第3章 区间估计和假设检验

简述假设检验与区间估计之间的关系统计学原理一、简介假设检验与区间估计是统计学中两个重要的概念，它们都是基于样本数据对总体参数进行推断的方法。

假设检验主要用于判断总体参数是否符合某种特定假设，而区间估计则用于对总体参数进行范围性的估计。

本文将从统计学原理角度出发，详细介绍假设检验与区间估计之间的关系。

二、假设检验1. 假设检验的基本思想在进行假设检验时，我们首先要提出一个关于总体参数的假设（称为原假设），然后根据样本数据来判断这个假设是否成立。

具体来说，我们会根据样本数据计算出一个统计量（如t值、F值等），然后通过比较这个统计量与某个临界值（也称为拒绝域）来决定是否拒绝原假设。

2. 假设检验中的错误类型在进行假设检验时，有可能会犯两种错误：一种是将一个正确的原假设错误地拒绝了（称为第一类错误），另一种是将一个错误的原假设错误地接受了（称为第二类错误）。

通常情况下，我们会将第一类错误的概率控制在一个较小的水平（如0.05或0.01），这个水平被称为显著性水平。

3. 假设检验的步骤进行假设检验时，通常需要按照以下步骤进行：（1）提出原假设和备择假设；（2）选择适当的检验统计量，并计算出样本数据所对应的值；（3）确定显著性水平，并找到相应的拒绝域；（4）比较样本统计量与拒绝域，得出结论。

三、区间估计1. 区间估计的基本思想在进行区间估计时，我们会根据样本数据来构建一个区间，这个区间包含了总体参数真值的可能范围。

具体来说，我们会根据样本数据计算出一个点估计量（如样本均值、比例等），然后根据中心极限定理和大数定律等原理来构建置信区间。

2. 区间估计中的置信度在进行区间估计时，我们通常会给出一个置信度，表示该区间包含总体参数真值的概率。

例如，如果我们给出了一个95%置信度，则意味着在大量重复实验中，有95%的置信区间都会包含总体参数真值。

3. 区间估计的步骤进行区间估计时，通常需要按照以下步骤进行：（1）选择适当的点估计量，并计算出样本数据所对应的值；（2）确定置信度，并找到相应的置信区间；（3）解释置信区间的含义，得出结论。

