湖北省黄冈中学2019年高一下学期数学(理)期中试卷及答案

湖北省黄冈中学2019年春季期中联考高一数学试题（理）考试时间：4月27日上午8:00—10:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、下列关于x的不等式解集是实数集R的为（）A．B．4x2＋4x＋1＞0C．3x－1＞0 D．2、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，若，则角C等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°3、等比数列{a n}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝54，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（）A．8 B．10C．15 D．204、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，则满足A＝45°，c＝8，a＝6的△ABC 的个数为m，则a m的值为（）A．36 B．6C．1 D．不存在5、已知数列{a n}首项，则a2016＝（）A．－2 B．C． D．36、对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3＜0恒成立，则实数k的取值范围是（）A．－24＜k＜0 B．－24＜k≤0C．0＜k≤24 D．k≥247、数列{a n}满足a1＝1，，且，则a n等于（）A．B．C．D．8、在300米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，45°，则塔高为（）A．B．C．D．9、若等差数列{a n}中，|a5|＝|a11|，公差d＜0，则使前n项和S n取得最大值的n是（）A．8 B．7或8C．8或9 D．710、设实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为（）A．B．49C．35 D．11、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，……为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2016项为a2016，则a2016－5＝（）A．2023×2016 B．2015×2022C．2023×1008 D．2015×101112、己知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知a＞0，b＞0，2a＋b＝16，则ab的最大值为__________．14、中国古代数学巨著《九章算术》中有“分钱问题”：现有5人分五钱，5人所得数依次成等差数列，前两人分的数与后三人分的数相等，问第二人分__________钱．15、在△ABC中，已知A＝60°，b＝1，其面积为，则__________．16、设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，线段AC过⊙O的圆心与圆交于点C，E，AB为圆的切线，B为切点，BD⊥OA于D，F在圆上且FO⊥OA于O．AC＝a，AE＝b，线段__________的长度是a，b的几何平均值，线段__________的长度是a，b的调和平均值．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）求下列关于实数x的不等式的解集：（1）－x2＋5x－6≤0；（2）．18、（本小题满分12分）在等差数列{a n}中，a2＝4，a3＋a8＝15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．19、（本小题满分12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，．（1）求角B的大小；（2）求函数的值域．20、（本小题满分12分）某市人民广场立有一块巨大的电子显示屏，如图，为测量它的上下宽度（即AB的长度）．一名学生站在如图C处测得A，B的仰角分别为60°，45°，从C点出发，沿着直线OC再前进20米到达D点，在D点测得A的仰角为30°．不考虑测角仪的高度和人的高度（即C，D视为测角仪所在的位置，E视为人的眼睛所在位置）（1）求电子显示屏的上下宽度AB；（2）该生站在E点观看电子显示屏，为保证观看节目的视觉效果最佳，即人的眼睛与A，B连线所成角最大，求O，E两点间的距离．（第二问结果保留一位小数，参考数据：）21、（本小题满分12分）定义：在平面直角坐标系中落在坐标轴上的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）称为“轴点”．设不等式|x|＋|y|≤n（n∈N＋）所表示的平面区域为D n，记D n内的“轴点”个数为a n．（1）求a1，a2，a3，并猜想a n的表达式（不需要证明）；（2）利用（1）的猜想结果，设数列{a n－1}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，若对一切n∈N＋，恒成立，求实数m的取值范围．22、（本小题满分12分）若数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝2a n－2，记b n＝log2a n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c1＝1，，求证：c n＜3；（3）记，求的值．（注：[x]表示不超过x的最大整数，例：[2.1]＝2，[－1.3]＝－2）答案与解析：1、C解析：A中的解集是{x|x＞1或x＜－1}，B中的解集是，C中的解集是R，D中的解集是{x|x≠－1}，故答案为C．2、D解析：由余弦定理得，又0°＜C＜180°，∴C＝30°，故答案为D．3、C解析：{a n}是等比数列，∴a5a6＝a4a7＝27，log3a1＋log3a2＋...＋log3a10＝log3（a1a2 (10)＝log3（a1a10）5＝5log3a1a10＝5log3a5a6＝5log327＝5×3＝15，故答案为C．4、A解析：∵csinA＜a＜c，∴这样的三角形有2个，即m＝2，∴a m＝62＝36．5、C解析：故数列{a n}是周期数列且周期T＝4，，故选择C．6、B解析：当k＝0时不等式即为－3＜0，不等式恒成立，当k≠0时，若不等式恒成立，则，即，即－24＜k＜0，综合知－24＜k≤0，故选择B．7、D解析：由题知是等差数列，又，∴公差为．，故答案为D．解析：如图，山高为AB＝300m，塔高为CD．∴BC＝300，∵∠EAB＝60°，．Rt△ECD中，，，故选择A．9、B解析：∵|a5|＝|a11|，∴a5＋a11＝0，又a5＋a11＝a8＋a8，∴a8＝0．又公差d＜0，∴a7＞0，a9＜0，∴S n中S7＝S8最大，故选择B．10、A解析：画出可行域，如图，可知z＝ax＋by在A（3，4）处取得最大值，故3a＋4b＝1．，当时取最小值，故选A．解析：……归纳出．．，故选D．12、A13、3214、15、16、AB，AD17、解：（1）不等式变形为：（x－2）（x－3）≥0，所以不等式解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）．（5分）（2）不等式等价于2（x－a）（x－a2－1）＜0，，所以不等式解集为（a，a2＋1）．（10分）18、解：（1）由a2＝a1＋d＝4，a3＋a8＝2a1＋9d＝15得a1＝3，d＝1．∴a n＝a1＋（n－1）d＝n＋2（6分）（2）b n＝2n＋2n＋1（12分）19、解：（1）由正弦定理得：20、解：（1）设OB＝x，则由∠OCB＝45°，∠OCA＝60°，∠ODA＝30°，得OC＝x，，OD＝3x．则由OD＝OC＋CD，得3x＝x＋20，所以x＝10所以电子屏的宽度．（6分）（2）设OE＝y，则，当且仅当即y≈13.2时，tan∠AEB最大，即∠AEB最大．答：（1）电子屏的宽度为米．（2）当OE为13.2米时，观看节目的视觉效果最佳．（12分）21、解：（1）a1＝5，a2＝9，a3＝13，故猜想a n＝4n＋1．（4分）22、解：（1）当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（2a n－2）－（2a n－1－2）＝2a n－2a n－1即a n＝2a n－1所以数列{a n}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列∴a n＝2·2n－1＝2n，从而b n＝log2a n＝n．（3分）（2）由（1）知∴c n＝（c n－c n－1）＋（c n－1－c n－2）＋…＋（c2－c1）＋c1（n≥2）第11 页共11 页。

湖北省黄冈中学2020学年春季期中联考高一数学试题（理）考试时间：4月27日上午8:00—10:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、下列关于x的不等式解集是实数集R的为（）A．B．4x2＋4x＋1＞0C．3x－1＞0 D．2、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，若，则角C等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°3、等比数列{a n}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝54，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（）A．8 B．10C．15 D．204、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，则满足A＝45°，c＝8，a＝6的△ABC 的个数为m，则a m的值为（）A．36 B．6C．1 D．不存在5、已知数列{a n}首项，则a2016＝（）A．－2 B．C． D．3 6、对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3＜0恒成立，则实数k的取值范围是（）A．－24＜k＜0 B．－24＜k≤0C．0＜k≤24 D．k≥247、数列{a n}满足a1＝1，，且，则a n等于（）A．B．C．D．8、在300米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，45°，则塔高为（）A．B．C．D．9、若等差数列{a n}中，|a5|＝|a11|，公差d＜0，则使前n项和S n取得最大值的n是（）A．8 B．7或8C．8或9 D．710、设实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax ＋by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为（）A．B．49C．35 D．11、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，……为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2016项为a2016，则a2016－5＝（）A．2023×2016 B．2015×2022C．2023×1008 D．2015×101112、己知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的前n 项和，则的最小值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知a＞0，b＞0，2a＋b＝16，则ab的最大值为__________．14、中国古代数学巨著《九章算术》中有“分钱问题”：现有5人分五钱，5人所得数依次成等差数列，前两人分的数与后三人分的数相等，问第二人分__________钱．15、在△ABC中，已知A＝60°，b＝1，其面积为，则__________．16、设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，线段AC过⊙O的圆心与圆交于点C，E，AB为圆的切线，B为切点，BD⊥OA于D，F在圆上且FO⊥OA于O．AC＝a，AE＝b，线段__________的长度是a，b的几何平均值，线段__________的长度是a，b的调和平均值．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）求下列关于实数x的不等式的解集：（1）－x2＋5x－6≤0；（2）．18、（本小题满分12分）在等差数列{a n}中，a2＝4，a3＋a8＝15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．19、（本小题满分12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，．（1）求角B的大小；（2）求函数的值域．20、（本小题满分12分）某市人民广场立有一块巨大的电子显示屏，如图，为测量它的上下宽度（即AB的长度）．一名学生站在如图C处测得A，B的仰角分别为60°，45°，从C点出发，沿着直线OC再前进20米到达D点，在D点测得A的仰角为30°．