ．11a a<-<<-【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，掌握“数轴上，右边的数总是大于左边的数”是解决问题的关键．根据相反数的概念作图，然后利用数轴比大小．【详解】解：如图，由数轴可得11a a <-<<-，故选：D ．题型三：实数的大小比较7．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知a 是()22-的负的平方根，22=-b ，364=-c ，则a b c ，，中最大的实数与最小的实数的差是（）A ．6B ．2-C ．8-D ．12-【答案】A 【分析】本题主要考查平方根、立方根、绝对值以及有理数的加减运算，根据题意分别求得a b c ，，，再找到最大值和最小值作差即可．【详解】解：∵a 是()22-的负的平方根，22=-b ，364=-c ，∴2a =-，2b =，4c =-，∴a b c ，，中最大的实数为2与最小的实数4-的差()246--=；故选：A ．8．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）比较实数10-，327-，0，5-的大小，其中最小的实数为（）．A ．10-B ．327-C ．0D ．5-【答案】A【分析】本题主要考查有理数的比较大小，解答本题的关键在于熟练掌握负数与负数，以及负数与0的大小比较的方法．【详解】解：根据“正数0>>负数”，以及两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得：∵3270105->-->>，3027105∴-<-<-<．故选：A ．9．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）下列各式成立的是（）A ．55<B ．333->-C ．3223-<-D ．3027<-【答案】C【分析】根据实数的大小比较的方法逐一分析判断即可．【详解】解：∵255>，∴55>，故A 不符合题意；∵33-=，3333-=，333>，∴333-<-，故B 不符合题意；∵320-<，230->，∴3223-<-，故C 符合题意；∵30327>-=-，故D 不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．题型四：无理数的估算10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若整数a ，b 满足26a <<，610b <<，则a b -=（）A ．5-B ．1-C ．1D ．5【答案】B【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，可估算122<<，263<<，由整数a ，b ，可求出a ，b ，代值计算，即可求解；掌握估算的方法是解题的关键．【详解】解：122<< ，263<<，又 整数a ，b 满足26a <<，610b <<，2a ∴=，3b =，a b∴-23=-1=-；故选：B ．11．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知2023n =，则n 的值可以为（）A ．4045n <<B ．3540n <<C ．3035n <<D ．2530n <<【答案】A【分析】本题考查无理数估算，涉及无理数性质，根据160020232025<<，即可得到答案，熟练掌握无理数的估算方法是解决问题的关键．【详解】解： 160020232025<<，40202345∴<<，故选：A ．12．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）若将2-，5，7，11这四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是（）A ．2-B ．5C ．7D ．11【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，涉及数轴定义，由题中数轴图示可知数的取值范围是3到5之间，对2-，5，7，11这四个无理数的范围进行估算即可得到答案，熟练掌握无理数的估算方法是解决问题的关键．【详解】解：20-<；由459<<得253<<；由479<<得273<<；由91116<<得3114<<；∴能被阴影覆盖的数是11，故选：D ．题型五：无理数的整数和小数部分13．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）实数231-的整数部分为a ，小数部分为b ，则23a b +=（）A ．3237-B ．2231+C ．3236-D ．32312-【答案】C【分析】本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键．利用算术平方根的估算可知4235<<，32314<-<，即3a =，234b =-，由此即可求得结果．【详解】解：∵4235<<，∴32314<-<，∴3a =，∴32314<-<，∴231234b a =--=-，∴()232332346323123236a b +=⨯+-=+-=-．故选：C ．14．（22-23七年级下·湖北咸宁·期末）大家知道，2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用21-来表示2的小数部分．因为2的整数部分是1．