上海市华东师大二附中2019~2020学年高三上学期期中考试数学试卷及答案2019.11

上海市上海中学2019-2020学年高三期中数学试卷2019.11一. 填空题度1. 已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N =I2. 函数y 的定义域是3. 等比数列{}n a 的公比4q =，且前3项之和等于21，则其通项n a =4. 设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解 集为5. 设0x >，0y >，25x y +=的最小值为6. 若不等式20px qx r -+≥的解集为{|2x x ≤-或3}x ≥，则不等式2()(1)0qx px r x ++->的解集为7. 已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令n b *n ∈N ，2020n <）， 当k b 是数列{}n b 的最大项时，k =8. 若命题：“存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立”是真命题，则实数k 的取值范围是9. 集合的容量是指几何中各元素的和，满足条件“{1,2,3,4,5,6,7}A ⊆，且若a A ∈时，必有8a A -∈”的所有非空集合A 的容量的总和为10. 已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零 点，则a 的取值范围为11. 若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 项12. 设220()|||1|0x ax x f x x a x x ⎧-+≤=⎨++->⎩，若()f x 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为二. 选择题13. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不归”，其中后一句中“破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠，若12345m a a a a a a =，则m 的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 15. 若存在[1,2]x ∈，使得|21|20x a ⋅-->成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 13(,)24- B. 13(,)(,)22-∞-+∞U C. 13(,)44- D. 13(,)(,)44-∞-+∞U 16. 给定函数()f x 和()g x ，令()max{(),()}h x f x g x =，对以下三个论断：（1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数；（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性； 其中正确论断的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三. 解答题17. 已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<. （1）若1a b +=，求11(1)(1)ab++的最小值；（2）若14ab =，求1111a b+--的最小值.18. 已知()|1|f x ax =-（a ∈R ），()1||g x x =-. （1）解关于x 的不等式()1f x ≤；（2）若()()f x g x ≥的解集为R ，求a 的取值范围.19. 若函数()y f x =与()y g x =在给定的区间上满足()()0f x g x ⋅≥恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”.（1）若函数2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-在R 上和谐，求实数a 的 取值范围； （2）若函数30()f x a x =-与()lg()xg x a=在*N 上和谐，求实数a 的取值范围.20. 在数列{}n a 中，10a =，21n n a a m +=+，其中m ∈R ，*n ∈N . （1）若2a 、3a 、3a 依次成公差不为0的等差数列，求m ； （2）证明：“14m >”是“114n a +>（*n ∈N ）恒成立”的充要条件； （3）若14m >，求证：存在*k ∈N ，使得2019k a >.21. 已知2()||f x x a x b =--，其中0a >，0b >. （1）若2a =，1b =，写出()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2-，求a 、b 的值； （3）若函数()f x 在[2,2]-上有四个不同零点1x 、2x 、3x 、4x ，求1234||||||||x x x x +++的最大值.参考答案一. 填空题1. {|22}x x -<<2. [4,)+∞3. 14n -4. (1,0)(0,1)-U5.6. (3,1)(2,)-+∞7. 10108. [1,4]9. 224 10.(,[1,)-∞+∞U 11. 89 12. {2[1,1]---U二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. A 三. 解答题 17.（1）9；（2）4.18.（1）当0a >，2[0,]a；当0a =，x ∈R ；当0a <，2[,0]a；（2）[1,1]-. 19.（1）[7,0]{2}-；（2）[5,6].20.（1）1m =-±（2）证明略；（3）证明略.21.（1）(,1]-∞-递减，[1,)-+∞递增；（2）4a =，1b =；（3）4.。

2015-2016学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R，集合，则∁U M= ．2．设z1=1﹣i，z2=a+2ai（a∈R），其中i 是虚数单位，若复数z1+z2是纯虚数，则a= ．3．经过圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M，且与直线x﹣y=0垂直的直线方程是．4．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则A= ．5．已知数列{a n}是等差数列，且a1+a7+a13=2π，则tan（a2+a12）═．6．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．7．对任意非零实数a、b，定义一种运算：a⊗b，其结果y=a⊗b的值由如图确定，则= ．8．（理科）极坐标系中两点，，则线段AB的长等于．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．10．若关于x，y的二元一次方程组至多有一组解，则实数m的取值范围是．11．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为．12．不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R成立，则实数a的取值范围为．13．如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为．14．在平面直角坐标系中，定义（n∈N*为点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），P n+1（x n+1，y n+1）是经过点变换得到的一列点．设a n=|P n P n+1|，数列{a n}的前n项和为S n，那么的值为= ．15．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．二、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得4分，否则一律得零分.16．A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，则A，B两点间的球面距离为（）A．πB．2πC．D．17．已知函数，则“f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的什么条件．