北师大版 初中数学 八年级 下册 文字作业本 一课一练 同步练习 基本功训练-12

北师大版八年级下册数学同步课时练习题第一章三角形的证明第二章1．1等腰三角形第1课时全等三角形和等腰三角形的性质01基础题知识点1全等三角形的性质与判定1．如图，△ABC≌△BAD.若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则AD的长为(B)A．4 B．5C．6 D．以上都不对2．如图，若能用AAS来判定△ACD≌△ABE，则需要添加的条件是(B)A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠BB．∠ADC＝∠AEB，CD＝BEC．AC＝AB，AD＝AED．AC＝AB，∠C＝∠B3．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．4．(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：AB＝DE(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEC. 5．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝6．6．(2016·宜宾)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠DAC＝∠CBD，∴∠DAB＝∠CBA.在△ADB和△BCA中，⎩⎨⎧∠DBA ＝∠CAB ，AB ＝BA ，∠DAB ＝∠CBA ，∴△ADB ≌△BCA(ASA)． ∴AD ＝BC.7．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC ＝∠DAM ，AB ＝AN ，AD ＝AM ，求证：∠B ＝∠ANM.证明：∵∠BAC ＝∠DAM ，∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAM ＝∠DAC ＋∠NAM ， ∴∠BAD ＝∠NAM.在△BAD 和△NAM 中，⎩⎨⎧AB ＝AN ，∠BAD ＝∠NAM ，AD ＝AM ，∴△BAD ≌△NAM(SAS)． ∴∠B ＝∠ANM.知识点2 等腰三角形的性质8．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为(D)A ．40°B ．50°C ．60°D ．65° 9．(2017·平顶山市宝丰县期末)等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则此三角形的周长为(D)A ．13B ．14C ．15D ．13或14 10．(2017·江西)如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA ＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A ＝75度．11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D.若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是20．02 中档题12．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD ＝BD ＝CD ，则下列结论错误的是(C)A ．AB ＝AC B ．AD 平分∠BAC C ．AB ＝BC D ．∠BAC ＝90°13．(2017·朝阳市建平县期末)若等腰三角形的一个内角等于15°，则这个三角形为(D)A ．钝角等腰三角形B ．直角等腰三角形C ．锐角等腰三角形D ．钝角等腰三角形或锐角等腰三角形 14．(2016·泰安)如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK.若∠MKN ＝44°，则∠P 的度数为(D)A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°15．如图，已知点A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF ，AF ＝CE. (1)从图中任找两组全等三角形； (2)从(1)中任选一组进行证明．解：(1)答案不唯一，如：△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CDA. (2)答案不唯一，如选择证明△ABE ≌△CDF ，证明如下： ∵AF ＝CE ， ∴AE ＝CF. ∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF. 又∵∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．16．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE.求证：(1)△AEF ≌△CEB ； (2)AF ＝2CD.证明：(1)∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AEF ＝∠CEB ＝∠ADC ＝90°.∴∠AFE ＋∠EAF ＝∠CFD ＋∠ECB ＝90°. 又∵∠AFE ＝∠CFD ， ∴∠EAF ＝∠ECB.在△AEF 和△CEB 中，⎩⎨⎧∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∠EAF ＝∠ECB ，∴△AEF ≌△CEB(ASA)． (2)∵△AEF ≌△CEB ，∴AF ＝BC.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴CD ＝BD ，BC ＝2CD.∴AF ＝2CD.03 综合题17．(1)如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 在边AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，求∠DCE 的度数； (2)如图2，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，点D ，E 在直线AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，则∠DCE ＝110°； (3)在△ABC 中，∠ACB ＝n °(0＜n ＜180)，点D ，E 在直线AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，求∠DCE 的度数(直接写出答案，用含n 的式子表示)．解：(1)∵AD ＝AC ，BC ＝BE ，∴∠ACD ＝∠ADC ，∠BCE ＝∠BEC. ∴∠ACD ＝(180°－∠A)÷2， ∠BCE ＝(180°－∠B)÷2. ∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝180°－(∠A ＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°. ∴∠DCE ＝∠ACD ＋∠BCE －∠ACB ＝135°－90°＝45°. (3)①如图1，∠DCE ＝90°－12n °；②如图2，∠DCE ＝90°＋12n °；③如图3，∠DCE ＝12n °；④如图4，∠DCE ＝12n °.第2课时 等边三角形的性质01 基础题知识点1 等腰三角形相关线段的性质1．在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 分别为边AC ，AB 上的中线．若BD ＝5，则CE ＝5． 2．证明：等腰三角形两腰上的高相等．解：已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D.求证：BD ＝CE.证明：∵CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ， ∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°. 又∵AC ＝AB ，∠A ＝∠A ， ∴△ACE ≌△ABD(AAS)． ∴CE ＝BD.知识点2等边三角形的性质3．如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2＝(C)A．60°B．90°C．120°D．180°4．(2017·南充)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)A．(1，1) B．(3，1)C．(3，3) D．(1，3)5．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝120°．6．如图，等边△ABC中，AD为高，若AB＝6，则CD的长度为3．7．等边△ABC的边长如图所示，则y＝3．8．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，延长AC，交直线m于点D.若∠1＝20°，求∠2的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.∴在△BCD中，∠CDB＝∠ACB－∠1＝60°－20°＝40°.∵l∥m，∴∠2＝∠CDB＝40°.9．如图，△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE＝BD.证明：∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，AD 为BC 边上的中线， ∴AE ＝AD ，AD 为∠BAC 的平分线． ∴∠CAD ＝∠BAD ＝30°. ∴∠BAE ＝∠BAD ＝30°. 在△ABE 和△ABD 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠BAE ＝∠BAD ，AB ＝AB ，∴△ABE ≌△ABD(SAS)． ∴BE ＝BD.02 中档题10．下列说法：①等边三角形的每一个内角都等于60°；②等边三角形三条边上的高都相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高与这条腰上的中线互相重合．其中正确的有(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 是AC 上一点，且AD ＝AE ，则∠CDE 等于(C)A ．30°B ．20°C ．15°D ．10°12．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝15度．13．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，CD ，BE 交于点O ，则∠BOC 的度数是120°．14．如图，已知等边△ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则∠EFD ＝45°．15．如图，在等边△ABC 中，D 是BC 上的一点，延长AD 至E ，使AE ＝AC ，∠BAE 的平分线交△ABC 的高BF 于点O.求∠E 的度数．解：∵△ABC 是等边三角形，BF 是△ABC 的高，∴∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，AB ＝AC.∵AE ＝AC ，∴AB ＝AE. ∵AO 为∠BAE 的平分线， ∴∠BAO ＝∠EAO.在△ABO 和△AEO 中，⎩⎨⎧AB ＝AE ，∠BAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∴△ABO ≌△AEO(SAS)． ∴∠E ＝∠ABO ＝30°.16．如图，△ABC 为等边三角形，点M 是线段BC 上任意一点，点N 是线段CA 上任意一点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于点Q. (1)求证：AM ＝BN ； (2)求∠BQM 的度数．解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC. 在△AMB 和△BNC 中，⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，BM ＝CN ，∴△AMB ≌△BNC(SAS)．∴AM ＝BN. (2)∵△AMB ≌△BNC ，∴∠MAB＝∠NBC.∴∠BQM＝∠MAB＋∠ABQ＝∠NBC＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.03综合题17．已知，如图所示，P为等边△ABC内的一点，它到三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM＝h，则h与h1，h2，h3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．解：猜想：h1＋h2＋h3＝h.证明如下：连接PA，PB，PC.∵S△PAB＝12AB·h1，S△PAC＝12AC·h2，S△PBC＝12BC·h3，S△ABC＝12BC·h，S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝S△ABC，∴12AB·h1＋12AC·h2＋12BC·h3＝12BC·h.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC.∴h1＋h2＋h3＝h.第3课时等腰三角形的判定与反证法01基础题知识点1等腰三角形的判定1．