不考虑测角仪的高度和人的高度（即C，D视为测角仪所在的位置，E视为人的眼睛所在位置）（1）求电子显示屏的上下宽度AB；（2）该生站在E点观看电子显示屏，为保证观看节目的视觉效果最佳，即人的眼睛与A，B连线所成角最大，求O，E两点间的距离．（第二问结果保留一位小数，参考数据：）21、（本小题满分12分）定义：在平面直角坐标系中落在坐标轴上的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）称为“轴点”．设不等式|x|＋|y|≤n（n∈N＋）所表示的平面区域为D n，记D n内的“轴点”个数为a n．（1）求a1，a2，a3，并猜想a n的表达式（不需要证明）；（2）利用（1）的猜想结果，设数列{a n－1}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，若对一切n∈N＋，恒成立，求实数m的取值范围．22、（本小题满分12分）若数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝2a n－2，记b n＝log2a n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c1＝1，，求证：c n＜3；（3）记，求的值．（注：[x]表示不超过x的最大整数，例：[2.1]＝2，[－1.3]＝－2）答案与解析：1、C解析：A中的解集是{x|x＞1或x＜－1}，B中的解集是，C中的解集是R，D中的解集是{x|x≠－1}，故答案为C．2、D解析：由余弦定理得，又0°＜C＜180°，∴C＝30°，故答案为D．3、C解析：{a n}是等比数列，∴a5a6＝a4a7＝27，log3a1＋log3a2＋...＋log3a10＝log3（a1a2 (10)＝log3（a1a10）5＝5log3a1a10＝5log3a5a6＝5log327＝5×3＝15，故答案为C．4、A解析：∵csinA＜a＜c，∴这样的三角形有2个，即m＝2，∴a m＝62＝36．5、C解析：故数列{a n}是周期数列且周期T＝4，，故选择C．6、B解析：当k＝0时不等式即为－3＜0，不等式恒成立，当k≠0时，若不等式恒成立，则，即，即－24＜k＜0，综合知－24＜k≤0，故选择B．7、D解析：由题知是等差数列，又，∴公差为．，故答案为D．8、A解析：如图，山高为AB＝300m，塔高为CD．∴BC＝300，∵∠EAB＝60°，．Rt△ECD中，，，故选择A．9、B解析：∵|a5|＝|a11|，∴a5＋a11＝0，又a5＋a11＝a8＋a8，∴a8＝0．又公差d＜0，∴a7＞0，a9＜0，∴S n中S7＝S8最大，故选择B．10、A解析：画出可行域，如图，可知z＝ax＋by在A（3，4）处取得最大值，故3a＋4b＝1．，当时取最小值，故选A．11、D解析：……归纳出．．，故选D．12、A13、3214、15、16、AB，AD17、解：（1）不等式变形为：（x－2）（x－3）≥0，所以不等式解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）．（5分）（2）不等式等价于2（x－a）（x－a2－1）＜0，，所以不等式解集为（a，a2＋1）．（10分）18、解：（1）由a2＝a1＋d＝4，a3＋a8＝2a1＋9d＝15得a1＝3，d＝1．∴a n＝a1＋（n－1）d＝n＋2（6分）（2）b n＝2n＋2n＋1（12分）19、解：（1）由正弦定理得：20、解：（1）设OB＝x，则由∠OCB＝45°，∠OCA＝60°，∠ODA＝30°，得OC＝x，，OD＝3x．则由OD＝OC＋CD，得3x＝x＋20，所以x＝10所以电子屏的宽度．（6分）（2）设OE＝y，则，当且仅当即y≈13.2时，tan∠AEB最大，即∠AEB 最大．答：（1）电子屏的宽度为米．（2）当OE为13.2米时，观看节目的视觉效果最佳．（12分）21、解：（1）a1＝5，a2＝9，a3＝13，故猜想a n＝4n＋1．（4分）22、解：（1）当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（2a n－2）－（2a n－1－2）＝2a n－2a n－1即a n＝2a n－1所以数列{a n}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列∴a n＝2·2n－1＝2n，从而b n＝log2a n＝n．（3分）（2）由（1）知∴c n＝（c n－c n－1）＋（c n－1－c n－2）＋…＋（c2－c1）＋c1（n≥2）。

湖北省黄冈中学2019年春季期中联考高一数学试题（理）考试时间：4月27日上午8:00—10:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、下列关于x的不等式解集是实数集R的为（）A．B．4x2＋4x＋1＞0C．3x－1＞0 D．2、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，若，则角C等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°3、等比数列{a n}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝54，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（）A．8 B．10C．15 D．204、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，则满足A＝45°，c＝8，a＝6的△ABC 的个数为m，则a m的值为（）A．36 B．6C．1 D．不存在5、已知数列{a n}首项，则a2016＝（）A．－2 B．C． D．36、对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3＜0恒成立，则实数k的取值范围是（）A．－24＜k＜0 B．－24＜k≤0C．0＜k≤24 D．k≥247、数列{a n}满足a1＝1，，且，则a n等于（）A．B．C．D．8、在300米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，45°，则塔高为（）A．B．C．D．9、若等差数列{a n}中，|a5|＝|a11|，公差d＜0，则使前n项和S n取得最大值的n是（）A．8 B．7或8C．8或9 D．710、设实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为（）A．B．49C．35 D．11、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，……为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2016项为a2016，则a2016－5＝（）A．2023×2016 B．2015×2022C．2023×1008 D．2015×101112、己知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知a＞0，b＞0，2a＋b＝16，则ab的最大值为__________．14、中国古代数学巨著《九章算术》中有“分钱问题”：现有5人分五钱，5人所得数依次成等差数列，前两人分的数与后三人分的数相等，问第二人分__________钱．15、在△ABC中，已知A＝60°，b＝1，其面积为，则__________．16、设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，线段AC过⊙O的圆心与圆交于点C，E，AB为圆的切线，B为切点，BD⊥OA于D，F在圆上且FO⊥OA于O．AC＝a，AE＝b，线段__________的长度是a，b的几何平均值，线段__________的长度是a，b的调和平均值．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）求下列关于实数x的不等式的解集：（1）－x2＋5x－6≤0；（2）．18、（本小题满分12分）在等差数列{a n}中，a2＝4，a3＋a8＝15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．19、（本小题满分12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，．（1）求角B的大小；（2）求函数的值域．20、（本小题满分12分）某市人民广场立有一块巨大的电子显示屏，如图，为测量它的上下宽度（即AB的长度）．一名学生站在如图C处测得A，B的仰角分别为60°，45°，从C点出发，沿着直线OC再前进20米到达D点，在D点测得A的仰角为30°．不考虑测角仪的高度和人的高度（即C，D视为测角仪所在的位置，E视为人的眼睛所在位置）（1）求电子显示屏的上下宽度AB；（2）该生站在E点观看电子显示屏，为保证观看节目的视觉效果最佳，即人的眼睛与A，B连线所成角最大，求O，E两点间的距离．（第二问结果保留一位小数，参考数据：）21、（本小题满分12分）定义：在平面直角坐标系中落在坐标轴上的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）称为“轴点”．设不等式|x|＋|y|≤n（n∈N＋）所表示的平面区域为D n，记D n内的“轴点”个数为a n．（1）求a1，a2，a3，并猜想a n的表达式（不需要证明）；（2）利用（1）的猜想结果，设数列{a n－1}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，若对一切n∈N＋，恒成立，求实数m的取值范围．22、（本小题满分12分）若数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝2a n－2，记b n＝log2a n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c1＝1，，求证：c n＜3；（3）记，求的值．（注：[x]表示不超过x的最大整数，例：[2.1]＝2，[－1.3]＝－2）答案与解析：1、C解析：A中的解集是{x|x＞1或x＜－1}，B中的解集是，C中的解集是R，D中的解集是{x|x≠－1}，故答案为C．2、D解析：由余弦定理得，又0°＜C＜180°，∴C＝30°，故答案为D．3、C解析：{a n}是等比数列，∴a5a6＝a4a7＝27，log3a1＋log3a2＋...＋log3a10＝log3（a1a2 (10)＝log3（a1a10）5＝5log3a1a10＝5log3a5a6＝5log327＝5×3＝15，故答案为C．4、A解析：∵csinA＜a＜c，∴这样的三角形有2个，即m＝2，∴a m＝62＝36．5、C解析：故数列{a n}是周期数列且周期T＝4，，故选择C．6、B解析：当k＝0时不等式即为－3＜0，不等式恒成立，当k≠0时，若不等式恒成立，则，即，即－24＜k＜0，综合知－24＜k≤0，故选择B．7、D解析：由题知是等差数列，又，∴公差为．，故答案为D．8、A解析：如图，山高为AB＝300m，塔高为CD．∴BC＝300，∵∠EAB＝60°，．Rt△ECD中，，，故选择A．9、B解析：∵|a5|＝|a11|，∴a5＋a11＝0，又a5＋a11＝a8＋a8，∴a8＝0．又公差d＜0，∴a7＞0，a9＜0，∴S n中S7＝S8最大，故选择B．10、A解析：画出可行域，如图，可知z＝ax＋by在A（3，4）处取得最大值，故3a＋4b＝1．，当时取最小值，故选A．11、D解析：……归纳出．．，故选D．12、A13、3214、15、16、AB，AD17、解：（1）不等式变形为：（x－2）（x－3）≥0，所以不等式解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）．（5分）（2）不等式等价于2（x－a）（x－a2－1）＜0，，所以不等式解集为（a，a2＋1）．（10分）18、解：（1）由a2＝a1＋d＝4，a3＋a8＝2a1＋9d＝15得a1＝3，d＝1．∴a n＝a1＋（n－1）d＝n＋2（6分）（2）b n＝2n＋2n＋1（12分）19、解：（1）由正弦定理得：20、解：（1）设OB＝x，则由∠OCB＝45°，∠OCA＝60°，∠ODA＝30°，得OC＝x，，OD＝3x．则由OD＝OC＋CD，得3x＝x＋20，所以x＝10所以电子屏的宽度．（6分）（2）设OE＝y，则，当且仅当即y≈13.2时，tan∠AEB最大，即∠AEB最大．答：（1）电子屏的宽度为米．（2）当OE为13.2米时，观看节目的视觉效果最佳．（12分）21、解：（1）a1＝5，a2＝9，a3＝13，故猜想a n＝4n＋1．（4分）22、解：（1）当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（2a n－2）－（2a n－1－2）＝2a n－2a n－1即a n＝2a n－1所以数列{a n}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列∴a n＝2·2n－1＝2n，从而b n＝log2a n＝n．（3分）（2）由（1）知∴c n＝（c n－c n－1）＋（c n－1－c n－2）＋…＋（c2－c1）＋c1（n≥2）。

湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中测试数 学 试 卷（理科）全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1． 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C. (－２，１)D.(－２，－２)2．设ABC ∆的内角Ａ,Ｂ,Ｃ所对的边分别为a, b, c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边a, b, c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形3． 已知数列{a n }和{n b }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A.17B.421C.835D.324．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且a=3,c=45O．则角Ｂ等于（ ） A.600B. 600或1200C.150D.150或7505．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.5D.106．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （０<a<b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）<v<2a b+ D. v=2a b+ 7. 设点Ｏ在ABC ∆的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ）A.32B.53C.2 D ．38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.22B.23C.24D.259．已知的平面向量a 和b ，且≠0a ，a ≠ b ，1b =，a 和b －a 夹角为1３5o ，则a 的取值范围为( )A.0,1⎡⎤⎣⎦B.()1,2C.(D.,12⎤⎥⎢⎥⎣⎦10．已知函数(x)xf e x =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ） A.①④B.②③C.①③D.②④11．设a + b = 2, b >0，则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.4B.3C ．2D.1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=--．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .15．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，若12340m a a a a a ++++≤ ，则m 的最大值是 ．16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若(3n)+=≤nnna b c ，则ABC ∆为锐角三角形． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f = 当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x 1)5+≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

湖北省黄冈中学2019年春季期中联考高一数学试题（理）考试时间：4月27日上午8:00—10:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、下列关于x的不等式解集是实数集R的为（）A．B．4x2＋4x＋1＞0C．3x－1＞0 D．2、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，若，则角C等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°3、等比数列{a n}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝54，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（）A．8 B．10C．15 D．204、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，则满足A＝45°，c＝8，a＝6的△ABC 的个数为m，则a m的值为（）A．36 B．6C．1 D．不存在5、已知数列{a n}首项，则a2016＝（）A．－2 B．C． D．36、对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3＜0恒成立，则实数k的取值范围是（）A．－24＜k＜0 B．－24＜k≤0C．0＜k≤24 D．k≥247、数列{a n}满足a1＝1，，且，则a n等于（）A．B．C．D．8、在300米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，45°，则塔高为（）A．B．C．D．9、若等差数列{a n}中，|a5|＝|a11|，公差d＜0，则使前n项和S n取得最大值的n是（）A．8 B．7或8C．8或9 D．710、设实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为（）A．B．49C．35 D．11、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，……为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2016项为a2016，则a2016－5＝（）A．2023×2016 B．2015×2022C．2023×1008 D．2015×101112、己知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知a＞0，b＞0，2a＋b＝16，则ab的最大值为__________．14、中国古代数学巨著《九章算术》中有“分钱问题”：现有5人分五钱，5人所得数依次成等差数列，前两人分的数与后三人分的数相等，问第二人分__________钱．15、在△ABC中，已知A＝60°，b＝1，其面积为，则__________．16、设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，线段AC过⊙O的圆心与圆交于点C，E，AB为圆的切线，B为切点，BD⊥OA于D，F在圆上且FO⊥OA于O．AC＝a，AE＝b，线段__________的长度是a，b的几何平均值，线段__________的长度是a，b的调和平均值．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）求下列关于实数x的不等式的解集：（1）－x2＋5x－6≤0；（2）．18、（本小题满分12分）在等差数列{a n}中，a2＝4，a3＋a8＝15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．19、（本小题满分12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，．（1）求角B的大小；（2）求函数的值域．20、（本小题满分12分）某市人民广场立有一块巨大的电子显示屏，如图，为测量它的上下宽度（即AB的长度）．一名学生站在如图C处测得A，B的仰角分别为60°，45°，从C点出发，沿着直线OC再前进20米到达D点，在D点测得A的仰角为30°．不考虑测角仪的高度和人的高度（即C，D视为测角仪所在的位置，E视为人的眼睛所在位置）（1）求电子显示屏的上下宽度AB；（2）该生站在E点观看电子显示屏，为保证观看节目的视觉效果最佳，即人的眼睛与A，B连线所成角最大，求O，E两点间的距离．（第二问结果保留一位小数，参考数据：）21、（本小题满分12分）定义：在平面直角坐标系中落在坐标轴上的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）称为“轴点”．设不等式|x|＋|y|≤n（n∈N＋）所表示的平面区域为D n，记D n内的“轴点”个数为a n．（1）求a1，a2，a3，并猜想a n的表达式（不需要证明）；（2）利用（1）的猜想结果，设数列{a n－1}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，若对一切n∈N＋，恒成立，求实数m的取值范围．22、（本小题满分12分）若数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝2a n－2，记b n＝log2a n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c1＝1，，求证：c n＜3；（3）记，求的值．（注：[x]表示不超过x的最大整数，例：[2.1]＝2，[－1.3]＝－2）答案与解析：1、C解析：A中的解集是{x|x＞1或x＜－1}，B中的解集是，C中的解集是R，D中的解集是{x|x≠－1}，故答案为C．2、D解析：由余弦定理得，又0°＜C＜180°，∴C＝30°，故答案为D．3、C解析：{a n}是等比数列，∴a5a6＝a4a7＝27，log3a1＋log3a2＋...＋log3a10＝log3（a1a2 (10)＝log3（a1a10）5＝5log3a1a10＝5log3a5a6＝5log327＝5×3＝15，故答案为C．4、A解析：∵csinA＜a＜c，∴这样的三角形有2个，即m＝2，∴a m＝62＝36．5、C解析：故数列{a n}是周期数列且周期T＝4，，故选择C．6、B解析：当k＝0时不等式即为－3＜0，不等式恒成立，当k≠0时，若不等式恒成立，则，即，即－24＜k＜0，综合知－24＜k≤0，故选择B．7、D解析：由题知是等差数列，又，∴公差为．，故答案为D．8、A解析：如图，山高为AB＝300m，塔高为CD．∴BC＝300，∵∠EAB＝60°，．Rt△ECD中，，，故选择A．9、B解析：∵|a5|＝|a11|，∴a5＋a11＝0，又a5＋a11＝a8＋a8，∴a8＝0．又公差d＜0，∴a7＞0，a9＜0，∴S n中S7＝S8最大，故选择B．10、A解析：画出可行域，如图，可知z＝ax＋by在A（3，4）处取得最大值，故3a＋4b＝1．，当时取最小值，故选A．11、D解析：……归纳出．．，故选D．12、A13、3214、15、16、AB，AD17、解：（1）不等式变形为：（x－2）（x－3）≥0，所以不等式解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）．（5分）（2）不等式等价于2（x－a）（x－a2－1）＜0，，所以不等式解集为（a，a2＋1）．（10分）18、解：（1）由a2＝a1＋d＝4，a3＋a8＝2a1＋9d＝15得a1＝3，d＝1．∴a n＝a1＋（n－1）d＝n＋2（6分）（2）b n＝2n＋2n＋1（12分）19、解：（1）由正弦定理得：20、解：（1）设OB＝x，则由∠OCB＝45°，∠OCA＝60°，∠ODA＝30°，得OC＝x，，OD＝3x．则由OD＝OC＋CD，得3x＝x＋20，所以x＝10所以电子屏的宽度．（6分）（2）设OE＝y，则，当且仅当即y≈13.2时，tan∠AEB最大，即∠AEB最大．答：（1）电子屏的宽度为米．（2）当OE为13.2米时，观看节目的视觉效果最佳．（12分）21、解：（1）a1＝5，a2＝9，a3＝13，故猜想a n＝4n＋1．（4分）22、解：（1）当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（2a n－2）－（2a n－1－2）＝2a n－2a n－1即a n＝2a n－1所以数列{a n}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列∴a n＝2·2n－1＝2n，从而b n＝log2a n＝n．（3分）（2）由（1）知∴c n＝（c n－c n－1）＋（c n－1－c n－2）＋…＋（c2－c1）＋c1（n≥2）。

