大变形问题的基本方程

计算任意变截面梁变形的通用方程
梁是结构工程中经常使用的一种结构，其抗压、抗拉力能力极强；但是，当梁受力时也会造成梁的变形。

梁的变形是指梁的变长和变形的程度。

而变截面梁变形就是指梁截面形状发生变化。

那么，如何计算变截面梁变形的问题不容忽视。

变截面梁变形是由梁受力引起的，一般受力是由偏移量和力之间的关系式来决定的。

设梁上点P的横向位移为u，其单位长度变形量为e，则根据应力和应变定律，u和e的关系可以有：
e=ku(1+α)
其中，k是梁的横向变形系数，α是梁受力时的横向偏移系数。

对变截面梁，偏移通常为：
u=εfL
其中，ε是梁的横向应变量，f是梁定义的受力幅值，L是梁的单位长度。

上述公式只是当梁处于线性弹性状态时的变形量，但实际变截面梁变形还可能受其它因素影响。

也就是说，当梁变形增大时还需要考虑材料的弹性极限、屈服点、有效应力和收缩等因素。

总之，计算变截面梁变形的通用方程主要是横向位移通过应力和应变关系式和梁上单位长度变形量之间的关系，另外还要考虑材料的性质等因素，才能找到一个准确精确的通用方程。

连续介质力学中的大变形与断裂研究引言连续介质力学是研究材料在外力作用下的变形和断裂行为的学科，是物理力学的一个重要分支。

在材料科学、工程力学、地球物理学等领域都有广泛的应用。

本文将着重介绍连续介质力学中的大变形与断裂研究。

1. 大变形的介绍大变形是指在外力作用下，材料的形状、体积或内部结构发生明显改变的现象。

当应变达到一定程度时，常规的线弹性理论不能再正确描述材料的变形行为。

因此，理论上需要引入非线性弹性理论来研究大变形现象。

非线性理论根据材料的本构关系和变形描述方程的非线性性质，可以更准确地描述大变形行为。

2. 大变形的数学描述在连续介质力学中，大变形通常通过应变张量的非线性关系来描述。

应变张量是一种描述变形的物理量，用于衡量物体内部相对位移的大小。

在大变形的情况下，应变张量的组分由线性校正项和非线性校正项构成。

3. 大变形与材料性质大变形会显著影响材料的力学性质。

例如，材料的刚度、强度、塑性行为等参数会随着应变增加而发生变化。

另外，在大变形过程中，材料可能会出现局部失稳、产生脆性断裂等现象。

因此，研究大变形对材料性质的影响具有重要的理论和应用价值。

4. 断裂力学的基本原理断裂力学是研究材料在外部载荷作用下发生破裂现象的学科。

断裂是指材料在外力作用下突然失效并发生破碎的过程。

断裂力学的基本原理涉及三个方面：断裂起始准则、裂纹扩展准则和破坏力学。

4.1 断裂起始准则断裂起始准则是研究材料在何时发生破裂的标准。

常用的准则包括拉伸准则、剪切准则和能量准则等，用来描述材料的破裂临界条件。

4.2 裂纹扩展准则裂纹扩展准则是研究裂纹在材料中的扩展行为。

通过研究裂纹的扩展速率和扩展角度等参数，可以确定断裂的发展过程。

4.3 破坏力学破坏力学是研究材料在断裂过程中的破坏机理和破坏能力的学科。

破坏力学通过研究断裂面的断面形态、破碎能量消耗等参数，来描述材料的破坏行为。

5. 大变形与断裂的关系大变形和断裂是紧密相关的。

大变形力学解析
哎，各位朋友些，今天咱们来摆一摆这个大变形力学解析嘞事儿。

