。2018年河南省开封市高考数学一模试卷(理科)

河南省开封市祥符中学2018年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2都有>0，则()A．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－2)参考答案：B2. 已知方程在有两个不同的解(),则下面结论正确的是（）A． B.C．D．参考答案：C略3. 实数x，y满足，则的最小值为3，则实数b的值为A．B．—C．D．—参考答案：4. 已知a＝，b＝，，则a，b，c三者的大小关系是() A．b>c>a B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a参考答案：A5. 方程有解，则的最小值为（）A．2 B．C．1 D．参考答案：C6. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线的右支上，点N为的中点，O为坐标原点，,,的面积为，则该双曲线的方程为（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据为的中点，由中位线定理可得，且，，再由双曲线的定义结合，可得，然后设双曲线的焦距为2c，在中由余弦定理，结合正弦定理的面积为求解.【详解】由为的中点，所以，且，故，，故，设双曲线的焦距为2c，在中，由余弦定理可得，，，的面积为，，双曲线的方程为.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用及双曲线方程的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.7. 下列结论中正确的个数是（）．①在△ABC中，若，则△ABC是等腰三角形；②在△ABC中，若，则③两个向量，共线的充要条件是存在实数，使④等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：B【分析】对每个命题逐一检验其正确性:①：若，则或；②:转化为证明其逆否命题：在△ABC中，若，则，结合正弦函数单调性可证；③：若，不合命题的充要性，命题为假；④：常数列不合题意.【详解】对于①：若，则或，即或即△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；对于②：证明其等价命题即其逆否命题：在△ABC中，若，则当时，由正弦函数单调递增可得；当时，，所以原命题成立，所以该命题正确；对于③：若，满足向量，共线，但不存在实数，使，所以该命题不正确；对于④：常数列，通项公式，其前项和公式不是二次函数，所以该选项不正确，综上：只有一个正确.故选：B【点睛】此题考查对命题真假性的判断，涉及解三角形，向量，数列相关知识，此类问题涉及面广，考查全面，对综合能力要求较高.8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．7 D．14参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱台．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱台，S上==1，S下==4．∴该几何体的体积V==．故选：B．9. 函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A．【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．10. 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中=－1，则展开式中常数项是（）(A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45参考答案：答案：A解析：第三项的系数为－，第五项的系数为，由第三项与第五项的系数之比为－可得n＝10，则＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常数项为＝45，选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数a、b、c满足条件0≤a＋c－2b≤1，且2a＋2b≤21＋c，则的取值范围是_________．参考答案：12. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的s值等于_____________．参考答案：-3略13. 已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为、、、F，延长与交于点P，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_____________．参考答案：14. 设满足约束条件，则的取值范围为 .参考答案：略15. 奇函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为。

2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞a}，且（∁U A）∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．（5分）若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1﹣2i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量＝（m﹣1，1），＝（m，﹣2），则“m＝2”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若，则sin2α的值为（）A．B．C．1或D．5．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且9S3＝S6，a2＝1，则a1＝（）A．B．C．D．26．（5分）已知曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．B．x2﹣y2＝1C．D．x2﹣y2＝2 7．（5分）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）抛物线M：y2＝4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足P A⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，若函数F（x）＝f （x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n＝（）A．B．445πC．455πD．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z＝3x+5y的最大值为．15．（5分）设f（x）＝，且f（f（a））＝2，则满足条件的a的值有个．16．（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos B （a cos C+c cos A）+b＝0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD＝，求c．18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点．将△ABE 沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；（2）求X的数学期望和方差．附：（，其中n＝a+b+c+d）20．（12分）给定椭圆C：+＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2＝4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝（t﹣1）xe x，g（x）＝tx+1﹣e x．（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．选修4-4：极坐标与参数方程22．（10分）系统找不到该试题选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c＝n﹣m，求++的最小值．2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞a}，且（∁U A）∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵U＝R，集合A＝{x|x≥1}＝[1，+∞），B＝{x|x＞a}＝（a，+∞），∴∁U A＝（﹣∞，1），又（∁U A）∪B＝R，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：A．2．（5分）若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1﹣2i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z1＝1﹣2i，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，∴z2＝﹣1﹣2i，则＝，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），在第四象限．故选：D．3．（5分）已知向量＝（m﹣1，1），＝（m，﹣2），则“m＝2”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵＝（m﹣1，1），＝（m，﹣2），∴⇔m（m﹣1）﹣2＝0．由m（m﹣1）﹣2＝0，解得m＝﹣1或m＝2．∴“m＝2”是“⊥”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）若，则sin2α的值为（）A．B．C．1或D．【解答】解：若，即2（cos2α﹣sin2α）＝cosα﹣sinα，显然，cosα＝sinα时，满足条件，此时，tanα＝1，sin2α＝1．cosα≠sinα，则2（cosα+sinα）＝，即cosα+sinα＝，∴1+2sinαcosα＝，即sin2α＝2sinαcosα＝﹣．综上可得，sin2α＝1或﹣，故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且9S3＝S6，a2＝1，则a1＝（）A．B．C．D．2【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵9S3＝S6，a2＝1，∴＝，a1q＝1．则q＝2，a1＝．故选：A．6．（5分）已知曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．B．x2﹣y2＝1C．D．x2﹣y2＝2【解答】解：根据题意，若曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，则a2＝b2，c＝＝a，即焦点的坐标为（±a，0）；其渐近线方程为x±y＝0，若焦点到渐近线的距离为，则有＝a＝，则双曲线的标准方程为﹣＝1，即x2﹣y2＝2；故选：D．7．（5分）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第7次剩下，可得①为i≤7？②s＝③i＝i+1故选：D．8．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除A；B正确；故选：B．9．（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次，∴最近的行走路线共有：n＝A＝5040，∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列，接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也就是A53，则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m＝＝1440种，∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率p＝＝＝．故选：B．10．（5分）函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞0时，y＝xlnx，y′＝1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D．11．（5分）抛物线M：y2＝4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足P A⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，A（﹣1，0），F（1，0），点P在以AF为直径的圆x2+y2＝1上．设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x﹣1＝0，∵m＞0，∴m＝﹣2+，∴点P的横坐标为﹣2+，∴|PF|＝m+1＝﹣1+，∴圆F的方程为（x﹣1）2+y2＝（﹣1）2，令x＝0，可得y＝±，∴|EF|＝2＝2＝，故选：D．12．（5分）已知函数，若函数F（x）＝f （x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n＝（）A．B．445πC．455πD．【解答】解：函数，令2x﹣＝+kπ得x＝+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T＝π，0≤x≤，当k＝0时，可得第一根对称轴x＝，当k＝30时，可得x＝，∴f（x）在[0，]上有30条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数与y＝3的交点有30个点，即x1，x2关于对称，x2，x3关于对称，…，即x1+x2＝×2，x2+x3＝×2，…，x30+x31＝2×将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x28+2x29+2x30+x31＝2（++…+）＝（2+5+8+…+89）×＝455π故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3＝﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7＝﹣C107x3y7．由C103＝C107＝120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．14．（5分）设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z＝3x+5y的最大值为13．