中考数学人教版专题复习：角平分线定理
考点考纲要求分值考向预测
角平分定理1. 理解并掌握角平线定义、角
平分线定理及逆定理；
2. 应用定理解决问题。
3～5
分
本类问题主要考查填空、选
择题，内容以角平分线定理
为主，难度不大，各省市题
量也不多，但要注意在综合
性问题中应用这一知识点。
考点精讲
1. 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2. 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【重要提示】
①三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。
1
②三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等(即内心)。
3. 角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（利用全等三角形进行证明ASA）
4. 角平分线定理的逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
【方法指导】
1. 三角形的三条内角平分线交于一点，并且到三条边的距离相等。有时候做三角形面积问题时经常使用。
2. 当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。
3. 有角平分线考虑向角两边作垂线。
4. 三角形中有时候从内角平分线作垂线，有时候作外角平分线，注意区分。
【随堂练习】
如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线。若CD=3，则△ABD的面积为。
2
答案：解：作DE⊥AB于E。∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3。∴△ABD的面积为1
×3×10=15。故答案是15。
2
思路分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E。根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解。
典例精析
例题1 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）
A. 3
B. 4
C. 6
D. 5
思路分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可。
3
答案：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴1
2
×4×2+
1
2
×AC×2=7，解得AC=3。故选A。
技巧点拨：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键。
例题2 如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，下面四个结论：
①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③BFD
CED E
S S
BF
C
∆
∆
=；④EF一定平行BC。
其中正确的是（）
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②③④
思路分析：由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，
4
根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF=AE，继而证得①∠AFE=∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利
用三角形的面积公式求解即可得③BFD
CED E
S S
BF
C
∆
∆
=。
答案：解：①∵三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，∴AF=AE，∴∠AFE=∠AEF，故正确；
②∵DF=DE，AF=AE，
∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF，故正确；
③∵S△BFD=1
2
BF•DF，S△CDE=
1
2
CE•DE，DF=DE，∴BFD
CED
E
S
S
BF
C
∆
∆
=；故正确；
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，∴EF不一定平行BC。故错误。
故选A。
技巧点拨：此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质。此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用。
例题3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则△DBE的周长为（）
A. 2
B. 1+2
C. 2
D. 无法计算
5
思路分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出△DBE的周长=AB，再利用勾股定理列式求出AB，即可得解。
答案：解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，CD＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，△DBE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，
∵∠C=90°，AC=BC=1，∴AB=22
2，∴△DBE的周长2。故选C。
11
技巧点拨：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性质并求出△DBE的周长=AB是解题的关键。
提分宝典
相似三角形中的角平分线定理[
定理内容：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
如：在△ABC中，AM平分∠BAC，则BM：CM=AB：AC。
6