说起这个大变形力学啊，可不是啥子简单勒巴子，它涉及到好多高深勒物理和数学知识哟。

你看嘛，在工程里头，好多东西都要遭受到大嘞变形，比如说桥梁啊、高楼大厦啊，还有那些个地下管道，一旦变形大了，那就不得了咯，要出大问题嘞。

所以嘛，这个大变形力学就显得格外重要咯。

它主要是研究物体在受到大力啊、大变形啊这些外力作用勒时候，内部嘞应力啊、应变啊是啷个变化嘞。

要晓得，物体一变形，它嘞形状、尺寸、位置这些都可能发生变化，这样一来，它嘞力学性质也就跟着变咯。

为了解析这个大变形，科学家们可是费了不少心思哦。

他们建立咯好多数学模型，还用了好多复杂嘞计算方法，就想把这个变形过程整得明明白白嘞。

这样一来，工程师们在设计东西嘞时候，就可以根据这些理论来预测和避免可能出现嘞问题咯。

不过嘞，这个大变形力学也不是万能的哦。

毕竟嘛，现实世界里头嘞情况太复杂咯，好多东西都是千变万化嘞。

所以嘛，我们还是要不断学习、不断探索，才能把这个大变形力学嘞奥秘整得更清楚些。

总之嘞，这个大变形力学解析是个非常重要嘞领域，它关系到我们生活嘞方方面面。

希望大家都能好好重视它，一起为科技进步出一份力哦。

高中物理的变形题解题技巧高中物理中，变形题是一个常见的题型，要求学生根据给定的条件，通过运用相关的物理公式和概念，解决与物体形状、结构、运动等相关的问题。

本文将从不同角度介绍一些解决变形题的技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。

一、弹性变形题弹性变形是指物体在受力作用下发生的形状改变，当去除外力后，物体能够恢复原状。

在解决弹性变形题时，首先需要明确题目给出的条件和要求，然后根据弹性力学的基本原理进行分析。

例如，有一根弹簧，已知它的弹性系数为k，求当受到外力F时，弹簧的伸长量x。

这个问题可以通过胡克定律来解决，即F=kx。

通过这个公式，我们可以计算出弹簧的伸长量。

除了胡克定律，还有一些常用的解决弹性变形题的公式，如弹性势能公式E=1/2kx²，其中E表示弹簧的弹性势能，k表示弹性系数，x表示伸长量。

这些公式可以帮助我们计算弹簧在受力下的变形情况。

二、杨氏模量题杨氏模量是描述物体抗拉性能的物理量，它是指单位面积内的应力与相应的应变之比。

在解决杨氏模量题时，我们需要根据题目给出的条件，运用杨氏模量的定义进行计算。

例如，有一根长度为L、截面积为A的铜棒，已知它的杨氏模量为Y，求当受到外力F时，铜棒的伸长量x。

这个问题可以通过杨氏模量的定义来解决，即Y=FL/Ax。

通过这个公式，我们可以计算出铜棒的伸长量。

除了杨氏模量的定义，还有一些常用的解决杨氏模量题的公式，如拉伸应变公式ε=F/(AL)，其中ε表示拉伸应变，F表示外力，A表示截面积，L表示长度。

这些公式可以帮助我们计算物体在受力下的变形情况。

三、应力分析题应力是物体内部的分子间相互作用力，它是描述物体受力情况的物理量。

在解决应力分析题时，我们需要根据题目给出的条件，运用应力的定义和相关公式进行计算。

例如，有一根长度为L、截面积为A的金属棒，已知它受到的外力为F，求金属棒上的应力σ。

这个问题可以通过应力的定义来解决，即σ=F/A。

通过这个公式，我们可以计算出金属棒上的应力。