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：273<<，故7的整数部分为2，小数部分为72-．已知511+的小数部分为a ，511-的小数部分为b ，则a b +的值为（）A ．1B ．0C ．211D ．2116-【答案】A【分析】根据无理数的估算方法分别表示出a 和b ，再代入a b +计算即可．【详解】∵3114<<，11-4<-<-3，∴85119<+<，111<5-<2，∴511+的整数部分为8，511-的整数部分为1，∵511+的小数部分为a ，511-的小数部分为b ，∴5118113a =+-=-，5111411b =--=-，∴1134111a b +=-+-=．故选A ．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．15．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）已知610+的小数部分为a ，610-的小数部分为b ，则()2023a b +的值是（）A ．1B ．1-C ．10D ．36【答案】A【分析】根据题意得出103,410a b =-=-，进而即可求解．【详解】解：∵3104<<，∴961010<+<，26103<-<∴610+的小数部分为6109103+-=-，610-的小数部分为()6102410--=-，∴103,410a b =-=-∴()()20232023103410=1a b +=-+-，故选：A ．【点睛】本题考查了无理数的估算，根据题意得出103,410a b =-=-是解题的关键．题型六：实数的运算16．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若实数a ，b 满足13a b +=-，则（）A ．a ，b 都是有理数B ．a b -的结果必定为无理数C ．a ，b 都是无理数D ．a b -的结果可能为有理数【答案】D【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可．【详解】解：A 、当2a =时，13213b =--=--，a 是有理数，b 是无理数，故A 错误；B 、当1322a b ==-，那么0a b -=，所以B 错误；C 、当2a =时，13,b a =--是有理数，故选项C 错误；D 、当1322a b ==-，那么0a b -=，所以选项正确，D 正确．故选：D ．17．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）计算：(1)()()223283---+；(2)3162327+--．【答案】(1)7；(2)33-．【分析】本题考查了算术平方根与立方根、化简绝对值，熟练掌握算术平方根与立方根和运算法则是解题关键．（1）先计算算术平方根与立方根及乘方，再计算实数的加减法即可得；（2）先计算算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得．【详解】（1）解：()()223283---+()223=--+7=；（2）解：3162327+--4233=+--33=-．18．（23-24七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点A 表示的数5，点A ，点B 关于原点对称，把点A 向右移动2个单位得到点C ，设点B 表示的数为m ，点C 所表示的数为n ．(1)数m 的值是__________；数n 的值是__________；(2)求()222m n ++-的值．【答案】(1)5-，52+(2)35+【分析】本题主要考查了实数和数轴．（1）根据关于原点对称的两个数的特征和数轴上两点间的距离公式，进行解答即可；（2）把（1）中所求m ，n 的值代入所求代数式，进行计算即可．【详解】（1）解：∵点A 表示的数5，点A ，点B 关于原点对称，∴点B 表示的数是5-，∴5m =-，∵把点A 向右移动2个单位得到点C ，∴点C 表示的数52n =+，故答案为：5-，52+；（2）解：∵由（1）可知5m =-，52n =+，∴()222m n ++-()2|25|522=-++-()2525=-+525=-+35=+．题型七：实数的程序框图或新定义运算19．（23-24七年级上·山东淄博·期末）设[]x 表示最接近x 的整数（0.5x n ≠+，n 为整数），则[1][2][3]...[21]++++=（）A ．32B ．46C ．64D ．65【答案】D【分析】本题考查对题干的理解和对二次根式的估算，根据21.5、22.5、23.5、 的取值，判断[]x 最接近x 的整数为多少，最后将这些数相加即可．【详解】解：21.5 2.25=，即有2个1；22.5 6.25=，即有4个2；23.512.25=，即有6个3；24.520.25=，即有8个4；则剩余1个数为5．故[1][2][3]...[21]++++=21426384565=⨯+⨯+⨯+⨯+=．故选：D ．20．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下：(1)在1-，2，4，16中选择3个合适的数分别输入x ，求对应输出y 的值．(2)若输出y 的值为3-，求输入x 的值．【答案】(1)当2x =时，2y =-；当4x =时，2y =-；当16x =时，=2y -(2)3或9【分析】（1）将2x =，4，16分别代入，计算求解即可；（2）由题意知，分当3-是无理数的相反数时，当3-是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可．