（）A．“充要” B．“充分不必要”C．“必要不充分”D．“既不充分也不必要”18．设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；⑥对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A．3 B．4 C．5 D．619．（2015秋•上海校级期中）在约束条件下，若3≤S≤5，则目标函数z=3x+2y的最大值变化范围是（）A．[6，8] B．[6，15] C．[7，8] D．[7，15]20．长度分别为2、x、x、x、x、x的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（）A．x B．C．D．x＞1三、解答题21．关于x的不等式＜0的解集为（﹣1，b）．（1）求实数a、b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求的值．22．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）23．如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（﹣，C，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为L（1）求L的方程；（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q．使对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．24．设S n是各项均为非零实数的数列{a n}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{a n}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a n}满足条件，试求S n的最大值．25．已知f（x）=．（1）求f（f（x））；（2）对参数a的哪些值，方程|x|+||=a正好有3个实数解；（3）设b为任意实数，证明：x+﹣=b共有3个不同的实数解x1，x2，x3，并且x1+x2+x3=b．2015-2016学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R，集合，则∁U M= {x|x＜1} ．【考点】函数的定义域及其求法；补集及其运算．【专题】计算题．【分析】由题意全集U=R，再根据函数的定义域写出集合M，然后根据交集的定义和运算法则进行计算即可．【解答】解：因为集合M={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，全集U=R，∴C U M={x|x＜1}．故答案为：{x|x＜1}．【点评】本题考查集合的补集运算和求函数的定义域，属容易题．2．设z1=1﹣i，z2=a+2ai（a∈R），其中i 是虚数单位，若复数z1+z2是纯虚数，则a= ﹣1 ．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】首先把两个复数相加，实部和虚部分别相加，得到复数的标准形式，根据所给的复数是一个纯虚数，得到实部等于0，虚部不等于0，解出结果．【解答】解：∵z1=1﹣i，z2=a+2ai，∴z1+z2=a+1+（2a﹣1）i，∵复数z1+z2是纯虚数，∴a+1=0，2a﹣1≠0，∴a=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的基本概念和加减运算，是一个基础题，解题的关键是看清题目中的要求，注意一定要上虚部不等于0．3．经过圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M，且与直线x﹣y=0垂直的直线方程是x+y﹣1=0 ．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】易得圆心坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M为（1，0），又直线x﹣y=0的斜率为1，由垂直关系可得要求直线的斜率为﹣1，∴直线方程为y﹣0=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0．故答案为：x+y﹣1=0．【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及圆的标准方程，属基础题．4．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则A= 45°．【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，再由a小于b，利用三角形中大边对大角得到A小于B，确定出A的范围，进而由sinA的值，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵a=，b=，B=60°，∴由正弦定理=得：sinA==，又＜，即a＜b，∴A＜B，则A=45°．故答案为：45°【点评】此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．5．已知数列{a n}是等差数列，且a1+a7+a13=2π，则tan（a2+a12）═．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质易得a7=，进而可得tan（a2+a12）=tan（2a7），代值计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7+a13=3a7=2π，∴a7=，∴tan（a2+a12）=tan（2a7）=tan=故答案为：【点评】本题考查等差数列的性质，涉及正切的运算，属基础题．6．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”，则相应二次方程有不等的实根．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0∴x2+（a﹣1）x+1=0有两个不等实根∴△=（a﹣1）2﹣4＞0∴a＜﹣1或a＞3故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．7．对任意非零实数a、b，定义一种运算：a⊗b，其结果y=a⊗b的值由如图确定，则= 1 ．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类讨论；算法和程序框图．【分析】通过程序框图判断出新运算S=a⊗b的解析式，化简，再利用新运算法则求出值．【解答】解：由程序框图知 S=a⊗b=，∴=3⊗4==1故答案为：1．【点评】本题考查判断程序框图的功能即判断出新运算法则．利用运算法则求值，属于基础题．8．（理科）极坐标系中两点，，则线段AB的长等于．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；定义法；坐标系和参数方程．【分析】根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段AB的长即可．【解答】解：极坐标系中，，∴线段AB的长为|AB|==．故答案为：．【点评】本题考查了极坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图知，原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体，再根据三视图得到球的半径和正方体的棱长，即可求体积【解答】解：由三视图知原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体，球的直径为2，半径为1，正方体的棱长为2∴原几何体的体积为：故答案为：【点评】本题考查三视图，要求能把三视图还原成原几何体，能根据三视图找到原几何体的长度关系，要求有较好的空间想象力．属简单题10．若关于x，y的二元一次方程组至多有一组解，则实数m的取值范围是（﹣∞，1）∪（1，+∞）．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组；二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题．