相似三角形中的开放探索试题[1]

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共12小题，满分48分）1．图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F，则图中与△ABD相似的是（）A．△ABC B．△ABF C．△BFD D．△AEF3．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（）A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．＝D．＝4．已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是（）A．1，，B．1，，C．1，，D．1，，5．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C．D．6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠∠B，点P是边AC上一点（不与A、C重合），过P点的一条直线与△ABC的边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有（）条．A．1B．2C．3D．47．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（）A．∠2＝∠B B．∠1＝∠C C．D．8．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，下列条件：①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD•AB；④AB•CD＝AC•BC．其中能判定△ACD∽△ABC的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD•BC＝DE•AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（）A．s B．s C．s或s D．以上均不对11．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN ＝DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC＝，则BF＝2；正确的结论有（）个A．4B．3C．2D．1二．填空题（共4小题，满分20分）13．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是．14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：①AF⊥DE；②DG＝；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．其中正确的结论有．（请填上所有正确结论的序号）15．如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：，可以使得△FDB与△ADE 相似．（只需写出一个）16．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC ＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（只填序号）．三．解答题（共8小题，满分52分）17．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB ＝4．求证：△ACP∽△PDB．18．如图，已知∠1＝∠2，∠AED＝∠C，求证：△ABC∽△ADE．19．如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．20．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE．22．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？23．如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．参考答案一．选择题（共12小题，满分48分）1．解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选：B．2．解：在△ABE与△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴∠AEB＝∠ABC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAF，∴△ABD∽△AEF．故选：D．3．解：∵∠DAE＝∠CAB，∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；当∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB；当＝时，△ADE∽△ACB．故选：C．4．解：∵△ABC三边长是，，2，∴△ABC三边长的比为：2：＝1：：，∴△ABC相似的三角形三边长可能是1，，，故选：A．5．解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；C、当＝时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；故选：D．6．解：如图，过点P作AB的平行线，或作BC的平行线，或作AB的垂线，或作∠CPD＝∠B，共4条直线，故选：D．7．解：∠A＝∠A，A、若添加∠2＝∠B，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；B、若添加∠1＝∠C，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；C、若添加＝，可利用两边及其夹角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；D、若添加＝，不能判定△AED∽△ABC，故本选项正确；故选：D．8．解：①∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，②∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，③∵AC2＝AD•AB，∴，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，④条件不符合，不能判定△ACD∽△ABC，故选：C．9．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得＝，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意，故选：B．10．解：设运动时间为t秒．BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，当△BAC∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝；当△BCA∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝，综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s或s，故选：C．11．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；故④不符合题意，⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；故选：C．12．解：正方形ABCD中，AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF＝∠CDE，DE＝DF，∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DGN＝45°+∠FDG，∠DNG＝45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，而∠FDG与∠CDE不一定相等，∴∠DGN与∠DNG不一定相等，故判断出①错误；∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD＝∠DEF＝45°，∠BGF＝∠EGD（对顶角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE＝∠DEF＝45°，∠BDE＝∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；连接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA＝∠EDC，DF＝DE，∴∠FDE＝∠ADC＝90°，∵M是EF的中点，∴MD＝EF，∵BM＝EF，∴MD＝MB，在△DCM与△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SSS），∴∠BCM＝∠DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，∴MC垂直平分BD；故③正确；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，∵MC＝，∴MH＝＝1，∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位线，∴BF＝2MH＝2，故④正确；综上所述，正确的结论有②③④．故选：B．二．填空题（共4小题，满分20分）13．解：∵∠B＝∠D，∴添加∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝，可证△ABC∽△ADE．故答案为：∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝．14．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∵E和F分别为BC和CD中点，∴DF＝EC＝2，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC，∠F AD＝∠EDC，∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠EDC+∠AFD＝90°，∴∠DGF＝90°，即DE⊥AF，故①正确；∵AD＝4，DF＝CD＝2，∴AF＝，∴DG＝AD×DF÷AF＝，故②错误；∵H为AF中点，∴HD＝HF＝AF＝，∴∠HDF＝∠HFD，∵AB∥DC，∴∠HDF＝∠HFD＝∠BAG，∵AG＝＝，AB＝4，∴，∴△ABG∽△DHF，故④正确；∴∠ABG＝∠DHF，而AB≠AG，则∠ABG和∠AGB不相等，故∠AGB≠∠DHF，故HD与BG不平行，故③错误；故答案为：①④．15．解：DF∥AC，或∠BFD＝∠A．理由：∵∠A＝∠A，＝＝，∴△ADE∽△ACB，∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF∽△EAD．②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，∴△FBD∽△AED．故答案为DF∥AC，或∠BFD＝∠A．16．解：前三项正确，因为他们分别符合有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似．故相似的条件是①，②，③．三．解答题（共8小题，满分52分）17．证明：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，∴∠PCA＝∠PDB＝120°，∵AC＝1，BD＝4，∴，＝，∴＝，∴△ACP∽△PDB．18．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，∵∠AED＝∠C，∴△ABC∽△ADE．19．证明：如图，∵AB•AE＝AD•AC，∴＝．又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE．20．解：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，∴∠ABE＝∠ACD又∵∠BAC＝∠DAE∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC∴∠DAC＝∠EAB∴△ABE∽△ACD．21．证明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBD．∵BD2＝BC•BE，∴，∴△BCD∽△BDE．22．解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，分两种情况考虑：当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，∴，即解得：x＝0.8，当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，∴，即，解得：x＝2，当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似．综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似．23．证明：∵AD•AC＝AE•AB，∴＝在△ABC与△ADE中∵＝，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE．24．解：（1）∵AD＝BC，BC＝，∴AD＝，DC＝1﹣＝．∴AD2＝＝，AC•CD＝1×＝．∴AD2＝AC•CD．（2）∵AD＝BC，AD2＝AC•CD，∴BC2＝AC•CD，即．又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC＝∠A．∴DB＝CB＝AD．∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC．设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠DBC＝x，∠C＝2x．∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180°．解得：x＝36°．∴∠ABD＝36°．。

