随机信号分析估计理论
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第三章信号检测与估计理论1
存在最佳门限 x 0 ，同时考虑到两种假设。这就是最佳检
测的概念。这是我们本章要讨论的问题，即信号的最佳
检测理论
28
3.2.6 信号统计检测理论的归纳与抽象
1. 二元信号 信号模型
H 0 ： x k s k 0 n k ， k 1 , 2 , , N H 1 ： x k s k 1 n k ， k 1 , 2 , , N
1. 平均代价C的概念
判决概率 PH i|H j是影响检测性能的因素之一； 判决概率 PH i|H j对检测性能影响的大小受先验概率 PH j（ j0,1 ） 的控制 P H 0 P H 1 1 ；
各种判决所付出的代价是不一样的，为此，我们给每种 判决赋定一个代价因子c（ ij i,j 0,1） ，并满足 c10c00, c01c11。
24
25
3.2.4 判决结果和判决概率
由于存在噪声 n~N 0,n 2，所以有四种判决结果：
假设
判决
H0
H1
H0
H 0|H 0 H 0|H 1
统一地记为 Hi|Hj
H1
H 1|H 0 H 1|H 1
i,j0,1
相应地有四种判决概率：
假设
判决
H0
H1
H 0
P H 0|H 0 P H 0|H 1 统一地记为 PH i|H j
这样
px|H 0 21n 2 12ex p x2 A n 22
px|H 1 21n 2 12ex p x2 A n 22
17
即,n～N(0,n2) (x| H0)～N(A,n2), (x| H1)～N(A,n2)
所以观测信号(x| Hj, j 0,1)的生成模型及其概率 密度函数p(x| Hj, j 0,1)分别如下.
随机信号分析理论应用综述
随机信号分析理论的应用综述通信1315001班李姝一.概述（1）随机信号理论的研究背景：近年来，随着现代通讯和信息理论的飞速发展，对随机信号的研究已经渗透到各个科学技术领域，随机信号的处理是现代信号的处理的重要理论基础和有效方法之一。
在学习电子信息类学科时，经常需要分析随机信号及与系统的相互作用，这时，随机信号分析理论就应用而生，对随机信号进行实验分析研究和计算机统计试验模拟和现代谱估值对解决实际问题有很大的帮助。
随着数字通信的崛起，这些理论和方法很快被通信技术界所接受，并将它们拓展到最佳解调领域，形成了随机信号处理学科的完整内容。
（2）随机信号理论的主要研究问题：统计问题：由于对随机过程（信号）的分析来讲，我们往往不是对一个实验结果（一个实现或一个具体的函数波形）感兴趣，而是关心大量实验结果的某些平均量（统计特性），因而随机过程（信号）的描述方式以及推演方式都应以统计特性为出发点。
这样，尽管从个别的实现看不出什么规律性的东西，但从统计的角度却表现出一定的规律性，即统计规律性，它是本门学科一个最根本的概念。
模型问题：本课程重点研究一般化（抽象化）的系统干扰和信号，往往仅给出他们的系统函数模型和数学模型，而不是讨论具体的系统，更不会局限于一些具体的电路系统上。
物理问题：概率论与数理统计随机过程理论等只是处理本命学科有关问题的一种工具因而学习本门课程除了注意处理问题的方法，更重要的是对一数学推演的结果和结论的物理意义有深入的理解。
重点掌握处理问题的思路与方法。
随机信号通过线性、非线性系统统计特件的变化；在通信、雷达和其他电子系统中常见的一些典型随机信号，如白噪声、窄带随机过程、高斯随机过程、马尔可夫过程等。
二.主要内容（1）随机信号理论的主要研究内容：本课程主要学习随机过程的基本概念和基本特征，它是学习随机信号分析的基础；随机信号的平稳性，平稳随机过程的数字特征、相关函数的性质。
掌握平稳随机序列的期望、自相关序列的求解等；功率谱密度以及它的性质、互谱密度及性质等；随机信号两种统计特性的描述方法，重点研究数字特征，如均值、方差、相关函数、相干函数、功率谱密度平稳随机过程：将随机过程划分为平稳和非平稳有重要的实际意义，因为过程若属于平稳的可使问题的分析变得简单。
第四章 估计理论
第四章 估计理论
估计理论通常是对以下三种情况而言： 估计理论通常是对以下三种情况而言： 一种情况是指根据观测样本直接对观测样本的 各类统计持性作出估计，如观测样本的均值， 各类统计持性作出估计，如观测样本的均值，均 方差，各阶矩，各阶累量，相关函数等作出的估 方差，各阶矩，各阶累量， 计，这类估计在随机信号分析和处理中是经常遇 到的一类估计。 到的一类估计。 第二种情况是根据观测的样本，对观测样本中的 第二种情况是根据观测的样本， 信号部分的未知特定参量作出估计 未知特定参量作出估计----参量估计 信号部分的未知特定参量作出估计 参量估计 第三种情况则是根据观测样本对随时间变化的 信号s(t) 作出其波形估计 过程（或波形）估计。 作出其波形估计 过程（或波形）估计。 波形估计---过程 信号
θˆ = ∫ θ f (θ \ Y ) dθ = E[θ \ Y ]
θ
θ 的条件均值
ˆ |≥ ∆ ˆ ) = 1, | θ − θ C (θ , θ 2 0, E lse
C (θˆ\Y ) = ∫ C (θ , θˆ ) f (θ \ Y ) d θ
θ
=
∫
θˆ −
∆ 2
−∞
ˆ ) f (θ \ Y ) dθ + ∞ ∆ (θ − θˆ ) f (θ \ Y ) d θ (θ − θ ∫ˆ
ˆ ˆ C(θ\Y) =∫ C(θ ,θ ) f (θ \ Y )dθ
θ
条件平均估计代价
ˆ 使平均估计代价最小等价于条件平均估计代价 C(θ\Y) 最小 .