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，作出直线3x+5y＝0，∵x，y∈Z，∴平移直线3x+5y＝0至（1，2）时，目标函数z＝3x+5y的最大值为13．故答案为：13．15．（5分）设f（x）＝，且f（f（a））＝2，则满足条件的a的值有4个．【解答】解：f（x）＝，且f（f（a））＝2∴当a＜2时，f（a）＝2e a﹣1，若2e a﹣1＜2，则f（f（a））＝﹣1＝2，解得a＝1﹣ln2；若2e a﹣1≥2，则f（f（a））＝＝2，解得a＝ln+1，成立；当a≥2时，f（a）＝log3（a2﹣1），若log3（a2﹣1）＜2，则f（f（a））＝﹣1＝2，解得a＝2，或a＝﹣2，与a≥2不符，若log3（a2﹣1）≥2，则f（f（a））＝log3[（log3（a2﹣1）]＝2，解得a2＝310+1，∴a＝或a＝﹣与a≥2不符．由此得到满足条件的a的值有1﹣ln2和ln+1和2和，共4个．故答案为：4．16．（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．【解答】解：∵在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，∴小正四面体的外接球是纸盒的内切球，设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为a，外接球的半径是a，∴纸盒的内切球半径是＝，设小正四面体的棱长是x，则＝x，解得x＝，∴小正四面体的棱长的最大值为，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos B （a cos C+c cos A）+b＝0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD＝，求c．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos B（a cos C+c cos A）+b＝0．则：2cos B（sin A cos C+sin C cos A）+sin B＝0，整理得：2cos B sin（A+C）＝﹣sin B，由于：0＜B＜π，则：sin B≠0，解得：，所以：B＝．（Ⅱ）点D在AC边上且BD⊥AC，在直角△BCD中，若a＝3，BD＝，解得：，解得：，则：，，所以：cos∠ABD＝＝＝，则：在Rt△ABD中，，＝．故：c＝5．18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点．将△ABE 沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD＝2AB，E为线段AD的中点，∴AB＝AE，取BE中点O，连接PO，则PO⊥BE，又平面PEB⊥平面BCDE，平面PEB∩平面BCDE＝BE，∴PO⊥平面BCDE，则PO⊥EC，在矩形ABCD中，∴AD＝2AB，E为AD的中点，∴BE⊥EC，则EC⊥平面PBE，∴EC⊥PB，又PB⊥PE，且PE∩EC＝E，∴PB⊥平面PEC，而PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）解：以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵PB＝PE＝2，则B（，0，0），E（﹣，0，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），∴，，＝（，，﹣）．设平面PED的一个法向量为，由，令z＝﹣1，则，又平面PBE的一个法向量为，则cos＜＞＝＝．∴二面角B﹣PE﹣D 的余弦值为﹣．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；（2）求X的数学期望和方差．附：（，其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：K2＝≈11.111＞6.635，故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关．（Ⅱ）（1）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．其中P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝＝，X的分布列为：（2）∵X～B（3，），∴E（X）＝，D（X）＝3×＝．20．（12分）给定椭圆C：+＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2＝4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．（I）由准圆方程为x2+y2＝4，则a2+b2＝4，椭圆的离心率e＝＝【解答】解：＝，解得：a＝，b＝1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）证明：（1）∵准圆x2+y2＝4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y＝kx+2，联立，整理得（1+3k2）x2+12kx+9＝0．∵直线y＝kx+2与椭圆相切，∴△＝144k2﹣4×9（1+3k2）＝0，解得k＝±1，，l2方程为y＝x+2，y＝﹣x+2．∵＝1，＝﹣1，∴l∴•＝﹣1，则l 1⊥l2．（2）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x＝±，当l1：x＝时，l1与准圆交于点（，1）（，﹣1），此时l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x＝时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02＝4．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，∴由得（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3＝0．由△＝0化简整理得（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02＝0，∵x02+y02＝4．，∴有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0，∴t1•t2＝﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2＝4的直径，|MN|＝4，∴线段MN的长为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝（t﹣1）xe x，g（x）＝tx+1﹣e x．（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝（t﹣1）xe x，得f′（x）＝（t﹣1）（x+1）e x，若t＞1，则x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞﹣1时，f′（x）＞0，f （x）递增，若t＜1，则x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞﹣1时，f′（x）＜0，f （x）递减，故t＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，t＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，+∞）递减；（2）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，即（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x≤0对∀x≥0成立，设h（x）＝（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x，h（0）＝0，h′（x）＝（t﹣1）（x+1）e x﹣t+e x，h′（0）＝0，h″（x）＝e x[（t﹣1）x+2t﹣1]，t＝1时，h″（x）＝e x≥0，h′（x）在[0，+∞）递增，∴h′（x）≥h′（0）＝0，故h（x）在[0，+∞）递增，故h（x）≥h（0）＝0，显然不成立，∴t≠1，则h″（x）＝e x（x+）（t﹣1），令h″（x）＝0，则x＝﹣，①当﹣≤0即t＜或t＞1时，若t≤，则h″（x）在[0，+∞）为负，h′（x）递减，故有h′（x）≤h′（0）＝0，h（x）在[0，+∞）递减，∴h（x）≤h（0）＝0成立，若t≥1，则h″（x）在[0，+∞）上为正，h′（x）递增，故有h′（x）≥h′（0）＝0，故h（x）在[0，+∞）递增，故h（x）≥h（0）＝0，不成立，②﹣≥0即≤t≤1时，h″（x）在[0，﹣）内有h′（x）≥h′（0）＝0，h（x）递增，故h（x）在[0，﹣）内有h（x）≥h（0）＝0不成立，综上，t的范围是（﹣∞，]．选修4-4：极坐标与参数方程22．（10分）系统找不到该试题选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c＝n﹣m，求++的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵|x+1|+|2x﹣1|≤3，∴或或，解得：﹣1≤x≤1，故m＝﹣1，n＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c＝2，则++＝（++）（a+b+c）＝[1+1+1+（+）+（+）+（+）]≥+（2+2+2）＝+3＝，当且仅当a＝b＝c＝时“＝”成立．。

2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题1.已知集合，，则集合中元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 52.若复数i为虚数单位是纯虚数，则实数a的值为A. B. 13 C. D.3.已知，命题p：，，则A. p是假命题，￢：，B. p是假命题，￢：，C. p是真命题，￢：，D. p是真命题，￢：，4.已知程序框图如图，则输出i的值为A. 7B. 9C. 11D. 135.2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中班、班，班、班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学乘同一辆车的4名同学不考虑位置，其中班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有A. 18种B. 24种C. 48种D. 36种6.《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为A.B.C.D.7.设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为A. B.C. D.8.若等边三角形ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为A. B. C. 2 D.9.关于函数，下列命题正确的是A. 由可得是的整数倍B. 的表达式可改写成C. 的图象关于点对称D. 的图象关于直线对称10.设函数，若对于，恒成立，则实数m的取值范围为A. B. C. D.11.设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆M：所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于A. B. C. D.12.已知定义在R上的函数和分别满足，，，则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.13.设，则二项式的展开式中含项的系数为______．14.若函数为奇函数，则的值为______．15.已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则的长度为______．16.如图，OA，OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区区域I和区域Ⅱ，点C在上，，，其中，半径OC 及线段CD需要用渔网制成若，，则所需渔网的最大长度为______．三、解答题17.已知为数列的前n项和，且，，，．求数列的通项公式；若对，，求数列的前2n项的和．18.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且求证：；线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19.某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩均为整数的频率分布直方图如图所示．估计这次考试数学成绩的平均分和众数；假设在段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为，求的分布列及数学期望．20.已知椭圆：的离心率为，右焦点F是抛物线：的焦点，点在抛物线上求椭圆的方程；已知斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，，直线AM与BM的斜率乘积为，若在椭圆上存在点N，使，求的面积的最小值．21.已知函数，其导函数为当时，若函数在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；设，点是曲线上的一个定点，是否存在实数使得成立？并证明你的结论．22.在直角坐标系xOy中，已知直线：为参数，：为参数，其中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出，的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；设，分别与曲线C交于点A，非坐标原点，求的值．23.设函数．当时，解不等式；已知的最小值为3，且，求的最小值．答案和解析【答案】1. C2. A3. C4. D5. B6. C7. A8. B9. D10. D11. C12. C13. 19214.15.16.17. 解：，．时，，化为：，，，时，，且，解得．数列是等差数列，首项为1，公差为3．．．．数列的前2n项的和．18. 证明：，，，，E为AD的中点，，≌ ，，，，，又平面ABCD，平面ABCD，，又，且PH，平面PEC，平面PEC，又平面PEC，．