代数变形总结知识点归纳1. 代数基本概念首先我们需要了解代数基本概念。

在数学中，代数主要研究数与其运算、结构及其运算规则的一门数学分支。

它通常包括整数、有理数、实数和复数等的运算，可以表示为一个数或数字的计算。

代数以字母表示数，并运用字母进行运算。

2. 代数基本运算代数变形的核心是代数基本运算，包括加法、减法、乘法和除法。

这些基本运算是进行代数变形的基础，需要我们熟练掌握。

3. 代数变形基本原则代数变形的基本原则包括等式变形和不等式变形。

等式变形需要保持等式两边的平衡，并逐步进行变形推导；不等式变形则需要关注不等式号的方向，保持不等式变形的方向一致。

4. 代数变形的运用代数变形广泛运用于数学各个领域，如解方程、化简表达式、证明恒等式等。

在解方程中，我们可以通过代数变形将一个方程式转化为另一个等价的方程式，从而求得方程的解；在化简表达式中，代数变形可以将一个复杂的表达式转化为更简洁的形式，便于计算和分析；在证明恒等式中，代数变形可以帮助我们推导出一个恒等式的证明过程。

5. 代数变形的基本技巧代数变形的基本技巧包括合并同类项、分配律、因式分解、配方法、移项、等价变形等。

这些基本技巧在代数变形中经常被使用到，它们是进行变形的重要手段。

6. 代数变形的应用举例代数变形在数学中有着广泛的应用。

比如在解决实际问题时，我们常常需要建立方程模型，并通过代数变形来解决问题；在微积分中，代数变形是求导和积分的基础；在抽象代数中，代数变形是分析和研究代数结构的重要工具；在线性代数中，代数变形是求解线性方程组和计算矩阵运算的基础。

7. 代数变形的重要性和必要性代数变形是数学中的一个重要概念，它在数学学科中有着广泛的应用。

通过代数变形，我们可以将复杂的数学问题简化，使其更易于处理和理解。

因此，代数变形是数学学习的重要组成部分，也是数学解题的重要方法。

综上所述，代数变形是数学中一个重要的基础概念，它通过数学运算和变形规则，使复杂的数学问题变得更易于处理。

高中代数变形规律总结高中代数是数学学科的重要组成部分，掌握代数变形规律对于提高学生的数学素养和解题能力具有重要意义。

本文将总结高中代数中的一些常见变形规律，以帮助学生更好地理解和应用代数知识。

一、等式的性质和变形等式是代数中最重要的概念之一，掌握等式的性质和变形规律是解决代数问题的关键。

等式的性质包括：等式的两边加上或减去同一个数，等式仍成立；等式的两边乘以或除以同一个非零数，等式仍成立。

基于这些性质，我们可以进行以下变形：1.移项：将等式的一边移到另一边，同时改变符号。

例如，从2x + 3 = 5中，我们可以得到2x = 2。

2.合并同类项：将等式中的同类项合并在一起。

例如，从2x + 3x = 5中，我们可以得到5x = 5。

3.提取公因数：从等式中提取公因数，简化表达式。

例如，从2x(x + 3) = 5中，我们可以得到2(x + 3) = 5。

二、不等式的性质和变形不等式是描述两个数之间大小关系的数学符号。

不等式的性质包括：不等式的两边加上或减去同一个数，不等式仍然成立；不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等式仍然成立；不等式的两边乘以或除以同一个负数，不等式反向。