ˆ) =| θ − θ |2 ˆ C (θ , θ
ˆ) = E （θ − θ ) 2 为估计的均方误差 。 ˆ 此时 C (θ ˆ 使 C (θ )最小的估计又称为最小均方误差 估计。
估计理论通常是对以下三种情况而言： 估计理论通常是对以下三种情况而言： 一种情况是指根据观测样本直接对观测样本的 各类统计持性作出估计，如观测样本的均值， 各类统计持性作出估计，如观测样本的均值，均 方差，各阶矩，各阶累量，相关函数等作出的估 方差，各阶矩，各阶累量， 计，这类估计在随机信号分析和处理中是经常遇 到的一类估计。 到的一类估计。 第二种情况是根据观测的样本，对观测样本中的 第二种情况是根据观测的样本， 信号部分的未知特定参量作出估计 未知特定参量作出估计----参量估计 信号部分的未知特定参量作出估计 参量估计 第三种情况则是根据观测样本对随时间变化的 信号s(t) 作出其波形估计 过程（或波形）估计。 作出其波形估计 过程（或波形）估计。 波形估计---过程 信号
θˆ = ∫ θ f (θ \ Y ) dθ = E[θ \ Y ]
θ
θ 的条件均值
ˆ |≥ ∆ ˆ ) = 1, | θ − θ C (θ , θ 2 0, E lse
C (θˆ\Y ) = ∫ C (θ , θˆ ) f (θ \ Y ) d θ
θ
=
∫
θˆ −
∆ 2
−∞
ˆ ) f (θ \ Y ) dθ + ∞ ∆ (θ − θˆ ) f (θ \ Y ) d θ (θ − θ ∫ˆ
ˆ ˆ C(θ\Y) =∫ C(θ ,θ ) f (θ \ Y )dθ
θ
条件平均估计代价
ˆ 使平均估计代价最小等价于条件平均估计代价 C(θ\Y) 最小 .
ˆ) =| θ − θ |2 ˆ C (θ , θ
ˆ) = E （θ − θ ) 2 为估计的均方误差 。 ˆ 此时 C (θ ˆ 使 C (θ )最小的估计又称为最小均方误差 估计。
随机信号分析-估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
举例：高斯白噪声中的DC电平估计
zi A vi
i 1,..., N
vi 是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为 v2
A ~ N ( A , )
2 A
f ( A | z)
f (z | A) f ( A)
f (z | A) f ( A)dA
z
v exp[( x a)2 / 2] exp[( x a) 2 / 2 2[Q( x a) Q( x a)]
a A0 / v
x z / v
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
估计量 A0
ˆ A ml
ˆ A map
ˆ A ms
-A0 A0
z
-A0 估计图形
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
1 1 2 ( zi A) exp 2 A A 2 i 1 2 A 2 A 1 1 1 1 N 2 2 2 ( zi A) exp 2 A A dA (22 ) N / 2 exp 2 2 i 1 2 A 2 A 1 1 exp 2 2 N /2 (2 ) 2
生物医学
自动控制
地震学
这些应用都有一个共同的目标：要能够确定感 兴趣的事件在什么时候发生，以及该事件中更 多的一些信息，前者是一个检测问题，或者称 为统计判决问题，后者是参数的估计问题。
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
数字源
0或1
调制器
信道
解调器
检测器
主讲教师:罗鹏飞教授
第5章随机信号分析
Rxy () 0
R xy ( )
0 的最大峰值一般不在 处。
3. 估计
直接方法：
1 R ( m ) x ( n ) y ( n m ) xy N mn 0
^
N 1 m
1 R ( m ) y ( n ) x ( n m ) yx N mn 0
求傅立叶变换，得
N 1 ^
N 1N 1 1 j m j m R ( m ) e x ( n ) x ( n m ) e x N N N m ( N 1 ) m ( N 1 ) n 0
N 1 N 1 1 j m x ( n ) x ( n m ) e N N N n 0 m ( N 1 )
^
4 自相关函数的应用
检测淹没在随机噪声中的周期信号
x ( t ) x sin( t ) 0
T / 2 1 2 R ( ) lim x sin( t ) sin[ ( t ) ] dt x 0 T / 2 T T
t 令(
) ,则 dt 1 d
R 0 )R m ) X( X(
性质3
周期平稳过程的自相关函数必是周期函数， 且与过程的周期相同。
E[ X 2 (n)]
性质4
性质5
2 R ( 0 ) = EX [ ( n ) ] X
不包含任何周期分量的非周期平稳过程 满足
m 2 lim R ( m ) R ( ) X X X
平稳随机过程
均值和时间无关，是常数；自相关函数与时间的起点无关， 只与两点的时间差有关。
随机信号分析与估计第2章
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随 机试验所研究的随机现象,其所有可能结果,都可以利用概率空间上 的随机变量或随机向量的取值来定量表示。随机变量本质上相应于某 个随机试验的一次观察结果,随机向量也只对应于某个多维随机试验 的一次观察结果。有时这些随机变量会随着某些参量变化,或者说是 某些参量的函数。在概率论中,所研究的随机变量在试验中的结果与 每次试验ξ 有关而与时间t 无关。在实际中,经常会遇到随机变量在试 验中的结果不仅与每次试验ξ 有关,而且与时间t 有关。这样的随机变 量的集合就构成了随机信号,可记为X (ξ,t)。
