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§2.8 函数模型及其应用考纲解读考点 内容解读要求 高考示例常考题型 预测热度1.函数的实际应用问题 了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义Ⅱ2016四川,7;2015四川,8; 2014湖北,16解答题★★☆2.函数的综合应用问题了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,了解函数与方程、不等式之间的联系,并能解决一些具体的实际问题Ⅰ2015四川,15;2014山东,9; 2013安徽,8★★★分析解读为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在如下方面考查:1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等.五年高考考点一 函数的实际应用问题1.(2015四川,8,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A.16小时 B.20小时C.24小时D.28小时答案 C2.(2013湖北,5,5分)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C3.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=76 000vv 2+18v+20l.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/小时. 答案 (1)1 900 (2)100教师用书专用(4)4.(2013陕西,14,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x 为 (m).答案 20考点二 函数的综合应用问题1.(2014山东,9,5分)对于函数f(x),若存在常数a ≠0,使得x 取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( ) A.f(x)=√x B.f(x)=x 2C.f(x)=tan xD.f(x)=cos(x+1)答案 D2.(2014安徽,9,5分)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a 的值为( ) A.5或8 B.-1或5C.-1或-4D.-4或8答案 D3.(2013课标全国Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)={-x 2+2x,x ≤0,ln(x +1),x >0.若|f(x)|≥ax,则a 的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]答案 D4.(2015四川,15,5分)已知函数f(x)=2x,g(x)=x 2+ax(其中a ∈R).对于不相等的实数x 1,x 2,设m=f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2,n=g(x 1)-g(x 2)x 1-x 2. 现有如下命题:①对于任意不相等的实数x 1,x 2,都有m>0;②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1,x 2,都有n>0; ③对于任意的a,存在不相等的实数x 1,x 2,使得m=n; ④对于任意的a,存在不相等的实数x 1,x 2,使得m=-n. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号). 答案 ①④教师用书专用(5—7)5.(2014浙江,10,5分)如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB,某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角).若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是( )A.√305B.√3010C.4√39D.5√39答案 D6.(2013安徽,8,5分)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n ≥2)个不同的数x 1,x 2,…,x n ,使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=…=f(x n )x n,则n 的取值范围为( )A.{2,3}B.{2,3,4}C.{3,4}D.{3,4,5}答案B7.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D, f(a)=b”;②若函数f(x)∈B,则f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.④若函数f(x)=aln(x+2)+xx2+1其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)答案①③④三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一函数的实际应用问题1.(2017福建质检,5)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.11答案C2.(2016北京东城期中,12)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:型号小包装大包装质量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格 3.0元8.4元则下列说法正确的是()①买小包装实惠;②买大包装实惠;③卖3小包比卖1大包盈利多;④卖1大包比卖3小包盈利多.A.①②B.①④C.②③D.②④答案D3.(2018河北承德期中,13)某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数,即y=k·a x(a>0且a≠1,x∈N*).若商品上架第1天的价格为96元,而上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为元.答案812考点二函数的综合应用问题(m>0)从左至右分别交于点4.(2018江西模拟,11)函数y=|log3x|的图象与直线l1:y=m从左至右分别交于点A,B,与直线l2:y=82m+1C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,则b的最小值为()aA.81√3B.27√3C.9√3D.3√3答案B5.