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第五章习题5.1．假设X 和Y 为随机变量，且满足E [X ]=-2, E [Y ]=2, Var[X ]=1, Var[Y ]=9, X 与Y 的相关系数,X Y r =-0.50.5．试由切比雪夫不等式确定满足不等式．试由切比雪夫不等式确定满足不等式{6}P X Y +³c £的最小正数c 之值之值. .解：因为{][][]220[][][]2cov(,)[][]2(,)[][]E X Y E X E Y Var X Y Var X Var Y X Y Var X Var Y r X Y Var X Var Y +=+=-+=+=++=++192(0.5)197=++´-´´=.2[](()[]6)6Var X Y P X Y E X Y ++-+³£由切比雪夫不等式：,有277(6)=636P X Y +³£.得736c =.5.2．设12,X X 为随机变量且0,[]1(1,2)i i EX Var X i ===. . 证明：证明：对任意的0,l >有22121{2}P X X l l+³£．证明：不妨设12(,)X X 为二维连续型随机变量，其密度函数为12,X X f . 由于12222212,[]()(,)X X E X X x y fx y dxdy +¥+¥-¥-¥+=+òò，12122222222212,,22(2)(,)(,)2X X X X x y x y x y P X X f x y dxdy f x y dxdylll l+³+³++³=£òòòò1222,22221212221122(,)2111[][][]22211([]([]))([]([]))22X X x y f x y dxdy E X X E X E X Var X E X Var X E X lll ll l+¥+¥-¥-¥+£=+=+=+++òò111(10)(10)22lll=+++=.5.3．在一枚均匀正四面体的四个面上分别画上1，2，3，4个点个点. . . 现将该四面体重复投现将该四面体重复投掷，(1,2,)i X i =为第i 次投掷向下一面的点数，试求当n ¥®时，211ni i X n =å依概率收敛的极限．的极限．解: 已知已知 (1,2,3,)i X i =的分布列为的分布列为12341/41/41/41/4i X P4422211115[]() , 1,2,3,.42i i k k E X k P X k k i ===×==×==åå可见，222123,,,X X X 是独立同分布的随机变量序列，且有相同的数学期望152，满足辛钦大数定律，因此对任意0e >，有，有 21115lim 02n i n i P X n e ®+¥=æö-³=ç÷èøå,即211ni i X n =å依概率收敛的极限为152.5.4．设{n X }是独立的随机变量序列，且假设{ln }{ln }0.5, 1,2,n n P X n P X n n ===-==，问{n X }是否服从大数定律？是否服从大数定律？解: []ln 0.5(ln )0.50,i E X i i =´+-´=22222[][]([]) (ln )0.5(ln )0.50ln , 1,2,3,.i i i Var X E X E X i i i i =-=´+-´-==则1111[][]0, n n i i i i E X E X n n ====åå 22111111[][]ln , 1,2,3,.n n n i i i i i Var X Var X i n n n n ======ååå利用切比雪夫不等式：对任意0e >，由，由12111[]11([])ni n n i i i i i Var X n P X E X n n e e===-³£ååå, 得2211222111ln ln 1ln (0)nnni i ii i nn nnP X n n e eee===-³££=ååå，从而有从而有211ln 0lim (0)lim 0nin n i n P X n n e e ®+¥®+¥=£-³£=å,得 11lim (0)0n i n i P X n e ®+¥=-³=å.即随机变量序列{}n X 服从大数定律服从大数定律. .5.5．设{n X }是独立同分布的随机变量序列，且假设[]2, []6n n E X Var X ==，证明：22212345632313,Pn n n X X X X X X X X X a n n --++++++¾¾®®¥，并确定常数a 之值．之值．解:232313 1,2,3,k k k k Y X X X k --=+=令.由于{}k X 是独立同分布的随机变量序列，所以{}k Y 也是独立同分布的随机变量序列也是独立同分布的随机变量序列,,且223231332313[][][][] k k k k k k k E Y E X X X E X E X X ----=+=+232323132 ([]([]))[][] (62)2214, 1,2,.k k k k Var XE XE X E X k ---=++=++´==可见，序列{}k Y 满足辛钦大数定律的条件满足辛钦大数定律的条件. . . 