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■ ▓ 等差数列与等比数列
数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列中最基本的是等差数列与等比数列。
从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。
一、 等差数列
等差数列 an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
二、 等比数列
如果等比数列的公比q满足0＜∣q∣＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为：
从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，则有：
ap·aq=am·an，
记πn=a1·a2…an，则有
第16卷第6期
1995年12月吉安师专学报(自然科学)
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6
1995
等差数列与等比数列的同构性
肖如栋
(江西吉安市四中吉安343000)
摘要从同构的观点研究等差数列与等比数列,
得出它们在本质上一致的结果
关键词同构等差数列等比数列
高等代数中关于两个线性空间的同构的定义是:
数域P上两个线性空间V
与护称为同构的,
如果存在一个V到功的一一映射口,
具有以
下性质:
1)d
(a
+夕)=。
(a
)+。
(夕)
2)口
(ka
)~k口
(a
)
其中a、
夕是V中的任意向量,
k是P中任意的数,。
也叫同构映射
同构映射还有一些性质比如V
中零元素o
的象武0)是V’中的零元素;V中元素a
的负
元素一a
的象。
(一a
)是a
的象。
(a
)的负元素,
即a
(一a
)=一。
(a
)
在同构的意义下,
两个同构的线性空间,
抽象地看是没有什么区别,
一个线性空间有一个
只与这个集合的运算有关的性质那么另一个线性空间也有一个完全类似的性质
一
这样,
同构映射是比较两个线性空间时最有效的工具下面我们就用这一工具来看中学教
材中的等差数列与等比数列
实数集R对于通常数的加法与乘法构成一个R上的线性空间它的零元素为数。,a
的负
元素为一.a
在正实数集R一
中,
规定
a
ob=ab,
kOa
~a去,
则R一
对于这样规定的加法与数量乘法也构成R上的一个线性空间,
它的零元素为1,a
的负元
素为生
X
se叫卜
显然d
是R到R一
的一个映射,
下面证明
若x:
护二:
则2`
护2’,,
因而。
是单射2才
。
是同构映射中R
一R
口“
令
任取yeR一,
存在x=logyz任R使得武x)=2吮户二y,
即。
是满射
所以。
是一一映射
收稿日期,5一,一190t.4
吉安师专学报(自然科学)1995
年
任取“
b任R则以u
+l,)二o2一`
一2`
2`
一以a)叭b)二以a)①以l,)
任取k任Ra
任R则。
(ka
)=2去`
二(2
)`
=(。
(a
))`
1 等差数列的性质与应用 姓名_______
1.已知等差数列na满足244aa，3510aa，则它的前10项的和10S（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
2.若等差数列{}na的前5项和525S，且23a，则7a（ ）
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15
3.设等差数列na的前n项和为nS,若111a,466aa,则当nS取最小值时,n等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4数列na的首项为3，nb为等差数列且1(*)nnnbaanN．若则32b，1012b，则8a
（ ）
A．0 B．3 C．8 D．11
5.已知na为等差数列，其公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为na的前n项和，*nN，则10S的值为（ ）
A．-110 B．-90 C．90 D．110
6设nS为等差数列}{na的前n项和。已知)6(144,324,3666nSSSnn，则n等于( )
