6.4.3.1余弦定理-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
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余弦定理【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
∴B＝30°，∴C＝60°.
故三角形三角之比为1∶2∶3.故选A.
答案：A
6余．弦4定. 3理 【第新一教课材时】人余教弦A定版理高-中【数新学教必材修】第人二教册A课版件（ 2019） 高中数 学必修 第二册 课件( 共23张 PPT)
6余．弦4定. 3理 【第新一教课材时】人余教弦A定版理高-中【数新学教必材修】第人二教册A课版件（ 2019） 高中数 学必修 第二册 课件( 共23张 PPT)
A. 39
B．8 3
()
C．10 2
D．7 3
解析：由余弦定理得：c＝ 92＋2 32－2×9×2 3×cos 150°
＝ 147＝7 3.故选D.
答案：D
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝
5，c＝2，cos A＝23，则b＝
()
A. 2 C．2
B. 3 D．3
解析：由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×
已知三边解三角形
[例2] 在△ABC中，已知a＝2 6 ，b＝6＋2 3 ，c＝
4 3，求A，B，C. [解] 根据余弦定理，得cos A＝b2＋2cb2c－a2
＝6＋2
32＋4 32－2 26＋2 34 3
62＝ 23.∵A∈(0，π)，∴A＝π6，
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
6余．弦4定. 3理 【第新一教课材时】人余教弦A定版理高-中【数新学教必材修】第人二教册A课版件（ 2019） 高中数 学必修 第二册 课件( 共23张 PPT)
6余．弦4定. 3理 【第新一教课材时】人余教弦A定版理高-中【数新学教必材修】第人二教册A课版件（ 2019） 高中数 学必修 第二册 课件( 共23张 PPT)
6.4.3余弦定理(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
c a b
b
c
2
c c
a
b
a
b
C aa
a a b b 2 a b
a2 b2 2abcosC
所以 c2 a2 b2 2ab cosC
同理可证 a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB2，2来自∴A＝45°.B
解：由题可知：最大角为B, 最小角为A
余弦定理推论cosC a2 b2 c2 9 25 19 1
2ab
30
2
C 60 , A B 180 60 120
A
解：余弦定理b2 a2 c2 2ac cosB 变形a2 c2 b2 2ac cosB
由题a2 c2 b2 3ac可知2ac cosB 3ac
课堂小结
1.知识梳理： (1)余弦定理. (2)余弦定理推论.
2.方法归纳：数形结合思想、方程思想、转化思想.
解析：因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 所以a2＝b2＋c2－bc. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 所以cos A＝12.又因为0°<A<180°，所以A＝60°. 因为sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 且sin A＝2sin B cos C， 所以sin B cos C＝cos B sin C，即sin (B－C)＝0. 因为－180°<B－C<180°，所以B－C＝0°，即B＝C. 又因为A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°，即B＝C＝60°， 故△ABC为等边三角形．
题型2已知三角形三边或三边的关系解三角形 例2 (1)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a ＝ 2，b＝ 2，c＝2，则角A等于( ) A．90° B．60° C．30° D．45°
人教A版必修第二册6.4.3.1余弦定理课件
角形(角精确到1 );
(参考数据： 7 2.645 , cos 40.89 0.756 , cos 79.11 0.189 )
简析：
a2 b2 c2 2bc cos A
202 302 2 20 30 cos 30
A
700 a 700 10 7(cm)
a2 c2 b2 cos B
A
b5
c2
cos A 1 sin2 A
1 ( 231 )2 13 .
20
20
由余弦定理得
a2 b2 c2 2bc cos A 52 22 2 5 2 13 16
20
a 4
又 cos C a2 b2 c2 2ab
?
Ca
B
42 52 22
37 0.925
2 4 5 40
综上，A 45 , B 30 , C 105 .
4. 在ABC中 , 已知b 5 , c 2 , 锐角A 满足 sin A 231 ，求C . 20
(精确到1 ).( 参考数据：cos 22.3316 0.925) .
简析：
sin A 231 , 且A 为锐角. 20
(教材P44练习第3 题)
综上，a 41cm , B 106 , C 33.
返回
例2.在ABC中 , a 7, b 8, 锐角C 满足 sin C 3 3 , 14
求B(精确到1 ) .(参考数据：cos 81.7843 0.1429)
解： sin C 3 3 , C 为锐角.
14
A
c3 b8
cosC 1 sin2 C
2bc
2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
特例：勾股定理
思考(4): 三角形的三条边，三个角叫三角形的元素 .
6.4.3余弦定理、 正弦定理 余弦定理(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
cos B
3 ,所以B 30,因此C 105
2ac
4( 3 1)
2
3. 在△ABC中,已知b 5, c 2, 锐角A满足 sin A 231 ,求C(精确到1) 20
因为sin A 231 , 且A为锐角,所以cos A= 1 sin2 A 13 ,
20
20
由余弦定理, 得a2 b2 c2 2bc cos A 16, 所以a 4;
而勾股定理是余弦定理的特例.