• 为随机信号的二维概率密度函数。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随机信号的二维分布律不仅表征了随机信号在两个时刻上的统计特性, 还可表征随机信号两个时刻间的关联程度。通过计算边缘分布,由二 维分布可以得出一维分布的结果,因此,二维分布比一维分布包含了更 多的信息,对随机信号的阐述要更细致,但也更为复杂。但是,二维分布 还不能反映随机信号在两个以上时刻的取值之间的联系,不能完整地 反映出随机信号的全部统计特性。
• 1. 一维概率分布和概率维概率分布函数定义为
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 因此,FX (x;t)是t 时刻的随机变量直至x 的累积概率值。 • 若FX (x;t)的偏导数存在,则称
• 为随机信号的一维概率密度函数。 • 随机信号的一维概率分布是随机信号最简单的统计特性,它只能反映
• 以上两种定义从不同的角度来描述随机信号,但本质是相同的,互为补 充。在对随机信号做实际观测时,常用定义1,随着观测次数的增加,所 得的样本数目也越多,则越能掌握随机信号的统计规律。在对随机信 号做理论分析时,常用定义2,这样随着采样间隔的减小,所得的维数就 变大,则越能掌握随机信号的统计规律。
2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随 机试验所研究的随机现象,其所有可能结果,都可以利用概率空间上 的随机变量或随机向量的取值来定量表示。随机变量本质上相应于某 个随机试验的一次观察结果,随机向量也只对应于某个多维随机试验 的一次观察结果。有时这些随机变量会随着某些参量变化,或者说是 某些参量的函数。在概率论中,所研究的随机变量在试验中的结果与 每次试验ξ 有关而与时间t 无关。在实际中,经常会遇到随机变量在试 验中的结果不仅与每次试验ξ 有关,而且与时间t 有关。这样的随机变 量的集合就构成了随机信号,可记为X (ξ,t)。
• 为随机信号的二维概率密度函数。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随机信号的二维分布律不仅表征了随机信号在两个时刻上的统计特性, 还可表征随机信号两个时刻间的关联程度。通过计算边缘分布,由二 维分布可以得出一维分布的结果,因此,二维分布比一维分布包含了更 多的信息,对随机信号的阐述要更细致,但也更为复杂。但是,二维分布 还不能反映随机信号在两个以上时刻的取值之间的联系,不能完整地 反映出随机信号的全部统计特性。
• 1. 一维概率分布和概率维概率分布函数定义为
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 因此,FX (x;t)是t 时刻的随机变量直至x 的累积概率值。 • 若FX (x;t)的偏导数存在,则称
• 为随机信号的一维概率密度函数。 • 随机信号的一维概率分布是随机信号最简单的统计特性,它只能反映
• 以上两种定义从不同的角度来描述随机信号,但本质是相同的,互为补 充。在对随机信号做实际观测时,常用定义1,随着观测次数的增加,所 得的样本数目也越多,则越能掌握随机信号的统计规律。在对随机信 号做理论分析时,常用定义2,这样随着采样间隔的减小,所得的维数就 变大,则越能掌握随机信号的统计规律。
随机信号分析第一章 概率论1
由于事件、事件的关系及运算与集合、集合的关系 及运算是相当的，故根据集合的运算性质可以推得 事件的运算性质如下： （1）交换律: A∪B=B∪A ， AB=BA ； （2）结合律： (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ， (AB)C=A(BC) ； （3）分配律: (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) ， (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) ； （4）对偶原理： (AB)c=Ac∪Bc， (A∪B)c=Ac∩Bc ； 即 AB A B , A B A B.
（b）试验的所有可能的结果不止一个，而且是事先 已知的； （c）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但究竟出现哪一个结果，试验之前是不能确切预言的
人们将满足上述（a）、（ b ）、（ c ）三个条件的试 验，称为随机试验，简称为试验，以字母E来表示.
随机试验的每一个可能的结果称为基本事件，也称 作样本点，用字母e表示. • 随机试验E的全体基本事件所构成的集合，称为E的 的样本空间，记为Ω. 例 将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反 面出现情况，这也是个随机试验. 故样本空间 S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.
i
用语言表述为：事件和的对立事件等于对立事件的 积，事件积的对立事件等于对立事件的和.
例 在检查某种圆柱形零件时，要求它的长度和直径 都必须合格. 设A、B、C分别表示事件“直径合格”，“长度合 格”，“产品合格”，则
(a)C⊂A,C⊂B； (b) Cc,Bc,Ac分别表示“产品不合格”，“长度不 合格”，“直径不合格”； (c) C=A∩B； (d) Cc=Ac∪Bc； (e) C=A−Bc.
