微积分作业(应用题6题)

微积分的应用专项练习60题(有答案)本文档包含60道微积分的应用专项练题目，每道题目均附有答案。

通过解答这些题目，您可以进一步巩固和应用微积分的知识，加深对微积分的理解。

以下是题目和答案的列表：1. 问题一（答案：A）2. 问题二（答案：B）3. 问题三（答案：C）4. 问题四（答案：D）5. 问题五（答案：A）6. 问题六（答案：B）7. 问题七（答案：C）8. 问题八（答案：D）9. 问题九（答案：A）10. 问题十（答案：B）11. 问题十一（答案：C）12. 问题十二（答案：D）13. 问题十三（答案：A）14. 问题十四（答案：B）15. 问题十五（答案：C）16. 问题十六（答案：D）17. 问题十七（答案：A）18. 问题十八（答案：B）19. 问题十九（答案：C）20. 问题二十（答案：D）21. 问题二十一（答案：A）22. 问题二十二（答案：B）23. 问题二十三（答案：C）24. 问题二十四（答案：D）25. 问题二十五（答案：A）26. 问题二十六（答案：B）27. 问题二十七（答案：C）28. 问题二十八（答案：D）29. 问题二十九（答案：A）30. 问题三十（答案：B）31. 问题三十一（答案：C）32. 问题三十二（答案：D）33. 问题三十三（答案：A）34. 问题三十四（答案：B）35. 问题三十五（答案：C）36. 问题三十六（答案：D）37. 问题三十七（答案：A）38. 问题三十八（答案：B）39. 问题三十九（答案：C）40. 问题四十（答案：D）41. 问题四十一（答案：A）42. 问题四十二（答案：B）43. 问题四十三（答案：C）44. 问题四十四（答案：D）45. 问题四十五（答案：A）46. 问题四十六（答案：B）47. 问题四十七（答案：C）48. 问题四十八（答案：D）49. 问题四十九（答案：A）50. 问题五十（答案：B）51. 问题五十一（答案：C）52. 问题五十二（答案：D）53. 问题五十三（答案：A）54. 问题五十四（答案：B）55. 问题五十五（答案：C）56. 问题五十六（答案：D）57. 问题五十七（答案：A）58. 问题五十八（答案：B）59. 问题五十九（答案：C）60. 问题六十（答案：D）这些题目的难度各不相同，涵盖了微积分应用的不同方面，包括导数、积分、微分方程等内容。

微积分练习题带答案微积分是数学的分支之一，它研究的是函数的变化规律。

在微积分中，经常会出现各种各样的练习题，这些练习题有助于我们加深对微积分概念和原理的理解。

在这篇文章中，我们将分享一些微积分练习题，并附带答案，希望对你的学习有所帮助。

1. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 5的导数。

答案：f'(x) = 6x^2 - 2x + 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导数。

答案：h'(x) = 2/x4. 求函数i(x) = ∫(0到x) t^2 dt的导数。

答案：i'(x) = x^25. 求函数j(x) = ∫(x到1) t^2 dt的导数。

答案：j'(x) = -x^26. 求函数k(x) = ∫(0到x) e^t * sin(t) dt的导数。

答案：k'(x) = e^x * sin(x)7. 求函数l(x) = e^(-x)的不定积分。

答案：∫ e^(-x) dx = -e^(-x) + C (C为常数)8. 求函数m(x) = 1/(x^2+1)的不定积分。

答案：∫ 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C (C为常数)9. 求函数n(x) = 2x * cos(x^2)的不定积分。

答案：∫ 2x * cos(x^2) dx = sin(x^2) + C (C为常数)10. 求函数o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt的原函数。

答案：o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt + C (C为常数)以上是一些微积分练习题及其答案。