【分析】先根据矩阵的乘法进行化简得到二元一次方程组，然后消去y得（m2﹣1）x=m（m﹣1），当m﹣1≠0时（m2﹣1）x=m（m﹣1）至多有一组解，从而求出m的范围．【解答】解：关于x，y的二元一次方程组即二元一次方程组①×m﹣②得（m2﹣1）x=m（m﹣1）当m﹣1≠0时（m2﹣1）x=m（m﹣1）至多有一组解∴m≠1故答案为：（﹣∞，1）∪（1，+∞）【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解的个数，以及矩阵的乘法运算，属于中档题．11．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件k∈A={﹣1，1，2}，b∈B={﹣2，1，2}，得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第四象限的概率P=，故答案为．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积的比值得到，属于基础题．12．不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R成立，则实数a的取值范围为a≥1或a≤﹣2 ．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】不等式进行等价转化为关于cosx的一元二次不等式，利用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案．【解答】解；不等式等价于1﹣cos2x+acosx+a2﹣1﹣cosx≥0，恒成立，整理得﹣cos2x+（a﹣1）cosx+a2≥0，设cosx=t，则﹣1≤t≤1，g（t）=﹣t2+（a﹣1）t+a2，要使不等式恒成立需，求得a≥1或a≤﹣2，故答案为：a≥1或a≤﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质．注重了对数形结合思想的运用和问题的分析．13．如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【专题】计算题．【分析】先推导点P的轨迹，从而确定点P与平行六面体所围成的几何体的形状，然后求几何体的体积【解答】解：取AB的中点E连接DE，由题意知DE⊥AB，DE⊥CD以DE所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系设M（0，0，z），N（x，y，0），则P（）MN=∴x2+y2+z2=4∴∴OP2=1即OP=1∴点P的轨迹是以原点D为球心，以1为半径的球的一部分又∵∠BAD=60°∴∠ADC=120°∴点P的轨迹是球的∴几何体的体积为故答案为：【点评】本题考查几何体的体积，须先用代数法确定点的轨迹，然后熟练应用体积公式即可．属中档题14．在平面直角坐标系中，定义（n∈N*为点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），P n+1（x n+1，y n+1）是经过点变换得到的一列点．设a n=|P n P n+1|，数列{a n}的前n项和为S n，那么的值为=2+．【考点】数列的极限．【专题】新定义；转化思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】由题设知a1=|（0，1）•（1，1）|=1，a2=|（1，1）•（0，2）|=，a3=|（0，2）•（2，2）|=2，a4=|（2，2）•（0，4）|=2，…，a n=（）n﹣1，S n=a1+a2+a3+…+a n=．由此可求出的值．【解答】解：由题设知P1（0，1），P2（1，1），a1=|P1P2|=1，且当n≥2时，a n2=|P n P n+1|2=（x n+1﹣x n）2﹣（y n+1﹣y n）2=[（y n﹣x n）﹣x n]2+[（y n+x n）﹣y n]2=5x n2﹣4x n y n+y n2a n﹣12=|P n﹣1P n|2=（x n﹣x n﹣1）2﹣（y n﹣y n﹣1）2①由定义（n∈N），得，∴，代入①计算化简得a n﹣12=|P n﹣1P n|2=（）2+（）2=（5x n2﹣4x n y n+y n2）=a n2．∴=（n≥2），∴数列{a n}是以为公比的等比数列，且首项a1=1，∴a n=（）n﹣1，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=．∴=•=，则===2+．故答案为：．【点评】本题考查集合的性质和运算，解题时要注意等比数列前n项和公式的合理运用，属于中档题．15．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是②④．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．【解答】解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．【点评】此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．二、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得4分，否则一律得零分.16．A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，则A，B两点间的球面距离为（）A．πB．2πC．D．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】求出球的半径，利用等边三角形求出∠AOB的大小，再求球面距离弧AB．【解答】解：根据题意画出示意图，如图所示：∵球的半径为R=2，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，∴小圆直径为AB=2；∴在三角形AOB中，AO=AB=BO=2，∴∠AOB=，∴A，B两点间的球面距离为：l=R=．故选：D．【点评】本题考查了球面距离的应用问题，也考查了圆的周长与弧长的计算问题，是基础题目．17．已知函数，则“f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的什么条件．（）A．“充要” B．“充分不必要”C．“必要不充分”D．“既不充分也不必要”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出函数f（x）的导数，求出“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的充要条件，从而得到答案．【解答】解：f′（x）==，如f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增，则2a﹣1＞0，解得：a＞，由f（2）＜f（3），得：＜，解得：a＞，故f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的充要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是一道基础题．18．设直线系M：xco sθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；⑥对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A．3 B．4 C．5 D．6【考点】直线的斜截式方程．【分析】根据已知可知直线系M都为以（0，2）为圆心，以1为半径的圆的切线，取半径为2即可得到所以①对；存在圆心为（0，2），半径为的圆与直线都不相交，所以②对；③显然对；④错；⑤错，存在可取一点（0，2）即可验证；⑥可去三角形的外接正三角形所有边均在M中的直线上且面积相等，所以⑥都正确．⑦可以举反例．【解答】解：根据直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线；可取圆心为（0，2），半径分别为2，，1得到①②③正确；所有的直线与一个圆相切，没有过定点，④错；存在（0，2）不在M中的任一条直线上，所以⑤错；存在等边三角形的三边都在M中的直线上，⑥对，可取圆的外接正三角形其所有边均在M中的直线上且面积相等；⑦可以做在圆的三等分点做圆的切线，把其中一条平移到另外两个点中点时，可知⑦错误；故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个故选：B【点评】考查学生利用直线的斜截式方程得到直线系M为平面内除过一个圆的区域．