【详解】（1）解：当2x =时，其算术平方根为2，是无理数，故2y =-；当4x =时，其算术平方根为2，是有理数，故2y =-；当16x =时，其算术平方根为4，是有理数，故42y =-=-；（2）解：当3-是无理数的相反数时，则x 的算术平方根是3，∴3x =，当3-是有理数的负平方根时，则x 的算术平方根的负平方根是3-，∴9x =，综上所述，x 的值为3或9．【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键．21．（23-24七年级上·湖北·期末）对于有理数a ，b 满足1a b ab -=+，我们称使等式成立的一对有理数a ，b 为“相伴有理数对”，记为(),a b ．如()3,2-满足：32321--=-⨯+；12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭满足：1122133-=⨯+；所以数对()3,2-，12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭都是“相伴有理数对”．(1)数对()1,1-，()1,0中，是“相伴有理数对”的是______；(2)若()21,3x -是“相伴有理数对”，求x 的值；(3)若(),m n 是“相伴有理数对”，则()1372n mn mn m n -+-+⎡⎤⎣⎦的值为______．【答案】(1)()1,0(2)12x =(3)12【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，整式的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给“相伴有理数对”的定义．（1）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，进行判断即可；（2）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，列出方程求解即可；（3）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，得出1mn m n =--，将()1372n mn mn m n ⎡⎤-+-+⎣⎦化简，再将1mn m n =--代入，即可解答．【详解】（1）解：∵11111--≠-⨯+，∴()1,1-不是“相伴有理数对”，∵10101-=⨯+，∴()1,0是“相伴有理数对”，故答案为：()1,0；（2）解：∵()21,3x -是“相伴有理数对”∴()2133211x x --=-+，解得：12x =；（3）解：∵(),m n 是“相伴有理数对”，∴1m n mn -=+，∴1mn m n =--()1372n mn mn m n ⎡⎤-+-+⎣⎦()1372n mn mn m n =-+--7113222n mn mn m n=-+--111222n m mn =-+把1mn m n =--代入得：原式()1111222n m m n =-+--1111122222n m m n =-+--12=．故答案为：12．题型八：与实数有关的规律问题22．（22-23七年级下·广东江门·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：1-，2，33，2-，5，36，7-，8，39，10-，…则按此规律可推得这一列数中的第2023个数应是()A ．2023B ．2023-C ．32023D ．2023【答案】B【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2023个数．【详解】解：∵一列实数：1-，2，33，2-，5，36，7-，8，39，10-，…，∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数、算术平方根、立方根，∵202336741÷=⋯，∴这一列数中的第2023个数应是2023-，故选：B ．【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．23．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期中）有一列数按如下规律排列：231567,,,,,,244163264----⋅⋅⋅则第2017个数是（）A ．201620172-B ．201620172C ．201720182-D ．201720182【答案】C【分析】由1448=，则可得分子、分母的规律及符号的规律，从而可得结果．【详解】解：23567,,,,,,2416648324----⋅⋅⋅，符号两项负一项正循环，而20173672÷=…1，则第2017项的符号为负；分子是从2开始的连续自然数的算术平方根，即()11n n +≥，则第2017项的分子为2018；分母是以2为底数的乘方，且指数从1开始，且分子的被开方数比分母指数大1，即()21nn ≥，则第2017项的分母为20172，综合得第2017个数是201720182-；故选：C ．【点睛】本题考查了无理数规律的探索，找到规律是解题的关键．24．（22-23七年级上·贵州铜仁·期中）观察下列等式122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，．．．