随机信号分析pdf第一章
x
−∞
⎧ ( x − m) 2 ⎫ 1 exp ⎨− ⎬ dx 2σ 2 ⎭ 2πσ ⎩
（1.3.16）
标准正态分布函数通常用Φ(x)表示，即
Φ ( x) = ∫
2 均匀分布
x
−∞
⎧ x2 ⎫ 1 exp ⎨− ⎬ dx 2π ⎩ 2⎭
（1.3.17）
如果随机变量 X 的概率密度函数为
⎧ 1 ⎪ f ( x) = ⎨ b − a ⎪ ⎩ 0
x≥0 x<0
其中 a、b 为常数，则称 X 服从韦伯分布，参数 a 称为尺度参数，b 称为形状参数，雷达的地杂波 的幅度特性通常可以用韦伯分布来描述，概率密度曲线如图 1.3(e)所示。 6 对数正态分布 如果随机变量 X 的概率密度为
⎧ 1 ⎧ ln 2 ( x / m) ⎫ exp ⎨− ⎪ ⎬ f ( x) = ⎨ x 2πσ 2σ2 ⎭ ⎩ ⎪ 0 ⎩
∫
x2
x1
f ( x)dx ，这说明随机变量 X 落在区间 ( x1 , x 2 ] 上的
概率等于图 1.2 中阴影区的面积。从这条性质我们也可以看出，对于连续型随机变量，有
P( X = x) = 0
f ( x)
0
x1
x2
x
图 1.2 随机变量 X 落在区间 ( x1 , x 2 ) 上的概率 对于离散型随机变量，由于它的概率分布函数是阶梯型，那么它的概率密度函数是一串 δ 函数 之和， δ 函数出现在随机变量的取值点，强度为取该值的概率。即
(1.3.15)
2
其中 m、σ为常数，则称 X 服从正态分布，正态分布通常也简记为 N (m, σ ) 。均值为 0，方差为 1 的正态分布 N (0,1) 称为标准正态分布。正态分布随机变量的概率密度是一个高斯曲线，所以又称 为高斯随机变量，概率密度曲线如图 1.3(a)所示。 正态分布函数，
第一章-1--随机信号分析基础
随机信号分析基础
§1 随机信号分析基础
随机过程部 1.3 1.4 1.5 1.6
随机信号 随机信号的统计描述 平稳随机信号 统计特征估计的质量平价 随机信号的功率谱 白噪声信号与谐波信号
1.1 随机信号
随机信号的概念 随机信号的定义 随机信号举例 随机信号的分类
x 2 p( x, t )dx
D X (t) E{[X(t) m X (t)]2 }
[ x mX (t )]2 p( x, t ) dx
2 或表示为：D x (t) E{X (t)} [ x mx (t )]2 p ( x, t )dx
其中
X(t) X(t) m X ( t) 称“中心化随机变量”
举例： 求两个随机数据序列的协方差
随机信号间的 “独立、不相关及正交关系”
如果 X(t)、Y(t) 统计独立，则有:
pxy （x,y;t1,t 2） p（ ;t1 )py(y;t 2） x x
mx E{X} xi pi ( x) 或：mx (n) E{X(n)} xi (n) pi ( x)
i 1 i 1
k
k
均值与概率密度有关，均值仅对长期（或大量）观察才有意义。
均值函数（数学期望）
对于连续时间函数 ：
mx (t) E{X(t)}
xp( x, t )dx
两者均表示随机信号在时刻 t 对于均值的平均偏离程度
均方函数与方差函数
X1(t)
X2(t)
t
t
方差函数：
2 DX (t) E{[X(t) mX (t)]2} ( X (t) var{x(t)})
§1 随机信号分析基础
随机过程部 1.3 1.4 1.5 1.6
随机信号 随机信号的统计描述 平稳随机信号 统计特征估计的质量平价 随机信号的功率谱 白噪声信号与谐波信号
1.1 随机信号
随机信号的概念 随机信号的定义 随机信号举例 随机信号的分类
x 2 p( x, t )dx
D X (t) E{[X(t) m X (t)]2 }
[ x mX (t )]2 p( x, t ) dx
2 或表示为：D x (t) E{X (t)} [ x mx (t )]2 p ( x, t )dx
其中
X(t) X(t) m X ( t) 称“中心化随机变量”
举例： 求两个随机数据序列的协方差
随机信号间的 “独立、不相关及正交关系”
如果 X(t)、Y(t) 统计独立，则有:
pxy （x,y;t1,t 2） p（ ;t1 )py(y;t 2） x x
mx E{X} xi pi ( x) 或：mx (n) E{X(n)} xi (n) pi ( x)
i 1 i 1
k
k
均值与概率密度有关，均值仅对长期（或大量）观察才有意义。
均值函数（数学期望）
对于连续时间函数 ：
mx (t) E{X(t)}
xp( x, t )dx
两者均表示随机信号在时刻 t 对于均值的平均偏离程度
均方函数与方差函数
X1(t)
X2(t)
t
t
方差函数：
2 DX (t) E{[X(t) mX (t)]2} ( X (t) var{x(t)})
随机信号分析理论的应用综述
欢迎共阅随机信号分析理论的应用综述（结课论文）学院：3.1均匀分布白噪声通过低通滤波器3.2语音盲分离3.3系统辨识3.4基于bartlett的周期图法估计功率谱3.5基于MATLAB_GUI的Kalman滤波程序第四章展望参考文献第一章概述1.1随机信号分析的研究背景在一般的通信系统中，所传输的信号都具有一定的不确定性，因此都属于随机信号，否则不可能传递任何信息，也就失去了通信的意义。
随机信号是一种不能用确定的数学关系式来描述的、无法预测未来时刻精准值的信号，也无法用实定的规律性，即统计规律性，它是本门学科一个最根本的概念。
随机信号分析重点研究一般化（抽象化）的系统干扰和信号，往往仅给出他们的系统函数模型和数学模型，而不是讨论具体的系统，更不会局限于一些具体的电路系统上。
概率论与数理统计随机过程理论等只是处理本命学科有关问题的一种工具因而学习本门课程除了注意处理问题的方法，更重要的是对一数学推演的结果和结论的物理意义有深入的理解。
随机信号通过线性、非线性系统统计特件的变化；在通信、雷达和其他电子系统中常见的一些典型随机信号，如白噪声、窄带随机过程、高斯随机过程、马尔可夫过程等。