基于这些性质，我们可以进行以下变形：1.移项：将不等式的一边移到另一边，同时改变不等号的方向。

例如，从2x > 3中，我们可以得到2x - 3 > 0。

2.合并同类项：将不等式中的同类项合并在一起。

例如，从2x > 3x + 1中，我们可以得到-x > 1。

3.提取公因数：从不等式中提取公因数，简化表达式。

例如，从2x(x + 3) >5中，我们可以得到2(x + 3) > 5。

三、指数和幂的变形指数和幂是代数中的重要概念，掌握它们的变形规律对于解决复杂问题具有重要意义。

指数的变形包括：指数的乘法法则、指数的除法法则、指数的乘方法则等。

幂的变形包括：幂的乘法法则、幂的除法法则、幂的乘方法则等。

代数变形常用技巧及其应用代数变形常用技巧及其应用摘要代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用．关键词：代数变形换元法直接法公式法分解组合思想待定系数法The common skills and application of the algebradistortionAbstractThe algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve.This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects： The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skill’s uses in the fraction, inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on.Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method一、绪论所谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，使原问题得以解决．一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，不能让变形改变了题意．在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识内容，否则就会使原问题“改头换面”，得到错误结果．实施代数变形，要把握几个主要因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；第三：题设中的内在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，是决策变形思维的关键．二、换元法及其应用（一）换元法的定义换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法．我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，进而解决问题． （二）换元法的应用1．应用于三角中例[]11 求证x x x xx 2cos 42sin 1tan 22cos 42sin 3+=--． 证明 令 t x =tan ，则左边＝()()()2222221421214641211416tt t t t t t t t t t ++=-+-+=-+--+， 右边＝2221421412tt t t t ++=+++＝左边， 所以原恒等式成立2．应用于分式不等式中例[]22 试证对满足10x >，20x >，21110x y z ->，22220x y z ->的所有实数1x ，2x ，1y ，2y ，1z ，2z ，有不等式：()()()222221112212121118z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++，并求出等号成立的充要条件．证明 设02111>-=z y x a ，02222>-=z y x b ，则2111z a y x +=，2222z b y x +=， 所以()()()2122212212211122121212z z z z y x y x y x y x z z y y x x ---+++=+-++()22221112221122b a z x x z x x x b x x a x ab b a +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=，因此()()()()22222111222121211111288z y x z y x b a abba z z y y x x -+-=+≤≤+≤+-++即()()()222221112212121118z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++，且当且仅当212121,,z z y y x x ===等号成立．3．在方程组中的应用例[]33 已知方程组(1)， 求1000x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=11112004200321200443212004321200421x x x x x x x x x x x x x x x x(1) 解 由第一个方程可知()2004,,2,10 =≠i x i ，设()2003,,2,121 ==i x x x p i i 用i p 去乘第1+i 个方程，两边得()2003.,2,112 ==-i p p i i ， 所以有251+-=i p ， 又因为99910001000p p x =所以5151515111000-++-=或或x ．三、直接法及其应用利用数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，这是代数变形的最基本，最基础的方法．熟练掌握这些基本知识是进行代数变形的基础和依据，是必要的前提和准备．（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入 例[]44 (1) 已知c yz zb x z y a z y x =+=+=+,,，且0≠++z y x ， 求cc b b a a +++++111的值． (2) 已知a b a b a b b a 156523-=-=，求222232654b ab a b ab a +-+-的值． 解 (1) 由已知 zy zy x z y x a +++=++=+11， 所以zy x xa a ++=+1， 同理可得到zy x z c c z y x y b b ++=+++=+1,1， 1111=++++=++++++++=+++++zy x z y x z y x z z y x y z y x x c c b b a a 所以．