通过解答这些题目，我们可以巩固对微积分概念和原理的理解，并提升解题能力。

微积分是应用广泛的数学工具，在物理、工程、经济等领域都有重要的应用，掌握微积分对于进一步深入学习这些领域十分必要。

微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。

在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。

下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。

答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。

答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。

答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。

答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

2. 求解微分方程dy/dx = e^x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。

3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。

答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。

综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e xx +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x 答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B（7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ． 答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f ．答案：x x x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e ()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21ex x y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．x e C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

基本微积分应用题微积分是数学的一个重要分支，是研究函数的变化趋势、变化速率以及求取曲线下面积的工具。

在实际生活中，微积分的应用十分广泛，涉及到各个领域。

本文将通过一些基本微积分应用题的解析，来展示微积分在实际问题中的应用。

1. 球体体积问题假设有一个半径为R的球体，求其体积。

球体的体积可以通过微积分来求解。

球的体积公式为V=4/3πR³，其中π为圆周率。

将此公式视为一个函数V(R)，可以对其进行微积分求解。

首先对R进行微分，得到dV/dR=4πR²，然后对该导数进行积分，得到V(R)=4/3πR³+C，其中C为常数。

根据球的半径为R的条件，可以求得常数C的值为0，最终得到球体的体积公式为V=4/3πR³。

2. 线段长度问题现有一条曲线上的线段，其曲线方程为y=f(x)，需要求该线段的长度。

线段的长度可以通过微积分中的弧长公式进行求解。

假设要计算曲线上从a点到b点的线段长度，可以利用微积分求解。

首先对该曲线方程进行微分，得到dy/dx=f'(x)，然后根据弧长公式∫√(1+(dy/dx)²)dx来进行积分，积分范围为a到b，即可求得线段的长度。

3. 曲线下面积问题给定曲线y=f(x)和x轴，需要求曲线在某一区间上的面积。

曲线下面积可以通过微积分中的定积分来计算。

将曲线与x轴围成的区域分割为若干个小矩形，每个小矩形的面积是高度乘以宽度，宽度可以看做无限小的dx，高度则是曲线上对应点的函数值f(x)。

将这些小矩形的面积相加，并在区间上进行累加，即可得到曲线在该区间上的面积。

通过以上基本微积分应用题的解析，我们可以看到微积分在实际问题中的广泛应用。

无论是求体积、计算长度还是求面积，微积分都能提供有效的解决方法，并为我们理解变化的规律提供了重要工具。

因此，掌握微积分知识对于解决实际问题具有重要意义。

愿本文的内容能帮助读者更好地理解微积分的应用及其重要性。

大学数学微积分的应用题目微积分是数学中的重要分支，它是研究变化与运动的学科。

微积分的基本思想是通过对函数的研究，求出函数在不同点上的导数和积分，进而揭示函数的变化规律及其与其他数学概念的关系。

在大学数学教育中，微积分是一门必修课程，它为学生提供了解决实际问题的数学工具。

下面，我们将通过一些应用题目来展示大学数学微积分的实际应用。

1. 速度和加速度的关系某辆汽车的位移函数为：$s(t) = 3t^2 + 2t + 1$（其中，位移单位为米，时间单位为秒）。

求该汽车在 $t=3$ 秒时的速度和加速度。

解析：速度可以通过位移函数的导数来求得，加速度可以通过速度函数的导数来求得。

首先，求位移函数关于时间的导函数：$v(t) = \frac{ds(t)}{dt} = 6t + 2$然后，求速度函数关于时间的导函数：$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = 6$因此，在 $t=3$ 秒时，该汽车的速度为 $v(3) = 6(3) + 2 = 20$ 米/秒，加速度为 $a(3) = 6$ 米/秒^2。

2. 面积计算某一曲线的函数为：$f(x) = x^2 + 2x$。

求曲线在 $x=2$ 至 $x=4$ 之间的面积。

解析：曲线的面积可以通过积分来求得。

首先，求曲线在 $x=2$ 至 $x=4$ 之间的定积分：$A = \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} (x^2 + 2x) \, dx$对 $f(x)$ 进行积分，得到：$A = \left[\frac{1}{3}x^3 + x^2\right]_{2}^{4} = \frac{1}{3}(4^3 +2^3) + (4^2 + 2^2) - \left(\frac{1}{3}(2^3) + (2^2)\right) = \frac{32}{3} + 20 - \frac{8}{3} - 4 = \frac{36}{3} + 16 = 12 + 16 = 28$因此，曲线在 $x=2$ 至 $x=4$ 之间的面积为 28 平方单位。

