高考理科数学第二轮专题复习检测题7-解析几何

解析几何 专题测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32B.32 C ．3D ．－3解析：由两点式，得y －31－3＝x －0－1－0，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32，即在x 轴上的截距为－32.答案：A2．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4解析：圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0的圆心为(－1,1)，半径为2，过圆心(－1,1)与直线x －y －4＝0垂直的直线方程为x ＋y ＝0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A 、B ，圆心(－1,1)到直线x －y －4＝0的距离为62＝32，则所求的圆的半径为2，故选C.答案：C3．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D.14解析：双曲线方程化为标准形式：y 2－x 2－1m＝1则有：a 2＝1，b 2＝－1m ， ∴2a ＝2,2b ＝2－1m，∴2×2＝2－1m ，∴m ＝－14. 答案：A4．(2011年青岛质检)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0，(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，圆心(1，－3)，故选D.答案：D5．(2011年北京海淀区期末)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2b ＋1＝－2解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13，选B.答案：B6．(2011年福建高考)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →· FP→＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3(1－x 24)＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.答案：C7．(2011年济南)已知点P 在焦点为F 1，F 2的椭圆上运动，则与△PF 1F 2的边PF 2相切，且与边F 1F 2，F 1P 的延长线相切的圆的圆心M 一定在( )A ．一条直线上B ．一个圆上C ．一个椭圆上D ．一条抛物线上解析：设⊙M 与F 1F 2的延长线切于M 1点，与F 1P 的延长线切于M 2点，与PF 2切于Q 点．∵|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PQ |＋|QF 2|＝|PF 1|＋|PM 2|＋|F 2M 1|＝|F 1M 2|＋|F 2M 1|＝|F 1F 2|＋|F 2M 1|＋|F 2M 1|＝|F 1F 2|＋2|F 2M 1|＝定值．又|F 1F 2|＝定值，∴|F 2M 1|为定值．由此可知M 点在一条直线上．故选A.答案：A8．(2011年东北三校联考)已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P 、Q两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53B.56C.54D.58解析：采用特殊值法：右焦点(5,0)，设PQ 的斜率为1联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －5x 29－y216＝1得7x 2＋90x －369＝0x 1＋x 2＝－907，x 1x 2＝－3697|PQ |＝1＋1x 1－x 22＝1927中点(－457，－807)，中垂线y ＋807＝－(x ＋457)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1257y ＝0，x ＝－1257∴M (－1257，0)，|MF |＝1607∴|MF ||PQ |＝56，故选B. 答案：B9．(2011年广西百所重点中学阶段检测)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线C 上，若点P 到l 的距离等于点P 与坐标原点O 的距离，则tan ∠POF 等于( )A ．3B ．2 C. 2D ．2 2解析：设P (x P ，y P )，由题易知|PO |＝|PF |，∴x P ＝p 4，得y P ＝±p2，∴tan ∠POF ＝p2p 4＝2 2.答案：D11．(2011年福州质检)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有( )个．( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：|MF 1|＋|MF 2|＝11，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，|F 1F 2|＝6 设内切圆半径为r ，则2πr ＝3π，r ＝32∴16×32＝|F 1F 2|·|y M |，|y M |＝4，∴M 点有两个，即：短轴的端点，故选C. 答案：C11．(2011年湖北八市3月调考)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则当△PF 1F 2的面积等于a 2时，双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.62D ．2解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，|F 1F 2|＝2c⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2x 2a 2－y 2b2＝1S △PF 1F 2＝2c ·y P 2＝a 2，y P 2＝b 4a 2＋b 2＝b 4c 2.c ·b 2c＝a 2，a 2＝b 2∴此双曲线为等轴双曲线，e ＝ 2. 答案：A12．(2011年重庆第一次诊断)已知椭圆x 24＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A ，B 两点．以下结论：①△ABF 2的周长为8；②原点O 到直线l 的距离为1；③|AB |＝83.其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：依题意得|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝8，即△ABF 2的周长是8；易知点F 1(－2，0)，故直线l 的方程是y ＝x ±2，即x －y ＋2＝0，则原点O 到直线l 的距离是22＝1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2x 24＋y 22＝1得3x 2＋42x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－423，故|AB |＝1＋12×0＋4232＝83. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．