2015开学人教版九年级数学下27.1图形的相似(第1课时)【倍速课时学练】课件

27．1 图形的相似关键问答①判断图形是否相似的主要方法是什么？②对于形状相同的两个图形，从数学角度怎么做阐述？③判断四条线段是否成比例的方法是什么？④由相似多边形的定义可以推出什么？1．①下列图形中相似的有( )(1)放大镜下的图片与原来的图片；(2)放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象；(3)天空中两朵白云的照片；(4)卫星上拍摄的长城照片与用相机拍摄的长城照片．A．4组 B．3组 C．2组 D．1组2．②如果两个相似多边形的一组对应边的长分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为( )A.23B.32C.49D.943．③下列各组中的四条线段成比例的是( )A．a＝1，b＝3，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝5，b＝10，c＝7，d＝14 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝14．④如图27－1－1所示，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′相似，求未知边x的长度和未知角α的度数．图27－1－1命题点 1 图形相似的判断 [热度：98%] 5．下面各组图形中，不是相似图形的是( )图27－1－26.⑤观察图27－1－3中的图形，指出图(1)～(8)中的图形有没有与给出的图形(a)(b)(c)形状相同的？图27－1－3方法点拨⑤可考虑图形之间的水平长与竖直宽是否同时扩大或缩小. 命题点 2 识别成比例线段 [热度：90%] 7．下列长度的线段成比例的是( )A ．2 cm ，5 cm ，6 cm ，8 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cmD ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm 8.⑥若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中a ＝3 cm ，b ＝6 cm ，c ＝2 cm ，则d ＝________ cm. 解题突破⑥若线段a ，b ，c ，d 成比例，则有a b ＝c d.9.⑦已知三条线段a ＝1 cm ，b ＝2 cm ，c ＝3 cm ，若第四条线段与它们成比例，则这样的线段共有几条？它们分别为多长？易错警示⑦在没有明确成比例线段的顺序时，需分情况进行讨论.命题点 3 比例尺[热度：90%]10．在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25 cm，则甲、乙两地的实际距离是( )A．1250 km B．125 km C．12.5 km D．1.25 km11．⑧如图27－1－4是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，则他的跳远成绩约是________m(比例尺为1∶300)．图27－1－4解题突破⑧跳远成绩指落地时身体距起跳线最近的落点到起跳线的垂线段的长．命题点 4 识别相似多边形[热度：92%]12．下列图形中一定相似的是( )A．有一个角相等的两个平行四边形B．有一个角相等的两个等腰三角形C．有一个角相等的两个菱形D．有一组邻边对应成比例的两个平行四边形13.⑨如图27－1－5，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.(1)如图①，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形，即矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似吗？请说明理由；(2)如图②，当x为多少时，图中的矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？图27－1－5方法点拨⑨判定相似多边形的条件是对应角相等，对应边成比例，欲说明两个多边形不相似，只需说明对应边不成比例或对应角不相等即可.命题点 5 相似多边形的性质[热度：95%]14．如图27－1－6，已知六边形ABCDEF与六边形GHIJKL相似，点A，B，C，D，E，F的对应点分别是点G ，H ，I ，J ，K ，L .若它们的相似比为2∶1，则下列结论中正确的是( )图27－1－6A ．∠E ＝2∠KB ．∠K ＝2∠EC ．BC ＝2HID ．六边形ABCDEF 的周长＝六边形GHIJKL 的周长15．如图27－1－7，在矩形ABCD 中，AB ＝2，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处．若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )图27－1－7A. 5 B ．1＋ 5 C ．4 D ．2 316．如图27－1－8，E 是菱形ABCD 的对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，连接EB ，GD .(1)求证：EB ＝GD ； 方法点拨⑩添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．⑩(2)若∠DAB ＝60°，AB ＝2，AG ＝3，求GD 的长．图27－1－817．平面图形相似的概念可以推广到空间立体图形．例如：任意两个球体都是相似的；任意两个正方体都是相似的．立体相似图形也有与平面相似图形相类似的性质．(1)猜想性质：棱长为1的正方体的体积V 1＝1，棱长为2的正方体的体积V 2＝8，棱长为3的正方体的体积V 3＝27，…，可得V 1V 2＝18＝(12)3，V 1V 3＝127＝(13)3，V 2V 3＝827＝(23)3，…，由此猜想立体相似图形具有下列性质：立体相似图形的体积之比等于对应线段之比的________；解题突破⑪买哪种鱼合算可以转化成比较单位体积的鱼的价格大小．⑪(2)问题解决：星期天，小强帮妈妈去超市买鱼，正赶上超市促销．超市里有一种“竹荚鱼”都长得非常相似，按大小有两种不同的价钱，如图27－1－9所示，鱼长10 cm的每条10元，鱼长13 cm的每条15元．买哪种鱼合算呢？图27－1－9详解详析1．C 2.A 3.C4．解：由题意，得1612＝24x，解得x ＝18.∵∠C ′＝360°－(63°＋129°＋78°)＝90°， 四边形ABCD 和四边形A ′B ′C ′D ′相似， ∴∠C ＝∠C ′＝90°，即α＝90°. 5．B6．解：(a)与(4)(8)；(b)与(6)；(c)与(5)形状相同．7．D [解析] A 项中，25≠68；B 项中，12≠34；C 项中，36≠79；D 项中，36＝918＝12，所以选项D 中的四条线段成比例．故选D.8．4 [解析] 由线段a ，b ，c ，d 成比例，可得a b ＝c d ，即36＝2d，解得d ＝4(cm)．9．解：设第四条线段的长是x cm. 当x ≥3时，有12＝3x，解得x ＝6；当2≤x <3时，有12＝x 3，解得x ＝32(不符合要求，舍去)；当1≤x <2时，有1x ＝23，解得x ＝32；当x <1时，有x 1＝23，解得x ＝23.所以这样的线段共有3条，它们的长分别为6 cm ，32 cm 和23 cm.10．D [解析] 设甲、乙两地的实际距离为x km ，有15000＝0.00025x，解之得x ＝1.25. 11．4.5 [解析] 1.5×300＝450(cm)＝4.5 m.12．C [解析] 由菱形的四条边都相等，结合已知条件可得有一个角相等的两个菱形是相似的．13．解：(1)不相似．理由：由题意得AB ＝30，A ′B ′＝28，BC ＝20，B ′C ′＝18，而2830≠1820，故矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′不相似． (2)若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′相似，则A ′B ′AB ＝B ′C ′BC 或A ′B ′BC ＝B ′C ′AB，即30－2x 30＝20－220或30－2x 20＝20－230，解得x ＝1.5或x ＝9. 14．C [解析] 根据相似多边形的对应角相等可得A ，B 错误．根据相似多边形对应边的比等于相似比可得C 正确．根据相似多边形的对应边的比等于相似比，可知周长比也等于相似比，D 选项也是错误的．15．B [解析] ∵沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处，∴四边形ABEF 是正方形．已知AB ＝2，设AD ＝x ，则FD ＝x －2，EF ＝2. ∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴EF FD ＝AD AB ，即2x －2＝x 2， 解得x 1＝1＋5，x 2＝1－5(舍去)，经检验，x 1＝1＋5是原方程的解且符合题意． ∴AD 的长为1＋ 5.16．解：(1)证明：∵菱形AEFG ∽菱形ABCD ， ∴∠EAG ＝∠BAD ，∴∠EAG ＋∠GAB ＝∠BAD ＋∠GAB ， 即∠EAB ＝∠GAD .∵四边形AEFG 与四边形ABCD 都是菱形， ∴AE ＝AG ，AB ＝AD ，∴△AEB ≌△AGD ，∴EB ＝GD .(2)如图，连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC . ∵∠DAB ＝60°， ∴∠PAB ＝30°，∴BP ＝12AB ＝1，AP ＝AB 2－BP 2＝ 3.∵AE ＝AG ＝3，∴EP ＝2 3，∴EB ＝EP 2＋BP 2＝13， ∴GD ＝13.17．解：(1)立方(2)设长度为13 cm 和10 cm 的鱼的体积分别是V 1 cm 3，V 2 cm 3.∵两种鱼相似，∴V 1V 2＝(1310)3＝2.197.∵101>152.197，∴购买13 cm 长的鱼更合算． 【关键问答】①主要看图形的形状是否相同，即将一个图形放大或缩小后得到的图形和原图形是相似的．②形状相同的两个图形，指的是对应角相等，对应边成比例的两个图形，即相似的两个图形．③答案不唯一，如：将四条线段中长度最小的与最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等，若相等，则是成比例线段，若不相等，则不是成比例线段．④相似多边形的对应角相等，对应边成比例．。

