人教新课标A版高中选修2-2数学2.3数学归纳法同步练习B卷

课时跟踪检测（十六） 数学归纳法一、题组对点训练对点练一 用数学归纳法证明等式1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14解析：选D 结合f (n )中各项的特征可知，分子均为1，分母为n ，n ＋1，…，n 2的连续自然数共有n 2－n ＋1个，且f (2)＝12＋13＋14.2．用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，(n 2－1)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝n 2(n －1)(n ＋1)4.证明：①当n ＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝12×(1－1)×(1＋1)4＝0，所以等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝k 2(k －1)(k ＋1)4.那么当n ＝k ＋1时，有[(k ＋1)2－1]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)(1＋2＋…＋k )＝k 2(k －1)(k ＋1)4＋(2k ＋1)k (k ＋1)2＝14k (k ＋1)[k (k －1)＋2(2k ＋1)]＝14k (k ＋1)(k 2＋3k ＋2) ＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1][(k ＋1)＋1]4，所以当n ＝k ＋1时等式成立． 由①②知，对任意n ∈N *等式成立． 对点练二 用数学归纳法证明不等式3．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1(2n －1)2＜2－12n－1(n ≥2)(n ∈N *)时，第一步需要证明( )A ．1＜2－12－1B ．1＋122＜2－122－1C ．1＋122＋132＜2－122－1D ．1＋122＋132＋142＜2－122－1解析：选C 第一步验证n ＝2时是否成立，即证明1＋122＋132＜2－122－1.4．某同学回答“用数学归纳法证明n (n ＋1)＜n ＋1(n ∈N *)”的过程如下： 证明：①当n ＝1时，显然命题是正确的；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，有k (k ＋1)＜k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时命题是正确的．由①②可知对于n ∈N *，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( ) A ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用假设 B ．假设的写法不正确C ．从k 到k ＋1的推理不严密D ．当n ＝1时，验证过程不具体解析：选A 分析证明过程中的②可知，从k 到k ＋1的推理过程没有使用假设，故该证法不能叫数学归纳法，选A.5．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)．证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边<右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1<k ，则当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋12k ＋12k＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1×2k2k ＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n ，不等式均成立． 对点练三 归纳—猜想—证明6．k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)(k ≥3，k ∈N *)为( ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －2解析：选A 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有[f (k )＋k －1]个对角面．故选A. 7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．解：(1)当n ＝1时，方程x 2－a 1x －a 1＝0有一根S 1－1＝a 1－1，所以(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12，当n ＝2时，方程x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 2－12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.(2)由题意知(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入整理得S n S n －1－2S n ＋1＝0，解得S n ＝12－S n －1.由(1)得S 1＝ a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.猜想S n ＝nn ＋1(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n ＝1时，结论成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12－S k＝12－kk ＋1＝k ＋1k ＋2＝k ＋1(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，{S n }的通项公式为S n ＝nn ＋1(n ∈N *)． 二、综合过关训练1．用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于(n －2)π”时，归纳奠基中n 0的取值应为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C 边数最少的凸n 边形为三角形，故n 0＝3.2．某个与正整数有关的命题：如果当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可以推出当n ＝k ＋1时该命题也成立．现已知n ＝5时命题不成立，那么可以推得( )A ．当n ＝4时命题不成立B ．当n ＝6时命题不成立C ．当n ＝4时命题成立D ．当n ＝6时命题成立解析：选A 因为当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可以推出当n ＝k ＋1时该命题也成立，所以假设当n ＝4时命题成立，那么n ＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n ＝4时命题不成立．3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N *)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析：选D 当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.4．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上评述( ) A ．命题、推理都正确 B ．命题正确、推理不正确 C ．命题不正确、推理正确D ．命题、推理都不正确解析：选B 推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没有用到假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.5．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的有________(填序号)．①假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立； ②假设当n ＝k (k 是正奇数)时命题成立，证明当n ＝k ＋2时命题也成立； ③假设当n ＝2k －1(k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝2k 时命题也成立． ④假设当n ＝2k －1(k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝2k ＋1时命题也成立． 解析：因为n 为正奇数，所以步骤(2)应为：假设当n ＝k (k 是正奇数)时命题成立，此时n ＝k ＋2也为正奇数；也可为：假设当n ＝2k －1(k ∈N *)时命题成立，此时n ＝2k ＋1也为正奇数．故②④正确．答案：②④6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n(na －b )＋14对一切n ∈N *都成立，则a ＝________，b ＝________.解析：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋14对一切n ∈N *都成立，∴当n ＝1,2时有⎩⎪⎨⎪⎧1＝3(a －b )＋14，1＋2×3＝32(2a －b )＋14，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3a －3b ＋14，7＝18a －9b ＋14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝14.答案：12 147．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1＞2n ＋12成立． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52，左边＞右边，所以不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时不等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1＞2k ＋12， 那么，当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1＞2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1＞4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12，所以，当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立．8．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的结果，并用数学归纳法证明．S 1＝1， S 2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34;当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44，猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N *)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)] ＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．。