19．（2015秋•上海校级期中）在约束条件下，若3≤S≤5，则目标函数z=3x+2y的最大值变化范围是（）A．[6，8] B．[6，15] C．[7，8] D．[7，15]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=3x+2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y 过可行域内的点时，从而得到z=3x+2y的最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=3x+2y，将z的值转化为直线z=3x+2y在y轴上的截距，当S=3时，对应的平面区域为四边形OCAD，当直线z=3x+2y经过点A（1，2）时，z最大，最大值为7．当S=5时，对应的平面区域为三角形OBD，当直线z=3x+2y经过点B（0，4）时，z最大，最大值为8，故当3≤S≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是[7，8]．故选：C【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，利用数形结合是解决本题的关键．20．长度分别为2、x、x、x、x、x的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（）A．x B．C．D．x＞1【考点】棱锥的结构特征．【专题】压轴题；探究型．【分析】用极限的角度考虑，可求x接近最小的数值，得不到最大值，求出结果．【解答】解：用极限的角度考虑，四面体趋近于在一个平面内的菱形时x最小，不能低于，最大可以无穷大（就是两个等边三角形的二面角可以无限趋于0），【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．三、解答题21．关于x的不等式＜0的解集为（﹣1，b）．（1）求实数a、b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求的值．【考点】二阶矩阵；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题．【分析】（1）将原不等式转化为（x+a）x﹣2＜0，即x2+ax﹣2＜0，根据解集为（﹣1，b）得到﹣1，b是方程x2+ax﹣2=0的两个根，结合根与系数的关系即可列出关于a，b的方程组，并利用解二元一次方程组的方法即可求解（2）根据z1z2为纯虚数，得知实部为0，虚部不为0，即可得到关于α的条件式并解得：tanα=﹣，再利用两角差的余弦，倍角公式和同角的三角关系将化为关于tanα的代数式即可求解【解答】解：（1）原不等式等价于（x+a）x﹣2＜0，即x2+ax﹣2＜0由题意得，解得a=﹣1，b=2．（2）z1=﹣1+2i，z1z2=（﹣cosα﹣2sinα）+i（2cosα﹣sinα）若z1z2为纯虚数，则，解得==．【点评】本题考查了二阶矩阵，两角和与差的余弦函数及解三角方程的能力，属于基础题．22．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】压轴题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．（2）解：以D为坐标原点，、、的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．∴，，．设平面AB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，则z=﹣6k，x=3．∴．设AA1与平面AB1C所成角为θ，则===，解得k=1，故所求k=1．（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．23．如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（﹣，C，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为L（1）求L的方程；（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q．使对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题．【分析】（1）由切线长定理得，从一点出发的切线长相等，得到A点到两个点B，C的距离之差是常数，根据双曲线的定义得A点的轨迹是双曲线，从而即可求出L的方程；（2）对于存在性问题，可先假设存在，设点Q（x0，0），再设M（x1，y1），N（x2，y2），由条件得∠MQC=∠NQC，下面分类讨论：①当MN⊥x，②当MN不垂直x时，第一种情况比较简单，对于第二种情况，将直线的方程代入双曲线方程，消去y得到关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用斜率相等求得，从而说明存在点Q．【解答】解：（1）由题意|AD|=|AF|．|BD|=|BE|，|CE|=|CF|．∴|AB|﹣|AC|=|BD|﹣|CF|=|BE|﹣|CE|=|BO|+|OE|﹣（|OC|﹣|OE|）=2|OE|I（1，t），E（1，0），|OE|=1，|AB|﹣|AC|=2x2﹣y2=1（x＞1）（2）设点Q（x0，0），设M（x1，y1），N（x2，y2）∵⇔⇔⇔∠MQC=∠NQC于是：①当MN⊥x，点Q（x0，0）在x上任何一点处，都能够使得：∠MQC=∠NQC成立，②当MN不垂直x时，设直线．由得：则：∴∵，要使∠MQC=∠NQC成立，只要t an∠MQC=tan∠NQC：⇒x2y1﹣x0y1+x1y2﹣x0y2=0即=∴⇒∴当时，能够使：对任意的直线m成立．【点评】本题主要考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的交点等知识，属于中档题．24．设S n是各项均为非零实数的数列{a n}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{a n}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a n}满足条件，试求S n的最大值．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）设{a n}的公差为d，利用裂项法原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，整理可得（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，从而可求得k，b的值；（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，分当n=1时，当n≥2时，当n≥3时讨论即可判断结论是否正确；（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，a n+1=rsinθ，代入求和公式S n=，利用三角函数的有界性即可求得其最大值．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，所以•=，即（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，所以k=1，b=0．…（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，即“若++…+=①对于任意的n（n∈N*）恒成立，则{a n}为等差数列”．当n=1时， =显然成立．…当n≥2时，若++…+=②，由①﹣②得， =（﹣），即na n﹣（n﹣1）a n+1=a1③．当n=2时，a1+a3=2a2，即a1、a2、a3成等差数列，当n≥3时，（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n=a1④，即2a n=a n﹣1+a n+1．所以{a n}为等差数列，即p是q的必要条件．…（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，a n+1=rsinθ，所以r≤．设{a n}的公差为d，则a n+1﹣a1=nd=rsinθ﹣rcosθ，所以d=，所以a n=rsinθ﹣，S n==r≤•=，所以S n的最大值为…【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查“充分、必要条件”在数列中的综合应用，判断（2）中“p是否为q的必要条件”是难点，考查参数方程及三角函数的有界性，属于难题．25．已知f（x）=．（1）求f（f（x））；（2）对参数a的哪些值，方程|x|+||=a正好有3个实数解；（3）设b为任意实数，证明：x+﹣=b共有3个不同的实数解x1，x2，x3，并且x1+x2+x3=b．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的值．【专题】计算题；作图题；证明题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】（1）化简可得f（f（x））=f（）=x，（2）作函数y=||与函数y=a﹣|x|的图象，从而化为x+=a有一个解，从而利用判别式解得．。