（人教版）九年级下第二十七章27.1图形的相似课时练（锦州中学）学校：姓名：班级：考号：一、选择题1.下列图形中,不是相似图形的有()A.0组B.1组 C.2组 D.3组2.如果一个矩形与它的一半矩形是相似形,那么大矩形与小矩形的相似比是()A.√2∶1B.√2∶2C.2∶1D.1∶23.下列各组中的四条线段成比例的是()A.4 cm,2 cm,1 cm,3 cmB.1 cm,2 cm,3 cm,5 cmC.3 cm,4 cm,5 cm,6 cmD.1cm,2 cm,2 cm,4 cm4.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为50 cm,60 cm,80 cm,三角形框架乙的一边长为20 cm,那么符合条件的三角形框架乙共有()A.1种B.2种 C.3种 D.4种5.如图,用放大镜将图形放大,应该属于()A.相似变换B.平移变换 C.对称变换 D.旋转变换6.如果两个相似多边形的面积比为9∶4,那么这两个相似多边形的相似比为()A.9∶4B.2∶3C.3∶2D.81∶167.如图,六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,相似比为2∶1,则下列结论正确的是()A.∠E =2∠KB.BC =2HIC.六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长 D.S 六边形ABCDEF =2S 六边形GHIJKL8.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形，等边三角形，正方形，矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( )A. B.C.D.9.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不．相似. 对于两人的观点，下列说法正确的是( )A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对的值是()10.若2a=3b=4c,且abc≠0,则a+aa-2aA.2B.-2 C.3D.-3二、填空题11.如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',则∠1=,AD=.12.已知a,b,c,d是成比例线段,其中a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm,则d=cm.13.小芳的房间有一面积为3 m2的玻璃窗,她站在室内离窗子4 m的地方向外看,她能看到窗前面一幢楼房的面积有m2(楼之间的距离为20 m).14.在比例尺为1∶200的地图上,测得A,B两地间的图上距离为4.5 cm,则A,B两地间的实际距离为m.15.若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,则此三角形的周长扩大为原来的倍.16.如图,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,若S1表示PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S 1S2.(填“>”“=”或“<”)17.如图所示,一般书本的纸张是在原纸张多次对开后得到.矩形ABCD沿EF对开后,再把矩形EFCD沿MN对开,依次类推.如果各种开本的矩形都相似,那么aaaa=.三、解答题18.已知四条线段a,b,c,d的长度,试判断它们是否成比例:(1)a=16 cm,b=8 cm,c=5 cm,d=10 cm;(2)a=8 cm,b=5 cm,c=6 cm,d=10 cm.19.已知矩形ABCD中,AD=3,AB=1.若EF把矩形分成两个小的矩形,如图所示,其中矩形ABEF与矩形ABCD相似.求AF∶AD的值.20.在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0)，点B(0，4)，点E 在OB上，且∠OAE＝∠OBA.(1)如图①，求点E的坐标(2)如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B，BE′.①设AA′＝m，其中0<m<2，试用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可).参考答案1.【答案】B【解析】本题考查了相似图形.①②④的形状相同，是相似图形，③不是相似图形.2.【答案】A【解析】根据相似比的定义,相似多边形对应边的比称为相似比,由题可知,面积比为2∶1,所以相似比为√2∶1.3.【答案】D【解析】各数据比较可知,只有D中四条线段,1∶2=2∶4,能成比例.4.【答案】C【解析】三角形相似,则边长的比相同,均为5∶6∶8,乙三角形20 cm的边可以当最短边、最长边和中间大小的边,所以共有3种情况.故选C.5.【答案】A【解析】根据相似图形的定义可知,用放大镜将图形放大,属于图形的形状相同、大小不相同,所以属于相似变换.故选A.6.【答案】C【解析】本题考查了相似多边形.面积比等于相似比的平方，所以相似比等于面积比的算术平方根，故选C.7.【答案】B【解析】∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,∴∠E=∠K,故A选项错误;∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,相似比为2∶1,∴BC=2HI,故B选项正确;∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,相似比为2∶1,∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2,故C选项错误;∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL ,相似比为2∶1,∴S 六边形ABCDEF =4S 六边形GHIJKL ,故D 选项错误.8.【答案】D 【解析】由相似的性质知选D.9.【答案】A 【解析】图①中，新三角形和原三角形保持了三内角不变，根据两组角对应相等的两三角形相似，得新三角形和原三角形相似，图②中，原矩形的长宽比为53，而新矩形的长宽比为75，所以变化前后的矩形不相似.10.【答案】B 【解析】设2a=3b=4c=12k (k ≠0),则有a=6k ,b=4k ,c=3k ,所以a +a a -2a =6a +4a 3a -2×4a =10a -5a=-2. 11.【答案】70° 28【解析】∵四边形ABCD ∽四边形A'B'C'D',∴∠1=∠B =70°a′a′aa =a′a′aa, 即21aa =1824,解得AD =28.12.【答案】4【解析】本题考查了比例线段.由题知aa =aa,即32=6a,解得d=4.13.【答案】108【解析】根据题意,她能看到窗前面一幢楼房的图形与玻璃窗的外形应该相似,且相似比为20+44=244=6,故面积的比为36.故她能看到窗前面一幢楼房的面积为36×3=108(m2).故答案为:108.14.【答案】9【解析】设A,B两地间的实际距离为x cm,由题意得,1∶200=4.5∶x,解得x=900 cm.故A,B两地间的实际距离为900 cm,即9 m.15.【答案】5【解析】∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,∴扩大后的三角形与原三角形相似.∵相似三角形的周长的比等于相似比,∴这个三角形的周长也扩大为原来的5倍.故答案为:5.16.【答案】=【解析】根据黄金分割的定义得到PA 2=PB ·AB ,再利用正方形和矩形的面积公式有S 1=PA 2,S 2=PB ·AB ,从而可得S 1=S 2.17.【答案】√22 【解析】设∵各开本的矩形都相似,所以有矩形ABCD 与矩形BFEA 相似,即aa aa =aa aa,∴AB ·AB=AD ·BF.又∵BF=12AD , ∴12AD 2=AB 2,∴aa aa =√12=√22. 18.(1)【答案】∵8×10=80,16×5=80,∴bd =ac.∴能够成比例.(2)【答案】∵8×6=48,10×5=50,∴不能够成比例.19.【答案】设AF=x ,∵矩形ABEF 与矩形ABCD 相似,且AD=3,AB=1,∴对应边成比例,即aa aa =aa aa,即13=a 1,解得x=13, ∴AF ∶AD=13∶3=1∶9.20.(1)【答案】∵点A 的坐标为(－2，0),点B 的坐标为(0，4)，∴OA ＝2，OB ＝4，∵∠OAE ＝∠OBA ，∠EOA ＝∠AOB ＝90°，∴△OAE ∽△OBA ，有aa aa ＝aa aa，即24＝aa 2，解得OE ＝1.∴点E 的坐标为(0，1).(2)【答案】①如图，连接EE ′，由题设AA ′＝m ，则A ′O ＝2－m .在Rt△A′BO中，由A′B2＝A′O2＋BO2，得A′B2＝(2－m)2＋42＝m2－4m＋20.∵△A′E′O′是将△AEO沿x轴向右平移得到的，∴EE′∥AA′，且EE′＝AA′.有∠BEE′＝90°，EE′＝m.又BE＝OB－OE＝3，于是，在Rt△BE′E中，BE′2＝E′E2＋BE2＝m2＋9. ∴A′B2＋BE′2＝2m2－4m＋29(0<m<2).配方，得A′B2＋BE′2＝2(m－1)2＋27，当m＝1时，A′B2＋BE′2可以取得最小值，∴当E′的坐标为(1，1).，1).②当E′的坐标为(67。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第27章相似27.1图形的相似一、选择题1.在比例尺为1：50000的地图上量得甲、乙两地的距离为10cm，则甲、乙两地的实际距离是（）A.500kmB.50kmC.5kmD.0.5km2.如图，AD∥BE∥CF，直线a，b与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若AB=2，AC=6，DE=1.5，则DF的长为（）A.7.5B.6C.4.5D.33.生活中到处可见A黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米4.若，则的值是（）A. B. C. D.5.下列说法正确的是（）A.菱形都相似B.正六边形都相似C.矩形都相似D.一个内角为80°的等腰三角形都相似6.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似.A.1个B.2个C.3个D.4个7.下列各组线段中是成比例线段的是（）A.1cm，2cm，3cm，4cmB.1cm，2cm，2cm，4cmC.3cm，5cm，9cm，13cmD.1cm，2cm，2cm，3cm8.用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为（）A.150°B.105°C.15°D.无法确定大小9.已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为（）A.2B.3C.－3D.3或－310.如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A.a=bB.a=2bC.a=2bD.a=4b二、填空题11.若则______.12.顺次连接正方形各边中点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比是_________.13.如图，AB//CD//EF.若CE=2AC，BD=5，则DF=______.14.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是千米.15.如果线段a，b，c，d成比例，且a=5，b=6，c=3，则d=.16.已知，则三、解答题17.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度.18.若,且2a－b+3c=21.试求a∶b∶c.19.已知，求的值.20.已知a,b,c均不为0，且，求的值.21.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.参考答案1.C；2.C；3.A；4.A；5.B；6.C；7.B；8.C；9.B；10.B；.11.1.12.13.1014.3415.3.6.16.3；17.∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm.18.a:b:c=4:8:7；19.2.25.20.解：设=k，则①②③由①+③得，2b+2c=12k,∴b+c=6k④由②＋④，得4b=9k,∴b=，分别代入①，④得，a=,c=.∴.21.解：(1)若设AD=x(x＞0)，则DM=0.5x.∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴=.即x=4(舍负).∴AD的长为4.(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为：=.。

