高中数学人教A版必修一学案 1.3.1 单调性与最大(小)值(一)

四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。

提高学生概括、推理的能力。

通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。

课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

通过练习。

第三章 函数的概念与性质 3.2.1 单调性与最大（小）值教学设计一、教学目标1.理解增函数、减函数的概念，经历概念的形成过程，会用函数增减性的概念判断函数在某一区间上的增减性，会求给定函数的单调性.2.理解函数最大（小）值的概念及其几何意义，会求函数在某一区间上的最大（小）值.3.会运用函数图象理解和研究函数的单调性. 二、教学重难点 1. 教学重点理解函数单调性的概念；判断函数的单调性；求函数的最大（小）值. 2. 教学难点 判断函数的单调性. 三、教学过程 （一）新课导入上节我们学习了函数的定义和表示法，知道函数y =f (x )(x ∈A )描述了客观世界中变量之间的一种对应关系.通过画图我们能更直接的研究函数的性质. (学生分析P76的三个图形的性质，老师引导并补充) （二）探索新知 探究一：实例探究（引出单调性，从初中学过的二次函数图象入手，学生更容易理解，接受）在初中，我们利用函数图，像研究过函数值随自变量的增大二增大（或减小）的性质，这一性质叫单调性.下面进一步用符号语言刻画这种性质.先研究二次函数2()f x x =的单调性. 画出它的函数图象，可以看到：图象在y 轴左侧部分从左到右是下降，也就是说，当x <0时，y 随x 的增大而减小.用符号语言描述，就是任意取12,(,0]x x ∈-∞，得到221122(),()f x x f x x ==，那么当12x x <时，有12()()f x f x >.这时，我们就说函数2()f x x =在区间(,0]-∞上是单调递减的.（老师分析函数左侧的图象，右侧的图象让学生讨论分析，老师及时补充纠正） 图象在y 轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当x >0时，y 随x 的增大而增大.用符号语言描述，就是任意取12,[0,)x x ∈+∞，得到221122(),()f x x f x x ==，那么当12x x <时，有12()()f x f x <.这时我们就说函数2()f x x =在区间[0,)+∞上是单调递增的.（老师给学生时间分组讨论思考题，画出图象分析） 思考：函数2(),()f x x f x x ==-各有怎样的单调性？()f x x =的图象如图(1)，图象在y 轴左侧从左到右是下降的，也就是说，当x <0时，y 随x 的增大而减小，用符号语言描述就是任意取12,(,0]x x ∈-∞，则1122(),()f x x f x x ==，当12x x <时，有12()()f x f x >，所以()f x x =在区间(,0]-∞上单调递减的.类似地，()f x x =在区间[0,)+∞是单调递增的.2()f x x =-的图象如图(2)，图象在y 轴左侧从左到右是上升的，也就是说，当x <0时，与y 随x 的增大而增大，用符号语言描述就是任意取12,(,0]x x ∈-∞，则221122(),()f x x f x x =-=-，当12x x <时，有12()()f x f x <，所以2()f x x =-在区间(,0]-∞上是单调递增的.类似地，2()f x x =-在区间[0,)+∞上是单调递减的. 探究二：单调性的定义(从上面描述的三个图象中，可归纳总结出单调性的定义.) 定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D I ⊆：如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就称函数f (x )在区间D 上单调递增.特别地，当函数f (x )在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就称函数f (x )在区间D 上单调递减.特别地，当函数f (x )在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.（同学分组讨论P77的第二个思考题，老师在学生的基础上在补充举例，让学生更全面的了解单调性的定义.） 探究三：单调性的应用（老师把例题展示在PPT 或黑板上，让学生独立思考后在进行讲解）例1 根据定义，研究函数()(0)f x kx b k =+≠的单调性.分析：根据函数单调性的定义，需要考察当12x x <时，12()()f x f x <还是12()()f x f x >.根据实数大小关系的基本事实，只要考查()()12f x f x -与0的大小关系.解：函数()(0)f x kx b k =+≠的定义域是R . 12,x x ∀∈R ，且12x x <，则 由12x x <，得120x x -<.所以①当k >0时，()120k x x -<.于是()()120f x f x -<，即12()()f x f x <.这时，()f x kx b =+是增函数.②当k <0时，()120k x x ->.于是()()120f x f x ->，即12()()f x f x >.这时，()f x kx b =+是减函数.例2 物理学中的玻意耳定律kp V=（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大.试对此应用函数的单调性证明.分析：根据题意，只要证明函数((0,))kp V V=∈+∞是减函数即可. 证明：21,(0,)V V ∀∈+∞，且21V V <，则11212212.V V k kp k V V V p V --=-=由12,(0,)V V ∈+∞，得120VV >； 由12V V <，得210V V ->.