山东省潍坊市昌乐县2021届高三数学10月统考检测试题

2021年高三上学期10月综合测试数学试题含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟第I卷选择题（共50分）一．选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的,请将正确答案填到答题卡的相应位置）1.设集合},yy=x-A x则<xxB22,]2,0[{},={∈1=(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)2.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是A. B. C. D.3. “，”是“函数的图象过原点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.函数的定义域为(A) (B) (C) (D)5.已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是,.（A）（B）（C）（D）6.定义在R上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f （x）＜07.若对任意的恒成立，则的最大值是（A）4（B）6（C）8（D）108.已知函数的图象过点，则的图象的一个对称中心是(A) (B) (C) (D)9.已知函数，则函数的大致图象为10.直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.二．填空题（每小题5分，共25分。

请把答案填在答题卡上）11.当时，函数的图像恒过点A，若点A在直线上，则的最小值为________12.已知对于任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|＞5恒成立，则实数a的取值范围是________13.若，则= ___________．14.已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是．15.已知函数在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.三．解答题（满分75分。

南京市雨花台中学、山东省潍坊市部分学校2021届高三年级第一次联合考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{}13x x ≤≤，B ＝{}24x x <<，则(UA)B ＝A ．{}34x x <<B ．{}34x x ≤<C ．{}14x x x <≥或D ．{}14x x ≤< 2．“x ＜1”是“x 2＋2x ﹣3＜0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，毎个医疗小组只去一个国家、且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有A ．64种B ．48种C ．24种D ．12种 4．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则所拨数字小于600的概率为 A ．38 B ．524 C ．34 D ．7245．已知函数31(0)()log 2(0)x a x f x x x -⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))6f f -=，那么实数a 的值是A ．4B ．2C ．2D ．226．61(2)x x-的展开式中常数项为A ．﹣160B ．160C ．80D ．﹣80 7．已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可以是A ．21()1f x x =-B ．ln ()x f x x =C ．e ()x f x x =D ．1()f x x x=-8．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD 1C 1上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDD 1C 1与桌面所成角的正切值为A B ．12C D ．2第7题 第8题二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是A ．2013年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加B ．2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加C ．2013年与2018年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D ．2012年到2018年，中国雪场滑雪人次增长率约为146.2% 10．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是A ．2个球都是红球的概率为16 B ．2个球中恰有1个红球的概率为12 C ．至少有1个红球的概率为23 D ．2个球不都是红球的概率为1311．已知正实数x ，y 满足21211log log ()()22xyx y +<-，则下列结论正确的是A ．11x y < B ．33x y < C ．ln(1)0y x -+> D ．122x y -< 12．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足()(4)f x f x =+，当x ∈[0，2]时，()f x ＝, 012, 12x x x x ≤≤⎧⎨-<≤⎩，()(1)g x f x =+，则下列四个判断正确的是A ．函数()()y g x f x =+的最小值为﹣1B ．函数()()y g x f x =+的图像关于x ＝2对称C ．对于任意的正整数n ，14()ni if n=∑＝0 D ．对于任意的正整数n ，存在k ∈R(k ≠1)，使得144()()ni i ig kf n n=∑＝0成立 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．设随机变量ξ服从正态分布N(1，2σ)，若P(2ξ<)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝ ．14．函数12y x x =++-的值域为 ．15．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为2log 10Qv a =+（其中a 是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，其耗氧量至少需要 个单位．16．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为BC ，CC 1的中点．则平面AEF 截正方体所得的截面面积为 ；以点EACC 1A 1的交线长为 （第一空2分，第二空3分）．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数()1x af x x +=-（a 为常数），其中()0f x <的解集为(﹣3，1)． （1）求实数a 的值；（2）设()()g x x f x =+，当x (x ＞1)为何值时，()g x 取得最小值，并求出其最小值． 18．（本小题满分12分）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的边长均为E ，F 分别是线段AC 1和BB 1的中点． （1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求三棱锥C —ABE 的体积．19．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln f x a x x =-+(a ∈R)． （1）当a ＝﹣1时，求()f x 的极值；（2）设()(1)F x f x =+，若()0F x <对x ∈[1，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，∠ADC ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ＝1，E 为线段AD 的中点，过BE 的平面与线段PD ，PC 分别交于点G ，F ．（1）求证：GF ⊥PA ；（2）若PA ＝PD ，是否存在点G ，使得直线PB 与平面BEGF 所成角的正弦值，若存在，请确定G 点的位置；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐．在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，我国的“新冠肺炎”疫情在今年二月份已得到控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下图所示的折线图：（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，分别从均值与方差的角度比较甲乙两地新增确诊人数的统计结论（不用计算数据，给出判断即可）；（2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A 项目或乙地区的B 项目投入研发资金．经过评估，对于A 项目，每投资十万元，一年后利润是1.38万元，1.17万元，1.16万元的概率分别为16，13，12；对于B 项目，产品价格在一年内需进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是p (0＜p ＜1)，且产品价格的下调次数为0，1，2时，每投资十万元，一年后相应利润是1.4万元，1.25万元，0.6万元．对A 项目投资十万元，一年后利润的随机变量记为1ξ，对B 项目投资十万元，一年后利润的随机变量记为2ξ．（i ）求1ξ，2ξ的分布列和数学期望E(1ξ)，E(2ξ)；（ii ）如果你是该企业投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由． 22．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x x a =+(a ＞0)，x ∈(0，1)． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()e ln xf x a x >对∀x ∈(0，1)恒成立，求实数a 的取值范围．。

2021届山东省潍坊市五县市高三10月联考数学试题2020．10一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知函数y M ，集合N ＝{}02x x ≤≤，则MN ＝A ．[﹣1，3]B ．[0，2]C ．[0，1]D ．[﹣1，4]2．平流层是指地球表面以上10km 到50km 的区域，下述不等式中，x 能表示平流层高度的是 A ．1050x +< B ．1050x -< C ．3020x +< D ．3020x -< 3．命题“∀x ∈[2，+∞)，x 2≥4”的否定为A ．∀x ∈[2，+∞)，x 2＜4B ．∀x ∈(-∞，2)，x 2≥4C ．0x ∃∈[2，+∞)，204x < D ．0x ∃∈[2，+∞)，204x ≥4．某学校为了解学校教师组成的跑步社团每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间跑步社团的成员每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图：根据折线图，下列结论正确的是A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B ．月跑步平均里程数逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 5．已知二次函数()()()1f x x m x n =--+，且1x ，2x 是方程()0f x =的两个根，则1x ，2x ，m ，n 的大小关系可能是A ．1x ＜2x ＜m ＜nB ．1x ＜m ＜2x ＜nC ．m ＜n ＜1x ＜2xD ．m ＜1x ＜2x ＜n 6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则该处的平地降雨量（盆中积水体积与盆口面积之比）为（台体体积公式：V 台体＝12()3S S h ，1S ，2S 分别为上、下底面面积，h 为台体的高）A ．3B ．4C ．23749 D ．474497．已知符号函数1, 0sgn 0, 01, 0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()2f x x =，若()(3)()x f x f x ϕ=-，则A ．()2sgn f x x x =B ．()2sgn f x x x =-C ．sgn(())sgn(())f x x ϕ=D ．