2014最新小学奥数高斯问题

第十六讲复杂周期问题- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 同学们看看漫画中的小蜗牛，它在第几天爬出井呢？其实蜗牛在最后一天的时候直接爬出了井口，并不会往下滑了，所以在考虑周期的时候要特别注意整个过程结束的时候是不是完整的周期．当实际问题并不是一个完整的周期问题时，一定要先把周期之外的问题考虑好，再计算周期相关的问题．比如一串数1、2、3、4、3、4、3、4……，在计算这个数列的相关问题时，一般要先排除掉前两个数的影响，即有头周期，要先“砍头”．比如在蜗牛爬井问题中，爬出井口的那天不需要再下滑，所以要先去掉最后一天的影响，即有尾周期，要先“去尾”．注意最后的周期是否完整．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1一只蜗牛在一口15米深的井底，如果它每个白天往上爬3米，但是在晚上又往下滑1米，请问：6这只蜗牛在第几天能爬出这口井？分析：经典的蜗牛爬井问题，想清楚每天会向上爬几米以及最后一次是怎么爬的？练习1（1）工厂的仓库里有80吨货物，这些货物都由同一辆卡车负责运输．第一天卡车往仓库里运进50吨，第二天运出了60吨，第三天又运进50吨，第四天再运出60吨，……如此不停地循环下去．第几天的时候，仓库里的货物才会被运完？（2）工厂的仓库里有80吨货物，同样是由一辆卡车负责货物的运输．第一天，卡车从仓库里运出60吨，第二天再运进50吨，第三天又运出60吨，第四天再运进50吨，……如此不停地循环下去．第几天的时候，仓库里的货物才会被运完？例题2桌子上原本放着6块巧克力，第1天阿呆吃掉了2块，第2天妈妈又放了4块巧克力，第3天阿呆又吃掉2块，第4天妈妈又放上4块，……如此不停循环下去，请问第几天结束的时候桌子上有10块巧克力？（请写出所有的可能）分析：这个题目的周期和例题1相似，每两天桌上多出2块巧克力，那么多少天以后桌上有10块巧克力？想想是否一定要两天两天的考虑？练习2菜地里有7根成熟的胡萝卜，第1天白兔妈妈挖出3根，第2天又有4根胡萝卜成熟了，第3天白兔妈妈又挖出3根，第4天又有4根胡萝卜成熟了，……照这样下去，到第几天的时候，菜地里刚好有8根成熟的胡萝卜？（请写出所有的可能）- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在周期问题中，还有一类非常经典的题型，即和日期相关的题型．比如同学们最熟悉的星期．我们经常需要去计算一些和星期几有关的问题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3（1）如果今天是星期六，再过60天是星期几？（2）如果前天是星期一，从今天起再过50天是星期几？分析：（1）每个星期有几天？（2）前天和今天差几天？练习3如果今天是星期四，再过30天是星期几？7小总结➢四年一闰，百年不闰，四百年再闰．➢闰年：2月有29天，一年366天．平年：2月有28天，一年365天．➢一星期是7天，所以是7天一周期．➢大月小月的判断：一、三、五、七、八、十、腊，三十一天永不差；拳头法：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 接下来我们来学习如何判断某一年是闰年还是平年．如1921年，不是4的倍数，所以一定是平年．如1924年，是4的倍数，但不是100的倍数，所以一定是闰年．如1700年，是4的倍数，是100的倍数，但不是400的倍数，所以一定是平年．如2000年，是4的倍数，是100的倍数，也是400的倍数，所以一定是闰年．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -小判断四年一闰，百年不闰，四百年再闰．判断下面哪些年份是闰年？哪些年份是平年？（1）1949年是__________．（3）1900年是__________．（2）1988年是__________．（4）4000年是__________．8例题4（1）2033年1月4日是星期二，请问：2033年4月20日是星期几？（2）2052年1月20日是星期六，请问：2052年4月5日是星期几？分析：2033年和2052年各是平年还是闰年？1月、2月、3月都有多少天？一个星期有多少天？练习42012年3月12日是星期一，请问：2012年儿童节是星期几？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在日期问题中有个非常好用的小技巧叫“度年如日”，那么这个小技巧对于我们解决其他的周期问题有什么启示吗？例题52013年元旦是星期二，请问：（1）2012年元旦是星期几？（2）2014年5月20日是星期几？分析：度过一个平年，星期数会加几？例题6某月有31天，有4个星期二和4个星期五，那么这个月的20日是星期几？分析：想清这个月是几个整周，零出来几天？这几天分别是星期几？本月的第一天是星期几呢？9课堂内外闰年地球绕日运行周期为365天5小时48分46秒（合365.24219天），即一回归年（tropical year）．公历的平年只有365日，比回归年短约0.2422日，每四年累积约一天，把这一天加于2月末（即2月29日），使当年时间长度变为366日，这一年就为闰年．需要注意的是，现在的公历是根据罗马人的“儒略历”改编而得．由于当时没有了解到每年要多算出0.0078天的问题，从公元前46年，到16世纪，一共累计多出了10天．为此，当时的教皇格雷果里十三世，将1582年10月5日人为规定为10月15日．并开始了新闰年规定．即规定公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年，不是400的倍数的就是平年．比如，1700年、1800年和1900年为平年，2000年为闰年．此后，平均每年长度为365.2425天，约4年出现1天的偏差．按照每四年一个闰年计算，平均每年就要多算出0.0078天，经过四百年就会多出大约3天来，因此，每四百年中要减少三个闰年．闰年的计算，归结起来就是通常说的：四年一闰，百年不闰，四百年再闰．