相似三角形判定定理的证明检测试题一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）1.如图，是斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（）A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对2.如图，在中，），则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.3.如图，是的边上异于）一点，过点作直线截得的三角形与相似，那么这样的直线可以作的条数是（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.如图所示，在中，），则下列结论中，正确的是（）A. B. C. D.5.下列命题中，正确的个数是（）①等边三角形都相似；②直角三角形都相似；③等腰三角形都相似；④锐角三角形都相似；⑤等腰三角形都全等；⑥有一个角相等的等腰三角形相似；⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似；⑧全等三角形相似．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6.在与中，有下列条件：））），如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组7.如图，中，，若，若的面积为，则四边形的面积为（）A. 3B. 9C. 5D. 218.已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）A. B. C. D.9.如图，在中，点在上，在下列四个条件中：①）②）③）④，能满足与相似的条件是（）A. ）））））B. ）））））C. ）））））D. ）））））10.如图，在中，））为上两点，过点）分别作）的垂线，两垂线交于点，垂足分别为），若），则下列说法中不正确的是（）A. B. C. D.二、填空题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）11.如图，在中，）分别是）边上的点，））），则________）12.如图，请你添加一个条件使得．这个条件是：________）13.如图，中，））），则的长是________）14.如图，在中，）两点分别在边）上，）），要使与相似，则线段的长为________）15.如图，点在的边上，要使，添加一个条件________）16.如图，除公共角相等外，请你补充一条件，显然该条件应为________，使得）17.如图，已知））））是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点，连结，交线段于点，如果以））为顶点的三角形与相似，则线段的长为________）18.如图，中，点在边上，满足，若），则________）19.如图：已知在中，是斜边上的高．在这个图形中，与相似的三角形是________（只写一个即可）．20.在中，）分别是）边上的点，）））…）是边的等分点，）．如图，若），则________度；如图，若），则________（用含）的式子表示）．三、解答题（共6 小题，每小题10 分，共60 分）21.如图，），又，点））在同一条直线上．求证：）22.如图，为的斜边上的高线，的平分线交）于点），求证：）23.如图，在中，），点从点出发沿边想向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果）同时出发，经过几秒后和相似？24.如图，在中，是角平分线，是上的一点，且）求证：）25.如图，在中，是边上的中点，且），交于点）与相交于点）求证：）26.如图，在中），点在边上，于点）若），求的长；设点在线段上，点在射线上，以））为顶点的三角形与有一个锐角相等，交于点．问：线段可能是的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．。