在△ABC中，已知∠B＝∠C，则(B)A．AB＝BC B．AB＝ACC．BC＝AC D．∠A＝60°2．如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是(C)A．任意三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形3．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是(C)A．OA＝OD B．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB4．(易错题)下列能判定△ABC为等腰三角形的是(B)A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4D．AB＝3，BC＝7，周长为105．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD＝3cm.6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的一个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有①②．7．已知：如图，AB＝BC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C.∴∠BDE＝∠BED.∴BD＝BE.∴△DBE是等腰三角形．知识点2反证法8．(2017·西安期中)用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．9．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．已知：等腰△ABC，AB＝AC.求证：∠B，∠C必定是锐角．证明：①假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是直角，即∠B＋∠C＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾；②假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，即∠B＋∠C＞180°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形的底角必定为锐角．10．用反证法证明：已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.证明：假设a与b相交于点M，则过M点有两条直线平行于直线c，这与“过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条”相矛盾，所以假设不成立，即a∥b.02中档题11．(2017·郑州月考)已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为(A)A．5 B．6 C．7 D．812．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.若用反证法证这个结论，应首先假设∠B≥90°．13．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状一定是等腰三角形．14．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东70°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东50°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝7海里．15．(2017·内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三角形．16．如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC ，延长BC 到E ，使CE ＝CD ，连接DE. (1)成逸同学说：BD ＝DE ，她说得对吗？请你说明理由；(2)小敏同学说：把“BD 平分∠ABC ”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？解：(1)BD ＝DE 是正确的．理由：∵△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∠ACB ＝60°.∴∠DCE ＝180°－∠ACB ＝120°. 又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝30°. ∴∠DBC ＝∠E. ∴BD ＝DE.(2)可改为：BD ⊥AC(或点D 为AC 中点)． 理由：∵BD ⊥AC ， ∴∠BDC ＝90°. ∴∠DBC ＝30°.由(1)可知∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E. ∴BD ＝DE.03 综合题17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°，点D 在线段BC 上运动(D 不与B ，C 重合)，连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于点E. (1)当∠BDA ＝115°时，∠EDC ＝25°，∠DEC ＝115°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变小(填“大”或“小”)； (2)当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，△ADE 可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．解：(2)当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE. 理由：∵∠C ＝40°， ∴∠DEC ＋∠EDC ＝140°. 又∵∠ADE ＝40°， ∴∠ADB ＋∠EDC ＝140°. ∴∠ADB ＝∠DEC. 又∵AB ＝DC ＝2，∴△ABD ≌△DCE(AAS)．(3)可以，∠BDA 的度数为110°或80°. 理由：当∠BDA ＝110°时，∠ADC ＝70°. ∵∠C ＝40°，∴∠DAC ＝180°－∠ADC －∠C ＝180°－70°－40°＝70°. ∴∠AED ＝180°－∠DAC －∠ADE ＝180°－70°－40°＝70°. ∴∠AED ＝∠DAE.∴AD＝ED.∴△ADE是等腰三角形．当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴△ADE是等腰三角形．第4课时等边三角形的判定01基础题知识点1等边三角形的判定1．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是(B)A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定2．下列说法不正确的是(D)A．有两个角分别为60°的三角形是等边三角形B．顶角为60°的等腰三角形是等边三角形C．底角为60°的等腰三角形是等边三角形D．有一个角为60°的三角形是等边三角形3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于(B)A．4 B．6 C．8 D．104．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是等边三角形．5．如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝a时，△AOP为等边三角形．6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE为等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.又∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE为等边三角形．知识点2 含30°角的直角三角形的性质 7．(2017·平顶山市宝丰县期中)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝9，则AB ＝18． 8．(2017·郑州月考)如图，∠C ＝90°，∠ABC ＝75°，∠CDB ＝30°.若BC ＝3 cm ，则AD ＝6cm.9．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h ＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v ＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．10．如图，铁路AC 与铁路AD 相交于车站A ，B 区在∠CAD 的平分线上，且距车站A 为20千米，∠DAC ＝60°，则B 区距铁路AC 的距离为10千米．11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝8 cm ，求AD 的长．解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝8 cm ， ∴∠B ＝60°，AB ＝2BC ＝16 cm. 又∵CD ⊥AB 于D ， ∴∠BDC ＝90°. ∴∠DCB ＝30°. ∴DB ＝12BC ＝4 cm.∴AD ＝AB －DB ＝12 cm.02 中档题12．在下列三角形中：①三边都相等的三角形；②有一个角是60°且是轴对称图形的三角形；③三个外角(每个顶点处各取1个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(D)A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④13．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，已知CD ＝1，∠B ＝30°，则BD 的长是(B)A ．1B ．2 C. 3 D ．2 314．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三角形是(D)A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形15．如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN.若MN ＝2，则OM ＝(C)A ．3B ．4C ．5D ．616．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 边上一点，且AD ＝BE ＝CF ，则△DEF 的形状是等边三角形．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 是BC 边的中线，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，DF.(1)求证：△AED 是等边三角形；(2)若AB ＝2，则四边形AEDF 的周长是4．证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝30°. ∵AD 是BC 边的中线， ∴AD ⊥BC.∴∠BAD ＝60°. ∴AD ＝12AB.∵点E 为AB 的中点， ∴AE ＝12AB.∴AE ＝AD.∴△ADE 是等边三角形．03 综合题18．在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D ＝60°，连接AC.(1)如图1，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE ＝CF.求证： ①△ABE ≌△ACF ；②△AEF 是等边三角形；(2)若点E 在BC 的延长线上，则在直线CD 上是否存在点F ，使△AEF 是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)． 解：(1)证明：①∵AB ＝BC ，∠B ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．∴AB ＝AC. 同理，△ADC 也是等边三角形，∴∠B ＝∠ACF ＝60°.又∵BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(SAS)． ②∵△ABE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF. ∵∠BAE ＋∠CAE ＝60°，∴∠CAF ＋∠CAE ＝60°，即∠EAF ＝60°.∴△AEF 是等边三角形． (2)存在．证明：在CD 延长线上取点F ，在BC 延长线上取点E ，使CF ＝BE ，连接AE ，EF ，AF. 与(1)①同理，可证△ABE ≌△ACF ， ∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF.∴∠BAE －∠CAE ＝∠CAF －∠CAE. ∴∠BAC ＝∠EAF ＝60°. ∴△AEF 是等边三角形．(注：若在CD 延长线上取点F ，使CE ＝DF 也可)小专题(一) 等腰三角形中常见的数学思想类型1 方程思想1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ＝ED ＝EA ，求∠A 的度数．