上海华师大第二附中2020届高三期中考试数学试卷数学试卷一. 填空题1.已知1sin23α=，则cos α=________. 【答案】79【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式计算可得cos α的值. 【详解】217cos 12sin 12299αα=-=-⨯=， 故答案为：79. 【点睛】本题考查二倍角的余弦，注意二倍角的余弦公式有3种形式，应根据半角的三角函数的形式选择合适的公式进行计算，本题属于容易题.2.双曲线2212x y -=的实轴长为________【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程以及实轴长为2a 求解即可.【详解】由2212x y -=得,22a =,故实轴长为2a =.故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本量求解,属于基础题型.3.集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，{}4M N =I ，则复数z =________. 【答案】4i - 【解析】 【分析】根据{}4M N =I 可得4M Î，从而可求z .【详解】因为{}4M N =I ，故4M Î，而{}1,2,M zi =， 所以4zi =，故44z i i==-，此时{}1,2,4M =，满足{}4M N =I . 故答案为：4i -.【点睛】本题考查集合的交以及复数的除法，注意根据集合元素的确定性来解决问题，本题属于容易题. 4.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x ＝a |＝1的图象只有一个交点，则a 的值为________＝ 【答案】12- 【解析】由已知直线2y a =是平行于x 轴的直线，由于y x a =-为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数1y x a =--的图象是折线，所以直线2y a =过折线顶点时满足题意，所以21a =-，解得12a =-，故答案为12-. 5.投掷两颗均匀的骰子一次，则点数之和为5的概率等于________. 【答案】19【解析】 【分析】求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式计算可得所求的概率. 【详解】投掷两颗均匀的骰子一次，我们用(),a b 表示两个骰子出现的点数对，则共有如下基本事件：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6， ()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6， ()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，所以基本事件的总数为36.设A 为事件“点数之和为5”，则A 中的基本事件如下：()()()()1,4,2,3,3,2,4,1，共4个基本事件，故()41369P A ==.故答案为：19【点睛】本题考查古典概型的概率计算，注意基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数可以用枚举法、树形图法等来计数，本题属于基础题. 6.已知函数21()x f x x a+=+1()2a ≠的图象与它的反函数的图象重合，则实数a =________.【答案】2- 【解析】 【分析】求出()f x 的反函数，令其与原函数相等，则可求实数a 的值.【详解】令21+=+x y x a ，则21+=+xy ay x ，所以12-=-ay x y ，故()112ax f x x --=-，因为()f x 的图象与它的反函数的图象重合，根据()()1f x f x -=，所以2112+-=+-x ax x a x ，整理得到恒等式()2222321x x ax a x a --=-+-+， 故2a =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查反函数性质及反函数的求法，注意函数与其反函数的图象关于y x =对称，求反函数的基本步骤是反解、互换，本题属于基础题.7.设1e u v ，2e u u v 为单位向量，且1e u v ，2e u u v 的夹角为π3，若123a e e =+uv u u v v ，12b e =u v v ，则向量a v 在b v 方向上的投影为______．【答案】52【解析】 【分析】根据向量a r 在向量b r上投影为a b b⋅r r r ，然后分别算出a b ⋅r r 和b r ，代入求得结果. 【详解】由于123a e e =+uv u u v v ，12b e u v v =，所以2b v =，21121262652a b e e e ⋅=+⋅=+⨯=u v u v u u v v v ， 的所以向量a v 在b v 方向上的投影为5cos ,2a b a a b b⋅⋅==v v v v v v . 故答案为52【点睛】本题考查了向量的基本运算和向量数量积的几何意义，熟练运用公式是解题的关键，属于基础题. 8.若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭ ． 【答案】8 【解析】试题分析：由题意222n n na C -=，322118()(1)21n n n n a n n n n -==--⋅-，∴2323222nna a a ++⋅⋅⋅+= 111118[(1)()()]2231n n -+-++--L 88n =-，∴23232228lim()lim(8)8n n n n a a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=．考点：二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限．9.在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围为________． 【答案】7(1,)8-- 【解析】试题分析：由题意得：890,0a a ><，所以770,780d d +>+<，即71.8d -<<- 考点：等差数列性质10.给出下列命题:① 1y =是幂函数；② 函数2()2log xf x x=-零点有且只有1个；③2)0x -≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；⑤ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a =-()a R ∈，则{}n a 为等差或等比数列；其中真命题的序号是________.【答案】④ 【解析】逐个判断各命题的正确与否后可得正确的选项.【详解】对于①，因为0y x =是幂函数，但它与1y =不是同一个函数，前者要求0x ≠，而后者x ∈R . 故1y =不是幂函数，故①错误.对于②，在同一坐标系画出22,log xy y x ==的图象（如图所示）：则22,log xy y x ==图象没有公共点，故2()2log xf x x =-没有零点，故②错误.对于③，1x =时不等式也成立，所以③错误.对于④，{}|1x x <是{}|2x x <的真子集，故“1x <”是“2x <”的充分非必要条件， 故④正确.对于⑤，若0a =，则1n S =-，故1,10,2n n a n -=⎧=⎨≥⎩，该数列既不是等差数列也不是等比数列，故⑤错误. 故答案为：④.