专题15 相似三角形一．选择题1. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到0.01m ．参1.414≈ 1.732≈2.236≈）A. 0.73mB. 1.24mC. 1.37mD. 1.42m【答案】B【解析】 【分析】设雕像的下部高为x m ，由黄金分割的定义得51,22x求解即可． 【详解】解：设雕像的下部高为x m ，则上部长为（2-x ）m ，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， 雷锋雕像为2m ， ∴51,22x ∴51 1.24x， 即该雕像的下部设计高度约是1.24m ，故选：B ．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．2. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）A. 平移B. 旋转C. 轴对称D. 黄金分割【答案】D【解析】 【分析】根据黄金分割的定义即可求解．【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为12，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段3AB =，则线段BC 的长是（ ）A. 23B. 1C. 32D. 2【答案】C【解析】【分析】过点A 作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于D 、E ，根据题意得2AD DE =，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．【详解】解：过点A 作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于D 、E ， 根据题意得2AD DE =，∵BD CE ∥， ∴2AB AD BC DE==， 又∵3AB =， ∴1322BC AB ==故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．4. 在ABC 中（如图），点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则:ADE ABC SS =（ ）A. 1:1B. 1:2C. 1:3D. 1:4【答案】D【解析】【分析】证出DE 是ABC ∆的中位线，由三角形中位线定理得出//DE BC ，12DE BC =，证出ADE ABC ∆∆，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论． 【详解】解：点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =， ADE ABC ∴， 211:24ADE ABC S S ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭． 故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．5. 将一张以AB 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD ，其中90A ∠=︒，9AB =，7BC =，6CD =，2AD =，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能．．．是（ ）A. 252B. 454C. 10D. 354【答案】A【解析】【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．【详解】解：当△DFE ∽△ECB 时，如图，∴DF FE DE EC CB EB==， 设DF =x ，CE =y ， ∴9672x y y x +==+，解得：274214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴2145644DE CD CE =+=+=，故B 选项不符合题意； ∴2735244EB DF AD =+=+=，故选项D 不符合题意；如图，当△DCF ∽△FEB 时，∴DC CF DF FE EB FB==， 设FC =m ，FD =n ， ∴6927m n n m ==++，解得：810m n =⎧⎨=⎩， ∴FD =10，故选项C 不符合题意；8614BF FC BC =+=+=，故选项A 符合题意；故选：A【点睛】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．6. 若ABC DEF △△，6BC =，4EF =，则AC DF =（ ） A. 49 B. 94 C. 23 D. 32【答案】D【解析】【分析】根据，ABC ，，DEF ，可以得到,BC AC EF DF =然后根据BC =6，EF =4，即可求解．【详解】解：∵ABC DEF △△ ∴,BC AC EF DF=6BC =，4EF =， ∴AC DF =63=42故选D【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 7. 如图，在ABC 中，D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点，设ABC 的面积为S 1，EBD 的面积为S 2．则21S S =（ ）A. 12B. 14C. 34D. 78 【答案】B【解析】【分析】先判定EBD ABC ，得到相似比为12，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可．【详解】解：，D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点， ，12BE BD AB BC ==， 又，B B ∠=∠，，EBD ABC ，相似比为12， ，22114S BE S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8. 如图，在Rt ABC 和Rt BDE 中，90ABC BDE ∠=∠=︒，点A 在边DE 的中点上，若AB BC =，2DB DE ==，连结CE ，则CE 的长为（ ）A.C. 4【答案】D【解析】【分析】过点E 作EF ⊥BC ，交CB 延长线于点F ，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，根据等腰直角三角形的性质可得BE =BED =45°，进而得到AB BC ==22EG AG AE ===，BG =，再证得△BEF ∽△ABG ，可得BF EF ==，然后根据勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，过点E 作EF ⊥BC ，交CB 延长线于点F ，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，在Rt BDE 中，∠BDE =90°，2DB DE ==，∴BE ==BED =45°，∵点A 在边DE 的中点上，∴AD =AE =1，∴AB ==∴AB BC ==∵∠BED =45°，∴△AEG 是等腰直角三角形，∴22EG AG AE ===，∴BG =， ∵∠ABC =∠F =90°，∴EF ∥AB ，∴∠BEF =∠ABG ，∴△BEF ∽△ABG ， ∴BE BF EF AB AG BG ====，解得：BF EF==，∴5CF=，∴CE故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．9. ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则DEF的周长是（）A. 54B. 36C. 27D. 21【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，ABC与，DEF相似，△ABC的最长边为4，，DEF的最长边为12，∴两个相似三角形的相似比为1:3，，，DEF的周长与，ABC的周长比为3:1，，，DEF的周长为3×（2+3+4）=27，故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键．10. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，23 ADDB=，DE＝6cm，则BC的长为（）A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm 【答案】C【解析】【分析】根据平行得到ADE ABC ∆∆，根据相似的性质得出AD DE AB BC =，再结合23AD DB =，DE ＝6cm ，利用相似比即可得出结论． 【详解】解：在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，若DE ∥BC ， ADE B ∴∠=∠，A A ∠=∠，ADE ABC ∴， AD DE ABBC ∴=， 23AD DB=， 25DE AD AD BC AB AD DB ∴===+， 6cm DE =，55615cm 22DE BC ⨯∴===， 故选：C ．【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 11. 如图，ABC 与DEF 位似，点O 是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则ABC 与DEF 的周长之比是（ ）A. 1∶2B. 1∶4C. 1∶3D. 1∶9【答案】A【解析】 【分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解．【详解】解：∵ABC 与DEF 位似∴ABC DEF ∽△△∵ABC 与DEF 的位似比是1:2∴ABC 与DEF 的相似比是1:2∴ABC 与DEF 的周长比是1:2故选：A ．【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质．12. 如图，ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，相似比为2:3．若ABC 的周长为4，则DEF 的周长是（ ）A. 4B. 6C. 9D. 16【答案】B【解析】【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．【详解】设DEF 的周长是x ，∵ ABC 与DEF 位似，相似比为2:3，ABC 的周长为4，∴4：x =2：3，解得：x =6，故选：B ．【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．13. 如图是一张矩形纸片ABCD ，点E 为AD 中点，点F 在BC 上，把该纸片沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A B A E '''，，与BC 相交于点G ，B A ''的延长线过点C ．