sgn(())sgn(())f x x ϕ=-8．若定义域为R 的函数()()2f x f x '<-的导函数为()f x '，并且满足()()2f x f x '<-，则下列正确的是A ．(2021)e (2020)2(e 1)f f -<-B ．(2021)e (2020)2(e 1)f f ->-C ．(2021)e (2020)2(e 1)f f ->+D ．(2021)e (2020)2(e 1)f f -<+ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．若集合M ＝{﹣1，1，3，5}，集合N ＝{﹣3，1，5}，则正确的是 A ．∀x ∈N ，x ∈M B ．∃x ∈N ，x ∈MC ．M N ＝{1，5}D ．M N ＝{﹣3，﹣1，3} 10．下列不等式成立的是A ．若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2B ．若ab ＝4，则a ＋b ≥4C ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则b b m a a m+<+ 11．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝4，BC ＝2，M ，N 分别为棱C 1D 1，CC 1的中点，则下列说法正确的是 A ．MN ∥平面A 1BD B ．平面MNB截长方体所得截面的面积为 C ．直线BN 与B 1M 所成角为60° D ．三棱锥N —A 1DM 的体积为412．已知函数()1e x xf x =+，2(), 0()2, 0f x x g x x x a x ≤⎧=⎨-+>⎩，且(1)0g =，则关于x 的方程(())10g g x t --=实根个数的判断正确的是A ．当t ＜﹣2时，方程(())10g g x t --=没有相异实根B ．当1e-+＜t ＜0或t ＝﹣2时，方程(())10g g x t --=有1个相异实根 C ．当1＜t ＜11e+时，方程(())10g g x t --=有2个相异实根 D ．当﹣1＜t ＜11e -+或0＜t ≤1或t ＝11e+时，方程(())10g g x t --=有4个相异实根三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．为了解某社区居民的2019年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程0.760.4y x =+，则t ＝ ． 14．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是 （用数字作答）． 15．若函数()f x 的导函数()f x '存在导数，记()f x '的导数为()f x ''．如果对∀x ∈(a ，b )，都有()0f x ''<，则()f x 有如下性质：1212()()()()nn x x x f x f x f x f nn++++++≥，其中n N *∈，1x ，2x ，…，n x ∈(a ，b )．若()sin f x x =，则()f x ''＝ ；在锐角△ABC 中，根据上述性质推断：sinA ＋sinB ＋sinC 的最大值为 ．16．已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以则该球面被正方体表面所截得的所有弧长的和为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知集合A ＝{}123x m x m -≤≤+， ． （1）当m ＝2时，求AB ，(RA)B ；（2）若A B ＝A ，求实数m 的取值范围．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．①函数2()lg(28)f x x x =-++的定义域为集合B ；②不等式811x <-的解集为B ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，当x ＞0时，21()log f x x=． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式：2(2)log 30xf -+>．19．（本小题满分12分）某公园管理人员为提升服务效能，随机调查了近三个月（每个月按30天计）中每天的若某天的空气质量等级为1或2，则称为这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称为这天“空气质量差”．（1）估计该公园一天的“空气质量好”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA ＝FC ，AB ＝2，且∠DAB ＝∠DBF ＝60°．（1）求证：AC⊥BF；（2）求二面角E—AF—B的余弦值．21．（本小题满分12分）2020年8月，体育总局和教育部联合提出了《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》．某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图（如右图所示），且规定计分规则如下表：（1）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ，2σ)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差s2≈169（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步．假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：（i）预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）（ii）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，2σ)，则P(μ﹣σ＜X＜μ＋σ)≈0.6826，P(μ﹣2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.9544，P(μ﹣3σ＜X＜μ＋3σ)≈0.9974．22．（本小题满分12分）已知函数1()f x kx x=+(0k ≠)，()ln g x x λ=(R λ∈)，且函数()f x 的图像在点(1，(1)f )处的切线方程为220x y +-=．（1）求实数k 的值；（2）当2λ≥-时，令函数()()()h x g x f x =+，求()h x 的单调区间；（3）在（2）的条件下，设函数()h x 有两个极值点为1x ，2x ，其中1x ＜2x ，试比较1()h x 与2()h x 的大小．2021届山东省潍坊市五县市高三10月联考数学试题参考答案 2020.10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

2021年高三上学期10月质检数学试卷（理科）含解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．是成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）=的零点有（）A．0 B．1 C．2 D．3，则a，b，c的大小关系是（）4．设a=20.1，b=lg，c=log3A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜210．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．）11．2lg+log25•lg2=．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．19．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0．20．已知函数f（x）=ax2﹣2x+1．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）若，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）﹣N（a），求g（a）的表达式．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．xx学年山东省枣庄市滕州二中高三（上）10月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，且A∩B≠∅，∴a＜2．故选：A．2．是成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分充分性和必要性两方面加以论证：根据不等式的性质，可证明出充分性成立；再通过举出反例说明必要性是不成立的．因此得出正确选项．【解答】解：①充分性，当x1＞3且x2＞3时，根据不等式的性质可得：x1x2＞9且x1+x2＞6∴充分性成立②必要性，当x1x2＞9且x1+x2＞6成立，x1＞3且x2＞3不一定成立‘比如：x1=2，x2=8满足“x1x2＞9且x1+x2＞6”，但“x1＞3且x2＞3”不成立∴必要性不成立所以是成立的充分不必要条件故选A3．函数f（x）=的零点有（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点．【分析】先求定义域，然后令y=0，解出x的值，判断即可．【解答】解：函数的定义域是{x|2＜x＜3或x＞3}，令y=0，得x=3．显然无解．故选A．4．设a=20.1，b=lg，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用幂函数，指数函数，以及对数函数的性质判断即可．【解答】解：∵20.1＞20=1=lg10＞lg＞0＞log3，∴a＞b＞c，故选：D．5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复合命题的真假．【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．【解答】解：∵sinx﹣cosx=∈∴sinx﹣cosx=∉∴命题p是假命题又∵集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}={1}，那么{1}的子集有两个：{1}、φ，∴命题q是真命题由复合命题判定真假可知．（1）命题“p∧q”是真命题，错误（2）命题“p∧（￢q）”是假命题，正确（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题，正确故选C6．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．8．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．【解答】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选C．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜2【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，所以有f（2）=f（﹣1）=﹣f （1），再由f（1）＜1，解不等式即可．【解答】解：由题意得f（﹣2）=f（1﹣3）=f（1）＜1，∴﹣f（2）＜1，即．∴，即3a（a+1）＞0．∴a＜﹣1或a＞0．故选C．10．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）【考点】分段函数的应用．【分析】图象法：画出函数y=f（x）的图象，根据图象分析a，b，c，d的关系及取值范围，从而求出abcd的取值范围．【解答】解：先画出f（x）=的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），3＜c＜4，d＞6．∴﹣log3a=log3b，c+d=10，即ab=1，c+d=10，故abcd=c（10﹣c）=﹣c2+10c，由图象可知：3＜c＜4，由二次函数的知识可知：﹣32+10×3＜﹣c2+10c＜﹣42+10×4，即21＜﹣c2+12c＜24，∴abcd的范围为（21，24）．故选：B．二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．）11．2lg+log25•lg2=1．【考点】对数的运算性质．【分析】把第一项的真数化根式为分数指数幂，把第二项利用换底公式进行运算．【解答】解：=．故答案为1．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=﹣9．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】通过观察，可以得到f（a）+f（﹣a）=2，进而即可得出．【解答】解：∵f（a）+f（﹣a）=a2ln（﹣a+）+1+（﹣a）2ln（a+）+1=2，f（a）=11，∴f（﹣a）=2﹣11=﹣9．