根据辛钦大数定律，得根据辛钦大数定律，得根据辛钦大数定律，得1214, PnY Y Y n n+++¾¾®®+¥ 即2221234563231314, Pn n nX X X X X X X X X n n--++++++¾¾®®+¥ 所以，a =14.5.6．设随机变量X ~B(100,0.8)B(100,0.8)，试用棣莫弗—拉普拉斯定理求，试用棣莫弗—拉普拉斯定理求{80100}P X £<的近似值．似值．解:由~(100,0.8)X B 知[]1000.880, []1000.80.216E X Var X =´==´´=. 根据棣莫弗根据棣莫弗--拉普拉斯定理作近似计算，有拉普拉斯定理作近似计算，有99[]80[](80100)(8099)[][]E X E X P X P X Var X Var X æöæö--£<=££»F -F ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø()()99808080 4.75010.5=0.51616--æöæö=F -F =F -F =-ç÷ç÷èøèø.5.7．一仪器同时收到50个信号k X ，k =1,2,=1,2,………………,50. ,50. ,50. 设设150,,X X 相互独立，且都服从区间服从区间[0[0[0，，9]9]上的均匀分布，试求上的均匀分布，试求501(250)k k P X =>å的近似值．的近似值．解：由~(0,9) , (0,9) , 1,1,2,,50k X U k =，有，有[]92kE X =，[]()212790124kVar X =-=.根据林德伯格根据林德伯格--莱维定理作近似计算，有莱维定理作近似计算，有5050112501250k k k k P X P X ==æöæö>=-£ç÷ç÷èøèøåå250509/215027/4-´æö»-Fç÷´èø()1 1.3610.9130.087=-F =-=.5.8．一个复杂的系统由n 个相互独立起作用的部件所组成，每个部件损坏的概率为0.100.10，，为了使整个系统正常运行，至少需要80%80%或或80%80%以上的部件正常工作，问以上的部件正常工作，问n 至少为多大才能使整个系统正常工作的概率不小于95%95%．．解: : 将将n 个部件编号：个部件编号：1,2,...,n, 1,2,...,n, 1,2,...,n, 记记1, 1,2,,.0,i i X i n ì==íî若第个部件正常工作个部件正常工作,,否则否则,,则 ~(1,0.9)i X B ，且12,,,n X X X 相互独立相互独立. .依题意，要求有依题意，要求有110.80.95nii P X n =æö³³ç÷èøå即要求满足即要求满足 10.80.95n i i P X n =æö³³ç÷èøå.根据棣莫弗根据棣莫弗--拉普拉斯定理作近似计算，有拉普拉斯定理作近似计算，有10.80.90.811330.90.1ni i n n n n P X n n =æöæö-´-æöæö³»-F =-F =F ÷ç÷ç÷ç÷ç´´èøèøèøèøå. 由(1.65)0.95F =，应有 1.653n ³，即()23 1.6524.5025n ³´=，取25n =.。
第五章1.通过原点的一元回归的线性模型为i i i Y x βε=+，1,2,,i n =⋅⋅⋅ 其中各i ε相互独立，并且都服从正态分布()20,N σ。
试由n 组观测值(),i i x y ，1,2,,i n =⋅⋅⋅，用最小二乘法估计β，并用矩法估计2σ。
解：对一元回归的线性模型为i i i Y x βε=+ 1,2,,i n =⋅⋅⋅离差平方和为 ()21ni i i Q y x β==-∑对Q 求β的偏导数，并令其为0，即()10niiii y x xβ=-=∑变换得 21111n n i i i i i x y x n n β===∑∑解此方程得 2xy xβ∧=因为 22D E σεε== i i i y x εβ=-所以 2211n i i i y x n σβ∧∧=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑()()()222122222222221222n i i i i i y x y x n y xy xxyxyx y x x ββββ∧∧=∧∧⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=-+=-+∑()222xy yx=-其中 11n i i i xy x y n ==∑ 2211n i i x x n ==∑ 2211n i i y y n ==∑2.在考察硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的从经验和理论知i Y 和i x 之间有下述关系式i i i Y x αβε=++，1,2,,9i =⋅⋅⋅其中各i ε相互独立，并且都服从正态分布()20,N σ。