2019年黄冈市高一数学下期中试卷带答案一、选择题1．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．82．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面3．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<4．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C 3D ．3 5．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=6．已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．67．若直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则a 的值为（ ）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．不存在8．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( )A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π9．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π 10．已知实数,x y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为（ ） A ．5B ．10C ．25D ．21011．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．112．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB 3C ．4πD 3 二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u v u u u v，则点A 的横坐标为________．14．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ； ②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直； ④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)15．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________. 16．若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．17．已知,m n 为直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：①,//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②,////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩；③,//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④,//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩．其中的正确命题为_________________．18．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______. 19．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ． 20．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________ 三、解答题21．已知两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点为P . （1）直线l 过点P 且与直线5360x y +-=垂直，求直线l 的方程； （2）圆C 过点()3,1且与1l 相切于点P ，求圆C 的方程.22．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.23．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC ＝EB ＝1，AB ＝4.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面POD ．25．如图四棱锥C ABDE -的侧面ABC ∆是正三角形，BD ⊥面ABC ，//BD AE 且2BD AE =，F 为CD 的中点.（1）求证：//EF 面ABC（2）若6BD AB ==，求BF 与平面BCE 所成角的正弦值 26．设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈. (1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ． 【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=11122B C ⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ． 【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.3．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.4．A解析：A 【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC P P ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）． 又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又112,222MN BD NP AC ==== ∴PNM ∆为等边三角形， ∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，=．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=． 故选B ．6．B解析：B 【解析】 【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，12S AC BD =⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.1122S AC BD =⋅=⨯=2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】直接根据直线平行公式得到答案. 【详解】直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则()12a a -=，解得2a =或1a =-.当1a =-时，两直线重合，排除. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，意在考查学生的计算能力，多解是容易发生的错误.8．C解析：C 【解析】 【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.9．C解析：C 【解析】 【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即1522r AC ===，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.10．A解析：A 【解析】由题意知，22x y +表示点(,)x y 到坐标原点的距离， 又原点到直线250x y ++=的距离为225521d ==+，所以22x y +的距离的最小值为5，故选A.11．A解析：A 【解析】 【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积． 【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．12．A解析：A 【解析】 【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′­BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E， 因为AB ＝AD ＝1，BD由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形 所以DE 为球体的半径DE =243S ππ== 故选A 【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.二、填空题13．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范解析：3 【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u v u u u v ， 由0AB CD ⋅=u u u v u u u v得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.14．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P ＝A1Q ＝x ∴PQ ∥B1D1∥BD ∥EF 则P Q ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l ∴PQ ∥ll ∥EF ∴l ∥平面ABCD 故①成立；又EF ⊥AC ∴l ⊥AC 故解析：④【解析】【详解】连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ， 又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ，∴l ∥平面ABCD ，故①成立；又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.15．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两 解析：13【解析】【分析】先判断()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，可得点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离，从而可得结果.【详解】化简()()1215m x m y m -+-=-可得m ()()2150x y x y +--+-=，由2109504x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩， 所以()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-==故答案为【点睛】 本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.16．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程解析：(0,1)-，1【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大，此时0k =()2211x y ∴++=，所以圆心为(0,1)-半径为1考点：圆的方程 17．③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确；关于②也会有异面的可能的结论因此不正确；容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④ 解析：③④【解析】关于①,也会有n ⊂α的结论,因此不正确；关于②,也会有,m n 异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.18．【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB 的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故 解析：()4,2-【解析】【分析】先求得点()()10,0,6,8-的垂直平分线的方程，然后根据点关于直线对称点的求法，求得()4,2-的对称点，由此得出结论.【详解】已知点(10,0)A ，点(6,8)B -，可得中点(2,4)M .则816102AB k ==---. ∴线段AB 的垂直平分线为：42(2)y x -=-，化为20x y -=.设点()4,2-关于直线20x y -=的对称点为(,)P a b ，则2214422022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪--⎨-++⎪⨯-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩. ∴与点()4,2-重合的点是()4,2-.故答案为：()4,2-.【点睛】本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查点关于直线对称点的坐标的求法，属于中档题.19．4【解析】试题分析：圆的圆心为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系解析：4【解析】试题分析：圆的圆心为()0,0,1r =，圆心到直线34250x y +-=的距离为5d ==，所以点到直线34250x y +-=的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系20．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正 解析：13- 【解析】【分析】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC V ，即可求出结论.