故答案为：﹣9．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是﹣4＜a ≤4．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】依题意，函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，须考虑两个方面：一是结合二次函数x2﹣ax+3a的单调性可；二是对数的真数要是正数．【解答】解：依题意函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，所以应有，解得﹣4＜a≤4，此即为实数a的取值范围．故答案为﹣4＜a≤4，14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f=﹣，f（x+8）=f （x），从而可得f=﹣，而f（3）==，从而解得．【解答】解：∵f（x+2）=，∴f（x+4）===﹣，∴f（x+8）=﹣=f（x），∴f（x）是周期为8的函数；而xx=251×8+7，∴f=﹣，∵f（3）==，∴f=．故答案为：．15．下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是②、③．（把所有正确命题序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的否定的形式判断出①错；利用含量词的命题的否定形式判断出②对；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出③对；利用对数函数的单调性判断出④错．【解答】解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（1）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可；（2）根据B与C的并集为B，得到C为B的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）由A中log2x＜8=log223，得到0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：﹣2＜x＜4，即B=（﹣2，4），则A∩B=（0，3）；（2）由B∪C=B，得到C⊆B，∵B=（﹣2，4），C=（a，a+1），∴，解得：﹣2≤a≤3，则实数a的取值范围为[﹣2，3]．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的k的范围，根据p，q一真一假，得到关于k的不等式组，解出即可．【解答】解：∵y=kx+1在R递增，∴k＞0，由∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，得方程x2+（2k﹣3）x+1=0有根，∴△=（2k﹣3）2﹣4≥0，解得：k≤或k≥，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴＜k＜；②若p假q真，则，∴k≤0；综上k的范围是（﹣∞，0]∪（，）．18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=e x﹣x2+x，再由f （0）=1求得b值；（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．令h（x）=e x﹣2x，利用导数求其最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f′（x）=e x﹣2x﹣a，则f′（0）=1﹣a．由题意知1﹣a=2，即a=﹣1．∴f（x）=e x﹣x2+x，则f（0）=1．于是1=2×0+b，b=1．（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．设h（x）=e x﹣2x，则h′（x）=e x﹣2．∴当x∈（﹣∞，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值为2﹣2ln2．19．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）根据函数的奇偶性和条件，建立方程即可求函数f（x）的解析式；（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）根据函数的奇偶性将不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0进行转化，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：（1）∵f（x）是（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，∴b=0．又，∴，∴a=1，∴（2）证明：任设x1、x2∈（﹣1，1），且x1＜x2则，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴﹣1＜x1x2＜1，∴x1﹣x2＜0，且1﹣x1x2＞0，又，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（t﹣1）＜f（﹣t），∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）∵f（x）是奇函数，∴不等式可化为f（t﹣1）＜﹣f（2t）=f（﹣2t）即f（t﹣1）＜f（﹣2t），又f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴有解之得，∴不等式的解集为．20．已知函数f（x）=ax2﹣2x+1．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）若，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）﹣N（a），求g（a）的表达式．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）对参数a进行讨论，分一次函数、二次函数，确定函数的单调性；（2）配方，确定函数对称轴与区间的关系，即可得到M（a）的表达式，然后确定N（a）=f（），即可求得g（a）的表达式．【解答】解：（1）当a=0时，函数f（x）=﹣2x+1在（﹣∞，+∞）上为减函数当a＞0时，抛物线f（x）=ax2﹣2x+1开口向上，对称轴为x=∴函数f（x）在（﹣∞，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数当a＜0时，抛物线f（x）=ax2﹣2x+1开口向下，对称轴为x=∴函数f（x）在（﹣∞，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数（2）∵f（x）=a（x﹣）2+1﹣，又≤a≤1，得1≤≤3当1≤＜2，即＜a≤1时，M（a）=f（3）=9a﹣5，当2≤≤3，即≤a≤时，M（a）=f（1）=a﹣1，∴即≤a≤M（a）=∵≤a≤1∴1∴N（a）=f（）=1﹣当1≤＜2，即＜a≤1时，g（a）=M（a）﹣N（a）=9a﹣6+当2≤≤3，即≤a≤时，g（a）=M（a）﹣N（a）=a﹣2+21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．∴f（x）的单调增区间为（0，）；综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2得（x＞0），当a≥0时，恒有F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，令F′（x）=0，得，x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．∴．F（x）无极小值．综上所述：a≥0时，F（x）无极值，a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ）证明：，又，∴g′（x0）=，要证k＞g′（x0），即证，不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，设，即证：，也就是要证：，其中t∈（1，+∞），事实上：设t∈（1，+∞），则=，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．xx年1月2日Q30808 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山东新高考质量测评联盟2021届高三10月联考数学试题2020．10一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}1y y x =-，集合B ＝{}2log (1)0x x ->，则AB ＝A ．∅B ．(0，+∞)C ．(1，2)D ．(2，+∞) 2．已知命题p ：∀x ∈[0，2]，2320x x -+>，则⌝p 是 A ．∃x ∈[0，2]，2320x x -+< B ．∃x ∈[0，2]，2320x x -+≤ C ．∃x ∈(-∞，0)(2，+∞)，2320x x -+≤D ．∀x ∈[0，2]，2320x x -+≤ 3．已知复数34i z =+，则23z z -＝A ．5B ．5C ．20D ．254．高一（1）班某组有5人，组长安排值日生，其中1人负责擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有A ．20种B ．30种C ．90种D ．120种 5．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，则ω＝2是()f x 的最小正周期是π的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是 A ．2()ln f x x x =- B ．()ln f x x x =- C ．2()2ln f x x x =- D ．()2ln f x x x =-7．已知1＜m ＜43，则23143m m+--的最小值是 第6题A ．329+B ．36+C ．629+D ．128．已知函数221()log (1)f x x x=+-，则不等式(21)0f x ->的解集是 A ．(0，1) B ．(1，+∞) C ．(-∞，0) D ．(-∞，0)(1，+∞) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞1＞c ＞0，则下列结论正确的是A ．a bc c > B ．log log a b c c > C ．1313log a a < D ．2233a b <10．已知复数13i 2z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅= B ．2z z = C ．31z =- D ．202013i 22z =-+11．在如图所示的三棱锥V —ABC 中，已知AB ＝BC ，∠V AB＝∠V AC ＝∠ABC ＝90°，P 为线段VC 的中点，则 A ．PB 与AC 垂直 B ．PB 与V A 平行C ．点P 到点A ，B ，C ，V 的距离相等D ．PB 与平面ABC 所成的角大于∠VBA 第11题 12．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且(1)f x -是奇函数，则下列说法正确的是A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．(1)0f =D ．(1)f x +是奇函数三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．262(1)()x x x+-展开式中的常数项为 ．14．已知x ＞0，若关于x 的不等式2221x x a x ++<+恒成立，则a 的取值范围是 ． 15．函数2()log (412)3a f x x x =+-+(a ＞0且a ≠1)，若(ln(lg e))f ＝2，则(ln(ln10))f＝ ．16．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，ACBAC ＝30°，AA 1接球体积是 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）如图，在四棱锥M —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝BC ＝1，MD ＝1，MD ⊥平面ABCD ，H 是MB 中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：①二面角A —MD —C 的大小是23π；②∠BAD ＝2π． 若 ，求CH 与平面MCD 所成角的正弦值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）新能源汽车对环保、节能减排、绿色生活以及可持续发展起到积极作用．