区间估计与假设检验的联系与区别讲义资料
区间估计与假设检验是统计推断的两种常见方法。

它们虽然都属于推断统计，但也有明显的不同之处。

区间估计的主要目的是估计总体参数的值，也可以称作参数估计。

根据样本信息，我们可以得出一个可能的参数值范围，也就是置信区间，从而得到一个可靠的估计区间。

估计是不断变化的，每一次统计分析给出的参数估计值都可能有所变化，从而慢慢趋近真实值。

假设检验即“判断”，是统计学中比较常用的检验方法，目的是确定两个总体之间的差异是由随机因素造成的，还是由特定的因素（如环境因素）造成的。

假设检验涉及两个立场：备择假设和原假设。

假设检验的结果由抽样分布决定，不同的抽样分布对应不同的结论，比如有抽样分布下假设检验结果可能是拒绝备择假设，也可能是接受备择假设。

从概念上讲，区间估计技术计算的是一个参数的值的估计，而假设检验是用于检查参数的方法，它只检验两个总体是否具有显著的性质差异，而不会真正测量它们的差异。

总的来说，区间估计通过单组数据范围尽可能准确地估计参数的取值范围，而假设检验则是针对任何特定统计主题，利用数据样本来检验其是否与假设相符。

两者都具有自己的优点和不足，可以结合使用来为抽样荟萃而得出结论，从而更准确地了解样本的真实情况。

数理统计中的参数估计与置信区间估计及假设检验与拟合优度检验数理统计是一门研究如何利用数据对未知参数进行估计和进行推断的学科。

本文将介绍数理统计中的参数估计与置信区间估计，以及假设检验与拟合优度检验的基本概念和相关方法。

一、参数估计与置信区间估计在数理统计中，参数是描述总体特征的量，例如总体均值、总体方差等。

参数估计就是利用样本统计量对总体参数进行估计。

常用的参数估计方法有最大似然估计和矩估计。

最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是选择参数值使得观测到的样本出现的概率最大化。

假设总体服从某个分布，最大似然估计通过优化似然函数来估计参数。

最大似然估计具有良好的性质，例如渐近正态性和无偏性等。

矩估计是另一种常用的参数估计方法，其基本思想是利用样本矩与总体矩的对应关系来估计参数。

例如，样本均值可以用来估计总体均值，样本矩可以通过总体矩的方法进行计算得到。

矩估计具有较好的渐近正态性和无偏性。

参数估计的结果往往带有一定的不确定性，为了评估估计结果的准确性，常使用置信区间估计。

置信区间估计是指通过样本数据得到的区间，该区间包含了未知参数的真值的概率。

常见的置信区间估计方法有正态分布的置信区间估计和大样本下的置信区间估计。

二、假设检验在数理统计中，假设检验是一种推断方法，用于检验总体参数的假设是否成立。

假设检验的基本思想是通过样本数据来判断假设是否得到支持。

常用的假设检验方法有正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验和两样本均值的假设检验等。

假设检验包括建立原假设和备择假设，选择适当的检验统计量，并设定显著性水平，进行统计推断。

结果的判断依据是计算得到的检验统计量是否落在拒绝域内。

如果检验统计量落在拒绝域内，拒绝原假设，否则接受原假设。

假设检验的结果可以提供统计学上的证据，用于决策和推断。

三、拟合优度检验拟合优度检验是一种用于检验总体数据是否符合某个特定分布的方法。

在数理统计中，拟合优度检验常用于检验样本数据与给定的分布是否相符。

假设检验与区间估计的关系假设检验和区间估计是统计学中两个重要的概念和方法。

它们在数据分析和推断中经常被使用，并且有密切的关联。

假设检验假设检验是统计学中一种通过样本数据对总体参数进行推断的方法。

它的基本思想是，我们根据样本数据得到的统计量，与我们对总体参数的假设进行比较，从而判断这个假设是否合理。

在假设检验中，我们通常会提出一个原假设（null hypothesis）和一个备择假设（alternative hypothesis）。

原假设是我们要进行推断的对象，备择假设则是原假设不成立时所代表的情况。

然后，我们根据样本数据计算得到一个统计量，并且利用该统计量对原假设进行检验。

这个统计量通常会服从某种已知或近似已知的概率分布。

最后，根据统计量在概率分布中所处位置的概率来决定是否拒绝原假设。

如果这个概率非常小（小于显著性水平），则我们有充分的证据拒绝原假设；反之，如果这个概率较大，则我们没有充分的证据拒绝原假设。

总结一下，假设检验的步骤如下：1.提出原假设和备择假设；2.根据样本数据计算得到一个统计量；3.假设这个统计量服从某种概率分布；4.利用概率分布来计算统计量在概率分布中所处位置的概率；5.根据这个概率来决定是否拒绝原假设。

区间估计区间估计是统计学中一种通过样本数据对总体参数进行估计的方法。

它的基本思想是，我们根据样本数据得到的统计量，以及该统计量的抽样分布特性，构建一个区间，这个区间可以包含真实总体参数的真值。

在区间估计中，我们通常会选择一个置信水平（confidence level），表示我们对该区间包含真实总体参数的程度的置信程度。

常用的置信水平有95%和99%。

然后，我们根据样本数据计算得到一个统计量，并且利用该统计量和抽样分布特性来构建一个置信区间。

这个置信区间具有以下特点：如果我们重复使用相同方法对不同样本进行估计，那么约有95%（或99%）的置信区间会包含真实总体参数的真值。

最后，我们根据置信区间来进行参数估计。

Minitab区间估计和假设检验区间估计和假设检验Minitab利用样本的信息对总体的特征进行统计推断。

通常包括两方面：一类是进行估计，包括参数估计、分布函数的估计以及密度函数的估计等；另一类是进行检验。

主要介绍利用Minitab 对正态总体参数进行区间估计和假设检验，其次再来介绍对观测数据的正态性进行检验，最后介绍一些常用的非参数检验方法本章目录Minitab假设检验是从样本特征出发去判断关于总体分布的某种“看法”是否成立。