解：由可知 ∽ ，由题意得，，，，，，，、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，0，，0，，4，，0，，0，，假设线段PC上存在一点F满足题意，与共线，存在唯一实数，，满足，解得，设向量y，为平面CPD的一个法向量，且，，，取，得，二面角的余弦值是，，由，解得，，，线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．19. 解：分，众数为75分．分以上的人数为人．的可能取值为2，3，4，，，．的数学期望是．20. 解：点在抛物线上，，解得，椭圆的右焦点为，，椭圆：的离心率为，，，，椭圆的方程为，设直线l的方程为，设，，由，消y可得，，，，直线AM与BM的斜率乘积为，，解得，直线l的方程为，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得，，垂直平分线段AB，当时，设直线ON的方程为，同理可得，，当时，的面积也适合上式，令，，，则，当时，即时，的最小值为．21. 解：当时，，，，，由题意得，即，令，则，解得，当时，，单调弟增，当时，，单调递减，，当时，，当时，，由题意得当或时，在R上有且只有一个零点．由，得，假设存在，则有，即，，，即，，，令，则，两边同时除以，得，即，令，，令在上单调递增，且，对于恒成立，即对于恒成立，在上单调递增，，对于恒成立，不成立，同理，时，bngidnuu，不存在实数使得成立．22. 解：，的极坐标方程为，．曲线C的极坐标方程方程为即得，利用，得曲线C的直角坐标方程为．因为，，所以，所以的值为．23. 解：当时，，得，故，当时，，得，故，综上，不等式的解集是；的最小值是3，，故，，当且仅当即，时取“”．【解析】1. 解：，或；；1，2，．可先求出集合，或，然后进行交集、补集的运算即可．考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念，交集和补集的运算．2. 解：由复数是纯虚数，则，解得．故选：A．利用复数的除法运算化简为的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a 的值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3. 解：，，当时，，命题p：，，是真命题，命题p：，，则￢：，．故选：C．利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4. 解：当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，满足退出循环的条件，故输出的，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5. 解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为，故有种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为，这时共有种，根据分类计数原理得，共有种不同的乘车方式，故选：B．分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．6. 解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱底面ABCD，且侧棱，四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且，四棱锥的表面积为．底面故选：C．由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7. 解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，圆C：表示以为圆心，半径为r的圆，由图可得，当半径满足或时，圆C不经过区域D上的点，，当或时，圆C不经过区域D上的点，故选：A．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，而圆C表示以为圆心且半径为r的圆观察图形，可得半径或时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．8. 解：等边三角形ABC的边长为3；；；；，；．故选：B．根据条件可先求出，而由即可得出，这样即可用分别表示出，然后进行数量积的运算即可．考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9. 解：函数，周期，对于A：由，可能与关于其中一条对称轴是对称的，此时不是的整数倍；不对．对于B：由诱导公式，不对．对于C：令，可得，不对，对于D：当时，可得，的图象关于直线对称．故选：D．根据函数，结合三角函数的性质即可判断各选项．本题主要考查利用的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．10. 解：由题意，，可得．当时，，不等式等价于．当时，的最小值为，若要不等式恒成立，则必须，因此，实数m的取值范围为，故选：D．利用分离参数法，再求出对应函数在上的最大值，即可求m的取值范围．本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．11. 解：双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的渐近线被圆M：，即所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则，，即，即，，，由正弦定理可得，，，，，故选：C．根据垂径定理求出圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可得，得到，即可求出，根据正弦定理可得本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12. 解：，令，则．，令，则，解得．．，．令，，，函数在R上单调递减，，，可得：．．故选：C．，令，则由，令，可得进而得出，，令，及其已知，可得，利用函数在R上单调递减，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13. 解：由于，的通项公式为，令，求得，故含项的系数为．故答案为：192根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：函数为奇函数，故恒成立，故即，，，故答案为：．由已知中函数为奇函数，恒成立，可得a，b的值，进而可得的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档．15. 解：由题意，的外接圆即为球的大圆，，设底面外接圆圆心G，即，从而正三角形ABC边长，设球心O，由题意，E、F在球面上，，F为DE中点，则，，在中，，，，，．故答案为：．由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出的长度．本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．16. 解：由，，，得，，；在中，由正弦定理，得，，设渔网的长度为，可得，所以，因为，所以，令，得，所以，所以．所以故所需渔网长度的最大值为．确定，在中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题，是难题．17. ，时，，化为，由，可得，时，，且，解得利用等差数列的通项公式可得．利用分组求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 推导出 ≌ ，，从而，由平面ABCD，得，由此能证明平面PEC，从而．推导出PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19. 把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算；根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．20. 先求出p的值，即可求出c的值，根据离心率求出a的值，即可得到椭圆方程，设直线l的方程为，设，，由，根据直线AM与BM的斜率乘积为，求出，再根据弦长公式求出和，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与二次函数函数的应用，考查计算能力，属于难题．21. 当时，，，，，由题意，令，则，解得，由此能求出当或时，在R上有且只有一个零点．由，得，假设存在，则，利用导数性质推导出不存在实数使得成立．本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，是中档题．22. 考查直线，参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化重点都是消去参数t．利用，极坐标方程，结合余弦定理，计算出的长度．考查极坐标方程与参数方程，普通方程的互化记准互化公式和原则是关键，属于中档题目．23. 通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．。

河南省开封市2018届高三数学上学期第一次模拟考试（12月）试题理（无答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设U R，已知集合A {x|x 1}，B {x|x a}，且C U A)B R(，则实数a的取值范围是A．(,1)B．(,1]C．(1,)D．[1,)2.若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z112i，则复数z2z1在复平面内对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a (m 1,1),b=(m ,2)，则“m 2”是“a b”的4.若2cos2sin，则sin 2的值为4151577 A. B. C. D.88885.已知等比数列的前n项和为，且，则a S9S S,a 1an n362112A．B．C．2D．2226.已知曲线x y22221(a 0,b 0)为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为2，则该双a b曲线的方程为A 221BC Dx yx2y21x2y22x2y22 27.我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完。

现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是- 1 -i7,S S1,i2i S1A. B. C. D.i7,S S,i2i i7,S,i i1i i 2Si7,S,i i128.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O O，这两个球相外切，且球O与正方1,21体共顶点A的三个面相切，球O与正方体共顶点B的三个面相切，则两球在正方体的面21AA C C上的正投影是119.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为- 2 -A ．1 7B ．2 7C ．3 7D ．4 710.函数 y= 的图象大致是A ．B ．C ．D ．11.46f (x ) 4sin(2x ), x [0, ] 6312．已知函数，若函数 Fx f x 3 的所有零点依次记为 x x x L x ，且 1, 2 , 3, , n x xxLx ，则1 23nx 1 2x 22x 3L2x n1x n1276 4454551457 A.B.C.D.33 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。

2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（）A．[1，]B．（，3]C．（1，）D．（，2）3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，则=（）A．B．C．D．25．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.87．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或29．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2 11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A． B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=．15．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，若S99=，则k=．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E ⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．（1）证明：B1C∥平面A1DE；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e ax（a≠0），且x=是它的极值点．（1）求a的值；（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1）﹣g（x2）|＜++1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，则=（a﹣1）+（a+1）i，∵=z，∴a+1=0，得a=﹣1，故选：B．2．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（）A．[1，]B．（，3]C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵集合M={x|≤0}={x|1＜x≤3}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}={x|﹣6x2+11x﹣4＞0}={x|}，∴M∩N={x|1＜x≤3}∩{x|}=（1，）．故选：C．3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：D．4．（5分）在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，则=（）A．B．C．D．2【解答】解：∵在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，∴公比q===，∴=，∴===．故选：A．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．故选：B．