作业1.小懒猴摘桃子．它每天白天摘3个桃子，但到了晚上就要吃掉5个桃子．如果第一天白天之前小懒猴家里存着20个桃子，那么到第几天晚上它就会吃完所有的桃子？2.第一天蜗牛在井的底部，井深100米，蜗牛每天白天向上爬10米，晚上下滑5米，请问蜗牛在第几天爬出井口？3.如果今天是星期三，那么再过24天是星期几？4.2013年10月1日是星期二，那么2013年12月31日是星期几？5.2020年元旦是星期三，那么2021年元旦是星期几？1011第十六讲 复杂周期问题1. 例题1答案：7天详解：最后一次一定是上爬到达井口．2. 例题2答案：4天；7天详解：有2种情况，第一个是放上去4块后有10块巧克力，第二个是吃掉2块巧克力后有10块．3. 例题3答案：（1）三；（2）四 详解：（1）星期问题7天为一个周期，60784÷=，则再过60天是6473+-=，即星期…… -2 +4每2天增加2块10266+-=（块）()6423÷-=（组）3217⨯+=（天）6块 每2天增加2块-2 +4 -2单独的先计算 …… -2 +4 每2天增加2块1064-=（块）()4422÷-=（组） 224⨯=（天）4块每2天增加2块-2 +4 1天上爬2米1天上爬2米1天上爬2米 12米单独的先减去+3+3 -1 +3 -1 +3 -1 15312-=（米）()12316÷-=（天） 617+=（天）……12三．（2）今天为星期三，再过50天，50771÷=，则再过50天是314+=，即星期四． 4. 例题4答案：（1）三；（2）五 详解：（1）1.4到4.20经过了多少天，首先得判断一下二月有28或29天，2033年为平年，2月有28天．，31283116106+++=天，1067151÷=，相当于星期二再过1天是星期三．（2）要求1.20到4.5经过了多少天，首先得判断一下二月有28或29天，2052年为闰年，2月有29天．共经过了3129311576++-=天，767106÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，相当于星期六再过6天为星期6675+-=，星期五．5. 例题5答案：（1）日；（2）二详解：（1）2013.1.1到2012.1.1过的是2012的二月为闰年，星期数减2，所以2012.1.1星期日．（2）到2014.1.1过的二月是2013年的，为平年，所以2014.1.1星期三．要求1．1到5.20经过了多少天，2014为平年，所以2月有28天，共经过了3128313019139++++=天，1397196÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，相当于星期三再过6天为星期3672+-=，星期二．6. 例题6答案：四详解：31743÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，说明31天的月份会有如下特征，假如“星期A 星期B 星期C 星期D 星期E 星期F 星期G ”，会有5个“星期A 星期B 星期C ”，这个“星期A 星期B 星期C ”必须是连续的3天，以及4个“星期D 星期E 星期F 星期G ”，这题中有4个星期二和4个星期五，说明星期六、日、一会各有5个，则这个月的第一天肯定为星期六，这个月的20日相当于过了20119-=天，则19725÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，那么为6574+-=，即星期四．7. 练习1 答案：（1）16天；（2）5天简答：关键在于只有运出货物才能使得仓库没有货物，…… +50 -60 每2天运出10吨每2天运出10吨每2天运出10吨 605010-=（吨） 80108÷=（组）8216⨯=（天）80吨+50 -60 +50 -60第一问1.14.13.12.15.1+31+28+31+305.20+191.204.20 3.202.20 4.5+31+29 +31 -151.4 4.43.42.44.20+31 +28+31+16138. 练习2答案：2天；9天简答：有2种情况，第一个是成熟了4棵后有8棵，第二个是挖出3棵后有8棵．9. 练习3答案：六简答：星期问题7天为一个周期，30742÷=，则再过30天是426+=，即星期六．10. 练习4答案：五简答：要求3.12到6.1经过了多少天，共经过了3130311181++-=天，817114÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，相当于星期一再过4天为星期145+=，星期3.126.12 5.12 4.126.1 +31+30 +31 -11…… -3 +4每2天增加1块8734-+=（块）()4434÷-=（组） 4219⨯+=（天）4块每2天增加1块-3 +4 -3单独的先计算 …… -3 +4 每2天增加1块871-=（块）()1431÷-=（组）122⨯=（天）1块每2天增加1块-3 +4 …… +50 -60 每2天运出10吨每2天运出10吨每2天运出10吨806020-=（吨）()2060502÷-=（组） 2215⨯+=（天）20吨-60单独的先减去第二问+50 -60 +50 -6014五． 11. 作业1答案：10天简答：每天家里存的桃子减少532-=个，到第20210÷=天晚上吃完．12. 作业2答案：19天简答：一上一下为一周期，最后爬出井一定是向上爬出，是不完整的周期，先考虑它，向上爬10米后就爬出了，于是前面完整的周期中向上爬了90米，每周期向上爬5米，90518÷=，所以前面爬了18天，第19天爬出井口． 13. 作业3答案：六简答：24733÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，星期三往后三天是星期六． 14. 作业4答案：二简答：10月1日到12月31日共经过313031191++-=天，91713÷=，则12月31日是星期二． 15. 作业5答案：星期五简答：由于2020年是闰年，所以星期数加2，则2021年元旦为星期五．。