(2011年昆明)过点P (0,2)的直线和抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点横坐标为2，则弦AB 的长为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M ，则M (2，y 1＋y 22)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝8x 1y 22＝8x 2，相减得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－y 2)，即k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝8y 2＋y 1，又k AB ＝k MP＝y 1＋y 22－22－0，设y 1＋y 2＝2m ，则4m ＝m －22，即m 2－2m －8＝0，得m ＝4或m ＝－2，即M (2,4)或M (2，－2)，显然M (2,4)在抛物线上，不合题意，舍去，∴M (2，－2)，得k AB ＝－2，∴l AB y＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2y 2＝8x，消去y ，得x 2－4x ＋1＝0，于是|AB |＝1＋－22·|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5×42－4＝215.答案：21514．(2010年重庆高考)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．解析：依题意，设直线AB 的方程是x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1y 2＝4x 消去x 得y 2＝4(my ＋1)，y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.又AF →＝3FB →，于是有0＝y 1＋3y 21＋3，y 1＝－3y 2，y 22＝43，(4m )2＝(y 1＋y 2)2＝4y 22＝163，弦AB 的中点到准线的距离等于x 1＋x 22＋1＝y 12＋y 228＋1＝y 1＋y 22－2y 1y 28＋1＝16m 2＋88＋1＝163＋88＋1＝83.答案：8315．(2011年江南十校联考)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：|PF 1|＋|PF 2|＝11，|PF 1|＝11－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝11＋|PM |－|PF 2|易知M 点在椭圆外，连结MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为11＋|MF 2|＝11＋6－32＋42＝15.答案：1516．(2011年江苏省苏州六校联合高三调研考试)直线x ＝t 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若原点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：由题意，当原点恰好在圆上时，双曲线的两条渐近线相互垂直，此时，双曲线的离心率为 2.若原点在圆内，则双曲线的离心率大于 2.答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题11分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．求经过7x ＋8y ＝38及3x －2y ＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程． 解：易得交点坐标为(2,3)设所求直线为7x ＋8y －38＋λ(3x －2y )＝0， 即(7＋3λ)x ＋(8－2λ)y －38＝0， 令x ＝0，y ＝388－2λ，令y ＝0，x ＝387＋3λ，由已知，388－2λ＝387＋3λ，∴λ＝15，即所求直线方程为x ＋y －5＝0.又直线方程不含直线3x －2y ＝0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x －2y ＝0亦为所求．18．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：设所求圆的圆心为(a ，b )，半径为r ，∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上， ∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上， ∴a ＋2b ＝0，① (2－a )2＋(3－b )2＝r 2②又直线x －y ＋1＝0截圆所得的弦长为22， ∴r 2－(a －b ＋12)2＝(2)2③解由方程①、②、③组成的方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，a ＝6，r 2＝52.或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－7，a ＝14，r 2＝244，∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.19．(2011年北京海滨区期末)已知抛物线W ：y ＝ax 2经过点A (2,1)，过A 作倾斜角互补的两条不同的直线l 1，l 2.(1)求抛物线W 的方程及其准线方程；(2)设直线l 1，l 2分别交抛物线W 于B ，C 两点(均不与A 重合)若以线段BC 为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC 的方程．解：(1)由于点A (2,1)在抛物线W ：y ＝ax 2上，所以1＝4a ，即a ＝14.故所求抛物线W 的方程为y ＝14x 2，其准线方程为y ＝－1.(2)不妨设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)(k >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －2y ＝14x 2，得x 2－4kx ＋8k －4＝0，解得x ＝2或x ＝4k －2，所以点B 的坐标为(4k －2,4k 2－4k ＋1)，易知直线BC 的斜率为－k ， 故同理可得点C 的坐标为(－4k －2,4k 2＋4k ＋1)， 所以|BC |＝ [4k －2－－4k －2]2＋[4k 2－4k ＋1－4k 2＋4k ＋1]2＝8k2＋－8k 2＝82k ，线段BC 的中点坐标为(－2,4k 2＋1)，因为以BC 为直径的圆与准线y ＝－1相切， 所以4k 2＋1－(－1)＝42k ，由于k >0，解得k ＝22. 此时，点B 的坐标为(22－2,3－22)，点C 的坐标为(－22－2,3＋22)． 故直线BC 的斜率为3＋22－3－22－22－2－22－2＝－1，所以，直线BC 的方程为y －(3－22)＝－[x －(22－2)]，即x ＋y －1＝0.20．(2011届上海春招改编)已知抛物线F ：x 2＝4y .