人教版数学九年级下册27.1图形的相似课时练习一、单选题（共15题）1.已知2x =5y （y≠0），则下列比例式成立的是（ ） A.25x y = B.52x y= C.25x y = D.52x y =答案：B知识点：比例的性质 解析：解答：∵2x=5y ，知识点: 比例的性质 解析：解答: 由3a =2b ，得出23a b =于是可设a =2k ，则b =3k ，代入a b a-=232k kk -=12- 故选：A ．分析: 本题考查了比例的基本性质，是基础题3. 不为0的四个实数a 、b ，c 、d 满足ab=cd ，改写成比例式错误的是（ ）A ． a dc b = B ． c b ad =C ．d b a c =D ．a c b d=答案：D知识点: 比例的性质． 解析：解答: A 、a dc b=ab cd ⇒=故A 正确B、c ba d=ab cd⇒=故B正确C、d ba c=ab cd⇒=故C正确D、a cb d=ad bc⇒=故D错误故选：D．分析: 本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：分子分母交叉相乘，乘积相等．4. 如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（）A．23±B．23C．43D．43±答案:C知识点: 比例线段解析：解答: 根据题意，可知a：b=b：c，b2=ac，当a=3，b=2时22=3c，3c=4，c=4 3故选：C．分析: 比例中项，也叫“等比中项”，即如果a、b、c三个量成连比例，即a：b=b：c，则b叫做a和c的比例中项．据此代数计算得解．5. 比例尺为1：1000的图纸上某区域面积400cm2，则实际面积为（）A．4×105m2 B．4×104m2 C．1.6×105m2D．2×104 m2答案:B知识点:比例线段解析：解答: 设实际面积为x cm2，则400：x=（1：1000）2，解得x=4×108．4×108cm2=4×104m2．故选B．分析: 根据面积比是比例尺的平方比，列比例式求得该区域的实际面积．6、如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC=OA，以A为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是（）A．2B．C．D2答案:D知识点:比例线段．解析：解答: 连接AC，设AO=x，则BO=x，CO=x，故x，x∴线段AP与AB:22故选：D．分析: 利用已知表示出AC的长，即可得出AP以及AB的长，即可得出答案．7. 下列各组中得四条线段成比例的是（）A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、3cm、5cmC．3cm、4cm、5cm、6cm D．1cm、2cm、2cm、4cm答案:D知识点:比例线段．解析：解答：A、从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；B、从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；C、从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；D、从小到大排列，由于1×4=2×2，所以成比例，符合题意．故选D．分析: 四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．8. 已知C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC ：AB=（ ）A ．1):2B ．1):2C ．(3:2-D ．(3:2+ 答案:A知识点: 黄金分割．解析：解答: 根据黄金分割的定义，知AC ：AB=1):2故选A ．分析: 此题主要考查了黄金分割比的概念．9. 若P 是线段AB 的黄金分割点（PA ＞PB ），设AB=1，则PA 的长约为（ ） A ．0.191 B ．0.382 C ．0.5 D ．0.618 答案:D知识点: 黄金分割．解析：解答: 由于P 为线段AB=1的黄金分割点， 且PA ＞PB ，则PA=0.618×1=0.618． 故选D ．分析: 根据黄金分割点的定义，知PA 是较长线段；则PA=0.618AB ，代入数据即可． 10. 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB 长为20米，一个主持人现站在舞台AB 的黄金分割点点C 处，则下列结论一定正确的是（ ） ∴AB ：AC=AC ：BC ； ∴AC≈6.18米；∴AC ＝1)米；∴BC ＝米或米． A ．∴∴∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴ D ．∴ 答案:D知识点: 黄金分割．解析：解答: AB 的黄金分割点为点C 处，若AC ＞BC ，则AB ：AC=AC ：BC ，所以∴不一定正确；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20-12.36=7.64，所以②错误；若AC 为较长线段时，AC=12AB=10），BC=10（BC 为较长线段时，BC=12AB=10-1），AC=10（），所以③不一定正确，④正确． 故选D ．分析:根据黄金分割的定义和AC 为较长线段或较短线段进行判断．11. 等腰∴ABC 中，AB=AC ，∴A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（ ）∴∴BCD 是等腰三角形；∴点D 是线段AC 的黄金分割点；∴∴BCD∴∴ABC ；∴BD 平分∴ABC ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案:D知识点: 黄金分割；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质． 解析：解答: ∴AB=AC ， ∴∴ABC=∴C=12（180°-∴A ）=12（180°-36°）=72°， ∴AD=BD ， ∴∴DBA=∴A=36°， ∴∴BDC=2∴A=72°， ∴∴BDC=∴C ，∴∴BCD 为等腰三角形，所以∴正确； ∴∴DBC=∴ABC-∴ABD=36°， ∴∴ABD=∴DBC ，∴BD 平分∴ABC ，所以∴正确； ∴∴DBC=∴A ，∴BCD=∴ACB ， ∴∴BCD∴∴ABC ，所以∴正确； ∴BD ：AC=CD ：BD ， 而AD=BD ，∴AD：AC=CD：AD，∴点D是线段AC的黄金分割点，所以∴正确．分析: 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∴ABC=∴C=1 2（180°-∴A）=72°，再计算出∴BDC=72°，∴DBC=36°，则可对∴∴∴进行判断；利用∴BCD∴∴ABC得BD：AC=CD：BD，而AD=BD，则AD：AC=CD：AD，于是根据黄金分割的定义可对∴进行判断．12. 用一个2倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（）A．△ABC放大后，是原来的2倍B．△ABC放大后，各边长是原来的2倍C．△ABC放大后，周长是原来的2倍D．△ABC放大后，面积是原来的4倍答案:A知识点:相似图形解析：解答: ∴放大前后的三角形相似，∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍．故本题选A．分析: 用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变13. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变答案:D知识点:相似图形解析：解答：根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选D．分析: 根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得出答案．（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A．1 个B．2个C．3个D．4个答案: C解析：解答：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．分析: 利用相似图形的性质分别判断得出即可．15. 下列说法不一定正确的是（）A．所有的等边三角形都相似B．所有的等腰直角三角形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似答案:C知识点:相似图形解析：解答：A、所有的等边三角形都相似，正确；B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；C、所有的菱形不一定都相似，故错误；D、所有的正方形都相似，正确．故选C．分析: 利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．二、填空题（共5题）1. 给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有( )（填序号）．答案: ①②④⑤知识点:相似图形解析：解答: 下列几何图形：∴两个圆；∴两个正方形；∴两个矩形；∴两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有①②④⑤．故答案为：①②④⑤．2. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是（）答案: 1：3知识点:相似图形．解析：解答: 由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=2：6=1：3，故答案为：1：3分析：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比．3. 若用一个2倍放大镜去看△ABC，则∠A的大小（）；面积大小为（）答案:不变，4倍知识点:相似图形．解析：解答: ∵放大后的三角形与原三角形相似∴∠A的度数不变∵放大前后，两相似三角形的相似比为1：2∴它们的面积比为1：4即放大后面积为原来的4倍．分析: 本题考查相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，面积比等于相似比的平方．4、如果图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，那么图形甲与图形丙（）答案：相似知识点:相似图形．解析：解答：∵图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，∴图形甲与图形丙相似．故答案为：相似分析:本题考查了相似图形，熟记相似图形具有传递性是解题的关键．5. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，c=4，那么b＝（）答案：2知识点:比例线段解析：解答：∵b是a、c的比例中项，∴b2=ac，即b2=4，∴b=±2（负数舍去）．故答案是：2．分析:根据比例中项的定义可得b2=ac，从而易求b．三、解答题（共5题）1. 如图，在△ABC中，若DE∥BC，12ADDB=，DE=4cm，求BC的长答案：12cm知识点:平行线分线段成比例解析：解答: 解：∵DE∥BC，∴DE ADBC AB=，又∵12ADDB=∴13ADAB=，∴413BC=∴BC=12cm．故答案为：12cm．分析：本题考查了平行线分线段成比例定理，找出图中的比例关系是解题的关键．2. 如图，已知AB∴CD∴EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD=6，DF=3，BC=5，求BE的长答案：7.5知识点:平行线分线段成比例．解析：解答：∵AB∥CD∥EF，答案：m=2n+1知识点:平行线分线段成比例；旋转的性质．分析:本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．也考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．4.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m．在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，求其他两边的实际长度答案：都是20m．知识点:比例线段即其他两边的实际长度都是20m．分析: 设其他两边的实际长度分别为x m、y m，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．5.如图，直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．过B点作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA、OB、OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，求P点的坐标。