6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5.8y=5﹣1.6=3.4x=5﹣1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．输出z的值为﹣4.6．故选：C．7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：D．8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，综上a=﹣3或a=2，故选：A．9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，=，∴S△PAD则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，故选：D11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：记椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），则|AF1|=1，∵|PF1|≤|PA|+|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+9=10，即a≤5；∵|PF1|≥|PA|﹣|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≥|PA|﹣|AF1|+|PF|≥9﹣1=8，即a≥4，∴4≤a≤5，∴故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e为自然对数的底数，∴f′（x）=+（2e2﹣a），x＞0，当a≤2e2时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，当a＞2e2时，由f′（x）=0，得x=，∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=时，f（x）取最大值，f（）=﹣ln（a﹣2e2）﹣b﹣1≤0，∴ln（a﹣2e2）+b+1≥0，∴b≥﹣1﹣ln（a﹣2e2），∴•≥（a＞2e2），令F（x）=，x＞2e2，F′（x）==，令H（x）=（x﹣2e2）ln（x﹣2e2）﹣2e2，H′（x）=ln（x﹣2e2）+1，由H′（x）=0，得x=2e2+，当x∈（2e2+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，x∈（2e2，2e2+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，∴当x=2e2+时，H（x）取最小值H（2e2+）=﹣2e2﹣，∵x→2e2时，H（x）→0，x＞3e2时，H（x）＞0，H（3e2）=0，∴当x∈（2e2，3e2）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，当x∈（3e2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函数，∴x=3e2时，F（x）取最小值，F（3e2）==﹣，∴•的最小值为﹣，即有的最小值为﹣．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=﹣4【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，可得|+|2=|﹣|2，即有2+2+2•=2+2﹣2•，即为•=0，则△ABC为直角三角形，A为直角，则•=﹣•=﹣||•||•cosB=﹣||2=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=﹣5．【解答】解：（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1得，a0+a1+…+a7=2•（a﹣1）6=0，解得a=1，而a3表示x3的系数，所以a3=C63•（﹣1）3+C62•（﹣1）2=﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，若S99=，则k=2．【解答】解：当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，）=﹣S，即为（k﹣S n）（S n﹣S n﹣1化为﹣=，可得=1+，可得S n=．由S99=，可得=，解得k=2．故答案为：2．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为2．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得===，则m=，由A在双曲线上，可得﹣=1，解得a=，则2a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．【解答】解：（1）根据题意，b=2，c=4，2ccosC=b，则cosC==；又由cosC===，解可得a=4，即BC=4，则CD=2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcosC=6，则AD=；（2）根据题意，AE平分∠BAC，则==，变形可得：CE=BC=，cosC=，则sinC==，S△ADE=S△ACD﹣S△ACE=×2×2×﹣×2××=．18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则．（2）随机变量X的取值可以为1，2，3，4．，，，．X的分布列为随机变量X的概率分布列为：所以数学期望．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．（1）证明：B1C∥平面A1DE；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）因为A1B1∥AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1∥BD，A1B1=BD，所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1∥A1D．又BB1⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，所以B1B∥平面A1DE，因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，同理可证，BC∥平面A1DE．因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC∥平面A1DE，又B1C⊂平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．解：（2）以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，设BC=a，则A（0，﹣a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），，则，．设平面ABB1的一个法向量，则，即，取z 1=1，得．同理，设平面BB 1C的一个法向量，又，，由，得，取z=﹣1，得，所以，故二面角A﹣BB1﹣C的正弦值为：=．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．【解答】解：（1）根据题意，设直线l的方程为y=k（x﹣3），联立方程组得，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以，y1y2=﹣6p，又，所以p=2，从而抛物线E的方程为y2=4x．（2）证明：因为，，所以，，因此==，又，y1y2=﹣6p=﹣12，所以，即为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e ax（a≠0），且x=是它的极值点．（1）求a的值；（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1）﹣g（x2）|＜++1．【解答】解：（1）f（x）=（x+1）e ax（a≠0）的导数f′（x）=e ax+a（x+1）e ax=（ax+a+1）e ax，因为是f（x）的一个极值点，所以，所以a=﹣3．（2）由（1）知f（x）=（x+1）e﹣3x，f′（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x，易知f（x）在上递增，在上递减，当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递增，；当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递减，；当，即时，．（3）证明：g（x）=（x+1）e﹣3x+2x+3xlnx，设g（x）=m1（x）+m2（x），x∈（0，1），其中，m2（x）=3xlnx，则，设h（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x+2，则h'（x）=（9x+3）e﹣3x＞0，可知m1'（x）在（0，1）上是增函数，所以m1'（x）＞m1'（0）=0，即m1（x）在（0，1）上是增函数，所以．又m2'（x）=3（1+lnx），由m2'（x）＞0，得；由m2'（x）＜0，得，所以m2（x）在上递减，在上递增，所以，从而．所以，对任意x1，x2∈（0，1），．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程，①，②①×②消k可得：．即P的轨迹方程为．C1的普通方程为．C1的参数方程为（α为参数α≠kπ，k∈Z）．（Ⅱ）由曲线C2：，得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0，由（Ⅰ）知曲线C1与直线C2无公共点，曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为：，所以当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2≤0，所以﹣3，﹣1是方程3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到…4分解得a=0…5分（2）因为f（x）+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|=2|a|…7分所以要不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分当a≥0时，2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4，当a＜0时，﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在，综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分。

2018年河南省六市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|lg(x−2)<1}，集合B={x|x2−2x−3<0}，则A∪B等于（）A.(2, 12)B.(−1, 3)C.(−1, 12)D.(2, 3)2. 已知i为虚数单位，若复数1+i1−i=a+bi(a, b∈R)，则a+b=()A.−iB.iC.−1D.13. 现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A.1 10B.15C.310D.254. 汽车以v=(3t+2)m/s作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）A.5mB.112m C.6m D.132m5. 为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图，如图所示．根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果C.药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D.药物A、B对该疾病均没有预防效果6. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A.2√15B.√15C.2D.47. 已知数列{a n}满足a n+1+(−1)n+1a n=2，则其前100项和为（）8. 已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2=a(a+c)，则sin2Asin(B−A)的取值范围是（）A.(0, 1)B.(12,√22) C.(0,√22) D.(12,1)9. 设a1，a2，…，a2017是数列1，2，…，2017的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F的值为（）A.2015B.2016C.2017D.201810. 在三棱锥S−ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB=BC，SA=AC，AB=12SC，且三棱锥S−ABC的体积为9√32，则该三棱锥的外接球的半径为（）A.1B.2C.3D.411. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与函数y=√x的图象交于点P，若函数y=√x的图象在点P处的切线过椭圆的左焦点F(−1, 0)，则椭圆的离心率是( )A.√3−12B.√5−12C.√3−√22D.√5−√2212. 若关于x的方程xe +e xx−e+m=0有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1<0<x2<x3，其中m∈R，e=2.71828……，则(x1e x1−1)2(x2e x2−1)(x3e x3−1)的值为（）A.1B.1−mC.1+mD.e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）→→→→已知二项式(x 2+1x )n 的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是________(用数字作答)．已知P 是双曲线C:x 22−y 2=1右支上一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线的左焦点，则|PF 1|+|PQ|的最小值是________．已知动点P(x, y)满足{2x +y ≤4,x ≥1,(x +√x 2+1)(√y 2+1−y)≤1，则x 2+y 2−6x 的最小值是________．