第二章随机信号分析的主要内容随机信号分析与处理时研究随机信号的特点及其处理方法的专业基础课程，是目标检测、估计、滤波等信号处理的理论基础，在学习过程中，我们需要学会统的重要工具希尔伯特变换，来分析窄带随机过程的统计特性及其一些重要性质。
讨论窄带随机过程经包络检波器和平方律检波器后统计特性的变换。
随机信号通过非线性系统：当动态非线性系统可分时，分为线性系统与无记忆的非线性系统的级联，一般用多项式和伏特拉级数的方法。
马尔可夫过程：一随机过程 {X(t),t∈T}，其值域（状态）可以连续取值，也可以离散取值，如果他的条件概率满足下列关系：P[X(tn+1)<=Xn+1 X(tn)=xn,X(tn-1)=xn-1,...,X(to)=xo]=P[X(tn+1)<=xn+1 X(tn)=xn] 则X（t）为马尔可夫过程。
随机信号分析基础
p( )
x
( p(1)
p(2 ))
x
1
2
2 1
A2 2
1 A2 2
(注意：同一个X，有两个值)
2.2 随机信号的概率表示
5.多维随机变量的概率分布
对于多个随机变量 x1, x2 ,..., xN 其联合概率分布
函数及联合概率密度函数分别是：
F (x1, x2 ,..., xN ) P(1 x1, 2 x2 ,..., N xN )
y
由1和2 ，得 p( y) p(x f 1( y)) x
y
2.2 随机信号的概率表示
例2-2 随机相位正弦信号 X (t) Asin，(0t是) 均匀[0分, 2 ] 布，求：p(x).
解：
p(
)
1
2
0 2
0 others
arcsin(
) A
0t
1
x A2 x2
p((t))
随机信号分析基础
主要内容
概述 随机信号的概率表示 随机信号的数字特征 随机信号的功率谱密度 离散时间随机信号 随机信号的遍历性 几种常见的随机信号 随机信号数字特征的估计
2.1 概述
2.1.1基本概念
随机信号—通常可看成是一个随机变量随时间变化
的 过 程 ， 可 用 一 个 含 两 个 变 量 的 函 数 X i (t)表 示 ， 其 中 t T 参数集, i样 本集。
1） 样本 连续 随机序列 随机过程（随机
空间
函数）
离散 离散参数链 连续参数链
离散
连续
参数集
2）按 X(t取) 值实数、复数分实、复随机信号 3）一维及多维随机信号
2.2 随机信号的概率表示
随机信号分析课件
几何概率的基本性质：
1 0 P[ A] 1
2
P[S] 1
3
P
n k 1
Ak
n k 1
P
Ak
1.1.3 统计概率
f (n) A
nA n
事件频率的性质：
1
0
f (n) A
1
2
f (n) S
1
n
3
(n)
(n)
f f n Ai
Ai i 1
lim P X
i
xn
1/ i lim P X i
xn
1/ i
lim
i
FX
( xi
1
/
i)
FX
( xn
1
/
i)
连续型随机变量
b
a fX (x)dx P[a X b]
FX (b) FX (a)
分布函数可以唯一的确定随机变量取值的概率分布情况。
i1 i1
U P[A] P[AI
S] PAI
N
Bi
N
P[ A I
Bi ]
i1 i1
N
P[ A] P[Bi ]P[ A | Bi ] i 1
1.2.3 贝叶斯公式
P[Bi
|
A]
P[Bi I A] P[ A]
P[ A] 0
Px1 X x2 F x2 F x1
x2 f x dx
x1
• 随机变量X落在区间的概率就是曲线下的曲边梯形的面积。
现代测试技术第6章随机信号分析简介
现代测试技术第6章随机信号分析简介第六章随机信号分析简介本章总课时理论4课时。
本章主要内容本章介绍测试技术中随机信号分析方法，主要内容包括随机信号的幅值域分析、相关分析、功率谱分析。
本章基本要求熟练掌握描述随机信号的主要数字特征参数，掌握时域与频域分析的基本方法，了解时域与频域分析的应用。
本章重点及难点本章重点为随机信号的幅值域分析、相关分析、功率谱分析的基本原理，难点为各部分相关的理论分析。
本章教学方法1. 以课堂理论教学为主。
2. 在理论教学过程中，可利用多媒体对已有应用实例进行演示性教学，使学生对随机信号信号时域与频域分析的应用具有一定的感性认识，激发学生掌握相关基本原理与应用的兴趣。
3. 教学中要求学生在掌握基本原理的基础上，对幅值域分析、相关分析、功率谱分析进行比较，以促进对随机信号信号时域与频域分析方法的理论与应用有比较清楚的认识。
4. 充分利用课外辅导及练习加深对所学理论知识的认识。
实验本章未安排实验课。
课外学习指导及作业1. 名词解释随机信号的均值、方差、均方值、均方根值、相关函数、功率谱密度函数。
2. 简述题(1) 描述随机信号的主要数字特征参数有哪些？其物理意义是什么？各自描述了随机信号的什么特性？(2) 相关分析是在什么范围内分析随机信号的方法？相关系统与相关函数各自描述了随机信号的什么特征？(3) 相关分析在工程上有什么样的应用？试举例说明。
(4) 功率谱分析是在什么范围内分析随机信号的方法？(5) 功率谱分析在工程上有什么样的应用？试举例说明。
(6) 实际信号的谱分析中为什么自功率谱比幅值谱应用更为广泛？(7) 自相关函数、互相关函数、自谱、互谱各自保留了原信号的哪些特征？这对实际应用有什么影响？3. 计算题(1) 试求三角波与方波的概率密度函数p1(x)与p2(x)。
(2) 设随机信号x(t)的自功率谱密度函数为S x(f)，将其输入到频率响应函数为H(f)=1/(1+j2πfτ)的系统中，试求该系统的输出信号y(t)的自功率谱密度函数S y(f)，以及输入输出函数的互功率谱密度函数S xy(f)。
随机信号分析-估计理论PPT文档共90页
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
随机信号分析-估计理论
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