(1)△ABC 的三个顶点在抛物线F 上，记△ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为k AB 、k BC 、k CA ，若点A 在坐标原点，求k AB －k BC ＋k CA 的值；(2)请你给出一个P (2,1)为顶点，且其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形，写出多边形各边所在直线的斜率之间的关系式，并说明理由．解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． ∵x 12＝4y 1，x 22＝4y 2， ∴k AB －k BC ＋k CA ＝y 1x 1－y 2－y 1x 2－x 1＋y 2x 2＝14x 1－14(x 1＋x 2)＋14x 2＝0. (2)①研究△PBC .k PB －k BC ＋k CP ＝y B －y P x B －x P －y C －y B x C －x B ＋y P －y C x P －x C ＝x P ＋x B 4－x B ＋x C 4＋x C ＋x P 4＝x P2＝1. ②研究四边形PBCD .k PB －k BC ＋k CD －k DP ＝x P ＋x B 4－x B ＋x C 4＋x C ＋x D 4－x D ＋x P4＝0.③研究五边形PBCDE .k PB －k BC ＋k CD －k DE ＋k EP ＝x P ＋x B 4－x B ＋x C 4＋x C ＋x D 4－x D ＋x E 4＋x E ＋x P4＝x P2＝1. ④研究n ＝2k 边形P 1P 2…P 2k (k ∈N ，k ≥2)，其P 1＝P . 有kP 1P 2－kP 2P 3＋kP 3P 4－…＋(－1)2k －1kP 2k P 1＝0.证明：左边＝14(xP 1＋xP 2)－14(xP 2＋xP 3)＋…＋(－1)2k －114(xP 2k ＋xP 1)＝xP 14[1＋(－1)2k －1]＝1＋－12k －12＝0＝右边．⑤研究n ＝2k －1边形P 1P 2…P 2k －1(k ∈N ，k ≥2)，其中P 1＝P . 有kP 1P 2－kP 2P 3＋kP 3P 4－…＋(－1)2k －2kP 2k －1P 1＝1.证明：左边＝14(xP 1＋xP 2)－14(xP 2＋xP 3)＋…＋(－1)2k －114(xP 2k －1＋xP 1)＝xP 14[1＋(－1)2k －1－1]＝1＋－12k －1－12＝1＝右边．⑥研究n 边形P 1P 2…P n (n ∈N ，n ≥3)，其中P 1＝P . 有kP 1P 2－kP 2P 3＋kP 3P 4－…＋(－1)n －1kP n P 1＝1＋－1n －12.证明：左边＝14(xP 1＋xP 2)－14(xP 2＋xP 3)＋…＋(－1)n －114(xP n ＋xP 1)＝xP 14[1＋(－1)n －1]＝1＋－1n －12＝右边．21．(2011年湖南十二校联考)已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－11x ＋20＝0相切．过点P (－4，0)作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足|PA |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的渐近线的方程； (2)求双曲线G 的方程；(3)椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴，如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．解：(1)设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ， 则由渐近线与圆x 2＋y 2－11x ＋20＝0相切可得|5k |k 2＋1＝5，所以k ＝±12，即双曲线G 的渐近线的方程为y ＝±12x .(2)由(1)可设双曲线G 的方程为x 2－4y 2＝m ， 把直线l 的方程y ＝14(x ＋4)代入双曲线方程，整理得3x 2－8x －16－4m ＝0， 则x A ＋x B ＝83，x A x B ＝－16＋4m3.(*)∵|PA |·|PB |＝|PC |2，P 、A 、B 、C 共线且P 在线段AB 上， ∴(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2，即(x B ＋4)(－4－x A )＝16， 整理得4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0. 将(*)代入上式得m ＝28， ∴双曲线的方程为x 228－y 27＝1.(3)由题可设椭圆S 的方程为x 228＋y 2a2＝1(a >27)，设垂直于l 的平行弦的两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 1228＋y 12a 2＝1，x 2228＋y 22a2＝1， 两式作差得x 1－x 2x 1＋x 228＋y 1－y 2y 1＋y 2a2＝0.由于y 1－y 2x 1－x 2＝－4，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0， 所以x 028－4y 0a2＝0，所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线x 28－4ya2＝0截在椭圆S 内的部分．又由已知，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以a 2112＝12，即a 2＝56，故椭圆S 的方程为x 228＋y 256＝1.22．(2011年石家庄质量检测一)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (1，32)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点B (－1,0)能否作出直线l ，使l 与椭圆C 交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆经过坐标原点O ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)由已知e ＝c a ＝32，即c 2＝34a 2，b 2＝a 2－c 2＝14a 2， 所以，椭圆方程为x 2a 2＋4y 2a2＝1，将A (1，32)代入得：1a 2＋124a2＝1， 解得a 2＝4，可知b 2＝1， 所以，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为直线l 经过椭圆内的点B (－1,0)，所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M ，N . 当直线l 的斜率不存在时，其方程是：x ＝－1，代入x 24＋y 2＝1得y ＝±32，可知M (－1，32)，N (－1，－32)，所以以MN 为直径的圆不经过坐标原点O . 当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为：y ＝k (x ＋1)，两交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k x ＋1得(1＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－4＝0， x 1＋x 2＝－8k 21＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－41＋4k2，因为，以MN 为直径的圆经过坐标原点O ，所以OM →·ON →＝0.可得x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝0. 即(1＋k 2)4k 2－41＋4k 2＋k 2·－8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2.综上所述，存在过点B(－1,0)的直线l，使得以l被椭圆C截得的弦为直径的圆经过原点O，l的方程为y＝2x＋2或y＝－2x－2.。