微积分试卷及答案【篇一：微积分试题和答案】s=txt>数学教研是：一、选择题(每题2分)1、设??x?定义域为（1,2），则??lgx?的定义域为（） a、（0,lg2）b、（0，lg2?c、（10,100）d、（1,2）x2?x2、x=-1是函数??x?=的（） 2xx?1a、跳跃间断点 b、可去间断点 c、无穷间断点 d、不是间断点 3、试求a、?4、若x?01b、0c、1d、? 4yx??1，求y?等于（） xya、x?2y2x?yy?2x2y?xb、c、d、2x?y2y?x2y?x2x?y2x的渐近线条数为（） 1?x2a、0b、1 c、2 6、下列函数中，那个不是映射（）5、曲线y?d、3a、y2?x (x?r?,y?r?)b、y2??x2?1c、y?x2d、y?lnx (x?0) 二、填空题（每题2分） 1、__________(n?)1x，则() fx的间断点为__________x??nx2?1fx)m?il2、、设（x2?bx?a?5，则此函数的最大值为__________ 3、已知常数 a、b,limx?11?x4、已知直线 y?6x?k是 y?3x2的切线，则 k?__________5、求曲线 xlny?y?2x?1，在点（，11）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）x2是有界函数( ) 1、函数y?21?x2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件( )3、若lim???，就说?是比?低阶的无穷小 ( ) ?4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( )5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点( ) 四、计算题（每题6分） 1、求函数 y?xsin1x的导数12、已知f(x)?xarctanx?ln(1?x2），求dy23、已知x2?2xy?y3?6，确定y是x的函数，求y?4、求limtanx?sinx2x?0xsinx5、计算 1(cosx)x 6、计算lim?x?0五、应用题1、设某企业在生产一种商品x件时的总收益为r（x)?100x?x2，总成本函数为c(x)?200?50x?x2，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分）12、描绘函数y?x2?的图形（12分）x六、证明题（每题6分）1f()?a 1、用极限的定义证明：设limf(x)?a,则limx???x?0?x2、证明方程xex?1在区间（0,1）内有且仅有一个实数一、选择题1、c2、c3、a4、b5、d6、b 二、填空题1、x?02、a?6,b??73、184、35、x?y?2?0 三、判断题 y??（x?（esin1x)?)?1sinlnxx1111???ecos(?2)lnx?sin??xxxx??1sin1111x?x(?2coslnx?sin)xxxx1sinlnxx2、dy?f?(x)dx112x?(arctanx?x?)dx221?x21?x?arctanxdx3、解：2x?2y?2xy??3y2y??02x?3y?y??22x?3y?y???4、解：2)2(2?3y?)(2x?3y2)?(2x?2y)(2?6yy?)(2x?3yx2?当x?0时，x?tanx?sinx,1?cosx?212xxtanx(1?cosx)1?原式=lim?lim3?2x?0x?0xsinxx25、解：令x?t6dx?6t5原式??（1?t2)t3t2?6?1?t2t2?1?1?6?1?t21?6?(1?)21?t?6t?6arctant?c??6arctan6、解：1?c原式?lime?x?0xlncosx?ex?0?lim1xlncosx其中：1lncosxx?0x2lncosx?lim x?0?x21(?sinx)?lim?x?02x?tanx1?lim??x?0?2x2lim??原式?e?12五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a，利润为l(x) l(x)?r(x)?c(x)?ax?100x?x2?(200?50x?x2)?ax??2x2?(50?a)x?200l?(x)??4x?50?a50?a令l?(x)?0,得x?,此时l(x)取得最大值4a(50?a)税收t=ax?41t??(50?2a)41令t??0得a?25t?????02?当a?25时，t取得最大值2、解：d????，0???0,???间断点为x?0y??2x?1x2令y??0则x?y???2?2x3令y???0则x??1渐进线：【篇二：微积分试卷及答案6套】>一. 填空题 (每空2分,共20分)x?1?an2?bn?5?2，则a =，b =。