，则234202322222+⋅⋅⋅++++的末位数字是（）A ．8B ．4C ．6D ．0【答案】B【分析】根据算式得到2的乘方的结果中末位数字依次为：2，4，8，6，2，4，8，6，L ，由此得到末位数字的规律是每四个为一个循环，由此得到答案．【详解】解：由题意得到：2的乘方的结果中末尾数字依次为：2，4，8，6，2，4，8，6，L ，∵248620+++=，∴每4个算式相加的结果的末位数字为0，∵20234505÷=余3，∴24814++=∴234202322222++++⋅⋅⋅+的末位数字是4，故选：B ．一、单选题25．（23-24七年级上·浙江温州·期末）在13-，6，1.23，0这四个数中，属于无理数的是（）A ．13-B ．6C ．1.23D ．0【答案】B【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数．据此解答即可．【详解】解：在13-，6，1.23，0这四个数中，13-，1.23，0是有理数，6是无理数，故选：B ．26．（23-24七年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，数轴上表示2、5的对应点分别为C 、B ，点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是（）A ．5-B ．25-C ．45-D ．52-【答案】C【分析】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上AB 之间的距离是A B AB x x =-．设点A 表示的数是a ，求出BC 之间的距离，求出AC ，即可得出关于a 的方程，求出即可．【详解】解：设点A 表示的数是a ，在数轴上数表示2，5的对应点分别是C 、B ，B ∴、C 之间的距离是52BC =-，点C 是AB 的中点，52AC BC ∴==-，C 点表示的数是2，A 点表示的数是a ，252a ∴-=-，解得：45a =-．故选：C ．27．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若22a =-，则（）A ．322a -<<-B ．312a -<<-C ．112a -<<-D ．102a -<<【答案】C【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算无理数22的大小，进而得出22-的大小即可．【详解】解：122<< ，12122\<<，21221<-<-\-，故选：C ．28．（2024七年级下·全国·专题练习）对于整数n ，定义[]n 为不大于n 的最大整数，例如：[]22 4.55[]=-=-，，则5⎡⎤⎣⎦和[]-π的距离为（）A ．2B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】此题考查了无理数的估算和新定义，先估算出5⎡⎤⎣⎦的范围，再根据新定义得到52⎡⎤⎣⎦=，[]4π-=-，即可得到答案．【详解】解：∵459<<，∴253<<，∴52⎡⎤⎣⎦=，[]4π-=-，则()24246--=+=，则5⎡⎤⎣⎦和[]-π的距离为6，故选：C ．29．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）在数π3，37，0，0.34，16，1.010010001中，无理数有【答案】π3【分析】此题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握初中范围内学习的无理数有：含π的数字算式；开方开不尽的数；以及特殊构造的数，像0.1010010001…．无理数就是无限不循环小数．有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数．据此逐一判断．【详解】在实数π3，37，0，0.34，164=，1.010010001中，37，0，0.34，1.010010001是有理数，164=是有理数，π3是无理数．故答案为：π3．30．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）数轴上点A 表示的数为1，点B ，C 分别位于点A 的两侧，且到点A 的距离相等．已知点B 到原点的距离为2，则点C 表示的数是．【答案】22-或22+【分析】本题主要考查了有关实数和数轴的简单应用，先根据点B 到原点的距离，求出点B 表示的数，然后分两种情况：当点B 在点A 右侧时和当点B 在点A 左侧时，利用两点间的距离公式，求出AB 和AC ，进行解答即可．【详解】解：∵点B 到原点的距离为2，∴点B 表示的数是2±，当点B 在点A 右侧时，∵点A 表示的数为1，点B 表示的数为2，∴21AB =-，∵点B ，C 到点A 的距离相等，∴21AC AB ==-，∴当点B 表示的数是2时，点C 表示的数是：211(21)122---+-==；当点B 在点A 左侧时，∵点A 表示的数为1，点B 表示的数是2-，∴()1212AB =--=+，∴21AB AC ==+，点C 表示的数是211(12)221+++++==，综上可知：点C 表示的数为：22-或22+，故答案为：22-或22+．31．（23-24七年级下·湖北·周测）计算：(1)22018318(2)(1)4+--+-(2)2(5)|25|5-+--【答案】(1)92(2)3【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及立方根，算术平方根，绝对值化简，乘方等知识；（1）根据立方根，算术平方根，绝对值化简，乘方，计算即可．