解：设∠A ＝x °，∵BC ＝BD ＝ED ＝EA ， ∴∠ADE ＝∠A ＝x °. ∴∠DEA ＝∠DBE ＝2x °. ∴∠BDC ＝∠C ＝3x °. ∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC ＝3x °.在△ABC 中，∠A ＋∠C ＋∠ABC ＝180°， 即x ＋3x ＋3x ＝180. ∴x ＝1807.∴∠A 为180°7.类型2 分类讨论思想2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件在点P 共有(B)A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．若实数x ，y 满足|x －5|＋y －10＝0，则以x ，y 的值为边长的等腰三角形的周长为25．4．如图，∠BOC ＝60°，点A 是BO 延长线上的一点，OA ＝10 cm ，动点P 从点A 出发沿AB 以2 cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1 cm/s 的速度移动．如果点P ，Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t ＝103或10s 时，△POQ 是等腰三角形．5．已知O 为等边△ABD 的边BD 的中点，AB ＝4，E ，F 分别为射线AB ，DA 上一动点，且∠EOF ＝120°，若AF ＝1，求BE 的长．解：当F 点在线段DA 的延长线上，如图1，作OM ∥AB 交AD 于M ， ∵O 为等边△ABD 的边BD 的中点， ∴OB ＝2，∠D ＝∠ABD ＝60°.∴△ODM 为等边三角形．∴OM ＝MD ＝2，∠OMD ＝60°.∴FM ＝FA ＋AM ＝3，∠FMO ＝∠BOM ＝120°. ∵∠EOF ＝120°，∴∠BOE ＝∠FOM.而∠EBO ＝180°－∠ABD ＝120°， ∴△OMF ≌△OBE(ASA)． ∴BE ＝MF ＝3.当F 点在线段AD 上时，如图2， 同理可证明△OMF ≌△OBE ，则BE ＝MF ＝AM －AF ＝2－1＝1.类型3 整体思想6．已知△ABC 中，∠A ＝α，点D ，E ，F 分别在BC ，AB ，AC 上．(1)如图1，若BE＝BD，CD＝CF，则∠EDF＝90°－12α；(2)如图2，若BD＝DE，DC＝DF，则∠EDF＝180°－2α；(3)如图3，若BD＝CF，CD＝BE，AB＝AC，则∠EDF＝12(180°－α)；(4)如图4，若DE⊥AB，DF⊥BC，AB＝AC，则∠EDF＝12(180°－α)．1．2直角三角形第1课时勾股定理及其逆定理01基础题知识点1直角三角形的性质及其判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)A．120°B．90°C．60°D．30°2．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶53．(2017·安徽)直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为(C)A．60°B．50°C．40°D．30°知识点2勾股定理及其逆定理4．(2017·西安期中)下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(D)A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1， 25．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD 的长为(D)A．1 B．2 C．3 D．46．(2017·阿坝)直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6．7．(2017·成都)如图，数轴上点A表示的实数是5－1．8．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，∴AC＝AD2－CD2＝132－122＝5.又∵AB＝3，BC＝4，∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2. ∴∠B＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12AB·BC＋12AC·CD＝12×3×4＋12×5×12＝6＋30＝36.知识点3命题(逆命题)与定理(逆定理)9．下列命题中，其逆命题成立的是①④．(只填写序号)①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．10．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果a是偶数，b是偶数，那么a＋b是偶数．解：(1)同位角相等，两直线平行．真命题．(2)如果a＋b是偶数，那么a是偶数，b是偶数．假命题．02中档题11．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(A)A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(A)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对13．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A) A．3 3 B．6C．3 2 D.2114．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为(D)A．2 B．2 3 C.33＋1 D.3＋115．在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C)A．10 B．8C．6或10 D．8或1016．如图，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm.17．(2016·益阳)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.∴AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.03综合题18．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，则b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．你能证明所发现的规律吗？解：(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)2.解得k＝180.故b＝180，c＝181.(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k＋1)2，解得k＝2n(n＋1)．∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.证明：∵a2＋b2＝(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，[2n(n＋1)＋1]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴a2＋b2＝c2.∴(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝[2n(n＋1)＋1]2.第2课时直角三角形全等的判定01基础题知识点1用HL判定直角三角形全等1．如图，点P 是∠BAC 内一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ，PE ＝PF ，则直接得到△PEA ≌△PFA 的理由是(A)A ．HLB ．ASAC ．AASD ．SAS2．如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，下列能使△ABD ≌△ACD 的条件是(A)A ．AB ＝AC B ．∠BAC ＝90° C ．BD ＝AC D ．∠B ＝45°3．如图，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝CD ，∠1＝40°，则∠2＝(B)A ．40°B ．50°C ．60°D ．75°4．如图，点D ，A ，E 在直线l 上，AB ＝AC ，BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E ，且BD ＝AE.若BD ＝3，CE ＝5，则DE ＝8．5．如图所示，AD ⊥BE 于点C ，C 是BE 的中点，AB ＝DE ，求证：AB ∥DE.证明：∵AD ⊥BE ， ∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°. ∵C 是BE 的中点，∴BC ＝EC.在Rt △ABC 和Rt △DEC 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，BC ＝EC ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEC(HL)． ∴∠A ＝∠D. ∴AB ∥DE.知识点2 用其他方法证明直角三角形全等 6．(2017·平顶山市宝丰县期中)下列条件不能判断两个直角三角形全等的是(C)A．两条直角边分别对应相等B．斜边和一个锐角分别对应相等C．两个锐角对应相等D．斜边和一直角边分别对应相等7．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件：答案不唯一，如：∠BAC＝∠ABD．(只需写出一种情况)8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，使DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.证明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°.∵∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠F.又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC，∴△FBD≌△ABC(AAS)．∴AB＝BF.知识点3HL在实际问题中的应用9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于A，EB⊥AB于B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？解：∵DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，∴△ADC和△BEC为直角三角形．∵点C是路段AB的中点，∴AC＝BC.∵小明和小红同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，∴CD＝CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．∴BE＝AD＝50米．答：小红到路段AB的距离是50米．02中档题10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(A)11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于点F ，则图中全等的直角三角形有(D)A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对12．如图所示，过正方形ABCD 的顶点B 作直线a ，过点A ，C 作a 的垂线，垂足分别为点E ，F.若AE ＝1，CF ＝3，则AB 的长度为10．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝5，线段PQ ＝AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP ＝5或10时，△ABC 和△PQA 全等．14．如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF. (1)求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠ACF 的度数．解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°， ∴∠CBF ＝∠ABE ＝90°. 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，⎩⎨⎧AE ＝CF ，AB ＝CB ，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)． (2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，∴∠CAB ＝∠ACB ＝45°.∴∠BAE ＝∠CAB －∠CAE ＝45°－30°＝15°. 由(1)知Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF ＝∠BAE ＝15°.∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝15°＋45°＝60°.03 综合题15．如图1，E ，F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB ＝CD ，BF ＝DE ，BD 交AC 于点M.