(2017天津红桥期中联考,10)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表:x -1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示:下列关于函数f(x)的命题: (1)函数y=f(x)是周期函数;(2)函数f(x)在(0,2)上是减函数;(3)如果当x ∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t 的最大值为4; (4)当1<a<2时,函数y=f(x)-a 有4个零点.其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 A6.(2018四川成都外国语学校月考,16)对于定义域为[0,+∞)的函数f(x),如果同时满足下列三条: (1)对任意的x ∈[0,+∞),总有f(x)≥0;(2)若x 1≥0,x 2≥0,则f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)成立; (3)若0≤x 1<x 2<1,则f(x 1+1)-f(x 2+1)x 1-x 2>1,则称函数f(x)为“超级囧函数”.则下列函数是“超级囧函数”的是 .①f(x)=sin x; ②g(x)=14x 2(x ∈[0,1]); ③h(x)=2x-1; ④p(x)=ln(x+1). 答案 ③7.(2016江西三校第一次联考,16)已知函数y=f(x),对定义域内的每一个值x 1,在其定义域内都存在唯一的x 2,使f(x 1)·f(x 2)=1成立,则称该函数为“依赖函数”.给出以下命题: ①y=1x2是“依赖函数”;②y=√2+sin x,x ∈[-π2,π2]是“依赖函数”;③y=2x是“依赖函数”;④y=ln x 是“依赖函数”;⑤y=f(x),y=g(x)都是“依赖函数”,且定义域相同,则y=f(x)·g(x)是“依赖函数”. 其中所有真命题的序号是 . 答案 ②③8.(2016皖北第一次联考,19)某工厂某种商品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=13x 2+10x;当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+10 000x-1 450.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 解析 (1)∵每件商品售价为0.05万元, ∴x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元. ①当0<x<80时,L(x)=(0.05×1 000x)-13x 2-10x-250=-13x 2+40x-250;②当x ≥80时,L(x)=(0.05×1 000x)-51x-10 000x+1 450-250=1 200-(x +10 000x). 综合①②可得,L(x)={-13x 2+40x -250,0<x <80,1 200-(x +10 000x),x ≥80.(2)由(1)可知,L(x)={-13x 2+40x -250,0<x <80,1 200-(x +10 000x),x ≥80.①当0<x<80时,L(x)=-13x 2+40x-250=-13(x-60)2+950, ∴当x=60时,L(x)取得最大值,最大值为L(60)=950; ②当x ≥80时,L(x)=1 200-(x +10 000x )≤1 200-2√x ·10 000x=1 200-200=1 000, 当且仅当x=10 000x,即x=100时,L(x)取得最大值,最大值为L(100)=1 000.∵950<1 000,∴当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为1 000万元.B 组 2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分 时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018河南洛阳期中,12)已知定义在[1π,π]上的函数f(x)满足f(x)=f (1x),且当x ∈[1,π]时,f(x)=ln x,若函数g(x)=f(x)-ax 在[1π,π]上有唯一的零点,则实数a 的取值范围是( ) A.(1e ,πln π]B.(ln ππ,πln π]∪{0} C.[0,πln π] D.(1e,πln π]∪{0}答案 D2.(2017湖南衡阳、长郡中学等十三校联考,9)某大型民企为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12=0.05,lg 1.3=0.11,lg 2=0.30)( ) A.2017年 B.2018年 C.2019年D.2020年答案 D3.(2017山西名校联考,12)设函数f(x)=-4x +2x+1-1,g(x)=lg(ax 2-4x+1),若对任意x 1∈R,都存在x 2∈R,使f(x 1)=g(x 2),则实数a 的取值范围为( ) A.(0,4] B.(-∞,4] C.(-4,0] D.[4,+∞)答案 B二、填空题(共5分)4.(2016浙江杭州五校联盟一诊,9)已知函数y=f(x)是R 上的偶函数,对于任意x ∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当x 1,x 2∈[0,3],且x 1≠x 2时,都有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0.给出下列命题: ①f(3)=0;②直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数;④函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点.其中所有正确命题的序号为 .(把所有正确命题的序号都填上) 答案 ①②④三、解答题(共10分)5.(2017江西九江七校联考,20)某店销售进价为2元/件的产品A,假设该店产品A 每日的销售量y(单位:千件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=10x -2+4(x-6)2,其中2<x<6.(1)若产品A 的销售价格为4元/件,求该店每日销售产品A 所获得的利润;(2)试确定产品A 的销售价格x 的值,使该店每日销售产品A 所获得的利润最大.