（2）根据算术平方根，绝对值化简，计算即可．【详解】（1）22018318(2)(1)4+--+-12212=+-+92=．（2）2(5)|25|5-+--55253=+--=．32．（23-24七年级上·山东威海·期末）对于如下运算程序：(1)若27m =，则n =；(2)若输入m 的值后，无法得到n 的值，则输入m 的值是．【答案】(1)33(2)1或1-或0【分析】本题主要考查了立方根，无理数，解题的关键是掌握立方根，无理数的定义．（1）根据题目中的运算程序代入计算即可；（2）综合立方根和无理数的定义即可求解．【详解】（1）解：输入27m =，得到3273=，3不是无理数不能输出，返回可得：33，33是无理数可以输出，∴33n =，故答案为：33；（2） 311=，311-=-，300=，∴输入m 的值为1或1-或0时，无法得到n 的值，故答案为：1或1-或0．一、单选题33．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）估计133+的值在（）A ．8和9之间B ．7和8之间C ．6和7之间D ．5和6之间【答案】C【分析】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．根据算术平方根的定义，估算无理数133+的大小即可．【详解】解：∵239=，2416=，而91316<<，∴3134<<，∴61337<+<，故选：C ．34．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知a 、b 为有理数，现规定一种新运算“※”，满足3a b b ab =-※，若22x =※，则x 的值为（）A ．4-B ．2-C ．2D ．12【答案】C【分析】本题考查实数定义下的新运算问题，解一元一次方程．根据题意将22x =※变形为一元一次方程计算即可．【详解】解：∵3a b b ab =-※，∴22x =※可整理成：3222x ⨯-=，即：622x -=，解得：2x =，故选：C ．35．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示52,43--，则点A 表示的数可能为（）A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-【答案】C【分析】本题考查无理数的估算，先根据数轴得到5048a -<<-，然后确定数值是解题的关键．【详解】解：设点A 表示的数为a根据数轴上点的位置可得5243a -<<-，即5048a -<<-，符合要求的为7-，故选：C ．36．（2024八年级·全国·竞赛）已知220172017s =+，则s 的整数部分是（）A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019【答案】B【分析】本题考查对无理数整数部分的估算，利用先平方再开方的方法对式子进行变形，即可判断s 的整数部分．【详解】解：由题知，2220172017s =+，又222201720172017201720182018=⨯<<+，22017201720172018∴<+<则s 的整数部分是2017，故选：B ．37．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a 与b ，满足()()3,*3,a b a b a b a b a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，譬如5*335312=⨯-=，118*131333=-⨯=-，若有理数x 满足*312x =，则x 的值为（）A ．21或4B ．5或21C ．4D ．5【答案】D【分析】本题考查了定义新运算，解题的关键是熟练掌握新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程根据“*”的定义，分为两种情况，①当3x ≥时，3312x -=，②当时3x <，3312x -⨯=，解一元一次方程，符合题意的值即为所求．【详解】∵*312x =，∴当3x ≥时，*333x x =-，∴3312x -=，解得，5x =，当3x <时，*333x x =-⨯，∴3312x -⨯=，解得，21x =，不合，舍去．∴5x =．故选：D ．38．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A 与数轴的原点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点A 到达了点B 的位置，则线段AB 的中点表示的数是（）A ．2π-B ．3π2-C ．π-D ．π2-【答案】C 【分析】此题考查数轴上数的表示方法，正确理解题意是此题的关键，AB =圆滚动一周的周长，先求得AB 的长度，从而求得线段AB 的中点表示的数AB =．圆滚动一周的周长，代入计算即可得到答案．【详解】212AB ππ=⋅=，∴此时点B 表示的数是2π-，∴线段AB 的中点表示的数为π-．故选C ．39．（2024七年级·全国·竞赛）若7的整数部分为a ，小数部分为()(),7b a a b -+的值为（）A ．3B ．727-C ．27+D ．273-【答案】B【分析】本题考查了整式的乘法、无理数的估算等知识，先对无理数就行估算，再对式子进行化简即可，熟练整式的乘积和无理数的估算是解题的关键．