高斯函数取值与求和问题1.八岁的高斯发现了数学定理高斯念小学的时候，有一次老师在教完加法后，想要休息一下，便出了一道题目要同学们算算看。

题目是：1+2+3+……+97+98+99+=?老师心想，这下子小朋友一定必须抹掉被迫辞职了吧!急忙借口过来时，却被高斯拦住了。

原来呀，高斯已经算是出了，小朋友你可以晓得他就是如何算是的吗?高斯告诉大家，把1加至与加至1排成两排相加。

也就是说：1+2+3+4+……+96+97+98+99++99+98+97+96+……+4+3+2+1=+++……++++共有一百个相加，但算式重复了两次，所以把除以2便得到答案。

从此，高斯小学的自学远远打破了其他同学，也因此打下了他以后的数学基础，更使他沦为——数学天才!2.高斯用尺规作正17边形(两千年数学难题)年的一天，在德国哥廷根大学，一个19岁的青年剩饭剩菜晚饭，已经开始搞导师单独布置给他的每天例会的两道数学题。

像是往常一样，前2道题目在2 个小时内成功地顺利完成了。

但青年辨认出今天导师给他多布置了一道题。

第三道题写在一张大纸条上，就是建议就用圆规和一把没刻度的直尺作出正17边形。

他也没多想要，就搞了出来。

然而，青年深感非常吃力。

开始，他还想，也许导师特意给我增加难度吧。

但是，随着时间一分一秒地过去了，第三道题竟毫无进展。

青年绞尽脑汁，感到自己学到的数学知识对解开这道题没有什么帮助。

困难激起了青年的斗志：我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺，在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去解这道题.。