【详解】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小，正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=o ，AM MC ==P ABCD -中，AC =在ACM V 中，222332144cos 32324AM CM AC AMC AM CM +-+-∠===-⋅⋅.故答案为:13-.【点睛】本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题. 三、解答题21．（1）35100x y -+=；（2）()2215x y -+=.【解析】【分析】（1）联立方程组，求出直线1:240l x y -+=和2:20l x y +-=的交点，再求出直线l 的斜率，可得直线l 的方程；（2）设出圆的标准方程，求出圆心与半径，即可求得圆的方程．【详解】（1）联立方程组24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩， ∴直线240x y -+=和20x y +-=的交点()0,2P ， 又∵直线5360x y +-=的斜率为53-，∴直线l 的斜率为35， ∴直线l 的方程为()3205y x -=-，化为一般式可得35100x y -+=. （2）设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，2222(3)(1)a b r ∴-+-==，1a \=，0b =，∴圆的方程为22(1)5x y -+=．【点睛】本题考查直线、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（1）3y =或34120x y +-=；（2）12[0,]5. 【解析】【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C 的半径为1，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上可设圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=，由2MA MO =，可得M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，只需两圆有公共点即可.【详解】（1）由24,{1,y x y x =-=-得圆心()3,2C ， ∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=．1=，∴2(43)0k k +=，∴0k =或34k =-． ∴所求圆C 的切线方程为3y =或34120x y +-=． （2）∵圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上，所以，设圆心C 为(,24)a a -， 则圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=．又∵2MA MO =，∴设M 为(,)x y=22(1)4x y ++=，设为圆D ． 所以点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点， ∴2121-≤+，由251280a a -+≥，得a R ∈， 由25120a a -≤，得1205a ≤≤． 综上所述，a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆C 上存在点M ，使2MA MO =问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.23．（1）证明见解析（2）6-【解析】【分析】（1）由BC ⊥AC ，BC ⊥CD 得BC ⊥平面ACD ，证明四边形DCBE 是平行四边形得DE ∥BC ，故而DE ⊥平面ACD ，从而得证面面垂直；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小.【详解】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC ⊥BC ，∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC ，又DC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ACD ，∵DC ∥EB ，DC ＝EB ，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE.（2）当C 点为半圆的中点时，AC ＝BC ＝22， 以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则D （0，0，1），E （0，22，1），A （22，0，0），B （0，22，0）， ∴AB =uu u r （﹣22，22，0），BE =u u u r （0，0，1），DE =uuu r （0，22，0），DA =u u u r （22，0，﹣1），设平面DAE 的法向量为m =r （x 1，y 1，z 1），平面ABE 的法向量为n =r（x 2，y 2，z 2）， 则00m DA m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，00n AB n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，即111220220x z y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，222222200x y z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩， 令x 1＝1得m =r （1，0，22），令x 2＝1得n =r （1，1，0）.∴cos 2632m n m n m n ⋅===⨯r r r r r r <，>. ∵二面角D ﹣AE ﹣B 是钝二面角，∴二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值为26-.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题.24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）取PD 中点G ，连接AG 、FG ，由题意结合中位线性质可得//FG AE 且FG AE =，即可得四边形FGAE 为平行四边形，进而可得//FE AG ，再由线面平行的判定即可得证；（Ⅱ）由线面垂直的性质和正方形的性质可得DO ⊥平面PAC ，进而可得DO AF ⊥，由平面几何知识可得AF PO ⊥，再由线面垂直的判定即可得证.【详解】（Ⅰ）证明：取PD 中点G ，连接AG 、FG ，Q E ，F 分别为AB ，PC 的中点，底面ABCD 为正方形∴//FG CD 且12FG CD =，//AE CD 且12AE CD =， ∴//FG AE 且FG AE =，∴四边形FGAE 为平行四边形，∴//FE AG ,又FE ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，∴//EF 平面PAD .（Ⅱ）证明：Q 底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，∴PA DO ⊥，AC DO ⊥，Q PA AC A =I ，∴DO ⊥平面PAC ，∴DO AF ⊥，在PAC V 中，设PO AF H =I ，如图，由题知90PAC ∠=o ， O ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴AF FC =即CAF FCA ??，设PA a =，则2AC a =，22AO a =， ∴APO ACP V V ∽，∴APOPCA ??，∴90AHP ∠=o 即AF PO ⊥， 又PO OD O =I ，∴AF ⊥平面POD .【点睛】本题考查了线面平行和线面垂直的判定，考查了空间思维能力，属于中档题.25．（1）见解析（2）64【解析】【分析】（1）取BC 中点G 点，连接AG ，FG ，由F ，G 分别为DC ，BC 中点，知//FG BD 且12FG BD =，又//AE BD 且12AE BD =，故//AE FG 且AE FG =，由此能够证明//EF 平面ABC ．（2）在面EFGA 内过点F 作FO EG ⊥，连接BO ，则FO ⊥面BCE ，OBF ∠即为BF 与平面BCE 所成角，由此可求出答案．【详解】（1）证：取BC 中点G ，连接AG 和FG ，由于F 为CD 的中点，则//FG BD 且2BD FG =，又已知//BD AE 且2BD AE =故可得//FG AE 且FG AE =，∴EFGA 是平行四边形.∴//EF AG ，所以//EF 面ABC ；（2）解：∵//FG BD ，BD ⊥面ABC ，∴FG ⊥面ABC ∴FG BC ⊥，又正三角形ABC ∆且G 是BC 中点，∴AG BC ⊥，则得BC ⊥面EFGA ，∴面EFGA ⊥面BCE ，又面EFGA ⋂面BCE EG =，在面EFGA 内过点F 作FO EG ⊥，连接BO ，则FO ⊥面BCE ，∴OBF ∠即为BF 与平面BCE 所成角，在矩形EFGA 中，3AE FG ==，EF AG ==FO ∴=， 在直角三角形CBD 中，6BC BD ==，12BF DC ==sin FO OBF BF ∴∠===． 【点睛】本题主要考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想，属于中档题．26．(1)证明见解析；(2)10+(3) 330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=【解析】【分析】(1)将原式变形为()250a x x y -++-=，由2050x x y -=⎧⎨+-=⎩可得直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由题可得52B y a =+，521A a x a +=+，则()1252521AOB a S a a ++⋅=⋅+V ，求出最值，并找到最值的条件，进而可得AOB ∆的周长； (3) 52a +，521a a ++均为整数，变形得523211a a a +=+++，只要31a +是整数即可，另外不要漏掉截距为零的情况，求出a ，进而可得直线l 的方程. 【详解】解：(1)由()1520a x y a ++--=得()250a x x y -++-=，则2050x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩， 所以不论a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由()1520a x y a ++--=得，当0x =时，52B y a =+，当0y =时，521A a x a +=+， 又由5205201B A y a a x a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩，得1a >-，()()119141+121212221252521AOB a a a S a a ⎡⎤⎡⎤∴=⋅++++⋅=≥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+V ， 当且仅当()9411a a +=+，即12a =时，取等号. ()4,0A ∴，()0,6B ，AOB ∴∆的周长为4610OA OB AB ++=+=+(3) 直线l 在两坐标轴上的截距均为整数，即52a +，521a a ++均为整数， 523211a a a +=+++Q ，4,2,0,2a ∴=--， 又当52a =-时，直线l 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线l 的方程为330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=.【点睛】本题考查直线恒过定点问题，考查直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值，是中档题.。