【详解】解：由题意可得7+=a b ，24793=<<= ，2a ∴=，()()7(72)7727a a b ∴-+=-⋅=-，故选：B ．二、填空题40．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n ，记#n 表示不大于n 的最大完全平方数，记#n n n =-△．例如：##784==，7743=-=△．则2024△的值为，计算####12320241232024++++= △△△△．【答案】882024【分析】本题考查了数的新定义的运用．理解新定义的意义是解决此类问题的关键；多个分式相加，要注意找到计算规律和技巧．（1）##202420242024,2024=-V 表示不大于2024的最大完全平方数，22441936,45=2025,193620242025=<<，那么#20241936 ,=代入求解即可；（2）分别求得###1,1;2,22024,2024⋯V V V 的值，得到所给代数式的分母和分子的规律，计算即可．【详解】解：（1）∵#2024表示不大于2024的最大完全平方数，193620242025<<，#20241936.∴=#2024202420242024193688.∴=-=-=V （2）由题意得：#11=，##111110,11;∴=-=-==V #21,=Q ##222211,21;∴=-=-==V #31,=Q ##333312,31;∴=-=-==V #44,=Q ##444440,42;∴=-=-==V #54,=Q ##555541,52;∴=-=-==V #64,=Q ##666642,62;∴=-=-==V #74,=Q ##777743,72;∴=-=-==V#84,=Q ##888844,82;∴=-=-==V ...#20241936,=Q #2024202420242024193688,∴=-=-=V #202444.=分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束．####12320241232024∴+++⋯+VV V V 01201234012881112222244444444⎛⎫=++++++++⋯++++⋯+ ⎪⎝⎭012012340123456123++++++++++++=++01238844++++⋯++⋯+3579(2441)=++++⋯+⨯+357989=++++⋯+(389)442024.2+⨯==故答案为：88，2024．41．（2024八年级·全国·竞赛）计算：2326351112111127242253⎛⎫--+--++-= ⎪⎝⎭．【答案】2720/7120【分析】本题考查了实数的混合运算，先逐项化简再算加减即可．【详解】解：原式13931273245320=--+++=．42．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，五条线段AC 、BD 、CE 、DA 、EB 分别交于点F 、G 、H 、I 、J ，图中的10个点分别表示一个有理数，且五条线段上4个点表示的数的和都相等，已知F 、G 、H 、I 、J 、A 表示的数分别是1、2、3、4、5、6，则点C 表示的数为．【答案】1-【分析】本题主要考查了实数的运算问题，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．设C 、D 、E 表示的数分别为：c 、d 、e ，根据五条线段上4个点表示的数的和都相等列等式计算即可．【详解】解：设C 、D 、E 表示的数分别为：c 、d 、e ，根据题意得：62345e ++=++，解得：2e =，∵2134e d ++=++，∴2d =-，∵6236152c +++=++-，∴1c =-．故答案为：1-．三、解答题43．（23-24八年级上·江西抚州·期末）已知52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 是13的整数部分．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求2a b c -+的平方根．【答案】(1)5,2,3a b c ===；(2)2±.【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a ，b ，c 的值；（2）将a ，b ，c 的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．【详解】（1）解：52a + 的立方根是3，3523a ∴+=，解得5a =，31a b +- 的算术平方根是4，2314a b ∴+-=．把5a =代入可得2b =，c 是13的整数部分，3c ∴=；5,2,3a b c ∴===．（2）解：把5,2,3a b c ∴===代入2a b c -+得：24a b c -+=，2a b c ∴-+的平方根是2±．【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键．44．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对于整数m ，n ，定义一种新的运算“⊙”：当m n +为偶数时，规定()2m n m n m n =++- ；当m n +为奇数时，规定()2m n m n m n =+-- ，(1)当2m =，4n =时，m n = ；(2)已知a 、b 为正整数，()()145a a b b b +--=+ ，求12-+a b 的值．