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正交小波的多分辨分析的研究
正交小波是一种基于数学理论的分析方法，可以应用于信号处理、图像处理、数据压
缩等领域。
正交小波多分辨分析是指使用正交小波对信号进行分解和重构，并通过不同的
尺度进行多层次的分析。
正交小波的设计和选择是研究的重点之一。
正交小波的性质直接影响到多分辨分析的
效果，因此需要设计和选择合适的正交小波函数。
常用的正交小波函数有Haar小波、Daubechies小波、Symlets小波等。
研究者们通过对正交小波函数的数学特性进行分析和
比较，寻找到最合适的正交小波函数。
多分辨分析的算法和实现也是研究的重要内容。
正交小波多分辨分析的过程包括信号
的分解和重构。
信号的分解是指将信号分解为不同的频率和尺度成分，而信号的重构是指
根据分解得到的成分，将信号重新恢复到原始状态。
研究者们需要设计高效的算法和实现
方法，以实现信号的快速分解和重构。
正交小波多分辨分析在信号处理和图像处理中的应用也是研究的重点之一。
正交小波
多分辨分析可以提取信号和图像的不同频率和尺度信息，从而实现信号和图像的特征提取、去噪和压缩等应用。
研究者们通过在实际应用中的验证和改进，不断探索和拓展正交小波
多分辨分析的应用领域。
正交小波多分辨分析的理论研究也是研究的一部分。
正交小波多分辨分析是建立在数
学理论基础上的方法，研究者们通过对正交小波多分辨分析的数学特性进行深入研究，探
索其在数学理论上的新发展和应用。
这对于进一步提升正交小波多分辨分析的性能和应用
也具有重要意义。
第一篇：小波分析发展历史简述1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。
1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析是一种计算机视觉和图像处理技术，它可以将信号分解为多个
不同尺度和频率的子信号，并对这些子信号进行分析和处理。
正交小波是一类正交基函数，可以用于实现多分辨分析。
多分辨分析是一种处理信号或图像的方法，它将信号或图像分解为多层次的子信号或
子图像，每一层次都有不同的频率和尺度。
这样的处理方法有很多好处，比如可以在不同
的尺度上检测图像中的细节信息，从而实现更加精细的图像处理。
此外，多分辨分析还可
以用于压缩和解压缩图像，也可以用于图像增强和特征提取等应用。
正交小波是一种在数学上定义为正交基函数的波形，它可以用于信号和图像的分析和
处理。
正交小波可以通过迭代卷积和下采样的过程来实现多层次的多分辨分析。
具体来说，正交小波的多分辨分析可以分为四个步骤：高通滤波，低通滤波，下采样和重构。
其中高
通滤波和低通滤波用于将信号分解为高频和低频子信号，下采样用于将分解后的子信号进
行降采样，重构则用于将分解后的子信号合并为原始信号。
这样，就可以实现多层次的多
分辨分析。
正交小波的多分辨分析已经被广泛应用于计算机视觉和图像处理领域。
例如，在图像
压缩和解压缩方面，正交小波的多分辨分析可以实现更高效的压缩和更快速的解压缩。
在
图像增强和特征提取方面，正交小波的多分辨分析可以用于提取图像中的纹理特征和边缘
特征，从而实现更加精准的图像增强和特征提取。
在众多的信号处理应用中，人们希望找到一种稀疏的数据表示，用稀疏逼近取代原始数据表示可从实质上降低信号处理的成本，提高压缩效率。
传统的信号表示理论基于正交线性变换，但许多信号是各种自然现象的混合体，这些混合信号在单一的正交基变换中不能非常有效地表现出来。
例如，一个含有脉冲和正弦波形的混合信号，既不能用单一的脉冲基函数，也不能用单一的正弦基函数有效地表示。
在这个例子中，有两种结构类型同时出现在信号里，但它们却完全不同，其中哪一个都不能有效地模拟另一个。
所以，人们希望寻找一种能够同时建立在两种基函数之上的信号表示，其结果应该比采用其中任一种基函数有效得多。
在图像和视频处理方面，常用的信号分解方式通常是非冗余的正交变换，例如离散余弦变换、小波变换等。
离散余弦变换其基函数缺乏时间/空间分辨率，因而不能有效地提取具有时频局部化特性的信号特征。
小波分析在处理一维和二维的具有点状奇异性的对象时，表现出良好的性能，但图像边缘的不连续性是按空间分布的，小波分析在处理这种线状奇异性时效果并不是很好。
因而说，小波分析对于多维信号来说并不是最优的，不能稀疏地捕捉到图像结构的轮廓特征，因此在图像和多维编码方面的新突破，必定取决于信号表好似的深刻变革。
最近几年，研究人员在改变传统信号表示方面取得了很大的进展。
新的信号表示理论的基本思想就是：基函数用称之为字典的超完备的冗余函数系统取代，字典的选择尽可能好地符合被逼近信号的结构，其构成可以没有任何限制，字典中的元素被称为原子。
从字典中找到具有最佳线性组合的m项原子来表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。
从非线性逼近的角度来讲，高度非线性逼近包含两个层面：一是根据目标函数从一个给定的基库中挑选好的或最好的基；二是从这个好的基中拣选最好的m项组合。
利用贪婪算法和自适应追踪，从一个冗余函数系统中进行m项逼近方法的理解只是些零星的片段，用高度非线性方法以指定的逼近速率来描述函数仍然是一个富有挑战的问题。
上海交通大学硕士学位论文小波与频谱分析姓名：李晟申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：宋宝瑞20090101小波与频谱分析摘 要本文主要阐述了小波在信号分析，尤其是频谱分析中的应用。
在信号分析中，我们常常需要知道信号中的各种频率成分。
本文就是利用小波这种有力的信号分析工具，利用其对频带划分的特点，结合快速傅立叶变换，对信号进行频谱分析，提取出各个频带的频率成分。
但是在分析中我们发现，小波在频谱分析的过程中，尤其是在单子带重构的过程中存在频率混淆的现象。
通过分析可以发现，这是Mallat算法的固有特点导致的。
本文的研究就是针对该缺陷提出解决方法。
此外，还将小波分析延伸到小波包分析中，并且对小波包分析过程中出现的类似问题给出了解决方案。
在解决问题的过程中，除了进行数学公式方面的推导，寻找理论原因外，还结合计算机编程以及数字信号处理方面的基本知识，进行信号模拟处理。
因此，不仅可以看到抽象的数学理论推导，更有大量直观的数据和图像，以便于读者理解。
关键词：小波分析，信号处理，频谱分析，Mallat算法，频率混淆Wavelet and Spectrum AnalysisABSTRACTThis article is mainly about the application of wavelet in signal processing, especially in spectrum analysis. In signal processing, we usually need to know different frequency components in the signal. We use the frequency bands dividing characteristic of wavelet and FFT to process signals and pick up different frequency components.In processing, we find that there is frequency alias in sub-band reconstruction which is caused by Mallat algorithm. In this article, we offer a solution of this problem and extend this solution to wavelet packet analysis which has the same problem.In the processing of solving problem, there is not only a mathematical derivation, but also signal simulation processing. It combines the theoretical reason and practical knowledge of DSP and coding. We can see a lot of data and images in this paper which is easy to understand.Key Words: Wavelet Analysis, Signal Processing, Spectrum Analysis, Mallat Algorithm, Frequency Alias上海交通大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