又k >0，于是210,p p ->即21.p p > 所以，根据函数单调性的定义，函数((0,))kp V V=∈+∞是减函数.也就是说，当体积V 减小时，压强p 将增大.例3 根据定义证明函数1y x x=+在区间(1,)+∞上单调递增. 证明：12,(1,)x x ∀∈+∞，且12x x <，有由12,(1,)x x ∈+∞，得121, 1.x x >> 所以12121,10.x x x x >-> 又由12x x <，得120.x x -< 于是()12121210,x x x x x x --<即12y y <. 所以，函数1y x x=+在区间(1,)+∞上单调递增. 定义法判断函数单调性的一般步骤： ①取值：在指定区间内任取12,x x ，且12x x <②作差变形：作差21()()f f x x -，利用因式分解、配方等方法进行变形 ③判号：判断21()()f f x x -的符号 ④定论：确定函数的单调性 探究四：函数的最大（小）值定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)x I ∀∈，都有()f x M ≤； (2)0x I ∃∈，使得0()f x M =.那么，我们称M 是函数y =f (x )的最大值.（学生仿照最大值定义给出最小值定义，老师在规范用词） 定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)x I ∀∈，都有()f x M ≥； (2)0x I ∃∈，使得0()f x M =.那么，我们称M 是函数y =f (x )的最小值.（老师提醒学生两条缺一不可，并说明其原因）例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为2() 4.914.718h t t t =-++，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？解：画出函数2() 4.914.718h t t t =-++的图象，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数2() 4.914.718h t t t =-++，我们有： 当14.7 1.52( 4.9)t =-=⨯-时，函数有最大值24( 4.9)1814.729.4( 4.9)h ⨯-⨯-=≈⨯- 于是，烟花冲出后1.5s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m. 例5 已知函数2()([2,6])1f x x x =∈-，求函数的最大值和最小值. 分析：由函数2()([2,6])1f x x x =∈-的图象可知，函数2()1f x x =-在区间[2,6]上单调递减.所以，函数2()1f x x =-在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值. 解：12,[2,6]x x ∀∈，且12x x <，则由1226x x <，得()()21120,110x x x x ->-->， 于是()()120f x f x ->，即()()12f x f x >. 所以，函数2()1f x x =-在区间[2,6]上单调递减. 因此，函数2()1f x x =-在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x =2时取得最大值，最大值是2；在x =6时取得最小值，最小值是0.4. （三）课堂练习1.下列函数在(),0-∞上为减函数的是( ) A. 223y x x =-+ B. 11y x =+ C. 1y x=-D. 4y =答案：A解析：对于A,对称轴是1x =,在(),0-∞上为减函数， 对于B,在(),1-∞-上为减函数，不合题意， 对于C, (),0-∞上为增函数，不合题意， 对于D ，是常函数，不合题意， 故选：A.2.判断函数9()f x x x=+在(0,)x ∈+∞上的单调性并证明你的结论 答案：()f x 在(]0,3上是减函数，在[)3,+∞上是增函数.证明：设任意()120,x x <∈+∞，则121212121212911()()()x x f x f x x x x x x x x x --=-+-=- 又设(]120,3x x <∈,则12()()0f x f x ->∴12()()f x f x >∴()f x 在(]0,3上是减函数 又设[)123,x x <∈+∞，则12()()0f x f x -< ∴12()()f x f x <∴)(x f 在[)3,+∞上是增函数. 3.已知函数21()1x f x x -=+． (1) 证明：函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数； (2) 求函数()f x 在区间[1,17]上的最大值和最小值． 答案：（1）证明：()213211x f x x x -==-++； 设120x x ＞＞，则：()()()()()121221123331111x x f x f x x x x x --=-=++++； ∵120x x ＞＞；∴120x x -＞，110x +＞，210x +＞； ∴()()()12123011x x x x ->++；∴12f x f x （）＞（）；∴f x （）在区间0+∞，（）上是增函数； （2）∵f x （）在0+∞，（）上是增函数；∴f x （）在区间[1]17，上的最小值为11=2f （），最大值为()11176f =． （四）小结作业 小结：1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.单调性的定义3.单调性的应用4.函数最值作业：四、板书设计3.2.1单调性与最大（小）值1.单调性的定义2.单调性的应用3.单调性的解题步骤4.函数的最大值最小值。