(1)求证：AE ＝CF ，MB ＝MD ；(2)当E ，F 两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．解：(1)证明：在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ， ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴AF ＝CE.∴AF －EF ＝CE －EF ， 即AE ＝CF.∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEM ＝∠BFM ＝90°.在△DEM 和△BFM 中，⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠DME ＝∠BMF ，DE ＝BF ，∴△DEM ≌△BFM(AAS)． ∴MD ＝MB.(2)AE ＝CF ，MB ＝MD 仍然成立．证明： 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴AF ＝CE.∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，即AE ＝CF.在△DEM 和△BFM 中，⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠DME ＝∠BMF ，DE ＝BF ，∴△DEM ≌△BFM(AAS)． ∴MD ＝MB.周周练(1.1～1.2)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝65°，则∠A 的度数是(C)A．70°B．55°C．50°D．40°2．若△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，则必有(D)A．∠A＝2∠B＝3∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A＝∠B＋∠CD．∠A＋∠B＝∠C3．下列命题的逆命题不正确的是(D)A．若a2＝b2，则a＝bB．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．对顶角相等4．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是(D)A．∠B＝∠C B．AD⊥BCC．AD平分∠BAC D．AB＝2BD5．(2017·平顶山市宝丰县期中)若等边三角形的一条高为3，其边长为(A)A．2 B．1 C．3 D．46．(2017·陕西西北大学附属学校期中)如图，△ABC中，AC＝3，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(D)A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．77．(2017·西安期中)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE ＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(D)A．2个B．3个C．4个D．5个8．如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，延长BE到C，使EC＝AB，分别过点C，E作BC，AE的垂线，两线相交于点D，连接AD.若AB＝3，DC＝4，则AD的长是(C)A．5 B．7 C．5 2 D．无法确定二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图，在△ABC 和△DFE 中，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝DE ，若要用“斜边、直角边(HL)”直接证明Rt △ABC ≌Rt △DFE ，则还需补充条件答案不唯一，如：BC ＝FE ．10．在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设三角形的三个内角都大于60°，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾． 11．如图，在△ABC 中，已知∠1＝∠2，BE ＝CD ，AB ＝5，AE ＝2，则CE ＝3．12．如图，在高3米，坡面线段距离AB 为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需7米．13．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为43．14．在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A(3，0)，B(8，0)，若点P 在y 轴上，且△PAB 是等腰三角形，则点P 的坐标为(0，4)或(0，－4)．三、解答题(共44分) 15．(8分)(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝BD ，AC 与BD 相交于点O.(1)求证：△ABC ≌△DCB ；(2)△OBC 是何种三角形？证明你的结论．解：(1)证明：∵在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ＝90°， ∴△ABC 和△DCB 都为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，⎩⎨⎧AC ＝DB ，BC ＝CB ，∴Rt △ABC ≌Rt △DCB(HL)． (2)△OBC 是等腰三角形．证明：∵Rt △ABC ≌Rt △DCB ，∴∠ACB ＝∠DBC. ∴OB ＝OC.∴△OBC 是等腰三角形．16．(10分)(2017·苏州)如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O. (1)求证：△AEC ≌△BED ；(2)若∠1＝42°，求∠BDE 的度数．解：(1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ， ∴∠AOD ＝∠BOE. ∵∠A ＝∠B ， ∴∠BEO ＝∠2. 又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO.∴∠1＋∠AED ＝∠BEO ＋∠AED ，即∠AEC ＝∠BED. 在△AEC 和△BED 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，∠AEC ＝∠BED ，∴△AEC ≌△BED(ASA)． (2)∵△AEC ≌△BED ， ∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE. 在△EDC 中，∵EC ＝ED ，∠1＝42°，∴∠C ＝∠EDC ＝69°. ∴∠BDE ＝∠C ＝69°.17．(12分)如图，已知A ，B ，C ，D 四个城镇(除B ，C 外)都有笔直的公路相接，公共汽车行驶于城镇之间，公共汽车票价与路程成正比，已知各城镇间公共汽车票价如下：为了B ，C 间的交通方便，打算在B ，C 之间建一条笔直公路，请按上述标准预算出B ，C 之间的公共汽车票价．解：AD 为16，AB 为20，BD 为12，∵122＋162＝202， ∴∠ADB ＝90°.∵AC ＝25，AD ＝16，CD ＝9，即AC ＝AD ＋DC ， ∴A ，D ，C 三个点在一条直线上，可知∠BDC ＝90°. 又∵BD ＝12，DC ＝9，∴BC ＝122＋92＝15.故B ，C 之间的公共汽车票价为15元．18．(14分)如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，且OD ∥AB ，OE ∥AC.(1)求证：△ODE 是等边三角形；(2)线段BD ，DE ，EC 三者有什么数量关系？写出你的判断过程；(3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．(只要提出问题，不需要解答)解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴△ODE是等边三角形．(2)BD＝DE＝EC.理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.∴∠OBD＝∠BOD.∴DB＝DO.同理，EC＝EO.由(1)知，△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝OE.∴BD＝DE＝EC.(3)答案不唯一，如：①连接AO，并延长交BC于点F，求证：△ABF是直角三角形；②若等边△ABC的边长为1，求BC边上的高．1.3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理01基础题知识点1线段的垂直平分线的性质1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为(D) A．6 cm B．5 cmC．4 cm D．3 cm2．如图，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是(B) A．3.9 cm B．7.8 cmC．4 cm D．4.6 cm3．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(C)A．AB＝AD B．AC平分∠BCDC．AB＝BD D．△BEC≌△DEC4．(2017·西安期中)如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝(B) A．50°B．100°C．120°D．130°5．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，则CE的长为6．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB.∴∠EAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.又∵∠AED ＋∠EAB ＝90°，∴∠CAB ＝∠AED.知识点2 线段的垂直平分线的判定 7．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有(A)A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB8．如图，D 是△ABC 的边BC 的延长线上一点，且BD ＝BC ＋AC ，则点C 在线段AD 的垂直平分线上．9．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求证：点D 在AB 的垂直平分线上．证明：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠ABC ＝90°－30°＝60°. ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°.∴∠A ＝∠ABD. ∴DA ＝DB.∴点D 在AB 的垂直平分线上．02 中档题10．平面直角坐标系中，已知A(－1，3)，B(－1，－1)．下列四个点中，在线段AB 的垂直平分线上的点是(B)A ．(0，2)B ．(－3，1)C ．(1，2)D ．(1，0)11．下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA ＝EB ；②若PA ＝PB ，EA ＝EB ，则直线PE 是线段AB 的垂直平分线；③若EA ＝EB ，则直线EP 是线段AB 的垂直平分线；④若PA ＝PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上．其中正确的有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，与AC ，BC 分别交于点D ，E ，连接AE ，则： (1)∠ADE ＝90°；(2)AE ＝EC ；(填“＝”“＞”或“＜”)(3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长＝7．13．如图，AD ⊥BC 于点D ，D 为BC 的中点，连接AB ，∠ABC 的平分线交AD 于点O ，连接OC.若∠AOC ＝125°，则∠ABC ＝70°．14．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，将AB 边沿AD 折叠，发现B 点的对应点E 正好在AC 的垂直平分线上，则∠C ＝30°．15．(2017·朝阳市建平县期中)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为76．16．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 延长线上一点，E 是BD 垂直平分线与AB 的交点，DE 交AC 于点F.求证：点E 在AF 的垂直平分线上．证明：∵E 是BD 的垂直平分线上的一点， ∴EB ＝ED. ∴∠B ＝∠D.又∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°－∠B ，∠CFD ＝90°－∠D. ∵∠B ＝∠D ， ∴∠CFD ＝∠A.又∵∠AFE ＝∠CFD ，∴∠AFE ＝∠A. ∴EF ＝EA.∴点E 在AF 的垂直平分线上．03 综合题17．(1)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交直线BC 于点M ，∠A ＝40°，求∠NMB 的大小；(2)如果将(1)中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小； (3)你发现了什么样的规律？试证明；(4)将(1)中的∠A 改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改．。