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到函数相同的判断、函数零点的个数判断、充分不必要条件的判断、无理不等式的解法、等差数列等比数列的判断等，注意函数零点的个数判断可以通过两个熟悉函数图象的交点个数来判断，本题属于综合题，有一定难度. 11.矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的几何意义为平面上的点(,)x y 在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成曲线2221x y -=，则ab =________.【答案】0的【分析】设(),P x y 在曲线22421x xy y ++=上，求出(),P x y 在矩阵11a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的作用下对应的点Q 的坐标，代入2221x y -=后整理得到的方程就是方程22421x xy y ++=，从而可求,a b 的值.【详解】设(),P x y 在曲线22421x xy y ++=上， (),Q x y ''为在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下对应的点，则x x ay y bx y=+⎧⎨=+''⎩，因为(),Q x y ''在2221x y -=上，故()()2221x ay bx y +-+=， 整理得到()()()2222122421bx a b xy ay -+-+-=，而22421x xy y ++=，故2212124422b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以0ab =.故答案为：0.【点睛】本题考查变换的求法，注意根据对应点的坐标关系得到同一个动点满足的两个等价的曲线方程，从而根据系数关系可得参数满足的方程组，此类问题属于中档题，有一定的思维要求. 12.已知函数22(1)1y x a x a =++++-的最小值大于5，则a 的取值范围是________.【答案】12a -<或2a > 【解析】 【分析】先利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，然后就32a >、1322a ≤≤、12a <分三类求()f x 的最值，最后根据最值的范围可得实数a 的取值范围. 【详解】设()22(1)1f x x a x a =++++-，故22221(1),1()1(1),1x x a a x af x x x a a x a⎧++-++≥-=⎨--+++<-⎩， 若32a >，则112a -<-，此时()f x 在(],1a -∞-上为减函数，在11,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上为减函数，在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数， 故()2min11324f x f a a ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭， 因为32a >，故21991133544242a a +->+-=>，故32a >满足条件. 若1322a ≤≤，则11122a -≤-≤， 此时()f x 在[)1,a -+∞上为增函数，在(],1a -∞-上为减函数， 故()()2min122f x f a a =-=+，令22251322a a ⎧+>⎪⎨≤≤⎪⎩，故322a <≤. 若12a <，则112a ->，此时()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，在1,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在[)1,a -+∞上为增函数，故()2min1724f x f a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 令275412a a a ⎧++>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，故12a -<.综上，a的取值范围为：12a -<或2a >.故答案为：12a -<或2a >. 【点睛】本题考查含绝对值函数的最值的求法，注意先利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再依据函数的单调性求最值，本题属于难题.二. 选择题13.若1a b >>，01c <<，则（ ） A. c c a b <B. c c ab ba <C. log log b a a c b c <D. log log a b c c <【答案】C 【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211log log 22>，选项D 错误， 因为lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a bb b a b a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<Q lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴<Q 选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.14.圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A. 43-B. 34-C. D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，1=，解得43a =-，故选A.【考点】 圆方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．15.,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题，其中错误的是( ) A. 若m n ⊥，m α⊥，n ∥β，则αβ⊥B. 若m α⊥，n ∥α，则m n ⊥C. 若α∥β，m α⊆，则m ∥βD. 若m ∥n ，α∥β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等 【答案】A 【解析】 【分析】依据空间中位置关系的判定定理和性质定理逐个判断各选项中命题的真假后可得正确的选项. 【详解】对于A ，平面,αβ可能平行，故A 错；对于B ，存在平面β使得n β⊂且l αβ=I ，因为n ∥α，n ⊂平面β，故//n l ， 因为m α⊥，l α⊂，故m l ⊥，所以m n ⊥，故B 正确； 对于C ，根据面面平行的性质可知m ∥β，故C 正确；对于D ，根据线面角定义可知m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 故选：A.【点睛】本题考查空间中与线面位置关系有关的命题的真假判断，这类问题需根据位置关系的定义、判定定理、性质定理等来判断真假，必要时还要动态地考虑它们的位置关系，本题属于中档题.16.在ABC V 中，若 3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.17.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A.B.23C.D. 1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，可得：200023263OM y k y p y p p y p ==≤=++，当且仅当22002,y p y =时取等号，故选C ． 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件||2||PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．18.如图所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，1//l l ＝l 与半圆相交于,F G 两点，与三角形ABC 两边相交于,E D 两点，设y EB BC CD =++，弧FG 的长为x ＝0x π<<＝＝若l 从1l 平行移动到2l ，则()y f x =的图象大致是（ ＝A. B. C. D.【答案】D 【解析】由题意可知，随着l 从1l 平行移动到2l ，y EB BC CD =++单调递增，故可排除选项B ．