一般地, 三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c b
c
叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他
元素的过程叫做解三角形.
C
a
B
环节五：课堂练习，巩固运用
例5 在△ABC中,已知b 60 cm, c 34 cm, A 41, 解这个三角形 (角度精确到1, 边长精确到1 cm).
余弦定理(law of cosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即
a2 b2 c2 2bc cos A
你能用其他方法
b2 a2 c2 2ac cosB
证明余弦定理吗？
c2 a2 b2 2abcosC
问题：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？
所以cos C a2 b2 c2 37 ,利用计算器可得C 22
2ab
40
所以C 180 ( A B) 180 (41 106) 33
例6 在△ABC中, a 7, b 8, 锐角C满足 sin C 3 3 , 求B(精确到1). 14
分析：由条件可求cosC, 再利用余弦定理及其推论可求出B的值.
因为sin C 3 3 , 且C为锐角,所以cos C 1 sin2 C 1 ( 3 3 )2 13 ,
2020-2021学年高中数学人教A版(2019)必修第二册课件：6.4.3余弦定理、正弦定理
＝1－2×31432＝7918.
3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcos A ＝(2c－a)cos B. (1)求 B； (2)若 b＝ 13，△ABC 的面积为 3，求△ABC 的周长． 解：(1)由 bcos A＝(2c－a)cos B， 得 2ccos B＝bcos A＋acos B. 由正弦定理可得 2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B ＝sin(A＋B)＝sin C，因为 sin C≠0，所以 cos B＝12. 因为 0＜B＜π，所以 B＝π3.
(2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进 行边和角的转化．
[过关训练]
1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c.若△ABC 的面积为a2＋b42－c2，则 C＝
(C )
π
π
A.2
B.3
π
π
C.4
D.6
解析：∵S＝12absin C＝a2＋b42－c2＝2abc4os C＝12abcos C，
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
考点一 利用正、余弦定理解三角形[师生共研过关]
[典例精析]
(1)(2019·莆田联考)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分
别为 a，b，c，若 asin Bcos C＋csin Bcos A＝12b，且 a＞b，则
B＝
( A)
π
π
A.6
(2)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 已知 sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
①求角 A 的大小； [解析] ①由正弦定理可得 b2＋c2＝a2＋bc， 由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12， 因为 A∈(0，π)，所以 A＝π3.
6.4.3.1余弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课中探究
探究点三 利用余弦定理判断三角形的形状
例3（1） 在△ ABC中，c2 = bccos A + accos B + abcos C，则此三
角形必是(
)
√ A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
[解析] 由c2 = bccos A + accos B + abcos C，
课中探究
［素养小结］ 已知三角形的两边和一个角解三角形的方法 （1）先利用余弦定理求出第三边，其余的角利用余弦定理的推论求出． （2）用余弦定理的推论求角时，首先求出的是这个角的余弦值，然后 根据余弦函数在(0, π)上单调递减，可得余弦值对应的角是唯一的．
课中探究
探究点二 已知三边解三角形
例2（1） 在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
（1）利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角的问题.( √ )
[解析] 结合余弦定理及三角函数知识可知正确.
（2）在△ ABC中,已知a = 2,b = 3,c = 5,则sin A = 35.( × )
[解析]
cos A = b2+c2−a2 = 9+5−4 =
2bc
2×3× 5
35，∵ 0∘ < A < 180∘
a2 = b2 + c2 − 2bccos A， b2 =__c2__+__a_2_−__2_c_a_c_o_s_B__， c2 =_a_2__+__b_2_−__2_a_b_c_o_s__C_
课前预习
余弦 定理
推论
常见 变形
cos A = b2+c2−a2，
2bc
cos B = c2+a2−b2，
2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册课件：第1课时 余弦定理
问题：根据上述条件你能求出山脚 BC 的长度吗？
1．余弦定理
文字
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和
表述
减去这两边与它们 夹角的余弦的积的两倍
符号 语言
a2＝ b2＋c2－2bccos A
，
b2＝ a2＋c2－2accos B
，
c2＝ a2＋b2－2abcos C
推论
b2＋c2－a2
cos A＝ 2bc ；
[提示] 成立．因为 c2＝a2＋b2，所以 a2＋b2－c2＝0，由余弦定 理的变形 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝0，即 cos C＝0，所以 C＝π2；反之若 C ＝π2，则 cos C＝0，即a2＋2ba2b－c2＝0，所以 a2＋b2－c2＝0，即 c2＝a2 ＋b2.
合作 探究 释疑 难
已知两边与一角解三角形
【例 1】 (1)在△ABC 中，已知 b＝60 cm，c＝60 3 cm，A＝π6， 则 a＝________cm；
(2)在△ABC 中，若 AB＝ 5，AC＝5，且 cos C＝190，则 BC＝ ________.