高考数学二轮复习分析几何解答题专题训练（含分析）1．已知过抛物线y2＝2px( p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A( x1，y1)，B( x2，y2)( x1<x2)两点，且 | AB| ＝ 9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C为抛物线上一点，若→＝→＋→ ，求λ的值．OC OAλOB解(1) 直线AB的方程是y＝ 2 2 x －p2px 联立，进而有222，与 y ＝24x－ 5px＋p＝ 0，5p所以 x1＋ x2＝4.由抛物线定义得| AB| ＝x1＋x2＋p＝ 9，所以 p＝4，进而抛物线方程是y2＝8x.(2)由 p＝4，知4x2－5px＋ p2＝0可化为 x2－5x＋4＝0，进而 x1＝1，x2＝4， y1＝－2 2，y2＝4 2，进而 (1 ，－ 2 2) ， (4,42) ．A B→x3， y3)＝(1，－22) ＋λ (4,42) ＝ (4 λ＋ 1,4 2λ－ 2 2) ，设 OC＝(2，又 y ＝ 8x33所以 [22(2 λ－ 1)] 2＝ 8(4 λ＋ 1) ，即 (2 λ－ 1) 2＝ 4λ＋ 1，解得λ＝0，或λ＝2.2．已知圆心为C的圆，知足以下条件：圆心C位于 x 轴正半轴上，与直线3x－ 4y＋ 7＝0 相切，且被 y 轴截得的弦长为 2 3，圆C的面积小于13.(1)求圆 C的标准方程；(2)设过点 M(0,3)的直线 l 与圆 C交于不一样的两点 A，B，以 OA， OB为邻边作平行四边形 OADB.能否存在这样的直线l ，使得直线与恰巧平行？假如存在，求出l的方程；假如不存在，请OD MC说明原因．解 (1) 设圆C： ( x－a) 2＋y2＝R2( a>0) ，由题意知|3 a＋ 7|＝ R，32＋ 42a2＋3＝ R13解得 a＝1或 a＝8，又 S＝π R2<13，∴ a＝1， R＝2.∴圆 C 的标准方程为 ( x － 1) 2 ＋y 2＝ 4.(2) 当斜率不存在时，直线l 为 x ＝ 0，不知足题意．当斜率存在时，设直线l ： y ＝kx ＋ 3， A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2) ，又 l 与圆 C 订交于不一样的两点，y ＝ kx ＋ 3联立得x － 12＋y 2＝ 4，消去 y 得 (1 ＋ k 2) x 2＋ (6 k － 2) x ＋ 6＝ 0，∴＝ (6 k － 2) 2－ 24(1 ＋ k 2) ＝ 12k 2－ 24k －20>0，解得 k <1－2 6 2 63或 k >1＋.36k －22k ＋ 6x 1＋ x 2＝－ 1＋ k 2 ， y 1 ＋ y 2＝k ( x 1＋ x 2) ＋ 6＝ 1＋ k 2 ，→ → → → OD ＝ OA ＋ OB ＝ ( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2) ， MC ＝ (1 ，－ 3) ，→ →假定 OD ∥ MC ，则－ 3( x 1＋x 2) ＝ y 1＋ y 2，6k － 2 2k ＋ 6∴3× 1＋k 2 ＝ 1＋k 2 ，3 －∞， 1－2 6∪ 1＋26，＋∞ ，假定不建立，解得 k ＝ ?433∴不存在这样的直线l .→→1→→3．已知 A ( － 2,0) ， B (2,0) ，点 C ，点 D 知足 | AC | ＝ 2 ， AD ＝2( AB ＋ AC ) ． (1) 求点 D 的轨迹方程；(2) 过点A 作直线l交以 ， B 为焦点的椭圆于， 两点，线段的中点到y 轴的距离为4，且AM NMN5直线 l 与点 D 的轨迹相切，求该椭圆的方程．解(1) 设 ， 点的坐标分别为( 0， 0)， ( ， ) ，C DC xyD xy→→，则 AC ＝ ( x 0＋ 2， y 0) ， AB ＝ (4,0) 则 → ＋ → ＝( x 0＋ 6， 0) ，AB ACy→1 →→ x 0y 0故 AD ＝ 2( AB ＋ AC ) ＝＋3，2.2x 0又 →＝ ( x ＋2， ) ，故2 ＋3＝ x ＋ 2，AD yy 02＝ y .x 0＝2x － 2，解得y ＝ 2y .代入 |→＝x 0＋222| ＋ 0＝ 2，ACy得 x 2＋ y 2＝ 1，即所求点 D 的轨迹方程为 x 2＋y 2＝ 1.(2) 易知直线 l 与 x 轴不垂直，设直线l 的方程为y ＝ k ( x ＋ 2) ，①x 2y 22设椭圆方程为 a 2＋ a 2－ 4＝ 1( a >4) ．②将①代入②整理，得 ( a 2k 2＋ a 2－ 4) x 2＋ 4a 2k 2x ＋ 4a 2k 2－a 4＋ 4a 2＝ 0. ③由于直线 l 与圆 x 2＋y 2 ＝1 相切，|2 k |＝ 1，故k 2＋ 121解得 k ＝ 3.故③式可整理为 (a 2－3) x 2＋ 2－ 3 4＋ 4 a 2＝ 0.a x 4a设 M ( x 1， y 1) ，N ( x 2， y 2) ，a 2则 x 1＋ x 2＝－ a 2－ 3.a 2＝2× 4 2，由题意有2( a >4)a － 3 5解得 a 2＝ 8，经查验，此时 >0.故椭圆的方程为x 2 y 2＋ ＝ 1.84224．已知点 F ，F 分别为椭圆 C ：a＋b＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点， P 是椭圆 C 上的一点， 且 | F F |12x 2 y 21 2＝ 2，∠ 1 2＝ π，△ 12的面积为 3 .F PFF PF3 3(1) 求椭圆 C 的方程；5(2) 点 M 的坐标为 4， 0 ，过点 F 2且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 订交于 A ， B 两点，关于随意的→ →k ∈R ，MA · MB 能否为定值？假如，求出这个定值；若不是，说明原因．解(1) 设 | PF 1| ＝ m ，| PF 2| ＝ n .2 22π在△ PF 1F 2 中，由余弦定理得 2 ＝ m ＋n － 2mn cos 3 ， 化简得， 2＋ n 2－ ＝ 4.mmn由 S △ PF 1F 2＝3 1 π 3，得 mn sin＝ .32334化简得 mn ＝ 3.222于是 ( m ＋ n ) ＝ m ＋ n － mn ＋ 3mn ＝ 8.∴ ＋ ＝ 2 2，由此可得，＝ 2.m na又∵半焦距 c ＝ 1，∴ b 2＝ a 2－ c 2＝1.x 22所以，椭圆 C 的方程为 2 ＋ y ＝ 1. (2) 由已知得 F 2(1,0) ，直线 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ，y ＝ k x － 1 ，由 x 222 ＋ y ＝ 1消去 y ，得 (2 k 2＋ 1) x 2－4k 2x ＋ 2( k 2 －1) ＝ 0.设 A ( x 1， y 1) ，B ( x 2， y 2) ，4k 22 k 2－ 1则 x 1＋ x 2＝ 2k 2＋ 1， x 1x 2＝ 2k 2 ＋1 .