下表给出了我国2015—2019年新能源汽车保有量y （单位：万辆）的数据：（（2）求y 关于X 的线性回归方程（精确到0.01），并预测我国2025年新能源汽车保有量（结果保留整数）．附：参考公式：1122211()()()n niiiii i nniii i x x y y x ynx y b x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．19．（本小题满分12分）已知函数()e xf x a x =-． （1）求()f x 的极值；（2）求()f x 在[0，1]上的最大值．20．（本小题满分12分）如图，三棱锥S —ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P —BC —A 的大小为60°，求PASA的值．21．（本小题满分12分）为了研究全年国内旅游人均消费情况与性别的关系，某互联网旅游公司从其网络平台数据库中抽取1000条用户信息进行调查，得到如下数据：把全年旅游消费满16000元的游客称为“酷爱旅游者”．（1）请完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“酷爱旅游者”与性别有关；（旅游者”中随机抽取4名用户，担任网站的“形象大使”，每位“形象大使”可获得30000元奖金．另外，为了进一步刺激旅游消费，提升网站的知名度，公司将在其平台数据库的所有用户中抽取100名幸运用户给予现金奖励，规则如下：幸运用户在网页上点击“抽奖”按钮，屏幕上会随机显示两个数字，每个数字出现0~9的可能性是相等的．两个数字中，若同时有数字1和5，则获得一等奖，奖励1000元；若只有数字1和5中的一个，则获得二等奖，奖励500元；若数字1和5都没有，则获得三等奖，奖励200元．每位“酷爱旅游者”可进行两次抽奖；每位“非酷爱旅游者”可进行一次抽奖．①视频率为概率，求抽取的4名“形象大使”中，既有男“酷爱旅游者”，又有女“酷爱旅游者”的概率；②如果所有的“形象大使”和幸运用户都不放弃奖励，记移动支付平台支出的奖金总额为X ，求X 的数学期望．附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．22．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x ax bx c x =+-，其中a ，b ，c ∈R ． （1）当a ≥0，c ＝1时，讨论函数()f x 的单调性；（2）已知a ＞0，b ＝﹣2，c ＝2，且函数()f x 有两个零点1x ，2x （1x ＜2x ），求证：对任意的正实数M ，都存在满足条件的实数a ，使得2x ﹣1x ＞M 成立．。

卜人入州八九几市潮王学校一中办学一共同体2021届高三数学10月月考试卷理〔含解析〕一、选择题〔每一小题5分，12小题，一共60分〕，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，应选A.满足，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】，应选C.，那么正确的选项是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用不等式对四个选项逐一分析【详解】对于，，，，那么，故错误对于，假设，那么，即，这与矛盾，故错误对于，，，，那么，故错误对于，，，故正确应选【点睛】此题考察了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于根底题。

的零点所在的一个区间是〔〕．A.〔－2，－1〕B.〔－1,0〕C.〔0,1〕D.〔1,2〕【答案】B【解析】试题分析：为增函数，且，所以零点所在区间是．考点：零点与二分法．的图象向左平移个单位后，得到的图象，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】将函数的图象向左平移个单位后，得到应选B[0，2]上随机取一个数x，使的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求解出的结果，运用几何概型求出概率【详解】在区间上随机取一个数，使那么解得所求概率应选【点睛】此题主要考察了几何概型，先根据题意求出不等式的解集，然后运用几何概型求出概率，较为根底。

的前项和为，假设，那么〔〕A.36B.72C.144D.288【答案】B【解析】因为是等差数列，又，，应选B.8.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体外接球的外表积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】复原几何体，然后计算出几何体外接球外表积【详解】如图，先复原几何体得到三棱锥，其边长如图，可以将其补成一个长方体，其体对角线为外接球的直径，即，，故其外接球外表积为，应选【点睛】此题考察了复原三视图，然后求几何体外接球的外表积，先复原几何体，在计算外接球的直径时可以将几何体补成一个长方体，然后计算，需要掌握解题方法。

山东省2021版数学高三上学期理数10月月考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·武汉期中) 已知集合，，则（）A .B .C . 或D .2. （2分）复数（）A . 1B . -1C . iD . -i3. （2分） (2019高二上·黑龙江期末) 设，则“ ”是的（）A . 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2019高一上·湖南月考) 在中，，，，若使绕直线旋转一周，所形成的几何体的体积是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·平遥月考) 下列说法中，正确的有（）①函数y＝的定义域为{x|x≥1}；②函数y＝x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数；③函数f(x)＝x3＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝－2；④已知f(x)是R上的增函数，若a＋b>0，则有f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分）关于的方程有一个根为1，则此三角形为（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 钝角三角形7. （2分） (2019高三上·牡丹江月考) 已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·分宜月考) 已知的前项和为 ,且成等差数列,,数列的前n项和为 ,则满足的最小正整数n的值为（）A . 8B . 9C . 10D . 119. （2分） (2019高三上·泸县月考) 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是最小正周期为2的偶函数，且当时，，若函数有3个零点，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）已知直线经过圆的圆心，则的最小值是（）A . 9B . 8C . 4D . 211. （2分） (2019高一下·宁波期末) 在直角梯形中，，，，，，则梯形绕着旋转而成的几何体的体积为（）A .B .C .D .12. （2分）函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·宜昌月考) 计算： ________.14. （1分） (2019高三上·上海月考) 若是上单调函数，且对任意都有，则 ________15. （1分）(2018·南充模拟) 在数列中，若( ，，为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；② 是等方差数列；③若是等方差数列，则( ，为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为________(写出所有正确命题的序号).16. （1分） (2019高一上·荆门期中) 已知，则________三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2019高一下·杭州期中) 已知的面积为S，且，（1）当时，求的值；（2）当，边的长为2时，求的周长的最大值．18. （10分） (2015高一下·西宁期中) 设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1﹣c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Sn ．19. （10分）(2018·西安模拟) 已知函数， .（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.20. （10分）(2020·新课标Ⅱ·文) 如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN= ，求四棱锥B–EB1C1F的体积．21. （10分） (2019高二下·南宁期末) 已知函数为实数）．（1）讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立，求的范围；22. （10分） (2018高三上·会宁月考) 已知直线l的参数方程是（是参数），圆C的极坐标方程为．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．23. （10分） (2020高一上·池州期中) 已知关于x的不等式，其中．（1）当k变化时，试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，若满足（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少时k的所有取值；若不能，请说明理由参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

2021年高三10月质检数学理试题含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁M=（）UA． {2，4，6} B．{1，3，5} C．{1，2，3，4，5，6} D．∅考点：补集及其运算．分析：找出全集U中不属于M的元素，即可求出A的补集．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，∴∁M={2，4，6}．故选AU点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．设条件p：a≥0；条件q：a2+a≥0，那么p是q的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．非充分非必要条件考点：充要条件．分析：由a2+a≥0，得a≥0，a≤﹣1，根据充分必要条件的定义可判断答案．解答：解：∵a2+a≥0，∴a≥0，a≤﹣1，可判断：若p：a≥0；则条件q：a2+a≥0成立．根据充分必要条件的定义可判断：p是q的充分不必要条件，故选：A点评：本题考查了解不等式，以及充分必要条件的定义可判断，属于容易题．3．=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：原式===﹣1﹣2i，故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．4．设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）考点：复合命题的真假．分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．点评：本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．5．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D． 89考点：程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．分析：写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．解答：解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B点评：本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A．12πB．4πC．3πD． 12π考点：由三视图求面积、体积．分析：三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．∴S球=4πr2=4π×=3π．答案：C点评：本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．7．