湖北省黄冈中学2019-2020学年春季期中联考高一数学试题（理）考试时间：4月27日上午8:00—10:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、下列关于x 的不等式解集是实数集R 的为（ ） A ．B ．4x 2＋4x ＋1＞0C ．3x －1＞0D ．2、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，若，则角C 等于（ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°3、等比数列{a n }各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝54，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝（ ） A ．8 B ．10 C ．15 D ．204、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，则满足A ＝45°，c ＝8，a ＝6的△ABC 的个数为m ，则a m 的值为（ ）A ．36B ．6C ．1D ．不存在5、已知数列{a n }首项，则a 2016＝（ ）A ．－2B ．C ．D ．36、对任意实数x ，不等式2kx 2＋kx －3＜0恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．－24＜k ＜0 B ．－24＜k ≤0 C ．0＜k ≤24 D ．k ≥247、数列{a n }满足a 1＝1，，且，则a n 等于（ ）A ．B ．C ．D ．8、在300米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，45°，则塔高为（ ） A ．B ．C ．D ．9、若等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 11|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值的n 是（ ） A ．8 B ．7或8C ．8或9D ．710、设实数x ，y 满足约束条件，若目标函数z ＝ax ＋by （a ＞0，b ＞0）的最大值为1，则的最小值为（ ）A ．B ．49C ．35D ．11、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，……为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2016项为a 2016，则a 2016－5＝（ ）A ．2023×2016B ．2015×2022C ．2023×1008D ．2015×101112、己知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知a＞0，b＞0，2a＋b＝16，则ab的最大值为__________．14、中国古代数学巨著《九章算术》中有“分钱问题”：现有5人分五钱，5人所得数依次成等差数列，前两人分的数与后三人分的数相等，问第二人分__________钱．15、在△ABC中，已知A＝60°，b＝1，其面积为，则__________．16、设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，线段AC过⊙O的圆心与圆交于点C，E，AB为圆的切线，B为切点，BD⊥OA于D，F在圆上且FO⊥OA于O．AC＝a，AE ＝b，线段__________的长度是a，b的几何平均值，线段__________的长度是a，b的调和平均值．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）求下列关于实数x 的不等式的解集： （1）－x 2＋5x －6≤0；（2）．18、（本小题满分12分）在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 3＋a 8＝15． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．19、（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，．（1）求角B 的大小； （2）求函数的值域．20、（本小题满分12分）某市人民广场立有一块巨大的电子显示屏，如图，为测量它的上下宽度（即AB 的长度）．一名学生站在如图C 处测得A ，B 的仰角分别为60°，45°，从C 点出发，沿着直线OC 再前进20米到达D 点，在D 点测得A 的仰角为30°．不考虑测角仪的高度和人的高度（即C ，D 视为测角仪所在的位置，E 视为人的眼睛所在位置） （1）求电子显示屏的上下宽度AB ；（2）该生站在E 点观看电子显示屏，为保证观看节目的视觉效果最佳，即人的眼睛与A ，B 连线所成角最大，求O ，E 两点间的距离．（第二问结果保留一位小数，参考数据：）21、（本小题满分12分）定义：在平面直角坐标系中落在坐标轴上的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）称为“轴点”．设不等式|x|＋|y|≤n （n ∈N ＋）所表示的平面区域为D n ，记D n 内的“轴点”个数为a n ．（1）求a 1，a 2，a 3，并猜想a n 的表达式（不需要证明）；（2）利用（1）的猜想结果，设数列{a n －1}的前n 项和为S n ，数列的前n 项和为T n ，若对一切n ∈N ＋，恒成立，求实数m 的取值范围．22、（本小题满分12分）若数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝2a n －2，记b n ＝log 2a n ． （1）求数列{b n }的通项公式；（2）若c 1＝1，，求证：c n ＜3；（3）记，求的值．（注：[x]表示不超过x 的最大整数，例：[2.1]＝2，[－1.3]＝－2）答案与解析：1、C解析：A 中的解集是{x|x ＞1或x ＜－1}，B 中的解集是，C 中的解集是R ，D 中的解集是{x|x ≠－1}，故答案为C ． 2、D解析：由余弦定理得，又0°＜C ＜180°，∴C ＝30°，故答案为D ． 3、C解析：{a n }是等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝27， log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3（a 1a 2…a 10）＝log 3（a 1a 10）5＝5log 3a 1a 10＝5log 3a 5a 6＝5log 327＝5×3＝15，故答案为C ． 4、A解析：∵csinA ＜a ＜c ，∴这样的三角形有2个，即m ＝2，∴a m ＝62＝36． 5、C解析：故数列{a n }是周期数列且周期T ＝4，，故选择C ．6、B解析：当k ＝0时不等式即为－3＜0，不等式恒成立，当k ≠0时，若不等式恒成立，则，即，即－24＜k ＜0，综合知－24＜k ≤0，故选择B ．7、D解析：由题知是等差数列，又，∴公差为．，故答案为D．8、A解析：如图，山高为AB＝300m，塔高为CD．∴BC＝300，∵∠EAB＝60°，．Rt△ECD中，，，故选择A．9、B解析：∵|a5|＝|a11|，∴a5＋a11＝0，又a5＋a11＝a8＋a8，∴a8＝0．又公差d＜0，∴a7＞0，a9＜0，∴Sn中S7＝S8最大，故选择B．10、A解析：画出可行域，如图，可知z＝ax＋by在A（3，4）处取得最大值，故3a＋4b＝1．，当时取最小值，故选A．11、D解析：……归纳出．．，故选D．12、A13、3214、15、16、AB ，AD17、解：（1）不等式变形为：（x －2）（x －3）≥0，所以不等式解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）．（5分）（2）不等式等价于2（x －a ）（x －a 2－1）＜0，，所以不等式解集为（a ，a 2＋1）．（10分）18、解：（1）由a 2＝a 1＋d ＝4，a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝15得a 1＝3，d ＝1． ∴a n ＝a 1＋（n －1）d ＝n ＋2（6分） （2）b n ＝2n ＋2n ＋1（12分）19、解：（1）由正弦定理得：20、解：（1）设OB＝x，则由∠OCB＝45°，∠OCA＝60°，∠ODA＝30°，得OC＝x，，OD＝3x．则由OD＝OC＋CD，得3x＝x＋20，所以x＝10所以电子屏的宽度．（6分）（2）设OE＝y，则，当且仅当即y≈13.2时，tan∠AEB最大，即∠AEB最大．答：（1）电子屏的宽度为米．（2）当OE为13.2米时，观看节目的视觉效果最佳．（12分）21、解：（1）a1＝5，a2＝9，a3＝13，故猜想an＝4n＋1．（4分）22、解：（1）当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（2a n －2）－（2a n －1－2）＝2a n －2a n －1 即a n ＝2a n －1所以数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比为2的等比数列 ∴a n ＝2·2n －1＝2n ，从而b n ＝log 2a n ＝n ． （3分）（2）由（1）知∴c n ＝（c n －c n －1）＋（c n －1－c n －2）＋…＋（c 2－c 1）＋c 1（n ≥2）。

湖北省黄冈中学2019年春季期中联考高一数学试题（理）考试时间：4月27日上午8:00—10:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、下列关于x的不等式解集是实数集R的为（）A．B．4x2＋4x＋1＞0C．3x－1＞0 D．2、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，若，则角C等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°3、等比数列{a n}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝54，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（）A．8 B．10C．15 D．204、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，则满足A＝45°，c＝8，a＝6的△ABC的个数为m，则a m的值为（）A．36 B．6C．1 D．不存在5、已知数列{a n}首项，则a2016＝（）A．－2 B．C． D．36、对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3＜0恒成立，则实数k的取值范围是（）A．－24＜k＜0 B．－24＜k≤0C．0＜k≤24 D．k≥247、数列{a n}满足a1＝1，，且，则a n等于（）A．B．C．D．8、在300米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，45°，则塔高为（）A．B．C．D．9、若等差数列{a n}中，|a5|＝|a11|，公差d＜0，则使前n项和S n取得最大值的n是（）A．8 B．7或8C．8或9 D．710、设实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为（）A．B．49C．35 D．11、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，……为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2016项为a2016，则a2016－5＝（）A．2023×2016 B．2015×2022C．2023×1008 D．2015×101112、己知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知a＞0，b＞0，2a＋b＝16，则ab的最大值为__________．14、中国古代数学巨著《九章算术》中有“分钱问题”：现有5人分五钱，5人所得数依次成等差数列，前两人分的数与后三人分的数相等，问第二人分__________钱．15、在△ABC中，已知A＝60°，b＝1，其面积为，则__________．16、设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，线段AC过⊙O的圆心与圆交于点C，E，AB为圆的切线，B为切点，BD⊥OA于D，F在圆上且FO⊥OA于O．AC＝a，AE＝b，线段__________的长度是a，b的几何平均值，线段__________的长度是a，b的调和平均值．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）求下列关于实数x的不等式的解集：（1）－x2＋5x－6≤0；（2）．18、（本小题满分12分）在等差数列{a n}中，a2＝4，a3＋a8＝15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．19、（本小题满分12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，．（1）求角B的大小；（2）求函数的值域．20、（本小题满分12分）某市人民广场立有一块巨大的电子显示屏，如图，为测量它的上下宽度（即AB 的长度）．一名学生站在如图C处测得A，B的仰角分别为60°，45°，从C点出发，沿着直线OC再前进20米到达D点，在D点测得A的仰角为30°．不考虑测角仪的高度和人的高度（即C，D视为测角仪所在的位置，E视为人的眼睛所在位置）（1）求电子显示屏的上下宽度AB；（2）该生站在E点观看电子显示屏，为保证观看节目的视觉效果最佳，即人的眼睛与A，B连线所成角最大，求O，E两点间的距离．（第二问结果保留一位小数，参考数据：）21、（本小题满分12分）定义：在平面直角坐标系中落在坐标轴上的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）称为“轴点”．