25、学习是劳动，是充满思想的要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
随机信号分析-估计理论
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
第2章 随机信号分析基础
若机变n 量= 。n0 为固定值， ζ为变量，则x(ζ, n0)}为一个随 若ζ = ζ0为固定值， n为变量，则x(ζ0, n)}为一个样
本序列。 若ζ = ζ0 ， n = n0 均为固定值，则x(ζ0, n0)}为一个
数。 若ζ和你n都是变量，则x(ζ, n)}是一个随机过程。
px (x1, x2, , xM ; n1 k, n2 k, , nM k)
8
第2章 随机信号分析基础
2.2.1 随机过程的基本统计量
宽平稳(WSS)随机过程
x (n) x
rx (n1, n2 ) rx (n1 n2 ) rx (k),
k n1 n2
互功率谱
k
Sxy () DTFT{rxy (k )}
复互功率谱
Sxy (z) Z{rxy (k)}
16
第2章 随机信号分析基础
2.4 随机信号通过线性系统
复功率谱
Sxy
(
z
)
H
*
(
1 z*
)
S
x
(
z)
Syx (z) H (z)Sx (z)
功率谱
S
y
(
z
)
H
N(z) D(z)
2 w
B(z) A( z )
B(1/ A(1/
z) z)
w2Q(z)Q(1/
z)
差分方程：
p
q
x(n) ak x(n k) bk w(n k)
k 1
k 0
20
第2章 随机信号分析基础
2.5 谱分解定理
例2.5.1
本序列。 若ζ = ζ0 ， n = n0 均为固定值，则x(ζ0, n0)}为一个
数。 若ζ和你n都是变量，则x(ζ, n)}是一个随机过程。
px (x1, x2, , xM ; n1 k, n2 k, , nM k)
8
第2章 随机信号分析基础
2.2.1 随机过程的基本统计量
宽平稳(WSS)随机过程
x (n) x
rx (n1, n2 ) rx (n1 n2 ) rx (k),
k n1 n2
互功率谱
k
Sxy () DTFT{rxy (k )}
复互功率谱
Sxy (z) Z{rxy (k)}
16
第2章 随机信号分析基础
2.4 随机信号通过线性系统
复功率谱
Sxy
(
z
)
H
*
(
1 z*
)
S
x
(
z)
Syx (z) H (z)Sx (z)
功率谱
S
y
(
z
)
H
N(z) D(z)
2 w
B(z) A( z )
B(1/ A(1/
z) z)
w2Q(z)Q(1/
z)
差分方程：
p
q
x(n) ak x(n k) bk w(n k)
k 1
k 0
20
第2章 随机信号分析基础
2.5 谱分解定理
例2.5.1
随机信号分析 第二章随机信号概论
C XY (t1 , t 2 ) E[{X (t1 ) m X (t1 )}{Y (t 2 ) mY (t 2 )}]
[x m
X
(t1)][ y mY (t 2 )] p XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
且有 C
XY (t1 , t 2 )
（2）如果X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=0,我们称 他们互不相关的.并有 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) （3）若两个过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即 对任意t1,t2有RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=0, 则称两个过程正交。
2 X (t ) D[ X (t )] D[V sin w0t ] sin 2 w0tD[V ] sin 2 w0t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[V sin w0t1 V sin w0t 2 ]
.
sin w0t1. sin w0t 2 E[V 2 ] sin w0t1. sin w0t 2 C X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t 2 ) m X (t 2 ))] E[ X (t1 ) X (t 2 )] RX (t1 , t 2 ) sin w0t1. sin w0t 2
FX ( x1 , t1 ) p X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数
[x m
X
(t1)][ y mY (t 2 )] p XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
且有 C
XY (t1 , t 2 )
（2）如果X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=0,我们称 他们互不相关的.并有 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) （3）若两个过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即 对任意t1,t2有RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=0, 则称两个过程正交。
2 X (t ) D[ X (t )] D[V sin w0t ] sin 2 w0tD[V ] sin 2 w0t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[V sin w0t1 V sin w0t 2 ]
.