第二十七章相似27.1 图形的相似第1课时教学目标【知识与技能】1.结合具体实例认识相似的图形，体会相似图形在实际中的广泛应用.2.理解相似图形的概念，能判别两个图形是否相似.【过程与方法】经历观察、想象、推理、交流等活动，发展空间想象能力和推理能力.【情感态度】使学生在积极参与探索、交流的活动中，体验数学与实际生活的密切联系，激发学生的求知欲，感受与他人合作的重要性.教学重难点【教学重点】理解相似图形的概念，会判断图形的相似.【教学难点】判断图形是否相似.课前准备无教学过程一、情境导入，初步认识问题请同学们观察所给出的几组图形，说说它们有哪些共同点？（这里的图片可以是教材P24中图27.1—1中3组图片，可以是教师自制教学图片，也可以是利用多媒体而展示的相似图片.）【教学说明】通过观察实物图片，从感性上认识相似图形.二、思考探究，获取新知问题1你认为什么样的图形是相似图形？问题2你能举出一些相似图形的例子吗？【教学说明】问题1是让学生在感性认识的基础上而进行的必要理性思考，教师应善于这种诱导，让学生通过“看起来一样，但大小不同的图形为相似图形”进入到“形状相同的图形叫做相似图形”从而认识新知.问题2可由学生相互交流，并运用新知来判别举例的合理性，加深对概念的理解.教师巡视，可参与到学生的交流活动中，听取学生的观点，适时点拨. 【归纳结论】1.相似图形：形状相同的图形叫做相似图形.2.两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.问题3展示教材P24中图27.1—2及P25中图27.1—3以及练习第1题中的三幅图片 (可让学生直接观察教材图片，有条件的地方可利用多媒体来展示更多图片），它们中有相似图形？为什么？【教学说明】让学生指出图片中的相似图形，通过相互交流加深对概念的理解.让学生说明理由，目的在于更好地理解“形状相同”的含义，理解图形相似的本质.当然，这里的理由也是感性认识，不必作更深的说明.三、运用新知，深化理解1.放电影时，投在屏幕上的画面与胶片上的画面相似吗？2.从放大镜里看到的图案和原来的图案相似吗？3.教材P35练习第2题【教学说明】让学生分组讨论，相互交流，然后釆用抢答方式来处理.四、动手设计，转化知识问题你能画出相似的图形吗？试试看，看谁画的图形最相似？【教学说明】学生自己动手画出的图形多种多样，在动手画图过程中应思考怎样画才能使两个图案相似.教师在巡视时可适时予以提醒.在完成上述问题后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.五、师生互动，课堂小结1.相似图形的定义是什么？2.怎样判断所给出的图形是否相似？【教学说明】设置问题，师生共同回顾，及时反馈，巩固所学知识.课后作业完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.教学反思本课时教学过程中应注重培养学生的空间想象能力和推理能力，通过学生画图、动手操作等实践活动加强对相似图形概念的理解，并能熟练步断图形的相似.。

1No.6 课题：27.1图形的相似主编： 审核： 验收人： 课型：新授课 学习目标：1.通过实例了解相似图形.2.理解相似多边形的性质.学习重点：相似多边形的性质. 一、学习研讨：简记（一）相似图形1.观察下列各组图形，有什么相同之处结论：我们把 的图形叫相似图形。

（二）相似多边形 1.定义叫做相似多边形. 叫做相似比.图中两个大小不同的四边形ABCD 和四边形A B C D 中， ， ，因此四边形ABCD 和四边形A B C D 相似 .由定义可知，相似多边形的对应角 相等，对应边成比例.2.对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的 比相等，如 ，（即 ）我们就说这四条线段成比例.3. 例：如图：四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，求∠α、∠β的度数和EH 的长度x.1二、巩固提高1. 如图所示的两个五边形相似，求未知边a,b,c,d 的长度.2.如图，已知梯形ABCD 和梯形A ′B ′C ′D ′相似，AB ∥CD, A ′B ′∥C ′D ′, 求出图中∠α、∠β的度数以及边x 、y 、z 的长.相似比是多少？3.如图，D E ∥BC,求 ,并证明△ABC 与△ADE 相似.4.如图，在下面三个矩形中，相似的是（ ） A 、甲、乙和丙 B 、甲和乙 C 、甲和丙 D 、乙和丙65°βABCDx y1513.5100°αA ’B ’C ’D ’1014z 868486甲乙 丙,,AD AE DE AB AC BCj9CBA 57.5三、学（教）后反思：1。

第二十七章相似27．1图形的相似01 基础题知识点1相似图形形状相同的图形叫做相似图形．1．下列选项中，哪个才是相似图形的本质属性(C)A．大小不同B．大小相同C．形状相同D．形状不同2．下列各组图形相似的是(B)知识点2比例线段对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如ab＝cd，我们就说这四条线段成比例．3．下列各线段的长度成比例的是(D)A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cmB．1 cm，2 cm，3 cm，4 cmC．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmD．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm4．(常州中考)在比例尺为1∶40 000的地图上，某条道路的长为7 cm，则该道路的实际长度是2.8km.知识点3相似多边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边成比例．如：两个大小不同的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，若∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，那么四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似．5．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为(A)A.23B.32C.49D.946．如下的各组多边形中，相似的是(B )A ．(1)(2)(3)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(2)7．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2 cm 变成了6 cm ，这次复印的放缩比例是1∶3． 8．如图所示是两个相似四边形，求边x 、y 的长和α的大小．解：∵两个四边形相似，∴AD A′D′＝BC B′C′＝AB A′B′，即416＝6x ＝7y . ∴x ＝24，y ＝28.∵∠B ＝∠B′＝73°， ∴α＝360°－∠A －∠D －∠B ＝83°.易错点 没有分情况讨论导致漏解9．已知三条线段的长分别为1 cm 、2 cm 、 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为2__cm ，22__cm 或22__cm.02 中档题 10．下列说法：①放大(或缩小)的图片与原图片是相似图形； ②比例尺不同的中国地图是相似图形；③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形； ⑤平面镜中，你的形象与你本人是相似的． 其中正确的说法有(D ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个11．如图，正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B )A ．2DE ＝3MNB ．3DE ＝2MNC ．3∠A ＝2∠FD ．2∠A ＝3∠F12．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(B )13．如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，α＝125°，m ＝12.14．如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．解：如图所示．15．为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：(1)每块地砖的长与宽分别为多少？(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试明你的结论．解：(1)设矩形地砖的长为a cm ，宽为b cm ，由题图可知4b ＝60，即b ＝15.因为a ＋b ＝60，所以a ＝60－b ＝45，所以矩形地砖的长为45 cm ，宽为15 cm.(2)不相似．理由：因为所铺成矩形地面的长为2a ＝2×45＝90(cm )，宽为60 cm ，所以长宽＝9060＝32，而a b ＝4515＝31，32≠31，即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例．所以它们不相似．03 综合题16．(教材9下P 28习题T 6变式)如图：矩形ABCD 的长AB ＝30，宽BC ＝20.(1)如图1，若沿矩形ABCD 四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；(2)如图2，x 为多少时，图中的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似？ 解：(1)不相似，AB ＝30，A′B′＝28，BC ＝20，B′C′＝18，而2830≠1820， 故矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′不相似． (2)矩形ABCD 与A′B′C′D′相似， 则A′B′AB ＝B′C′BC 或A′B′BC ＝B′C′AB .则：30－2x 30＝20－220，或30－2x 20＝20－230.解得x ＝1.5或9，故当x ＝1.5或9时，矩形ABCD 与A′B′C′D′相似．27.2 相似三角形27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例01 基础题知识点1 相似三角形的定义和相似比如果两个三角形的三个角分别相等，三条边成比例，我们就说这两个三角形相似．相似三角形对应边的比叫做相似比．相似用符号“∽”表示．如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，如果∠A ＝∠A 1，∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 1，AB A 1B 1＝BC B 1C 1＝ACA 1C 1，那么△ABC∽△A 1B 1C 1.1．如图所示，△ADE∽△ACB ，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A )A.AD AC ＝AE AB ＝DE BCB.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BCD.AD AB ＝AE EC ＝DE BC2．两个三角形相似，且相似比k ＝1，则这两个三角形全等．知识点2 平行线分线段成比例(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图1，直线l 1∥l 2∥l 3，分别交直线m ，n 于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，则AB BC ＝DE ，AB AC ＝DE ，BC AC ＝EF．