2 直角三角形1. 下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是()A. 一组边对应相等B. 两组直角边对应相等C. 两组锐角对应相等D. 一组锐角对应相等2. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是()A. AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B. AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C. AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D. AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°3. 在两个直角三角形中，若有一对角(非直角)相等，一对边相等，则两个直角三角形()A. 一定全等B. 一定不全等C. 不一定全等D. 以上都不是4. 如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是()A. AC＝ADB. AB＝ABC. ∠ABC＝∠ABDD. ∠BAC＝∠BAD5. 如图所示，在Rt△ACD和Rt△BCE中，若AD＝BE，DC＝EC，则无法得出的结论是()A. OA＝OBB. E是AC的中点C. △AOE≌△BODD. AE＝BD6. 如图，四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD 的度数为_____.7. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F.若BF＝AC，那么∠ABC的大小是_____.8. 如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A、C作a的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为_____.9. 如图，有一个直角△ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP＝_____时，才能使△ABC≌△PQA.10. 如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，AC＝AE.求证：AD平分∠BAC.12. 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC、BD相匀于O，OD⊥CD垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度．13. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF.(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．14. 如图，∠ABC＝∠ADE＝90°，AD＝AB，AC＝AE，BC与DE相交于点F，连接CD、EB.(1)图中共有几对全等三角形，请你一一列举.(2)求证：CF＝EF.参考答案1.B 【解析】A、两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，现已知一组边对应相等，要判定两直角三角形全等，还需要一组角对应相等地或是另一组边对应相等才能进行判定，故选项错误；B、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项正确；C、两个锐角分别相等，只有角没有边，不能判定全等，此选项错误；D、一组锐角对应相等，隐含一个条件是两直角相等，根据角对应相等，不能判定三角形全等，故选项错误.故选B．2.B3.C4.A【解析】根据题意可知∠C=∠D=90°，AB=AB，然后由AC=AD，可根据HL判定两直角三角形全等，故符合条件；而B答案只知道一边一角，不能够判定两三角形全等，故不正确；C答案符合AAS，证明两三角形全等，故不正确；D答案是符合AAS，能证明两三角形全等，故不正确.故选A.5.B6.110°【解析】∵∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD，且CA=CA，∴△ABC≌△ADC，∴∠BCA=∠DCA，∵∠BAC=35°，∠ABC=90°，∴∠BCA=55°，∴∠BCD=2∠BCA=110°．7.45°8.【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF+∠FBA=90°，∠CBF+∠BCF=90°，∴∠BCF=∠ABE.∵∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，∴△ABE≌△BCF（AAS）,∴AE=BF，BE=CF，∴AB=．9.5或10【解析】∵AX⊥AC，∠C=90°，∴∠C=∠PAQ=90°，又∵AP=CB=5，PQ=AB，∴△ABC≌△PQA．点P运动到C点时，△ABC≌△PQA．∵AX⊥AC，∠C=90°，∴∠BCA=∠QAP =90°，又∵AP=CA=10，PQA=AB，∴△ABC≌△PQA．10.【证明】∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△CDA与△CEB中，，∴△CDA≌△CEB．11.【证明】∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠CAD=∠EAD，即AD平分∠BAC.12.【解】∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°，∴∠ABO=90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD=OB，在△ABO与△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（ASA），∴CD=AB=20（m）.13.（1）【证明】∵AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF. （2）【解】∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，又∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°，由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．14.(1)【解】图中有3对全等三角形有Rt△ABC≌Rt△ADE，△ACD≌△AEB，△CDF≌△EBF.(2)【证明】连接AF，∵∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL).∴BC＝DE.在Rt△ABF和Rt△ADF中，AB＝AD，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)，∴BF＝DF，∴BC－BF＝DE－DF，即CF＝EF.。

北师大版八年级数学下册 第 1 章 1.1 等腰三角形 一课一练 教材同步培优练习及解析一、选择题ABD ACD 1、如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ ≌△的条件是()BD CD A ． ＝ AB AC B ． ＝B C D ．∠BAD ＝∠CADC ．∠ ＝∠ ABC CDA 2、 如图，△ ≌△ ，并且 AB CD，那么下列结论错误的是(＝ )AC CAA ．∠1＝∠2B ． ＝D BAC BCD ． ＝C ．∠ ＝∠ AB AC AD ，若∠BAD ＝80°，则∠BCD ＝( 3、 如图， ＝ ＝ )A ．80°B ．100°C ．140° AB ACD ．160°BD CE 分别是∠ABC 、∠BCD 4、如图，在△ABC 中， ＝ ，∠ ＝36°， 、 A 的角平分线，则图中的等腰三角 形有()A ．5 个B ．4 个C ．3 个D ．2 个5、 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )A ．有一个内角大于 60°B ．有一个内角小于 60°C ．每一个内角都大于 60°D ．每一个内角都小于 60°6、 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ ＝30°， B CDAB 上的高，AD ＝3cm ，则 A B 是斜边的长度是()A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm二、解答题7、 等腰三角形的一个角等于 30°，求它的顶角的度数．8、 如图，在△ABC 中，已知的度数．AB AC BAC 和∠ACB ＝ ，∠ D ADC ＝125°.求∠ACB 和∠BAC 的平分线相交于点 ，∠9、 如图，△ABC AB AC D AC 中， ＝ ， 为 上任意一点，延长 BA 到 使得 E AE AD ，连接＝ DE ，求证： ⊥DE BC .10、 如图，在△ABC AB AC CD AB 中， ＝ ， ⊥ D BE AC 于点 ， ⊥于点 ，求证： ∥ .E DE BC 11、 如图，△ABC E AC 是等边三角形， 是 D BC 上一点， 是延长线上一点，连接 ， .若∠ BE DE ABE ＝40° ，BE DECED 的度数． ＝ ，求∠12、 如图：已知等边△ABC M ，求证：BM EM D AC 中， 是 E BC 的中点， 是 CE CD DM BC延长线上的一点，且 ＝ ， ⊥ ，垂足为＝ .13、 △ABC 为正三角形，点 是边 M BC 上任意一点，点 是边 N CA BM CN BN AM上任意一点，且 ＝ ， 与 相 交于 点，求∠BQM 的度数．Q 14、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CDAB 边上的高，AE 是∠BAC是 AE CD 的角平分线， 与 F交于点 ，求证：△CEF是等腰三角形．15、如图，在△ABC 中， ＝ ，点 、 、 分别在 AB AC D E F AB BC AC、 、 BE CF BD CE 边上，且 ＝ ， ＝ .(1)求证：△DEF 是等腰三角形； (2)当∠ ＝50°时，求∠DEF 的度数．A 16、 求证：△ABC 中不能有两个钝角．a b c 17、 已知 ， ， 是△ABC a c ABC 是等边三角形． ab bc b 2 的三边，且满足关系式 ＋ ＝2 ＋2 －2 ，试说明△ 2 218、如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 ，且O OD AB OE AC ODE ∥ ， ∥ .试判定△ 的形 状，并说明你的理由．19、 如图，在△EBD 中， ＝ ，点 在 EB ED C BDCE CD BE CE A CE 上， ＝ ， ⊥ ， 是 AB BC 延长线上一点， ＝ .试判断△ABC的形状，并证明你的结论．20、 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知 AC ＝AB 50m ， ＝40m ，∠BAC a ＝150°，这种草皮每平方米的售价是 元，求购买这种草皮至少需要多少元？参考答案一、选择题ABD ACD 1、如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ ≌△的条件是()BD CD A ． ＝ AB AC B ． ＝ B CC ．∠ ＝∠D ．∠BAD ＝∠CAD解析：利用全等三角形判定定理ASA ，SAS ，AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案．A.∵∠1＝∠2，AD 为公 BD CD ABD ACD (SAS)；B.∵∠1＝∠2，AD AB AC ，则△ ≌△ 为公共边，若 ＝ ，不符合全等三角形判定定 共边，若 ＝ABD ACD ；C.∵∠1＝∠2，AD 理，不能判定△ ≌△B C ABD ACD (AAS)；D.∵∠1＝∠2，AD 为公共边，若∠ ＝∠ ，则△ ≌△为公共边，若∠BAD ＝∠CAD ，则△ABD ACD≌△ (ASA)；故选 B.ABC CDA 2、 如图，△ ≌△ ，并且 AB CD＝ ，那么下列结论错误的是()AC CA A ．∠1＝∠2 B ． ＝ D BAC BCD ． ＝C ．∠ ＝∠ ABC CDA 解析：由△ ≌△ ，并且 AB CD AC CAD B 是公共边，可知∠1 和∠2，∠ 和∠ 是对应角．全等三角 ＝ ， 和 AC BC 形的对应角相等，对应边相等，因而前三个选项一定正确． ABC CDA 不是对应边，不一定相等．∵△ ≌△ 和 ， AB CD D B D B AC CA 是对应边，而不是BC ，∴A 、B 、C＝ ，∴∠1 和∠2，∠ 和∠ 是对应角，∴∠1＝∠2，∠ ＝∠ ，∴ 和 正确，错误的结论是 D.故选 D.方法总结：本题主要考查了全等三角形的性质；根据已知条件正确确定对应边、对应角是解决本题的关键．AB AC A D ，若∠BAD ＝80°，则∠BCD ＝(3、 如图， ＝ ＝)A ．80°B ．100° D ．160°C ．