sin w0t1. sin w0t 2 E[V 2 ] sin w0t1. sin w0t 2 C X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t 2 ) m X (t 2 ))] E[ X (t1 ) X (t 2 )] RX (t1 , t 2 ) sin w0t1. sin w0t 2
FX ( x1 , t1 ) p X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数
随机信号分析-估计理论90页PPT
随机信号分析-估计理论
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
实验四 随机信号的线性谱估计方法
实验四 随机信号的线性谱估计方法一、设计目的1．利用自相关函数法和周期图法实现随机信号的功率谱估计。
2．观察数据长度、自相关序列长度、信噪比、窗函数、平均次数等对谱估计的分辨率、稳定性、主瓣宽度和旁瓣效应的影响。
3．学习使用FFT 提高谱估计的运算速度。
4. 体会线性谱估计方法的优缺点。
二、设计原理与方法假设信号()x n 为平稳随即过程，其自相关序列定义为()()()m E x n x n m φ*⎡⎤+⎣⎦（4-1） 其中E 表示取数学期望，*表示共轭运算。
根据定义，()x n 的功率谱密度()P ω与自相关序列()m φ存在下面关系：()()j mm P m eωωφ∞-=-∞=∑（4-2）1()()2j mm P e d ωφωωπ∞-∞=⎰(4-3)但是，实际中我们很难得到准确的自相关序列()m φ，只能通过随机信号的一段样本序列来估计信号的自相关序列，进而得到信号的功率谱估计。
目前，常用的线性谱估计的方法有两种，即相关函数法和周期图方法，本实验对这两种方法分别予以讨论。
1. 自相关函数法假设我们已知随机信号()x n 的M 长的自相关序列{()}m φ，利用自相关函数法口语得到()x n 的功率谱估计：1111ˆˆˆ()()()()()L mM j mi m M m x i x i m Pm eL mωφωφ---==-+=*+=-∑∑（4-4）利用窗函数，上式又可表达为ˆˆ()()()R j mM m PW m m e ωωφ∞-=-∞=∑（4-5）其中()R M W m 为矩形窗函数，定义为1,()0,RMm M W m m M⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ （4-6）因此，ˆ()P ω实际上是真正功率谱()P ω和窗函数()R MW m 傅立叶变换的卷积。
矩形窗函数不仅降低了谱估计的分辨率，而且使谱估计产生了旁瓣，旁瓣效应使那些处于旁瓣附近功率较小的频率分量被淹没掉。
为了降低旁瓣影响，可以采用具有较小旁瓣的窗函数，如Hamming 窗，它定义为：0.540.46cos ,0,HMm m M W M m Mπ⎧+<⎪=⎨⎪≥⎩（4-7）这种窗函数可以有效的抑制旁瓣，但是，此时主瓣宽度增大，从而降低了谱估计的分辨率，这种主瓣和旁瓣之间的矛盾在线性谱估计方法中是无法解决的。
随机信号的 DOA 估计方法(共21页)
随机信号的DOA估计方法一、实验(shíyàn)目的1、掌握利用(lìyòng)周期图法、Capon 方法(fāngfǎ)、MUSIC方法实现随机(suí jī)信号DOA估计的方法。
2、观察阵元数目、阵元间距、信噪比、入射方向等参数对角度谱估计性能的影响。
3、理解特征结构类方法进行DOA估计的优点。
二、实验原理信号的来波方向（DOA）估计石阵列信号处理领域中的一个重要内容。
阵列信号模型如图1所示，设均匀阵列中有M个阵元，阵元间距为D，记信号波长为，则阵列等效孔径为，表示入射到阵列上信号的来波方向（DOA），以信号传播方向与阵列法线方向的夹角来表示（顺时针方向为正）。
图 1 阵列信号模型假设信号源位于远场，即信号在到达各个阵元时的波前为平面波，以原点处的阵元为参考点，则个阵元接收到的信号为（1）其中，为信号中心频率， 为波长。
对于窄带解析复信号，有（2）其中(qízhōng)为角频率，则第i个阵元上收到的信号(xìnhào)可以表示为（3）如果(rúguǒ)有d个入射源信号(xìnhào)，它们的入射角分别为，则有（4）M个阵元接收到的信号用矩阵表示为（5）其中将矩阵写成如下形式，这里为导向矢量。
信号的DOA估计大多采用搜索夫人方法，通过对谱估计函数进行峰值搜索，估计信号波数到达的方向。
本实验将对周期图法、Capon法以及MUSIC方法予以讨论。
1．周期图法已知接收信号观测样本序列为有限长序列，记，其自相关矩阵为。
本次实验中根据各态历经假设，对次快拍求平均估计自相关矩阵，从而有。
使用周期图方法进行角度谱估计的结果为（6）（7）因此可以(kěyǐ)通过谱峰搜索估计信号的波达方向。
2．Capon方法(fāngfǎ)Capon方法是一种利用空域(kōngyù)滤波实现DOA估计的方法，通过在期望方向形成波束，并利用剩余自由度在干扰方向形成零陷从而一致干扰和噪声。
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随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
本章学习内容 参数估计的基本概念 最大似然估计 贝叶斯估计 估计的性能 线性最小均方估计 最小二乘估计
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
大家可能会问，什么叫参数估计？参数估计 理论是干什么的？它的基本任务是什么？如 何构造一个参数估计？
均方误差
Mse(ˆ(z)) E{[ ˆ(z)]2}
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
常用的估计准则有
最大后验概率准则 使后验概率密度最大
最小均方误差准则 均方误差最小
条件中位数估计
条件概率密度的中位数