若23BF GC =，则AD AB的值为（ ）A. C. 207 D. 83 【答案】A【解析】【分析】令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，易证CGA CFB ''△∽△，得出CG A G CF B F '='，进而得出y =3x ，则AE =4x ，AD =8x ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，根据勾股定理得出EH =，最后求出AD AB的值． 【详解】解：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，又四边形ABCD 为矩形，∴∠A =∠B =∠D =∠BCD =90°，AD =BC ，∴四边形ABHE 和四边形CDEH 为矩形，∴AB =EH ，ED =CH ， ∵23BF GC =， ∴令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，则CF =3x +y ，2B F x '=，52x y A G -'=， 由题意，得==90CA G CB F ''︒∠∠，又GCA '∠为公共角，∴CGA CFB ''△∽△， ∴CG A G CF B F'='， 则53232x yx x y x-=+，整理，得()()30x y x y +-=，解得x =-y （舍去），y =3x ，∴AD =BC =5x +y =8x ，EG =3x ，HG =x ，在Rt △EGH 中EH 2+HG 2=EG 2，则EH 2+x 2=(3x )2，解得EH=， EH=-x (舍)，∴AB=，∴AD AB ==． 故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求边长等知识，借助于相似三角形找到y =3x 的关系式是解决问题的关键．14. 如图，已知BD 是矩形ABCD 的对角线，AB ＝6，BC ＝8，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，连结BE ，DF ．将△ABE 沿BE 翻折，将△DCF 沿DF 翻折，若翻折后，点A ，C 分别落在对角线BD 上的点G ，H 处，连结GF ．则下列结论不正确．．．的是（ ）A. BD ＝10B. HG ＝2C. EG FH ∥D. GF ⊥BC【答案】D【解析】 【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A ，根据折叠的性质即可求得,HD BG ，进而判断B ，根据折叠的性质可得90EGB FHD ∠=∠=︒，进而判断C 选项，根据勾股定理求得CF 的长，根据平行线线段成比例，可判断D 选项 【详解】BD 是矩形ABCD 的对角线，AB ＝6，BC ＝8，8,6BC AD AB CD ∴====10BD ∴==故A 选项正确，将△ABE 沿BE 翻折，将△DCF 沿DF 翻折，6BG AB ∴==，6DH CD ==4DG ∴=,4BH BD HD =-=1010442HG BH DG ∴=--=--=故B 选项正确，,EG BD HF DB ⊥⊥,，EG ，HF ，故C 正确设AE a =，则EG a =，8ED AD AE a ∴=-=-，EDG ADB ∠=∠tan tan EDG ADB ∴∠=∠ 即6384EG AB DG AD === 344a ∴= 3AE ∴=，同理可得3CF =若FG CD ∥ 则CF BF =GD BG 342,563CF GD BF BG ===， ∴CF BF ≠GD BG ， FG ∴不平行CD ，即GF 不垂直BC ，故D 不正确．故选D【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．15. 如图，四边形ABCD 为正方形，将EDC △绕点C 逆时针旋转90︒至HBC ，点D ，B ，H 在同一直线上，HE 与AB 交于点G ，延长HE 与CD 的延长线交于点F ，2HB =，3HG =．以下结论：，135EDC ∠=︒；，2EC CD CF =⋅；，HG EF =；，sin 3CED ∠=．其中正确结论的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】 【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明∽GBH EDC △△，得到DC EC HB HG=，即32⋅==CD HG a EC HB ，利用HEC △是等腰直角三角形，求出2=HE ，再证明∽HGB HDF △△即可求出3EF =可知③正确；过点E 作EM FD ⊥交FD 于点M ，求出sin 3∠==ME EFC EF ，再证明=∠∠DEC EFC ，即可知④正确． 【详解】解：∵EDC △旋转得到HBC ，∴=∠∠EDC HBC ，∵ABCD 为正方形，D ，B ，H 在同一直线上，∴=18045=135∠︒-︒︒HBC ，∴=135∠︒EDC ，故①正确；∵EDC △旋转得到HBC ，∴EC HC =，90ECH ∠=︒，∴=45∠︒HEC ，∴=18045=135∠︒-︒︒FEC ，∵=∠∠ECD ECF ，∴EFC DEC ∽△△，∴EC FC DC EC=， ∴2EC CD CF =⋅，故②正确；设正方形边长为a ，∵=45∠+∠︒GHB BHC ，=45∠+∠︒GHB HGB ，∴=∠∠=∠BHC HGB DEC ，∵=135∠=∠︒GBH EDC ，∴∽GBH EDC △△， ∴DC EC HB HG =，即32⋅==CD HGaEC HB ，∵HEC △是等腰直角三角形，∴2=HE ，∵∠=∠GHB FHD ，=135∠=∠︒GBH HDF ，∴HBG HDF ∽， ∴HBHGHD HF =2=，解得：3EF =，∵3HG =，∴HG EF =，故③正确；过点E 作EM FD ⊥交FD 于点M ，∴=45∠︒EDM ，∵2ED HB ==，∴==MD ME∵3EF =，∴sin ∠==ME EFC EF ∵=45∠+∠︒DEC DCE ，=45∠+∠︒EFC DCE ，∴=∠∠DEC EFC ，∴sin sin 3∠=∠==ME DEC EFC EF ，故④正确 综上所述：正确结论有4个，故选：D【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解．16. 如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点C 作CE BD ∥交AB 的延长线于点E ，下列结论不一定正确的是（ ）A. 12OB CE =B. ACE 是直角三角形C. 12BC AE =D. BE CE =【答案】D【解析】 【分析】由菱形的性质可知AC DB ⊥，AO OC =，由两直线平行，同位角相等可以推出90ACE AOB ∠=∠=︒，再证明Rt ACE Rt AOB △，得出12OB CE =，12AB AE =，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以得出12BC AE =．现有条件不足以证明BE CE =．【详解】解：∵在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∴AC DB ⊥，AO OC =，∴90AOB ∠=︒，∵CE BD ∥，∴90ACE AOB ∠=∠=︒，∴ACE 是直角三角形，故B 选项正确；∵90ACE AOB ∠=∠=︒，CAE OAB ∠=∠，∴Rt ACERt AOB △， ∴12OB AB OA CE AE AC ===， ∴12OB CE =，12AB AE =，故A 选项正确； ∴BC 为Rt ACE 斜边上的中线， ∴12BC AE =，故C 选项正确； 现有条件不足以证明BE CE =，故D 选项错误；故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，难度一般，由菱形的性质得出AC DB ⊥，AO OC =是解题的关键．17. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以其三边为边向外作正方形，连结CF ，作GM CF ⊥于点M ，BJ GM ⊥于点J ，⊥AK BJ 于点K ，交CF 于点L ．若正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，CE =，则CH 的长为（ ）A. B. 32+ C.【答案】C【解析】 【分析】设CF 交AB 于P ，过C 作CN ⊥AB 于N ，设正方形JKLM 边长为m ，根据正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，得AF =AB ，证明△AFL ≌△FGM （AAS ），可得AL =FM ，设AL =FM =x ，在Rt △AFL 中，x 2+（x +m ）2=）2，可解得x =m ，有AL =FM =m ，FL =2m ，从而可得AP =，FP =52m ，BP ，即知P 为AB 中点，CP =AP =BP ，由△CPN ∽△FP A ，得CN =m ，PN =12m ，即得AN m ，而tan ∠BAC =BC CN AC AN ==，又△AEC ∽△BCH ，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设CF 交AB 于P ，过C 作CN ⊥AB 于N ，如图：设正方形JKLM 边长为m ，∴正方形JKLM 面积为m 2，∵正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，∴正方形ABGF 的面积为5m 2，∴AF =AB ，由已知可得：∠AFL =90°-∠MFG =∠MGF ，∠ALF =90°=∠FMG ，AF =GF ， ∴△AFL ≌△FGM （AAS ），∴AL =FM ，设AL =FM =x ，则FL =FM +ML =x +m ，在Rt △AFL 中，AL 2+FL 2=AF 2，∴x 2+（x +m ）2=）2，解得x =m 或x =-2m （舍去），∴AL =FM =m ，FL =2m ，1tan ,22AP AL m AFL AF FL m ∠==== 1,2=∴AP ，5,2m BP AB A FP P ====-==∴ ∴AP =BP ，即P 为AB 中点，∵∠ACB =90°，∴CP =AP =BP∵∠CPN =∠APF ，∠CNP =90°=∠F AP ，∴△CPN ∽△FP A ，,CP CN PN FP AF AP ∴==即2522m == ∴CN =m ，PN =12m ，∴AN =AP +PN=12m ∴tan ∠BAC=BC CN AC AN ==， ∵△AEC 和△BCH 是等腰直角三角形，∴△AEC ∽△BCH ，,BC CH AC CE∴=10CE ==CH ∴=故选：C ．【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m 的代数式表示相关线段的长度．18. 如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（ ）A. 0.3cmB. 0.5cmC. 0.7cmD. 1cm【答案】B【解析】【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答．