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项的和为S n ，且满足a n =2S n 22S n −1(n ≥2)．（1）求证：数列{1S n}是等差数列；（2）证明：当n ≥2时，S 1+12S 2+13S 3+⋯+1n S n <32．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元； ②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．小数）如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD =60∘，O 为AC 与BD 的交点，E 为PB 上任意一点．（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若PD // 平面EAC ，并且二面角B −AE −C 的大小为45∘，求PD:AD 的值．已知抛物线C:x 2=2py(p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，当直线l 的倾斜角是45∘时，AB 的中垂线交y 轴于点Q(0, 5)． （1）求p 的值；（2）以AB 为直径的圆交x 轴于点M ，N ，记劣弧MN ^的长度为S ，当直线l 绕F 旋转时，求S|AB|的最大值．已知函数f(x)=lnx +12x 2−2kx(k ∈R)． （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：f(x 2)<−32． [选修4-4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位，直线l 的参数方程为{x =2+ty =1+t （t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)．(1)求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；[选修4-5：不等式选讲]已知关于x的不等式|2x|+|2x−1|≤m有解．(I)求实数m的取值范围；(II)已知a>0，b>0，a+b=m，证明：a2a+2b +b22a+b≥13．参考答案与试题解析2018年河南省六市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 C【考点】 并集及其运算 【解析】解不等式化简集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ． 【解答】集合A ={x|lg(x −2)<1}={x|0<x −2<10}={x|2<x <12}， 集合B ={x|x 2−2x −3<0}={x|−1<x <3}， 则A ∪B ={x|−1<x <12}=(−1, 12)． 2.【答案】 D【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的模复数的基本概念 【解析】利用复数的运算法则和复数相等即可得出． 【解答】∵ a +bi =1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ，∴ a =0，b =1． ∴ a +b =1． 3.【答案】 C【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】本题考查了排列数公式及应用． 【解答】解：将5张奖票不放回地依次取出共有A 55A 33⋅A 22=10种不同的情形，若恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到两张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，共有3种情形，所以概率为P =310． 故选C ．【答案】D【考点】微积分基本定理定积分【解析】此题暂无解析【解答】解：在第1s至2s之间的1s内经过的路程为s=∫(213t+2)dt=(3t22+2t)|12=6+4−3 2−2=132．故选D．5.【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】解：由图表可知，药物A服用之后，患病人数与未患病人数对比明显，故药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选B．6.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，分别求出各个面的面积，可得答案．【解答】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD=DC=BD=2，∠ADC=120∘，BD⊥平面ADC，其直观图如图所示：AB=BC=2√2，AC=2√3，底面△BCD的面积为：12×2×2=2，侧面△ABD的面积为：12×2×2=2，侧面△ADC的面积为：12×2×2×√32=√3，侧面△ACB是腰长为2√2，底长2√3的等腰三角形，故底边上的高为√8−3=√5，其面积为：12×2 √3×√5=√15，综上可知，最大的面的面积为√15，7.【答案】D【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知n=2k−1(k∈N∗)时，a2k+a2k−1=2．∴S100=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a99+a100)=2×50=100．故选D．8.【答案】B【考点】正弦定理【解析】由b2=a(a+c)利用余弦定理，可得c−a=2acosB，正弦定理边化角，在消去C，可得sin(B−A)=sinA，利用三角形ABC是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得sin2Asin(B−A)的取值范围．【解答】由b2=a(a+c)，利用余弦定理，可得：c−a=2acosB，利用正弦定理边化角，得：sinC−sinA=2sinAcosB，∵A+B+C=π，∴sin(B+A)−sinA=2sinAcosB，∴sin(B−A)=sinA，∵ABC是锐角三角形，∴B−A=A，即B=2A．∵0<B<π2，π2<A+B<π，那么：π6<A<π4，则sin 2Asin(B−A)=sinA∈(12, √22)．9.【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量F的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：此题的程序框图的功能就是先求这2 017个数的最大值，然后进行计算F=b+sin bπ2；因为b=max{1, 2, ..., 2 017}=2 017，所以F=2 017+sin20172π=2 018．故选D．10.【答案】C【考点】球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：取SC的中点O，∵SB⊥BC，SA⊥SC，SB=BC，SA=AC，∴OB⊥SC，OA⊥SC，OB=12SC，OA=12SC，∴SC⊥平面OAB，且OA=OB=OC=OS，即点O为三棱锥的外接球的球心，SC为球O的直径，设球O得半径为R，则AB=12SC=R，∴△AOB为正三角形，∴∠BOA=60∘，∴VS−ABC =V S−OAB+V C−OAB=2×12R2sin60∘×13×R=9√32，解得R=3．故选C．11.【答案】B椭圆的离心率椭圆的定义【解析】设P点坐标，根据斜率公式求得直线PF的斜率，根据导数的几何意义，即可求得P点坐标，根据椭圆的定义及离心率公式，即可求得答案．【解答】解：由题意，左焦点F为(−1, 0)，设P(t, √t)，k PF=√tt+1，由y=√x，求导y′=2√x，则k PF=2√t ，即√tt+1=2√t，解得t=1，即P(1, 1)，设椭圆M的右焦点为F2(1, 0)，则2a=|PF1|+|PF2|=1+√5，∴椭圆M的离心率为e=ca =1+√5=√5−12，故选B.12.【答案】A【考点】函数与方程的综合运用【解析】此题暂无解析【解答】解：令t=xe x −1，则方程xe x+e xx−e x+m=0有3个不相等的实数解，即转化为方程t2+(m+1)t+1=0有2个不等的实数根t1,t2，且t1t2=1，由于x1<0，则x1e x1−1<0−1=−1，则至少有1个跟小于0，而t1t2=1，故t1<0且t2<0，由于x3>x2>0，则x2 e x2−1>0−1=−1,x3e x3−1>0−1=−1，由于3个不等的x值只对应2个t值，侧设t1<−1,−1<t2<0，则有t1=x1e x1−1,t2=x2e x2−1=x3e x3−1，∴(x1e1−1)2(x2e2−1)(x3e3−1)=t12t22=1．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】5【考点】向量的概念与向量的模【解析】【解答】解：∵b→=(a+b)−a=(0,2)−(3,−2)=(−3,4)，∴|b→|=√(−3)2+42=5．故答案为：5．【答案】10【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得2n=32，即n=5，所以二项式(x2+1x )5的通项为T r+1=C5r(x2)5−r(1x )r=C5r x10−3r．令10−3r=1，得r=3，所以展开式中含x项的系数是C53=10．故答案为：10．【答案】1+2√2【考点】双曲线的特性【解析】此题暂无解析【解答】解：设双曲线C的右焦点为F2，则|PF1|−|PF2|=2a=2√2，∴|PF1|=|PF2|+2√2，∴|PF1|+|PQ|=|PF2|+2√2+|PQ|，当且仅当Q,P,F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，易知渐近线l的方程为y=√2F2(√3,0)，则F2到l的距离d=√3|√3=1，|PQ|+|PF1|的最小值为2√2+1．故答案为：1+2√2．【答案】−40 9【考点】简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：∵(x+√x2+1)(√y2+1−y)≤1，√y2+1−y>|y|−y≥0，∴ x+√x2+1≤2≤√y2+1+y，∵函数f(x)=√x2+1+x是增函数，∴ x≤y，∴原不等式组化简为{2x+y≤4, x≥1,x≤y该不等式组表示的平面区域如图所示，因此可行域为△ABC及其内部，其中A(43,43),B(1,1),C(1,2)，令z=x2+y2−6x=(x−3)2+y2−9，表示动点P(x,y)到(3,0)的距离的平方减去9，由图知点A(43,43)到(3,0)的距离的最小，故z min=(4 3−3)2+(43)2−9=−409．故答案为：−409．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）【答案】当n≥2时，S n−S n−1=2S n22S n−1，S n−1−S n=2S n S n−11 S n −1S n−1=2，从而{1Sn}构成以1为首项，2为公差的等差数列．由（1）可知，1S n =1S1+(n−1)×2=2n−1，∴S n=12n−1，∴当n≥2时，1n S n=1n(2n−1)<1n(2n−2)=12(1n−1−1n)，从而S1+12S2+13S3+⋯+1nS n<1+12(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n)<32−12n<32．【考点】数列与不等式的综合数列递推式【解析】（1）利用已知条件推出S n−1−S n=2S n S n−1，转化求解数列{1Sn}是等差数列；（2）求出数列的前n项和，利用裂项消项法求解即可．【解答】当n≥2时，S n−S n−1=2S n22S n−1，S n−1−S n=2S n S n−11 S n −1S n−1=2，从而{1Sn}构成以1为首项，2为公差的等差数列．由（1）可知，1S n =1S1+(n−1)×2=2n−1，∴S n=12n−1，∴当n≥2时，1n S n=1n(2n−1)<1n(2n−2)=12(1n−1−1n)，从而S1+12S2+13S3+⋯+1nS n<1+12(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n)<32−12n<32．【答案】数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：8×1515+25=3人，80岁以下应抽取：8×2515+25=5人在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：15+20+45+20600=16用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×16=11万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为11400×100%=2.75%．用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，X的可能取值为0，120，200，220，300，P(X=0)=45，P(X=120)=15×475600=95600，P(X=200)=15×85600=17600，P(X=220)=15×25600=5600，P(X=300)=15×15600=3600，则随机变量X的分布列为：EX=0+120×95+200×17+220×5+300×3600=28，全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元．【考点】分层抽样方法【解析】（1）先把数据整理列表，采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，利用列举法能求出80岁及以上和80岁以下应抽取人数．（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为16，由此能估算80岁及以上长者占户籍人口的百分比．（3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，则X的可能取值为0，120，200，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列，从而估计政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元．【解答】数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：8×1515+25=3人，80岁以下应抽取：8×2515+25=5人在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：15+20+45+20600=16用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×16=11万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为11400×100%=2.75%．