140°B BCD D 解析：先根据已知和四边形的内角和为360°，可求∠ ＋∠ ＋∠ 的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠ B ＝∠ACB ，∠ACD D BCD 的值．∵∠BAD ＝∠ ，从而得到∠ ＝80°，∴∠ ＋∠B BCD ＋∠ ＝280°.∵ ＝ ＝ ，∴∠ D AB AC AD B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ ，∴∠BCD ＝280°÷2＝140°，故选 C.D 方法总结：求角的度数时，①在等腰三角形中，一定要考虑三角形内角和定理；②有平行线时，要考虑平行线 的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；③两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的 两角之和等于 180°.4、如图，在△ABC AB AC BD CE 分别是∠ABC 、∠BCD中， ＝ ，∠ ＝36°， 、 的角平分线，则图中的等腰三角 A 形有()A ．5 个B ．4 个C ．3 个D ．2 个AB AC ABC BD CE 分别是∠ABC 、∠BCD 是等腰三角形；(2)∵ 、解析：共有 5 个．(1)∵ ＝ ，∴△的角平分线，∴ 1 1 ∠EBC ＝ ∠ A BC ECB ，∠ ＝ ∠ B CD ABC 是等腰三角形，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴△BCE .∵△ 是等腰三角形；(3)∵∠ ＝36°， A 2 2 1 1 AB AC ABC ＝∠ACB BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ABC A ＝ ，∴∠ ＝ (180°－36°)＝72°.又∵ ＝ ∠ ＝36°＝∠ ，∴△ 2 2ABD 是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD 也是等腰三角形．故选 A .方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地 数出等腰三角形的个数．5、 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )A ．有一个内角大于 60°B ．有一个内角小于 60°C ．每一个内角都大于 60°D ．每一个内角都小于 60°解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°， 即都大于 60°.故选 C.方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定． 6、 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠ ＝30°， B CD AB 上的高，AD ＝3cm ，则 A B 是斜边的长度是()A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm解析：在 Rt △ABC 中，∵CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠ ＝30°.在 Rt △B ACD AC AD 中， ＝2＝6cm ，在 Rt △ABC AB AC AB中， ＝2 ＝12cm.∴ 的长度是 12cm.故选 D.方法总结：运用含 30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． 二、解答题7、 等腰三角形的一个角等于 30°，求它的顶角的度数．解析：本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于本题中没有明确30°角是顶角还是底角， 因此要分类讨论．解：①当底角是 30°时，顶角的度数为 180°－2×30°＝120°； ②顶角即为 30°.因此等腰三角形的顶角的度数为30°或120°.方法总结：已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解答本题的关键．8、如图，在△ABC中，已知的度数．AB AC BAC和∠ACB＝，∠D ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的平分线相交于点，∠AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠解析：根据等腰三角形三线合一的性质可得DCE，根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC.AB AC AE平分∠BAC ADC＝125°，∴∠CDE＝55°，∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵解：∵＝，，∴⊥.∵∠AE BCCD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE AB AC B ACB＝70°，∴∠BAC ACB)＝40°.B＝70°.又∵＝，∴∠＝∠＝180－(∠＋∠方法总结：利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三角形的底边上的中线与其他两线互相重合；二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角的平分线或底边上的高与其他两线互相重合．9、如图，△ABC AB AC D AC中，＝，为上任意一点，延长BA到使得E AE AD，连接＝DE，求证：⊥DEBC.AF DE解析：作∥，交BC于点.利用等边对等角及平行线的性质证明∠BAF＝∠FACF.在△ABC中由“三线合一”AF BC⊥.再结合AF DE∥可得出结论．得A AF DE证明：过点作∥，交BC F于点.AE AD ADE.E∵＝，∴∠＝∠AF DE E ＝∠ BAF ，∠FAC ADE∵ ∥ ，∴∠ ＝∠ .∴∠BAF ＝∠FAC .AB AC AF BC 又∵ ＝ ，∴ ⊥ . AF DE DE BC ∵ ∥ ，∴ ⊥ .方法总结：利用等腰三角形“三线合一”得出结论时，先必须已知一个条件，这个条件可以是等腰三角形底边 上的高，可以是底边上的中线，也可以是顶角的平分线．解题时，一般要用到其中的两条线互相重合．10、 如图，在△ABC AB AC CD AB 中， ＝ ， ⊥ D BE AC 于点 ， ⊥于点 ，求证： ∥ .E DE BC AB AC ABC ＝∠ACB .又因为 CD AB D BE AC 于点 ， ⊥于点 ，所以∠ AEB ＝∠ADC ＝90°， E 证明：因为 ＝ ，所以∠⊥ 所以∠ABE ＝∠ACD ，所以∠ABC －∠ABE ＝∠ACB －∠ACD ，所以∠EBC ＝∠DCB .在△BEC 与△CDB 中，∠BEC ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠DCB ，所以△BEC CDB BD CE ＝ ，所以 AB BD AC CE － ＝ － ，即 AD AE ADE ＝∠AED .≌△ ，所以 ＝ ，所以∠ BC CB ＝ ， 又因为∠ 是△ ADE 和△ABC 的顶角，所以∠ADE ＝∠ABC ，所以 DE BCA ∥ .方法总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等．11、 如图，△ABC E AC 是等边三角形， 是 D BC 上一点， 是延长线上一点，连接 ， .若∠ BE DE ABE ＝40° ，BEDECED 的度数． ＝ ，求∠解析：因为△ABC 三个内角为 60°，∠ABE ＝40°，求出∠EBC的度数，因为 ＝ ，所以得到∠ BE DE EBC ＝∠ ， D 求出∠ 的度数，利用外角性质即可求出∠CED 的度数．D 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝60°－40°＝20°. BE DE D EBC ＝20°，∴∠CED ＝∠ACB －∠ ＝40°.D ∵ ＝ ，∴∠ ＝∠方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上， 所以必须熟练掌握．12、 如图：已知等边△ABC M ，求证：BM EM D AC 中， 是 E BC 的中点， 是 CE CD DM BC延长线上的一点，且 ＝ ， ⊥ ，垂足为＝ .BM EM BDM EDM ≌△ 即可．解析：要证 证明：连接 ＝ ，由题意证△1 1 BD ，∵在等边△ABC D AC 的中点，∴∠DBC 中， 是 ＝ ∠ABC ＝ ×60°＝30°，∠ A CB ＝60°.∵ ＝CE 2 2 C D ，∴∠CDE＝∠ .∵∠E ACB ＝∠CDE ＋∠ ，∴∠ ＝30°，∴∠ ＝∠ ＝30°.∵E E DBC E DM BC DMB ＝∠DME ＝90°， ⊥ ，∴∠ DMB ＝∠DME ， ∠∠DBM ＝∠ ， E 在△DMB 和△DME 中，DME DMB BM EM ∴△≌△ .∴ ＝ .D M DM ＝ ，方法总结：证明线段相等可利用三角形全等得到．还应明白等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形 的性质完全适合等边三角形．13、 △ABC 为正三角形，点 是边 M BC 上任意一点，点 是边 N CA 上任意一点，且 BM CN BN AM ＝ ， 与 相 交于 点，求∠BQM 的度数．Q ABM BCN ，再根据全等三角形的性质求得∠AQN 解析：先根据已知条件利用 SAS 判定△ ≌△＝∠ABC ＝60°.A B BC＝ ，∠ABC ＝∠ ， C 解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC＝∠ ＝∠C BAC ＝60°， ＝ .在△ AB BC AMB 和△BNC 中，∵ ∴△B M CN ＝ ，AMB BNC≌△ (SAS)， ∴∠BAM ＝∠CBN，∴∠BQM ＝∠ABQ ＋∠BAM ＝∠ABQ ＋∠CBN ＝∠ABC ＝60°.方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等．14、如图，在△ABC中，∠ACB ＝90°，CDAB 边上的高，AE 是∠BAC是 AE CD 的角平分线， 与 F交于点 ，求证：△CEF是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE ＝∠ACD ，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF ＝∠CFE ，根据等CE CF CEF 是等腰三角形．角对等边求得 ＝ ，从而求得△ 解：∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，∴∠ ＋∠B BAC ＝90°.∵CD AB 边上的高，∴∠ACD ＋∠BAC＝90°，∴∠ ＝∠是 BACD AE 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAE ＝∠EAC.∵，∴ ∠ ＋∠ B BAE ＝∠AEC ACD ＋∠EAC ＝∠CFE ，即∠CEF ＝∠CFE ， ，∠CE CFCEF 是等腰三角形． ∴ ＝ ，∴△方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形 中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．15、如图，在△ABC 中， ＝ ，点 、 、 分别在 AB AC D E F AB BC AC、 、 BE CF BD CE 边上，且 ＝ ， ＝ .(1)求证：△DEF 是等腰三角形； (2)当∠ ＝50°时，求∠DEF 的度数．A B C BDE 和△CEF 解析：(1)根据等边对等角可得∠ ＝∠ ，利用“边角边”证明△全等，根据全等三角形对应边相 DE ＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF ，然后求出等可得 ∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE ，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠ ＝∠ B DEF .B D CE＝ ， B C AB AC B C BDE 和△CEF 中，∵ ∠ ＝∠ ， BDE CEFDE EF DEF(SAS)，∴ ＝ ，∴△(1)证明：∵ ＝ ，∴∠ ＝∠ .在△ ∴△ ≌△ BE CF ＝ ，是等腰三角形；BDE CEF ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE BDE ＝∠DEF ＋∠CEF ，∴∠ ≌△ .∵∠ ＋∠ B (2)解：∵△1.∵∠ ＝50°， ＝ ，∴∠ ＝ ×(180°－50°)＝65°，∴∠B ＝∠DEF DEF ＝65°.A AB AC B 2 方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等 的重要手段．16、 求证：△ABC 中不能有两个钝角．解析：用反证法证明，假设△ABC中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确．证明：假设△ABC A B C 中能有两个钝角，即∠ ＜90°，∠ ＞90°，∠ ＞90°， A B C ABC 所以∠ ＋∠ ＋∠ ＞180°，与三角形的内角和为 180°矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确，即△中 不能有两个钝角．