【新教材】3.2.1 单调性与最大（小）值（人教A版）1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；2、会根据单调定义证明函数单调性；3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；2、利用函数单调性或图像求最值.难点：根据定义证明函数单调性．一、预习导入阅读课本76-80页，填写。

1．增函数、减函数的定义2、单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的________．[点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“,”连接．如函数y＝1x在(－∞，0),(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．3、函数的最大（小）值1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( )(3)任何函数都有最大值或最小值．( )(4)函数的最小值一定比最大值小．( )2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )A．[－4,4] B．[－4，－3]，[1,4]C．[－3,1] D．[－3,4]3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1,0B ．0,2C ．－1,2 D.12，2 4．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋15．函数f (x )＝2x，x ∈[2,4]，则f (x )的最大值为______；最小值为________． 题型一 利用图象确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:(1)y=3x-2;(2)y=-1x . 跟踪训练一1. 已知x ∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.题型二 利用函数的图象求函数的最值例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.跟踪训练二1.已知函数f(x)={1x ,0<x<1,x,1≤x ≤2.(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.题型三 证明函数的单调性 例3 求证:函数f(x)=x+1x 在区间(0,1)内为减函数. 跟踪训练三1.求证：函数f(x)＝21x在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 题型四 利用函数的单调性求最值例4 已知函数f(x)=x+ 4x .(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.跟踪训练四1.已知函数f(x)＝6x−1(x∈[2,6]，)求函数的最大值和最小值．题型五函数单调性的应用例5已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f34⎛⎫⎪⎝⎭的大小.跟踪训练五1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.题型六单调性最值的实际应用例6“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？跟踪训练六1. 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?1.f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)−f(b)a−b>0，则必有( )A．函数f(x)先增后减 B．函数f(x)先减后增C．函数f(x)是R上的增函数 D．函数f(x)是R上的减函数2.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )A．－1 B．0C．1 D．23．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( ) A．[160，＋∞) B．(－∞，40]C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．(－∞，20]∪[80，＋∞)4.若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f (1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是。

课题：§1.3.1函数的最大（小）值教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．教学过程：一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ （1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ]2,1[-∈x （3）12)(2++=x x x f（4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x 二、新课教学（一）函数最大（小）值定义1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义．（学生活动）注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．（教材P 36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料， 如果矩形一边长为x ，面积为y试将y 表示成x 的函数，并画出25函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2．（新题讲解）旅 馆 定 价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下： 房价（元）住房率（%） 16055 140 65 12075 100 85欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x -元时，住房率为)%102055(⋅+x ，于是得 y =150·)160(x -·)%102055(⋅+x ． 由于)%102055(⋅+x ≤1，可知0≤x ≤90． 因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的） 例3．（教材P 37例4）求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．巩固练习：（教材P 38练习4）三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论四、作业布置1． 书面作业：课本P 45 习题1．3（A 组） 第6、7、8题．提高作业：快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h 和15 km/h ，已知AC=150km ，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？ ABCD。