应用题：1.设生产某种产品x 个单位时的成本函数为C(x)=100+0.25x 2 +6x (万元)求:(1)当x=10时的总成本、平均成本和边际成本;(2)当生量x 为多少时,平均成本最小?解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：C （X ）=100+0.25X 2+6X c (X)=X100 +0.25X+6,,C ' (X)=0.5X+6 所以C(10)=100+0.25×102+6×10=185c (10)= 10100+0.25×10+6=18.5C '(10)=0.5×10+6=11 (2)令'C =－2100X +0.25=0,得X=20(X=－20舍去) 因为X=20是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当X=20时,平均成本最小.2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p(q 为需求量,p 为价格).试求:(1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大?解：（1）成本函数C （q ）=60q+2000因为q=1000－10p,即p=100－101q 所以收入函数R （q ）=p ×q=(100－101q)q=100q －101 q2 （2）因为利润函数L(q)=R(q) －C(q)=(100q －101 q 2－(60q+2000) =40q －101 q 2－2000 且'L (q)=(40q －101 q 2－2000)’=40－0.2q 令'L (q)=0, 即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定义域内的唯一驻点.所以,q=200是利润函数L （q ）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。

3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数q=2000-4p,其中p 为价格,q 为产量,这种产品在市场上是畅销的试求:(1)价格为多少时利润最大? (2)最大利润是多少?1、 解：（1）C （p ）=50000+100q=50000+100(2000－4p)=250000－400pR(p)=pq=p(2000－4p)=2000p －4p 2利润函数L （p ）=R(p) －C(p)=2400P －4p 2－250000,且令'L (p)=2400－8p=0得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。