【详解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，∴AB：CD=3，∴AB：3=3，∴AB=9（cm），∵外径为10cm，∴19+2x=10，∴x=0.5（cm）．故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长．二、填空题19. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即2=⋅．已知AB为2米，则线段BE的长为______米．BE AE AB【答案】1)##15【解析】【分析】根据点E 是AB 的黄金分割点，可得AE BE BE AB ==，代入数值得出答案．【详解】∵点E 是AB 的黄金分割点，∴12AE BE BE AB -==． ∵AB=2，，∴1BE =）米．故答案为：1）．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 20. 如图，已知在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE BC ∥，13AD AB =．若DE ＝2，则BC 的长是______．【答案】6【解析】 【分析】根据相似三角形的性质可得13DE AD BC AB ==，再根据DE =2，进而得到BC 长．【详解】解：根据题意，∵DE BC∥，∴△ADE∽△ABC，∴13 DE ADBC AB==，∵DE＝2，∴213 BC=，∴6BC=；故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质进行计算．21. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为2，则△ABC的面积为_____．【答案】8．【解析】【分析】证△ADE∽△ABC，得2 ADEABCS DES BC⎛⎫= ⎪⎝⎭△△.【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝12BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴2ADEABCS DES BC⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，∵S△ADE＝2，∴S△ABC＝4S△ADE＝4×2＝8．故答案为8．【点睛】考核知识点：相似三角形性质.利用三角形中位线性质是关键.22. 如图，ABC 和DEF 是以点O 为位似中心的位似图形．若:2:3OA AD =，则ABC 与DEF 的周长比是_________．【答案】2:5【解析】【分析】根据位似图形的性质，得到OCA OFD ∆∆，根据:2:3OA AD =得到相似比为25CA OA OA FD OD OA AD ===+，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论． 【详解】解：ABC 和DEF 是以点O 为位似中心的位似图形， ∴OCAOFD ∆∆， ∴CA OA FD OD=，:2:3OA AD =， ∴25CA OA OA FD OD OA AD ===+， ∴根据ABC 与DEF 的周长比等于相似比可得25ABC DEF C CA C FD ∆∆==， 故答案为：2:5．【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．23. 如图，已知等腰ABC 的顶角BAC ∠的大小为θ，点D 为边BC 上的动点（与B 、C 不重合），将AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度时点D 落在D 处，连接BD '．给出下列结论：①ACD ABD '≅△△；②ACB ADD '△△；③当BD CD =时，ADD '的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）．【答案】①②③【解析】【分析】依题意知，ABC 和ADD '是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS 证明ADC AD B '≌△△， 可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为AD AC，故最小时ADD '面积最小，即AD BC ⊥，等腰三角形三线合一，D 为中点时 .【详解】∵AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度得到AD '∴DAD θ'∠=，AD AD ='∴CAB DAD '∠=∠即CAD DAB DAB BAD '∠+∠=∠+∠∴CAD BAD '∠=∠，CAD BAD AC AB AD AD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪='⎩' 得：ADC AD B '≌△△（SAS ）故①对∵ABC 和ADD '是顶角相等的等腰三角形∴ACB ADD '△△故②对 ∴2()AD D ABC S AD S AC'=△△ 即AD 最小时AD D S '△最小当AD BC ⊥时，AD 最小由等腰三角形三线合一，此时D 点是BC 中点故③对故答案为：①②③【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项③中将面积与相似比结合是解题的关键 .24. 如图，已知F 是ABC 内的一点，FD BC ∥，FE AB ∥，若BDFE 的面积为2，13BD BA =，14BE BC =，则ABC 的面积是________．【答案】12【解析】【分析】延长EF 、DF 分布交AC 于点M 、N ，可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求出AM 、MN 、CN 之间的关系，从而得到三角形的面积关系即可求解．【详解】解：如图所示：延长EF 、DF 分布交AC 于点M 、N ，FD BC∥，FE AB∥，13BD BA=，14BE BC=，∴32CE BE AD BD==，，32CM CE AN ADAM BE CN BD∴====，，∴令AM x=，则3CM x=，4AC x∴=，28143333AN AC x CN AC x∴====，，53MN x∴=，∴5589NM NMAN MC==，，25:6425:81NMF NAD NMF MECS S S S==△△△△：，：，∴设256481NMF NAD MECS a S a S a===△△△，，，56FECNS a∴=四边形，2120ABCS a∴=+△，264421209ADNABCS a ADS a AB⎛⎫∴===⎪+⎝⎭△，求出112a=,212012ABCS a∴=+=△，故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行线分线段成比例知识，具有一定的难度，不断的利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．25. 如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，AF 与DE 相交于点G ，则GF 的长等于___________．【解析】【分析】连接FB ，作CG AB ⊥交AB 的延长线于点G ．由菱形的性质得出60CBG DAB ∠=∠=︒，2AD AB BC CD ====，解直角BGC ∆求出CG =，1BG =，推出FB 为ECG ∆的中位线，进而求出FB ，利用勾股定理求出AF ，再证明AEG ABF ∆∆，得出12AG GF AF ==． 【详解】解：如图，连接FB ，作CG AB ⊥交AB 的延长线于点G ．∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴//AD BC ，2AD AB BC CD ====，∵60DAB ∠=︒，∴60CBG DAB ∠=∠=︒，∴sin 2CG BC CBG =⋅∠==1cos 212BG BC CBG =⋅∠=⨯=， ∵E 为AB 的中点，∴1AE EB ==，∴BE BG =，即点B 为线段EG 的中点，又∵F 为CE 的中点，∴FB 为ECG ∆的中位线，∴//FB CG，122FB CG ==， ∴FB AB ⊥，即ABF ∆是直角三角形，∴AF === 在AED ∆和BGC ∆中， AD BC DAE CBG AE BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，‘∴AED BGC ∆≅∆，∴90AED BGC ∠=∠=︒，∴90AEG ABF ∠=∠=︒，又∵GAE FAB ∠=∠，∴AEGABF ∆∆， ∴12AG AE AF AB ==，∴124AG AF ==，∴4GF AF AG =-=．． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，三角函数解直角三角形，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，添加辅助线构造直角BGC∆是解题的关键．26. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是_____．【解析】∆∆，【分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且AQM FQNNQ MQ=点H在以BQ为直径的PN上运动，运动路径长为PN的长，求出:1:2,BQ及PN的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．【详解】解：∵点M、N分别是边AD、BC的中点，连接MN，则四边形ABNM是矩形，AD==4，∴MN=AB=6，AM=BN=12根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，∴AQMFQN ∆∆， ∴12NF NQ EM MQ == ∴123NQ MN == 当点E 与点A 重合时，则NF =122AM =， ∴BF =BN +NF =4+2=6，∴AB =BF =6∴ABF ∆是等腰直角三角形，∴45,AFB ∠=︒∵BP ⊥AF ，∴45PBF ∠=︒由题意得，点H 在以BQ 为直径的PN 上运动，运动路径长为PN 长，取BQ 中点O ，连接PO ，NO ，∴∠PON =90°，又90,BNQ ∠=︒∴BQ ===∴12ON OP OQ BQ ====，∴PN故答案为：2【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H 运动的路径长为PN 长是解答本题的关键．27. 如图，ABC 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，12∠=∠．若4BC =，2AF =，3CF =，则EF =______．【答案】85【解析】【分析】易证△AEF ∽△ABC ，得EF AF BC AC =即EF AF BC AF CF=+即可求解． 