人教A版必修一《单调性与最大值》教案及教学反思一、教学目标本节课主要教学目标如下：1.知识目标：掌握函数单调性及最大值的概念，掌握函数单调性及最大值的求法，掌握简单的函数最大值求法；2.能力目标：通过对例题的分析与思考，准确地判断函数单调性及最大值；3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生的数学思维能力；二、教学重点1.函数的单调性；2.函数的最大值及最大值的求法；三、教学难点1.函数最大值的求法；2.对最大值的判定要求较高；四、教学过程1. 导入新课本节课主要内容是讲述单调性及最大值的求法。

同学们在以前的学习中已经学过函数二次函数的直观认识及基本性质，对于接下来的学习应该会有一定的帮助。

2. 讲解单调性（1）定义：若函数f(x)的自变量x1与x2满足x1<x2，则有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间(x1,x2)内单调增加或单调减少。

若在函数f(x)的定义域上，对于x<x2总有f(x1)<1f(x2)成立，则称f(x)在其定义域上单调递增；若对于x1<x2总有f(x1)>f(x2)成立，则称f(x)在其定义域上单调递减。

（2）举例：画出函数f(x)=x3−3x2在区间(−1,3)内的图像，并判断其单调性。

3. 讲解最大值（1）定义：对于定义在区间I上的函数f(x)，若存在x∈I，使得f(x)≥f(x)，（x∈I）成立，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值。

（2）举例：函数f(x)=3x4−4x3在区间[0,1]上是否存在最大值？如果存在，求出函数最大值点坐标。

4. 巩固练习同学们可以尝试自己完成以下练习题：（1）若函数f(x)单调递增，当$x\\in(-\\infty,+\\infty)$时，f(x)的图象经过点A(1,3)，则f(0)的值为多少？（2）已知函数$f(x)=\\frac{x^2}{x-1}$(x≠1)，则f(x)的最大值为多少？5. 课堂小结本节课主要讲解了函数的单调性及最大值的求法。