(保留1位小数) 解析 (1)当x=4时,销售量y=102+4×(4-6)2=21千件, 所以该店每日销售产品A 所获得的利润是2×21=42千元. (2) 该店每日销售产品A 所获得的利润f(x)=(x-2)·[10x -2+4(x -6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x 3-56x 2+240x-278(2<x<6),从而f '(x)=12x 2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6). 令f '(x)=0,得x=103(x=6舍去),在(2,103)上, f '(x)>0,函数f(x)单调递增;在(103,6)上, f '(x)<0,函数f(x)单调递减,所以x=103是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点, 所以当x=103≈3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时,每日销售产品A 所获得的利润最大.C 组 2016—2018年模拟·方法题组方法 常见函数模型的理解1.(2018福建三明期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T 0,经过一定时间t 后的温度是T,则T-T a =(T 0-T a )·(12)tℎ,其中T a 称为环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,还需要 分钟. 答案 102.(2017湖北重点高中联合协作体期中,21)某市居民用水收费标准如下:每户每月用水不超过15吨时,每吨2元,当用水超过15吨时,超过部分每吨3元.某月甲、乙两户共交水费y 元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x 吨,3x 吨. (1)求y 关于x 的函数表达式;(2)若甲、乙两户该月共交水费114元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和所交水费.解析 (1)y={16x,0<x ≤3,21x -15,3<x ≤5,24x -30,x >5.(2)若0<x ≤3,由16x=114,解得x=578(舍去); 若3<x ≤5,由21x-15=114,解得x=437(舍去);若x>5,由24x-30=114,解得x=6.所以甲户该月的用水量为5x=30吨,所交水费为15×2+(30-15)×3=75元;乙户该月的用水量为3x=18吨,所交水费为15×2+(18-15)×3=39元.3.(2017江西金溪一中等期中联考,19)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康有一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a(单位:万元)满足P=80+4√2a ,Q=14a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元). (1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大? 解析 (1)甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元, ∴f(50)=80+4√2×50+14×150+120=277.5.(2)f(x)=80+4√2x +14(200-x)+120=-14x+4√2x +250,依题意,得{x ≥20,200-x ≥20⇒20≤x ≤180,故f(x)=-14x+4√2x +250(20≤x ≤180).令t=√x ,则t ∈[2√5,6√5],则y=-14t 2+4√2t+250=-14(t-8√2)2+282,当t=8√2,即x=128时, f(x)max =282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.4.(2016福建晨曦等四校第一次联考,20)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P 与日产量x(万件)之间满足关系:P={16-x ,1≤x ≤c,23,x >c (其中c 为小于6的正常数).(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量. (1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润? 解析 (1)当x>c 时,P=23,∴T=13x ·2-23x ·1=0. 当1≤x ≤c 时,P=16-x, ∴T=(1-16-x )·x ·2-16-x ·x ·1=9x -2x 26-x. 综上,日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为T={9x -2x 26-x ,1≤x ≤c,0,x >c.(2)由(1)知,当x>c 时,每天的盈利额为0万元, ∴1≤x ≤c.(i)当3≤c<6时, T=9x -2x 26-x =15-2[(6-x)+96-x]≤15-12=3, 当且仅当x=3时取等号.故T max =3,此时x=3.(ii)当1≤c<3时,由T'=2x 2-24x+54(6-x)2=2(x-3)(x-9)(6-x)2>0知,函数T=9x-2x 26-x 在[1,c]上递增,∴当x=c时,T max=9c-2c26-c,综上,若3≤c<6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润; 若1≤c<3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润.。