选修2-2第二章 2.3一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋,＋12n－1<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式()A．1＋12<2B．1＋12＋13＜2C．1＋12＋13＜3 D．1＋12＋13＋14＜3[答案] B[解析]∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋,＋a n＋1＝1－a n＋2 1－a(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3[答案] B[解析]因为当n＝1时，a n＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选 B.3．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋,＋12n(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A．12n＋1B．12n＋2C．12n＋1＋12n＋2D．12n＋1－12n＋2[答案] D[解析]f(n＋1)－f(n)＝1n＋1＋1＋1n＋1＋2＋,＋12n＋12n＋1＋12n＋1－1n＋1＋1n＋2＋,＋12n＝12n＋1＋12n＋1－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选 C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选 C.二、填空题7．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2),(n＋n)＝2n·1·3,(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为() A．2k＋1 B．2(2k＋1)C．2k＋1k＋1D．2k＋3k＋1[答案] B[解析]n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2),(k＋k)＝2k·1·3·,·(2k－1)，n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2),(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3),(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k＋1·1·3·,·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选 B.8．已知数列11×2，12×3，13×4，,，1n n＋1，通过计算得S1＝12，S2＝23，S3＝34，由此可猜测S n＝________.[答案]n n＋1[解析]解法1：通过计算易得答案．解法2：S n＝11×2＋12×3＋13×4＋,＋1n n＋1＝1－12＋12－13＋13－14＋,＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.9．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋,＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋,＋12n，第一步应验证的等式是________．[答案]1－12＝12[解析]当n＝1时，等式的左边为1－12＝12，右边＝12，∴左边＝右边．三、解答题10．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1、a2、a3，并猜想a n的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[证明](1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝3 2；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝7 4 .由此猜想a n＝2n－12n－1(n∈N*)(2)证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立，②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，即a k＝2k－1 2k－1，当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝2(k＋1)－a k＋1－2k＋a k＝2＋a k－a k＋1，∴2a k＋1＝2＋a k∴a k＋1＝2＋a k2＝2k＋1－12k，∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，a n＝2n－12n－1成立．一、选择题11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋,＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1 B．(k＋1)2C．k＋14＋k＋122D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋,＋(k＋1)2[答案] D[解析]n＝k时，左边＝1＋2＋3＋,＋k2，n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋,＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋,＋(k＋1)2，故选 D.12．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.() A．2π　B．πC．π2D．π3[答案] B[解析]将k＋1边形A1A2,A k A k＋1的顶点A1与A k相连，则原多边形被分割为k边形A1A2,A k与三角形A1A k A k＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1A k A k＋1的内角和π的和，故选 B.13．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开() A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案] A[解析]因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．14．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，,，则归纳猜测a7＋b7＝()A．26 B．27C．28 D．29[答案] D[解析]观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.二、填空题15．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．[答案]当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析]当n＝1时，左≥右，不等式成立，∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．16．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.[答案] 5[解析]当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.三、解答题17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．[证明](1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成k2＋k＋22块不同的区域，命题成立．当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成k2＋k＋22块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝k＋12＋k＋1＋22块区域．所以n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析]由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析]当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。

高中数学人教新课标A版选修2-2 2.3数学归纳法（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高三上·江西月考) 用数学归纳法证明“ ”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·济宁期中) 用数学归纳法证明（）时，从向过渡时，等式左边应增添的项是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二下·葫芦岛期中) 假设n=k时成立,当n=k+1时,证明 ,左端增加的项数是（）A . 1项B . k﹣1项C . k项D . 2k项4. （2分）在用数学归纳法证明时，在验证当n=1时，等式左边为（）A . 1B . 1+aC . 1+a+a2D . 1+a+a2+a35. （2分）在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步验证n等于（）A . 1B . 2C . 3D . 06. （2分）凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为（）A . f(n)＋n＋1B . f(n)＋nC . f(n)＋n－1D . f(n)＋n－27. （2分）用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开（）A . (k＋3)3B . (k＋2)3C . (k＋1)3D . (k＋1)3＋(k＋2)38. （2分）用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证 n＝k＋1时的情况，只需展开（）A . (k＋3)3B . (k＋2)3C . (k＋1)3D . (k＋1)3＋(k＋2)9. （2分）用数学归纳法证明在验证n＝1时，左边所得的项为（）A . 1B . 1＋a＋a2C . 1＋aD . 1＋a＋a2＋a310. （2分） (2020高二上·长治期中) 用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（）A .B .C .D .11. （2分）用数学归纳法证明“对一切n∈N* ，都有”这一命题，证明过程中应验证（）A . n＝1时命题成立B . n＝1，n＝2时命题成立C . n＝3时命题成立D . n＝1，n＝2，n＝3时命题成立12. （2分）用数学归纳法证明时，由到，不等式左端应增加的式子为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共8分)13. （1分）用数学归纳法证明命题：，从“第 k 步到 k+1 步”时，两边应同时加上________．14. （5分） (2019高三上·深圳月考) 利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了________项；15. （1分）用数学归纳法证明：第一步应验证的等式是________．16. （1分） (2020高二上·黄陵期末) 用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2018高二下·湛江期中) 已知数列的前n项和．（1）计算，，，；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．18. （5分）数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．（1）计算a1 ， a2 ， a3 ， a4 ，并由此猜想通项公式an；（2）用数学归纳法证明(1)中的猜想．19. （10分） (2019高三上·达县月考) 己知数列满足， .（1）求证：数列为等比数列：（2）求数列的前项和 .20. （10分） (2020高二下·新余期末) 已知数列前n项和为，且．（1）试求出，，，，并猜想的表达式．（2）用数学归纳法证明你的猜想．21. （10分）(2017·嘉兴模拟) 已知数列满足，，求证：（I）；（II）；（III） .22. （10分） (2020高三上·静安期末) 现定义：设是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明（2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增，求证在区间上单调递减（3）设定义域为的“关于的偶型函数” 是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共8分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。