用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，X的可能取值为0，120，200，220，300，P(X=0)=45，P(X=120)=15×475600=95600，P(X=200)=15×85600=17600，P(X=220)=15×25600=5600，P(X=300)=15×15600=3600，则随机变量X的分布列为：EX =0+120×95+200×17+220×5+300×3600=28，全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元 政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元． 【答案】（1）证明：∵ PD ⊥平面ABCD , ∴ PD ⊥AC ，又∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ BD ⊥AC ，又∵ PD ∩BD =D ，故AC ⊥平面PBD ， 又AC ⊂平面EAC ，∴ 平面EAC ⊥平面PBD ．（2）解：连结OE ，∵ PD//平面EAC ，PD ⊥平面ABCD ， ∴ PD//OE,OE ⊥平面ABCD ，此时OA,OB,OE 两两垂直，又∵ O 是BD 的中点，故E 为PB 的中点，以O 为坐标原点，射线OA,OB,OE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设OB =m,OE =ℎ，则OA =√3m ， ∴ A(√3m,0,0),B(0,m,0),E(0,0,ℎ)，则AB →=(−√3m,m,0),BE →=(0,−m,ℎ),易知向量n →1=(0,1,0)为平面AEC 的一个法向量， 设平面ABE 的一个法向量为n →2=(x,y,z)，则n 2→⋅AB →=0，且n 2→⋅BE →=0， 即−√3mx +my =0且my −ℎz =0， 取x =1，则y =√3,z =√3m ℎ，n 2→=(1,√3,√3mℎ)，∴ |cos45∘=cos ⟨n 1→,n 2⟩|=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√3√1+3+3m2ℎ2=√22，解得ℎm=√62，故PD:AD =2ℎ:2m =ℎ:m =√6:2．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）证明：∵ PD ⊥平面ABCD , ∴ PD ⊥AC ，又∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ BD ⊥AC ，又∵ PD ∩BD =D ，故AC ⊥平面PBD ， 又AC ⊂平面EAC ，∴ 平面EAC ⊥平面PBD ．（2）解：连结OE ，∵ PD//平面EAC ，PD ⊥平面ABCD ， ∴ PD//OE,OE ⊥平面ABCD ，此时OA,OB,OE 两两垂直，又∵ O 是BD 的中点，故E 为PB 的中点，以O 为坐标原点，射线OA,OB,OE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设OB =m,OE =ℎ，则OA =√3m ， ∴ A(√3m,0,0),B(0,m,0),E(0,0,ℎ)，则AB →=(−√3m,m,0),BE →=(0,−m,ℎ),易知向量n →1=(0,1,0)为平面AEC 的一个法向量， 设平面ABE 的一个法向量为n →2=(x,y,z)，则n 2→⋅AB →=0，且n 2→⋅BE →=0， 即−√3mx +my =0且my −ℎz =0， 取x =1，则y =√3,z =√3m ℎ，n 2→=(1,√3,√3mℎ)，∴ |cos45∘=cos ⟨n 1→,n 2⟩|=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√3√1+3+2ℎ2=√22，解得ℎm=√62，故PD:AD =2ℎ:2m =ℎ:m =√6:2．【答案】抛物线C:x 2=2py(p >0)的焦点为F ，F(0,p2)， 当l 的倾斜角为45∘时，l 的方程为y =x +p2 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{y =x +p2x 2=2py，得x 2−2px −p 2=0， x 1+x 2=2p ，y 1+y 2=x 1+x 2+p =3p ，得AB 中点为D(p,32p) AB 中垂线为y −32p =−(x −p)，x =0代入得y =52p =5．∴ p =2设l 的方程为y =kx +1，代入x 2=4y 得x 2−4kx −4=0， |AB|=y 1+y 2+2=k(x 1+x 2)+4=4k 2+4， AB 中点为D(2k, 2k 2+1)令∠MDN =2α，S =2α∗12|AB|=α∗|AB|， ∴ S|AB|=αD 到x 轴的距离|DE|=2k 2+1， cosα=|DE|12|AB|=2k 2+12k 2+2 当k 2=0时cosα取最小值12，α的最大值为π3． 故S |AB|的最大值为π3． 【考点】直线与圆的位置关系直线与椭圆结合的最值问题 【解析】（1）求出l 的方程为y =x +p2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出AB 中点坐标，推出中垂线方程，结合AB 的中垂线交y 轴于点Q(0, 5)．求出p 即可．（2）设l 的方程为y =kx +1，代入x 2=4y ，求出AB 的距离以及AB 中点为D(2k, 2k 2+1)，令∠MDN =2α，求出S 的表达式，推出关系式S|AB|=α，利用D 到x 轴的距离|DE|=2k 2+1，求出cosα=|DE|12|AB|=2k 2+12k 2+2，然后求解S|AB|的最大值．【解答】抛物线C:x 2=2py(p >0)的焦点为F ，F(0,p2)， 当l 的倾斜角为45∘时，l 的方程为y =x +p2 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{y =x +p2x 2=2py，得x 2−2px −p 2=0， x 1+x 2=2p ，y 1+y 2=x 1+x 2+p =3p ，得AB 中点为D(p,32p) AB 中垂线为y −32p =−(x −p)， x =0代入得y =52p =5．∴ p =2设l 的方程为y =kx +1，代入x 2=4y 得x 2−4kx −4=0， |AB|=y 1+y 2+2=k(x 1+x 2)+4=4k 2+4，AB 中点为D(2k, 2k 2+1)令∠MDN =2α，S =2α∗12|AB|=α∗|AB|， ∴ S|AB|=αD 到x 轴的距离|DE|=2k 2+1， cosα=|DE|12|AB|=2k 2+12k 2+2 当k 2=0时cosα取最小值12，α的最大值为π3． 故S|AB|的最大值为π3． 【答案】f(x)=lnx +12x 2−2kx ，x ∈(0, +∞) 所以f ′(x)=1x+x −2k =x 2−2kx+1x①当k ≤0时，f ′(x)>0，所以f(x)在(0, +∞)上单调递增 ②当k >0时，令t(x)=x 2−2kx +1，当△=4k 2−4≤0即0<k ≤1时，t(x)≥0恒成立，即f ′(x)≥0恒成立 所以f(x)在(0, +∞)上单调递增当△=4k 2−4>0，即k >1时，x 2−2kx +1=0，两根x 1,2=k ±√k 2−1所以x ∈(0,k −√k 2−1)，f ′(x)>0x ∈(k −√k 2−1,k +√k 2−1)，f ′(x)<0x ∈(k +√k 2−1,+∞)，f ′(x)>0故当k ∈(−∞, 1)时，f(x)在(0, +∞)上单调递增当k ∈(1, +∞)时，f(x)在(0,k −√k 2−1)和(k +√k 2−1,+∞)上单调递增f(x)在(k −√k 2−1,k +√k 2−1)上单调递减．证明：f(x)=lnx +12x 2−2kx(x >0)，f ′(x)=1x +x −2k ， 由（1）知k ≤1时，f(x)(0, +∞)上单调递增，此时f(x)无极值 当k >1时，f ′(x)=1x+x −2k =x 2−2kx+1x由f ′(x)=0得x 2−2kx +1=0，△=4k 2−4>0，设两根x 1，x 2，则x 1+x 2=2k ，x 1⋅x 2=1其中0<x 1=k −√k 2−1<1<x 2=k +√k 2−1f(x)在(0, x 1)上递增，在(x 1, x 2)上递减，在(x 2, +∞)上递增，=lnx 2+12x 22−(x 1+x 2)x 2=lnx 2−12x 22−1．令t(x)=lnx −12x 2−1(x >1)t ′(x)=1x −x <0，所以t(x)在(1, +∞)上单调递减，且t(1)=−32 故f(x 2)<−32． 【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求出函数的导数，通过k 与0，1的大小比较，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可．（2）求出函数的导数，利用（1）的结果，通过极值点的大小以及韦达定理，结合函数的单调性区间即可． 【解答】f(x)=lnx +12x 2−2kx ，x ∈(0, +∞) 所以f ′(x)=1x+x −2k =x 2−2kx+1x①当k ≤0时，f ′(x)>0，所以f(x)在(0, +∞)上单调递增 ②当k >0时，令t(x)=x 2−2kx +1，当△=4k 2−4≤0即0<k ≤1时，t(x)≥0恒成立，即f ′(x)≥0恒成立 所以f(x)在(0, +∞)上单调递增当△=4k 2−4>0，即k >1时，x 2−2kx +1=0，两根x 1,2=k ±√k 2−1所以x ∈(0,k −√k 2−1)，f ′(x)>0x ∈(k −√k 2−1,k +√k 2−1)，f ′(x)<0x ∈(k +√k 2−1,+∞)，f ′(x)>0故当k ∈(−∞, 1)时，f(x)在(0, +∞)上单调递增当k ∈(1, +∞)时，f(x)在(0,k −√k 2−1)和(k +√k 2−1,+∞)上单调递增f(x)在(k −√k 2−1,k +√k 2−1)上单调递减．证明：f(x)=lnx +12x 2−2kx(x >0)，f ′(x)=1x +x −2k ， 由（1）知k ≤1时，f(x)(0, +∞)上单调递增，此时f(x)无极值 当k >1时，f ′(x)=1x +x −2k =x 2−2kx+1x由f ′(x)=0得x 2−2kx +1=0，△=4k 2−4>0，设两根x 1，x 2，则x 1+x 2=2k ，x 1⋅x 2=1其中0<x 1=k −√k 2−1<1<x 2=k +√k 2−1f(x)在(0, x 1)上递增，在(x 1, x 2)上递减，在(x 2, +∞)上递增，=lnx 2+12x 22−(x 1+x 2)x 2=lnx 2−12x 22−1．令t(x)=lnx −12x 2−1(x >1)t ′(x)=1x −x <0，所以t(x)在(1, +∞)上单调递减，且t(1)=−32故f(x 2)<−32．[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】解：(1)∵ 直线l 的参数方程为{x =2+ty =1+t （t 为参数），∴ 直线l 的普通方程为y =x −1，∵ 圆C 的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)=4sinθ+4cosθ， ∴ ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −4y =0． (2)点P(2, 1)在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l 的参数方程是{x =2+√22ty =1+√22t（t 为参数） 代入x 2+y 2−4x −4y =0，得t 2−√2t −7=0，设两个实根为t 1，t 2， 则t 1+t 2=√2,t 1t 2=−7<0，即t 1，t 2异号所以||PA|−|PB||=||t 1|−|t 2||=|t 1+t 2|=√2． 【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）直线l 的参数方程消去参数，能求出直线l 的普通方程；圆C 的极坐标方程转化为ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ，由此能求出圆C 的直角坐标方程．（2）点P(2, 1)在直线l 上，且在圆C 内，直线l 的参数方程是{x =2+√22ty =1+√22t （t 为参数）代入x 2+y 2−4x −4y =0，得t 2−√2t −7=0，由此能求出||PA|−|PB||的值． 【解答】解：(1)∵ 直线l 的参数方程为{x =2+ty =1+t （t 为参数），∴ 直线l 的普通方程为y =x −1，∵ 圆C 的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)=4sinθ+4cosθ， ∴ ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −4y =0． (2)点P(2, 1)在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l 的参数方程是{x =2+√22ty =1+√22t （t 为参数） 代入x 2+y 2−4x −4y =0，得t 2−√2t −7=0，设两个实根为t 1，t 2， 则t 1+t 2=√2,t 1t 2=−7<0，即t 1，t 2异号所以||PA|−|PB||=||t 1|−|t 2||=|t 1+t 2|=√2． [选修4-5：不等式选讲]【答案】（本小题满分1(Ⅰ)|2x|+|2x −1|≥|2x −(2x −1)|=1，故m ≥1； (Ⅱ)∵ a >0，b >0，∴ a +2b >0，2a +b >0故(a 2a+2b+b 22a+b )[(a +2b)+(2a +b)brack =a 2+b 2+a 2(2a+b)a+2b+b 2(a+2b)2a+b≥a 2+b 2+2√a 2(2a+b)a+2bb 2(a+2b)2a+b=a 2+b 2+2ab =(a +b)2，即(a 2a+2b+b 22a+b )∗3(a +b)≥(a +b)2由(Ⅰ)知a +b =m ≥1，∴a 2a+2b+b 22a+b ≥13(a +b)≥13．【考点】绝对值三角不等式【解析】(Ⅰ)绝对值三角不等式的运用：如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(Ⅱ)均值不等式使用条件：一正二定三相等、不等式有解问题【解答】（本小题满分1(Ⅰ)|2x|+|2x−1|≥|2x−(2x−1)|=1，故m≥1；(Ⅱ)∵a>0，b>0，∴a+2b>0，2a+b>0故(a2a+2b +b22a+b)[(a+2b)+(2a+b)brack=a2+b2+a2(2a+b)a+2b +b2(a+2b)2a+b≥a2+b2+2√a2(2a+b)a+2b b2(a+2b)2a+b=a2+b2+2ab=(a+b)2，即(a2a+2b+b22a+b)∗3(a+b)≥(a+b)2由(Ⅰ)知a+b=m≥1，∴a2a+2b +b22a+b≥13(a+b)≥13．试卷第21页，总21页。

