1.1.1 算法的概念

1.1.1算法的概念新知初探1．算法的概念在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．2．算法的特征(1)确定性：算法中每一步都是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果．(2)有限性：一个算法的步骤是有限的，不能无限地进行下去，它能在有限步的操作后解决问题．(3)有序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步．(4)不唯一性：解决一个问题可以有多种不同的算法．(5)普遍性：给出一个算法的程序步骤，它可以解决一类问题，并且能够多次重复使用．小试身手1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求解一类问题的算法是唯一的()(2)算法必须在有限步骤操作之后解决问题()(3)算法执行后一定产生确定的结果()2．下列叙述不能称为算法的是()A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22D．解方程x2－2x＋1＝03．下面是某人出家门先打车去火车站，再坐火车去北京的一个算法，请补充完整．第一步，出家门．第二步，________________.第三步，坐火车去北京．题型一算法概念的理解[典例]下列说法正确的是()A．算法就是某个问题的解题过程B．算法执行后可以产生不同的结果C．解决某一个具体问题算法不同，则结果不同D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施类题通法算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．[活学活用]有人对哥德巴赫猜想“任何大于4的偶数都能写成两个奇质数之和”设计了如下操作步骤：第一步，检验6＝3＋3.第二步，检验8＝3＋5.第三步，检验10＝5＋5.……利用计算机一直进行下去！请问：利用这种步骤能够证明猜想的正确性吗？这是一个算法吗？题型二算法的设计[典例]写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．类题通法设计具体问题的算法的一般步骤(1)分析问题，找出解决问题的一般数学方法；(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．[活学活用]1．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法如下，请补充完整．第一步，求1×3得结果3.第二步，将第一步所得结果3乘以5，得到结果15.第三步，_________________________________________________________________.第四步，再将第三步所得结果105乘以9，得到结果945.第五步，再将第四步所得结果945乘以11，得到结果10 395，即为最后结果．2．写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．学业水平达标1．下列关于算法的说法中正确的个数有( )①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③x 2－x ＞2是一个算法；④算法执行后一定产生确定的结果．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知直角三角形两直角边长为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步：( )①计算c ＝a 2＋b 2；②输入直角三角形两直角边长a ，b 的值；③输出斜边长c 的值．其中正确的顺序是( )A ．①②③B ．②③①C ．①③②D ．②①③3．下列叙述中，①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…99＋1＝100；③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州；④3x ＞x ＋1；⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….能称为算法的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 4．下列所给问题中，不能设计一个算法求解的是( )A ．用“二分法”求方程x 2－3＝0的近似解(精确度0.01)B ．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0，x －y ＋3＝0 C ．求半径为2的球的体积D ．求S ＝1＋2＋3＋…的值参考答案小试身手1．【解析】由算法具有有限性、确定性和不唯一性可知(1)错，(2)、(3)对．【答案】(1)× (2)√ (3)√2．【解析】选项A，B给出了解决问题的方法和步骤，是算法；选项C是利用公式计算，也属于算法；选项D只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．【答案】D3．【答案】打车去火车站[典例]【解析】例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项A，算法不能等同于解法；选项C，解决某一个具体问题算法不同，但结果应相同；选项D，算法可以为很多次，但不可以无限次．【答案】B[活学活用]解：利用这种步骤不能证明猜想的正确性．此步骤不满足算法的有限性，因此不是算法.[典例] [解]法一：第一步，计算1＋2得到3.第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6.第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10.