一般步骤为:(1)根据问题提出一个原假设H0和备择假设H1 (2)构造一个统计量T,其抽样分布不依赖任何参数(3)计算概率值p P{统计量T超过T ( x1 , x 2 ,..., x n ) | H 0 ) (4)判断：若p ,则拒绝原假设H0,否则接受H1。

本章目录Minitab单正态总体的参数的假设检验条件H 0 : H1检验统计量拒绝H00 : 0p P{U U ( x1 , x 2 ,..., x n )} U X 02已知0 : 0np P{| U | | U ( x1 , x 2 ,..., x n ) |}0 : 0 0 : 0 0 : 0 0 : 0t X 0 s np P{U U ( x1 , x 2 ,..., x n )} p P{t n 1 t ( x1 , x 2 ,..., x n )}2未知p P{| t n 1 | | t ( x1 , x 2 ,..., x n ) |} p P{t n 1 t ( x1 , x 2 ,..., x n )} 本章目录Minitab单正态总体的参数的假设检验条件H 0 : H1 2 20 : 2 20 2 2 0检验统计量拒绝H0未知p P{ 2 n 1 2 ( x1 , x 2 ,..., x n )}: 22 02( n 1) s 220p P{ 2 n 1 2 ( x1 , x 2 ,..., x n )} 2 或p P{ 2 n 1 2 ( x1 , x 2 ,..., x n )} 22 20 : 2 20p P{ 2 n 1 2 ( x1 , x 2 ,..., x n )}本章目录Minitab两正态总体的参数的假设检验条件H 0 : H1检验统计量拒绝H0211 2 : 1 2 1 2 : 1 2 1 2 : 1 2UX Yp P{U U ( x1 ,..., xn1 ; y1 ,..., y n2 )} p P{| U | | U (x1 ,..., xn1 ; y1 ,..., yn2 ) |} p P{U U ( x1 ,..., xn1 ; y1 ,..., y n2 )}22已知21 2 2 n1 n 2本章目录Minitab两正态总体的参数的假设检验条件H 0 : H1检验统计量拒绝H021 22未知但相等1 2 : 1 2 1 2 : 1 2 1 2 : 1 2t Sw X Y 1 n1 1 n2p P{t n1 n2 2 t ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 )} p P{| t n1 n2 2 | | t ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 ) |}p P{t n1 n2 2 t ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 )}其中S w( n1 1) s 2 x ( n 2 1) s 2 y n1 n 2 2s2x s2 y ) ,l ( n1 n2(s2x n1 ( n1 1)2s2 y n2 ( n2 1)2)本章目录Minitab两正态总体的参数的假设检验条件H 0 : H1检验统计量拒绝H021 22未知且不相等1 2 : 1 2 1 2 : 1 2 1 2 : 1 2t* X Y s2x s2y n1 n 2p P{t l t * ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 )}p P{| t l | | t * ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 ) |} p P{t l t * ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 )}本章目录Minitab两正态总体的参数的假设检验条件H 0 : H1检验统计量拒绝H021 2 2 : 21 2 2p P{ Fn1 1, n2 1 F ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 )}121 2 2 : 21 2 2F s2 xp P{Fn1 1, n2 1 F ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 )} 2 或p P{Fn1 1, n2 1 F ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n 2 )} 22未知s2y21 2 2 : 21 2 2p P{ Fn1 1, n2 1 F ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 )} 本章目录Minitab参数的置信区间待估参数置信下限置信上限备注2已知X u / nX u / n22单个子样2X t n 1 ( ) s / n 2X t n 1 ( ) s / n 22未知(Xi 1ni)2(Xi 1ni)2已知2 n(1 2 )2n ( ) 2( n 1) s 2 ( n 1) s 2未知2 n 1 ( ) 22 n 1 (1 ) 2本章目录Minitab待估参数置信下限置信上限备注(Y X ) u 221 n1n222(Y X ) u 221 n1n2221 , 22已知2两个子样1 2(Y X ) t n1 n 2 2 ( 2 ) ( n1 1) s 2 x ( n2 ) s 2 y n1n2 (n1 n2 2) / n1 n2(Y X ) t n1 n 2 2 ( 2 ) ( n1 1) s 2 x ( n2 ) s 2 y n1n2 (n1 n2 2) / n1 n221 , 2 2未知1 222s2 xs2 x2 1 , 2未知2s 2 y Fn1 1, n2 1 ( ) 2s 2 y Fn1 1, n2 1 (1 ) 2本章目录Minitab 的假设检验区分单样本1 ― Sample Z (知道标准偏差时) 1― Sample t (不知道标准偏差时)Minitab两个样本2 ― Sample t Paired t (对应数据)多个样本平均值(正态分布)ANOVA比率分散1 ―Proportion2 ―Proportions Stat Basic Statistics Display Descriptive 2 ―Variances StatisticsChi ―squar e Test Stat ANOVA Test for Equal Variance- 显著性水平: 犯第一种错误的最大概率- P-Value : 观察值大于计算值的概率- 拒绝域: 驳回原假设的区域- 两侧检验: 拒绝域存在于两端的检验- 单侧检验: 拒绝域存在于分布一端时的检验1-Sample Z 知道标准偏差时的总体平均数估计和检验检验总体均值是否与已知的相等MinitabEXH_STAT.MTWVariables : 选定要分析的列变量Confidence interval :指定计算置信度Test mean : 检验对象值(检验时指定) Alternative : 设定备择假设Sigma : 输入标准偏差p 值比显著性水平小时驳回原假设mu : 原假设, mu not : 对立(备择)假设Test mean 指定的情况结果解释: p值比留意水准小故驳回归属假设, 即母平均不等于5。