第2课时函数的最大(小)值学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．知识点一函数的最大(小)值思考在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？答案最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值．梳理一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．知识点二函数的最大(小)值的几何意义思考函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．答案当x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，当x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点．梳理一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．1．因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.(×)2．f (x )＝1x(x >0)的最小值为0.(×)3．函数f (x )取最大值时，对应的x 可能有无限多个．(√)4．如果f (x )的最大值、最小值分别为M ，m ，则f (x )的值域为[m ，M ]．(×)类型一 借助单调性求最值 例1 已知函数f (x )＝xx 2＋1(x >0)．(1)求证：f (x )在(0,1]上为增函数； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 考点 函数的最值及其几何意义 题点 由函数单调性求最值(1)证明 设x 1，x 2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1(x 22＋1)－x 2(x 21＋1)(x 21＋1)(x 22＋1)＝(x 2－x 1)(x 2x 1－1)(x 21＋1)(x 22＋1).当0<x 1<x 2≤1时，x 2－x 1>0，x 1x 2－1<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(0,1]上单调递增．(2)解 当1≤x 1<x 2时，x 2－x 1>0，x 1x 2－1>0， f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上单调递减．∴结合(1)(2)可知，f (x )max ＝f (1)＝12，无最小值．反思与感悟 (1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )．(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )． (3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． 跟踪训练1 已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，求函数的最大值和最小值． 考点 函数的最值及其几何意义 题点 由函数单调性求最值解 设x 1，x 2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1 ＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 于是f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以，函数f (x )＝2x －1在区间[2,6]上是减函数．因此，函数f (x )＝2x －1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2， 在x ＝6时取得最小值，最小值是25.类型二 求二次函数的最值例2 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[0,2]，求函数f (x )的最值； (2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最值； (3)已知函数f (x )＝x －2x －3，求函数f (x )的最值． 考点 函数的最值及其几何意义 题点 二次函数最值解 (1)∵函数f (x )＝x 2－2x －3开口向上，对称轴x ＝1，∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f (0)＝f (2)． ∴f (x )max ＝f (0)＝f (2)＝－3，f (x )min ＝f (1)＝－4. (2)∵对称轴x ＝1， ①当1≥t ＋2即t ≤－1时， f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2－2(t ＋2)－3＝t 2＋2t －3. ②当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.③当t ≤1<t ＋t ＋22，即0<t ≤1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.④当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数f (x )的最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －3，t ≤0，t 2＋2t －3，t >0，φ(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3，t ≤－1，－4，－1<t ≤1，t 2－2t －3，t >1.(3)设x ＝t (t ≥0)，则x －2x －3＝t 2－2t －3.由(1)知y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∴当t ＝1即x ＝1时，f (x )min ＝－4，无最大值．反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．(2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题． 跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝x 4－2x 2－3，求函数f (x )的最值； (2)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值；(3)求函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值． 考点 函数的最值及其几何意义 题点 二次函数最值解 (1)设x 2＝t (t ≥0)，则x 4－2x 2－3＝t 2－2t －3.y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∴当t ＝1即x ＝±1时，f (x )min ＝－4，无最大值． (2)∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.∴f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(3)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 设f (x )在[t ，t ＋1]上的最小值为g (t )． 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8； 当t ＋1<2即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.综上，g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t2－2t－7，t<1，－8，1≤t≤2，t2－4t－4，t>2.类型三借助图象求最值例3(2017·昌平区检测)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为()A．2 B．1C．－1 D．无最大值考点函数的最值及其几何意义题点由函数图象求最值答案 B解析在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．所以当x＝1时，f(x)max＝1.反思与感悟借助图象求最值注意两点(1)作图要准确；(2)最值的几何意义要理解．跟踪训练3已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x，－1≤x≤0，x2，0<x≤1，x，1<x≤2，则f(x)的最大值为________．考点函数的最值及其几何意义题点由函数图象求最值答案 2解析f(x)的图象如图：则f(x)的最大值为f(2)＝2.类型四 函数最值的应用例4 已知x 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 考点 函数的最值及其几何意义 题点 含参二次函数最值 解 方法一 令y ＝x 2－x ＋a ，要使x 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 只需y min ＝4a －14>0，解得a >14. ∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 方法二 x 2－x ＋a >0可化为a >－x 2＋x . 要使a >－x 2＋x 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 只需a >(－x 2＋x )max ， 又(－x 2＋x )max ＝14，∴a >14.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫14， ＋∞. 引申探究把本例中“x ∈(0，＋∞)”改为“x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞”，再求a 的取值范围． 解 f (x )＝－x 2＋x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为减函数， ∴f (x )的值域为⎝⎛⎭⎫－∞，14， 要使a >－x 2＋x 对任意x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立， 只需a ≥14，∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞. 反思与感悟 恒成立的不等式问题，任意x ∈D ，f (x )>a 恒成立，一般转化为最值问题：f (x )min >a 来解决．任意x ∈D ，f (x )<a 恒成立一般可转化为f (x )max <a .跟踪训练4 已知ax 2＋x ≤1对任意x ∈(0,1]恒成立，求实数a 的取值范围． 考点 函数的最值及其几何意义 题点 含参二次函数最值解 ∵x >0，∴ax 2＋x ≤1可化为a ≤1x 2－1x.要使a ≤1x 2－1x 对任意x ∈(0,1]恒成立，只需a ≤⎝⎛⎭⎫1x 2－1x min .设t ＝1x ，∵x ∈(0,1]，∴t ≥1.1x 2－1x＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14. 当t ＝1时，(t 2－t )min ＝0，即当x ＝1时，⎝⎛⎭⎫1x 2－1x min ＝0， ∴a ≤0.∴实数a 的取值范围是(－∞，0].1．函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是( ) A ．－12 B ．－1 C.12 D ．3考点 函数的最值及其几何意义题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 C2．函数f (x )＝1x 在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值 考点 函数的最值及其几何意义题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 A3．函数f (x )＝x 2，x ∈[－2,1]的最大值、最小值分别为( ) A ．4,1 B ．4,0 C ．1,0D ．以上都不对考点 函数的最值及其几何意义 题点 二次函数最值 答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7，－1≤x <1，2x ＋6，1≤x ≤2，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对考点 函数的最值及其几何意义 题点 分段函数最值 答案 A5．若不等式－x ＋a ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52D ．－12考点 函数的最值及其几何意义题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 D1．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得．即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )． 2．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．3．许多数学问题如不等式证明，恒成立的不等式，图象与y ＝a (a 为常数)的交点问题等，都与函数最值有关，所以会求函数最值是一种基础技能．。