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232 B．252 C．472 D． 484考点：排列、组合及简单计数问题．分析：不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．解答：解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C．点评：本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．8．设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D． 0考点：数量积表示两个向量的夹角．分析：两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论．解答：解：由题意，设与的夹角为α，分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2，不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα，不满足；③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=∴与的夹角为．故选：B．点评：本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.9．已知=（1，2），=（4，k），若⊥，则k=﹣2．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由垂直关系可得数量积为0，解方程可得k值．解答：解：∵=（1，2），=（4，k），∴由⊥可得=4+2k=0，解得k=﹣2故答案为：﹣2点评：本题考查平面向量的垂直关系与数量积，属基础题．10．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是纯虚数，则实数a的值为1．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是纯虚数，∴a2﹣3a+2=0，a﹣2≠0，解得a=1．故答案为：1．点评：本题考查了纯虚数的定义，属于基础题．11．（5分）（x﹣2）6的展开式中x2的系数为240．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．解答：解：（x﹣2）6的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣2）r•x6﹣r，令6﹣r=2，求得r=4，可得（x﹣2）6的展开式中x2的系数为•（﹣2）4=240，故答案为：240．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12．（5分）不等式|x﹣2|+|x+1|≤5为[﹣2，3]．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件根据绝对值的意义求得|x﹣2|+|x+1|≤5的解集．解答：解：|x﹣2|+|x+1|表示数轴上的x对应点到2、﹣1对应点的距离之和，而﹣2和3对应点到2、﹣1对应点的距离之和正好等于5，故|x﹣2|+|x+1|≤5的解集为[﹣2，3]，故答案为：[﹣2，3]．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．13．（5分）若a＞0，b＞0，且+=，则a3+b3的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．解答：解：∵a＞0，b＞0，且且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．故答案为：点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．（几何证明选讲）14．（5分）如图，点P为圆O的弦AB上的一点，连接PO，过点P作PC⊥OP，且PC交圆O于C．若AP=4，PC=2，则PB=1．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；几何证明．分析：根据题设中的已知条件，利用相交弦定理，直接求解．解答：解：延长CP，交圆于D，则∵AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C，∴PC=PD，∴利用相交弦定理可得AP×PB=PC×PD=PC2，∵AP=4，PC=2，∴PB=1．故答案为：1点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意相交弦定理的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（12分）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：时间x 1 2 3 4 5命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4求：（1）小李这5天的平均投篮命中率．（2）用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用提供的命中率，可求李这5天的平均投篮命中率；（2）先求出线性回归方程，再令x=6，即可预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．解答：解：（1）小李这5天的平均投篮命中率…（3分）（2）…（5分），∴，…（9分）∴…（10分）∴线性回归方程，…（11分）则当x=6时，y=0.53∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53…（12分）点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PA=，PC=2，PB=，E是PC的中点，F是PB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：EF⊥平面PAC；（3）求PC与平面ABC所成角的大小．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由中位线定理，再由线面平行的判定定理，即可得证；（2）先运用直径所对的角为直角，及勾股定理的逆定理，再由线面垂直的判定定理，证得BC⊥平面PAC，由于EF∥BC，即可得证；（3）运用线面垂直的判定定理，证得PA⊥平面ABC，即∠PCA为PC与平面ABC所成角，通过解直角三角形，即可得到．解答：证明：（1）在△PBC中，E是PC的中点，F是PB的中点，所以EF∥BC．又BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC．（2）因为AB是⊙O的直径，所以BC⊥AC．在Rt△ABC中，AB=2，AC=BC，所以．因为在△PCB中，，，，所以PB2=PC2+BC2，所以BC⊥PC．又PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC．由（1）知EF∥BC，所以EF⊥平面PAC．（3）解：由（2）知BC⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，所以PA⊥BC．因为在△PAC中，，，，所以PC2=PA2+AC2，所以PA⊥AC．又AC∩BC=C，所以PA⊥平面ABC．所以∠PCA为PC与平面ABC所成角．在Rt△PAC中，，所以∠PCA=，即PC与平面ABC所成角的大小为．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面平行的判定和线面垂直的判定和性质及运用，考查空间直线和平面所成的角的求法，属于中档题．17．（14分）某商店根据以往某种玩具的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）估计日销售量的众数；（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（3）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E （X）及方差D（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）直接利用频率分布直方图，估计日销售量的众数即可；（2）求出“日销售量不低于100个”，“日销售量低于50个”的概率，然后求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（3）推出X的可能值，分别求出X的概率，即可求随机变量X的分布列，利用公式求解期望E（X）及方差D（X）．解答：（本小题满分14分）解：（1）依据日销售量的频率分布直方图可得众数为．（3分）（2）记事件A1：“日销售量不低于100个”，事件A2：“日销售量低于50个”，事件B：“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．则P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，（4分）P（A2）=0.003×50=0.15，（5分）P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108．（7分）（3）X的可能取值为0，1，2，3．，（8分），（9分），（10分），（11分）分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为X～B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=1.8，（12分）方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．（14分）点评：本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的期望与方差，考查分析问题解决问题的能力．18．（14分）广东省某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调机彩电冰箱工时产值/千元 4 3 2问每周应生产空调机、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，且总产值A=4x+3y+2z．建立三元一次方程组，由于每周冰箱至少生产20台即z≥20，结合生产空调器、彩电、冰箱共120台算出出10≤x≤40，利用一次函数的单调性即可求得产值A的最大值，进而可得相应的x、y、z的值．解答：解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，根据题意可得，总产值为A=4x+3y+2z．x、y、z满足（x、y、z∈N*）∵z=120﹣x﹣y=160﹣2x﹣y∴消去z，可得y=120﹣3x，进而得到z=2x因此，总产值为A=4x+3y+2z=4x+3（120﹣3x）+4x=360﹣x∵z=2x≥20，且y=120﹣3x≥0∴x的取值范围为x∈[10，40]根据一次函数的单调性，可得A=360﹣x∈[320，350]由此可得当x=10，y=90，z=20时，产值A达到最大值为350千元．答：生产空调机10台、彩电90台、冰箱20台时，可使产值达最大值，最大产值为350千元．点评：本题给出实际应用问题，求工厂生产总值的最大化的问题，着重考查了三元一次方程组的处理、一次函数的单调性和简单线性规划的应用等知识点，属于中档题．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，且A1A=4．梯形ABCD 的面积为6，且AD∥BC，AD=2BC，CD=2．平面A1DCE与B1B交于点E．（1）证明：EC∥A1D；（2）求三棱锥C﹣A1AB的体积；（3）求二面角A1﹣DC﹣A的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明BE∥平面AA1D．BC∥平面AA1D，通过BE∩BC=B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，利用平面BCE∥平面ADA1，利用平面与平面平行的性质定理证明EC∥A1D．（2）求出．然后求出棱锥的体积．（3）解法一：在△ADC中，作AF⊥CD于F，连接A1F，证明CD⊥A1A．推出CD⊥面A1AF．说明∠A1FA为二面角A1﹣DC﹣A的平面角，然后求出二面角A1﹣DC﹣A的大小．解法二：以D为坐标原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系，设∠CDA=θ，BC=a，求出平面A1DC的一个法向量，平面ABCD的一个法向量，通过向量数量积求解二面角A1﹣DC﹣A的大小．解答：（本小题满分14分）解：（1）证明：因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D．