∵→· →55＝ x 1 － ， y 1 · x 2－ ， y 2MA MB44＝ x 1－5x 2－5＋1 244y y＝ x 152－ 5 22－ 1)－4 x4 ＋ k ( x 1－ 1)( x＝ ( k 2122＋ 512252＋ 1) x x － k4 ( x ＋ x ) ＋ 16＋ k242k 2＋ 522k －2k4252＝ ( k＋ 1) 2k 2＋1－2k 2＋ 1 ＋ 16＋ k － 4k 2－ 2 25＝ 2 k 2＋ 1 ＋167＝－ 16.→→ 7 为定值．由此可知 MA · MB ＝－16x2y25．已知双曲线E：a2－b2＝1( a>0， b>0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线 x－y＋6＝ 0 相切．(1)求双曲线 E 的方程；(2)已知点F 为双曲线E的左焦点，试问在x轴上能否存在必定点，过点随意作一条直线交M M→ →M的坐双曲线 E 于 P，Q两点( P 在 Q点左边)，使 FP·FQ为定值？若存在，求出此定值和全部的定点标；若不存在，请说明原因．解(1) 由题意知|6|2＝ a，∴ a＝ 3. 12＋－ 1又∵ 2c＝ 4，∴c＝ 2，∴b＝c2－ a2＝1.2x2∴双曲线E的方程为－y＝ 1.(2)当直线为 y＝0时，则 P(－3，0) ，Q(3，0) ，F( － 2,0)，→ →3＋2,0) ·( 3＋ 2,0)＝ 1.∴ FP· FQ＝(－当直线不为y＝0时，2x2可设 l ： x＝ ty ＋ m( t ≠±3) ，代入E：－y＝1，222＝0( t≠± 3)． (*)整理得 ( t－ 3) y＋ 2mty＋m－ 32 2由 >0，得m＋t >3.设方程12122mt (*) 的两个根为y， y，知足 y ＋ y ＝－t2－3，2－ 3my1y2＝t2－3，→→∴ FP· FQ＝( ty1＋m＋ 2，y1) ·(ty2＋m＋ 2，y2)＝( t2＋ 1) y1y2＋t ( m＋ 2)( y1＋y2) ＋ ( m＋ 2) 222t－ 2m－ 12m－ 15＝t 2－3.当且仅当 2 2＋12＋15＝3 时，→·→ 为定值，m m FP FQ 解得 m1＝－3－3，m2＝－3＋3(舍去)．综上，过定点 M(－3－3，0) 随意作一条直线交双曲线→ →E 于 P，Q两点，使 FP· FQ＝1.5。

高三高三数学第二轮复习专题练习题解析几何高考题型精品IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】复习六解析几何高考题型 解析几何中的基本量如直线方程、点到直线的距离、圆及圆锥曲线的各种基本量。

[例1]对于每个自然数n ，抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示该两点间的距离，则112219991999A B A B A B +++的值是（） （A ）19981999（B ）20001999（C ）19991998（D ）19992000[例2]（97年高考题〈文〉）已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3∶1；③圆心到直线:20l x y -=1．过点(2,4)M -作圆22:(2)(1)25C x y -+-=的切线1,l 已知直线2:320l ax y a ++=与1l 平行，则1l 与2l 之间的距离为（）（A ）85（B ）25（C ）285（D ）125 2．已知两直线1:sin 10l x y θ+-=和2:2sin 10,l x y θ++=当12∥l l 时，θ=__________________;当12l l ⊥时，θ=____________________.3．已知双曲线的一条准线与渐近线的交点为A 、B ，这条准线的相应焦ABF ∆是等边三角形，那么此双曲线的离心率为________.椭圆的第一定义12122(2)MF MF a a F F +=>； 双曲线的第一定义12122(02)MF MF a a F F -=±<<；统一定义MF e d=（d 为动点M 到相应准线的距离）01e <<时为椭圆：1e >时为双曲线：1e =时为抛物线。

[例3]P 是椭圆2212516x y +=上一点，1F 、2F 是焦点，若1230F PF ∠=则12PF F ∆的面积是_______________.[例4]过双曲线22145x y -=的右焦点F 作一条长为AB （A 、B 均在双曲线的的右支上），将双曲线绕右准线旋转90，则弦AB 扫过的面积为（）（A ）32π（B ）16π（C ）8π（D ）4π[例5]已知点(2,6),A P 为抛物线216y x =上任一点，P 到y 轴上的距离为d ，则_____________.4．P 是长轴在x 轴上的椭圆22221x y a b+=上的点，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF ⋅的最大值与最小值之差一定是（）（A ）1（B ）2a （C ）2b （D ）2c5．抛物线21:4C y x =与椭圆222(5):11680x y C -+=在x 轴上方的交点为A 、B ，设2C 的左顶点为F ，则________.AF BF +=6．设1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是双曲线上一点，且1290F PF ∠=，已知双曲线的离心率为54，12Rt F PF ∆的面积是9，则a b +=（）5（C ）6（D ）7直线与圆锥曲线联立直线与圆锥曲线的方程，再结合函数与方程的思想来解决问题。

高三数学第二轮专题复习系列(7)直线与圆的方程注：【高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题共10讲全部免费欢迎下载】一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系 在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：P A2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ，AD ＝b ，则 A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，设P (x ，y )， 则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)．40)2(2++-=a(3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0． 【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．122．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( )A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______． ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x AB 214141-图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|P A|＋｜PB｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．．．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线2．