图1 图2(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图2，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，则AD DB ＝AE EC ，AD AB ＝AE AC ，DB AB ＝ECAC ．3．(杭州中考)如图，已知a∥b∥c，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F.若AB BC ＝12，则DEEF＝(B )A.13B.12C.23D ．14．(成都中考)如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为(B )A ．1B ．2C ．3D ．4知识点3 相似三角形判定的预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，则△ADE ∽△ABC. 5．(贵阳中考)如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD AB ＝13，BC ＝12.则DE 的长是(B )A ．3B ．4C ．5D ．6第5题图 第6题图6．如图，点E ，F 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且EF∥BC，点M 在边BC 上，AM 与EF 交于点D ，则图中相似三角形共有(B )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对02 中档题7．(上海中考)如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB ＝3∶5，那么CF∶CB 等于(A )A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶5第7题图 第8题图8．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有(B )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对9．(遵义中考)如图，△ABC 中，E 是BC 中点，AD 是∠BAC 的平分线，EF∥AD 交AC 于点F.若AB ＝11，AC ＝15，则FC 的长为(C )A ．11B ．12C ．13D ．1410．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，连接DE ，线段BE ，CD 相交于点O ，若OD ＝2，则OC ＝4.第10题图 第11题图11．(六盘水中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点F ，若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝169．12．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD ＝2，过点D 作DE∥BC 交边AC 所在直线于点E ，则CE 的长为6或12．13．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M 、N 为山的两侧)，工程人员为了计算M 、N 两点之间的直线距离，选择作MN 的平行线BC ，并测得AM ＝900米， AB ＝30米，BC ＝45米，求直线隧道MN 的长．解：∵BC∥MN， ∴△ABC∽△AMN. ∴AB AM ＝BC MN ，即30900＝45MN . ∴MN ＝1 350米答： 直线隧道MN 的长为1 350米．14．如图，延长正方形ABCD 的一边CB 至E ，ED 与AB 相交于点F ，过F 作FG∥BE 交AE 于G ，求证：GF ＝FB.证明：∵GF∥AD， ∴GF AD ＝EF ED. 又FB∥DC，∴FB DC ＝EFED .又AD ＝DC ，∴GF AD ＝FBAD .∴GF ＝FB.03 综合题15．如图，AD∥EG∥BC，EG 分别交AB ，DB ，AC 于点E ，F ，G ，已知AD ＝6，BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，求EG ，FG 的长．解：∵在△ABC 中，EG∥BC， ∴△AEG∽△ABC， ∴EG BC ＝AE AB. ∵BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5， ∴EG 10＝35，∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF∥AD， ∴△BEF∽△BAD，∴EF AD ＝BEAB .∵AD ＝6，AE ＝3，AB ＝5， ∴EF 6＝5－35.∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时 相似三角形的判定定理1，201 基础题知识点1 相似三角形的判定定理1三边成比例的两个三角形相似．如图，已知△ABC 和△DEF 中，AB DE ＝AC DF ＝BCEF，则△ABC∽△DEF.1．将一个三角形的各边长都缩小12后，得到的三角形与原三角形(A )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法确定2．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝3cm 时，△ABC∽△DEF.3．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由如下：在Rt△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝32－2.42＝1.8， 在Rt△DEF 中，DF ＝DE 2－EF 2＝62－3.62＝4.8， ∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12， ∴△ABC∽△DEF.4．(教材9下P 42例3变式)(佛山中考)网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC∽△DEF.证明：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12. ∴△ABC∽△DEF.知识点2 相似三角形的判定定理2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．如图，已知△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D ，且AB DE ＝ACDF，则△ABC∽△DEF.5．能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是(B )A.AB A ′B ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠A ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠C ′ D.AB A ′B ′＝ACA ′C ′且∠B ＝∠B ′6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是(C )7．如图AB 与CD 相交于点O ，OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，当OC ＝185时，△AOC∽△BOD.8．如图，点C ，D 在线段AB 上，∠A＝∠B，AE ＝3，AD ＝2，BC ＝3，BF ＝4.5，DE ＝5，求CF 的长．解：∵AE BF ＝34.5＝23，AD BC ＝23，∴AE BF ＝AD BC .又∵∠A ＝∠B，∴△AED∽△BFC， ∴AD BC ＝DE CF .∴23＝5CF. ∴CF ＝152.易错点 对应边没有确定时容易漏解9．(随州中考)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝5或3时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．02 中档题10．(贵阳中考)如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P 所在的格点为(C )A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 4 11．如图，在△ABC 中，点P 在AB 上，下列四个条件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC 2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能满足△APC 和△ACB 相似的条件有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个第11题图 第12题图12．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：AD AB ＝AEAC，使△ABC∽△ADE.13．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.证明：∵AB∥DE， ∴△ODE∽△OAB. ∴DE AB ＝OE OB. ∵BC∥EF，∴△OEF∽△OBC. ∴EF BC ＝OE OB ＝OF OC. ∵AC∥DF，∴△ODF∽△OAC. ∴DF AC ＝OF OC . ∴DE AB ＝EF BC ＝DF AC. ∴△DEF∽△ABC.14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足AB 2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB. ∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB·CE，∴AB CE ＝DBAB .又AB ＝AC ，∴AB CE ＝DBAC .∴△ADB∽△EAC.15．如图，正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ∽△QCP.证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a.∵Q是CD的中点，BP＝3PC，∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a.∴DQPC＝ADCQ＝21.又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.03 综合题16．(宿迁中考改编)如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD 与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是(C)A．1 B．2 C．3 D．4第3课时相似三角形的判定定理301 基础题知识点1相似三角形的判定定理3两角分别相等的两个三角形相似．如图，已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.1．下列各组图形中有可能不相似的是(A)A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是△EFD，△HGK.3．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形答案不唯一，如△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE等．(用相似符号连接)4．如图，点B、D、C、F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.