【详解】解：∵∠1=∠2，∠A =∠A ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF AF BC AC =，即EF AF BC AF CF=+ ∵4BC =，2AF =，3CF =， ∴2423EF =+，∴EF=85，故答案为：85．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．28. 如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；AE＝______．【答案】，. 是，.5【解析】【分析】（1）证明△ACG≌△CFD，推出∠CAG=∠FCD，证明∠CEA=90°，即可得到结论；（2）利用勾股定理求得AB的长，证明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，∴△ACG≌△CFD，∴∠CAG=∠FCD，∵∠ACE+∠FCD=90°，∴∠ACE+∠CAG=90°，∴∠CEA=90°，∴AB与CD是垂直的，故答案为：是；（2）AB=∵AC ∥BD ，∴△AEC ∽△BED ， ∴AC AE BD BE =，即23AE BE =， ∴25AE BE =，∴AE =25BE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．29. 如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，请添加一个条件_________，使ADE ABC △△∽．【答案】∠ADE =∠B （答案不唯一）．【解析】【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．【详解】解∶∵∠A =∠A ，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE =∠B 或∠AED =∠C 证ADE ABC△△∽相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件AD AEAB AC=证ADE ABC△△∽相似．故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．30. 如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将DCE绕点D顺时针旋转90︒与DAF△恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若·AQ DP=BQ=______．【解析】【分析】通过，DFQ=，DAQ=45°证明A、F、Q、D四点共圆，得到∠FDQ=∠F AQ=45°，∠AQF=∠ADF，利用等角对等边证明BQ=DQ=FQ=EQ，并求出DE=，通过有两个角分别相等的三角形相似证明AFQ PED∽，得到AQ DP DE FQ⋅=⋅=BQ代入DE、FQ中即可求出．【详解】连接PQ，∵DCE绕点D顺时针旋转90︒与DAF△完全重合，，DF=DE，∠EDF=90°，DAF DCE≌，，，DFQ=，DEQ=45°，，ADF=，CDE，，四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAQ=∠BAQ=45°，，，DFQ=，DAQ=45°，，，DFQ、，DAQ是同一个圆内弦DQ所对的圆周角，即点A、F、Q、D在同一个圆上（四点共圆），∴∠FDQ=∠F AQ=45°，∠AQF=∠ADF，，，EDQ=90°-45°=45°，，DQE=180°-，EDQ-，DEQ=90°，，FQ=DQ=EQ，，A、B、C、D是正方形顶点，∴AC、BD互相垂直平分，∵点Q在对角线AC上，∴BQ=DQ，，BQ=DQ=FQ=EQ，，∠AQF=∠ADF，，ADF=，CDE，，∠AQF=，CDE，，，F AQ=，PED=45°，∽，，AFQ EPD，AQ FQ=，DE DP，AQ DP DE FQ⋅=⋅=，BQ=DQ=FQ=EQ，∠DQE=90°，，DE =，，DE FQ BQ ⋅=⋅=∴BQ ==，【点睛】本题综合考查了相似三角形、全等三角形、圆、正方形等知识，通过灵活运用四点共圆得到等弦对等角来证明相关角相等是解题的巧妙方法．三、解答题31. 如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BFED 是平行四边形，DE 1BC 4=．（1）若8AB =，求线段AD 的长．（2）若ADE 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．【答案】（1）2 （2）6【解析】【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明ADE ABC △△∽，得到DE AD BC AB=即可求出； （2）利用平行条件证明ADE EFC ∽，分别求出ADE EFC 与、ADE ABC 与的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出EFC S、ABC S ，最后通过BFED ABC EFC ADE S S S S =--求出．【小问1详解】∵四边形BFED 是平行四边形，，∥DE BC ，，ADE ABC △△∽，，DE AD BC AB =， ，DE 1BC 4=， ∴AD 1AB 4=， ，118244AD AB ==⨯=；【小问2详解】∵四边形BFED 是平行四边形，，∥DE BC ，EF AB ∥，DE =BF ，，,AED ECF EAD CEF ∠=∠∠=∠，，ADE EFC ∽ ，2ADE EFC S DE S FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵DE 1BC 4=，DE =BF ， ∴43FC BC DE DE DE DE =-=-=， ，133DE DE FC DE ==， ，221139ADE EFC S DE S FC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ，ADE ABC △△∽，DE 1BC 4=， ∴2211416ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ，1ADE S =△，，9,16EFC ABC SS ==， ，16916BFED ABC EFC ADES S S S =--=--=． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．32. 华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．证明：设CE 与DF 交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90B DCF ∠=∠=︒，BC CD =．∴90BCE DCE ∠+∠=︒．∵CE DF ⊥，∴90COD ∠=︒．∴90CDF DCE ∠+∠=︒．∴CDF BCE ∠=∠．∴CBE DFC ≌△△． ∴CE DF =．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究（1）【问题探究】如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．试猜想EG FH的值，并证明你的猜想．（2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD 中，AB m =，BC n =，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．则EG FH=______．（3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，60ABC ∠=︒，AB BC =，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，且CE BF ⊥．求CE BF的值．【答案】（1）1,理由见解析（2）n m（3【解析】【分析】（1）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，利用正方形ABCD ，AB =AD ，∠ABM =∠BAD =∠ADN =90°求证△ABM ≌△ADN 即可；（2）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，利用在长方形ABCD 中，BC =AD ，∠ABM =∠BAD =∠ADN =90°求证△ABM ∽△ADN ．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；（3）如图3中，过点C 作CM ⊥AB 于点M ．设CE 交BF 于点O ．证明△CME ∽△BAF ，推出BCE BF CM A =，可得结论． 【小问1详解】解：1EG FH=，理由为： 过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN 是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ，在△ABM 和△ADN 中，∠BAM ＝∠DAN ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠ADN∴△ABM ≌△AND ，∴AM ＝AN ，即EG ＝FH ， ∴1EG FH=； 【小问2详解】解：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN 是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°，∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ．∴△ABM ∽△ADN ， ∴AM AB AN AD=， ∵AB m =，BC AD n ==，AM ＝HF ，AN ＝EG ， ∴HF m EG n=， ∴EG n FH m=； 故答案为：n m ； 【小问3详解】解：∵60ABC ∠=︒，AB BC =，∴ABC ∆是等边三角形，∴设AB BC AC a ===，过点CN AB ⊥，垂足为N ，交BF 于点M ，则12AN BN a ==，在Rt BCN ∆中，CN ===， ∵CN AB ⊥，CE BF ⊥，∴90ABF BMN ∠+∠=︒，90ECN CMF ∠+∠=︒，又∵CMF BMN ∠=∠，∴ABF ECN ∠=∠，∵CN AB ⊥，90DAB ∠=︒，∴90DAB CNE ∠=∠=︒，∴NCE ABF ∆∆∽， ∴CE CN BF AB=，即22CE BF a ==． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．33. 小东在做九上课本123页习题：“1也是一个很有趣的比．已知线段AB （如图1），用直尺和圆规作AB 上的一点P ，使AP ：AB ＝1．”小东的作法是：如图2，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，再以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P ，点P 即为所求作的点．小东称点P 为线段AB 的“趣点”．。

