第五章 线性二次型最优控制-1126
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控制方法
回路传函恢复控制
• 线性二次高斯(Linear Quadratic Gaussian—LQG)方法是 以最优线性二次型调节器(LQR)和Kalman滤波器为中心的 反馈控制系统优化设计方法。由于其理论比较成熟，所以 在工程上被广泛应用。但是由于LQG设计的被控对象没有 考虑模型不确定性，带有Kalman滤波器的LQG方法设计 的控制系统鲁棒性差，模型若存在微小偏差或扰动，闭环 系统就可能出现不稳定的现象。因此，为弥补LQG设计方 法的缺陷，1979年Doyle和Stein提出了回路传函恢复方法。 • LQG/LTR回路传函恢复方法是把虚拟的过程噪声作为设 计参数加到设计模型输入端的鲁棒性恢复方法，能使LQG 设计具有最优线性二次调节器LQR所具有的稳定储备。其 设计思想就是设计滤波器增益，使得全状态LQR调节器自 然拥有的鲁棒特性在系统的输入端通过动态调节器得到基 本恢复。根据LQG/LTR理论，回路传递恢复后的系统具 有接近最优反馈控制系统的鲁棒性。
1. 极点配置法：
yp
y1
y2
y3
A1 P1 Q1 i A Ps B P0
A2 P2 Q2
k1 m m1
k2
k3 m2
m3
Fd
1. 极点配置法：
液压源 加速度 信号输入 加速度 三状态 输入回路 速度 位移 伺服控 制电路 控制 信号 负载 伺服阀 与液压缸 加速度计 速度调理 位移计 振动台 位置 输出
鲁棒控制方法概述
鲁棒控制方法弥补现代控制理论对数学模型的过分依赖，在设计过程 中考虑了对象模型的不确定性，使得在一定误差范围内的所有被控对象均 能满足理想的性能要求。 在设计鲁棒控制器时，仍存在以下的问题需要解决 ： 结构数学模型的不确定性估计较为困难，因此准确的分析和刻画不确定 性的大小是进行鲁棒控制器设计的基础。 在鲁棒控制器设计过程中，通常需要依靠权函数的选择来实现控制器对 不确定性的鲁棒性，一般情况下，这种权函数的选择是没有通用的公 式，因此要经过反复多次的试凑才能确定。 设计鲁棒控制器时，往往需要同时满足包括时域、频域在内的多个性能 指标要求。
线性二次型
a 2 b p 1
*
1 a 2
最优控制为：
u (t )* R 1 B T Px (t ) x1 (t ) a 2 x2 (t )
线性二次型(LQ)最优控制问题
最优状态调节器系统结构图
线性二次型(LQ)最优控制问题
线性二次型(LQ)最优控制问题
物理意义
线性二次型(LQ)最优控制问题
应用极小值原理求u(t)的表达式
(1)
(2) R(t)正定，保证其逆阵的存在
规范方程组：
写成矩阵形式：
x Ax BR 1BT Ax S H Qx AT x S x x A (4) Q AT
利用矩阵P正定的性质
2 p11 p22 p12 0 (a 2) b a 2 1 0 0 (a 1) b a 2 (a 1) 2 1 2 平方 b a a a2 a2
线性二次型(LQ)最优控制问题
* 与给定条件 a b 2 0矛盾，故假设 p12 1不成立
线性二次型(LQ)最优控制问题
线性二次型(LQ)最优控制问题
性能指标中的参数的影响---r变化的影响
线性二次型(LQ)最优控制问题
性能指标中的参数的影响--- tf 变化的影响
线性二次型(LQ)最优控制问题
状态调节器—无限时间状态调节器 终端时间 t , 无限时间问题
设线性定常系统的状态方程为
(15)
（13）对时间求导
Px Px Px P[ Ax BR 1BT Px] [ P PA PBR 1BT P]x
（15）与（16）相等，可得
北京交通大学(最优控制理论与算法研究生课程)第五章 线性二次型最优控制概要
R(t)为r×r 维时变的分段连续的正定矩阵, 且其逆矩 阵存在并有界;
末态时刻tf 是固定的。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对论上述性能指标泛函: 1) 性能指标泛函 J[u(· )]中的第 1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对 末态目标的控制误差的要求和限制而引进的 , 称为末端 成本函数。 非负定的常数矩阵 F为加权矩阵,其各行各列元素的 值的不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 的要求不同, 重要性不同。 若矩阵 F 的第 i 行第 i 列元素值较大 , 代表二次项的重 要性较大, 对其精度要求较高。