大一微积分期末考题
一、概念题
1.微积分的基本概念是什么？
2.请解释函数的导数和积分的概念。

3.什么是微分和积分运算？
4.请解释微积分中的极限概念。

二、计算题
1.已知函数f(x)=3x^2+2x-5，请计算f(x)的导数和不定积分。

2.计算函数g(x)=∫(3x^2+2x-5)dx。

3.已知函数h(x)=x^3，求函数h(x)的导数和不定积分。

4.如果已知函数f(x)的导数为f’(x)=2x+3，求函数f(x)本身。

三、证明题
1.请证明对于任意实数a，导数函数的导数等于原函数的二阶导数。

2.已知函数f(x)满足f’’(x)=0，证明函数f(x)为一次函数。

3.证明函数f(x)=e^x的导数为它本身。

4.请证明函数f(x)=sin(x)的导数为f’(x)=cos(x)。

四、应用题
1.铁丝制成的矩形围墙面积为A，围墙的长和宽相差d。

请计算出长和宽的值，使得围墙面积最大。

2.已知曲线y=x^2+2x+1在x=0处的切线方程为y=2x+1，求曲线方程所在点的曲率。

3.某人出发从A地骑自行车向B地，沿直线行驶。

已知该人的速度v(t)=5t+1，t为时间。

求该人从A骑到B所需的时间。

4.一球从地面以v0的速度竖直向上抛射，忽略空气阻力。

求该球从抛出到回落的过程中，其高度最高点的坐标。

以上为大一微积分期末考题，希望各位同学在复习时能够重点关注这些考点，并根据自己的实际情况进行准备。

祝各位同学考试顺利！。

物理竞赛微积分算法试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数 \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \) 的导数是：A. \( 2x + 3 \)B. \( x^2 + 3 \)C. \( 2x + 6 \)D. \( x + 2 \)2. 已知 \( g(t) = 5t^3 - 2t^2 + 7t \)，\( g(t) \) 在 \( t = 1 \) 处的切线斜率是：A. 18B. 20C. 22D. 243. 曲线 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x \) 与 \( x \) 轴所围成的图形的面积是：A. \( \frac{9}{4} \)B. \( \frac{27}{4} \)C. \( \frac{81}{4} \)D. \( \frac{243}{4} \)4. 函数 \( h(x) = e^x \) 的不定积分是：A. \( e^x + C \)B. \( x e^x + C \)C. \( \ln(x) + C \)D. \( \frac{1}{x} + C \)5. 已知 \( F(x) = \int_0^x (2t + 1) dt \)，则 \( F(x) \) 的表达式是：A. \( x^2 + x \)B. \( x^2 + 2x + 1 \)C. \( x^2 + x + 1 \)D. \( 2x^2 + x + 1 \)二、简答题（每题5分，共10分）1. 求函数 \( f(x) = \ln(x) \) 在区间 [1, e] 上的定积分，并解释其几何意义。

2. 给定一个物体在时间 \( t \) 内的位移函数 \( s(t) = 2t^3 - 5t^2 + 3t \)，求该物体在 \( t = 2 \) 秒时的速度和加速度。

三、计算题（每题10分，共20分）1. 某物体的加速度函数为 \( a(t) = 3t^2 - 4t + 1 \)，求该物体在 \( t \) 从 0 到 2 秒内的位移。

微积分练习题一、极限与连续(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(3) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x(1) f(x) = |x| 1，在x = 0处(2) f(x) = (x^2 1) / (x 1)，在x = 1处(3) f(x) = sqrt(x + 2) 2，在x = 1处二、导数与微分(1) f(x) = x^3 3x + 2(2) f(x) = e^x sin x(3) f(x) = ln(sqrt(1 + x^2))(1) f(x) = x^2 + 3x 5(2) f(x) = cos(2x)(3) f(x) = 1 / (1 x)三、高阶导数与微分方程(1) f(x) = x^4 2x^2 + 1(2) f(x) = e^x cos x(3) f(x) = ln(x^2 + 1)(1) y' = 2x + y(2) y'' 2y' + y = e^x(3) (1 + x^2) y'' + 2x y' = 0四、不定积分与定积分(1) ∫(x^2 + 1) dx(2) ∫(e^x x) dx(3) ∫(1 / (x^2 + 1)) dx(1) ∫_{0}^{1} (3x^2 2x + 1) dx(2) ∫_{π}^{π} (sin x) dx(3) ∫_{1}^{e} (1 / x) dx五、多元函数微分学(1) f(x, y) = x^2 + y^2(2) f(x, y) = e^(x + y) sin(x y)(3) f(x, y) = ln(x^2 + y^2)(1) f(x, y) = x^3 + y^3(2) f(x, y) = sin(x + y)(3) f(x, y) = sqrt(x^2 + y^2)六、重积分(1) ∬_D (x^2 + y^2) dxdy，其中D为圆心在原点，半径为1的圆(2) ∬_D (x y) dxdy，其中D为矩形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2(3) ∬_D (e^(x + y)) dxdy，其中D为三角形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ x(1) ∭_E (x^2 + y^2 + z^2) dxdydz，其中E为立方体区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1，0 ≤ z ≤ 1(2) ∭_E (xyz) dxdydz，其中E为长方体区域0 ≤ x ≤ 2，0 ≤ y ≤ 3，0 ≤ z ≤ 4七、级数(1) Σ (1/n^2)，n从1到∞(2) Σ (n/(n+1)^2)，n从1到∞(3) Σ ( (1)^n / n )，n从1到∞(1) Σ (x^n / n)，n从1到∞(2) Σ (n! x^n)，n从0到∞(3) Σ ( (n^2 + 1)^n x^n )，n从0到∞八、微分方程的应用(1) 物体在空气中自由下落，其速度v与时间t的关系，已知阻力与速度成正比。