(2) 由已知条件知0,0≠≠b a ，把已知条件中的等式变形并利用等比性质消去b ，得：()()1313175307515615251567530157525==+-+-++=-=-=aaa b a b b a b a a b a b a b b a ， 因此b a 3=，所以()()29627332363534222222==+⋅⨯-+⋅⨯-=bb b b b b b b b b 原式． （二）在不等式中的应用例5 设()n i a i ,2,110=<<，且a a a a n =+++ 21 求证：an naa a a a a a n n -≥-++-+-1112211 ()不等式Shopiro ． 证明 因为()n i a a a ii i ,2,11111=--=-， 所以，原不等式变形为an nan a a a a a a a a a n n n -≥--+-+-=-+-+-111111********* ， 即an n a a a n -≥-+-+-221111111 ， 由算术平均≥调和平均，可得下式成立：()()()an n a a a n a a a n n -=-+-+-≥-+-+-221221111111111 ． 所以所求的原不等式成立． （三）在求极限中的应用例[]56 求数列极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭．解 先求函数极限211lim 1x x x x →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭()1∞型，对数后的极限为：211lim ln 1x x x x →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭()22ln 1ln lim1x x x x x→∞++-=222lim 11x x x x x →∞+==++， 所以由归结原则可得：211lim 1n n n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭211lim 1xx x x →∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭e =． （四）在求导中的应用例7 设 ()()()()1231525424x x y x x +-=++()4x >，求y '．解 先对函数式取对数得y ln ()()()()112ln 5ln 45ln 2ln 432x x x x =++--+-+，再对上式两边分别求导数，得()()()()2151534224y y x x x x '=+--+-++， 整理后得到()()()()()()()()12315254215153422424x x y x x x x x x ⎛⎫+-'=+-- ⎪ ⎪+-++⎝⎭++．四、数学公式法及其应用公式变形不仅仅是公式的基本形态的功能拓宽，而且在变形过程中，可以充分体现数学思想和观点，数学公式的转化和简化功能，更能深层次地理解公式的本质，有利于培养思维能力，创新意识．运用数学公式解决数学问题时，首先要对所学过的公式进行熟练掌握，这是基本的，首要的知识点，在此基础上才能灵活变形使用．（一）完全平方公式的变形及应用由完全平方公式 ()2222b ab a b a +±=±，我们可以进行恒等变形为：(1)()()ab b a ab b a b a 222222+-=-+=+；(2)()()[]22222241⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--+=b a b a b a b a ab ；(3)()()()22222b a b a b a +=-++．上述几个恒等式十分重要，在解数学题时，若能灵活应用，往往能避繁就简，收到奇效，现举例说明．例[]68 化简()().1263163222+-++-++解 原式()()[]()()[]2212631263--++-++=2824+=．（二）三角公式变形及其应用在三角恒等变形中，熟悉公式的变化形式，既要学会顺用，又要学会逆用，还要会变用．例9 求证：()()()()()()x z z y y x x z z y y x -⋅-⋅-=-+-++tan tan tan tan tan tan ． 证明 左边()()()()[]x z z y x z z y y x ----+-+-=tan tan 1tan tan()()()()[]x z z y y x y x ------=tan tan 1tan tan ()()()x z z y y x -⋅-⋅-=tan tan tan 右边=（三）行列式变形及其应用学习行列式的时候，我们学习了范德蒙德行列式，并以公式的形式把它加以利用，利用范德蒙德行列式计算或证明行列式时，应根据反德蒙德行列式的特点，将所给的行列式化为范德蒙德行列式，然后根据范德蒙德行列式计算出结果．例[]710 计算1n +阶行列式()()()()1111111111nnn n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解 此式不是范德蒙德行列式．将第1n +行，第n 行，，第2行分别向上和相邻行交换n 次，1n -次，，1次，共交换了()12n n +次，得 ()()()()()()nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D -------=---++1111111111211由1n +阶范德蒙德行列式的计算公式得()()()()[]∏≥>≥++++--+--=11211111j i n n n n j a i a D ()j i i i n -=∏≥≥≥+11．五、分解组合思想及其应用将分解和组合的思想用于代数变形，其方法灵活多变，而且技巧性强，具体有“凑、配、添、拆”等实际做法． （一）配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式．通过配方法解决数学问题的方法叫配方法．其中用的最多的是配成完全平方式．1． 应用于解方程和因式分解中一般在解析式的变化过程中，使用公式()2222a ab b a b ±+=±，可使其呈现某一式的完全平方．但在解答问题时，给定的多项式往往不是完全平方式，需要适当配项，使之成为完全平方式，于此同时方可发现隐含条件．例11 设111x y x y -=+，求y xx y+的值．解 因为111x y x y -=+，所以 1y xx y+=， 又因为5422=⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y xx y y x x y y x x y ， 所以5±=+yxx y ． 2．应用于二次型中例[]812 用配方法将下列二次型化为标准型()31212221321222,,x x x x x x x x x f -++=．