相似三角形试题及答案
一、选择题
1. 已知两个三角形相似，下列说法正确的是（）
A. 对应角相等
B. 对应边成比例
C. 对应角相等且对应边成比例
D. 面积相等
答案：C
2. 若两个三角形的相似比为2:3，则下列说法正确的是（）
A. 周长比为2:3
B. 周长比为3:2
C. 面积比为4:9
D. 面积比为9:16
答案：C
二、填空题
1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则BC:EF=______。

答案：2:3
2. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为1:2，则三角形ABC
的面积是三角形DEF面积的______。

答案：1/4
三、解答题
1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB=6cm，DE=9cm，求BC和EF 的长度。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例。

因此，BC:EF=AB:DE=6:9=2:3。

设BC=2x，则EF=3x。

由于AB:DE=2:3，所以2x/3x=6/9，解得x=3cm。

因此，BC=6cm，
EF=9cm。

2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且三角形ABC的面积为24平方厘米，三角形DEF的面积为36平方厘米，求相似比。

答案：设相似比为k，则三角形ABC与三角形DEF的面积比为k^2。

因此，k^2=24/36=2/3，解得k=√(2/3)。

所以相似比为√(2/3)。

开放探究题-中考数学开放探索性试题在中考中越来越受到重视，由于条件与结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，学生犹如八仙过海，各显神通。

探索性问题的特点是：问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法，这类题主要考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识。

这类题对同学们的综合素质要求比较高，这类题往往作为中考试卷中的压轴题出现，在中考中所占比例在9％左右。

1．条件开放与探索给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不惟一，这样的问题是条件开放性问题。

它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

[例1] 已知△ABC 内接于⊙O ，⑴当点O 与AB 有怎样的位置关系时，∠ACB 是直角？⑵在满足⑴的条件下，过点C 作直线交AB 于D ，当CD 与AB 有什么样的关系时，△ABC ∽△CBD ∽△ACD ？ ⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形，使图形的CD ＝2cm 。

[解析]：⑴要使∠ACB ＝90°，弦AB 必须是直径，即O 应是AB 的中点；⑵当CD ⊥AB 时，结论成立；⑶由⑵知DB AD CD ⋅=2，即422==⋅DB AD ，可作直径AB 为5的⊙O ，在AB 上取一点D ，使AD ＝1，BD ＝4，过D 作CD⊥AB 交⊙O 于C 点，连结AC 、BC ，即得所求。

⑴当点O 在AB 上（即O 为AB 的中点）时，∠ACB 是直角； ⑵∵∠ACB 是直角，∴当CD ⊥AB 时，△ABC ∽△CBD ∽△ACD ；⑶作直径AB 为5的⊙O ，在AB 上取一点D ，使AD ＝1，BD =4，过D 点作CD ⊥AB 交⊙O 于C 点，连结AC 、BC ，即为所求（如下图所示）。