教材习题点拨练习1．证明：先证明：首项是a 1，公差是d 的等差数列的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . (1)当n ＝1时，左边＝a 1，右边＝a 1＋(1－1)d ＝ a 1，因此，左边＝右边． 所以，当n ＝1时命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即a k ＝a 1＋(k －1)d .那么， a k ＋1＝a k ＋d ＝a 1＋(k －1)d ＋d ＝a k ＋[(k ＋1)－1]d . 所以，当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任何n ∈N *都成立． 再证明：该数列的前n 项和公式是S n ＝na 1＋n (n －1)2d .(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝a 1，右边＝1×a 1＋1×(1－1)2d ＝ a 1，因此，左边＝右边．所以，当n ＝1时命题成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即S k ＝ka 1＋k (k －1)2d .那么，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝ka 1＋k (k －1)2d ＋a 1＋[(k ＋1)－1]d＝(k ＋1)a 1＋k [(k －1)2＋1]d＝(k ＋1)a 1＋k (k ＋1)2d .所以，当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任何n ∈N *都成立．点拨：利用数学归纳法证明时，应注意分两步作证，尤其要注意第二步． 2．证明：先证明首项是a 1，公比是q 的等比数列的通项公式是a n ＝a 1q n －1. (1)当n ＝1时，左边＝a 1，右边＝a 1q k －1＝a 1，因此，左边＝右边． 所以，当n ＝1时命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即a k ＝a 1q k －1.那么， a k ＋1＝a k q ＝a 1q k －1·q ＝a 1q (k＋1)－1.所以，当n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)和(2)知，命题对任何n ∈N *都成立．再证明该数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q(q ≠1)．(1)当n ＝1时，左边＝a 1，右边＝a 1(1－q )1－q ＝a 1，因此，左边＝右边．所以，当n ＝1时，命题成立． (2)假设n ＝k 时，命题成立，即S k ＝a 1(1－q k )1－q ，那么，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝a 1(1－q k )1－q ＋a 1q k＝a 1(1－q k ＋1)1－q .所以，当n ＝k ＋1时，命题也成立． 由(1)和(2)知，命题对于任何n ∈N *都成立． 习题2.3A 组1．证明：(1)①当n ＝1时，左边＝1，右边＝12×1×(1＋1)＝1.因此，左边＝右边．所以当n ＝1时，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋3＋…＋k ＝12k (k ＋1)，那么，1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＝12k (k ＋1)＋(k ＋1)＝12(k ＋1)(k ＋2)＝12(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①②可知，等式对任何n ∈N *都成立．(2)①当n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，因此，左边＝右边．所以当n ＝1时，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2.那么，1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋(2k ＋1)＝k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①和②可知，等式对任何n ∈N *都成立．(3)①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，那么，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①和②可知，等式对任何n ∈N *都成立．2．解：S 1＝11×2＝1－12，S 2＝11×2＋12×3＝(1－12)＋(12－13)＝1－13，S 3＝11×2＋12×3＋13×4＝1－13＋(13－14)＝1－14.由此猜想S n ＝1－1n ＋1. 证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝11×2＝1－12＝12，右边＝1－11＋1＝1－12＝12，因此，左边＝右边．所以当n ＝1时，猜想成立．(2)假设当n ＝k 时，猜想成立，即11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k (k ＋1)＝1－1k ＋1.那么，11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k(k＋1)＋1(k＋1)(k＋2)＝1－1k＋1＋1(k＋1)(k＋2)＝1－1k＋1(1－1k＋2)＝1－1k＋1×k＋2－1k＋2＝1－1k＋2.所以当n＝k＋1时，猜想也成立．根据(1)和(2)可知，猜想对任何n∈N*都成立．B组1．证明：(1)当n＝1时，左边＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k时，等式成立，即11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，那么，11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＋1[2(k＋1)－1][2(k＋1)＋1]＝k2k＋1＋1[2(k＋1)－1][2(k＋1)＋1]＝k2k＋1＋1(2k＋1)(2k＋3)＝(2k＋1)(k＋1)(2k＋1)(2k＋3)＝k＋12(k＋1)＋1.所以，当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)、(2)可知等式对任意n∈N*都成立．2．证明：(1)当n＝1时，左边＝1×1＝1，右边＝16×1×(1＋1)×(1＋2)＝1，因此，左边＝右边．所以，当n＝1时等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即1×k＋2(k－1)＋3×(k－2)＋…＋k×1＝16k(k＋1)(k＋2)．那么，1×(k＋1)＋2×[(k＋1)－1]＋3×[(k＋1)－2]＋…＋(k＋1)×1＝[1×k＋2×(k－1)＋3×(k－2)＋…＋k×1]＋[1＋2＋3＋…＋(k＋1)]＝16k(k＋1)(k＋2)＋12(k＋1)(k＋2)＝16(k＋1)(k＋2)(k＋3)．所以，当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．。