（1分）因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D．（2分）又BE∩BC=B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面ADA1．（3分）又平面A1DCE∩平面BCE=EC，平面A1DCE∩平面A1AD=A1D，所以EC∥A1D．（4分）（2）解：因为S梯形ABCD=6，BC∥AD，AD=2BC，所以．（6分）所以．（8分）（3）解法一：如图，在△ADC中，作AF⊥CD于F，连接A1F．（9分）因为A1A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以CD⊥A1A．又A1A∩AF=A，所以CD⊥面A1AF．又A1F⊂面A1AF，所以CD⊥A1F．（10分）所以∠A1FA为二面角A1﹣DC﹣A的平面角．（11分）由（2）得，所以．（12分）所以，（13分）所以，即二面角A1﹣DC﹣A的大小为．（14分）解法二：如图，以D为坐标原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．（9分）设∠CDA=θ，BC=a，则AD=2a．因为，所以．（10分）所以C（2cosθ，2sinθ，0），，所以，．（11分）设平面A1DC的一个法向量，由，得，所以．（12分）又平面ABCD的一个法向量，（13分）所以，所以二面角A1﹣DC﹣A的大小为．（14分）点评：本题考查二面角的求法，几何体的体积，平面与平面平行的判定定理与性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．（14分）设a为常数，且a＜1．（1）解关于x的不等式（a2﹣a﹣1）x＞1；（2）解关于x的不等式组．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）对a进行分类讨论，判断得出a2﹣a﹣1的正负，进而可求得其解集；（2）对a分类讨论先求得一元二次不等式2x2﹣3（1+a）x+6a＞0的解集，再与0≤x≤1求交集即可得出结论．解答：解：（1）令a2﹣a﹣1=0，解得，．①当时，解原不等式，得，即其解集为；②当时，解原不等式，得无解，即其解集为φ；③当时，解原不等式，得，即其解集为．（2）依2x2﹣3（1+a）x+6a＞0（*），令2x2﹣3（1+a）x+6a=0（**），可得△=9（1+a）2﹣48a=3（3a﹣1）（a﹣3）．①当时，△＜0，此时方程（**）无解，解不等式（*），得x∈R，故原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}；②当时，△=0，此时方程（**）有两个相等的实根，解不等式（*），得x≠1，故原不等式组的解集为{x|0≤x＜1}；③当时，△＞0，此时方程（**）有两个不等的实根，，且x3＜x4，解不等式（*），得x＜x3或x＞x4．，，且，所以当a＞0，可得x3＞0；又当x3＞0，可得a＞0，故x3＞0⇔a＞0，（所以ⅰ）当时，原不等式组的解集为；ⅱ）当a≤0时，原不等式组的解集为φ．综上，当a≤0时，原不等式组的解集为φ；当时，原不等式组的解集为；当时，原不等式组的解集为{x|0≤x＜1}；当时，原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}．点评：本题主要考查含有参数的一元一次不等式及一元二次不等式的解法，考查学生分类讨论思想的运用能力及运算求解能力，属于中档题．33816 8418 萘22123 566B 噫524271 5ECF 廏y27481 6B59 歙26503 6787 枇37304 91B8 醸$32923 809B 肛20252 4F1C 伜38197 9535 锵23993 5DB9 嶹。

2021届山东新高考质量测评联盟高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知集合{A y y ==，集合(){}2log 10B x x =->，则A B =（ ）A ．∅B ．()0,∞+C ．()1,2D ．()2,+∞【答案】D【解析】求出集合A ，集合B 中代表元素的取值范围，再根据交集的定义求出A B ．【详解】集合{{}0A y y y y ===≥ (){}{}2log 102B x x x x =->=>{}2A B x x ∴⋂=>故选：D 【点睛】本题考查集合的表示法，交集的求法，考查运算能力，属于基础题． 2．已知命题p ：[]0,2x ∀∈，2320x x -+>，则p ⌝是（ ） A ．[]0,2x ∃∈，2320x x -+< B ．[]0,2x ∃∈，2320x x -+≤C ．()(),02,x ∃∈-∞⋃+∞，2320x x -+<D ．[]0,2x ∀∈，2320x x -+≤ 【答案】B【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，正确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题p ：[]0,2x ∀∈，2320x x -+>， 则p ⌝是“[]0,2x ∃∈，2320x x -+≤”. 故选：B. 【点睛】本题主要考查含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，正确改写是解答的关键，属于基础题.3．已知复数34z i =+，则23z z -=（ ）A ．B ．5C ．20D ．【答案】C【解析】先计算出23z z -，再求出模即可. 【详解】()()222339241634912161342z z i i i i i i -=-=++--=-+++，2320z z ∴-==.故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算和模的求解，属于基础题.4．高一（1）班某组有5人，组长安排值日生，其中1人负责擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．90种 D ．120种【答案】B【解析】先从5人中选出1人擦黑板，再从剩余的4人中选出2人负责教室内地面卫生，最后从剩余的2人中选出2人负责卫生区卫生，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从5人中选出1人擦黑板，有155C =种选法，从剩余的4人中选出2人负责教室内地面卫生，有246C =种选法， 从剩余的2人中选出2人负责卫生区卫生，有221C =种选法， 由分步计数原理，可得不同的安排方法有56130⨯⨯=种安排方法. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及组合的应用，其中解答中熟练应用组合的知识和分步计数原理求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.5．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，则2ω=是()f x 的最小正周期是π的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合充分与必要条件的定义和三角函数周期定义即可求解 【详解】()()2sin f x x ωϕ=+的最小正周期为2T ππω==，解得2ω=±，故2ω=是()f x 的最小正周期是π的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题6．已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()2ln f x x x =-B ．()ln f x x x =-C ．()22ln f x x x =-D ．()2ln f x x x =-【答案】A【解析】由图知，函数()f x 是偶函数，且当0x >时，函数()f x 的极大值点小于1，利用导数分别计算各选项的极大值点即可得出答案. 【详解】由图知，函数()f x 是偶函数，且当0x >时，函数()f x 的极大值点小于1，对于选项A ，当0x >时，函数()2ln f x x x =-，所以()2120x f x x -'==，得22x =，所以22x =为函数的极大值点，故A 正确； 对于选项B ，当0x >时，函数()ln f x x x =-，所以()110f x x'=-=，得1x =，所以1x =为函数的极大值点，故B 不正确；对于选项C ，当0x >时，函数()22ln f x x x =-，所以()220f x x x'=-=，得1x =，所以1x =为函数的极大值点，故C 不正确；对于选项D ，当0x >时，函数()2ln f x x x =-，所以()210f x x'=-=，得2x =，所以2x =为函数的极大值点，故D 不正确； 故选：A 【点睛】本题考查了由图象判断函数的解析式，综合考查了函数的基本性质，导数研究函数的极值点，考查了学生的逻辑推理的能力，考查了数形结合的思想. 7．已知413m <<，则23143m m+--的最小值是（ ）A ．9B 6C ．9D ．12【答案】C【解析】利用配凑得到分母的和是定值，进而利用均值定理求解． 【详解】413m <<10,430m m ∴->->， []23636(43)3(33)()(33)(43)9914333433343m m m m m m m m m m --+=+-+-=++≥+------当且仅当6(43)3(33)3343m m m m --=-- ，又413m << 故53m =时取等号．故选：C ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 8．已知函数()()221log 1f x x x=+-，则不等式()210f x ->的解集是（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．(),0-∞D ．()(),01,-∞⋃+∞【答案】D【解析】易得()f x 是偶函数，且在()0,∞+是增函数，又()()221log 1110=+-=f ，将不等式()210f x ->转化为()()211->fx f ，利用单调性的定义求解.因为函数的定义域为R ，()()()()()222211log 1log 1-=-+-=+-=-f x x x f x x x， 所以()f x 是偶函数，且在()0,∞+是增函数， 又()()221log 1110=+-=f ，所以不等式()210f x ->等价于()()211->f x f ，则211x ->， 解得1x >或0x <，所以不等式的解集为()(),01,-∞⋃+∞ 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、多选题9．已知实数a ，b ，c 满足10a b c >>>>，则下列结论正确的是（ ） A ．a b c c > B ．log log a b c c >C ．1313log a a <D ．2233a b <【答案】BC【解析】根据指对幂函数的性质，即可比较各选项中函数值的大小. 【详解】A 选项：x y c =为单调减函数，所以a b c c <；B 选项：log ay x =与log b y x =，当1x >时0log log a b x x <<，当01x <<时0log log a b x x >>，所以log log a b c c >；C 选项：13log y x =在1x >时13log 0x <，而13y x =在1x >时131x >，所以1313log a a <；D 选项：23y x =在0x >上单调递增，所以2233a b >； 故选：BC.本题考查了利用指对幂函数的性质比较数、式的大小，应用了函数思想，属于基础题.10．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ） A ．1z z ⋅= B ．2z z = C ．31z =-D ．202012z =-+ 【答案】ACD【解析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】因为11131222244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z i =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=--=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD. 【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易. 11．在如图所示的三棱锥V ABC —中，已知AB BC =，90VAB VAC ABC ∠=∠=∠=︒，P 为线段VC 的中点，则（ ）A ．PB 与AC 垂直 B ．PB 与VA 平行C ．点P 到点A ，B ，C ，V 的距离相等D ．PB 与平面ABC 所成的角大于VBA ∠ 【答案】AC【解析】A. 取AC 的中点Q ，连接PQ ，BQ ，根据P 为中点，易得AC ⊥平面PQB 判断；B. 由A 得到//,⋂=VA PQ PQ PB P 判断；C.