1.3.1 函数的单调性（一）单调性的判断与证明基础知识：一、定义1．增函数：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的______ 两个自变量的值21,x x ，当_______时，都有______________,那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。

2．减函数：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的______ 两个自变量的值21,x x ，当_______时，都有______________,那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。

3．单调区间——如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有_____________，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。

二.、定义的两种等价形式：任意的1,2x x [],a b ∈，12x x ≠，()f x 递增⇔()1212()f x f x x x -- 0⇔()()()1212x x f x f x ⎡⎤--⎣⎦ 0；()f x 递减⇔()1212()f x f x x x -- 0⇔()()()1212x x f x f x ⎡⎤--⎣⎦ 0。

三、函数单调性、求单调区间的方法：1．定义法；利用定义证明函数()y f x =在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：（1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；（2）作差12()()f x f x -；（3）变形、判断符号（通常将12()()f x f x -化为若干个因式的乘积形式）；（4）下结论（即根据定义指出函数()y f x =在给定的区间D 上的单调性）。

3．观察图像法；4．常用结论：① 函数)(x cf y =与函数)(x f y =当_______时，单调性相同;当______时，单调性相反； ② 若0)(≠x f ，则函数)(x f 与)(1x f 具有______的单调性； ③ 若0)(≥x f ，则函数)(x f 与)(x f 具有______的单调性；④ 对于函数)()(x g x f ±可以总结为：增+增=_____;增-减=_____;减+减=____;减-增=____;5．如果()y f u =和()u g x =单调性相同，那么()y f g x ⎡⎤=⎣⎦单调 ；如果()y f u =和()u g x =单调性相反，那么()y f g x ⎡⎤=⎣⎦单调 。

1.3.1函数的单调性教学设计一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数的概念、函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要让学生掌握函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据。

如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。

同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。

所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。

二、教学目标设置:（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法及单调性的简单运用。

（2）过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括、自主构建单调增函数、减函数的概念；能运用函数单调性的定义解决一些简单的问题；让学生领会数学结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

（3）情感态度价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好学习习惯与学习态度。

(三)情感态度与价值观:创设情境引出课题,让学生充分认识到数学源于生活,又能应用于生活,进而激发学生自主学习和主动探究的学习兴趣;在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认知的提升;在概念应用阶段，通过对定义法证明单调性过程的具体分析，以及证明过程的严格板书，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，培养学生清晰地思维、严谨的数学推理能力；最后先由学生自己独立完成再进行小组合作交流，展示自己用单调性定义证明函数单调性的全过程，培养了学生运用所学知识解决实际问题的能力，增强了学生学好数学的信心.三、学生学情分析:学生在初中只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。

1.3.1函数的单调性一、教学目标：1.知识与技能：从形与数两方面理解函数单调性的概念。

初步掌握利用图像和定义判断、证明函数单调性的方法。

2.过程与方法：从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力。

3.情感态度价值观：通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯.二．重点难点重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性。