3) 性能指标泛函J[u(· )]中的被积函数的第2项u(t)R(t)u(t),表 示在系统工作过程中对控制向量u(t)的要求和限制。 由于时变的加权矩阵 R(t) 为正定的 , 故该项函数值在 u(t)为非零向量时总是为正的。 u(t) 越大 , 该项函数值越大 , 其在整个性能指标泛 函所占的分量就越大。
1 τ 1 tf τ J [u()] e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uτ (t) R(t)u(t)]dt 2 2 t0
线性二次型最优控制(7/12)
2) 性能指标泛函J[u(· )]中的被积函数中的第1项e(t)Q(t)e(t), 表示在系统过渡过程中对误差向量e(t)的要求和限制。 由于时变的加权矩阵 Q(t) 为非负定的 ,故该项函数值 总是为非负的。 一般情况下 ,e(t) 越大 ,该项函数值越大 ,其在整个 性能指标泛函所占的份量就越大。因此, 对性能 指标泛函求极小化体现了对误差向量e(t)的大小 的约束和限制。 在e(t)为标量函数时,该项可取为e2(t),于是该项与 经典控制理论中判别系统性能的误差平方积分 指标一致。
(优选)线性二次型最优控制器设计
在）；E为矩阵A-BK的特征值。
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
x u 1
J (
TQx
TRu)dt
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
•
x(k 1) Ax(k) Bu(k), (k 0,1,, N 1)
要寻求控制向量u (t )使得二次型目标函数 x u J 1 [ T(k)Qx(k) T(k)Ru(k)]
2 k0
为最小。
式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称
常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u [R BTPB]BTPAx(k) Kx
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必
须满足黎卡夫（Riccati）代数方程PA ATP PBR1BP Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程 的
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
x u 1
J (
TQx
TRu)dt
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
•
x(k 1) Ax(k) Bu(k), (k 0,1,, N 1)
要寻求控制向量u (t )使得二次型目标函数 x u J 1 [ T(k)Qx(k) T(k)Ru(k)]
2 k0
为最小。
式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称
常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u [R BTPB]BTPAx(k) Kx
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必
须满足黎卡夫（Riccati）代数方程PA ATP PBR1BP Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程 的
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
线性二次型的最优控制
dy = zeros(1,1); a=-1; % a column vector
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
T x 0 x Ax 0 正定二次型 T x 0 x Ax 0 半正定二次型
求最优控制 u * ( tபைடு நூலகம்) ，使下列二次型性能指标最小。
实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。
加权矩阵总可化为对称形式。
t 1 1 f T T T J ( u ) e ( t ) Fe ( t ) [ e ( t ) Q ( t ) e ( t ) u ( t ) R ( t ) u ( t )] dt ( 5 3 ) f f t 0 2 2
( 5 18 )
可实现最优 线性反馈控制
下面思路：