当窗口遮住一丝曙光时，青年短舒了一口气，他终于作出了这道难题!看见导师时，青年深感有些愧疚和内疚。

他对导师说道：“您给我布置的第三道题我搞了整整一个通宵，我忘了您对我的栽培……”导师接过学生的作业一看看，当即吓坏了。

他的声音都喊叫了，说道：“这……真是你自己……搞出的?”青年有些困惑地看著激动不已的导师，提问道：“就是的，但我很屎，竟然花掉了整整一个晚上才搞出。

高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

第十四讲年龄问题在与年龄有关的应用题中，年龄一般只与年份有关，比如某人在 2012年是----------------- n,在多少岁吗？30岁，那么他在2013年一定是31岁，不用具体考虑他今年是否已经过完生日.这类应用题中，给出的条件一般是两个人或者多个人的具体年龄或者他们年龄之间的和差倍关系•所以年龄问题其实就是一类特殊的和差倍问题.与其他和差倍问题相同，年龄问题也可以通过画线段图来分析，但和其他和差倍相比，年龄问题中时常包含着一些隐藏条件，需要大家格外关注.我们先来看一下只与两个人的年龄有关的几类问题.今年小高12岁，他父亲42岁，请问：多少年后，父亲年龄是小高的2倍？多少年前，父亲年龄是小高的4倍？「分析」小高和父亲的年龄差是不变的，怎么把年龄差与年龄的倍数关系联系起来呢？练习1今年小高10岁，他父亲30岁，请问：多少年前，父亲年龄是小高的5倍？多少年前，父亲年龄是小高的6倍？对于两个人来说，每过一年，两个人的年龄都会增长一岁，但是他们的年龄差不变•抓住这一不变量，很多问题就可以迎刃而解了.例题2今年爸爸的年龄是儿子的4倍，4年以后，爸爸年龄就只有儿子的 3 倍，请问今年爸爸、儿子各几岁？「分析」父子年龄的倍数关系发生了变化，是一个典型的变倍问题，其中的不变量是什么呢？把不变量设为几份呢？今年，母亲年龄是儿子年龄的3倍;10年后，母亲年龄是儿子年龄的2倍•请问：今年母亲的年龄是多少岁？年龄问题中，我们有时需要比较两个人在不同时间的年龄•对这类问题，我们仍然像解决基本和差倍问题一样，画出线段图来.小高问师傅多少岁，师傅说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了.”请问：师傅和小高现在分别多少岁？「分析」本题中过去、现在、将来的时间都出现了，你能在一个图里把这些时间都表示出来吗？叔叔对亮亮说：“当你像我这么大的时候，我已经60岁了；当我像你这么大的时候，你才24岁•”请问：亮亮和叔叔今年各多少岁？例题4兄弟现在两个年龄之和是32岁，当哥哥像弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍.请问：哥哥现在多少岁了？「分析」这个题目中只有现在和过去，应该先画哪个时间点呢？和差倍问题, 有倍数我们就要优先画出倍数关系.练习4小姐妹两个现在年龄之和是35岁.当姐姐是妹妹现在这么大时，姐姐当时的年龄是当时妹妹年龄的2倍.请问：姐姐现在的年龄是多少？1年前，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍.已知爸爸和妈妈同岁，妈妈今年多少岁？「分析」这是关于父母年龄和与兄弟年龄和的变倍问题，我们是不是应该把父母二人分成一组，兄弟二人分成另一组来计算呢?例题6 哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园.”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁，哥哥获得博士学位时的年龄是弟弟上幼儿园时年龄的7倍，请问：哥哥获得博士学位时的年龄是多少岁？「分析」和差倍问题，有倍数时要优先画倍数.你可以根据兄弟年龄的倍数关系以及“两个人年龄差不变”画出线段图吗？年龄“外号”知多少总角：指童年•语出《诗经》，如《诗卫风氓》“总角之宴”.垂髫(chu iti co):指童年. 古时童子未冠，头发下垂，因而以“垂髫"代指童年.束发：指青少年. 一般指15岁左右，这时应该学会各种技艺.及笄(j i) j指女子15岁. 语出《礼记内则》“女子十有五年而笄待年：指女子成年待嫁，又称“待字弱冠：指男子20岁. 语出《礼记曲礼上》“二十曰弱，冠”.古代男子20岁行冠礼，表示已经成年.而立：指30岁. 语出《论语为政》“三十而立” •以后称三十岁为“而立”之年.不惑：指40岁. 语出《论语为政》“四十而不惑” •以后用“不惑”作40岁的代称.艾：指50岁•语出《礼记曲礼上》“五十曰艾” •老年头发苍白如艾.花甲：指60岁•以天干地支名号错综参互而得名.古稀：指70岁•语出杜甫《曲江》诗：“酒债寻常行处有，人生七十古来稀•” 皓首：指老年，又称“白首”.黄发：指长寿老人•语出《诗经》，如《诗鲁颂•宫》“黄发台背” •老人头发由白转黄.鲐背：指长寿老人.语出《诗经》，如《诗大雅行苇》“黄台背”，“台”与“鲐”通用.耄：古称大约七十至九十岁的年纪.老夫耄矣，无能为也. 一一《左传隐公四年》耋： 年八十曰耊•字亦作耋. 一一《易 离》•马注：“七十曰耋•”期颐：指百岁•语出《礼记 曲礼上》“百年曰期，颐” •谓百岁老人应由后代赡养.孑«I-養十有A厨志于孝r *=十：r二^做 凹十两平孤.%--'「岂JI十帀知A4-作业1.2010年张伯伯45岁，小聪9岁，那么在哪一年张伯伯的年龄是小聪的 3倍?2.今年，父亲年龄是儿子年龄的 4倍；24年后，父亲年龄是儿子年龄的 2倍•今年父亲多少岁？3.