2018届河南省开封市高三上学期定位模拟考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A=(){}{}2|lg 1,|230x y x B y y y =-=--≤，则A B = A. {}|13x x << B. {}|13y y ≤≤ C. {}|13x x <≤ D.{}|13x x ≤<2．已知i 是虚数单位，m.n R ∈,则“m=n=1”是“()22m ni i -=-”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3．已知双曲线224312x y -=，则双曲线的离心率为4，则,a b的夹角是5．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P 表示估计的结果，则图中空白框内应填入P=6．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A. 3108cm B.1003cm C.92 3cm D.84 3cm7．设变量x、y满足约束条件122x yx yy-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数22z x y=+的取值范围为A. []2,8 B. []4,13 C. []2,13 D.8.已知函数()()()cos sin 2,0f x x x ϕϕπ=-+≤≤，则ϕ的值是A 9.将边长为2的等边PAB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合，设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的说法①()f x 的值域为[]0,2：②()f x 是周期函数：③()()()4.12013f f f π<<；④A.0B. 1C. 2D. 310．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，底面是正三角形，若P 是111A B C ∆中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小是11.已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值，若过点A ()0,16作曲线()y f x =的切线，则切线方程是 A.9160x y +-= B.9160x y -+= C.9160x y +-= D.9160x y -+=12．设x R ∈，若函数()f x 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有()1xf f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦（e 是自然对数的底数），则()ln 2f = A.1 B.e+1 C.3 D.e+3 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知函数()2log ,(0)(x)3,0xx x f x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则()0f f =⎡⎤⎣⎦ .14.M ，各项二项式系数之和为N 且64M N +=，则展开式中含2x 项的系数为 15.已知点A ()2,0抛物线C ：24x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N16．如图，已知ABC ∆中，90ABC ∠= ，延长AC 到D,连接BD, 若30CBD ∠=且AB=CD=1，则AC=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()2*111,+,n n n a n a a a n n n N +=-=+∈(1)(2) ，求正项数列{}n b 的前n 项和n S .18.根据据《中华人民共和国道路交通安全法》规定，车辆驾驶员血液酒精浓度在[20,80)（单位：/100mg ml）之间属于“酒驾”血液酒精浓度在80/100mg ml（含80）以上时，属于“醉驾”某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过一晚的抽查，共查出酒后驾车者 60名，图甲是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图（I）若血液酒精浓度在[50,60)和[60,70)的分别有 9人和6 人，请补全频率分布直方图，图乙的程序框图是对这名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S 的值，并说明S的统计意义：（图乙中数据m与i f分别表示图i甲中各组的组中点值及频率）;(II)本次行动中 ,吴、李2人都被酒精测试仪测得酒精浓度属于7090/100的范围，但他俩坚称没喝那么多，是测试mg ml仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒数精浓度属于7090/100范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血mg ml检验，设ξ为吴，李2人被抽中的人数，求ξ的分布列，并求吴、李2人至少1人被抽中的概率.19.已知四棱锥P ABCD-，底面ABCD 为梯形，,,1,ABCD PA=AD=DC=2AB AB CD AD CD AB PA ⊥=⊥ 平面，，点E 是PC中点.(I)求证：BE DC ⊥(II)若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥,求二面角F —AB —P 的余弦值.20.M ()00,x y ，设M 关于x 轴对称点为1M ，双曲线的左右顶点分别为12,A A .(I)求直线1A M 与直线11A M 的交点P 的轨迹C 的方程. (II)设点()2,0F -，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作直线l TF ⊥交()I 中轨迹C 于P 、Q 两点，①证明：OT 经过线段PQ 中点（O 为坐标原点）T 的坐标.21.已知常数0b >，函数图像过()2,1点，函数()()ln 1g x bx =+设()()()h x g x f x =-(I)讨论()h x 在区间()0,+∞上的单调性.(II)若()h x存在两个极值点12,x x，求b的取值范围，使()() 120h x h x+>请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB为O的直径，点D是O上的一点，点C是 AD的中点，弦CE AB⊥于F，GD是O的切线，且与EC的延长线相交于点G，连接AD，交CE于点P.(I)证明：ACD APC(II)PE的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，直线l经过点()1,0P-，其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为26cos50ρρθ-+=.(I)若直线l与曲线C有公共点，求a的取值范围：(II)设(),M x y为曲线C上任意一点，求x y+的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知a,b都是正实数，且1+=a b(I).23、解：(I)将曲线C 的极坐标方程26cos 50ρρθ-+=化为直角坐标方程为22650x y x +-+=直线l 的参数方程为()1cos sin x t t y t θθ=-+⎧⎨=⎩为参数将1cos sin x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩代入22650x y x +-+=整理得28cos 120t t θ-+= 直线l 与曲线C 有公共点，(II)曲线C 的方程22650x y x +-+=可化为()2234x y -+=其参数方程为()()32cos M ,2sin x x y y θθθ=+⎧⎨=⎩ 为参数为曲线上任意一点，24、解：(I).。

高三数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

122B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写3452B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

样本数据1x ,2x ,…n x 的标准差 锥体体积公式 ])()()[(122221x x x x x x ns n -+⋯+-++=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V=Sh 24R S π= 334R V π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U ＝{-2,-1,0,1,2,3}，M={0,1,2}，N ＝{0,1,2,3}，则（∩N=A ．{0,1,2}B ．{-2,-1,3}C ．{0,3}D ．{3} 2. i 是虚数单位，复数=+-+=iiz 2332A ．0B ．-1C ．1D ．-13. 连续抛两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，则向量(a,b)与向量(1,-1)垂直的概率是 A ．125 B ．61 C ．31 D ．21 4. 在等差数列{a n }中，已知a 6=5，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 11=A ．45B ．50C ．55D ．605. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若b 2+c 2-a 2=56bc ，则cosA 的值为 A.-54 B.54 C.-53 D.53 6. 若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是 ①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线； ③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直. 7. 将函数y=sinx 的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是A.y=sin(2x-10π) B.y=sin(2x-5π)C.y=sin(21x-10π) D.y=sin(21x-[20π)8. 如右框图，当x 1=6,x 2=9,p=8.5时，x 3等于 A ．11 B ．10 C ．8 D ．79. 对于函数y=f(x),x ∈R,“y=|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最小体积是A ．9B ．8C ．7D ．511. 由曲线xy=1，直线y=x,y=3所围成的平面图形和面积为 A ．932B ．2-ln3C ．4+ln3D ．4-ln3 12. 已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和S n ,则S 10＝A ．210-1 B ．29-1 C ．45 D ．55本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

2018年河南省六市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B 等于（）A．（2，12）B．（﹣1，3）C．（﹣1，12）D．（2，3）2．（5分）已知i为虚数单位，若复数＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（）A．﹣i B．i C．﹣1D．13．（5分）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）A．5m B．C．6m D．5．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．47．（5分）已知数列{a n}满足＝2，则其前100项和为（）A．250B．200C．150D．1008．（5分）已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝a（a+c），则的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．9．（5分）设a1，a2，…，a2017是数列1，2，…，2017的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F的值为（）A．2015B．2016C．2017D．201810．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB ＝SC，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的半径为（）A．1B．2C．3D．411．（5分）椭圆+＝1（a＞b＞0）与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在P处的切线过椭圆的左焦点F（﹣1，0），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）若关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.71828……，则的值为（）A．1B．1﹣m C．1+m D．e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，，则＝．14．（5分）已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是15．（5分）已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值是．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣6x的最小值是．