方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是： (1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论 的反面所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．a b c 17、 已知 ， ， 是△ABC a cABC 是等边三角形． ab bc b 2 的三边，且满足关系式 ＋ ＝2 ＋2 －2 ，试说明△ 2 2 解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0 的形式求解．a cab bc b 2解：移项得 ＋ －2 －2 ＋2 ＝0， 2 2 a b ab c bc b 2∴ ＋ －2 ＋ －2＋ ＝0， 2 2 2 a b b c 2∴( － ) ＋(－ ) ＝0， 2 a b b c a b b c ∴ － ＝0 且 － ＝0，即 ＝ 且 ＝ ， a b c∴ ＝ ＝ . 故△ABC是等边三角形．方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三 边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．18、如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 ，且O OD AB OE AC ODE ∥ ， ∥ .试判定△ 的形 状，并说明你的理由．解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE ＝∠OED ＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE ＝ 60°，从而可得△ODE 是等边三角形．解：△ODE是等边三角形，理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.OD AB OE AC ODE ＝∠ABC ＝60°，∠OED ＝∠ACB ＝60°. ∵ ∥ ， ∥ ，∴∠∴∠DOE ＝180°－∠ODE －∠OED ＝180°－60°－60°＝60°.∴∠DOE ＝∠ODE ＝∠OED ＝60°. ∴△ODE 是等边三角形．方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个 角都等于 60°，从而判定这个三角形是等边三角形．19、 如图，在△EBD 中， ＝ ，点 在 EB ED C BDCE CD BE CE A CE 上， ＝ ， ⊥ ， 是 AB BC 延长线上一点， ＝ .试判断△ABC的形状，并证明你的结论．1EB ED CE CD CBE ECB BE CE 解析：由于 ＝ ， ＝ ，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠ ＝ ∠ .再由 ⊥ ，根2 据三角形内角和定理，可求得∠ECB AB BC ABC 是等边三角形． ＝60°.又∵ ＝ ，从而得出△解：△ABC是等边三角形．CE CD ，∴∠CED 理由如下：∵ ＝ ＝∠ . D又∵∠ECB ＝∠CED ＋∠ .∴∠D ECB ＝2∠ .D1 BE DE ∵ ＝ ，∴∠ CBE D ECB ＝2∠CBE .∴∠CBE ECB . ＝ ∠ ＝∠ .∴∠ 2 BE CECEB ＝90°. ∵ ⊥ ，∴∠1又∵∠ECB ＋∠CBE ＋∠CEB ＝180°，∴∠ECB ＋ ∠ECB ＋90°＝180°，∴∠ECB ＝60°. 2 AB BCABC 是等边三角形． 又∵ ＝ ，∴△方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边 也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于 60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于 60°，要证明这个三角 形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．20、 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知 AC ＝AB 50m ， ＝40m ，∠BAC a ＝150°，这种草皮每平方米的售价是 元，求购买这种草皮至少需要多少元？BD CA CA 的延长线于点 .在 Rt △ ABD 中，利用 30°角所对的直角边是斜边的一半求 BD ，即△D 解析：作 ⊥ 交 ABC 的高．运用三角形面积公式计算面积求解．B BD CA CA D BAC ＝150°，∴∠DAB AB BD解：如图所示，过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 .∵∠ ＝30°.∵ ＝40m ，∴ 1 ＝2 1 A B ＝20m ，∴ S ＝ ×50×20＝500(m )．∵这种草皮每平方米 元，∴一共需要 500 元． a a 2 ABC △ 2CABD 边上的高，根据相关的性质求的长，正确的计算出△ABC的面积．方法总结：解此题的关键在于作出18、如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 ，且O OD AB OE AC ODE ∥ ， ∥ .试判定△ 的形 状，并说明你的理由．解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE ＝∠OED ＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE ＝ 60°，从而可得△ODE 是等边三角形．解：△ODE是等边三角形，理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.OD AB OE AC ODE ＝∠ABC ＝60°，∠OED ＝∠ACB ＝60°. ∵ ∥ ， ∥ ，∴∠∴∠DOE ＝180°－∠ODE －∠OED ＝180°－60°－60°＝60°.∴∠DOE ＝∠ODE ＝∠OED ＝60°. ∴△ODE 是等边三角形．方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个 角都等于 60°，从而判定这个三角形是等边三角形．19、 如图，在△EBD 中， ＝ ，点 在 EB ED C BDCE CD BE CE A CE 上， ＝ ， ⊥ ， 是 AB BC 延长线上一点， ＝ .试判断△ABC的形状，并证明你的结论．1EB ED CE CD CBE ECB BE CE 解析：由于 ＝ ， ＝ ，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠ ＝ ∠ .再由 ⊥ ，根2 据三角形内角和定理，可求得∠ECB AB BC ABC 是等边三角形． ＝60°.又∵ ＝ ，从而得出△解：△ABC是等边三角形．CE CD ，∴∠CED 理由如下：∵ ＝ ＝∠ . D又∵∠ECB ＝∠CED ＋∠ .∴∠D ECB ＝2∠ .D1 BE DE ∵ ＝ ，∴∠ CBE D ECB ＝2∠CBE .∴∠CBE ECB . ＝ ∠ ＝∠ .∴∠ 2 BE CECEB ＝90°. ∵ ⊥ ，∴∠1又∵∠ECB ＋∠CBE ＋∠CEB ＝180°，∴∠ECB ＋ ∠ECB ＋90°＝180°，∴∠ECB ＝60°. 2 AB BCABC 是等边三角形． 又∵ ＝ ，∴△方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边 也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于 60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于 60°，要证明这个三角 形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．20、 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知 AC ＝AB 50m ， ＝40m ，∠BAC a ＝150°，这种草皮每平方米的售价是 元，求购买这种草皮至少需要多少元？BD CA CA 的延长线于点 .在 Rt △ ABD 中，利用 30°角所对的直角边是斜边的一半求 BD ，即△D 解析：作 ⊥ 交 ABC 的高．运用三角形面积公式计算面积求解．B BD CA CA D BAC ＝150°，∴∠DAB AB BD解：如图所示，过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 .∵∠ ＝30°.∵ ＝40m ，∴ 1 ＝2 1 A B ＝20m ，∴ S ＝ ×50×20＝500(m )．∵这种草皮每平方米 元，∴一共需要 500 元． a a 2 ABC △ 2CABD 边上的高，根据相关的性质求的长，正确的计算出△ABC的面积．方法总结：解此题的关键在于作出18、如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 ，且O OD AB OE AC ODE ∥ ， ∥ .试判定△ 的形 状，并说明你的理由．解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE ＝∠OED ＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE ＝ 60°，从而可得△ODE 是等边三角形．解：△ODE是等边三角形，理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.OD AB OE AC ODE ＝∠ABC ＝60°，∠OED ＝∠ACB ＝60°. ∵ ∥ ， ∥ ，∴∠∴∠DOE ＝180°－∠ODE －∠OED ＝180°－60°－60°＝60°.∴∠DOE ＝∠ODE ＝∠OED ＝60°. ∴△ODE 是等边三角形．方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个 角都等于 60°，从而判定这个三角形是等边三角形．19、 如图，在△EBD 中， ＝ ，点 在 EB ED C BDCE CD BE CE A CE 上， ＝ ， ⊥ ， 是 AB BC 延长线上一点， ＝ .试判断△ABC的形状，并证明你的结论．1EB ED CE CD CBE ECB BE CE 解析：由于 ＝ ， ＝ ，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠ ＝ ∠ .再由 ⊥ ，根2 据三角形内角和定理，可求得∠ECB AB BC ABC 是等边三角形． ＝60°.又∵ ＝ ，从而得出△解：△ABC是等边三角形．CE CD ，∴∠CED 理由如下：∵ ＝ ＝∠ . D又∵∠ECB ＝∠CED ＋∠ .∴∠D ECB ＝2∠ .D1 BE DE ∵ ＝ ，∴∠ CBE D ECB ＝2∠CBE .∴∠CBE ECB . ＝ ∠ ＝∠ .∴∠ 2 BE CECEB ＝90°. ∵ ⊥ ，∴∠1又∵∠ECB ＋∠CBE ＋∠CEB ＝180°，∴∠ECB ＋ ∠ECB ＋90°＝180°，∴∠ECB ＝60°. 2 AB BCABC 是等边三角形． 又∵ ＝ ，∴△方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边 也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于 60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于 60°，要证明这个三角 形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．20、 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知 AC ＝AB 50m ， ＝40m ，∠BAC a ＝150°，这种草皮每平方米的售价是 元，求购买这种草皮至少需要多少元？BD CA CA 的延长线于点 .在 Rt △ ABD 中，利用 30°角所对的直角边是斜边的一半求 BD ，即△D 解析：作 ⊥ 交 ABC 的高．运用三角形面积公式计算面积求解．B BD CA CA D BAC ＝150°，∴∠DAB AB BD解：如图所示，过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 .∵∠ ＝30°.∵ ＝40m ，∴ 1 ＝2 1 A B ＝20m ，∴ S ＝ ×50×20＝500(m )．∵这种草皮每平方米 元，∴一共需要 500 元． a a 2 ABC △ 2CABD 边上的高，根据相关的性质求的长，正确的计算出△ABC的面积．方法总结：解此题的关键在于作出。

八年级下册数学练习册答案北师大版第一章勾股定理课后练习题答案说明：因录入格式限制，“√”代表“根号”，根号下内用放在“()”里面; “⊙”，表示“森哥马”，§，¤，♀，∮，≒ ，均表示本章节内的类似符号。

§1.l探索勾股定理随堂练习1.A所代表的正方形的面积是625;B所代表的正方形的面积是144。

2.我们通常所说的29英寸或74cm的电视机，是指其荧屏对角线的长度，而不是其长或宽，同时，因为荧屏被边框遮盖了一部分，所以实际测量存在误差.1.1知识技能1.(1)x=l0;(2)x=12.2.面积为60cm：，(由勾股定理可知另一条直角边长为8cm).问题解决12cm2。