选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜3[答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2 D.12n ＋1－12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n ) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立 [答案] C[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )A ．假设n ＝k (k ∈N *)，证明n ＝k ＋1时命题也成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1时命题也成立 C ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2时命题也成立 D ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N )，证明n ＝k ＋1时命题也成立 [答案] C[解析] ∵n 为正奇数，当n ＝k 时，k 下面第一个正奇数应为k ＋2，而非k ＋1.故应选C.6．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1 D ．f (n )＋n －2 [答案] C[解析] 增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n ∈N *，都有2n >n 2－2”这一命题，证明过程中应验证( ) A ．n ＝1时命题成立 B ．n ＝1，n ＝2时命题成立 C ．n ＝3时命题成立D ．n ＝1，n ＝2，n ＝3时命题成立 [答案] D[解析] 假设n ＝k 时不等式成立，即2k >k 2－2， 当n ＝k ＋1时2k ＋1＝2·2k >2(k 2－2)由2(k 2－2)≥(k －1)2－4⇔k 2－2k －3≥0⇔(k ＋1)(k －3)≥0⇒k ≥3，因此需要验证n ＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6 [答案] C[解析] 因为f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，所以f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，推测最大的m 值为36.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( ) A.2(n ＋1)2 B.2n (n ＋1)C.22n－1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1 ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ∴a n ＋1＝nn ＋2a n (n ≥2)． 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B.10．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 [答案] D[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立 [解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立， ∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.[答案]nn ＋1[解析] 解法1：通过计算易得答案． 解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立． (3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ； (k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1] ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1] [解析] 由数学归纳法的法则易知． 三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)． [证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立． 16．求证：12＋13＋14＋…＋12>n －22(n ≥2)．[证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右，∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立． 即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立． 那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k＝(k ＋1)－22，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立．17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立．当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域．所以n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n ＋2与n 2的大小关系； ②利用数学归纳法证明猜想的结论． 解答本题的关键是先利用特殊值猜想． [解析] 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1， 当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4， 当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9， 当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16， 由此可以猜想， 2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立 下面用数学归纳法证明： (1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边， 所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。

选修2-2 《数学归纳法》教案【典型例题】[例1] 求证：。

证明：（1），左右，成立（2）假设时成立即：当时，左==右即时，成立综上所述，由（1）（2）对一切命题成立。

[例2] 求证：证明：（1），左=4－18=－14=（—1）×2×7=右（2）假设时成立即：当时左=右即：n=k+1时成立综上所述由（1）（2）命题对一切成立另解：令中，∴[例3] 求证：证明：（1）n=1 左=1+1=2=右（2）假设n=k时成立即：当时，左欲证：左右∴左边∴时成立综上所述由（1）（2）对一切命题成立[例4] 对于，2，求证：。

证明：（1），左右（2）假设n=k时成立即：当时，左=右即时成立综上所述由（1）（2）对一切，命题成立[例5] 对于，求证：，可被整除。

证明：（1），左成立（2）假设n=k时成立即：当时，∴时成立综上所述由（1）（2）对一切[例6] 求证：，可被17整除。

证明：（1）n=0，左=15+2=17成立（2）假设n=k成立即，M∈N当时，[例7] 是否存在常数使对一切恒成立。

证明：令下证明对一切恒成立（1）n=1时，显然成立（2）假设n=k时成立当时，左∴时成立综上所述由（1）（2）对一切命题成立[例8] 数列满足，，求。

解：，∴推测证明：（1）n=1成立（2）假设n=k成立即当时，∴成立综上所述对一切，成立[例9] （为常数），试判断是否为数列中的一项。

证明：推测（1）成立（2）假设n=k成立即，时，成立综上所述对一切，成立∴p不是中的一项[例10] 数列满足（1）求证：对一切成立；（2）令，，试比较与大小关系。