(完整版)微积分应用题专题训练引言本文旨在为研究微积分的同学提供一份完整的微积分应用题专题训练材料。

通过解答这些应用题，您将能够加深对微积分概念的理解，并提升解决实际问题的能力。

训练内容1. 求函数极值：给出函数，要求求出其在指定区间上的极小值或极大值。

2. 求曲线与坐标轴的交点：给出一个函数曲线，要求求出它与坐标轴的交点。

3. 求函数的导数：给出一个函数，要求求出其导数。

4. 求函数的不定积分：给出一个函数，要求求出其不定积分。

5. 求定积分：给出一个函数和积分区间，要求求出其定积分值。

6. 利用微积分解决实际问题：给出一个实际问题，要求利用微积分的知识求解。

预备知识在进行本专题训练之前，建议您已经掌握以下微积分的基础知识：- 函数的求导法则- 函数的不定积分法则- 定积分的计算方法- 函数的极值和最值求解方法研究建议以下是一些建议，帮助您更好地利用本文提供的微积分应用题专题训练：1. 在解答每个问题之前，先仔细阅读问题并理解题意。

2. 对于需要求导的函数，熟练掌握常见函数的导函数表达式，可以简化计算过程。

3. 对于需要求不定积分的函数，注意使用适当的不定积分法则进行计算。

4. 对于需要求定积分的函数，根据题目给定的积分区间，正确设置积分上下限。

5. 在解决实际问题时，将问题转化为数学模型，并合理运用微积分知识去解决。

结语通过完成本文提供的微积分应用题专题训练，您将能够更加熟练地运用微积分知识解决实际问题，提升自己的解决问题的能力。

建议您在课外时间多进行练习，并及时反思自己的解题思路和方法，持续提升自己的学习效果。

微积分基础下载作业提交作业方式有以下三种，请务必与辅导教师沟通后选择：1. 将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．2. 在线提交word 文档．3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．一、计算题（每小题5分，共60分）⒈计算极限632lim 223----→x x x x x ．解： 632lim 223----→x x x x x ()()()()331lim32x x x x x →-+=-+314lim 25x x x →+==+2．计算极限2211lim 23x x x x →----．解：2211lim 23x x x x →----()()()()111lim 13x x x x x →-+-=+-11lim 3x x x →--=-2142-==-3.计算极限46lim 222----→x x x x ．解：46lim222----→x x x x ()()()()223lim 22x x x x x →-+-=+-23lim 2x x x →--=-54=4．设x x x y 4sin +=，求y d .解：()32sin 4y x x '⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭()123cos442x x x '=+4cos4x =+d 4cos4y y dx x dx ⎫'==⎪⎭ 5．设ln(1)1xy x x =+-+，求y d . 解：[]ln(1)1x y x x '⎛⎫''=+- ⎪+⎝⎭()()()2111(1)11x x x x x x x ''+-+'=+-++ ()21111x x =-++()21x x =+ y d ()21xy dx dx x '==+6.设1y x=+，求y d .解：(211y x x '''⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭21x =-yd 21y dx dx x ⎛⎫'==-⎪⎪⎭7.计算不定积分x x x d 2sin ⎰解：x x x d 2sin ⎰1dcos22x x =-⎰()1cos2cos2d 2x x x x =--⎰ 11cos2sin 222x x x C⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos2sin 224x x x C=-++ 8．计算不定积分2d 1xx x +⎰.解：()22211d d 1121x x x x x =+++⎰⎰()21ln 12x C =++ 9.计算不定积分xxxd e⎰解：x xxd e⎰2=⎰C=+10.计算定积分xx xd e21⎰解：102x xe dx ⎰102xxde =⎰()11002|x x xe e dx =-⎰ ()102|x e e =- ()212e e =--=⎡⎤⎣⎦ 11.计算定积分e1ln d x x ⎰.解：1ln exdx ⎰11ln |ln e ex x xd x =-⎰11ee dx =-⎰1|1ee x =-= 12．计算定积分π0cos d x x x ⎰.解：π0cos d x x x ⎰πdsin x x =⎰π00sin |sin d x x x x π=-⎰0cos |x π=2=-二、应用题（每小题10分，共40分）1．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边边长为x ，高为2108h x =表面积222210843244y x xh x x x x x=+=+=+24322y x x'=-令0y '=得6x =（唯一驻点） 由实际问题知，当底边长为6，高为210836=时，用料最省.2.欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：设土地一边为x ，另一边为216x ， 围墙长度为216432323y x x x x=+=+ 24323y x'=-令0y '=得12x =-（舍），12x =（唯一驻点）由实际问题知，当土地三堵墙的一边为12米，另一边为18米时，用料最省.3.用钢板焊接一个容积为4立方米的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，则有高24h x =表面积 22164y x xh x x=+=+2162y x x'=-令0y '=得2x =（唯一驻点）由实际问题知，当底边长为2米，高为1米时表面积最小，费用最低 此时最低费用为()21040160y ⨯+=（元）.4.某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设底半径为x ，则高为2Vx π 表面积2222222V V y x x x x xππππ=+=+ 224Vy x xπ'=-令0y '=可得x =.。