(3)已知a 为正整数，且满足()603a a a a =+ ，求a 的值．【答案】(1)10(2)3-(3)6或15【分析】()1根据m 和n 判断其和为偶数，利用新的运算法则计算即可；()2首先判断a b -和1a b +-的和为奇数，利用新的运算法则化简，结合题意可得21a -为正去绝对值得到24a b -=，整体代入即可求得代数式的值；()3首先得到2a a a +=，必为偶数，则4a a a = ；当a 为偶数时，45a a a +=也为偶数，()413603a a a a a a a ===+ ；当a 为奇数时，45a a a +=也为奇数，()47603a a a a a a a ===+ ，分别解得a 即可．【详解】（1）解：∵2m =，4n =，∴6m n +=，∴()()22242412210m n m n m n =++-=++-=-= ，故答案为：10；（2）∵()121a b a b a -++-=-为奇数，∴()()()1211a b a b a b a b a b a b ⎡⎤-+-=-++----+-⎣⎦ 22121a b =-+-，∵a 、b 为正整数，∴()()12212142345a b a b a b a b b -+-=-+-=+-=+ ，解得24a b -=，则()1212143a b a b -+=--=-=-．（3）∵2a a a +=，必为偶数，∴()24a a a a a a a =++-= ；当a 为偶数时，45a a a +=，也为偶数，()425313603a a a a a a a a a ==⨯+==+ ，解得：6a =；当a 为奇数时，45a a a +=，也为奇数，()42537603a a a a a a a a a ==⨯-==+ ，解得：15a =．综上所述，6a =或15a =．【点睛】本题主要考查新定义下的整式混合运算、有理数混合运算、绝对值的性质、求解代数式的值和解一元一次方程，解题的关键是熟练合并同类项和绝对值的性质，以及应用分类讨论思想．45．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周，无滑动，圆上与原点重合的点O 到达点A ，设点A 表示的数为a ，(1)求a 的值；(2)求32712a π⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭的算术平方根．(3)利用计算器计算时，按键：，显示结果是________．【答案】(1)2=-a π(2)4(3)0【分析】本题考查了实数与数轴，实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．（1）求出圆的周长即可求出a 的值；（2）把a 的值代入化简即可；（3）根据按键顺序列出算式计算即可．【详解】（1）∵圆的周长为2π，点A 在原点左边，∴2=-a π；（2）∵2=-a π，∴32712⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭a π2312ππ-⎛⎫=---- ⎪⎝⎭。

1、 七年级数学讲义一：实 数姓名【知识梳理】实数的分类无理数数轴上的点与实数一一对应右边的点表示的数比左边的大数轴上两点之间的距离b a AB -=实数的运算 分数指数幂已知下列实数： ,1020.5,23,0,1.2,25,,722,14.3,32⨯-•π25， 1010010001.1（每两个1之间依次多一个0）.（1）按要求填空：无理数有______________________________,有理数有______________________________，整数有________________________________.分数有______________________________,（2）请在数轴上用点A 、点B 分别表示5-,3的大致位置.（3）求出点A 、点B 之间的距离.（结果保留3个有效数字）例题2 平方根.立方根,n 次方根的概念填空：（1）64的平方根是______； （2）64-的立方根是______；（3）64=______； （4）32的五次方根是______；（5）1的四次方根是______； （6）0的立方根是_______；（7）已知42=x ，则=x _______； （8）4的平方根是_____.练习： 1．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根．2．的算术平方根是________．3．9的算术平方根是________，81的算术平方根是________．4．36的平方根是________，若362=x ，则x ＝________．5．22的平方根是________，3)4(--的平方根是________，3)4(--的算术平方根是________．6． 81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是_______，7．当a ________时，1-a 有意义．8、 求下列各式的值．（138-= （2）327= （3）30.125-=（4）33(0.001)--= （53512= （6）32764--= （7）0.0196= （8）0.0225= （90.0169=9．23a -与5a -是同一个数的平方根，求这个数例题3 概念辨析：下列等式是否正确改错。