李家有三兄弟，老大、老二、老三•当老二像老三那么大时，老二的年龄是老三的 3倍，老大的年龄是老二、老三的年龄之和.已知现在三兄弟年龄之和为 28岁，现在老大多少岁？4.哥哥对弟弟说：“当我到爸爸现在的年龄时， 爸爸就70岁了. ”弟弟又对哥哥说：“当我 到妈妈现在的年龄时， 妈妈也70岁了. ”已知爸爸比妈妈大 2岁，那么哥哥比弟弟大多 少岁？5.5年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的 10倍，明年父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍，那么从今年起多少年后父母的年龄和是兄弟二人年龄和的2倍？第十四讲年龄问题1. 例题1答案：18年后；2年前详解：小高和父亲年龄差30岁，根据年龄差不变的性质，当父亲年龄是小高2倍时，设小高年龄为“ 1”，父亲年龄为“ 2”，差值为“1”，即30岁，则当小高30岁，父亲60岁时，父亲年龄 是小高的2倍，这是在18年后；同理，当父亲年龄是小高 4倍时，设小高年龄为“ 1”，父亲年 龄为“ 4”，差值为“ 3”，即30岁，则“ 1”为10岁，小高为10岁，那是在2年前.详解：设年龄差为“6”，则儿子今年年龄为“2 ”, 爸爸今年年龄为“8 ”，4年后，儿子年龄为“ 3 ”, 爸爸年龄为“ 9”，则“ 1”为4年，那么儿子今 年8岁，爸爸今年32岁.1”，则4年后的父母年龄和为 “8”，兄弟年龄和为“ 2”，则10岁为“ 1 ”，所以爸爸妈妈今年年龄和为 72,所以妈妈今年36岁.6. 例题6 答案：28岁详解：如右图所示，根据 7倍可得年龄差是弟弟上幼儿园时年龄的2倍，设弟弟上幼儿园时年2.例题2答案：儿子8岁；爸爸32岁3. 例题3答案：小高15岁；师傅27岁详解：画“过去、现在、将来”图，如右图所示.设 年龄差为“ 1”，发现“ 3”恰好是3岁到39岁, 即36岁，则“ 1”为12岁，所以现在小高和师 傅分别是15岁和27岁.4. 例题4 答案：20岁详解：画出“过去、现在”图，如右图所示•设哥哥像弟 1” ------ “ 3”__ I 45.弟现在这么大时，弟弟年龄为“ 1”，哥哥年龄为“ 3”，年龄差为“ 2”，则现在弟弟年龄“ 3”，哥哥年龄为“ 5”，年 龄和为“ 8”，即是32岁，则“ 1 ”为4岁，所以哥哥现例题5 答案：36岁详解：将父母年龄和看成一组，将兄弟二人年龄和看成一组，根据 之差统一为“ 6”.则1年前父母年龄和为“ 7”，兄弟年龄和为“ 倍和4倍，把两组年龄和 将龄为“1”，则哥哥获博士学位年龄为 “ 7 ”, 弟 1 则现在弟弟年龄为“ 3”哥哥年龄为“ 5 ” 两个人的年龄和为“ 8”，32岁，则“ 1”为 4岁；那么哥哥获得博士学位的年龄为 28岁.练习1答案：5年前；6年前详解：小高和父亲年龄差20岁，根据年龄 差不变的性质，当父亲年龄是小高5倍时， 设小高年龄为“ 1 ”，父亲年龄为“ 5”，差 值为“ 4”，即20岁，则当小高5岁，父亲 25岁时，父亲年龄是小高的 5倍，这是在龄为“ 1”，父亲年龄为“ 6”，差值为“ 5”，即20岁，则“ 1”为4岁，小高为4岁，那是在6 年前.8. 练习2 答案：30岁详解：设年龄差为“ 2”则儿子今年年龄为“ 1”母亲今年年龄为“ 3”，10年后，儿子年龄为 “2”母亲年龄为“ 4”，则“ 1”为10年，那么儿子今年10岁，母亲今年30岁.9. 练习3答案：亮亮36岁；叔叔48岁简答：方法同例3，画出线段图，设年龄差为“ 1 ”，发现“ 3”恰好是24岁到60岁，即36岁， 贝U“1 ”为12岁，所以现在亮亮和叔叔分别是 36岁和48岁.10. 练习4答案：21岁简答：方法同例4,画出线段图，设姐姐像妹妹现在这么大时，妹妹年龄为“ 1 ”，姐姐年龄为“2”年龄差为“1”，则现在妹妹年龄“ 2”，姐姐年龄为“ 3 ”，年龄和为“ 5”，即35岁，则“ 1 ”为7 岁，所以姐姐现在21岁.11. 作业1答案：2019年简答：两人年龄差为45 9 36岁.张伯伯年龄是小聪的 3倍时，小聪的年龄为36 3 1 18岁， 这是在18 9 9年后，为2019年.12. 作业2答案：48岁简答：设年龄差是“ 3”.今年父亲的年龄是“ 4”，今年儿子的年龄是“ 1 ”，24年后儿子的年龄7.5年前；同理，当父亲年龄是小高 6倍时，设小高年是“ 3”，父亲年龄是“ 6”. “1”份是12年，今年父亲的年龄是12 4 48岁. 13. 作业3答案：12岁简答：当老二像老三那么大时，假设老三的年龄为“1”，则老二的年龄为“ 3”，老大的年龄为“ 4”，如下图所示•老三、老二的年龄差为“ 2”，则现在老三年龄为“ 3”，老二年龄为“ 5”, 老大年龄为“ 6”，“1 ”为28 3 5 62岁.因此现在老大12岁，老二10岁，老三6岁.现在现在卜28岁现在14. 作业4答案：4岁简答：先根据父母年龄差 2岁画出线段图，如下所示•从图中看出，由于爸爸比妈妈大2岁，所以弟弟与妈妈年龄差比哥哥与爸爸年龄差大 2岁，比哥哥与妈妈年龄差大 2 2 4岁，所以哥 哥和弟弟年龄差为4岁.为“3”，相差的“ 2”相当于5 1 2 12年，即“1”相当于6年.5年前兄弟年龄和为6岁，父母年龄和为6 1060岁，今年兄弟年龄和为 6 5 2 16岁，父母年龄和为60 5 270岁,父母年龄和与兄弟年龄和之差为 70 16 54岁.当父母年龄和是兄弟年龄和的2倍时，兄弟年龄和为542 154岁，是在 54 162 19年后.老二1”，明年兄弟年龄和。