(1)60 (2)4 或 5 [(1)由余弦定理得： a＝ 602＋60 32－2×60×60 3×cosπ6 ＝60(cm)． (2)由余弦定理得：( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC×190， 所以 BC2－9BC＋20＝0，解得 BC＝4 或 BC＝5.]
形状．(易错点)
情境 导学 探新 知
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道， 需要测算隧道的长度．工程技术人员先在地面上 选一适当的位置 A，量出 A 到山脚 B，C 的距离， 其中 AB＝ 3 km，AC＝1 km，再利用经纬仪测 出 A 对山脚 BC(即线段 BC)的张角∠BAC＝150°.
1．余弦定理
文字
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和
表述
减去这两边与它们 夹角的余弦的积的两倍
符号 语言
a2＝ b2＋c2－2bccos A
，
b2＝ a2＋c2－2accos B
，
c2＝ a2＋b2－2abcos C
推论
b2＋c2－a2
cos A＝ 2bc ；
[提示] 成立．因为 c2＝a2＋b2，所以 a2＋b2－c2＝0，由余弦定 理的变形 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝0，即 cos C＝0，所以 C＝π2；反之若 C ＝π2，则 cos C＝0，即a2＋2ba2b－c2＝0，所以 a2＋b2－c2＝0，即 c2＝a2 ＋b2.
合作 探究 释疑 难
已知两边与一角解三角形
【例 1】 (1)在△ABC 中，已知 b＝60 cm，c＝60 3 cm，A＝π6， 则 a＝________cm；
(2)在△ABC 中，若 AB＝ 5，AC＝5，且 cos C＝190，则 BC＝ ________.
(1)60 (2)4 或 5 [(1)由余弦定理得： a＝ 602＋60 32－2×60×60 3×cosπ6 ＝60(cm)． (2)由余弦定理得：( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC×190， 所以 BC2－9BC＋20＝0，解得 BC＝4 或 BC＝5.]
形状．(易错点)
情境 导学 探新 知
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道， 需要测算隧道的长度．工程技术人员先在地面上 选一适当的位置 A，量出 A 到山脚 B，C 的距离， 其中 AB＝ 3 km，AC＝1 km，再利用经纬仪测 出 A 对山脚 BC(即线段 BC)的张角∠BAC＝150°.
6.4.3+余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？
由余弦定理变形得： cos =
2 + 2 −2
2
cos =
2 + 2 −2
2
cos =
2 +2 − 2
2
应用：已知三条边求角度．
知识探究
思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，
余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间
2
2 + 2 −2
2
2 +2 − 2
2
cos A =
2 + 2 − 2
2
cos =
2 +2 − 2
2
cos =
2 +2 −2
2
应用：已知三条边求角度．
例题讲解
例2：在∆中，内角，，的对边分别为，，，若
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
2 = 2 + 2 − 2 cos
2
2
2
= + − 2 cos
2 = 2 + 2 − 2 cos
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
知识探究
思考1：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间
的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的
的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？
2
2
勾股定理： = +
2
余弦定理： 2 = 2 + 2 − 2 cos
由余弦定理变形得： cos =
2 + 2 −2
2
cos =
2 + 2 −2
2
cos =
2 +2 − 2
2
应用：已知三条边求角度．
知识探究
思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，
余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间
2
2 + 2 −2
2
2 +2 − 2
2
cos A =
2 + 2 − 2
2
cos =
2 +2 − 2
2
cos =
2 +2 −2
2
应用：已知三条边求角度．
例题讲解
例2：在∆中，内角，，的对边分别为，，，若
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
2 = 2 + 2 − 2 cos
2
2
2
= + − 2 cos
2 = 2 + 2 − 2 cos
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
知识探究
思考1：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间
的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的
的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？
2
2
勾股定理： = +
2
余弦定理： 2 = 2 + 2 − 2 cos
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：余弦定理
A.π6
B.π3
C.π6或56π
D.π3或23π
解析：选 A.由余弦定理知 a2＋c2－b2＝2accos B，因为 a2＋c2－b2
＝ 3ac，所以 cos2，C＝60°，则 c＝________．
解析：由余弦定理，得 c2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以 c ＝ 3. 答案： 3
[变条件]将本例(2)中的条件“a＝ 5，c＝2，cos A＝23”改为“a ＝2，c＝2 3，cos A＝ 23”，求 b 为何值？ 解：由余弦定理得： a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以 22＝b2＋(2 3)2－2×b×2 3× 23， 即 b2－6b＋8＝0，解得 b＝2 或 b＝4.