[评注]：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设——求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求。

相似三角形测试题一、选择题1. 在相似三角形中，对应角相等，那么对应边的比例关系是怎样的？A. 相等B. 不成比例C. 成比例D. 无法确定2. 如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么这两个三角形的关系是？A. 相似B. 全等C. 既不相似也不全等D. 以上都有可能3. 根据三角形的边长比例，可以判断三角形的相似性。

若三角形ABC的边长比为a:b:c，三角形DEF的边长比为x:y:z，则它们相似的条件是？A. ax = by = czB. ax = by = czC. ax = cy = bzD. ay = bx = cz二、填空题4. 在图中，标记为△ABC和△DEF的两个三角形是相似的。

若AB =6cm，AC = 8cm，BC = 10cm，DE = 9cm，那么DF的长度是多少？______ cm。

5. 已知两个三角形相似，且它们的周长比为3:4。

如果较小三角形的周长为15cm，那么较大三角形的周长是______ cm。

三、解答题6. 如图所示，△ABC与△DEF相似。

AB = 5cm，BC = 10cm，且DE =6cm。

求AC的长度及相似比。

7. 一个观察者站在河岸边，观察到对岸的塔顶和塔底的仰角分别为30°和15°。

如果观察者到河岸边的距离是50米，求塔的高度。

四、证明题8. 证明：如果两个三角形的对应边上的高也成比例，那么这两个三角形是相似的。

五、应用题9. 一个梯形的上底是10cm，下底是20cm，高是8cm。

另一个相似的梯形上底是15cm，下底是30cm。

如果它们的面积比为2:5，求高的长度比。

六、综合题10. 在一个公园的平面图上，有一个矩形花坛A和另一个相似的矩形花坛B。

花坛A的长和宽分别是20m和10m，花坛B的长是25m。

如果两个矩形的面积比是4:9，求花坛B的宽度。

开放探究题开放探究题是一种新的题型, 关于开放题的概念，主要有下列几种描述：（1）答案不固定或者条件不完备的习题成为开放题；（2）具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题.开放探究题的特点是：（1）条件多余需选择,条件不足需补充；（2）答案不固定；（3）问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法.开放探究题常见的类型有：（1）条件开放型：即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；（2）结论开放型：即在给定的条件下，结论不唯一；（3）策略开放型：即思维策略与解题方法不唯一；（4）综合型：即条件、结论、策略中至少有两项均是开放的.在解决开放探究题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.这类题主要考查我们分析问题和解决问题的能力和创新意识.类型之一条件开放型问题解这种类型的开放性问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

1. （郴州市）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．2.（庆阳市）如下左图，D、E分别是ABC△的边AB、AC上的点，则使△的条件是．△∽ABCAED类型之二结论开放型问题解决这种类型的问题的时候要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维. 它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。

3.（滨州市）如上右图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_________（把你认为正确的序号都填上）。

相似形中开放探究性问题(wèntí)的探究国际数学HY会指出“探究与开展是数学开展的生命线〞，足见探究性的重要性.由于探究性试题的题设和结论不完好，或者缺少条件、结论，或者需判断符合某个条件的点、图形是否存在，需要解题者在观察、分析、搜集大量信息的根底上，进展抽象、概括、判断和猜测，然后进展说理和论证.本文以相似三角形中的问题进展研究，举例如下：一、探究条件型这类问题一般命题的结论明确，需读者反溯结论成立的条件.可采取逆向思维，把结论视为题设的一局部，再结合已有的条件，并辅助于图形构造、隐含的条件进展分析探究，方可得到所需的条件.例1、〔08〕如图1，两点分别在的边上，与不平行，当满足条件〔写出一个即可〕时，．分析：根据两个三角形相似的条件结合图形发现△ADE 与△ACB有一个公一共角∠A，所以我们只要补充一个角，或者夹这个角的两边对应成比例即可说明图△ADE∽△ACB.因为DE与BC不平行因此可补充条件∠ADE=∠C或者∠AED=∠B或者AD·AB=AE·AC例2、如图2，在直角坐标系中有两点A(4，O)，B(0,2)，假如点C在x轴上(C与 A不重合)，当点C的坐标为_________或者________时，使得由点B,O，C组成的三角形与△AOB相图2似。

(至少找出两个满足条件的点的坐标)分析：由于题目(tímù)中两个三角形的相似，未给出确定的相似关系，因此有两种可能△BOC∽△AOB 或者△COB∽△AOB ，这样可得出两个不同的关于边的比例关系，即或者，结合OA=4,OB=2．可求出OC=1，或者4；又点C 在x 轴上(C 与 A 不重合)，因此点C 的坐标为 (一1，O)、(1，O)、(一4,0)、(4，O).二、探究结论型这类问题有明确的条件，需结合图形猜测出相应的结论，或者变换命题中的局部条件探究对结论的影响.例3〔08年〕如图，在Rt△ABC 内有边长分别为的三个正方形，猜测,,a b c 之间的关系并说明理.猜测,,a b c 之间的关系为.分析：观察图形，∠EFG=∠C=90°∴∠1+∠CFG=∠CFG +∠3=90°易得出∠1=∠3，同理根据等角的余角相等容∴∠3=∠4，∴∠1=∠4∴Rt△DEF∽Rt△GHM =∴=，化简得b(a+c)=b 2,而b≠0，所以b a c =+.例4、如图4〔1〕，AB⊥BD ，CD⊥BD 垂足分别为B,D ，AD 和BC 相交于点E ，EF⊥BD ，垂足为F 我们可以说明成立.21 3 MH GF ED4假设(jiǎshè)将图2(1)中的垂直改为斜交，图2(2)，AB//CD ，AD 、BC 相交于点E ，过E 作EF//AB 交BD 于F ，那么：(1)EF1CD 1AB 1=+还成立吗? 请说明理由。

相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。