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项的和为S n，且满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当n≥2时，．18．（10分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．20．（10分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值．21．（10分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．2018年河南省六市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B 等于（）A．（2，12）B．（﹣1，3）C．（﹣1，12）D．（2，3）【解答】解：集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}＝{x|0＜x﹣2＜10}＝{x|2＜x＜12}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜12}＝（﹣1，12）．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，若复数＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1【解答】解：∵a+bi＝＝＝＝i，∴a＝0，b＝1．∴a+b＝1．故选：D．3．（5分）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将5张奖票不放回地依次取出共有A＝120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有3A A＝36种取法，∴P＝＝．故选：C．4．（5分）汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）A．5m B．C．6m D．【解答】解：根据题意，汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，则汽车在第1s至2s之间的1s内经过的路程S＝（3t+2）dt＝（+2t）＝；故选：D．5．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果【解答】解：由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．4【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD＝DC＝BD ＝2，∠ADC＝120°，BD⊥平面ADC，其直观图如图所示：AB＝BC＝2，AC＝2，底面△BCD的面积为：×2×2＝2，侧面△ABD的面积为：×2×2＝2，侧面△ADC的面积为：×2×2×＝，侧面△ACB是腰长为2，底长2的等腰三角形，故底边上的高为＝，其面积为：×2 ×＝，综上可知，最大的面的面积为，故选：B．7．（5分）已知数列{a n}满足＝2，则其前100项和为（）A．250B．200C．150D．100【解答】解；n＝2k﹣1（k∈N*）时，a2k+a2k﹣1＝2．∴其前100项和＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a99+a100）＝2×50＝100．故选：D．8．（5分）已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝a（a+c），则的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【解答】解：由b2＝a（a+c），利用余弦定理，可得：c﹣a＝2a cos B，利用正弦定理边化角，得：sin C﹣sin A＝2sin A cos B，∵A+B+C＝π，∴sin（B+A）﹣sin A＝2sin A cos B，∴sin（B﹣A）＝sin A，∵ABC是锐角三角形，∴B﹣A＝A，即B＝2A．∵0＜B＜，＜A+B＜π，那么：＜A＜，则＝sin A∈（，）．故选：B．9．（5分）设a1，a2，…，a2017是数列1，2，…，2017的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F的值为（）A．2015B．2016C．2017D．2018【解答】解：分析题中程序框图的功能是先求这2 017个数的最大值，然后进行计算F＝b+sin；因为b＝max{1，2，…，2 017}＝2 017，所以F＝2 017+sin＝2 018．故选：D．10．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB ＝SC，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的半径为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图，取SC的中点O，连接OB，OA，∵SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，∴OB⊥SC，OA⊥SC，OB＝SC，OA＝SC，∴SC⊥平面OAB，O为三棱锥的外接球的球心，SC为球O的直径，设球O得半径为R，则AB＝SC＝R，∴△AOB为正三角形，则∠BOA＝60°，∴V S﹣ABC ＝V S﹣OAB+V C﹣OAB＝，解得R＝3．故选：C．11．（5分）椭圆+＝1（a＞b＞0）与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在P处的切线过椭圆的左焦点F（﹣1，0），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，左焦点F为（﹣1，0），设P（t，），k PF＝，由y＝，求导y′＝，则k PF＝，即＝，解得t＝1，即P（1，1），设椭圆M的右焦点为F2（1，0），则2a＝|PF1|+|PF2|＝1+，∴椭圆M的离心率为e＝＝＝，故选：B．12．（5分）若关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.71828……，则的值为（）A．1B．1﹣m C．1+m D．e【解答】解：由方程⇒，令，则有t++m＝0．⇒t2+（m﹣1）t+1′﹣m＝0，令函数g（x）＝，，∴g（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，其图象如下，要使关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3结合图象可得关于t的方程t2+（m﹣1）t+1′﹣m＝0一定有两个实根t1，t2，（t1＜0＜t2）且，∴＝[（t1﹣1）（t2﹣1）]2．（t1﹣1）（t2﹣1）＝t1t2﹣（t1+t2）+1＝（1﹣m）﹣（1﹣m）+1＝1．∴＝[（t1﹣1）（t2﹣1）]2＝1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，，则＝5．【解答】解：∵，，∴＝＝（﹣3，4），∴．故答案为：5．14．（5分）已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是10【解答】解：由题意可得2n＝32，n＝5，展开式的通项公式为T r+1＝•x10﹣2r•x ﹣r＝•x10﹣3r．令10﹣3r＝1，r＝3，故展开式中含x项的系数是＝10，故答案为10．15．（5分）已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值是．【解答】解：设右焦点分别为F2，∵∴|PF1|﹣|PF2|＝2，∴|PF1|＝|PF2|+2，∴|PF1|+|PQ|＝|PF2|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，可得l的方程为y＝±x，F2（，0），F2到l的距离d＝1∴|PQ|+|PF1|的最小值为2+1．故答案为：1+2．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣6x的最小值是﹣．【解答】解：动点P（x，y）满足，x≥1时，x+≥1+；∴要使（x+）（﹣y）≤1，只要﹣y≤，﹣y≤﹣x（*），设f（x）＝﹣x，x∈R，则f（x）是单调减函数，（*）可化为y≥x；∴动点P满足，该不等式组表示的平面区域如图所示：又x2+y2﹣6x＝（x﹣3）2+y2﹣9，由两点间的距离公式可得，M（3，0）到区域中A的距离最小，由，解得A（，）；∴x2+y2﹣6x＝（x﹣3）2+y2﹣9≥|AM|2﹣9＝+﹣9＝﹣．故答案为：﹣．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项的和为S n，且满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当n≥2时，．【解答】证明：（1）当n≥2时，，S n﹣1﹣S n＝2S n S n﹣1，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可知，，∴，∴当n≥2时，，从而．18．（10分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老：人每月发放生活补贴，标准如下①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）【解答】解：（1）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：人，80岁以下应抽取：人（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：用样本估计总体，80岁及以上长者为：万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为．（3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，X的可能取值为0，120，200，220，300，，，，，，则随机变量X的分布列为：，全市老人的总预算为28×12×66×104＝2.2176×108元政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元．19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．【解答】解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD＝D∴AC⊥平面PBD又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD＝OE，PD⊂平面PBD∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，∵平面EAC∩平面ABCD＝AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF因此，∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO＝45°设AD＝BD＝a，则OB＝a，OA＝a，在Rt△BOF中，tan∠BFO＝，可得OF＝Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE＝OF•AE即a•OE＝a•，解之得OE＝∴PD＝2OE＝，可得PD：AD＝：2即PD：AD的值为．20．（10分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值．【解答】解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，，当l的倾斜角为45°时，l的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x2﹣2px﹣p2＝0，x1+x2＝2p，y1+y2＝x1+x2+p＝3p，得AB中点为…（3分）AB中垂线为，x＝0代入得．∴p＝2…（6分）（2）设l的方程为y＝kx+1，代入x2＝4y得x2﹣4kx﹣4＝0，，AB中点为D（2k，2k2+1）令∠MDN＝2α，，∴…（8分）D到x轴的距离|DE|＝2k2+1，…（10分）当k2＝0时cosα取最小值，α的最大值为．故的最大值为．…（12分）21．（10分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：．【解答】解：（1），x∈（0，+∞）所以①当k≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增②当k＞0时，令t（x）＝x2﹣2kx+1，当△＝4k2﹣4≤0即0＜k≤1时，t（x）≥0恒成立，即f'（x）≥0恒成立所以f（x）在（0，+∞）上单调递增当△＝4k2﹣4＞0，即k＞1时，x2﹣2kx+1＝0，两根所以，f'（x）＞0，f'（x）＜0，f'（x）＞0故当k∈（﹣∞，1）时，f（x）在（0，+∞）上单调递增当k∈（1，+∞）时，f（x）在和上单调递增f （x）在上单调递减．（2）证明：，，由（1）知k≤1时，f（x）（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值当k＞1时，由f'（x）＝0得x2﹣2kx+1＝0，△＝4k2﹣4＞0，设两根x1，x2，则x1+x2＝2k，x1•x2＝1其中f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，＝＝．令，所以t（x）在（1，+∞）上单调递减，且故．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程为y＝x﹣1，∵圆C的极坐标方程为：，∴ρ2＝4ρsinθ+4ρcosθ∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0．（2）点P（2，1）在直线l上，且在圆C内，由已知直线l的参数方程是（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y＝0，得，设两个实根为t1，t2，则，即t 1，t2异号所以．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）|2x|+|2x﹣1|≥|2x﹣（2x﹣1）|＝1，故m≥1；…（5分）（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，∴a+2b＞0，2a+b＞0故＝＝a2+b2+2ab＝（a+b）2，即由（Ⅰ）知a+b＝m≥1，∴．…（10分）。