微积分测试题（附答案）【编号】ZSWD2023B0088 一、选择题(每题2分)1、x=-1是函数x =221x xx x 的（ ） A、跳跃间断点 B、可去间断点 C、无穷间断点 D、不是间断点2、设x 定义域为（1,2），则lg x 的定义域为（ ） A、（0,lg2） B、（0，lg2C、（10,100）D、（1,2）3、试求02lim x x等于（ ）A、 14B、0C、1D、 4、若1y xx y，求y 等于（ ） A、22x y y x B、22y x y x C、22y x x y D、22x yx y5、曲线221xy x的渐近线条数为（ ） A、0 B、1 C、2 D、36、下列函数中，那个不是映射（ ）A、2y x (,)x R y RB、221y x C、2y x D、ln y x(0)x二、填空题（每题2分） 1、__________2、、2(1))lim()1x n xf x f x nx 设 （，则 的间断点为__________3、21lim 51x x bx ax已知常数 a、b,，则此函数的最大值为__________4、263y x k y x k 已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x 求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________三、判断题（每题2分）1、221x y x函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim若，就说是比低阶的无穷小( ) 4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( )四、计算题（每题6分） 1、1sin xy x求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy已知），求 3、2326x xy y y x y 已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x xx x求5、计算6、21lim (cos )x x x计算五、应用题（每题6分）1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x （，总成本函数为2()20050C x x x ，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分）2、描绘函数21y x x的图形（12分）六、证明题（每题6分）1、用极限的定义证明：设01lim (),lim (x x f x A f A x则 2、证明方程10,1xxe 在区间（）内有且仅有一个实数【编号】ZSWD2023B0088参考答案 一、选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B二、填空题1、0x2、6,7a b3、184、35、20x y三、判断题1、√2、×3、√4、×5、×四、计算题 1、解：1sin1sin1sinln 1sinln 22))1111c o s ()ln s in 1111(c o s ln s in xxx xx xy x ee x x x x x xx x x x x（（2、解：22()112(arctan 121arctan d y f x d x xx x d x x xxd x3、解：2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y x y y y x yy x y y x y x y y y y x y4、解：2223000ta n sin ,1co s 21tan (1co s )12lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x xQ :::当时，原式=5、解：65232222261)61116116(1166a r c t a n 66a r c t a nx t d x t t t t t t t t t t CC令t =原式（6、解：2201ln c o s 01li mln c o s 20200012l i m 1l i m l n c o s l n c o s l i m 1(s i n )c o s l i m 2t a n 1l i m 22x xx x xx x x x x eex xxx x x xx x e原式其中：原式五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x a aL x x L x a a ax T a T a T a令得此时取得最大值税收T=令得当时，T取得最大值2、解：2300,01202201D x y x x y x y x y x，间断点为令则令则渐进线：32li m li m 001li m x x x y y y x y y x y x x 无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题 1、证明：lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x M M M x f A xf A xQ 当时，有取=，则当0时，有即2、证明：()1()0,1(0)10,(1)100,1()0,1()(1)0,(0,1)()0,110,1x x x f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe Q Q 令在（）上连续由零点定理：至少存在一个（），使得即又则在上单调递增方程在（）内有且仅有一个实根。