设不等式|x|＋|y|≤n（n∈N＋）所表示的平面区域为D n，记D n内的“轴点”个数为a n．（1）求a1，a2，a3，并猜想a n的表达式（不需要证明）；（2）利用（1）的猜想结果，设数列{a n－1}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，若对一切n ∈N＋，恒成立，求实数m的取值范围．22、（本小题满分12分）若数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝2a n－2，记b n＝log2a n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c1＝1，，求证：c n＜3；（3）记，求的值．（注：[x]表示不超过x的最大整数，例：[2.1]＝2，[－1.3]＝－2）答案与解析：1、C解析：A中的解集是{x|x＞1或x＜－1}，B中的解集是，C中的解集是R，D中的解集是{x|x ≠－1}，故答案为C．2、D解析：由余弦定理得，又0°＜C＜180°，∴C＝30°，故答案为D．3、C解析：{a n}是等比数列，∴a5a6＝a4a7＝27，log3a1＋log3a2＋...＋log3a10＝log3（a1a2 (10)＝log3（a1a10）5＝5log3a1a10＝5log3a5a6＝5log327＝5×3＝15，故答案为C．4、A解析：∵csinA＜a＜c，∴这样的三角形有2个，即m＝2，∴a m＝62＝36．5、C解析：故数列{a n}是周期数列且周期T＝4，，故选择C．6、B解析：当k＝0时不等式即为－3＜0，不等式恒成立，当k≠0时，若不等式恒成立，则，即，即－24＜k＜0，综合知－24＜k≤0，故选择B．7、D解析：由题知是等差数列，又，∴公差为．，故答案为D．8、A解析：如图，山高为AB＝300m，塔高为CD．∴BC＝300，∵∠EAB＝60°，．Rt△ECD中，，，故选择A．9、B解析：∵|a5|＝|a11|，∴a5＋a11＝0，又a5＋a11＝a8＋a8，∴a8＝0．又公差d＜0，∴a7＞0，a9＜0，∴S n中S7＝S8最大，故选择B．10、A解析：画出可行域，如图，可知z＝ax＋by在A（3，4）处取得最大值，故3a＋4b＝1．，当时取最小值，故选A．11、D解析：……归纳出．．，故选D．12、A13、3214、15、16、AB，AD17、解：（1）不等式变形为：（x－2）（x－3）≥0，所以不等式解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）．（5分）（2）不等式等价于2（x－a）（x－a2－1）＜0，，所以不等式解集为（a，a2＋1）．（10分）18、解：（1）由a2＝a1＋d＝4，a3＋a8＝2a1＋9d＝15得a1＝3，d＝1．∴a n＝a1＋（n－1）d＝n＋2（6分）（2）b n＝2n＋2n＋1（12分）19、解：（1）由正弦定理得：20、解：（1）设OB＝x，则由∠OCB＝45°，∠OCA＝60°，∠ODA＝30°，得OC＝x，，OD＝3x．则由OD＝OC＋CD，得3x＝x＋20，所以x＝10所以电子屏的宽度．（6分）（2）设OE＝y，则，当且仅当即y≈13.2时，tan∠AEB最大，即∠AEB最大．答：（1）电子屏的宽度为米．（2）当OE为13.2米时，观看节目的视觉效果最佳．（12分）21、解：（1）a1＝5，a2＝9，a3＝13，故猜想a n＝4n＋1．（4分）22、解：（1）当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（2a n－2）－（2a n－1－2）＝2a n－2a n－1即a n＝2a n－1所以数列{a n}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列∴a n＝2·2n－1＝2n，从而b n＝log2a n＝n．（3分）（2）由（1）知∴c n＝（c n－c n－1）＋（c n－1－c n－2）＋…＋（c2－c1）＋c1（n≥2）第11 页共11 页。

湖北省黄冈中学2019年春季期中联考高一数学试题（理）考试时间：4月27日上午8:00—10:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、下列关于x的不等式解集是实数集R的为（）A．B．4x2＋4x＋1＞0C．3x－1＞0 D．2、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，若，则角C等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°3、等比数列{a n}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝54，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（）A．8 B．10C．15 D．204、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，则满足A＝45°，c＝8，a＝6的△ABC的个数为m，则a m的值为（）A．36 B．6C．1 D．不存在5、已知数列{a n}首项，则a2016＝（）A．－2 B．C． D．36、对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3＜0恒成立，则实数k的取值范围是（）A．－24＜k＜0 B．－24＜k≤0C．0＜k≤24 D．k≥247、数列{a n}满足a1＝1，，且，则a n等于（）A．B．C．D．8、在300米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，45°，则塔高为（）A．B．C．D．9、若等差数列{a n}中，|a5|＝|a11|，公差d＜0，则使前n项和S n取得最大值的n是（）A．8 B．7或8C．8或9 D．710、设实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为（）A．B．49C．35 D．11、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，……为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2016项为a2016，则a2016－5＝（）A．2023×2016 B．2015×2022C．2023×1008 D．2015×101112、己知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知a＞0，b＞0，2a＋b＝16，则ab的最大值为__________．14、中国古代数学巨著《九章算术》中有“分钱问题”：现有5人分五钱，5人所得数依次成等差数列，前两人分的数与后三人分的数相等，问第二人分__________钱．15、在△ABC中，已知A＝60°，b＝1，其面积为，则__________．16、设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，线段AC过⊙O的圆心与圆交于点C，E，AB为圆的切线，B为切点，BD⊥OA于D，F在圆上且FO⊥OA于O．AC＝a，AE＝b，线段__________的长度是a，b的几何平均值，线段__________的长度是a，b的调和平均值．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）求下列关于实数x的不等式的解集：（1）－x2＋5x－6≤0；（2）．18、（本小题满分12分）在等差数列{a n}中，a2＝4，a3＋a8＝15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．19、（本小题满分12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，．（1）求角B的大小；（2）求函数的值域．20、（本小题满分12分）某市人民广场立有一块巨大的电子显示屏，如图，为测量它的上下宽度（即AB 的长度）．一名学生站在如图C处测得A，B的仰角分别为60°，45°，从C点出发，沿着直线OC再前进20米到达D点，在D点测得A的仰角为30°．不考虑测角仪的高度和人的高度（即C，D视为测角仪所在的位置，E视为人的眼睛所在位置）（1）求电子显示屏的上下宽度AB；（2）该生站在E点观看电子显示屏，为保证观看节目的视觉效果最佳，即人的眼睛与A，B连线所成角最大，求O，E两点间的距离．（第二问结果保留一位小数，参考数据：）21、（本小题满分12分）定义：在平面直角坐标系中落在坐标轴上的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）称为“轴点”．设不等式|x|＋|y|≤n（n∈N＋）所表示的平面区域为D n，记D n内的“轴点”个数为a n．（1）求a1，a2，a3，并猜想a n的表达式（不需要证明）；（2）利用（1）的猜想结果，设数列{a n－1}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，若对一切n ∈N＋，恒成立，求实数m的取值范围．22、（本小题满分12分）若数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝2a n－2，记b n＝log2a n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c1＝1，，求证：c n＜3；（3）记，求的值．（注：[x]表示不超过x的最大整数，例：[2.1]＝2，[－1.3]＝－2）答案与解析：1、C解析：A中的解集是{x|x＞1或x＜－1}，B中的解集是，C中的解集是R，D中的解集是{x|x ≠－1}，故答案为C．2、D解析：由余弦定理得，又0°＜C＜180°，∴C＝30°，故答案为D．3、C解析：{a n}是等比数列，∴a5a6＝a4a7＝27，log3a1＋log3a2＋...＋log3a10＝log3（a1a2 (10)＝log3（a1a10）5＝5log3a1a10＝5log3a5a6＝5log327＝5×3＝15，故答案为C．4、A解析：∵csinA＜a＜c，∴这样的三角形有2个，即m＝2，∴a m＝62＝36．5、C解析：故数列{a n}是周期数列且周期T＝4，，故选择C．6、B解析：当k＝0时不等式即为－3＜0，不等式恒成立，当k≠0时，若不等式恒成立，则，即，即－24＜k＜0，综合知－24＜k≤0，故选择B．7、D解析：由题知是等差数列，又，∴公差为．，故答案为D．解析：如图，山高为AB＝300m，塔高为CD．∴BC＝300，∵∠EAB＝60°，．Rt△ECD中，，，故选择A．9、B解析：∵|a5|＝|a11|，∴a5＋a11＝0，又a5＋a11＝a8＋a8，∴a8＝0．又公差d＜0，∴a7＞0，a9＜0，∴S n中S7＝S8最大，故选择B．10、A解析：画出可行域，如图，可知z＝ax＋by在A（3，4）处取得最大值，故3a＋4b＝1．，当时取最小值，故选A．解析：……归纳出．．，故选D．12、A13、3214、15、16、AB，AD17、解：（1）不等式变形为：（x－2）（x－3）≥0，所以不等式解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）．（5分）（2）不等式等价于2（x－a）（x－a2－1）＜0，，所以不等式解集为（a，a2＋1）．（10分）18、解：（1）由a2＝a1＋d＝4，a3＋a8＝2a1＋9d＝15得a1＝3，d＝1．∴a n＝a1＋（n－1）d＝n＋2（6分）（2）b n＝2n＋2n＋1（12分）19、解：（1）由正弦定理得：20、解：（1）设OB＝x，则由∠OCB＝45°，∠OCA＝60°，∠ODA＝30°，得OC＝x，，OD＝3x．则由OD＝OC＋CD，得3x＝x＋20，所以x＝10所以电子屏的宽度．（6分）（2）设OE＝y，则，当且仅当即y≈13.2时，tan∠AEB最大，即∠AEB最大．答：（1）电子屏的宽度为米．（2）当OE为13.2米时，观看节目的视觉效果最佳．（12分）21、解：（1）a1＝5，a2＝9，a3＝13，故猜想a n＝4n＋1．（4分）22、解：（1）当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（2a n－2）－（2a n－1－2）＝2a n－2a n－1即a n＝2a n－1所以数列{a n}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列∴a n＝2·2n－1＝2n，从而b n＝log2a n＝n．（3分）（2）由（1）知∴c n＝（c n－c n－1）＋（c n－1－c n－2）＋…＋（c2－c1）＋c1（n≥2）....。