求解P(t),但直接 利用（5-16）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
2.应用其性质求解p(t)
( t ) P ( t ) x ( t ) ( 5 17 ) 1T x Ax BR B Ax S H T T Qx A Qx A Px ( 5 19 )
x
1 T 1 T
P x P x P x P [ Ax BR B Px ] [ P PA PBR B P ] x( 5 20 )
（5-20）与（5-19）相等，可得
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
T x 0 x Ax 0 正定二次型 T x 0 x Ax 0 半正定二次型
求最优控制 u * ( tபைடு நூலகம்) ，使下列二次型性能指标最小。
实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。
加权矩阵总可化为对称形式。
t 1 1 f T T T J ( u ) e ( t ) Fe ( t ) [ e ( t ) Q ( t ) e ( t ) u ( t ) R ( t ) u ( t )] dt ( 5 3 ) f f t 0 2 2
( 5 18 )
可实现最优 线性反馈控制
下面思路：
求解P(t),但直接 利用（5-16）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
2.应用其性质求解p(t)
( t ) P ( t ) x ( t ) ( 5 17 ) 1T x Ax BR B Ax S H T T Qx A Qx A Px ( 5 19 )
x
1 T 1 T
P x P x P x P [ Ax BR B Px ] [ P PA PBR B P ] x( 5 20 )
（5-20）与（5-19）相等，可得
线性二次型讲解
(3)
其解为：
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
(5)
线性二次型(LQ)最优控制问题
横截条件给出了终端时刻二者的关系：
1 [ xT (t f ) Fx(t f )] (t f ) 2 Fx(t f ) x(t f ) (6)
边界条件：
(17)
(6)
(13)
(t f ) Fx(t f )
(t ) P(t ) x(t )
P(t f ) F
(18)
线性二次型(LQ)最优控制问题
黎卡提方程求解问题：
（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分 方程组。 （2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值 解。
u(t ) R1BT R1BT P(t ) x(t ) K (t ) x(t )
(14)
线性二次型(LQ)最优控制问题
最优线性反馈控制
求解P(t),但直接 利用式（12）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
线性二次型(LQ)最优控制问题
应用性质求解P（t）
(t ) P(t ) x(t ) (13) x Ax BR 1BT Ax S
说明：
1 T J (u ) [ x (t )Qx(t ) u (t )T Ru (t )]dt 2 t0
(2)
1）要求系统完全能控。
2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应
线性二次型(LQ)最优控制问题
可以证明：
(10)
(t ) (22 F12 )1 (F11 21 ) x(t )
线性二次型最优控制器设计
程序运行结果如下： K =0.4142 0.6104 0.1009 同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-2所示。
图1-2 闭环系统阶跃响应曲线 由图1-1和图1-2知，经最优输出反馈后，闭环系统阶跃响应曲线与经最优状态反 馈后的阶跃响应曲线很接近。
三、离散系统线性二次型最优控制
下面对离散系统线性二次型最优控制进行详细介绍。
其中，A为系统的状态矩阵；B为系统的输出矩 阵；Q为给定的半正定实对称常数矩阵；R为给 定的正定实对称常数矩阵；N代表更一般化性 能指标中交叉乘积项的加权矩阵；K为最优反馈 增益矩阵；S为对应Riccati方程的唯一正定解P （若矩阵A-BK是稳定矩阵，则总有正定解P存 在）；E为矩阵A-BK的特征值。
1000 Q= 取 0