（1）①成立②假设n=k时成立，即当n=k+1时，∴∴时成立综上所述由①②对一切，（2）∴，1. 用数学归纳法证明时，从n=k到n=k+1，左端需要增加的代数式为（）A. B. C. D.2. 用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（）A. B.C. D.3. 用数学归纳法证明：“”，在验证时，左端计算所得的项为（）A. 1B.C.D.4. 设，那么等于（）A. B. C. D.5. 使不等式对任意的自然数都成立的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 若命题对n=k成立，则它对也成立，又已知命题成立，则下列结论正确的是（）A. 对所有自然数n都成立B. 对所有正偶数n成立C. 对所有正奇数n都成立D. 对所有大于1的自然数n成立7. 数列满足，且（），则（）A. B. C. D.8. 已知数列的前n项和，而，通过计算，猜想（）A. B. C. D.9. 函数的最大值不大于，又时，（1）求（2）设，，求证：10.设为常数，证明对任意1. B2. B3. C4. D5. D6. B7. A8. B9.证明：（1）n=1 成立（2）假设时成立即，当n=k+1时，∴成立综上所述对一切，10. 证明：（1）n=1，成立（2）假设n=k时成立即当时，∴成立综上所述对一切命题成立。

2.3 数学归纳法1、“111111111()234212122n N n n n n n *-+-++-=+++∈-++,在用数学归纳法证明上述恒等式的过程中,由(,1)n k k N k *=∈≥推导到1n k =+时,等式的右边增加的式子是( ) A. 12(1)k + B.112122k k +++ C. 112(1)1k k -++ D.111212(1)1k k k +-+++ 2、用数学归纳法证明"223122221n n +++++⋯+=-",验证1n =时,左边计算所得的式子为( )A. 1B. 12+C. 2122++D. 231222+++3、已知()231123334333n n n na b c -+⨯+⨯+⨯++⨯=-+对一切*n N ∈都成立,那么,,a b c 的值为( )A. 12a =,14b c == B. 14a b c === C. 0a =,14b c == D.不存在这样的,,a b c4、用数学归纳法证明不等式“()11113212224n n n n ++⋅⋅⋅+>>++”时的过程中,由n k =到1n k =+时,不等式的左边( )A.增加了一项()121k + B.增加了两项()112121k k +++ C.增加了两项()112121k k +++,又减少了11k + D.增加了一项()121k +,又减少了一项11k + 5、设k 1111S ,k 1k 2k 32k =+++⋯++++则k 1S += ( ) A. ()k 1S 2k 1++ B. ()k 11S 2k 12k 1++++ C. ()k 11S 2k 12k 1+-++ D. ()k 11S 2k 12k 1+-++ 6、用数学归纳法证明“52n n -”能被3整除”的第二步中1n k =+时,为了使用假设,应将1152k k ++-变形为( )A. ()52452k k k k -+⨯-B. ()55232k k k -+⨯C. ()()5252k k --D. ()55235k k k --⨯7、若命题()()*A n n N ∈在()*n k k N =∈时命题成立,则有1n k =+时命题成立.现知命题对()*00n n n N =∈时命题成立,则有( )A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于0n 的正整数不成立,对大于或等于0n 的正整数都成立C.命题对小于0n 的正整数成立与否不能确定,对大于或等于0n 的正整数都成立D.以上说法都不正确8、设平面内有k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k 条直线的交点个数为(),f k 则()1f k +与()f k 的关系是( )A. ()()11f k f k k +=++B. ()()11f k f k k +=+-C. ()()1f k f k k +=+D. ()()12f k f k k +=++9、设()()111231,31f n n n +=+++⋯+∈-N 那么()()1f n f n +-等于( ) A. 132n + B. 11331n n ++ C. 113132n n +++ D. 11133132n n n ++++ 10、凸n 边形有()f n 条对角线,则凸1n +边形有对角线条数()1f n +为( )A. ()1f n n ++B. ()f n n +C. ()1f n n +-D. ()2f n n +-11、用数学归纳法证明11112321n n ++++<-”时,由()1n k k =>不等式成立,推证1n k =+时,左边应增加的项数是__________项;12、用数学归纳法证明: ()221*11,11n n a a a an N a a++-+++⋯+=∈≠-,在验证1n =成立时,左边所得的项为__________. 13、用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ,总有32n n >”时,验证第一步不等式成立所取的第一个值0n 最小应当是__________.14、用数学归纳法证明()21122221*n n n N -+++⋯+=-∈的过程如下:①当1n =时,左边021==,右边1211=-=,等式成立.②假设(1,n k k =≥且*)k N ∈时,等式成立,即2k 1k 122221-+++⋯+=-则当1n k =+时, 211112121222221,k k kk -+++++==--⋯++- 所以当1n k =+时,等式也成立.由①②知,对任意*,n N ∈等式成立.上述证明中的错误是__________.15、已知数列{}n a 满足()111,21*n n a a a n N +==+∈1.求2345,,,a a a a2.归纳猜想出通项公式n a ,并且用数学归纳法证明.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：2答案及解析：答案：D解析：左边的指数从0开始,依次加1,直到2n +,所以当1n =时,应加到32,故选D.3答案及解析：答案：A解析：令1,2,3n =,得()()()31,{927,27334,a b c a b c a b c -+=-+=-+=解得12a =,14b c ==. 经验证此时等式对一切*n N ∈均成立.4答案及解析：答案：C解析：本题考查的知识点是数学归纳法,观察不等式“()11113212224n n n n ++⋅⋅⋅+>>++左边的各项,他们都是以11n +开始,以12n项结束,共n 项,当由n k =到1n k =+时,项数也由k 变到1k +时,但前边少了一项,后面多了两项,分析四个答案,即可求出结论. n k =时,左边11112k k k k=++⋅⋅⋅++++, 1n k =+时,左边()()()()111111211k k k k =++⋅⋅⋅++++++++111111121212k k k k k k k ⎛⎫=++⋅⋅⋅+-++ ⎪++++++⎝⎭。