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第七章 不等式§7.1 不等式的概念和性质、基本不等式考纲解读考点 内容解读要求 高考示例常考题型 预测热度1.不等式的概念及性质1.了解不等式的概念,理解不等式的性质,会比较两个代数式的大小;会判断关于不等式命题的真假2.结合不等式的性质,会使用比较法等证明不等式Ⅱ2014四川,5;2013天津,4; 2013北京,2 选择题、 填空题、 解答题★☆☆2.基本不等式了解基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题Ⅲ2017江苏,10;2017山东,12; 2015福建,5; 2015湖南,7★★☆分析解读通过分析近几年的高考试题,单纯考不等式的题目不多,不等式的性质是基础,命题侧重以下几点:1.利用不等式的性质变形,比较大小,求解或证明不等式;2.利用基本不等式求最值,有时需对代数式进行拆分、添项或配凑因式,构造出适合基本不等式的形式;3.对基本不等式的考查,在解答题中出现,常作为运算的工具;4.用来证明不等式或解答实际问题,有时也会出现基本不等式与导数并存求最值的情况.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.五年高考考点一 不等式的概念及性质1.(2014四川,5,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有( ) A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d答案 B2.(2014浙江,7,5分)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( ) A.c ≤3 B.3<c ≤6 C.6<c ≤9 D.c>9答案 C3.(2013浙江,7,5分)已知a,b,c ∈R ,函数f(x)=ax 2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则( ) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0答案 A教师用书专用(4—6)4.(2013浙江,10,5分)设a,b ∈R ,定义运算“∧”和“∨”如下: a ∧b={a,a ≤b,b,a >b,a ∨b={b,a ≤b,a,a >b.若正数a,b,c,d 满足ab ≥4,c+d ≤4,则( ) A.a ∧b ≥2,c ∧d ≤2 B.a ∧b ≥2,c ∨d ≥2 C.a ∨b ≥2,c ∧d ≤2 D.a ∨b ≥2,c ∨d ≥2答案 C5.(2013天津,4,5分)设a,b ∈R ,则“(a-b)·a 2<0”是“a<b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A6.(2013北京,2,5分)设a,b,c ∈R ,且a>b,则( ) A.ac>bc B.1a <1bC.a 2>b 2D.a 3>b 3答案 D考点二 基本不等式1.(2017山东,12,5分)若直线x a +y b=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 . 答案 82.(2017天津,13,5分)若a,b ∈R ,ab>0,则a 4+4b 4+1ab的最小值为.答案 43.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 答案 304.(2015山东,14,5分)定义运算“⊗”:x ⊗y=x 2-y 2xy(x,y ∈R ,xy ≠0).当x>0,y>0时,x ⊗y+(2y)⊗x 的最小值为 .答案 √25.(2015重庆,14)设a,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值为 . 答案 3√2教师用书专用(6—14)6.(2015福建,5,5分)若直线x a +y b=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b 的最小值等于( ) A.2 B.3 C.4D.5答案 C7.(2015湖南,7,5分)若实数a,b 满足1a +2b=√ab ,则ab 的最小值为( ) A.√2B.2C.2√2D.4答案 C8.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元答案 C9.(2014重庆,9,5分)若log 4(3a+4b)=log 2√ab ,则a+b 的最小值是( ) A.6+2√3 B.7+2√3 C.6+4√3 D.7+4√3答案 D10.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0.则当z xy取得最小值时,x+2y-z 的最大值为( ) A.0B.98C.2D.94答案 C11.(2013福建,7,5分)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是( ) A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 答案 D12.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b 满足4a 2-2ab+b 2-c=0且使|2a+b|最大时,1a +2b +4c的最小值为 . 答案 -113.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则12|a|+|a|b的最小值为 .答案3414.(2013四川,13,5分)已知函数f(x)=4x+a x(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= . 答案 36三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点一 不等式的概念及性质1.(2018四川南充模拟,3)若0<m<1,则( ) A.log m (1+m)>log m (1-m) B.log m (1+m)>0 C.1-m>(1+m)2 D.(1-m )13>(1-m )12答案 D2.(2018福建宁化一模,2)已知实数a,b 满足(12)a <(12)b ,则( ) A.a 13>b 13 B.log 2a>log 2b C.1a <1bD.sin a>sin b答案 A3.(2017河南百校联盟模拟,6)设a,b ∈R ,则“(a-b)a 2≥0”是“a ≥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C4.(2017山东烟台模拟,9)若a,b 为非零实数,且a<b,则下列判断正确的是( ) A.a 2<b 2 B.a 2b<ab 2 C.1ab2<1a 2bD.b a <a b答案 C考点二 基本不等式5.(2018河南安阳调研,5)已知x>0,y>0,lg 2x +lg 8y =lg 2,则1x +13y的最小值是( ) A.2B.2√2C.4D.2√3答案 C6.(2018广东清新一模,4)下列各函数中,最小值为2的是( ) A.y=√x +√xB.y=sin x+1sinx ,x ∈(0,π2) C.y=2√2D.y=x+1x答案 A7.(2017安徽江南十校联考,8)已知x>0,y>0,且2x +1y=1,若x+2y>m 2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A.m ≥4或m ≤-2 B.m ≥2或m ≤-4 C.