,R=1。 用MATLAB函数dlqr()来求解最优控制器，给出程序清 单如下： %求解最优控制器 a=2;b=1;c=1;d=0; Q=[1000,0;0,1]; R=1; A=[a,0;-c*a,1]; B=[b;-c*b]; Kx=dlqr(A,B,Q,R) k1=-Kx(2);k2=Kx(1); axc=[(a-b*k2),b*k1;(-c*a+c*b*k2),(1-c*b*k1)]; bxc=[0;1];cxc=[1,0];dxc=0; dstep(axc,bxc,cxc,dxc,1,100)
•
1.LQG最优控制原理 最优控制原理
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + Gw(t ) 假设对象模型的状态方程表示为：
y (t ) = Cx(t ) + v(t )
T
式中，ω(t)和ν(t)为白噪声信号，ω(t)为系统干扰噪声，ν(t)为传感器带来的 量测噪声。假设这些信号为零均值的Gauss过程，它们的协方差矩阵为：
最优控制理论_第五章
而最优状态x*(t)则是下列线性微分方程的解：
(t ) [ A(t ) B(t ) R 1 (t ) BT (t ) K (t )]x(t ) x x(t0 ) x0
几点说明：
1) 最优控制规律是一个状态线性反馈规律，它能方便地实现闭环最优控制； 2) 由于K(t)是非线性微分方程的解，通常情况下难以求得解析解，需要由计算 机求出其数值解，又因为其边界条件在终端处，所以需要逆时间方向求解，因 此应在过程开始之前就将K(t)解出，存入计算机以供过程使用； 3) 只要控制时间[t0,tf]是有限的， 是有限的 K(t)就是时变的（即使状态方程和性能指标J是定 常的），因而最优反馈系统将成为线性时变系统； 4) ) 将最优控制u*(t)及最优状态轨线x*(t)代入性能指标函数，得性能指标得最小 值为：
2:无限时间状态调节器
设线性定常系统状态方程为
(t ) Ax (t ) Bu (t ), x
x (t 0 ) x 0
[A,B]能控，u(t)不受约束，二次型性能指标为
J
1 T T [ x ( t ) Qx ( t ) u (t ) Ru (t )]dt t 2 0
Q 0, Q Q T , R 0, R R T
其中Q，R为常数矩阵
要求确定最优控制u*(t)，使J为最小。 与有限时间状态调节器相比，有如下几点不同： 1)系统是时不变的，性能指标中的权矩阵为常值矩阵。 2）终端时刻 t f
当[t0，tf ]为有限时间时，最优控制系统是时变的；
u * (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t ) x(t )
其中对称矩阵K(t)是下列黎卡提方程的唯一解
(t ) K (t ) A(t ) AT (t ) K (t ) K (t ) B (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t ) Q (t ) K K (t f ) P
(t ) [ A(t ) B(t ) R 1 (t ) BT (t ) K (t )]x(t ) x x(t0 ) x0
几点说明：
1) 最优控制规律是一个状态线性反馈规律，它能方便地实现闭环最优控制； 2) 由于K(t)是非线性微分方程的解，通常情况下难以求得解析解，需要由计算 机求出其数值解，又因为其边界条件在终端处，所以需要逆时间方向求解，因 此应在过程开始之前就将K(t)解出，存入计算机以供过程使用； 3) 只要控制时间[t0,tf]是有限的， 是有限的 K(t)就是时变的（即使状态方程和性能指标J是定 常的），因而最优反馈系统将成为线性时变系统； 4) ) 将最优控制u*(t)及最优状态轨线x*(t)代入性能指标函数，得性能指标得最小 值为：
2:无限时间状态调节器
设线性定常系统状态方程为
(t ) Ax (t ) Bu (t ), x
x (t 0 ) x 0
[A,B]能控，u(t)不受约束，二次型性能指标为
J
1 T T [ x ( t ) Qx ( t ) u (t ) Ru (t )]dt t 2 0
Q 0, Q Q T , R 0, R R T
其中Q，R为常数矩阵
要求确定最优控制u*(t)，使J为最小。 与有限时间状态调节器相比，有如下几点不同： 1)系统是时不变的，性能指标中的权矩阵为常值矩阵。 2）终端时刻 t f
当[t0，tf ]为有限时间时，最优控制系统是时变的；
u * (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t ) x(t )
其中对称矩阵K(t)是下列黎卡提方程的唯一解