实验二、区间估计与假设检验实验（验证性实验）1、实验目的掌握正态总体的均值，方差的区间估计与假设检验以及非参数检验。

2、实验要求及学时：实验形式（个人）；实验学时数4。

3、实验环境及材料（使用的软件系统、实验设备、主要仪器、材料等）。

装有版本为8.1以上的SAS系统的个人电脑（每人一台）。

4、实验内容用SAS软件进行正态总体的均值，方差的区间估计与假设检验以及非参数检验。

5、实验方法和操作步骤1）生成数据data zt;retain _seed_ 0;mu1=0;mu2=2;sigma1=1;sigma2=4;do _i_=1to1000;normal1=mu1+sigma1*rannor(_seed_);normal2=mu2+sigma2*rannor(_seed_);output;end;drop _seed_ _i_ mu1 sigma1 mu2 sigma2;run;这个步骤用rannor函数生成两个正态分布的变量保存在数据表zt中。

2）运用univariate过程作正态性检验。

proc univariate data=zt normal;var normal1 normal2;histogram normal1 normal2;probplot normal1 normal2;/*正态性假设检验*/run;这步的结果如下：表2-1：normal1的正态性检验结果图2-1：normal1的直方图图2-2：normal1的QQ图分析: 表2-1中的p-value都是大于0.05的,从检验的数量结果显示变量normal1是服从正态分布的,从直方图和QQ图我们也可以看到,直方图是对称的，而QQ图也是一条直线。

在程序的结果中还会相应的给出normal2的检验结果。

3）用ttest过程对变量normal1均值假设检验（0:0Hμ=）。

proc ttest data=zt h0=0alpha=0.01;/*总体均值的假设检验*/ var normal1;run;这步的结果如下：表2-2：normal1均值的假设检验分析: 表2-2中的p-value等于0.5312，远大于0.05的,从检验的数量结果显示变量normal1μ=是被接受的。

第7章 假设检验和区间估计7.1 内容框图7.2 基本要求（1） 理解假设检验的基本思想及两类错误的含义.（2） 掌握有关正态总体参数的假设检验的基本步骤和方法. （3） 理解单侧检验与双侧检验的异同.（4） 理解并掌握正态总体参数区间估计的的基本方法. （5） 了解总体分布的检验和独立性检验的基本方法.7.3 内容概要1）假设检验下面把各种情形列一个表：∈U 接受域0W ，接受0H∈U 拒绝域1W ，拒绝0H0H 为真，1H 不真 正确 犯第一类错误0H 不真，1H 为真犯第二类错误正确α值为显著水平。