易得BC ⊥平面VAB ，则BC VB ⊥，得到三角形VAC ，VBC 是直角三角形，再利用直角三角形中线定理判断；D. 由PQ ⊥平面ABC ，得到PBQ ∠是PB 与平面ABC 所成的角，再根据12,22PQ VA BQ AB ==，tan ,tan PQ VAPBQ VBA BQ AB∠=∠=，利用正切函数的单调性判断； 【详解】A.如图所示：取AC 的中点Q ，连接PQ ，BQ ，因为P 为中点，则//PQ VA ，又因为90VAB VAC ABC ∠=∠=∠=︒，则VA ⊥平面ABC ，所以PQ ⊥平面ABC ， 则PQ AC ⊥，又AB BC =，则,AC BQ PQ BQ Q ⊥⋂=，所以AC ⊥平面PQB ，则AC PB ⊥，故正确；B. 由A 知：//,⋂=VA PQ PQ PB P ，故错误；C.因为VA BC ⊥，90ABC ∠=︒，VA AB A ⋂=，所以BC ⊥平面VAB ，则BC VB ⊥，所以三角形VAC ，VBC 是直角三角形，由直角三角形中线定理知，点P 到点A ，B ，C ，V 的距离相等，故正确； D.由PQ ⊥平面ABC 知：PBQ ∠是PB 与平面ABC 所成的角，因为1,22PQ VA BQ AB ==，所以tan tan PQ VA PBQ VBA BQ AB ∠===∠，即tan tan PBQ VBA ∠<∠， 因为,0,2PBQ VBA π⎛⎫∠∠∈ ⎪⎝⎭，又tan y α=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，所以PBQ VBA ∠<∠，故错误； 故选：AC 【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的转化以及线面角问题，还考查了转化化归的思想和空间想象、逻辑推理的能力，属于中档题.12．已知函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，且()1f x -是奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数 C ．()10f = D ．()1f x +是奇函数【答案】BCD【解析】根据奇函数和周期函数的性质进行判断. 【详解】()()110f x f x ++-=, ∴()f x 关于点(1,0)对称，令0x =, 有(1)0f =，且(1)f x +是由()f x 向左平移1个单位得到，()1f x ∴+关于(0,0)对称，所以(1)f x +是奇函数；又(1)f x -是奇函数，所以()f x 关于(1,0)-对称， 所以(3)(1)0f x f x -+-=, 则(3)(1)f x f x -=+, 所以()(4)f x f x =+, 即()f x 是以4为一个周期的函数， 综上，选项BCD 正确，A 错误. 故选：BCD. 【点睛】本题考查周期函数和奇函数的性质，属于基础题.三、填空题13．()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______． 【答案】80【解析】先求出62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与含21x 的系数,再求()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项. 【详解】62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为: 662166(2)2rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭, 令620r -=，解得3r =,33316(2)160T C +∴=-⋅=-，令622r -=-，解得4r =,444162211(2)240T C x x +∴=-⋅⋅=⋅， ()6212x x x ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为: (160)24080-+=.故答案为：80. 【点睛】本题考查二项展开式常数项的求解，属于基础题.14．已知0x >，若关于x 的不等式2221x x a x ++<+恒成立，则a 的取值范围是______．【答案】3,22⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】关于x 的不等式2221x x a x ++<+恒成立，等价于2221maxx x a x ⎡⎤++>⎢⎥+⎣⎦，通过对2221x x x +++进行适当变形后利用基本不等式求得其最大值即可得解.【详解】关于x 的不等式2221x x a x ++<+恒成立（0x >）， 等价于2221maxx x a x ⎡⎤++>⎢⎥+⎣⎦在(0,)+∞上恒成立， ()()()222221111112111212121x x x x x x x x x x ++++=+=+=++++-++++-+， 因为0x >，所以()131122121x x +≤=++-+，当且仅当1x =时，等号成立，所以322a >+.故答案为：3,22⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 15．函数())log 23af x x =+（0a >且1a ≠），若()()ln lg 2f e =，则()()ln ln10f =______．【答案】4【解析】令())log 2ag x x =，由()g x 为奇函数，得()f x 关于()0,3对称，再由()()ln lg ln ln100e +=得()()()()ln lg ln ln106f e f +=，即可求出. 【详解】 令())log 2ag x x =，定义域为R ，()))()log 2log 2aax x g g x x =--=-=，()g x ∴为奇函数，关于原点对称，∴())log 23af x x =+关于()0,3对称，()()()ln ln lg ln ln10ln lg ln10ln ln100ln10e e e ⎛⎫+=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，()()()()ln lg ln ln106f e f ∴+=， ()()ln ln104f ∴=.故答案为：4. 【点睛】本题考查奇函数对称性的应用，考查对数的运算，属于中档题.16．在直三棱柱111–ABC A B C 中，2AB =，AC =30BAC ∠=︒，1AA =则其外接球体积是______． 【答案】92π【解析】由题可知直三棱柱111–ABC A B C 的外接球即为长宽高分别为体的外接球，由此可求出半径，得到体积. 【详解】在ABC 中，2AB =，AC =30BAC ∠=︒，由余弦定理2222cos 432212BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯=， 满足222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥,则直三棱柱111–ABC A B C 的外接球即为长宽高分别为 设外接球的半径为R ，则23R ==，即32R =， 所以其外接球体积是3439322ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭. 故答案为：92π. 【点睛】本题考查几何体外接球体积的计算，属于基础题.四、解答题17．如图，在四棱锥M ABCD –中，底面ABCD 是平行四边形，且1AB BC ==，1MD =，MD ⊥平面ABCD ，H 是MB 中点，在下面两个条件中任选一个，并作答： ①二面角A MD C ––的大小是23π；②2BAD π∠=． 若______，求CH 与平面MCD 所成角的正弦值．【答案】答案见解析.【解析】若选①，先证明23ADC ∠=π，轴DC ⊥，以D 为坐标原点，以DC ，DM 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求CH 与平面MCD 所成角的正弦值；若选②，以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求CH 与平面MCD 所成角的正弦值. 【详解】 若选①：因为MD ⊥平面ABCD ，所以AD MD ⊥，CD MD ⊥，所以ADC ∠就是二面角A MD C ––的平面角，所以23ADC ∠=π. 过D 作x 轴DC ⊥，以D 为坐标原点，以DC ，DM 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,1,0C ，311,42H ⎫⎪⎪⎝⎭.所以331,,42 CH⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭.取平面MCD的一个法向量()1,0,0n=.设CH与平面MCD所成角为θ，则334sin439116164CH nCH nθ⋅===⋅++.所以CH与平面MCD所成角的正弦值是3.若选②，因为MD⊥平面ABCD，2BADπ∠=，所以DA，DC，DM两两垂直.以D 为坐标原点，以DA，DC，DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0C，111,,222H⎛⎫⎪⎝⎭.所以111,,222CH⎛⎫=-⎪⎝⎭.取平面MCD的一个法向量()1,0,0n=.设CH与平面MCD所成角为θ，则334sin111444CH nCH nθ⋅===⋅++.所以CH与平面MCD所成角的正弦值是33.【点睛】本题主要考查空间角的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．新能源汽车对环保、节能减排、绿色生活以及可持续发展起到积极作用.下表给出了我国2015—2019年新能源汽车保有量y （单位：万辆）的数据：年份 2015 2016 2017 2018 2019年份代码x12 3 4 5 年份代码平方()2X X x =1 4 9 16 25 新能源汽车保有量y4291153261381（1）作出散点图，分析y 与X 之间的相关关系；（2）求y 关于X 的线性回归方程（精确到0.01），并预测我国2025年新能源汽车保有量（结果保留整数）．附：参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】（1）答案见解析；（2）30.4214.11y X =+；1738万辆. 【解析】（1）将数据在散点图中画出，分析相关性即可；（2）先求出样本中心(),X y ，再求出,b a ，进而求解；求得30.4214.11y X =+，将2025年对应X 代入线性回归方程即可求解 【详解】（1）散点图如图所示.从散点图中可以看出，样本点大致分布在某条直线附近（样本点呈直线趋势），故新能源汽车保有量y 与年份代码平方X 之间有着较好的线性关系； （2）11X =，185.6y =，5115484iii X y==∑，521979i i X ==∑，215484511185.6527614.107979511374b -⨯⨯==≈-⨯， 185.614.1071130.42a =-⨯≈所以线性回归方程为30.4214.11y X =+.2025年对应年份代码11x =，121X =，故30.4214.111211737.73y =+⨯=. 故我国2025年新能源汽车保有量约为1738万辆. 【点睛】本题考查相关关系的判断，线性回归方程的求解，数据的预测，考查了数学运算，数据的分析与处理的核心素养，属于中档题19．已知函数()xf x ae x =-．（1）求()f x 的极值；（2）求()f x 在[]0,1上的最大值． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）先求出()1xf x ae '=-，然后分为0a ≤和0a >两种情况分别讨论()f x 的极值；（2）当0a ≤时，由（1）知()f x 在R 上是减函数，()f x 有最大值()0f a =；当0a >时，由（1）知()f x 在(),ln a -∞-上是减函数，在()ln ,a -+∞上是增函数，利用导数分别讨论当ln 0a -≤，0ln 1a <-<和ln 1a -≥时的最大值即可得解 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，()1x f x ae '=-，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，则()f x 在R 上是减函数，无极值；当0a >时，令()0f x '>，解得ln x a >-，则()f x 在(),ln a -∞-上是减函数，在()ln ,a -+∞上是增函数， 所以当ln x a =-时，()f x 有极小值，()ln 1ln f a a -=+，无极大值，综上，当0a ≤时，()f x 无极值，当0a >时，()f x 有极小值1ln a +，无极大值； （2）①当0a ≤时，由（1）知()f x 在R 上是减函数， 所以当0x =时，()f x 有最大值()0f a =；②当0a >时，由（1）知()f x 在(),ln a -∞-上是减函数，在()ln ,a -+∞上是增函数， （i ）当ln 0a -≤，即1a ≥时，()f x 在[]0,1上是增函数， 所以当1x =时，()f x 有最大值()11f ae =-； （ii ）当0ln 1a <-<即11a e<<时，()f x 在[)0,ln a -上是减兩数，在[]ln ,1a -上是增函数.