(t ) K (t ) A(t ) AT (t ) K (t ) K (t ) B (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t ) Q (t ) K K (t f ) P
最优化控制 线性二次型最优控制问题
用不大的控制能量，使系统状态X(t)保持在零值 附近——状态调节器问题。
7
线性二次型最优控制问题的几种特殊情况
若Yr(t)0，则 e(t) Yr (t) Y (t)
于是性能指标可写为
J
1 2
[Yr
(t
f
) Y (t f
)]T
S[Yr (t f
) Y (t f
)]
1 2
性能指标的物理意义
➢性能指标中的第一部分
1 2
eT
(t
f
)Se(t
f
)
称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证
终端状态X(tf)具有适当的准确性。
➢性能指标中的第二部分
1 tf eT (t)Q(t)e(t)
2 t0
称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，
以保证系统响应具有适当的快速性。 9
t
f
]
(t f ) P(t f )X (t f )
(t f ) SX (t f )
所以，
P(t f ) S
矩阵黎卡提(Riccati)微分方程 的边界条件
21
P(t)的3个重要性质:
由微分方程理论的存在与唯一性定理，可以证明P(t) 存在而且唯一。 对于任意的t[t0，tf]， P(t)均为对称阵，即P(t)＝PT(t)。
由(1)和(2)，得
[P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t)]X (t) 0 20
由于X(t)是任意的，所以有
P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t) 0
二次型性能指标的线性系统最优控制
(10-17)
将式（8－12）、式（8－16）代入式（8－17）
(t ) [ P (t ) P(t ) A(t ) P(t ) B(t ) R 1 (t ) B(t ) P(t )]x (t ) (10-18)
将式（8－16）代入式（8－9）
(t ) [Q(t ) AT (t ) P(t )]x (t )
(10-15)
由于横截条件中 x (t f ) 与 (t f ) 存在线性关系，而正则方程又是线 性的。因此可以假设，在任何时刻 x 与 均可以存在如下线性关系；
( t ) P( t ) x ( t )
(10-16)
对式（10-16）求导
(t ) P (t ) x (t ) P(t ) x (t )
1 T e (t )Q (t )e(t ) 代表整个过程中误差 e(t ) 的 2
矩阵 F Q(t ) R(t ) 则是用来权衡各个误差成分及控制分量相对重要 程度的加权阵。这里，Q 及 R 可以是时间函数，以表示在不同时刻 的不以加权。
因此，二次型性能指标的最优控制问题实质上是：要求用较小的控 制能量来获得较小误差的最优控制。
根据等号两边矩阵的对应元素就相等，可得下列方程：
11 1 1 p11 p22 p21 p
2 22 2 p12 p22 p
已知为p 对称矩阵，故 p12 p21 ，上式可变成：
2 11 1 p12 p 12 p11 p12 p22 p 2 22 2 p12 p12 p
最求最优控制 u (t ) ，使性能指标 J 为最小。
解:
本例相应的具有关矩阵为：
0 1 0 A ,B 0 0 1 1 0 F 0, Q ,R 1 0 0
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(167)
因而该优化问题就变为对上述相对于求极值问题。 定义哈密顿函数
1 τ H ( x, u, λ) [ x Qx uτ Ru] λ [Ax Bu] 2
则式(167)可以进一步表示为
tf 1 τ ]dt J x (t f ) Fx (t f ) [ H ( x, u, λ) λ x t 0 2 tf 1 τ tf x ]dt x (t f ) Fx (t f ) λ (t ) x (t ) |t0 [ H ( x, u, λ) λ t0 2 t f H 1 x (t f ) Fx (t f ) H J x(t f ) λ (t f ) x (t f ) λ x u dt t 0 2 x (t f ) u x
线性二次型最优控制(3/12)
线性二次型问题是最优控制理论中发展最为成熟、最有 系统性、应用最为广泛和深入的分支。
本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一 性和最优控制解的充分必要条件。 线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下，