解 二次型可化为31212221222x x x x x x f -++=()()2322223212x x x x x x --+-+=，令 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-+=323223211x x y x y x x x y ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=32322211yy x y x y y x ，则有f 的标准型为2322212y y y f -+=． 3．用配方法证明柯西不等式例[]913 (柯西不等式)设i a ，i b ，()1,2,,i n =，那么()()2222112212n n n a b a b a b a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()22212n b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，当且仅当11b a λ=，12b a λ=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，n n b a λ=时不等式取等号．证明 当22212n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=0，即2120n a a a ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅==时，不等式成立； 当22212n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≠0时，作二次函数()()()()2222222121122122n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()()()()()2222222211111120n n n n n n f x a x a b x b a x a b x b a x b a x b =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≥当且仅当011=+==+n n b x a b x a 即11,n n b xa b xa =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-时等号成立， 因为20ax bx c ++≥()0a >的充要条件是240b ac ∆=-≤， 所以()211222n n a b a b a b ∆=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()222124n a a a -++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()22212n b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0≤，化简整理得()()()222222211221212n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，在前面等式中令x -=λ，当且仅当11a b λ=，22a b λ=，n n a b λ=, 时不等式取等号．（二）拆项法将某一式拆为另外两式之和或差的形式，从而化繁为简，化难为易． 1．应用于数列求和 例14 计算()11111223341n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+． 解 由()11111n n n n =-++，原式=11111223⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111n n ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭1111n n n =-=++． 2．应用于计算行列式例15 计算n 阶行列式123123123123n n n nx a a a a a x a a a a a x a a a a a x a ++++解 按最后一列拆项得n D 123123123123000x a a a a x a a a a x a a a a x++=+123123123123n n n nx a a a a a x a a a a a x a a a a a a ++++ 等号右边第一个行列式按最后一列展开，第二个行列式最后一列提出n a 后，第i 列减去最后一列的i a 倍()1,21i n =-，即得10010010010001n n n x x D xD a x-=+11n n n xD a x --=+ ()2121n n n n nx xD a xa x----=++11nn n i i x xa -===+∑．（三）加“0”乘“1”法1．加“0”例[]1016 在等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，110a b =>，220a b =>，求证：当 3n ≥时，n n a b <．证明 1211n n b b b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭1211n a a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭121111n a a a a a -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭121111n a a a a -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=--- 21122111211011a a a c a a a c c a n n n >1a ()21111a a n a ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦=n a ．2．乘“1”例17 设,,a b c R +∈． 证明1⋅+=b a c 12++≥cb a =2ca b c ++， 同理≥2a a b c ++≥2ba b c++， 所以有≥()2a b c a b c ++++=2， 又上述三个不等式中“=”不能同时成立故． 3．应用于计算行列式 例18 计算n 阶行列式211122222111111111nnnn nnx x x x x x D x x x ++++++=+++解 将行列式加边升阶为2111222221000111111111111n nn n nnx x x D x x x x x x +++=++++++n nnnnnx x x x x x x x x2222212111111111---=nnn nnn x x x x x x x x x222221211111002=n nnn nnx x x x x x x x x2222212111111111----+()112nij i i i j nx x x =≤<≤=-∏∏()()()()()()11111112222211000111111111111n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ----------+---()()()()1111211nniji j ji i i j nj i j nx xx x xx =≤<≤=≤<≤=-+---∏∏∏∏()()11121n n j i i j i j n i j x x x x ≤<≤==⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∏∏∏．