已知两边及一角解三角形
(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cosC2＝ 55，BC＝1， AC＝5，则 AB＝( )
A．4 2
B． 30
C． 29
D．2 5
(2)已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝ 5，
c＝2，cos A＝23，则 b＝( A． 2
) B． 3
值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．
3．三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素
三 角 形 的 ____三___个__角__A_，__B__，__C_____和 它 们 的 ___对__边__a_，__b_，__c_____
叫做三角形的元素． (2)解三角形
已知三角形的___几__个__元__素___求其他__元__素__的过程叫做解三角形．
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
(2)在△ABC 中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则 A 等于( )
6.4.3第1课时余弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(1)
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第六章 平面向量及其应用
【解析】(1)由余弦定理得： a＝ 602＋60 32－2×60×60 3×cosπ6＝
4×602－3×602＝60(cm)． (2)由余弦定理得：( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC×190，所以 BC2－9BC ＋20＝0，解得 BC＝4 或 BC＝5.
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第六章 平面向量及其应用
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任
何三角形．
()
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形． ( )
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第六章 平面向量及其应用
易错警示 解题漏条件致误
在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2<b2＋c2，求A的取 值范围．
错解：∵a2<b2＋c2，∴b2＋c2－a2>0. ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2>0.
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第六章 平面向量及其应用
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四、余弦定理及其推论的应用
例6：在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足
，求B
（精确到1°）．
解：因为 sin C
33 14
，且C为锐角。
所以 cosC 1 sin2 C 1 (3 3 )2 13 .
14 14
由余弦定理，得 c2 a2 b2 2abcosC 49 64 2 7 8 13 9
（角度精确到1°，边长精确到1 cm）． 解：根据余弦定理，得
a²=b²+c²-2bccosA=60²+34²-2×60×34×cos41° ≈1 676.78，
∴a≈41(cm)．
四、余弦定理及其推论的应用
例5：在△ABC中，已知b= 60 cm，c= 34 cm，A=41°，解三角形 （角度精确到1°，边长精确到1 cm）． 由余弦定理的推论，得
利用计算器，可得C≈106°． 所以B=180°-(A+C)≈180°-(41°+106°)=33°．
四、余弦定理及其推论的应用
问题7：你能解决教科书中的例5和例6吗？ 例6：在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足
（精确到1°）．
，求B
分析：由条件先求出cos C，再利用余弦定理及其推论可求出 B的值．
一、余弦定理的探究
在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C， 求边c．
请同学们联系已经学过的知识，进行分组合作探究，寻求解 决方法．
一、余弦定理的探究
在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C， 求边c．
用向量方法探索余弦定理可按如下步骤进行：
①把几何元素用向量表示：
设CB a CA b AB c ，那么 c a b
②进行恰当的向量运算： 对上式两边平方，得 c2=c·c=(a－b)·(a－b)=a·a+b·b－2a·b ③向量式化成几何式：
c2 a2 b2 2ab cos C
一、余弦定理的探究
问题2：上面第②步中怎么想到选用数量积运算的？三个步骤遵循 的是什么规则？ 问题3：如何用已知的边b，c和它们的夹角A表示第三边a？如何用 已知的边c ，a和它们的夹角B表示第三边b？
六、布置作业
作业： 教科书习题6.4第6，15，16题．
再见
14
所以c=3
进而 cos B c2 a2 b2 9 49 64 1
2ca
237 7
利用计算器可得 B 98
五、课堂小结
问题8：请学生回答以下问题： 1．余弦定理是什么？ 2．如何用向量方法推导余弦定理？ 3．余弦定理的推论是什么？ 4．如何由余弦定理得到它的推论？ 5．运用余弦定理及其推论可以解决哪些解三角形的问题？
余弦定理
一、余弦定理的探究
问题1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．这说明， 给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的．也就是说，三角形的 其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示．那么，表示的公式 是什么？ 明确数学问题：
在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C， 求边c．
b2 a2 c2 2ac cos B
cos B c2 a2 b2 2ca
c2 a2 b2 2ab cosC
cos C a2 b2 c2 2ab
四、余弦定理及其推论的应用
问题6：利用余弦定理及其推论，可以解决哪几类解三角形问题？ 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
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二、余弦定理与勾股定理的关系
问题4：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦 定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．你能说说这两 个定理之间的关系吗？
若在三角形ABC中，C=90°，则cos 90°=0，这时 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2．
勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
三、余弦定理的推论
问题5：利用余弦定理可以解决“已知三角形的两边和它们的夹角， 求第三边”的问题．然而，有时我们需要根据三角形的边长求
角．请思考：能否将余弦定理适当变形，用 b2 c2 a2 2bc
（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角； （2）已知三边，求三个角．
四、余弦定理及其推论的应用
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程 叫解三角形．
四、余弦定理及其推论的应用
问题7：你能解决教科书中的例5和例6吗？ 例5：在△ABC中，已知b= 60 cm，c= 34 cm，A=41°，解三角形