直线的倾斜角和斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率 倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或 (2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交k 1≠k 2；l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1．⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=--⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔⇔⇔6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为 所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以 设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为 ⋅+++=2211||B A C By Ax d 082=-+y x 082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α,231312-=+-+=BC k所以 因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ，由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β，故l 斜率k 的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α； ②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan |k |．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)，令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ， 由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1， 所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；(2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2，当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈ k 1212x x y y --BA -k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意； 当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；(2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直； 当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝， 若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注03534=---y x 22－+m m m m 42-21+m m3-意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0； ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以 即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围． 解法一：解方程组，得交点 由题意，得，解得 解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ⋅<<250k图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)，因为 由题意，得 【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则 将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为 则△ABO 的面积 所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x a y l ),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 53A ．B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．(1)求｜P A ｜的最小值；(2)若|P A |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程． 43-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______． 解：(1)将直线化为 由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；,223a x y +=23231a +⨯>图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0，所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值；(2)z 2＝x －y 的最大值；(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(4)的取值范围(x ≠1)． 略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值 (4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．14-=x yz 2)52(;541-x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥00y x如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得 又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值，所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M ，此时z 取到最大值 答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品． 例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)，此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．)720,712(71290⨯.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得 此时f (－2)取到最小值 所以5≤f (－2)≤10． 【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7),21,23(C .5212234=⨯-⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤αA ．B ．C ．D ．二、填空题 5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％( ⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则%100⨯)2,2(ED --21.422F E D -+⇔⇔⇔＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切；＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离． 4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则 d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切； R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含． 【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题． 【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程： (1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上； (3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即， 因为所以圆的半径所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． (3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 因为圆过点A ，B ，所以 4D ＋2E ＋F ＋20＝0，① －D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ． 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， 设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x xy由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程；(2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系． 解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0． 整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b 2＝r 2， 故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2． (2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程． 解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，0=⋅.||22222r rr ba r d =>+=3图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3， 验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3． (2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)， 设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，所以，即圆心到直线l 的距离为1，,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM ,1||||||22=-=PM CP CM于是，解得k ＝0或， 所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3则，即 因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA｜＝故当d ＝时，， 此时AC ⊥l 1，因为 所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)， 所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5， 且点A 到圆C 的圆心的距离等于 所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ， 所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点． (1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由； (2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)． 则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25． 将点D 的坐标代入W 的方程，适合． 所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25． (2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，,522)2()11(22<=-+--).1,62(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)∴当且仅当时，等号成立． 即当时，△OPQ 的面积有最小值25． 练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) ,11k k -= ,,00001y xk x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62251=+bya xA ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5 C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______． 6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个． 8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．11122≤+b a 11122≥+b a )0(33≥=x x y 23255§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； (2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质． 【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则，即 化简得x 2＋y 2－6x ＋5＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－6x ＋5＝0．⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F 2||||=PB PA ,2)2()1(2222=+-++yx y x。