六、待定系数法及其应用（一）待定系数法在解数学问题中，若先判断所求结果具有某种特定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种接替方法称为待定系数法． （二）应用1．在有理分式分解中的应用例19 对4325432249105248x x x x x x x x x -++-+--+-作部分分式分解．解 令()4325432249105248x x x x Q x x x x x x -++-=+--+-， 分母54325248x x x x x +--+-可写为几个因式乘积的形式 即：()R x =54325248x x x x x +--+-()()()22221x x x x =-+-+，则部分分式分解的待定形式为：()()()()()012222212A A A Bx CQ x x x x x x +=+++-+-++， 用()R x 乘以上式两边，得一恒等式43224910x x x x -++-()()22021A x x x ≡+-+()()()()()221222121A x x x x A x x x +-+-++--+()()()222Bx C x x ++-+，然后是等式两边同幂项系数相等，得到现行方程组： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++108244948344243312322102121021010C A A A C B A A C B A A A C B A A A B A A 求出它的解：01A =，12A =，21A =-，1B =-，C=1，并代入()1式所以原式的部分分式分解为4325432249105248x x x x x x x x x -++-+--+-()()()()2212112212x x x x x x -=+---+-++．2．在求取值范围中的应用例[]1120 已知821≤-+≤-z y x ，92≤+-≤z y x ，723≤-+≤-z y x ，求证：472576≤-+≤-z y x ．证明 令 ()()()z y x z y x C z y x B z y x A 25722-+=-+++-+-+， 比较两边的对应系数，得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=++25272C B A C B A C B A ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒321C B A由于821≤-+≤-z y x ，92≤+-≤z y x ，723≤-+≤-z y x ，所以有472576≤-+≤-z y x ．3．在数列求和中的应用 例[]1221 求()()211543143213211++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=n n n S n ． 解 设()()21211++++=++n Cn B n A n n n ，比较两边对应项的系数，可得21,1,21=-==C B A ， 故()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++2112121211n n n n n n ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2112141322131221121n n n S n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=214131123222121121n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+++-=21112121n n ．4．在极限中的应用例[]1322 若()843lim =+∞→n n n b a ，()16lim =-∞→n n n b a ，求()n n n b a +∞→3lim ．解 设()()()()n n n n n n n n b B A a B A b a B b a A b a -++=-++=+4636433， 比较系数得⎩⎨⎧=-=+14363B A B A 解得31,31==B A ， 所以 ()()()331386lim 3143lim 313lim =+=-++=+∞→∞→∞→n n n n n n n n n b a b a b a ．代数变形的常用技巧还很多，如整体化思想，分离变量等．结束语本文主要浅谈了代数变形的一些方法和技巧以及其在分式、不等式、极限、求导、三角、方程等方面的应用，为解决相关数学问题指引了方向，点明了思路，这些方法和技巧各自具有优点和局限性，它们之间也无绝对界限，一道题有时可施加多种变形．我们在应用代数变形的方法去解决数学问题时，不一定非要严格遵循某一个统一的模式，需要依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，从中进行一番思考与选择，寻求有利于问题解决得最佳变换途径和方法．致谢本论文是在我的导师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．从课题的选择到项目的最终完成，导师都始终给予我细心的指导和不懈的支持．长期以来，在此谨向导师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．而且，我还要感谢潍坊继续教育学院数学与信息科学系的各位老师，是他们的传道、授业、解惑和辛勤工作让我们学到专业知识和如何求知治学．感谢学校提供了良好的学习环境．最后，我还要感谢我的家人，谢谢他们一直以来对我的关心和支持，同时，也向所有帮助我，关心我的朋友和同学表示最诚挚的感谢，谢谢他们的支持和帮助．参考文献[1]张钟宜．略谈三角恒等变形的技巧和方法[J]．数理化学习（高中版）．[2]陆如龙．戴志祥．证明分式不等式的变形技巧．［Ｊ］．河北理科教学研究．2003（1）．[3]丁胜．应用恒等变形解决数学问题[J]．成都纺织高等专科学校学报．2005（4）．[4]Reston．V．A．National of teacher of mathematics curriculum and evaluation standardsfor school 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