线性二次型最优控制(4/12)
线性二次型最优控制问题 对于线性时变系统的状态方程和 输出方程为
时变状态调节器(1/3)
5.1 时变状态调节器
状态调节器问题为:
用不大的控制能量,使状态x(t)保持在零值附近的二次型 最优控制问题。
该问题的描述如下;
时变状态调节器(2/3)
有限时间LQ调节器问题 设线性时变系统的状态方程和初始 条件为
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ), x x(t0 ) x0 , t [t0 , t f ]
证明 1）必要性证明。若u*(t)是最优控制,需要证明
u* (t ) K (t ) x* (t ), K (t ) R 1 (t )B τ (t )P(t )
由于系统性能指标泛函的宗量为x(t), u(t) 和x(tf) 。 将有限时间LQ调节器问题(条件极值问题)化为无条件极 值问题。
式中, 控制量u(t)不受约束。
寻找最优控制函数 u*(t), 使下列二次型性能指标泛函为 最小
J [u(t )] 1 τ 1 tf x (t f ) Fx(t f ) [ x τ (t )Q(t ) x(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
式中,
F和Q(t)为非负定矩阵;
J * J [u* (t )] 1 x0 P(0) x0 , x0 0 2
式中, P(t)为下述矩阵黎卡提微分方程的正定或)
(t ) P(t ) A(t ) Aτ (t ) P(t ) P(t ) B(t ) R 1(t ) B τ (t ) P(t ) Q(t ) t [t , t ] P 0 f P(t f ) F ,
R(t)为r×r 维时变的分段连续的正定矩阵, 且其逆矩 阵存在并有界;
末态时刻tf 是固定的。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对论上述性能指标泛函: 1) 性能指标泛函 J[u(· )]中的第 1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对 末态目标的控制误差的要求和限制而引进的 , 称为末端 成本函数。 非负定的常数矩阵 F为加权矩阵,其各行各列元素的 值的不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 的要求不同, 重要性不同。 若矩阵 F 的第 i 行第 i 列元素值较大 , 代表二次项的重 要性较大, 对其精度要求较高。
线性二次型最优控制(1/12)
第5章 线性二次型最优控制
对于最优控制问题, 极大值原理很好地描述了动态系统的最 优控制解的存在性。 但对于复杂的控制问题,如非线性系统的控制问题、系 统模型与性能指标函数对控制量u(t)不为连续可微的控 制问题, 其最优控制规律存在性确定有很多困难, 如 非线性常微分方程求解 最优控制的非平凡性问题,
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非负定的时变矩阵 Q(t) 为加权矩阵 ,其各行各列元素 的值的不同 , 体现了对相应的误差向量 e(t) 的分量在 各时刻的要求不同、重要性不同。
时变矩阵Q(t)的不同选择, 对闭环最优控制系统 的性能的影响较大。
线性二次型最优控制(9/12) 1 1 tf J [u()] e τ (t f ) Fe(t f ) [e τ (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
该类问题的优点是能得到最优控制解u*(t)的统一解析表 达形式和一个简单的且易于工程实现的最优状态反馈律。 因此, 线性二次型问题对于从事自动控制研究的理论工 作者和工程技术人员都具有很大吸引力。 近 40 年来 , 人们对各种最优状态反馈控制系统的结构、 性质以及设计方法进行了多方面的研究 , 并且有许多成 功的应用。
1 τ 1 tf τ J [u()] e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
(t ) A(t ) x (t ) B (t )u(t ), x
x (t0 ) x0
线性二次型最优控制(11/12)
1 τ 1 tf τ J [u()] y (t f ) Fy(t f ) [ y (t )Q(t ) y(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