第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15.第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21.法二：第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7.第二步，计算3×7.[活学活用]1．【解析】依据算法功能可知，第三步应为“再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105”．【答案】再将第二步所得结果15乘以7，得到结果1052．解：法一：第一步，移项得x2－2x＝3.①第二步，①式两边同时加1，并配方得(x－1)2＝4.②第三步，②式两边开方，得x－1＝±2.③第四步，解③式得x1＝3，x2＝－1.法二：第一步，计算出一元二次方程的判别式的值，并判断其符号．显然Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0.第二步，将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x1,2＝－b±b2－4ac2a，得x1＝3，x2＝－1.学业水平达标1．【解析】依据算法的多样性(不唯一性)知①错误；由算法的有限性，确定性知②④正确；因为x2－x＞2仅仅是一个数学问题，不能表达一个算法，所以③是错误的；由于算法具有可执行性，正确的有②④.【答案】B2．【解析】明确各步骤间的关系即可知D选项正确．【答案】D3．【解析】根据算法的含义和特征知：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x＞x＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．【答案】B4．【解析】对于D，S＝1＋2＋3＋…，不知道需要多少步完成，所以不能设计一个算法求解．【答案】D。

1.1.1算法的概念【教学目标】1．通过回顾二元一次方程组的求解过程，体会算法的基本思想．2．了解算法的含义和特征．3．会用自然语言描述简单的具体问题的算法．【要点梳理】1．算法的特征(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限的操作之后停止，不能是无限的．(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可．(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．(4)不唯一性：求解某一问题的解法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的算法．(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决．2．算法与计算机计算机解决任何问题都要依赖于算法．只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．3．算法的设计(1)设计算法的目的设计算法的目的实际上是寻求一类问题的解决方法，它可以通过计算机来完成．设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的．(2)设计算法的要求①写出的算法必须能解决一类问题．②要使算法尽量简单、步骤尽量少．③要保证算法步骤有效，且计算机能够执行．【思考诊断】判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个算法可以无止境地算下去．( )(2)一个程序的算法步骤是可逆的．( )(3)算法执行后可以不产生确定的结果．( )[提示] (1)× 一个算法的步骤是有限的，必须保证执行有限步后结束．(2)× 算法的步骤具有顺序性，是不可逆的．(3)× 一个算法得到有效地执行后应该得到确定的结果．【课堂探究】题型一 对算法概念的理解【典例1】 下列描述不能看作算法的是( )A ．洗衣机的使用说明书B ．解方程x 2＋2x －1＝0C ．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤D ．利用公式S ＝πr 2计算半径为3的圆的面积，就是计算π×32[解析] A 、C 、D 都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而B 只描述了一个事例，没有说明怎样解决问题，不是算法．[答案] B【规律方法】算法的判断方法要判断一个语段是不是算法，需要抓住以下两点：(1)写出的算法可以用于解决某一类问题，并且能重复使用；(2)算法的过程或步骤必须是确定的且经过有限步后能完成的．[针对训练1] 下列说法中是算法的有________(填序号)．①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1；③求以A (1,1)，B (－1，－2)两点为端点的线段AB 的中垂线方程，可先求出AB 中点的坐标，再求k AB 及中垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段AB 的中垂线方程；④求1×2×3×4的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6,6×4＝24，得最终结果为24； ⑤12x >2x ＋4.[解析] ①说明了从上海到拉萨的行程安排．②给出了解一元一次不等式这类问题的解法．③给出了求线段的中垂线的方法及步骤．④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果．故①②③④都是算法．