证明：∵AB∥EF，AC∥DE，∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF.∴△ABC∽△EFD.5．如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D.求证：△ABC∽△AED.证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD， 即∠BAC ＝∠EAD. 又∵∠C ＝∠D， ∴△ABC∽△AED.知识点2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．如图，在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，∠C ＝90°，∠C′＝90°，AB A′B′＝ACA′C′，则Rt △ABC∽Rt △A′B′C′.6．在△ABC 和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝10时，△ABC∽△A′B′C′.7．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm 和454cm ，这两个直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形．8．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形不一定(填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．易错点 对应角没有确定时容易漏解9．如图，在平面直角坐标系中有两点A(6，0)，B(0，3)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为(－2，0)，(32，0)，(－6，0)时，△BOC 与△AOB 相似．02中档题10．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B.那么下列判断中，错误的是(D) A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACDC．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB第10题图第11题图11．(本溪中考)如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD ＝3，则CF等于(B)A．1 B．2 C．3 D．412．如图，已知：∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？解：①若△ABC∽△ADB，则ABAD＝ACAB.∴AD＝3；②若△ABC∽△DAB，则ABAD＝BCAB.∴AD＝3 2.综上所述，当AD＝3或32时，两直角三角形相似．13．(毕节中考改编)如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.求证：△ABF∽△BEC.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC.∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.又∵∠AFB＋∠AFE＝180°，且∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB.又∵∠ABF＝∠BEC，∴△ABF∽△BEC.14．(滨州中考改编)如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴△APQ∽△CDQ.(2)当DP⊥AC时，∠QCD＋∠QDC＝90°.∵∠ADQ＋∠QDC＝90°，∴∠DCA＝∠ADP.又∵∠ADC＝∠DAP＝90°，∴△ADC∽△PAD.∴ADPA＝DCAD，∴10PA＝2010，解得PA＝5.∴t＝5.03综合题15．如图，在△ABC中，AD、BF分别是BC，AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.证明：∵AD、BF分别是BC、AC边上高，∴∠ADB＝∠BED＝90°.∴∠EBD＋∠EDB＝∠EDB＋∠ADE.∴∠EBD＝∠EDA.∴△AED∽△DEB.∴DE2＝AE·BE.又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF，∴∠EBG＝∠H.∵∠BEG＝∠HEA＝90°，∴△BEG∽△HEA.∴EGAE＝BEEH，即EG·EH＝AE·BE.∴DE2＝EG·EH.27.2.2 相似三角形的性质01 基础题知识点1 相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．如图，已知△ABC∽△A 1B 1C 1，其相似比为k ，AD 和A 1D 1分别是BC 和B 1C 1边上的高，CF 和C 1F 1分别是AB和A 1B 1边上的中线，BE 和B 1E 1分别是∠ABC 和∠A 1B 1C 1的平分线，则AD A 1D 1＝CF C 1F 1＝BEB 1E 1＝k.1．(兰州中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△D EF 对应中线的比为(A )A.34B.43C.916D.1692．若△ABC∽△A′B′C′，AB ＝16 cm ，A′B′＝4 cm ，AD 平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，A′D′＝3 cm ，则AD ＝12cm . 3．已知：△ABC∽△A′B′C′，AB ＝4 cm ，A′B′＝10 cm ，AE 是△ABC 的一条高，AE ＝4.8 cm .求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AE A′E′＝AB A′B′.∴ 4.8A′E′＝410. ∴A′E′＝12 cm.知识点2 相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k ，则△ABC 与△A′B′C′的周长比为k ． 4．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶3，则△ABC 与△A′B′C′周长的比为(A )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶9D ．9∶15．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE∥BC，且AD ＝13AB ，则△ADE 的周长与△ABC 的周长的比为1∶3.知识点3 相似三角形性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k ，则△ABC 与△A′B′C′的面积比为k 2． 6．(黔西南中考)已知△ABC∽△A′B′C′，且AB A′B′＝12，则S △ABC ∶S △A′B′C′为(C )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶17．(广东中考)若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是4∶9．8．(怀化中考)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，则S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4．第8题图 第9题图9．(滨州中考)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则AD AB ＝22．10．某小区广场有两块相似三角形的草坪，相似比为2∶3，面积差是30 m 2，则小区广场两块相似三角形的草坪面积分别是24__m 2、54__m 2．02 中档题11．(湘西中考)如图，在▱ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 延长线于点F ，则△EDF 与△BCF 的周长之比是(A )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5第11题图 第12题图12．(黔西南中考)如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，BD ＝2AD ，DE∥BC 交AC 于点E ，则下列结论不正确的是(D )A ．BC ＝3DEB.BD BA ＝CE CAC ．△ADE ∽△ABCD ．S △ADE ＝13S △ABC13．已知△ABC 与△A′B′C′中，∠C ＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，BC ＝6，AC ＝8，A′B′＝20，则△A′B′C′的斜边上的高为485．14．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，D 为AC 上一点，AD ＝4，在AB 上取一点E ，得到△ADE，若这两个三角形相似，则它们的周长之比是4∶9或1∶3．15．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 的AB ，AC 边上的点，DE∥BC，CF ，EG 分别是△A BC 与△ADE 的中线，已知AD∶DB＝4∶3，AB ＝18 cm ，EG ＝4 cm ，求CF 的长．解：∵AD∶DB ＝4∶3， ∴AD∶AB ＝4∶7. ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.∵CF，EG 分别是△ABC 与△ADE 的中线， ∴AD AB ＝EG CF .∴47＝4CF. ∴CF ＝7 cm.16．如图，▱ABCD 中，AE∶EB＝2∶3，DE 交AC 于点F.(1)求证：△AEF∽△CDF；(2)求△AEF 与△CD F 的周长之比；(3)如果△CDF 的面积为20 cm 2，求△AEF 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB.∴△AEF∽△CDF.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ＝AB.∵AE∶EB ＝2∶3，设AE ＝2k ，则BE ＝3k ，DC ＝5k. 又∵△AEF∽△CDF， ∴C △AEF C △CDF ＝AE DC ＝25. ∴△AEF 与△CDF 的周长之比为2∶5. (3)∵△AEF∽△CDF，∴S △AEF S △CDF ＝(AE DC)2. ∵AE DC ＝25，△CDF 的面积为20 cm 2， ∴△AEF 的面积为165 cm 2.03 综合题17．如图，在△ABC 中，DF∥EG∥BC，且AD ＝DE ＝EB ，△ABC 被DF 、EG 分成三部分，且三部分面积分别为S 1，S 2，S 3，求S 1∶S 2∶S 3的值．解：∵DF∥EG∥BC，∴△ADF∽△AEG∽△ABC. 又∵AD ＝DE ＝EB ，∴三个三角形的相似比是1∶2∶3. ∴面积的比是1∶4∶9.设△ADF 的面积是a ，则△AEG 与△ABC 的面积分别是4a ，9a ， ∴S 2＝3a ，S 3＝5a ，则S 1∶S 2∶S 3＝1∶3∶5.小专题15 相似三角形的基本模型(教材变式)模型1X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ABO∽△CDO.教材母题1：(教材九下P58复习题T9)如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED.你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？解：△AEF∽△BDF.理由：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BDF＝90°.