该问题转化成 :用不大的控制能量 ,使输出值y(t)保持在零值 附近,称为输出调节器问题。
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(t ) A(t ) x (t ) B (t )u(t ), x y (t ) C (t ) x (t ) x (t0 ) x0
式中, x(t)是n维状态向量, u(t)是r维控制向量, y(t)是m维输出 向量 假定：A(t)，B(t)和C(t)分别是n×n,n×r和m×n维的分段 连续的时变矩阵。 假定系统的维数满足0<mrn, 且u(t)不受约束。 z(t) 表示m维期望的输出, 则定义输出误差向量如下 e(t)=z(t)-y(t)
y (t ) C (t ) x (t ), e(t ) z (t ) x(t )
现在讨论上述线性二次型问题的几种特殊情况。 1) 若令C(t)=I, z(t)=0,则x(t)=-e(t)。这时, 线性二次型问题的 性能指标泛函变为 1 τ 1 tf τ J [u()] x (t f ) Fx(t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u τ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0 该问题转化成 :用不大的控制能量 ,使状态x(t)保持在 零值附近, 称为状态调节器问题。 2) 若令 z(t)=0, 则 y(t)=-e(t) 。这时 ,线性二次型问题的性能指 标泛函变为
会带来闭环控制系统工程实现时困难性, 难以得到统一、 简洁的最优控制规律的表达式。
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然而，对于线性系统, 若以状态变量x(t)和控制变量u(t)的二 次型函数的积分作为性能指标泛函, 这种动态系统的最优控 制问题称为线性系统的最优二次型性能指标的最优控制问题, 简称为线性二次型问题，则有很多好的性质。
对性能指标泛函求极小化体现了对控制向量u(t) 的大小的约束和限制。
注：如u(t)为与电压或电流成正比的标量函数时,该 项为u2(t),并与功率成正比, u2(t)dt则与在[t0,tf]区间 内u(t)所做的功或所消耗的能量成正比。
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因此,该项是用来衡量控制功率大小的代价（成 本）函数。 正定的时变矩阵R(t)亦为加权矩阵, 其各行各列 元素的值的不同 , 体现了对相应的控制向量 u(t) 的分量在各时刻(t)的要求不同、重要性不同。 时变矩阵R(t)的不同选择, 对闭环最优控制系统的性 能的影响较大。 综上所述, 可见线性系统的二次型性能指标泛函 的最优控制问题的实质在于用不大的控制量, 来 保持较小的控制误差,以达到所耗费的能量和控 制误差的综合最优。
u* (t ) K (t ) x* (t ), K (t ) R1 (t )B τ (t ) P(t )
相应的最优轨线为状态方程
* (t ) A(t )x* (t ) B(t )u* (t ), x* (t0 ) x0 , t [t0 , t f ] x
的解,而最优性能值为
3) 性能指标泛函J[u(· )]中的被积函数的第2项u(t)R(t)u(t),表 示在系统工作过程中对控制向量u(t)的要求和限制。 由于时变的加权矩阵 R(t) 为正定的 , 故该项函数值在 u(t)为非零向量时总是为正的。 u(t) 越大 , 该项函数值越大 , 其在整个性能指标泛 函所占的分量就越大。
引入维向量拉格朗日算子, 性能指标函数为
tf 1 τ J x (t f ) Fx (t f ) t0 2
1 τ τ [ x Q x u R u ] λ [ A x B u x ] dt 2
最优控制的充分必要条件(3/10)
J
tf 1 1 τ ] x (t f ) Fx (t f ) [ x τ Qx u τ Ru] λ [Ax Bu x dt t0 2 2
3) 若z(t)≠0,则e(t)=z(t)-y(t)。 这时 , 线性二次型问题为 : 用不大的控制能量 , 使输出 y(t)跟踪期望信号z(t)的变化,称为输出跟踪问题。 下面将陆续介绍状态调节器问题的求解方法，解的性质以及 最优状态反馈实现，具体内容为： 时变状态调节器 定常状态调节器
R(t)为正定矩阵; 末态时刻tf是固定的。
时变状态调节器(3/3)
由于所讨论的系统为线性系统, 给定的性能指标泛函对状态 变量x(t)和控制量u(t)均连续可微, 因此,状态调节器问题可用 变分法、极大值原理和动态规划方法中的任一种求解。