然后，根据显著水平 α来确定临界值，用临界值来划分接受域 0W 假设检验 区间估计参数检验 分布的检验正态总体参数的检验独立性检验和拒绝域 1W 。

这样的检验，称为显著性检验。

假设检验的一般步骤是： （1）提出原假设 0H ；（2）选取合适的检验统计量 U ，从样本求出 U 的值；（3）对于给定的显著水平α，查 U 的分布表，求出临界值，用它划分接受域 0W 和拒绝域 1W ，使得当 0H 为真时，有 α=∈}{1W U P ；（4）若 U 的值落在拒绝域 1W 中，就拒绝 0H ，若 U 的值落在接受域 0W 中，就接受 0H 。

假设检验的理论依据是所谓的小概率事件原理，即一个概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的.要检验一个根据实际问题提出的原假设0H 是否成立，如果已知在0H 成立时，某个事件发生的可能性很小，而试验的结果却是这个事件发生了，那么根据小概率事件原理，我们就可以认为所提出的这个假设0H 是不成立的，即拒绝0H ；反之，则接受0H .这里的原假设0H 可以根据实际问题提出，事件是否发生可根据试验观测值判断，因此假设检验的关键问题就是要确定在0H 成立时，发生可能性很小的某个事件.我们知道，正态分布有个3σ原则，即ξ若服从正态分布，那么ξ的取值会大多集中在其均值附近，落入两侧的可能性很小.事实上，当ξ服从t 分布，2x 分布，F 分布时，其取值落入两侧的可能性也都相对很小.因此，我们要确定0H 成立时一个发生可能性很小的事件，只需根据样本构造出服从正态分布，t 分布，2x 分布或F 分布的随机变量（统计量）就可以了. 根据上述分析，正态总体参数的假设检验可概括为如下步骤。

统计中的区间估计与假设检验统计学是一门应用广泛的学科，其中的区间估计与假设检验是统计学中常用的两种方法。

这两种方法在研究和实践中被广泛应用，用于推断总体参数、比较样本之间的差异以及验证科学假设的有效性。

本文将介绍统计中的区间估计与假设检验的概念、原理以及应用。

一、区间估计区间估计是基于样本数据推断总体参数的取值范围。

在统计学中，常常无法获得整个总体的完整数据，而只能通过抽取部分样本数据，利用样本数据来推断总体的特征。

区间估计给出了参数估计的下限和上限，以一定的置信水平表示。

一般而言，置信水平常用的有95%和99%。

在区间估计中，经常使用的方法有点估计法和区间估计法。

点估计法基于样本数据对总体参数进行点估计，即使用样本数据作为总体参数的估计值。

而区间估计法则给出一个区间范围，以包含总体参数真实值的可能性，而不仅仅是一个点估计的值。

区间估计的步骤可以总结为以下几个：1. 选择合适的抽样方法，获取样本数据；2. 根据样本数据计算参数的点估计值；3. 根据样本数据计算置信水平和抽样误差等；4. 根据置信水平和抽样误差计算置信区间。

二、假设检验假设检验是一种用于验证科学假设的统计方法。

在假设检验中，我们根据样本数据对总体参数或者总体分布是否满足某种假设进行判断。

假设检验通常包括原假设（H0）和备择假设（H1）两个假设。

原假设通常是关于总体参数的一个陈述，而备择假设则是关于总体参数的一个替代陈述。

我们根据样本数据的表现来判断原假设是否应该被拒绝，从而接受备择假设。

通常使用统计量和p值来进行假设检验。

假设检验的步骤可以总结为以下几个：1. 建立原假设和备择假设；2. 选择适当的假设检验方法；3. 设置显著性水平，通常为0.05或0.01；4. 根据样本数据计算统计量的值；5. 根据统计量的值和显著性水平，判断原假设是否应该被拒绝。