第十六讲复杂周期问题- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 同学们看看漫画中的小蜗牛，它在第几天爬出井呢？其实蜗牛在最后一天的时候直接爬出了井口，并不会往下滑了，所以在考虑周期的时候要特别注意整个过程结束的时候是不是完整的周期．当实际问题并不是一个完整的周期问题时，一定要先把周期之外的问题考虑好，再计算周期相关的问题．比如一串数1、2、3、4、3、4、3、4……，在计算这个数列的相关问题时，一般要先排除掉前两个数的影响，即有头周期，要先“砍头”．比如在蜗牛爬井问题中，爬出井口的那天不需要再下滑，所以要先去掉最后一天的影响，即有尾周期，要先“去尾”．注意最后的周期是否完整．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1一只蜗牛在一口15米深的井底，如果它每个白天往上爬3米，但是在晚上又往下滑1米，请问：6这只蜗牛在第几天能爬出这口井？分析：经典的蜗牛爬井问题，想清楚每天会向上爬几米以及最后一次是怎么爬的？练习1（1）工厂的仓库里有80吨货物，这些货物都由同一辆卡车负责运输．第一天卡车往仓库里运进50吨，第二天运出了60吨，第三天又运进50吨，第四天再运出60吨，……如此不停地循环下去．第几天的时候，仓库里的货物才会被运完？（2）工厂的仓库里有80吨货物，同样是由一辆卡车负责货物的运输．第一天，卡车从仓库里运出60吨，第二天再运进50吨，第三天又运出60吨，第四天再运进50吨，……如此不停地循环下去．第几天的时候，仓库里的货物才会被运完？例题2桌子上原本放着6块巧克力，第1天阿呆吃掉了2块，第2天妈妈又放了4块巧克力，第3天阿呆又吃掉2块，第4天妈妈又放上4块，……如此不停循环下去，请问第几天结束的时候桌子上有10块巧克力？（请写出所有的可能）分析：这个题目的周期和例题1相似，每两天桌上多出2块巧克力，那么多少天以后桌上有10块巧克力？想想是否一定要两天两天的考虑？练习2菜地里有7根成熟的胡萝卜，第1天白兔妈妈挖出3根，第2天又有4根胡萝卜成熟了，第3天白兔妈妈又挖出3根，第4天又有4根胡萝卜成熟了，……照这样下去，到第几天的时候，菜地里刚好有8根成熟的胡萝卜？（请写出所有的可能）- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在周期问题中，还有一类非常经典的题型，即和日期相关的题型．比如同学们最熟悉的星期．我们经常需要去计算一些和星期几有关的问题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3（1）如果今天是星期六，再过60天是星期几？（2）如果前天是星期一，从今天起再过50天是星期几？分析：（1）每个星期有几天？（2）前天和今天差几天？练习3如果今天是星期四，再过30天是星期几？7小总结➢四年一闰，百年不闰，四百年再闰．➢闰年：2月有29天，一年366天．平年：2月有28天，一年365天．➢一星期是7天，所以是7天一周期．➢大月小月的判断：一、三、五、七、八、十、腊，三十一天永不差；拳头法：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 接下来我们来学习如何判断某一年是闰年还是平年．如1921年，不是4的倍数，所以一定是平年．如1924年，是4的倍数，但不是100的倍数，所以一定是闰年．如1700年，是4的倍数，是100的倍数，但不是400的倍数，所以一定是平年．如2000年，是4的倍数，是100的倍数，也是400的倍数，所以一定是闰年．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -小判断四年一闰，百年不闰，四百年再闰．判断下面哪些年份是闰年？哪些年份是平年？（1）1949年是__________．（3）1900年是__________．（2）1988年是__________．（4）4000年是__________．8例题4（1）2033年1月4日是星期二，请问：2033年4月20日是星期几？（2）2052年1月20日是星期六，请问：2052年4月5日是星期几？分析：2033年和2052年各是平年还是闰年？1月、2月、3月都有多少天？一个星期有多少天？练习42012年3月12日是星期一，请问：2012年儿童节是星期几？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在日期问题中有个非常好用的小技巧叫“度年如日”，那么这个小技巧对于我们解决其他的周期问题有什么启示吗？例题52013年元旦是星期二，请问：（1）2012年元旦是星期几？（2）2014年5月20日是星期几？分析：度过一个平年，星期数会加几？例题6某月有31天，有4个星期二和4个星期五，那么这个月的20日是星期几？分析：想清这个月是几个整周，零出来几天？这几天分别是星期几？本月的第一天是星期几呢？9课堂内外闰年地球绕日运行周期为365天5小时48分46秒（合365.24219天），即一回归年（tropical year）．公历的平年只有365日，比回归年短约0.2422日，每四年累积约一天，把这一天加于2月末（即2月29日），使当年时间长度变为366日，这一年就为闰年．需要注意的是，现在的公历是根据罗马人的“儒略历”改编而得．由于当时没有了解到每年要多算出0.0078天的问题，从公元前46年，到16世纪，一共累计多出了10天．为此，当时的教皇格雷果里十三世，将1582年10月5日人为规定为10月15日．并开始了新闰年规定．即规定公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年，不是400的倍数的就是平年．比如，1700年、1800年和1900年为平年，2000年为闰年．此后，平均每年长度为365.2425天，约4年出现1天的偏差．按照每四年一个闰年计算，平均每年就要多算出0.0078天，经过四百年就会多出大约3天来，因此，每四百年中要减少三个闰年．闰年的计算，归结起来就是通常说的：四年一闰，百年不闰，四百年再闰．