由题意可得等边三角形的边长为3．当x =0时，3y BC ==，此时y 最小；当x =π时，3y AB BC CA =++==y 最大；当3x π=时，如上图，则3FOG π∠=，OFG ∆为等边三角形，此时AM OH ==， 在等边AED ∆中，AE =ED =DA =1，∴()3212y EB BC CD AB BC CA AE AD =++=++-+=-⨯=．又当3x π=时，下图中的0123y =+=>．故当3x π=时，对应的点(x ,y )在图中红色连线段的下方．结合选项可得选项D 正确．选D ． 点睛：本题为根据具体情境判断函数图象大体形状的问题，由于函数的解析式不易求出，因此在解题中运用取特殊值的方法对各选项进行排除，考查几个特殊的情况，计算出相应的函数值y ，结合给出的选项可得答案．这也是解决选择题的常用方法之一．三. 解答题19.如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，2AB =，已知AE 与平面ABC 所成的角为θ，且tan θ=；（1）求证:平面ACD ⊥平面ADE ；（2）记AC x =，(x)V 表示三棱锥A CBE -的体积，求(x)V 的表达式及最大值；【答案】（1）证明见解析；（2）()V x =(02)x <<，max ()V x =【解析】 【分析】（1）可证DE ⊥平面ACD ，从而得到平面ACD ⊥平面ADE .（2）可证EAB ∠为AE 与平面ABC 所成的角为θ，从而可得BE =BE ⊥平面ABC ，从而()ACB V x ∆=，利用基本不等式可求(x)V 的最大值. 【详解】（1）因为ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，所以AC CB ⊥， 因为四边形DCBE 为平行四边形，故//DE CB ，所以AC DE ⊥.因为DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故DC BC ⊥，所以CD DE ⊥， 因为DC AC C =I ，故DE ⊥平面ACD ，而DE ⊂平面ADE ， 故平面ACD ⊥平面ADE .（2）因为四边形DCBE 为平行四边形，故//BE CD ，由（1）可知DC AC ⊥，DC CB ⊥，故BE AC ⊥，BE CB ⊥， 因为AC BC C =I ，故BE ⊥平面ACB ，所以EAB ∠为AE 与平面ABC 所成的角，故EAB θ∠=.在Rt ABE ∆中，tan EAB ∠=，故BE AB ==故11()3326ACB V x BE S ∆=⨯=⨯=02x <<.由基本不等式有22422x x +-≤=，当且仅当x =故max ()V x =. 【点睛】本题考查面面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，前者注意空间中线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系转换，后者注意选择合适的顶点来计算体积，本题属于中档题.20.某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的23领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%，如果某人分流后工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为n a 元； （1）求{}n a 的通项公式； （2）当38ab ≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入? 【答案】（1）12,123((,232n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩））；（2）是. 【解析】 【分析】（1）由题设可知当2n ≥时，收入n a 由两部分构成：一部分是以a 为首项，公比为23的等比数列的第n 项，另一部分是以b 为首项，公比为32的等比数列的第1n -项，据此可求{}n a 的通项公式. （2）利用基本不等式可得()2n a a n >≥总成立，从而可判断这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.【详解】（1）由题设有1a a =，223a ab =+，当2n ≥时，收入n a 由两部分构成，一部分是以a 为首项，公比为23的等比数列的第n 项， 另一部分是以b 为首项，公比为32的等比数列的第1n -项， 故当2n ≥时122332n n n a a b --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12,123((,232n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩））. （2）当38a b ≥时，121211232332332382342n n n n n n a a b a a a ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≥+=+⨯ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由基本不等式可有11232342n n a a a --⎛⎫⎛⎫+⨯≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因不存在*,2n N n ∈≥，使得11213342n n --⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭成立，故1123342n n a a a --⎛⎫⎛⎫+⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭总成立，所以一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.【点睛】本题考查数列在实际问题中的应用，涉及到通项的求法、基本不等式的应用等，注意数列不等式的证明可以利用数列单调性来证明，也可以根据通项的结构形式选择基本不等式来证明，本题属于中档题.21.已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短轴的两个端点分别为12,B B . （Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且11F P FQ ⊥u u u v u u u v ，求直线l 的方程.【答案】＝＝＝2214133x y +=＝＝＝＝10x +-=或10x -=＝ 【解析】【详解】试题分析：（1）由112F B B ∆为等边三角形可得a=2b ，又c=1，集合222a b c =+可求22,a b ，则椭圆C 的方程可求；（2）由给出的椭圆C 的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l 的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把11F P FQ ⊥u u u r u u u r转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l 的方程可求试题解析：（1）112F B B ∆为等边三角形，则2222222433{{{1113a ab bc a b c b =-==⇒⇒-===椭圆C 的方程为：223314x y +=；（2）容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=，当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，由()221{12y k x x y =-+=得()()2222214210k x k x k +-+-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+==++， ()()1111221,,1,F P x y FQ x y =+=+u u u r u u u r ∵11F P FQ ⊥u u u r u u u r ， ∴11·0F P FQ u u u r u u u r =， 即()()()()()2121212*********x x y y x x x x kx x +++=++++--()()()22221212271111021k k x x k x x k k -+--+++==+＝解得217k =，即7k =±， 故直线l的方程为10x +-=或10x --=.