工程电磁场--第4章--恒定磁场的基本原理

R ze z ae r ，
R z a eR e z er cos e z sin er R R R
0 Iade cos e z sin er dB 4R 2 0 Iad cos er 0 Iad sin e z 2 4R 4R 2
强度
0 Idl eR dB 2 4 R
式中磁感应强度与电流的关系， 通常称为毕奥—沙 伐定律。
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dB
0 Idl sin
4π r2
Idl
dB
0 Idl r dB 3 4π r
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
dB
P *
r
I
r

Idl
dF12 I1dl1 0 4
I 2 dl 2 e21 2 R 21 l2
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这就是安培定律，安培定律是恒定磁场的基础。
两平行长直载流导线间的相互作用力的方向
B2
Idl1 df 1 df 2
a
Idl 2
I1
I2
B1
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再进一步分析上两式，可得 电流元 I 2 dl 2 受到电流元 I1dl1 的作用力为
0 Idz e z e R dB 4R 2 0 Idz e sin 2 4R
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计算 P 点磁感应强度时， 场点坐标 r , , z 是不变量， 将变量转换为
源点坐标 0, , z 中 z 是变量。
r r , z z rctg , dz R d 得 2 sin sin 0 Idz e 0 I sin e dB sin d 2 4 r 4 R
2
a , sin R
R a z
2
2
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所以：
0 Ia sin B ez 2 2R
0a I
2
2 a z
2

2

3 2
ez
当 z 0 时， 圆形线电流在圆心产生的磁感应强度
B
0a I
2
2a

2
3 2
0I ez ez 2a
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例 4-1-3 求真空中半径为 a ，圆弧对应的圆心角为 ， 电流为 I 的圆弧在圆心的磁感应强度。 解 根据电流分布， 采用圆柱坐标系。 坐标原点设在圆弧的 圆心， z 轴与线弧轴线 重合。场点 P 的坐标为 0, ,0 。 取一个电流元 Iad ，源点坐标为 a , ,0 。 由一个电流元产生的磁感应强度为
dB
0 Iad e e r 4 a
2
0 Id e z 4 a
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当整段圆弧电流产生的磁感应强度
B