作业1.小懒猴摘桃子．它每天白天摘3个桃子，但到了晚上就要吃掉5个桃子．如果第一天白天之前小懒猴家里存着20个桃子，那么到第几天晚上它就会吃完所有的桃子？2.第一天蜗牛在井的底部，井深100米，蜗牛每天白天向上爬10米，晚上下滑5米，请问蜗牛在第几天爬出井口？3.如果今天是星期三，那么再过24天是星期几？4.2013年10月1日是星期二，那么2013年12月31日是星期几？5.2020年元旦是星期三，那么2021年元旦是星期几？1011第十六讲 复杂周期问题1. 例题1答案：7天详解：最后一次一定是上爬到达井口．2. 例题2答案：4天；7天详解：有2种情况，第一个是放上去4块后有10块巧克力，第二个是吃掉2块巧克力后有10块．3. 例题3答案：（1）三；（2）四 详解：（1）星期问题7天为一个周期，60784÷=，则再过60天是6473+-=，即星期…… -2 +4每2天增加2块10266+-=（块）()6423÷-=（组）3217⨯+=（天）6块 每2天增加2块-2 +4 -2单独的先计算 …… -2 +4 每2天增加2块1064-=（块）()4422÷-=（组） 224⨯=（天）4块每2天增加2块-2 +4 1天上爬2米1天上爬2米1天上爬2米 12米单独的先减去+3+3 -1 +3 -1 +3 -1 15312-=（米）()12316÷-=（天） 617+=（天）……12三．（2）今天为星期三，再过50天，50771÷=，则再过50天是314+=，即星期四． 4. 例题4答案：（1）三；（2）五 详解：（1）1.4到4.20经过了多少天，首先得判断一下二月有28或29天，2033年为平年，2月有28天．，31283116106+++=天，1067151÷=，相当于星期二再过1天是星期三．（2）要求1.20到4.5经过了多少天，首先得判断一下二月有28或29天，2052年为闰年，2月有29天．共经过了3129311576++-=天，767106÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，相当于星期六再过6天为星期6675+-=，星期五．5. 例题5答案：（1）日；（2）二详解：（1）2013.1.1到2012.1.1过的是2012的二月为闰年，星期数减2，所以2012.1.1星期日．（2）到2014.1.1过的二月是2013年的，为平年，所以2014.1.1星期三．要求1．1到5.20经过了多少天，2014为平年，所以2月有28天，共经过了3128313019139++++=天，1397196÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，相当于星期三再过6天为星期3672+-=，星期二．6. 例题6答案：四详解：31743÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，说明31天的月份会有如下特征，假如“星期A 星期B 星期C 星期D 星期E 星期F 星期G ”，会有5个“星期A 星期B 星期C ”，这个“星期A 星期B 星期C ”必须是连续的3天，以及4个“星期D 星期E 星期F 星期G ”，这题中有4个星期二和4个星期五，说明星期六、日、一会各有5个，则这个月的第一天肯定为星期六，这个月的20日相当于过了20119-=天，则19725÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，那么为6574+-=，即星期四．7. 练习1 答案：（1）16天；（2）5天简答：关键在于只有运出货物才能使得仓库没有货物，…… +50 -60 每2天运出10吨每2天运出10吨每2天运出10吨 605010-=（吨） 80108÷=（组）8216⨯=（天）80吨+50 -60 +50 -60第一问1.14.13.12.15.1+31+28+31+305.20+191.204.20 3.202.20 4.5+31+29 +31 -151.4 4.43.42.44.20+31 +28+31+16138. 练习2答案：2天；9天简答：有2种情况，第一个是成熟了4棵后有8棵，第二个是挖出3棵后有8棵．9. 练习3答案：六简答：星期问题7天为一个周期，30742÷=，则再过30天是426+=，即星期六．10. 练习4答案：五简答：要求3.12到6.1经过了多少天，共经过了3130311181++-=天，817114÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，相当于星期一再过4天为星期145+=，星期3.126.12 5.12 4.126.1 +31+30 +31 -11…… -3 +4每2天增加1块8734-+=（块）()4434÷-=（组） 4219⨯+=（天）4块每2天增加1块-3 +4 -3单独的先计算 …… -3 +4 每2天增加1块871-=（块）()1431÷-=（组）122⨯=（天）1块每2天增加1块-3 +4 …… +50 -60 每2天运出10吨每2天运出10吨每2天运出10吨806020-=（吨）()2060502÷-=（组） 2215⨯+=（天）20吨-60单独的先减去第二问+50 -60 +50 -6014五． 11. 作业1答案：10天简答：每天家里存的桃子减少532-=个，到第20210÷=天晚上吃完．12. 作业2答案：19天简答：一上一下为一周期，最后爬出井一定是向上爬出，是不完整的周期，先考虑它，向上爬10米后就爬出了，于是前面完整的周期中向上爬了90米，每周期向上爬5米，90518÷=，所以前面爬了18天，第19天爬出井口． 13. 作业3答案：六简答：24733÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，星期三往后三天是星期六． 14. 作业4答案：二简答：10月1日到12月31日共经过313031191++-=天，91713÷=，则12月31日是星期二． 15. 作业5答案：星期五简答：由于2020年是闰年，所以星期数加2，则2021年元旦为星期五．。