-4<m<2 D.-2<m<4答案 C8.(2016福建“四地六校”第三次联考,3)已知函数f(x)=x+a x+2的值域为(-∞,0]∪[4,+∞),则a 的值为( ) A.12B.32C.1D.2答案 CB 组 2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分 时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018江西赣中南五校联考,2)设0<a<b<1,则下列不等式成立的是( ) A.a 3>b 3 B.1a <1bC.a b >1D.lg(b-a)<0答案 D2.(2017湖北华师一附中期中模拟,8)设两正数a,b(a ≠b)满足a 2+ab+b 2=a+b,则a+b 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(1,43) C.[1,43] D.(0,1) 答案 B二、填空题(每小题5分,共20分)3.(2018辽宁铁东区一模,15)函数y=log a (x+4)-1(a>0且a ≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m +2n的最小值为 . 答案 5+2√64.(2017江西赣中南五校联考,13)已知x 、y 为正实数,则2x x+2y +yx的最小值为 .答案325.(2016江苏连云港期末,5)若a,b ∈R 且a>b,则下面三个不等式: ①b a >b -1a -1; ②(a+1)2>(b+1)2; ③(a -1)2>(b-1)2.其中不成立的是 .(填序号) 答案 ①②③6.(2016湖南岳阳平江一中期中,16)若正数a,b 满足a+b=1,则a a+1+bb+1的最大值为 .答案23C 组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 比较大小常用的方法1.(2017天津红桥期中联考,6)设a=20.3,b=0.32,c=log 20.3,则a,b,c 的大小关系是( ) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a答案 B2.(人教A 必5,三,1,例1,变式)若a<b<0,则下列不等式中不成立的是( ) A.|a|>|b| B.1a -b >1aC.1a >1bD.a 2>b 2答案 B方法2 应用不等式的性质解题3.(2017四川资阳4月模拟,9)已知0<c<1,a>b>1,下列不等式成立的是( ) A.c a >c b B.a c <b c C.a a -c >bb -cD.log a c>log b c 答案 D方法3 利用基本不等式求最值4.(2018甘肃河西模拟,9)若两个正实数x,y 满足1x +4y=1,且不等式x+y 4<m 2-3m 有解,则实数m 的取值范围为( ) A.(-1,4) B.(-∞,-1)∪(4,+∞) C.(-4,1) D.(-∞,0)∪(3,+∞) 答案 B5.(2018山东平度一模,6)若直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),则1m +2n的最小值为( ) A.2B.6C.12D.3+2√2答案 D6.(2017湖南益阳调研,9)已知a>0,b>0.若√3是3a 与3b 的等比中项,则1a +1b的最小值为( ) A.8B.4C.1D.2答案 B。
§1.2四种命题及充要条件考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.命题及四种命题间的关系1.理解命题的概念2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系Ⅱ2017北京,13;2016四川,15;2015浙江,8选择题★★☆2.充分条件与必要条件理解必要条件、充分条件与充要条件的含义Ⅲ2017天津,2;2017北京,7;2016天津,5选择题★★★分析解读1.本节主要考查充分必要条件的推理判断及四种命题间的相互关系问题.2.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,考查四种命题的真假判断以及充分条件、必要条件的判定和应用,考查学生的逻辑推理能力.命题探究五年高考考点一命题及四种命题间的关系1.(2015山东,5,5分)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0答案D2.(2014陕西,8,5分)原命题为“若a n+a n+12<a n,n∈N+,则{a n}为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假答案A3.(2017北京,13,5分)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为. 答案-1,-2,-3(答案不唯一)4.(2016四川,15,5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P'(yx2+y2,-xx2+y2);当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A;②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;③若两点关于x轴对称,则它们的“伴随点”关于y轴对称;④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是(写出所有真命题的序号).答案②③教师用书专用(5—6)5.(2014江西,6,5分)下列叙述中正确的是()A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2≥0”D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β答案D6.(2014广东,10,5分)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1ω2,其中ω2是ω2的共轭复数.对任意复数z1,z2,z3,有如下四个命题:①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3);②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3);③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3);④z1*z2=z2*z1.