第二章 2.3一、选择题1．用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－1q －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n ＝1等式成立时，等式左边的式子是( )A ．1B ．1＋qC ．1＋q ＋q 2D ．1＋q ＋q 2＋q 3C左边＝1＋q ＋q 1＋1＝1＋q ＋q 2.故选C.2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边的式子之比是( )A.12k ＋1 B ．12(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋1B(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(2k )(k ＋2)(k ＋3)…(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)＝12(2k ＋1).故选B.3．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1＋12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 Cn ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2∴增加了12k ＋1＋12k ＋2，减少了一项1k ＋1.故选C.4．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1C ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2D ．f (k ＋1)＝f (k )＋k D因为任何两条不平行，任何三条不共点，所以当增加一条直线时，则增加k 个交点，故交点个数为f (k )＋k .5．某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，则可推得n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝4时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题不成立C ．当n ＝4时该命题成立D ．当n ＝6时该命题成立 A由命题及其逆否命题的等价性知选A.6．等式12＋22＋32＋…＋n 2＝12(5n 2－7n ＋4)( )A ．n 为任何正整数都成立B ．仅当n ＝1,2,3时成立C ．当n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ．仅当n ＝4时不成立 B经验证，n ＝1,2,3时成立，n ＝4,5，…不成立．故选B. 7．(2015·枣庄一模)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 D∵当n ＝k 时，左边＝1＋2＋3＋…＋k 2.当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2. 8．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3A因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，增加了(k ＋3)3，减少了k 3，故利用归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，证明余下的项9k 2＋27k ＋27能被9整除．二、填空题9．(2015·辽宁师大附中高二检测)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N＋)”的过程中，第二步n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________． 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－110．用数学归纳法证明当n ∈N ＋时，1＋2＋22＋23＋ (25)－1是31的倍数时，当n ＝1时原式为__________，从k →k ＋1时需增添的项是________．1＋2＋22＋23＋24 25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋411．使不等式2n ＞n 2＋1对任意n ≥k 的自然数都成立的最小k 值为________． 525＝32,52＋1＝26，对n ≥5的所有自然数n,2n ＞n 2＋1都成立，自己用数学归纳法证明之．三、解答题12．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N ＋，求证：n ＋f (1)＋…＋f (n －1)＝nf (n )(n ≥2且n∈N ＋)．(1)当n ＝2时，左边＝2＋f (1)＝3，右边＝2f (2)＝3，等式成立．(2)假设n ＝k 时，k ＋f (1)＋…＋f (k －1)＝kf (k )． 当n ＝k ＋1时，k ＋1＋f (1)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝1＋f (k )＋kf (k )＝(k ＋1)f (k )＋1 ＝(k ＋1)·(f (k )＋1k ＋1)＝(k ＋1)f (k ＋1)．即n ＝k ＋1时，命题成立． 根据(1)和(2)，可知结论正确.一、选择题1．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3…(2n －1)(n ∈N ＋)”，则“从k 到k ＋1”左端需乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋1Bn ＝k 时左式＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)n ＝k ＋1时左式＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k ＋1)(2k ＋2)故“从k 到k ＋1”左端需乘(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．故选B.2．已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝2a n ＋a n －1(k ∈N *)，用数学归纳法证明a 4n 能被4整除时，假设a 4k 能被4整除，应证( )A ．a 4k ＋1能被4整除B ．a 4k ＋2能被4整除C ．a 4k ＋3能被4整除D ．a 4k ＋4能被4整除 D在数列{a 4n }中，相邻两项下标差为4，所以a 4k 后一项为a 4k ＋4.故选D. 3．(2015·锦州期中)在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证( ) A ．n ＝1成立 B ．n ＝2成立 C ．n ＝3成立 D ．n ＝4成立 C多边形的边数最少是3，即三角形，∴第一步验证n 等于3.4．用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3，n ∈N )，第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝4C∵n ≥3，n ∈N ，∴第一步应验证n ＝3时，命题成立． 二、填空题5．用数学归纳法证明关于n 的恒等式时，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，待证表达式应为________．1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)26．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，不等式成立； ②假设n ＝k 时，等式成立， 即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1. 则当n ＝k ＋1时， 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式成立．由此可知对任意正整数n ，等式都成立． 以上证明错在何处？____________. 没有用上归纳假设由数学归纳法证明步骤易知其错误所在．7．设S 1＝12，S 2＝12＋22＋12，…，S n ＝12＋22＋32＋…＋n 2＋…＋22＋12.用数学归纳法证明S n ＝n (2n ＋1)2时，第二步从“n ＝k 到n ＝k ＋1”右边应添加的项为________．(k ＋2)·2k ＋12S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1＋1)2－k (2k ＋1)2＝(k ＋2)·2k ＋12.三、解答题8．在数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，当n ∈N *时，满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，且设b n ＝a 4n ，求证：{b n }的各项均为3的倍数．(1)∵a 1＝a 2＝1，故a 3＝a 1＋a 2＝2，a 4＝a 3＋a 2＝3. ∴b 1＝a 4＝3，当n ＝1时，b 1能被3整除． (2)假设n ＝k 时，即b k ＝a 4k 是3的倍数．则n ＝k ＋1时，b k ＋1＝a 4(k ＋1)＝a (4k ＋4)＝a 4k ＋3＋a 4k ＋2 ＝a 4k ＋2＋a 4k ＋1＋a 4k ＋1＋a 4k ＝3a 4k ＋1＋2a 4k .由归纳假设，a 4k 是3的倍数，故可知b k ＋1是3的倍数． ∴n ＝k ＋1时命题正确．综合(1)、(2)可知，对于任意正整数n ，数列{b n }的各项都是3的倍数．9．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624，令2624>a24，得a <26，且a ∈N ＋. ∴取a ＝25.下面用数学归纳法证明： 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①n ＝1时，结论已证．②假设n ＝k (k ∈N ＋)时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524，则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1 ＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1)＋(13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1)>2524＋13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)．∵13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>23(k ＋1)， ∴13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0. ∴1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524， 即n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，对一切n ∈N ＋，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. 故a 的最大值为25.。