若()()01f f ≥，即111a e e <≤-时，()f x 有最大值a ； 若()()01f f <，即111a e <<-时，()f x 有最大值1ae -； （ⅲ）当ln 1a -≥即10a e<≤时，()f x 在[]0,1上是减函数， 所以当0x =时，()f x 有最大值()0f a =， 综上所述，当11a e ≤-时，()f x 有最大值a ； 当11a e >-时，()f x 有最大值1ae -. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查分类讨论思想，属于中档题.20．如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ； （2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求PASA的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）33PA SA -=. 【解析】（1）通过证明SA BP ⊥和SA CP ⊥即可得证；（2）取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，以点O 为坐标原点， O B ，AO ， O S 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法建立关系可求解. 【详解】（1）证明：因为ABC 为等边三角形，所以AB AC BC ==.因为SBC 为等边三角形，所以SB SC BC ==，所以AB SB =，AC SC =. 在等腰BAS △和等腰CAS △中，因为P 为SA 的中点，所以SA BP ⊥，SA CP ⊥. 又因为BPCP P =，BP ，CP ⊂平面PBC ，所以SA ⊥平面PBC .（2）如图，取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，则在等边ABC 和等边SBC 中，有BC AO ⊥，BC SO ⊥，所以AOS ∠为二面角S BC A --的平面角.因为平面SBC ⊥平面ABC ，所以90AOS ∠=︒，即AO SO ⊥. 所以OA ， O B ，O S 两两垂直. 以点O 为坐标原点， O B ，AO ， O S 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB a ，则30,,02A a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，30,0,2S a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为P 在SA 上，设AP AS λ=()01λ<<，()0,,P y z ，则30,,2AP y a z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，330,,22AS a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得)31y a λ=-，3z a =， 即)331P a a λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.显然平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n =. 设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z =，因为)13312BP a a a λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，(),0,0CB a =.所以00m BP m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()111010x y z λλ=⎧⎨-+=⎩，令1y λ=，则11z λ=-，所以()0,,1m λλ=-. 因为二面角P BC A --的大小为60°，所以()221cos ,cos 601mn m n m n λλλ-⋅〈〉===︒+-，所以22630λλ-+=.又01λ<<，解得332λ=，即332PA SA -=.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求空间中线段比例，属于中档题.21．为了研究全年国内旅游人均消费情况与性别的关系，某互联网旅游公司从其网络平台数据库中抽取1000条用户信息进行调查，得到如下数据：把全年旅游消费满16000元的游客称为“酷爱旅游者”．（1）请完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“酷爱旅游者”与性别有关；（2）在庆祝公司成立15周年的系列活动中，董事会决定在其平台数据库的所有“酷爱旅游者”中随机抽取4名用户，担任网站的“形象大使”，每位“形象大使”可获得30000元奖金．另外，为了进一步刺激旅游消费，提升网站的知名度，公司将在其平台数据库的所有用户中抽取100名幸运用户给予现金奖励，规则如下：幸运用户在网页上点击“抽奖”按钮，屏幕上会随机显示两个数字，每个数字出现0～9的可能性是相等的.两个数字中，若同时有数字1和5，则获得一等奖，奖励1000元；若只有数字1和5中的一个，则获得二等奖，奖励500元；若数字1和5都没有，则获得三等奖，奖励200元．每位“酷爱旅游者”可进行两次抽奖；每位“非酷爱旅游者”可进行一次抽奖．②如果所有的“形象大使”和幸运用户都不放弃奖励，记移动支付平台支出的奖金总额为X，求X的数学期望．附：参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：【答案】（1）列联表见解析；能认为“酷爱旅游者”与性别有关；（2）①6481；②161340. 【解析】（1）由表格中的数据分析可得2×2列联表，利用公式求出卡方，再与临界值比较即可；（2）①求出该用户为男“酷爱旅游者”的概率为13，为女“酷爱旅游者”的概率为23，根据独立事件与对立事件概率公式可得答案.②从所有用户中抽取的100名幸运用户中，为“酷爱旅游者”的概率为310，为非“酷爱旅游者”的概率为710，求得100名幸运用户每人的抽奖次数的数学期望以及幸运用户抽奖一次获得的奖金的期望，进而可得答案. 【详解】（1）由表格数据可得2×2列联表如下：将列联表中的数据代入公式计算得2K 的观测值()210003002001004007.937 6.635400600700300k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为“酷爱旅游者”与性别有关.②视频率为概率，在从所有用户中抽取的100名幸运用户中，为“酷爱旅游者”的概率为310，为非“酷爱旅游者”的概率为710，所以100名幸运用户每人的抽奖次数的数学期望是371321101010⨯+⨯=. 记幸运用户抽奖一次获得的奖金为Y 元， 则()211000101050P Y ===⨯，()8816200101025P Y ⨯===⨯，()116175001502550P Y ==--=. 所以Y 的分布列为所以()161712005001000318255050E Y =⨯+⨯+⨯=， 所以X 的数学期望()()1310030000416134010E X E Y =⨯⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，考查了独立事件、对立事件的概率公式，考查随机变量的期望公式，属于中档题.22．已知函数()2ln f x ax bx c x =+-，其中a ，b ，R c ∈．（1）当0a ≥，1c =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）已知0a >，2b =-，2c =，且函数()f x 有两个零点1x ，2x ()12x x <，求证：对任意的正实数M ，都存在满足条件的实数a ，使得21x x M ->成立． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）把1c =代入原函数，求导，令()0f x '≥，分0a >和0a =两种情况讨论函数的单调性即可；（2）先求出()22ln 2f x ax x x =--，求导，利用判别式和韦达定理得到方程210ax x --=在()0,∞+上有唯一实数根，记为0x ，则021x a x +=（），因为函数()f x 有两个不相等的零点，所以()00f x <，将（）代入得002ln 10x x +->，令()()424000e 2e2ln e 4g x xx =--+-，01x >，求导分析其单调性，利用零点存在性定理得到()0,2a ∈时，函数()f x 有两个零点.111x e <<，2012x x a>>，即可得证. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0)+∞，， 由()2ln f x ax bx x =+-，()21212ax bx f x ax b x x+-'=-+=， 令()0f x '≥， 即2210ax bx +-≥，①当0a >时，280b a ∆=+>，设2210ax bx +-=的根1x =，2x =，则10x <，20x >，解得2x x ≥或1x x ≤（舍），∴()f x 在⎛ ⎝⎭上是减函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是增函数. ②当0a =时，()1bx f x x-'=，（i ）若0b ≤，则()0f x '<恒成立，()f x 在()0,∞+上是减函数； （ii ）若0b >，()0f x '≥， 解得1x b≥， ∴()f x 在10,b ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数.综上所述，当0a >时，()f x 的单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调减区间是0,4b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 当0a =时，若0b ≤，()f x 的单调减区间是()0,∞+，无增区间； 若0b >，()f x 的单调增区间是1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）证明：因为2b =-，2c =， 所以()22ln 2f x ax x x =--，则()()221ax x f x x--'=.因为0a >，所以140,10,a a∆=+>⎧⎪⎨-<⎪⎩，所以方程210ax x --=在()0,∞+上有唯一实数根，记为0x ，所以20010ax x --=，则021x a x +=.（） 且当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.因为函数()f x 有两个不相等的零点，所以()00f x <，即20002ln 20ax x x --<，将（）代入得002ln 10x x +->. 显然01x >，则()0,2a ∈. 取11ex =<， 则21220e e ea f ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭. 另取200e 1x x x =>>，则()()()()22222424000000e e 2ln e 2e e 2e 2ln e 4f x a x x x x x =--=--+-.令()()424000e 2e2ln e 4g x xx =--+-，01x >， 所以()()42002e 2e 0g x x '=-->，则函数()0g x 单调递增，所以()420(1)2e 2e 40g x g >=-->，即()()220e e 0f x f >>，所以对于20011e e x x <<<，10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()00f x <，()20e 0f x >， 利用零点存在性定理知：当()0,2a ∈时，函数()f x 有两个零点. 因为()120f a =-<，10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 所以111x e<<. 下证：对任意的0M >，都存在()0,2a ∈，使得21x M ->. 因为2012x x a>>，对任意的0M >， 令()()10,221a M =∈+，则112M a =+，21112x M a->-=，即对任意的正实数M ，都存在满足条件的实数a ，使得21x x M ->. 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，考查了利用导数求解零点问题和不等式恒成立问题.考查了分类讨论思想.考查了逻辑推理能力以及运算求解能力.属于较难题.。