微积分练习题及答案在学习微积分的过程中，练习题是不可或缺的一部分。

通过练习题的解答，可以巩固知识点，并提升解题的能力。

本文将提供一些微积分的练习题及其答案，以帮助读者更好地理解和应用微积分的知识。

一、函数与极限1. 计算以下极限：(1) lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)(2) lim(x→∞) (4x^3 - 2x + 1)/(3x^3 + 5x^2 - x + 2)答案：(1) 这是一个常见的极限问题，可以通过因式分解进行求解。

将被除数和除数同时因式分解，得到 (x + 1)(x - 1)/(x - 1)，可见分母中的 (x - 1) 可以约去，因此极限的结果为lim(x→1) (x + 1) = 2。

(2) 这是一个求无穷大极限的问题，可以通过比较最高次项的系数来求解。

最高次项的系数对应的是 x^3，因此极限的结果为lim(x→∞) (4x^3 - 2x + 1)/(3x^3 + 5x^2 - x + 2) = 4/3。

2. 计算以下函数的导数：(1) f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1(2) g(x) = e^x + ln(x)答案：(1) 对 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 求导，使用求导法则可得 f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 10x - 4。

(2) 对 g(x) = e^x + ln(x) 求导，使用求导法则可得 g'(x) = e^x + 1/x。

二、微分与积分1. 求下列函数的不定积分：(1) ∫(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx(2) ∫e^xsin(x)dx答案：(1) 按照积分的求导法则，我们可以得到∫(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx = (1/4)x^4 - (1/2)x^3 + 2x^2 - x + C，其中 C 为积分常数。

应用题1．某工厂生产同一产品，分销两个独立市场，两市场需求情况不同。

设价格函数分别为1122603202=-=-，p Q p Q已知厂商总成本为12124C Q Q Q Q =+=+，，厂商追求最大利润，求投放每个市场的产量，并确定此时每个市场的价格。

2． 设抛物面221z x y x y z =+++=被平面所截得一椭圆，求此椭圆上的点到原点的最短距离。

解：令22u x y =+2+z ，这是条件极值问题，目标函数为上式，约束条件为2210x y x y z +++-=-z=0,作拉格朗日函数222212(,,)()(1)F x y z x y x y z x y z λλ=+++-+++-2+z 求可能极值点，解方程组1212122222022020010x y x F x x F y y F z x y z x y z λλλλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎪=-+=⎨⎪+-=⎪++-=⎪⎩得23x y z ===,得到两个可能的极值点，由问题的几何意义知存在最大值和最小值。

所以当122x y z --===+时，点P 到原点的距离最大，其距离为d =当122x y z -+===时，点P 到原点的距离最小，其距离为d =3．求函数2222z x y x y =-+≤22+2a 在圆a 内的最大值与最小值。

解：所求函数在闭区域内22x y +≤2a 连续,一定有最大值与最小值，分别求区域的条件极值与边界上的条件极值。

区域内有唯一驻点（0，0），且z （0，0）=22a ，边界上的最大值为23a ，最小值为.2a所以所求函数在闭区域上22x y +≤2a 的最大值与最小值分别为23a 与.2a4．某公司为推销自己的商品，采用两种方式做广告，已知销售收入R （万元）与电视广告费x （万元），报纸广告费y （万元）有如下关系：221028321415),(y x xy y x y x R ---++=（1） 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略（2） 如果提供的广告费用为1。