0
0 Id e z 0 I e z 4 a 4 a
2 时，
整个圆形线电流在圆心产生的磁感应强度
2 0 Ie z 0 Ie z B 4 a 2a
dq2 e12 1 dF12 dq1 2 40 R12
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3．磁感应强度
一个线圈中的电流对放置在附近的另一个线圈 中的电流有作用力。 这个作用力不是直接的作用力，而是通过一定的 物质传递过去的。这种物质就是磁场。 电流在其周围产生磁场。 不随时间变化的电流产 生的磁场，叫做恒定磁场。电流称为磁场的源。
dFt 满足右手关系。
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根据场点上试验电流元及其所受到的作用力，可以确 定场点的磁感应强度。 磁感应强度的单位是特斯拉 （T） 。 由安培定律可知，通以电流 I 的线圈 l 所产生恒定磁 场磁感应强度为
0 B 4
Idl e R 2 R l
式中： R 为从电流元 Idl 所在的源点 x , y , z 到场点
磁感强度叠加原理
0 I dl r B dB 3 4π r
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0 Idl r dB 3 4π r
毕奥—萨伐尔定律
dB
0 Idl sin
4π r2
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
+
2
dB 0 1、 5 点 ：
3、7点 ：dB +3
点电荷运动形成“点电流”，表示为 qv
3
2．安培定律
关于电流之间的作用力，法国科学家安 培在 1820 年做了一系列实验， 得到了著名的 安培定律。因实验中无法测量两个孤立电流 元之间的作用力，只能测量两个载流线圈之 间作用力。
4
如图，在真空中，通以电流 I 1 的线圈 l1 对通 以电流 I 2 的线圈 l2 的作用力可表示为
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设想在恒定磁场中某一点 x , y , z 上，放置一个 试验电流元 I t dl t ，如果试验电流元受力为
dFt I t dl t B
则将 B 这一矢量定义为磁感应强度， 它是恒定磁场中 的一个基本场矢量。 从定义式可以看出，试验电流元受力的方向与电 流元方向和磁感应强度方向都垂直，且 I t dl t 、 B 与
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注意： θ1为A到电流后端， θ2为A到电流前端 29
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4.2
矢量磁位与磁通连续性定理
1．矢量磁位
由体电流（典型情况）产生磁场的磁感应强度
0 0 J eR 1 B d V J d V 2 4 R 4 R V V 0 1 J dV 4 V R 根据矢量恒等式 a a a ，
积分，得整段电流在 P 点产生的磁感应强度
B
2
1
0 I sin e 0 I d cos 2 cos 1 e 4 r 4 r
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若线段为无穷长直线，则 1 0, 2 。 代入上式得
0 I 0I B e 1 1e = 4 r 2 r
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0 是真空中的磁导率，其数值为 4 10 7 （H/m）。
从以上两式分析可得， 电流元 I 2 dl 2 受到线圈 l1 中电流 I 1 的作用力为
0 I 1dl1 e12 dF21 I 2 dl 2 2 4 R 12 l1
电流元 I 1dl1 受到线圈 l2 中电流 I 2 的作用力为
x, y, z 的距离， e R 是从源点指向场点的单位矢量。
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把坐标原点到场点的距离矢量记为 r ， 坐标原点到源点的距离矢量记为 r ， 则从源点到场点的距离矢量可表示为
r r 。 R r r ， R r r ， eR r r 进一步，可以得到电流元 Idl 产生磁场的磁感应
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20
例 4-1-1 如图， 真空中长度为 2l 的直线段， 通以电流 I 。 求线段外任一点 P 的磁感应强度。 解 根据电流分布的对称性， 采用圆柱坐标系。 坐标原 点设在线段中心， z 轴与线段重合。场点 P 的坐标为 r , , z 。取电流元 Idz ，源点坐标为 0, , z 。 这样，电流元在 P 点产生的磁感应强度为
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例 4-1-2 求真空中半径为 a ， 电流为 I 的圆形线圈在轴线上各点的磁感 应强度。 解 根据电流的对称性，采用圆柱坐标系。坐标原点设在圆形线圈的 圆心， z 轴与线圈轴线重合。场点 P 的坐标为 0, , z 。 取一个电流元 Iad ，源点坐标为 a , ,0 。
1
4.1 安培定律与磁感应强度 1．电流元
电荷运动形成电流。 电荷元 dq 以速度 v 运动形成电流元 dqv 。 体电荷情况下电荷元表示为 dV , 电流元表示为 vdV 。 面电荷情况下电荷元表示为 dS , 电流元表示为 vdS 。
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线电荷情况下电荷元表示为 dl ， 电流元表示为 vdl 。 体电流、面电流和线电流的电流元 用电流密度分别表示为 JdV 、 KdS 和 Idl 。
式中： V 为体电流的源区。
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5．洛仑兹力
根据磁感应强度的定义式，磁场对放置在 其中的电流元有作用力。单个运动的点电荷 相当于“点”电流 qv ，磁场对运动电荷的作 用力为
F qv B
这种作用力称为洛仑兹力。 从上式可以看出， 洛仑兹力与电荷运动方向垂直。 因此，这种力不会做功， 只能改变速度的方向，不能改变速度的大小。
由一个电流元产生的磁感应强度为
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源点坐标 a , ,0 中只有 是变量。
计算 P 点磁感应强度时，场点坐标 0, , z 不变，
整个圆形线电流产生的磁感应强度 e r 方向的分量 相互抵消，只有 e z 方向的分量。
0 Iad sin e z B 0 4R 2 0 Ia sin e z 2 0 Ia sin d ez 2 2 0 4R 2R
I 2 dl2 I1dl1 e12 0 F21 2 4 R 12 l1 l2 0 I1dl1 e12 I 2 dl2 ( ) 2 4 l1 R12 l2
式中： R12 表示电流元 I 1dl1 到 I 2 dl 2 的距离，
e12 是由 I 1dl1 指向 I 2 dl 2 的单位矢量；
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1 将 a J , = 代入，得 R
1 J 1 J J ， R R R
有
1 J 1 J J ， 所以 R R R
0 J 1 B J dV R R 4 V
I1dl1 e12 0 dF21 I 2 dl 2 2 4 R12 电流元 I 1dl1 受到电流元 I 2 dl 2 的作用力为
I 2 dl2 e21 0 dF12 I1dl1 2 4 R21