湖北省黄冈中学2019年秋季高一期中考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列各组函数是同一函数的是 ( ) ①3()2f x x =-与()2g x x x =-； ②()f x x =与2()g x x =； ③0()f x x =与01()g x x =； ④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--A ．① ②B ．① ③C ．③ ④D ．① ④2．设集合A ＝{1，2}，B ＝{0，1}，定义运算A※B＝{z|z＝,,}x x A y B y ∈∈，则集合A※B 的子集个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知 5.10.9m =，0.95.1n =，0.9log 5.1p =，则m 、n 、p 的大小关系 ( )A ．p n m <<B ．n p m <<C ．n m p <<D ．m n p <<4．下列函数中，在(0,1)上为单调递减的偶函数是 ( )A ．2-=x y B ．4x y = C ．21x y = D ．13y x =- 5．如果奇函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是5，那么)(x f 在]3,7[--上是 ( )A ．减函数且最小值是5-B ．减函数且最大值是5-C ．增函数且最小值是5-D ．增函数且最大值是5-． 6．已知集合2{|1,}M y y x x ==-∈R ，2{|3}N x y x =∈=-R ，则M N = ( ) A ．)}1,2(),1,2{(- B ．]3,1[- C ．]3,0[ D ．∅7．若ax x x f 2)(2+-=与x a x g -+=1)1()((1a >-且0)a ≠在区间]2,1[上都是减函数，则a 的取值范围是 ( ) A ．)0,1(- B ．]1,0( C ．)1,0( D ．(1,0)(0,1)-8．若{}2228x A x -=∈≤<Z ，{}2log 1B x x =∈>R ，则()A B R ð的元素个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．函数()f x 与的图像与1()()2x g x =图像关于直线y x =对称，则的2(4)f x -的单调增区间是 ( ) A ．(,0]-∞ B ．[0,)+∞ C ．(2,0]- D ．[0,2)10．已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是 ( ) A ．101a b -<<< B ．101b a -<<< C ．101b a -<<< D ．1101a b --<<< 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．计算11(lg9lg 2)433229416()100ln log 8log 39e --+++＝_______． 12．已知集合1,,a M b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}20,,N a b b =+，M N =，则20102011a b +=_______．13．函数()2log 232a y x =-+的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x 的图象上，则()9f =__________．14．设集合A ＝10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ＝1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x ＝()1,221,,x x Ax x B ⎧+∈⎪⎨⎪-∈⎩若0x A ∈，且0[()]f f x ∈A ，则0x 的取值范围是__________．15．已知偶函数()f x 满足()08)(3≥-=x x x f ，则(2)0f x ->的解集为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)已知函数31()31x x f x -=+．(1)证明f(x)为奇函数；(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明； 17．(本小题满分12分)已知全集U =R ，A ＝｛x ||1x -|≥1｝，B为函数3()21x f x x +=-+的定义域，C 为()lg[(1)(2)]g x x a a x =---(1a <)的定义域；(1)A B ；()U A B ð；(2)若C B ⊆，求实数a 的取值范围；18．(本小题满分12分)已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =，及(1)()2f x f x x +-=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)在区间[－1，1]上，()y f x =的图像恒在2y x m =+的图像上方，试确定实数m 的取值范围；19．(本小题满分12分)已知,a b ∈R 且2a ≠，定义在区间(),b b -内的函数1()lg 12ax f x x+=+是奇函数．(1)求函数()f x 的解析式及b 的取值范围；(2)讨论()f x 的单调性；20．(本小题满分13分)设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数m 、n ，都有()()()f m f n f m n =+，且当x ＜0时，()f x ＞1．(1)证明：①(0)1f =；②当x ＞0时，0＜()f x ＜1； ③()f x 是R 上的减函数；(2)设a ∈R ，试解关于x 的不等式2(31)(361)1f x ax f x a -+-++≥；21．(本小题满分14分)已知()y f x =(x D ∈，D 为此函数的定义域)同时满足下列两个条件：①函数()f x 在D 内单调递增或单调递减；②如果存在区间[,]a b D ⊆，使函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()y f x =，x D ∈为闭函数；请解答以下问题：(1)求闭函数3y x =-符合条件②的区间[,]a b ；(2)判断函数31()((0,))4f x x x x=+∈+∞是否为闭函数？并说明理由；(3)若(0)y k x k =+<是闭函数，求实数k 的取值范围；参考答案及解析一、选择题1．C 2．D 3．C 4．A 5．D 6．B 7．B 8．C 9．D 10．A二、填空题 11．4 12．－1解析：由⎭⎬⎫⎩⎨⎧==b ba M N M ,,1,知0≠b ，所以只能0=ba ，所以0=a ，此时},,0{},,0,1{2b b N b m ==，所以12=b ，又b b ≠2，所以1-=b ；代入即可得；13．31解析：令22,2==y x ，即)22,2(P ；设αx x f =)(，则222=α，21-=α；所以21)(-=x x f ，31)9(=f14．11,42⎛⎫⎪⎝⎭解析：0x A ∈，即010,2x ≤<所以001()2f x x =+，0111,22x ≤+<即01()1,2f x ≤< 即0()f x B ∈，所以000[()]2[1()]12f f x f x x A =-=-∈，即010122x ≤-<，解得：011,4x <≤又由010,2x ≤<，所以01142x <<． 15．(,0)(4,)-∞+∞解析：因为()f x 为偶函数，且当0x ≥时8)(3-=x x f 为增函数，则0x ≤时，)(x f 为减函数；(2)0(2)f x f ->=，所以可得：22x ->，解得：0,x <或4x >． 16．解：(1)证明略；(2)在定义域上是单调增函数； 17．解：(1)解|1x -|≥1得：0x ≤或2x ≥{0,A x x ∴=≤或}2x ≥；∵函数()f x 的自变量x应满足3201x x +-≥+，即(1)(1)010x x x +-≥⎧⎨+≠⎩∴1x <-或1x ≥{1,B x x ∴=<-或}1x ≥；{1,AB x x =<-或}2x ≥，{0,AB x x =≤或}1x ≥，()U C A B {}01x x =<<(2)∵函数()g x 的自变量x应满足不等式(1)(2)0x a a x --->．又由1a <，21a x a ∴<<+ {}21C x a x a ∴=<<+ C B ⊆11a ∴+≤-或21a ≥2a ∴≤-或12a ≥，又1a <a ∴的取值范围为2a ≤-或112a ≤<18．解：(1)令,1)0()1(0)0()1(0==∴=-=f f f f x ，，则∴二次函数图像的对称轴为21=x ．∴可令二次函数的解析式为h x a y +-=)221(． 由,4313)1(1)0(===-=h a f f ，得，又可知∴二次函数的解析式为2213()()124y f x x x x ==-+=-+(2)212x x x m -+>+在]1,1⎡-⎣上恒成立 231x x m ∴-+>在]1,1⎡-⎣上恒成立令2()31g x x x =-+，则()g x 在]1,1⎡-⎣上单调递减∴min ()(1)1,1g x g m ==-∴<-．19．解：(1)1()lg 12ax f x x+=+，(),x b b ∈-是奇函数，等价于对于任意b x b -<<都有()()(1)10(2)12f x f x ax x -=-⎧⎪+⎨>⎪+⎩成立，(1)式即为1112lg lg lg 12121ax ax x x x ax -++=-=-++． 112121ax x x ax-+∴=-+，即2224a x x =，此式对于任意(),x b b ∈-都成立等价于24a =，因为2a ≠，所以2a =-，所以12()lg12xf x x-=+； 代入(2)式得：12012x x ->+，即1122x -<<对于任意(),x b b ∈-都成立，相当于1122b b -≤-<≤，从而b的取值范围为10,2⎛⎤⎥⎦⎝； (2)对于任意12,(,)x x b b ∈-，且12x x <，由10,2b ⎛⎤∈ ⎥⎦⎝，得1122b b -≤-<≤， 所以2101212x x <-<-，1201212x x <+<+， 从而21()()f x f x -=21211212lglg1212x x x x ---++＝2121(12)(12)lglg10(12)(12)x x x x -+<=+-，因此()f x 在(),b b -是减函数； 20．解：(Ⅰ)证明：(1)在()()()f m f n f m n =+中，令0m n ==得(0)(0)(00)f f f =+即(0)(0)(0).f f f =g ∴(0)0f =或(0)1f =，若(0)0f =，则当x ＜0时，有()(0)()(0)0f x f x f x f =+==g ，与题设矛盾，∴(0) 1.f = (2)当x ＞0时，x -＜0，由已知得()f x -＞1， 又(0)[()]()()1f f x x f x f x =+-=-=，[()]1f x ->，∴ 0＜()fx ＝(0)()f f x -＜1，即x ＞0时，0＜()f x ＜1．(3)任取1x ＜2x ，则1122122()()()()f x f x x x f x x f x =-+=-，∵12x x -＜0，∴12()f x x -＞1，又由(1)(2)及已知条件知2()f x ＞0，∴1()f x ＞2()f x ，∴()y f x =在定义域R 上为减函数． (Ⅱ)2(31)(361)f x ax f x a -+-++＝2(31361)f x ax x a -+-++ 2[3(1)2(31)]f x a x a =-+++又(0)1f =，()f x 在R 上单调递减．∴原不等式等价于23(1)2(31)x a x a -+++≤0不等式可化为(2)[(31)]x x a --+≤0当2＜31a +，即a ＞13时，不等式的解集为{|2x ≤x ≤31a +}；当2＝31a +，即a ＝13时，2(2)x -≤0，不等式的解集为{2}；当2＞31a +，即a ＜13时，不等式的解集为{|31x a +≤x≤2}． 21．解：(1)先证3y x =-符合条件①：对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，有331221y y x x -=-=22212121()()x x x x x x -++ 222121113()[()]024x x x x x =-++>，12y y ∴>，故3y x =-是R 上的减函数．由题可得：33b a a b⎧=-⎪⎨=-⎪⎩则33()()a b a b +=-+，22()10a b a ab b ⎡⎤∴+-++=⎣⎦而222231()1024b a ab b a b -++=-++>，0a b ∴+=，又b a>，1a ∴=-，1b =所求区间为[]1,1-(2)当310,()4x f x x x>=+在23(0,]3上单调递减，在23(,)3+∞上单调递增；(证明略)所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数 (3)易知y k x =+是(0,)+∞上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为[],a b ，则a k ab k b⎧=+⎪∴⎨=+⎪⎩；故,a b 是x k x =+的两个不等根，即方程组为：22(21)00x k x k x x k ⎧-++=⎪≥⎨⎪≥⎩有两个不等非负实根； 设12,x x 为方程22(21)0x k x k -++=的二根，则2212212(21)4021000k k x x k x x k k ∆=+->⎧⎪+=+>⎪∴⎨=≥⎪⎪<⎩， 解得：104k -<<k ∴的取值范围1(,0)4-．。