则真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B考点二充分条件与必要条件1.(2017天津,2,5分)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B2.(2016天津,5,5分)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C3.(2016四川,5,5分)设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A4.(2015浙江,3,5分)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D5.(2014浙江,2,5分)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A教师用书专用(6—16)6.(2015天津,4,5分)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A7.(2015重庆,2,5分)“x=1”是“x2-2x+1=0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A8.(2015湖南,3,5分)设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C9.(2015湖北,5,5分)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线;q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案A10.(2015陕西,6,5分)“sin α=cosα”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A),ksin xcos x<x”是“k<1”的()11.(2015福建,12,5分)“对任意x∈(0,π2A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B12.(2015安徽,3,5分)设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C13.(2014北京,5,5分)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D14.(2014广东,7,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件答案A15.(2013浙江,3,5分)若α∈R,则“α=0”是“sin α<cosα”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A16.(2013福建,2,5分)设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点一 命题及四种命题间的关系1.(2018江西赣州四校期中联考,3)下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为“若x 2=1,则x ≠1” B.命题“∃x ∈R,x 2+x-1<0”的否定是“∀x ∈R,x 2+x-1>0” C.命题“若x=y,则sin x=sin y ”的逆否命题为假命题 D.若“p 或q ”为真命题,则p,q 至少有一个为真命题 答案 D2.(2017湖北荆州中学12月模拟,1)设a,b ∈R,命题“若a>1且b>1,则a+b>2”的逆否命题是( ) A.若a ≤1且b ≤1,则a+b ≤2 B.若a ≤1或b ≤1,则a+b ≤2 C.若a+b ≤2,则a ≤1且b ≤1 D.若a+b ≤2,则a ≤1或b ≤1 答案 D考点二 充分条件与必要条件3.(2018广东深圳四校联考,3)设x,y ∈R,则“x 2+y 2≥2”是“x ≥1,且y ≥1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B4.(2018河北重点高中11月联考,4)“α=π2”是“cos α=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案 A5.(2018广东惠州一调,3)已知命题p,q,则“¬p 为假命题”是“p ∧q 是真命题”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B6.(2017江西九江十校联考二模,3)已知函数f(x)={e x ,x ≥-1,ln(-x),x <-1,则“x=0”是“f(x)=1”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B7.(2017福建厦门联考,2)设a,b ∈R,则使a>b 成立的一个充分不必要条件是( ) A.a 3>b 3B.log 2(a-b)>0C.a 2>b 2 D.1a <1b答案 B8.(2017江西新余、宜春联考,3)已知a,b 是实数,则“a>1且b>2”是“a+b>3且ab>2”的( ) A.充分而不必要条件 B.充分必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案 A9.(2017辽宁铁岭协作体第一次联考,6)已知条件p:|x+1|≤2,条件q:x ≤a,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是( ) A.a ≥-1 B.a ≤1 C.a ≥1 D.a ≤-3 答案 CB 组 2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分 时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018河南洛阳期中,3)下列说法中正确的个数是( ) ①“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件; ②命题“∀x ∈R,cos x ≤1”的否定是“∃x 0∈R,cos x 0≥1”; ③若一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真. A.0 B.1 C.2 D.3答案 B2.(2018江西南昌二中期中联考,6)若α,β∈R,则“α≠β”是“tan α≠tan β”成立的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 答案 D3.