难点：函数单调性概念的符号语言的认知；应用定义证明单调性的代数推理论证。

三、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．四、教学过程（1）情景导入观察与思考；1.说出上述情境中图像的变化规律。

2.描述上述情境中气温或记忆保持量随时间变化规律。

（2）探究新知；问题1：观察下列函数的图象，回答当自变量x 的值增加时，函数值f (x )是如何变化的？(1)()1f x x =+2(2)()f x x =问题2：你能根据自己的理解说说什么是递增什么是递减?问题3：你能借助数学符号，将上述“函数值随着自变量增大逐渐增大”描述出来吗？当x 增大时 f(x)随着增大，即：当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)。

增函数的定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I:如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2 ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数。

概念辨析()上递增。

，在区间则函数满足]31[)(),3()1()(1-<-x f f f x f()()()()()()()()()[]212,23,99100,1,100f x f f f f f f f x <<<若满足则在上递增。

()()[)[]()[]上递增。

在区间则上递增，和在区间函数3,03,22,03x f x f问题4：同学们能否类似地得出减函数的定义？（学生讨论、回答）师生共同得出：定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I:如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2 ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数。

⾼⼀数学1.3.1《函数的单调性》教案（新⼈教A版必修1）§1.3.1函数的单调性⼀、三维⽬标1、知识与技能：（1）建⽴增（减）函数的概念通过观察⼀些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的⼤⼩⽐较，认识函数值随⾃变量的增⼤（减⼩）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握⽤定义证明函数单调性的步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学⽣通过⾃主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2、过程与⽅法（1）通过已学过的函数特别是⼆次函数，理解函数的单调性及其⼏何意义；（2）学会运⽤函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应⽤定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学⽣感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感. ⼆、教学重点与难点重点：函数的单调性及其⼏何意义．难点：利⽤函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．三、学法与教学⽤具1、从观察具体函数图象引⼊，直观认识增减函数，利⽤这定义证明函数单调性。

通过练习、交流反馈，巩固从⽽完成本节课的三维⽬标。

2、教学⽤具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（⼀）创设情景，揭⽰课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增⼤，y 的值有什么变化？○2 能否看出函数的最⼤、最⼩值？○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增⼤，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______?⼤，f(x)的值随着________ ．（3）f(x) = x2○1在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．○2在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．3、从上⾯的观察分析，能得出什么结论？学⽣回答后教师归纳：从上⾯的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同⼀函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的⼀个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

高中数学 §1.3函数的基本性质学案 新人教A 版必修1学习目标：1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习难点：函数的基本性质的综合运用学习重点：函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；预习案：（复习教材P 27~ P 36，找出疑惑之处）复习1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？复习2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？例题剖析：例1判断函数y ＝x 2－2|x |－3的奇偶性，并作出图象指出单调区间及单调性.例2 已知f (x )是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f (x )的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.小结：定义在R 上的奇函数的图象一定经过 . 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性 ，偶函数在关于原点对称区间上的单调性例3 已知()f x 是定义在(1,1)-上的减函数，且(2)(3)0f a f a ---<. 求实数a 的取值范围.当堂检测：1、 已知f (x )是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f (x )在[-7,-3]上是 函数，且最 值为 .2、函数2y x bx c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围 （ ）.A ．2b ≥-B ．2b ≤-C ．2b >-D ． 2b <-3、下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是（ ）.A ．1y x =-+B ．y ．245y x x =-+ D ．2y x =4、 已知函数y =2ax bx c ++为奇函数，则（ ）.A. 0a =B. 0b =C. 0c =D. 0a ≠课后作业：1、设()f x 在R 上是奇函数，当x ≥0时，()(1)f x x x =+，画出函数的图象并求出()f x 的表达式是什么？2、判别下列函数的奇偶性：（1）y ＝ （2）y ＝22(0)(0)x x x x x x ⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩.3、课本第44页8、9、10。

函数单调性与最大(小)值（第一课时）一、二、教材分析:《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。