试用最小二乘法估计参数,αβ，并用矩法估计2σ。
解：将 26x = 90.14y = 2736.511xy = 2451.11x m = 2342.665y m =代入得2222222736.5112690.140.8706451.1190.140.87062667.5088342.6650.8706451.110.7487x yx xy x y m y x m m βαβσβ∧∧∧∧∧--⨯====-=-⨯==-=-⨯=3.为了得到一元线性回归分析的简化计算法，作变换1010,,1,2,,,i i i i x c y cu v i n d d --===⋅⋅⋅且010,0d d ≠≠。
若原经验回归直线方程为y x αβ∧∧∧=+变换后经验回归直线方程为''v u αβ∧∧∧=+试证'''0000111,d d d c c d d ββααβ∧∧∧∧∧==+-，并且22''2011nni i i i i i y x d v u αβαβ∧∧∧∧==⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑证明：'002211d d uv uvd d u u β∧-=- ()()()1211nii i nii uu v vdd uu==--=-∑∑()()()()()()1001111000211111110012121112111ni i i n i i ni i i nii niii nii x c y c y c x c d d d d d d x c x c d d x x y yd d d d x x d x x y y x x β======∧⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭--=---=-=∑∑∑∑∑∑''00011''000011'10001'01d d c c d d d v d u c c d c d v c d u d d y xd y x αββββββα∧∧∧∧∧∧∧∧+-=-+-⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭=-=-=()2''2012''00012''1000112'''0000111121n i i i ni i i ni i i ni i i ni i i d v u d v d d u x c y c d d d d d y c d x c d d y x αβαβαβαββαβ∧∧=∧∧=∧∧=∧∧∧=∧∧=⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭-⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑4.为了研究纱的品质指标与支数之间的数量关系，进行有关试验，得20对数据如下：画出点图。
从经验知i Y 与i x 之间有关系式,1,2,,20i i i Y x i αβε=++=⋅⋅⋅其中各i ε相互独立，而且都服从分布()20,N σ。
试用最小二乘法估计α、β，并求2σ的无偏估计量的值。
解：品质指标支数将 35.353x = 2211.2y = 76061.676xy = 2132.130x m = 234527.46y m =代入得()22222276061.67635.3532211.215.98132.1302211.215.9835.3532776.1434527.4615.98132.130786.69x yx xy x y m y x m m βαβσβ∧∧∧∧∧--⨯===-=-=+⨯==-=--⨯=*2σ∧为2σ∧的无偏估计量*2220786.69874.10218n n σσ∧∧===- 5.某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量()mg 与消光系数读数的结果如下：已知它们之间有关系式,1,2,,i i i Y x i n αβε=++=⋅⋅⋅其中()20,iN εσ，且各i ε相互独立，试求,αβ的最小二乘法估计，并在显著水平0.05下检验β是否为38。
解：将 6x = 210.4y = 1558xy = 28x m = 210929.84y m =代入得()2*222*15586210.436.958210.436.95611.3510929.8436.95812.37233.517x xy x y m y x n n βαβσσσ∧∧∧∧∧∧--⨯====-=-⨯=-==-⨯=-=假设 0:38H β= 1:38H β≠ 用T 检验法 拒绝域为()22t n α≥-查表得 ()0.0253 3.1824t =将上面的数据代入得()0.0251.893t t =< 所以 接受0H 即认为β为38（1）试将这六对观测值用点画在坐标纸上，直观上能否认为长度对于质量的回归是线性的； （2）写出经验回归直线方程；（3）试在16x =时作出Y 的95%预测区间。