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系． 22.已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式； （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．【答案】（1）2π；（2）（ⅰ）()10sin 8g x x =-； （ⅱ）证明见解析. 【解析】【详解】（Ⅰ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （Ⅱ）（Ⅰ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象， 再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（Ⅱ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >， 就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ， 使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．23.已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,4]上的最大值为9，最小值为1，记()(||)f x g x =；（1）求实数a ､b 的值；（2）若不等式2(log )(2)f k f >成立，求实数k 的取值范围；（3）定义在[,]p q 上的函数()x ϕ，设011i i n p x x x x x q -=<<<<<<=L L ，其中1x ､2x ､L ､1n x -将区间[,]p q 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0M >，使得和式11|()()|nii i x xM ϕϕ-=-≤∑恒成立，则称函数()x ϕ为在[,]p q 上的有界变差函数，试判断函数()f x 是否为在[0,4]上的有界变差函数?若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）1a =，0b =；（3）104k <<或4k >；（3）是，min 10M =. 【解析】 【分析】（1）根据()g x 在[]2,4上的单调性可得()g x 的最大值和最小值，结合已知条件可求,a b 的值.（2）不等式2(log )(2)f k f >等价于222log 2log 0k k ->，由后者可以得到2log 2k >，从而可求k 的取值范围.（3）对任意的[]0,4上的划分，必定存在k *∈N ，使得011104k k n x x x x x +=<<<<<<≤=L L ，从而可得()()()11|()()|042nii k i f x f xf f f x -=-=+-∑，故可得11|()()|ni i i f x f x -=-∑的最大值，从而可判断()f x 是[]0,4上的有界变差函数且min 10M =.【详解】＝1＝因为2()21g x ax ax b =-++的对称轴为直线1x =，0a > 故()g x 在[2,4]为增函数，所以()max ()481g x g a b ==++，()min ()211g x g b ==+=，解得0b =，又819a b ⨯++=，解得1a =.所以1,0a b ==.（2）由（1）得2()(||)21f x g x x x ==-+，因为()21f =，所以2(log )(2)f k f >等价于222log 2log 11k k -+>，所以2log 2k >，故2log 2k >或2log 2k <-，解得104k <<或4k >. （3）当[]0,4x ∈时，()221f x x x =-+，此时()()max min 9,0f x f x ==，且()f x 在[]0,1为减函数，在[]1,4为增函数.设1x ､2x ､L ､1n x -将区间[0,4]任意划分成n 个小区间， 且01104i i n x x x x x -=<<<<<<=L L ，则存在k *∈N ， 使得011104k k n x x x x x +=<<<<<<≤=L L ， 所以()()()()()()1011211|()()|nii k k i f x f xf x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑L()()()()()()1211k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-L ，整理得到()()()()()()101|()()|2042nii n k k i f x f xf x f x f x f f f x -=-=+-=+-∑，因为()0k f x ≥，()()()()()0420410k f f f x f f +-≤+=， 故11|()()|10nii i f x f x-=-≤∑，当且仅当()0k f x =即1k x =时等号成立，故()f x 是[]0,4上的有界变差函数，又10M ≥，所以min 10M =.【点睛】本题考查二次函数的性质及其应用，注意根据对称轴的位置确定函数的单调性从而研究其最值，对于含绝对值的代数式的最值问题，可根据函数的单调性来确定绝对值符号内的代数式的符号，有时也可以利用绝对值不等式来放缩求最值，本题属于难题.。

上师大附中2019学年第一学期期中考试高二年级数学学科一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1.已知直线1:10l x y ++=，2:2l x =，则1l 与2l 的夹角为_________． 【答案】45︒ 【解析】 【分析】先根据两直线的方程求出他们的斜率及倾斜角，在坐标系中画出图形，结合图形求出直线1l 与2l 的夹角θ的大小．【详解】解：Q 直线1:10l x y ++=，2:2l x =，∴直线1l 的斜率为1-，倾斜角为135α=︒，2l 的斜率不存在，如图所示：故直线1l 与2l 的夹角为4πθ=，故答案为4π． 【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，两直线的夹角的定义，体现了数形结合的数学思想．2.向量(1,2),(3,4)a b =-=-r r，则a r 在b r 方向上的投影为_________．【答案】115- 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积运算与向量投影的定义，写出对应的运算即可．【详解】解：(1,2),(3,4)a b =-=-r r， ∴()()132411a b ⋅=⨯-+-⨯=-r r，22(3)54b +-r； ∴向量a r 在向量b r方向上的投影为：11cos ,5a b a a b b⋅-==r rr r r r ． 故答案为：115-． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算与向量投影的定义与应用问题，是基础题． 3.已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+r r ，若()()m n m n +⊥-r r r r，则=λ_________ . 【答案】3- 【解析】试题分析：因为()()m n m n +⊥-r r r r ，所以()()220m n m n m n +⋅-=-=r r r rr r ，22m n =r r，即222(1)1(2)2λλ++=++，解得3λ=-．考点：向量垂直的性质，考查学生的基本运算能力．4.若圆22(1)(4)5x y -+-=的圆心到直线0x y a -+=2，则a 的值为_________． 【答案】5或1【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式求出结果． 【详解】解：圆22(1)(4)5x y -+-=的圆心坐标为：()1,4，则：圆心()1,4到直线0x y a -+=的距离22d ==解得：1a =或5． 故答案为：1或5【点睛】本题考查的知识要点：点到直线的距离公式的应用．5.过点()13A ，与点()25B -，且半径最小的圆的标准方程为_________． 【答案】22113()(4)24x y ++-= 【解析】 【分析】过两点的半径最小的圆即是以这两点为直径的圆。