五年級（繁體）下冊《高斯求和》姓名：班別：日期：得分：高斯求和德國著名數學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老師出完題後，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等於5050。

高斯為什麼算得又快又准呢？原來小高斯通過細心觀察發現：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成這樣的50對數，每對數的和都相等。

於是，小高斯把這道題巧算為（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，並且廣泛地適用於“等差數列”的求和問題。

若干個數排成一列稱為數列，數列中的每一個數稱為一項，其中第一項稱為首項，最後一項稱為末項。

後項與前項之差都相等的數列稱為等差數列，後項與前項之差稱為公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數列。

由高斯的巧算方法，得到等差數列的求和公式：和=（首項+末項）×項數÷2。

例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析與解：這串加數1，2，3，…，1999是等差數列，首項是1，末項是1999，共有1999個數。

由等差數列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差數列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數是否構成等差數列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析與解：這串加數11，12，13，…，31是等差數列，首項是11，末項是31，共有31-11＋1＝21（項）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

个性化一对一教学辅导教案学科： 奥数 学生姓名 年级 四 任课老师 授课时间一、教学内容：高斯求和、还原问题、平均数问题（复习课）二、教学重、难点：求和公式、还原问题中问题的倒退三、教学过程：高斯求和：若干个数按照一定的顺序规律排列起来就是一个数列。

例如：：1，1, 2，3，5，8，13，21，34，……2、如果在一个数列中，任意两个相邻的数之间的差都相等，我们把这个数列称为等差数列。

其中第一个数称为首项，最后一个数称为末项。

相邻两个数之间的差称为公差（通常用d 表示），这列数中数的个数称为项数。

3. 等差数列的计算公式：前n 项和： 2n a a S n 1÷+=）（ 项数： 1d a -a n 1n +÷=）（ ）（n 1a a 2S n +÷=第n 项： d 1-n a a 1n ）（+= 公差： ）（）（1-n a -a d 1n ÷=例题1、 计算 1＋2＋3＋……＋99＋100 （等差数列求和公式的推导）你会怎么求？高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。

200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050例题2、 2＋4＋6＋8＋……＋48＋50 5＋10＋15＋20＋……＋45＋50练习：○1 计算 1＋2＋3＋……＋49＋50○2 计算 1＋3＋5＋7＋……＋97＋99○3时钟在1点钟时敲一下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，以此类推，从1～12点钟共敲了几下？例2、求 5＋8＋11＋14＋……＋29＋32 （如何求项数）练习：○1 1＋5＋9＋6＋……＋33＋37○2 5＋10＋15＋……＋90＋95＋100○3丹丹学英语单词，第一天学会了6个单词，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了26个。

高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

奥数系列训练-高斯算法（含答案）【奥数系列训练】(含答案)——高斯算法请填入正确答案：【题目1】1＋2＋3＋……＋8＋9＋10 =【题目2】1＋3＋5＋……＋17＋19 =【题目3】1＋2＋3＋……51＋52＋……＋99＋100 =【题目4】1＋3＋5＋……51＋53＋……＋97＋99 =【题目5】2＋4＋6＋……50＋52＋……＋98＋100 =【题目6】3＋6＋9＋……＋51＋54＋57＋……＋96＋99 = 【题目7】5＋10＋15＋……＋50＋55＋……＋95＋100 =【题目8】1＋4＋7＋……＋52＋55＋58＋……＋97＋100 =【题目9】小甜甜家的时钟每整点时就敲钟，而敲的数目和当时的时间是一样的，而且在两个整点中还会敲一下，这时时钟一天内共敲多少下？【题目10】有一列数：19、22、25、28……，这列数的前49个数（从19开始算起）的总和是的多少？【参考答案】1．【解答】（1＋10）×10/2 = 55【分析】方法一：步骤一：先写出这个数列；步骤二：然后再把这个数列倒着排列；步骤三：算出同一列的数字和都是11；步骤四：所以数列和就是11×10/2 = 55。

1＋2＋ 3＋……＋8＋ 9＋1010＋9＋ 8＋……＋3＋ 2＋ 111 11 11 11 11 11方法二：左边堆放着许多木头，从上到下木头的数目为1，2，3，4，……，8，9，10，那么木头的总数就是这个数列的和。

2．【解答】（1＋19）×10/2 = 1003．【解答】（1＋100）×100/2 = 50504．【解答】（1＋99）×50/2 = 25005．【解答】（2＋100）×50/2 = 25506．【解答】（3＋99）×33/2 = 16837．【解答】（5＋100）×20/2 = 10508．【解答】（1＋100）×34/2 = 17179．【解答】（1＋12）×12＋24 = 180（下）10．【解答】19＋3×（49－1）= 163，919＋163）×49/2 = 4459。