三、区间估计与假设检验的应用区间估计与假设检验在实际应用中有着广泛的领域。

比如，在医学研究中，我们可以利用区间估计来估计某种治疗方法的疗效范围；在市场调研中，我们可以利用假设检验来判断广告的效果是否显著。

区间估计与假设检验的分类总结区间估计和假设检验是统计推断的两个主要方法。

它们都是根据样本数据对总体参数进行推断，但是它们的目的和原理不同。

下面我将对区间估计和假设检验进行分类总结。

一、区间估计分类总结：区间估计是根据样本数据对总体参数进行估计，并给出估计结果的一个范围。

根据不同的参数和样本情况，区间估计可以分为以下几种类型：1.均值的区间估计：a.单个总体均值的区间估计：当总体标准差已知时，使用正态分布进行估计；当总体标准差未知时，使用t分布进行估计。

b.两个总体均值之差的区间估计：根据两个总体样本的样本均值和样本方差的差异，使用正态分布或t分布进行估计。

c.大样本均值的区间估计：对于大样本，总体均值的估计可以使用正态分布进行估计。

2.方差的区间估计：a.单个总体方差的区间估计：对于正态总体，使用卡方分布进行估计。

b.两个总体方差之比的区间估计：根据两个总体样本方差的比值，使用F分布进行估计。

c.大样本方差的区间估计：对于大样本，总体方差的估计可以使用卡方分布进行估计。

3.比例的区间估计：b.两个总体比例之差的区间估计：根据两个总体样本比例的差异，使用正态分布进行估计。

二、假设检验分类总结：假设检验是根据样本数据对总体参数的一些假设进行检验，并得出是否拒绝假设的结论。

根据不同的参数和样本情况，假设检验可以分为以下几种类型：1.均值的假设检验：a.单个总体均值的假设检验：当总体标准差已知时，使用正态分布进行检验；当总体标准差未知时，使用t分布进行检验。

b.两个总体均值之差的假设检验：根据两个总体样本的样本均值和样本方差的差异，使用正态分布或t分布进行检验。

c.大样本均值的假设检验：对于大样本，总体均值的检验可以使用正态分布进行检验。

2.方差的假设检验：a.单个总体方差的假设检验：对于正态总体，使用卡方分布进行检验。

b.两个总体方差之比的假设检验：根据两个总体样本方差的比值，使用F分布进行检验。

c.大样本方差的假设检验：对于大样本，总体方差的检验可以使用卡方分布进行检验。

区间估计与假设检验在统计学中，区间估计和假设检验是两个常用的推断方法，用于对总体参数进行估计和推断。

本文将对区间估计和假设检验进行介绍，并讨论它们的应用和差异。

一、区间估计区间估计是用样本数据来推断总体参数的取值范围。

它通过计算估计值以及与之相关的置信水平，给出一个参数的范围估计。

这个范围被称为置信区间。

置信区间常用于描述一个参数的不确定性。

例如，我们要估计某种药物的平均效果。

通过对随机抽取的样本进行实验，我们可以得到样本均值和标准差。

然后，结合样本容量和置信水平，可以计算出药物平均效果的置信区间。

例如，我们可以得出一个95%置信区间为(0.2, 0.6)，表示我们有95%的置信水平相信真实的平均效果在这个区间内。

二、假设检验假设检验是用于判断总体参数是否符合某种假设的统计方法。

假设检验通常分为两类：单样本假设检验和双样本假设检验。

1. 单样本假设检验单样本假设检验用于推断一个总体参数与某个特定值之间是否存在显著差异。

它包括以下步骤：（1）建立原假设（H0）和备择假设（H1），其中原假设是要进行检验的假设，备择假设是对原假设的补充或对立的假设。

（2）选择合适的显著性水平（α），表示我们接受原假设的程度。

（3）计算样本数据的检验统计量，例如t值或z值。

（4）根据显著性水平和检验统计量，判断是否拒绝原假设。

2. 双样本假设检验双样本假设检验用于比较两个总体参数之间是否存在显著差异。

常见的双样本假设检验包括独立样本t检验和配对样本t检验。

独立样本t检验用于比较两个独立样本的均值是否有差异，而配对样本t检验用于比较同一样本的两个相关变量的均值是否有差异。

三、区间估计与假设检验的差异区间估计和假设检验都是推断总体参数的方法，但它们的应用和目的略有不同。

区间估计主要关注参数的范围估计，给出了参数估计值的不确定性范围。

它强调了估计的稳定性和精确度，但不直接涉及参数的显著性判断。

因此，区间估计对于参数的精确度提供了一个相对准确的度量。