(2018河南天一大联考(二),9)已知函数f(x)=5|x|-12|x|-4,若a<-2,b>2,则“f(a)>f(b)”是“a+b<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C4.(2017福建福州八中第六次质检,3)已知a,b ∈R,则“0≤a ≤1且0≤b ≤1”是“0≤ab ≤1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A5.(2017山西五校联考,7)下列说法中错误的个数是( )①命题“∃x 1,x 2∈M,x 1≠x 2,使[f(x 1)-f(x 2)](x 2-x 1)>0”的否定是“∀x 1,x 2∉M,x 1≠x 2,[f(x 1)-f(x 2)](x 2-x 1)≤0”; ②若一个命题的逆命题为真命题,则它的否命题也一定为真命题; ③已知p:x 2+2x-3>0,q:13-x>1,若命题( q)∧p 为真命题,则x 的取值范围是(-∞,-3)∪(1,2)∪[3,+∞);④“x ≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件. A.1 B.2 C.3D.4答案 C6.(2017吉林大学附中模拟,11)已知函数f(x)=x 2+ax+b,a ≠b,则f(2)=4是f(a)=f(b)的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 C7.(2016江西南昌十所省重点中学二模,8)已知m ∈R,“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=log m x 在(0,+∞)上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B二、解答题(共10分)8.(2016云南玉溪一中9月月考,18)已知集合U=R,集合A={x|(x-2)(x-3)<0},函数y=lg x -(a 2+2)a -x的定义域为集合B.(1)若a=12,求集合A ∩(∁U B);(2)p:x ∈A,q:x ∈B,若q 是p 的必要条件,求实数a 的取值范围. 解析 (1)由已知得集合A={x|2<x<3},因为a=12,所以y=lg x -(a 2+2)a -x =lg x -9412-x ,由x -9412-x>0,可得12<x<94,所以集合B={x |12<x <94},所以∁U B={x |x ≤12或x ≥94},故A ∩(∁U B)={x |94≤x <3}.(2)因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件, 所以A ⊆B. 因为集合B 中应满足x -(a 2+2)a -x>0, 又a 2+2-a=(a -12)2+74>0,所以a 2+2>a, 所以B={x|a<x<a 2+2}.又集合A={x|2<x<3},所以{a ≤2,a 2+2≥3,即a ≤-1或1≤a ≤2,所以实数a 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,2].C 组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 四种命题及其真假的判定方法1.(2018江西南昌二中第四次模拟,3)给出下列四个命题: ①“若x 0为y=f(x)的极值点,则f '(x 0)=0”的逆命题为真命题; ②“平面向量a,b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是a ·b<0; ③若p:1x -1>0,则¬p:1x -1≤0; ④命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1≥0”. 其中不正确．．．的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C2.(2017吉林大学附中模拟,5)下列命题中正确的是( )A.命题“∃x 0∈R,使得x 02-1<0”的否定是“∀x ∈R,均有x 2-1>0”B.命题“存在四边相等的平面四边形不是正方形”,该命题是假命题C.命题“若x 2=y 2,则x=y ”的逆否命题是真命题D.命题“若x=3,则x 2-2x-3=0”的否命题是“若x ≠3,则x 2-2x-3≠0” 答案 D方法2 充分条件与必要条件的判定方法3.(2018安徽合肥调研,8)“a>1”是“3a>2a”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B4.(2018山西康杰中学10月月考,8)已知函数f(x)=ax 2-4ax-ln x,则函数f(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( ) A.a ∈(-∞,16) B.a ∈(-12,+∞) C.a ∈(-12,16) D.a ∈(12,+∞)答案 D5.(2017福建四地六校第一次联考,5)在△ABC 中,sin B+sin(A-B)=sin C 是sin A=√32的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A6.(2016安徽江南十校3月联考,3)“a=0”是“函数f(x)=sin x-1x+a 为奇函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C方法3 根据充分、必要条件求解参数及取值范围7.(2018福建德化一中等三校联考,8)设p:x 2-(2a+1)x+a 2+a<0,q:lg(2x-1)≤1,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( ) A.[12,92] B.[12,92)C.(12,92]D.(-∞,92]答案 A8.(2017豫南九校联考,13)已知不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件是13<x<12,则m 的取值范围是 . 答案 [-12,43]9.(2016湖南岳阳平江一中期中,17)已知集合A={y |y =x 2-32x +1,x ∈[0.5,2]},B={x|x+m 2≥1}.p:x ∈A,q:x ∈B,且p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围.解析 y=x 2-32x+1=(x -34)2+716,当x ∈[12,2]时,716≤y ≤2,故A={y |716≤y ≤2}.B={x|x+m 2≥1}={x|x ≥1-m 2},若p 是q 的充分条件,则A ⊆B,即716≥1-m 2, ∴m 2≥1-716=916,解得m ≥34或m ≤-34. ∴实数m 的取值范围是m ≥34或m ≤-34.。