第二章 推理与证明2.3 数学归纳法一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和S ＝(n －2)π对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时,第一步证明中的起始值n 0应取 A ．2 B ．3 C ．4D ．52．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设，且为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证 A ．时等式成立 B ．时等式成立C ．时等式成立D ．时等式成立 3．用数学归纳法证明“”,则当时,应当在时对应的等式的两边加上 A ．B ．C ．D ．4．设()()*111122f n n n n n=++⋅⋅⋅+∈++N ，那么()()1f n f n +-= A ．121n + B ．122n +C ．112122n n +++ D ．112122n n -++ 5．当是正整数时，用数学归纳法证明从到等号左边需要增加的代数式为 A ． B ． C ．D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上． 6．用数学归纳法证明：()22311111n n c c c c cc c++-+++++=≠-，当1n =时，左边为__________．7．对于不等式<n+1(n ∈N *),某同学用数学归纳法证明的主要过程如下:（1）当n =1时,<1+1 ,不等式成立;（2）假设当n =k (k ∈N *)时,不等式成立,有<k+1,即k 2+k <(k+1)2, 则当n =k+1时,=<==(k+1)+1,所以当n =k+1时,不等式也成立.则下列说法中正确的有__________.(填出所有正确说法的序号) ①证明过程全部正确;②n =1的验证不正确;③n =k 的归纳假设不正确;④从n =k 到n =k+1的推理不正确. 8．用数学归纳法证明不等式()*1111223212nnn n ++++>≥∈-N ，的过程中，由“”到“”时，左边增加了__________项三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．求证:++…+=1-(其中n ∈N *).10．证明：.11．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除.12．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.13．在数列中，，其中.（1）计算的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.。