解：（1）由散点图看，x 的回归函数具有线性函数形式，认为长度对于质量的回归是线性的。
长度质量（2）将 17.5x = 9.49y = 179.37xy = 272.92x m = 22.45y m =代入得2179.3717.59.490.18272.92x xy xy m β∧--⨯=== 9.490.18217.5 6.305y x αβ∧∧=-=-⨯= 6.3050.182y x x αβ∧∧∧=+=+ （3）当16x =时 0016y a b ε=++ 由T 分布定义()2T t n∧∧=-()0.02520.95P t n⎫⎪⎪⎪⎪<-=⎬⎪⎪⎪⎪⎭所以Y的预测区间为()()**00.02500.02522x t n x t nαβσαβσ∧∧∧∧∧∧⎡+--++-⎢⎣查表得()0.0254 2.776t=将（2）的数据代入得()*222*62.450.18272.920.0075240.0866nnσσσ∧∧∧==-⨯=-=计算得Y的预测区间为()8.9521,9.47217.具有重复试验的一元线性回归表述如下：对变量,x Y作n次试验，自变量x取不同值12,,,rx x x⋅⋅⋅；在每一个ix x=上对Y作im次试验观察，它的观测值为12,,ii i imy y y⋅⋅⋅，而1riim n==∑。
一元回归的线性模型为,1,2,,;ij i ij iY x j mαβε=++=⋅⋅⋅1,2,,i r=⋅⋅⋅试求α，β的最小二乘估计。
8.对于自变量和因变量都分组的情形，经验回归直线的配置方法如下：对x和Y作n次试验得n对试验值，把自变量的试验值分成r组，组中值记为12,,,rx x x⋅⋅⋅，各组以组中值为代表；把因变量的试验值分为s组，组中值记为12,,,sy y y⋅⋅⋅，同样地各组以组中值为代表。
如果(),x Y 取(),i i x y 有ij m 对，1,2,,i r =⋅⋅⋅，1,2,,j s =⋅⋅⋅；而11r siji j mn ===∑∑。
用最小二乘法配直线y x αβ=+，试求,αβ的估计量。
7.5 12.5 17.522.5 27.532.537.542.590110 21 110130 34 3 1301505 10 8 1501701 6 1 1 170190在x 与Y 的，每一分组中，以组中值作为代表。
试用第八题得到的公式，求回归直线y x αβ=+中α与β的估计量。
解：利用第八题得到的公式将 21x = 141.2y = 3138xy = 290x m =代入得2313821141.21.9290141.2 1.9221100.88x xy x y m y x βαβ∧∧∧--⨯====-=-⨯=10.通过原点的二元线性回归模型为1122,1,2,,i i i i Y x x i n ββε=++=⋅⋅⋅其中()20,i N εσ，且各i ε相互独立。
试写出正规方程。
并求出1β与2β的最小二乘估计。
解：二元线性回归模型为1122,1,2,,i i i i Y x x i n ββε=++=⋅⋅⋅ 离差平方和为()21221ni i i i i Q y x x ββ==--∑对Q 求12,ββ的偏导数并令其为0()()11221111222100ni i i i i ni i i i i y x x x y x x x ββββ==⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩∑∑可变换为2111212111221122211100n n n i i i i i i i i n n ni i i i i i i i x y x x x y x x x x ββββ======⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩∑∑∑∑∑∑正规方程为21112212121222x x x x yx x x x yββββ∧∧∧∧⎧+=⎪⎨⎪+=⎩最小二乘估计为2212121222121221122122221212x yx x x yx x x x xx yx x x yx x x x x ββ∧∧-=--=-其中1111n i i i x y x y n ==∑ 2211n i i i x y x y n ==∑ 121211n i i i x x x x n ==∑ 2211n j ij i x x n ==∑ 1,2j =11.在某项钢材的新型规范试验中，研究含碳量()1x 和回火温度()2x 对它的伸长率()Y 的关根据经验，Y 关于1x 、2x 有二元线性回归关系01122Y x x βββε=+++其中()20,N εσ。