又∵∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△BDF.1．(恩施中考)如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC 等于(D)A．1∶4B．1∶3C．2∶3D．1∶22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.找出图中的相似三角形，并说明理由．解：△ABO∽△CDO.理由如下：∵AB∥CD，∴∠OCD ＝∠OAB， ∠ODC ＝∠OBA. ∴△ABO∽△CDO.模型2 A 字型及其变形(1)如图1，公共角的对边平行，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE ∽△ABC ；(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD ∽△ABC .教材母题2：(教材九下P 35例2)如图，Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，AC ＝8.E 是AC 上一点，AE ＝5，ED⊥AB，垂足为D.求AD 的长．解：∵ED⊥AB， ∴∠EDA ＝90°.又∠C ＝90°，∠A ＝∠A， ∴△AED∽△ABC. ∴AD AC ＝AE AB. ∴AD ＝AC·AE AB ＝8×510＝4.3．如图，点D 是△ABC 的边AC 的上一点，且∠ABD＝∠C.如果AD CD ＝13，求BDBC的值．解：∵∠DAB ＝∠BAC，∠ABD ＝∠C，∴△DAB∽△BAC.∴DABA＝ABAC＝BDBC.∴AB2＝AD·AC.∵ADCD＝13，∴设AD＝a(a＞0)，则CD＝3a.∴AB2＝a(a＋3a)＝4a2.∴AB＝2a.∴BDBC＝DABA＝a2a＝12.模型3双垂直型直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.教材母题3：(教材九下P36练习T2)如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：(1)△ACD∽△ABC；(2)△CBD∽△ABC.证明：(1)∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.又∵∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC.(2)∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠ABC＝∠CBD，∴△CBD∽△ABC.4．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为(B)A．36B．15C．95D．3＋35模型4M字型及其变形(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB；(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠ABC＝∠ACD，则再已知一组条件，可得△ABC与△DCE相似．教材补充：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE.已知ED＝1，BD＝4，求AB的长．解：∵AB⊥BD，ED⊥B D，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°.∴∠A＝∠ECD.∴△ABC∽△CDE.∴ABCD＝BCDE.又∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，∴AB＝4.5．(宿迁中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB，且∠DEF ＝∠B， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE∽△CEF.(2)∵△BDE∽△CEF，∴BE CF ＝DEEF.∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.∴CE CF ＝DEEF .∵∠DEF ＝∠B ＝∠C，∴△DEF∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE，即FE 平分∠DFC.小专题16 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．(宁夏中考)如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE∥BC，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM⊥BM 时，则BC 的长为8.第1题图 第2题图2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为203cm .3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE＝∠B.如果DE∶AD＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝152.第3题图 第4题图4．(深圳中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝3.5．如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一点，过点D 作DE∥BC，交CA 延长线于点E ，点F 是DE 延长线上一点，连接AF.(1)如果AD AB ＝23，DE ＝6，求边BC 的长；(2)如果∠FAE＝∠B，FA ＝6，FE ＝4，求DF 的长．解：(1)∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC . ∵DE ＝6，∴BC ＝9.(2)∵∠FAE ＝∠B，∠B ＝∠D， ∴∠EAF ＝∠D. ∵∠F ＝∠F， ∴△FAE∽△FDA. ∴EF FA ＝FA DF . ∴DF ＝FA 2EF＝9.类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是135°.第6题图 第7题图7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE＝110°.类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB∥DC，AC 与BD 交于点E ，EF∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB等于(B )A.23B.14C.13D.359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE∥AC，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是(B )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶25第9题图 第10题图10．(桂林中考)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB ＝3，BC ＝4，则AO AE 的值为724.类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证：(1)△ADE∽△ABC； (2)DF·BF＝EF·CF.证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ， ∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A ＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF·BF ＝EF·CF.12．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DFCF ＝BC AC.证明：∵∠ACB ＝90°，CD⊥AB，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD，∠ACB ＝∠BDC ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC∽△CBD. ∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD . 又∵E 为AC 中点， ∴AE ＝CE ＝ED. ∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF， ∴∠FCD ＝∠BDF. 又∠F 为公共角， ∴△FDB∽△FCD. ∴DF CF ＝BD CD. ∴DF CF ＝BC AC.类型5 利用相似求点的坐标13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到C ，连接CO.若△COB∽△CAO，则点C 的坐标为(B )A ．(1，52)B ．(43，83)C ．(5，25)D ．(3，23)第13题图 第14题图14．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AO B 相似，则点C 的坐标为(－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．27.2.3 相似三角形应用举例01基础题知识点1利用相似三角形测量物高1．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5 m的大视力表制作一个测试距离为3 m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5 cm，那么小视力表中相应“E”的高度是(D)A．3 cm B．2.5 cmC．2.3 cm D．2.1 cm第1题图第2题图2．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为10米．3．如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN ＝23米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为3米．第3题图第4题图4．(黔南中考)如图是小明设计用手电来测量都匀南沙洲古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是8米(平面镜的厚度忽略不计)．知识点2利用相似三角形测量宽度5．(北京中考)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)A．60 m B．40 mC．30 m D．20 m第5题图第6题图6．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝6 m，则池塘的宽DE为(C)A．25 m B．30 mC．36 m D．40 m7．(教材9下P40例6变式)如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔60米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为30米．第7题图第8题图8．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为30 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是20cm.02中档题9．如图，铁道口的栏杆短臂OA长1 m，长臂OB长8 m．当短臂外端A下降0.5 m时，长臂外端B升高(B) A．2 m B．4 mC．4.5 m D．8 m第9题图第10题图10．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝2.5mm.11．