[答案] ①②③④题型二 算法的设计【典例2】 给出求解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，4x ＋5y ＝11的一个算法． [解] 解法一：用代入消元法第一步，由2x ＋y ＝7得y ＝7－2x .第二步，将y ＝7－2x 代入4x ＋5y ＝11，得4x ＋5(7－2x )＝11，解得x ＝4.第三步，将x ＝4代入方程y ＝7－2x ，解得y ＝－1.第四步，输出方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1. 解法二：用加减消元法第一步，方程2x ＋y ＝7两边都乘以5得，10x ＋5y ＝35.第二步，将第一步所得的方程与方程4x ＋5y ＝11作差，消去y 得6x ＝24，解得x ＝4. 第三步，将x ＝4代入方程2x ＋y ＝7，解得y ＝－1.第四步，输出方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－1. 【规律方法】设计算法的四个步骤[针对训练2] 所谓正整数p 为素数是指：p 的所有约数只有1和p .例如，35不是素数，因为35的约数除了1,35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n (n ＞1)是否为素数的算法．[解] 算法如下：第一步，给出任意一个正整数n (n ＞1)．第二步，若n ＝2，则输出“2是素数”，判断结束．第三步，令m ＝1.第四步，将m 的值增加1，仍用m 表示．第五步，如果m ≥n ，则输出“n 是素数”，判断结束．第六步，判断m 能否整除n ，①如果能整除，则输出“n 不是素数”，判断结束；②如果不能整除，则转第四步.题型三 算法的实际应用【典例3】 一次青青草原草原长包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河．河边只有一条船，由于船太小，只能装下两样东西．在无人看管的情况下，灰太狼要吃懒羊羊，懒羊羊要吃青草，请问包包大人如何才能带着他们平安过河？试设计一种算法．[思路导引] 先根据条件建立过程模型，再设计算法．[解] 包包大人采取的过河的算法可以是：第一步，包包大人带懒羊羊过河；第二步，包包大人自己返回；第三步，包包大人带青草过河；第四步，包包大人带懒羊羊返回；第五步，包包大人带灰太狼过河；第六步，包包大人自己返回；第七步，包包大人带懒羊羊过河．【规律方法】解决此类问题：(1)弄清题目中所给要求．(2)建立过程模型．(3)根据过程模型建立算法步骤，必要时由变量进行判断．[针对训练3] 某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为C ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53×W ， W ≤50 ，50×0.53＋(W －50)×0.85，W >50，其中W(单位：kg)为行李的质量．请设计一个计算托运费C(单位：元)的算法．[解]第一步，输入行李的质量W.第二步，若W≤50，则C＝0.53×W；否则，C＝50×0.53＋(W－50)×0.85.第三步，输出托运费C.【课堂小结】1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性．2．算法设计的要求：(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果．【随堂巩固】1．下列可以看成算法的是()A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题B．今天餐厅的饭真好吃C．这道数学题难做D．方程2x2－x＋1＝0无实数根[解析]A是学习数学的一个步骤，所以是算法．[答案]A2．下面四种叙述能称为算法的是()A．在家里一般是妈妈做饭B．世界杯决赛中规定两队出场顺序为混双、男单、男双、女单、女双，且赢3局者为冠军C．在野外做饭叫野炊D．做饭必须要有米[解析]算法是解决一类问题的程序或步骤，A，C，D均不符合．[答案]B3．下列有关“算法”的说法不正确的是()A．算法是解决问题的方法和步骤B．算法的每一个步骤和次序应当是确定的C．算法在执行有限个步骤后必须结束D．算法是能够在计算机上运行的程序语言[解析]因为算法是为解决问题而设计的一系列可操作或可计算的步骤，通过这些步骤能够有效地解决问题．算法具有有限性、确定性、有序性、可行性、有输出等特征，因此A，B，C正确，而算法只有用计算机能够接受的“语言”准确的描述出来，才能够在计算机上运行，而一般用自然语言描述的算法是不能够在计算机上运行的程序语言．[答案]D4．有蓝、黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，现有空墨水瓶若干，解决这一问题最少需要的步骤数为()A．2 B．3 C．4 D．5[解析]第一步，将蓝墨水装到一个空墨水瓶中；第二步，将黑墨水装到黑墨水瓶中；第三步，将蓝墨水装到蓝墨水瓶中，这样就解决了这个问题，故选B.[答案]B5．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程．下列选项中最好的一种算法是()A．第一步，洗脸刷牙．第二步，刷水壶．第三步，烧水．第四步，泡面．第五步，吃饭．第六步，听广播B．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭．第五步，听广播C．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭同时听广播D．第一步，吃饭同时听广播．第二步，泡面．第三步，烧水同时洗脸刷牙．第四步，刷水壶[解析]最好算法的标准是方便、省时、省力．A中共需5＋2＋8＋3＋10＋8＝36(min)，B中共需2＋8＋3＋10＋8＝31(min)，C中共需2＋8＋3＋10＝23(min)，D中共需10＋3＋8＋2＝23(min)，但算法步骤不合理，最好的算法为C. [答案]C。