线性最小均方误差准则 线性类估计中均方误差最小
最大似然准则
似然函数最大
最小二乘准则
估计理论
典型的代价函数有：
c[(z)] [ (z)]2
1 c[(z)] 0
c[(z)] (z)
(z) / 2 其他
~
~
平方代价函 数可得到最 小均方估计
绝对值代价函 数可得到条件 中位数估计
随机信号分析估计理论
~
均匀代价函数 可得到最大后 验概率估计
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
1 最小均方估计
采用平方代价函数的贝叶斯估计
采用平方代价函数时的平均代价为:
C ( ˆ(z))2 f (z, )dzd E{[ ˆ(z)]2}
平均代价<====>均方误差 使平均代价最小等价于使均方误差最小
----最小均方估计
随机信号分析估计理论
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
8.2 贝叶斯准则
贝叶斯估计 的基本思想
估计是有误差的，这个误差是 要付出代价的，贝叶斯估计就 是使平均代价最小的估计。
估计的误差为
与误差有关的 代价函数为
(z) ˆ(z) c[, ˆ(z)] c[(z)]
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
测量误差平方和最小
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
前面三种估计需要利用被估计量的先验信息，如被 估计量的概率密度，称为贝叶斯估计，线性最小均 方估计需要已知被估计量的一、二阶矩，称为线性 贝叶斯估计。后面两种估计无需被估计量的先验信 息，称为非贝叶斯估计。
从这些估计准则我们可以看出，按照一定的准则 求估计量实际上就是数学上求函数的极值问题。
平均代价为
C C( ˆ(z)) f (z,)dzd
贝叶斯估计就是使上式的平均代价最小的估计。
或等价于
C C( ˆ(z)) f ( | z) f (z)dzd
C( ˆ(z)) f ( | z)d f (z)dz
C(ˆ | z) C( ˆ(z)) f ( | z)dz 使平均代价最小 不同的代价函数得到不同的估计
地震学----检测地下是否有油田，并根据油层和岩 层的密度，根据声反射来估计油田的地下距离。
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
所有这些问题都有一个共同的特点，那就是从含 有噪声的数据集中去提取我们所需要的有用信息， 这些有用信息可能是“目标出现与否”、“数字 源发射的是0还是1”或者“目标的距离”、“目标 的方位”，或”目标的速度”等，由于噪声固有 的随机性，因此，有用信息的提取必须采用统计 的方法，这些统计方法的基础就是检测理论与估 计理论，就是本课程后续章节学习的内容。
估计量的方差： Var(ˆ(z)) E{[ˆ(z) E(ˆ(z))]2}
方差越小，估计量的取值越集中，性能也越好
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
无偏估计 有偏估计
E[ˆ(z)] 真值 E[ˆ(z)] 真值
对于无偏估计，如果估计的方差越小，表明估计 量的取值越集中于真值附近，估计的性能越好
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
对于有偏估计，尽管估计的方差很 小，但估计的误差可能仍然很大。
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
因此，用估计的方差还不能准确地描述估计的性 能，而如果用均方误差来描述，显然，均方误差 很小，估计的误差也肯定是很小的。所以我们可 以用均方误差作为评价估计量性能的一个指标。
所谓参数估计就是从含有噪声的数据中去 估计信号的某些参数，用数学的观点来看 就是给定一组观测数据去求未知参量。
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
8.1 参数估计的基本概念
测量电阻两端的电压
z1= +v1
v1 ~ N (0, 2 )
ˆ1 z1
如果你有N个观测数据， zi=+vi i=1,2,...,N
估计理论
数字源 0或1 调制器
信道
解调器
检测器
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
声纳系统----利用声波信号确定船只的位置
图象处理----使用红外检测是否有飞机出现
图象分析----根据照相机的图象估计目标的位置和 方向，用机器人抓目标时是必须的
生物医学----估计胎儿的心率
控制----估计汽艇的位置，以便采用正确的导航行 为，如Loran系统
电压值是所有试验数据的平均值
ˆ 2
z
1 N
N
zi
i 1
ˆ1 ˆ 2
是对电压值的两个估计，这两个估计的性 能谁好呢？这需要用一些性能指标来评价
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
评价估计量好坏的性能指标
估计量的均值：希望估计的均值等于真值， 即具有无偏性。
E[ˆ(z)]
E[]
为确定性参量（非随机参量） 为随机参量
雷达 声纳 通信 自动控制
语音 图象分析 Biblioteka 物医学 地震学这些应用都有一个共同的目标：要能够确定感
兴趣的事件在什么时候发生，以及该事件中更
多的一些信息，前者是一个检测问题，或者称
为统计判决问题，后者是参数的估计问题。
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
一、统计信号处理概述
统计信号处理的根本任务是要提取有用的信息， 有用信息是通过检测、估计、滤波的方法对信 号进行处理后提取出来的，所以、检测、估计、 滤波的统计信号处理方法是信号处理技术的理 论基础，它的应用领域十分广泛。
随机信号分析估计理论
主讲教师:罗鹏飞教授
估计理论
统计信号处理的应用领域包括