A.16 B.17 C.18 D.19
7等差数列na的前n项和记为nS，345aaa++若的值是一个确定的常数，则数列{nS}中也为常数的项是 （ ）
A7 .S B.8S C.13S D.15S
8设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
新课室设计室 ・－爆例勃析 等差数列与等比数列的类比 浙江温州市瓯海区教师发展中心 朱彤 一、案例背景 １．本课是在学习了类比推理这一内容后的探究课，学 生在高一已经学习过等差数列与等比数列，但是肯定会遗 忘较多的内容。教师首先安排复习等差数列的定义及简单 的性质，使学生利用类比的方法来复习等比数列，在这个 过程中体会“差与比，加与乘，乘与乘方，除与开方”的 类比，从而为后面的学习打下了基础。 ２．类比推理的方法对学生来说是比较难的，很哆学生 不知道从何处去类比，数列是一个比较好的题材，通过有 关问题的解决，既加深了对等差数列与等比数列的认识， 又让学生对类比的方法、实质有所体验，还可让学生体验 “大胆猜想——小心论证”的严谨的数学发现历程。 二、案例内容 １．设置情境。展示图片（李四光的照片），回顾李 四光发现大庆油田的过程： 中亚西亚与松辽平原有着极其相似的地质结构，因为 中亚西亚有大量的石油，于是他推测松辽平原也有大量的 石油。后来经过勘探，发现了大庆油田。 提问：李四光这种思维方式蕴含了哪种推理方法？ 学生：类比推理。 通过上述的情境设置，很自然地引入本节课的课题， 又可以帮助学生更好地理解类比推理的概念。根据奥苏伯 尔的有意义学习理论，学生在概念学习时，原有认知结构 中是否有用来同化新知识的适当观念是决定数学概念能否 顺利掌握的关键因素。如果学生头脑中没有适当的知识作 为理解新概念的固定点，那么原有认知结构的扩充和新概 念结构的建立就不可能发生。经过情境设置展现了原有知 识结构，使学生对概念的认识更加深刻。 ２．复习回顾等差数列与等比数列（设置如下表格） 数列 等差数列 等比数列 定义 ，Ｈｌ—Ｃｉ ＝ｄ（＂∈Ｎ） ＝ｑ ∈Ⅳｊ 通项公式 ＝ ｌ＂４－（ 一１）ｄ Ｈ＝ １・ｑ 一 ｆＩｎ、ｎ、ｋ∈Ｎ ｆ ｍ、ｎ、ｋ∈Ｎ 中项公式 若１ ２ｎ＝ｍ＋后 ， 若ｊ ２ ： ＋后 ， ２ａ．＝ ＋ ‘＝ａ ‘ａｋ ＃ｆｍ、ｎ、Ｐ、ｑ∈Ｎ 若 ｎ、ｐ、ｑ∈ 简单性质 署１ｍ＋ ：ｐ＋ｇ ’ Ｉｍ＋ ＝Ｐ＋ｇ 口ｍ－Ｉ－ｑ ＝ ｐ＋ａｑ ａⅢ‘ａｎ ａｐ。ｄ目 在上述问题中，可以先一起复习等差数列，让学生利 用类比的思想白行得出等比的相关概念。通过这一回顾， 使学生体会到等差数列和等比数列在概念形式上的相似之 处。 ３．运用类比推理进行探究。在认识了运用类比推理进 行探究的方法之后，教师设置了如下若干性质探究的问题 供学生思考。 ［Ｉ司题１］在等差数列 ｝中，若ａ 。＝０，则有ａ ＋ａ：＋．．・ ＋ａ，＝ａ，＋ａ ＋¨・＋ａ 类比上述性质，在等比数列（ｂ ｝中，若 ｂｍ＝０，则有 。 问题１让学生来类比等比数列中相应的性质，并加以证 明。一方面从形式上可以帮助学生进一步体会等差与等比 性质中“和与积”的类比，另一方面，从证明方法上也进 行类比证明。这样的问题，在学生理解性质后，初步体验 了发现问题并解决问题的“类比”方法。 接着，进行如下变式练习： 等差数列ｆａｎ｝中，若ａ．０＝０，则有ａｌ＋ａ２＋．．・＋ａ ＝ａｌ＋ａ２＋－．・ ＋ａ 类比上述性质，在等比数列ｆｂ ）中，若ｂ ＝１，则有 启发引导学生如何通过类比得到正确结论，使学生经 历运用类比思想方法研究数列问题的过程。 【问题２】已知等差数列ｌ ｌ的前 项和为 ＝”ｑ＋ ， 用类比的方法，写出等比数列｛ｂ ）的前ｎ项积的表达式Ｔ ＝ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一ＬＪ 【问题３］等差数列有如下性质：若数列｛ａ ｝为等差数列， ： 竺 则当” 时，数列ｆｂ ｌ也是等差数列；类 比上述性质，相应地，若数列ｆｃ ｝是正项等比数列，当ｄ ＝ ——时，数列｛ｄ ｝也是等比数列。 通过上述两个问题，让学生进一步体会“加、减、 乘、除”依次变成“乘、除、乘方、开方”的变换。 『『口］题４］若｛ａ ）为等差数列，则ｆａｎ＋ｌ＋ａ ｝也成等差数列。 由此经过类比，若（ｈ ｝为等比数列你能得到什么结论？ 在教学过程中发现，有近８５％的学生最初得到了｛ｂ ・