(遵义中考)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝1.05里．12．(陕西中考)某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园，小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED ＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．解：由题意，得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF.∴△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH.∴ABED＝BCDC，ABGF＝BFFH.∴AB1.5＝BC2，AB1.65＝BC＋16＋22.5.解得AB＝99.∴“望月阁”的高AB为99米．03综合题13．(绍兴中考)课本中有一道作业题：如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算；(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．解：(1)设矩形的边长PN＝2y mm，则PQ＝y mm，由条件可得△APN∽△ABC，∴PNBC＝AEAD，即2y120＝80－y80.解得y ＝2407.∴PN ＝2407×2＝4807(mm )．答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807 mm.(2)设PN ＝x mm ，由条件可得△APN∽△ABC， ∴PN BC ＝AE AD .即x 120＝80－PQ80. 解得PQ ＝80－23x.∴S ＝PN·PQ ＝x (80－23x )＝－23x 2＋80x＝－23(x －60)2＋2 400.∴S 的最大值为2 400 mm 2，此时PN ＝60 mm ，PQ ＝80－23×60＝40(mm ).。

第二十七章相似27.1 图形的相似第1课时相似图形1.通过对事物的图形的观察、思考和分析，认识理解相似的图形.2.经历动手操作的活动过程，增强学生的观察、动手能力.3.体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识.阅读教材P24-25，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似；自学反馈学生独立完成后集体订正①把图形叫做相似图形.②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形和得到的.③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？⑤全等三角形相似吗？⑥生活中哪些地方会见到相似图形？研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形.活动1 小组讨论例下列各图中哪组图形是相似图形( C )观察图形，要从本质入手，如C，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.下列说法中，不正确的是( )A.两幅比例不同的中国行政地图是相似图形B.两个图形相似与形状有关而与位置无关C.哈哈镜中人的形象与本人是相似的D.同一底片洗出来的不同尺寸的照片是相似的2.下列各组多边形每一组中各取两个大小不同的多边形，一定是相似图形的是.①三角形；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦梯形；⑧直角三角形.活动3 课堂小结本节课学习的数学知识:形状相同的图形是相似图形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.本节学习的数学方法:观察类比法.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①形状相同的图形②放大缩小③相似④不相似⑤相似⑥略【合作探究】活动2 跟踪训练1.C2.②⑥。

第二十七章相似27.1 图形的相似第1课时相似图形1.通过对事物的图形的观察、思考和分析，认识理解相似的图形.2.经历动手操作的活动过程，增强学生的观察、动手能力..3.体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识自学反馈学生独立完成后集体订正①把图形叫做相似图形.②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形和得到的.③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？⑤全等三角形相似吗？⑥生活中哪些地方会见到相似图形？研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做.相似图形活动1 小组讨论( C )例下列各图中哪组图形是相似图形观察图形，要从本质入手，如C，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.下列说法中，不正确的是( )A.两幅比例不同的中国行政地图是相似图形B.两个图形相似与形状有关而与位置无关C.哈哈镜中人的形象与本人是相似的1D.同一底片洗出来的不同尺寸的照片是相似的2.下列各组多边形每一组中各取两个大小不同的多边形，一定是相似图形的是.①三角形；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦梯形；⑧直角三角形. 活动3 课堂小结本节课学习的数学知识:形状相同的图形是相似图形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.本节学习的数学方法:观察类比法.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分【预习导学】自学反馈①形状相同的图形②放大缩小③相似④不相似⑤相似⑥略【合作探究】活动2 跟踪训练1.C2.②⑥2。

图形的相似（一）一、教学目标1．明白得并把握两个图形相似的概念．2．了解成比例线段的概念，会确信线段的比二、重点、难点1．重点：相似图形的概念与成比例线段的概念．2．难点：成比例线段概念．3．难点的冲破方式（1）关于相似图形的概念，可用大量的实例引入，但要注意教材中“把形状相同的图形说成是相似图形”，只是对相似图形概念的一个描述，不是概念；还要强调：①相似形必然要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关（其大小可能一样，也有可能不一样，当形状与大小都一样时，两个图形确实是全等形，因此全等形是一种特殊的相似形）；②相似形不单单指平面图形，也包括立体图形的情形，如飞机和飞机模型也是相似形；③两个图形相似，其中一个图形能够看做有另一个图形放大或缩小取得的，而把一个图形的部份拉长或加宽取得的图形和原图形不是相似图形．（2）关于成比例线段：①咱们是在学生小学学过数的比，及比例的大体性质等知识的基础上来学习成比例线段的；②两条线段的比与所采纳的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；③线段的比是一个没有单位的正数；④四条线段a,b,c,d 成比例，记作或a:b=c:d；⑤若四条线段知足，则有ad=bc（为利于尔后的学习，可适当补充：反之，若四条线段知足ad=bc，则有，或其它七种表达形式）．三、例题的用意本节课的三道例题都是补充的题目，例1是一道判定图形相似的选择题，通过讲解要使学生明确：（1）相似形必然要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关；（2）两个图形相似，其中一个图形能够看做有另一个图形放大或缩小取得的，而把一个图形的部份拉长或加宽取得的图形和原图形不是相似图形；（3）在识别相似图形时，不要以位置为准，要“形状相同”；例2通过别离采纳m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的的值相等，使学生明确：两条线段的比与所采纳的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必需一致；例3是求线段的比的题，要使学生对照例尺有进一步的熟悉：比例尺= ，而求图上距离与实际距离的比确实是求两条线段的比．四、课堂引入1．（1）请同窗们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系？再如下图的两个画面，他们的形状、大小有什么关系．（还能够再举几个例子）（2）教材P36引入．（3）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图形．（强调：见前面）（4）让学生再举几个相似图形的例子．（5）讲解例1．2．问题：若是把老师手中的教鞭与铅笔，别离看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？归纳：两条线段的比，确实是两条线段长度的比．3．成比例线段：关于四条线段a,b,c,d，若是其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），咱们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【注意】（1）两条线段的比与所采纳的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d成比例，记作或a:b=c:d；（4）若四条线段知足，则有ad=bc．五、例题讲解例1（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左侧的图形相似的是（）分析：因为图A是把图拉长了，而图D是把图压扁了，因此它们与左图都不相似；图B是正六边形，与左图的正五边形的边数不同，故图B与左图也不相似；而图C是将左图绕正五边形的中心旋转180o后，再按必然比例缩小取得的，因此图C与左图相似，故此题应选C.例2（补充）一张桌面的长a=，宽b=，那么长与宽的比是多少？（1）若是a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比是多少？（2）若是a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少？解：略．（）小结：上面别离采纳m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的的值是相等的，因此说，两条线段的比与所采纳的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必需一致．例3（补充）已知：一张地图的比例尺是1:，量得北京到上海的图上距离大约为，求北京到上海的实际距离大约是多少km？分析：依照比例尺= ，可求出北京到上海的实际距离．解：略答：北京到上海的实际距离大约是1120 km．六、课堂练习1．教材P37的观看．2．下列说法正确的是（）A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B．商店新买来的一副三角板是相似的.C．所有的讲义都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的.3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，（1）（小）长是_______cm，宽是_______cm；（大）长是_______cm，宽是_______cm；（2）（小）；（大）．（3）你由上述的计算，能取得什么结论吗？（答：相似的长方形的宽与长之比相等）4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时，那么福州与上海之间的实际距离是多少？5．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？七、课后练习。