2.3数学归纳法[目标] 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．[重点] 数学归纳法及其应用．[难点] 对数学归纳法原理的理解．知识点数学归纳法[填一填]1．数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．2．用框图表示数学归纳法的步骤[答一答]1．在数学归纳法的第一步归纳奠基中，第一个值n0是否一定为1?提示：不一定，n0还可以取其他值，如证明“2n>n2”中，n0＝5，而证明“凸n边形内角和为(n－2)·180°”中，n0＝3.2．所有与正整数有关的命题都可以用数学归纳法证明吗？提示：数学归纳法是证明与正整数有关的命题的有力工具，但并不是所有与正整数n有关的命题都能用数学归纳法证明，一般当从n ＝k过渡到n＝k＋1时，问题中存在可利用的递推关系时才能应用．3．用数学归纳法证明问题时，归纳假设是否一定要用上？提示：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次．类型一用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1). 【证明】 (1)当n ＝1时121×3＝1×22×3成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．总之，由(1)(2)可得对于任意的n ∈N *等式都成立．应用数学归纳法时应注意的问题：(1)第一步的验证，对于有些问题验证的并不是n ＝1，有时需验证n ＝2，n ＝3，甚至需要验证n ＝10，如证明：对足够大的正整数n ，有2n >n 3，就需要验证n ＝10时不等式成立.(2)n ＝k ＋1时式子的项数，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错.因此对n ＝k 与n ＝k ＋1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.(3)“假设n ＝k (k ≥1)时命题成立，利用这一假设证明n ＝k ＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明就不再是数学归纳法了.另外在推导过程中要把步骤写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性.(1)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( B )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：左边应为1＋a ＋a 2.故选B.(2)设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( B ) A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1C ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1类型二 用数学归纳法证明不等式【例2】 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． 【证明】 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N ＋)，∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边>右边，∴不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立．即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1. 要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式，得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，原不等式均成立．运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明，如本例就是利用了比较法.用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n ≥2，n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，∵14<12，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ，则当n ＝k ＋1时，即122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2 ＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．综合(1)(2)得，对任意n ≥2的正整数，不等式均成立．类型三 用数学归纳法证明整除问题【例3】 用数学归纳法证明(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．【思路分析】 按照数学归纳法证明步骤：(1)先证n ＝1时命题成立；(2)假设n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立．【证明】(1)当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，那么当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[(3k＋1)＋3]·7·7k－1＝7·(3k＋1)·7k－1＋21×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋6(3k＋1)·7k＋21×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋(18k＋27)·7k.由假设知(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为(18k＋27)·7k能被9整除，所以[(3k＋1)·7k－1]＋(18k＋27)·7k能被9整除，即n＝k＋1时命题成立．综上由(1)(2)知，对所有正整数n，命题成立．当n＝1时，原式等于27被9整除，因此要研究(3k＋1)·7k－1与(3k ＋4)·7k＋1－1之间的关系，以便利用归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除来推证(3k＋4)·7k＋1－1也能被9整除.利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，所以命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除， 那么，当n ＝k ＋1时，x 2k ＋2－y 2k ＋2＝x 2·x 2k －y 2·y 2k －x 2·y 2k ＋x 2·y 2k＝x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)，因为x 2k －y 2k 与x 2－y 2都能被x ＋y 整除，所以x 2k ＋2－y 2k ＋2能被x ＋y 整除，即当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任意n ∈N *都成立．数学归纳法证明问题从n ＝k到n ＝k ＋1时弄错增加项【例4】 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12(n ∈N *)．【错解】 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边>右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12.那么当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1>k ＋12＋12k ＋1>k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12，即n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②得1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12(n ∈N *)成立．【错因分析】 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1>k ＋12＋12也是错误的． 【正解】 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边>右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12，那么当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k＝k ＋12＋2k2k ＋2k＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12. 所以n ＝k ＋1时，不等式成立，由①②可知，n ∈N *时1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12.用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n>1124(n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k>1124， 即当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.因为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝2(k ＋1)＋(2k ＋1)－2(2k ＋1)2(k ＋1)(2k ＋1)＝12(k ＋1)(2k ＋1)>0， 所以1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124， 所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对于任意正整数n ，不等式成立．1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋2n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( C )A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 2．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数等于( C )A ．1B ．1或2C ．1,2,3D ．1,2,3,4解析：逐个代入验证．3．已知S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)，则S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49，猜想S n ＝n 2n ＋1. 解析：分别将1,2,3,4代入观察猜想S n ＝n 2n ＋1. 4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，且n >1)，第二步证明从“k 到k ＋1”，左端增加的项数是2k .解析：当n ＝k 时左端为1＋12＋13＋…＋12k －1， 当n ＝k ＋1时左端为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，故增加的项数为2k 项． 5．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2 ＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)．证明：①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边，∴n ＝2时等式成立．②假设n ＝k (k ≥2，n ∈N *)时等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k ， 那么n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立．。