在此之前，学生已经学习了函数的概念、定义域、值域、表示法以及在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数等常见函数，也了解了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数单调性的定义，对于函数单调性的判断也主要根据图像观察得到，而本小节内容，正是对初中有关内容的一个深化和提高，给出了具体的函数在某个区间上是增函数还是减函数的定义，并明确指出函数的单调性是相对于那个区间的，还介绍了判断函数单调性的两种方法，做到将图像与定义证明结合在一起的思想。

函数的单调性是体现了函数研究的一般方法。

这就是加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般。

首先借助对函数图像的观察、分析和归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数学特征，从而进一步用数学语言刻画。

这对研究函数的其他性质，如奇偶性等有借鉴作用。

二、学情分析:学生已经学习了函数的概念、定义域和值域，因此他们具有了一定的抽象概括、类比归纳，符号表达的能力，在此基础上进一步研究函数的性质，对于他们来说不是太难。

但由于函数的图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本次教学时，要充分使用信息技术创设教学情境，这样有利于学生更好地观察和探究函数的单调性、最值等性质，同时还要特别注意让学生经历这些概念形成的过程。

三、教学目标:1、知识与技能：理解增减函数、单调性、单调区间四个概念：能用自己的语言说出定义，并认识它们是如何得出来的。

掌握函数增减性的证明：掌握判断简单函数的单调区间及证明简单函数在给定区间上的单调性的方法和步骤。

2、过程与方法：能从具体实例中得出增函数、减函数的定义，培养观察能力和抽象概括能力。

通过知识的获得提高和发展学生自我学习和自我学习和自我发展能力。

3、情感态度与价值观：借助开放探究的教学方式，张扬学生个性，培养学生科学严谨乐于研究的作风。

高中数学 1.3.1单调性与最大(小)值导学案 新人教A 版必修1学习目标：掌握函数的单调性的概念和最大值、最小值的定义 学习重点：函数单调性及最值的应用 学习过程：一、 观察与总结观察下列函数的图象特征，分别反映了函数数与形的哪些变化规律1、增函数___________________________________ 减函数___________________________________2、最大值_______________________________________ 最小值_____________________________________ 二、 理论与实践 1、已知函数xx f 1)(（1） 求其定义域（2）画出其图象（3）指出它的单调区间（4）利用定义证明其在()∞，0单调递减+2、作出6xxf的图象，=x5)(2--指出其单调区间并求其值域3、函数12)(-=x x f （[]6,2∈x ）， 求函数的最大值和最小值 4、 求函数322-+=x x y 的增区间和减区间5、已知函数2)1(2)(2+--=x a x x f（1）若)-，(xf的单调递减区间是(]4,∞求a的取值范围（2）若)-上市减函数，f在(]4,∞(x求a的取值范围三、课后感悟【课后作业与练习】一、选择题1. 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．2．函数 的增区间是（ ）。

A ．B ．C ．D ．3． 在上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。

A ．B ．C ．D ．4．当时，函数的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5.若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ） （A ）必是增函数 （B ）必是减函数 （C ）是增函数或是减函数 （D ）无法确定增减性6.设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，则),2(-f)(πf ，)3(-f 的大小关系是 （ ）A )2()3()(->->f f f πB )3()2()(->->f f f πC )2()3()(-<-<f f f πD )3()2()(-<-<f f f π7.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A ．（13，23） B ．（∞-，23）C ．（12，23） D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,328.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,a 的取值范围是( )A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)9.若(31)41()log 1a a x ax f x xx -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)710.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x <0，(a －3)x ＋4a ， x ≥0.满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是 ( )A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(0，14] D ．(－∞，3)二、填空题 1．函数,当时,是增函数,当时是减函数,则f(1)=_____________ 2．已知在定义域内是减函数，且，在其定义域内判断下列函数的单调性：① （ 为常数）是___________；② （ 为常数）是___________；③ 是____________；④是__________．3.函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题1．求函数 的单调递减区间.2.证明函数x x x f 3)(3+=在),(+∞-∞上是增函数3.讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。