1.2知识技能1.8m(已知直角三角形斜边长为10m，一条直角边为6m，求另一边长).数学理解2.提示：三个三角形的面积和等于一个梯形的面积：联系拓广3.可以将四个全等的直角三角形拼成一个正方形.随堂练习12cm、16cm.习题1.3问题解决1.能通过。

.2.要能理解多边形ABC DEF’与多边形A’B’C’D’E’F’的面积是相等的.然后剪下△OBC和△OFE，并将它们分别放在图③中的△A’B’ F’和△D’F’C’的位置上.学生通过量或其他方法说明B’ E’F’C’是正方形，且它的面积等于图①中正方形ABOF和正方形CDEO的面积和。

即(B’C’) 2=AB2+CD2：也就是BC2=a2+b2。

，这样就验证了勾股定理§l.2 能得到直角三角形吗随堂练习l.(1) (2)可以作为直角三角形的三边长.2.有4个直角三角影.(根据勾股定理判断)数学理解2.(1)仍然是直角三角形;(2)略;(3)略问题解决4.能.§1.3 蚂蚁怎样走最近13km提示：结合勾股定理，用代数办法设未知数列方程是解本题的技巧所在习题 1.5知识技能1.5lcm.问题解决2.能.3.最短行程是20cm。

4.如图1～1，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理解得x=12，则水池的深度为12尺，芦苇长为13尺。

数学初二下北师大版全册练习集单元总览本章的内容是不等式和它的差不多性质、不等式的解集、一元一次不等式和它的解法、一元一次不等式组和它的解法、其中一元一次不等式的解法是本章的要紧内容、把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，能够形象、直观看到不等式有许多多个解，并易于确定不等式组的解集；学习一元一次不等式，将其与一元一次方程，一次函数等有关问题进行类比，以达到深化思维、提高能力的目的、1、1 不等关系【一】目标导航1、能依照条件列出不等式，理解不等式的意义，用不等关系解决实际问题、2、通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力、【二】基础过关1、下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+3y ＞O ，③x=3，④x －1，⑤x+2≤3，其中不等式有〔 〕A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个2、a 、b 两数在数轴上的位置如下图，以下结论中正确的选项是〔A 、a ＞0，b ＜0B 、a ＜0，b ＞0C 、ab ＞0D 、以上均不对3、a 是非负数的表达式是〔 〕A 、a ＞0B 、a ≥0C 、a ≤0D 、a ≤04、以下不等关系一定正确的选项是〔 〕A 、a ＞0B 、－x 2＜0C 、〔x+1〕2≥0D 、a 2＞05、小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的、”假如设苹果的实际质量为x 斤，用不等式把那个“高高的”的意思表示出来是〔 〕A 、x ≤2B 、x ≤2C 、x ＞2D 、x ＜26、假如 a+b<0，且 b ＞0，那么 a 、b 、－a 、－b 的大小关系为〔 〕A 、a ＜b<－a ＜－bB 、－b<a<－a ＜bC 、a<－b<－a<bD 、 a<－b<b ＜－a7、用不等号连接以下各对数：21415(1)_____,(2)1____01516x --+、 8、y 的3倍与x 的4倍的和是负数用不等式表示为____________、9、一所中学的男子百米赛跑的记录是11.7秒，假设一名男运动员的百米赛跑成绩为x秒，假如这名运动员破记录，那么__________；假如这名运动员没破记录，那么________、10、假设0＜a ＜1，用“＜”连接a ，1，1a，结果为___________________、11、从2，3，4，5，6中任取两个数就组成一组数，其中两数之和小于10的数组共有______组、12、有如下图的两种广告牌，其中图〔1〕是由两个等腰直角三角形构成的，图〔2〕是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字2题母a ，b 的不等式表示为 、【三】能力提升13、用适当的符号表示以下关系：〔l 〕a 的2倍比a 与3的和小； (2)y 的一半与5的差是非负数；〔3〕x 的3倍与1的和小于x 的2倍与5的差、14、用不等式表示以下关系：〔1〕一个数的平方是非负数；〔2〕某天的气温不高于 25℃、15、用不等式表示以下关系：a 与b 的和大于a 的2倍而小于b 的3倍、16、有一个两位数，个位上的数字为a ，十位上的数字为b ，假如把那个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a 与b 哪个大？17、某班同学去春游花了250元包租了一辆客车，假如参加春游的同学每人交8元钱租车费，还不够，假如每人交9元，还用不了、用不等式表示出上述问题中存在的不等关系、18、工人小王4月份计划生产零件270个，前 10天平均每天生产5个，后来改进技术，提早3天超额完成任务、设小王10天之后平均每天生产零件x 个，请你试着写出x 所满足的关系式、19、某次数学测验，共有16道选择题，评分方法是：答对一题得6分，不答或答错一题扣2分、某同学要想得分为60分以上，他至少应答对多少道题?(只列关系式)20、比较下面每题中两个算式结果的大小(在横线上填“＞”、“＜”或“＝”)、⑴32＋42 2×3×4；⑵22＋22 2×2×2；⑶12＋243⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2×1×43； ⑷(－2) 2＋52 2×(－2)×5；⑸223221⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ 32212⨯⨯、 通过观看上面的算式，请你用字母来表示上面算式中反映的一般规律、【四】聚沙成塔班级50名学生上体育课，老师出了一道题目：现在我拿来一些篮球，假如每5人一组玩一个篮球，有些同学没有球玩；假如每6人一组玩一个篮球，就会有一组玩篮球的人数不足6个、你们明白有几个篮球吗？甲同学说：假如有x 个篮球，550x <、乙同学说：650x >、丙同学说：6(1)50x -<、你明白他们的意思吗？1、2 不等式的差不多性质【一】目标导航1、探究不等式的差不多性质，并能灵活地掌握和应用、2、通过对比不等式性质和等式性质的联系与区别，培养学生的求异思维，提高辨别能力、【二】基础过关1、假如m ＜n ＜0，那么以下结论中错误的选项是〔 〕A 、m －9＜n －9B 、－m ＞－nC 、11n m >D 、1m n> 2、假设a －b ＜0，那么以下各式中一定正确的选项是〔 〕A 、a ＞bB 、ab ＞0C 、0ab < D 、－a ＞－b3、由不等式ax ＞b 能够推出x ＜b a，那么a 的取值范围是〔 〕A 、a ≤0B 、a ＜0C 、a ≥0D 、a ＞04、假如t ＞0，那么a ＋t 与a 的大小关系是〔 〕A 、a ＋t ＞aB 、a ＋t ＜aC 、a ＋t ≥aD 、不能确定5、假如34a a <--，那么a 必须满足〔 〕 A 、a ≠0 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a 为任意数6、有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，那么以下式子正确的选项是〔 〕A 、cb ＞abB 、ac ＞abC 、cb ＜abD 、c ＋b ＞a ＋b7、有以下说法：〔1〕假设a ＜b ，那么－a ＞－b ； 〔2〕假设xy ＜0，那么x ＜0，y ＜0； 〔3〕假设x ＜0，y ＜0，那么xy ＜0； 〔4〕假设a ＜b ，那么2a ＜a ＋b ；〔5〕假设a ＜b ，那么11a b>； 〔6〕假设1122x y --<，那么x ＞y 、 其中正确的说法有〔 〕A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个8、2a 与3a 的大小关系〔 〕A 、2a ＜3aB 、2a ＞3aC 、2a ＝3aD 、不能确定9、假设m ＜n ，比较以下各式的大小：〔1〕m －3______n －3 〔2〕－5m______－5n 〔3〕3m -______3n - 〔4〕3－m______2－n (5)0_____m －n 〔6〕324m --_____324n --10、用“＞”或“＜”填空：〔1〕假如x －2＜3，那么x______5； 〔2〕假如23-x ＜－1，那么x______23； 〔3〕假如15x ＞－2，那么x______－10；〔4〕假如－x ＞1，那么x______－1、11、x ＜y 得到ax ＞ay 的条件应是____________、c 6题12、假设x ＋y ＞x －y ，y －x ＞y ，那么以下结论〔1〕x ＋y ＞0，〔2〕y －x ＜0，〔3〕xy ≤0，〔4〕y x＜0中，正确的序号为________、13、满足－2x ＞－12的非负整数有________________________、14、假设ax ＞b ，ac 2＜0，那么x________、15、假如x －7＜－5，那么x ；假如－2x ＞0，那么x 、16、当x 时，代数式2x －3的值是正数、【三】能力提升17、依照不等式的差不多性质，把以下不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： 〔1〕4x ＞3x+5 〔2〕－2x<17〔3〕0.3x ＜－0.9 〔4〕x ＜21x －418、假设43a a <--，试判断a 的正负性、 19、以下各式分别在什么条件下成立？ 〔1〕a ＞－a ； 〔2〕a 2＞a ； 〔3〕a＞A 、 【四】聚沙成塔有两个分数A=4444333，B=555554444，问：A 与B 哪个大？ 1、3 不等式的解集【一】目标导航1、能够依照具体问题中的大小关系了解不等式的意义，理解不等式中的有关概念、2、探究不等式的解集并能在数轴上表示出来、【二】基础过关1、－3x ≤6的解集是〔 〕A B C D2、用不等式表示图中的解集，其中正确的选项是A 、 x ≥－2B 、 x ＞－2C 、 x ＜－2D 、 x ≤－23、以下说法中，错误的选项是( )A 、不等式x ＜5的整数解有许多多个B 、不等式x ＞－5的负数解有无限个C 、不等式－2x ＜8的解集是x ＜－4D 、－40是不等式2x ＜－8的一个解4、以下说法正确的选项是( )A 、x ＝1是不等式－2x ＜1的解集B 、x ＝3是不等式－x ＜1的解集C 、x ＞－2是不等式－2x ＜1的解集D 、不等式－x ＜1的解集是x ＞－15、不等式x －3＞1的解集是( )2题A 、x ＞2B 、 x ＞4C 、x －2＞D 、 x ＞－46、不等式2x ＜6的非负整数解为( )A 、0，1，2B 、1，2C 、0，－1，－2D 、许多个7、以下四种说法：① x ＝45是不等式4x －5＞0的解；② x ＝25是不等式4x －5＞0的一个解；③ x ＞45是不等式4x －5＞0的解集；④ x ＞2中任何一个数都能够使不等式4x －5＞0成立，因此x ＞2也是它的解集，其中正确的有〔 〕A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、假设(1)1a x a -<-的解集为x ＞1，那么a 的取值范围是〔A 、a ＞0B 、a ＜0C 、a ＜1D 、a ＞19、不等式的解集在数轴上表示如下图，那么该不等式可能是_____________、10、当x_______时，代数式2x －5的值为0；当x_______时，代数式2x －5的值不大于0、11、不等式－5x ≥－13的解集中，最大的整数解是__________、12、不等式x+3≤6的正整数解为___________________、13、不等式－2x ＜8的负整数解的和是______、14、直截了当写出不等式的解集：〔1〕 x ＋3＞6的解集 ；〔2〕2x ＜12的解集 ；〔3〕 x －5＞0的解集 ；〔4〕0.5x ＞5的解集 、 15、一个不等式的解集如下图，那么那个不等式的正整数解是 、16、恩格尔系数n 是指家庭日常饮食开支占家庭收入的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平，各种类型家庭的n 值如下所示：如用含n 的不等式表示，那么贫困家庭为 ；小康家庭为 ；最富裕国家为 ；当某一家庭n ＝0.6时，说明该家庭的实际生活水平是 、【三】能力提升17、在数轴上表示以下不等式的解集：〔1〕x ≥－3.5 〔2〕x ＜－1.5〔3〕x ≥2 〔4〕－1≤x ＜218、试写出一个不等式，使它的解集满足以下条件：〔1〕不等式的正整数解只有1，2，3；〔2〕不等式的整数解只有－2，－1，0，1、19、某种饮料重约300g ，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量为多少克？20、求不等式1＋x ＞x －1成立的x 取值范围、21、求不等式41-x ＋1＞0的解集和它的非负整数解，并把解集在数轴上表示出来、 －1 9题 1 4 0 15题22、x 取什么值时，代数式2x －5大于代数式21(2－x)的值？23、|2a －24|＋〔3a －b －k 〕2＝0，那么k 取什么值时，b 为负数、24、要使不等式－3x －a ≤0的解集为x ≥1，那么a 应满足什么条件？【四】聚沙成塔一堆有红、白两种颜色的球假设干个，白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多、假设把每一个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，那么总数为“60”，那么这两种球各有多少个？1、4 一元一次不等式〔1〕【一】目标导航1、一元一次不等式的概念及判断、2、会解一元一次不等式，归纳解一元一次不等式的步骤、【二】基础过关1、以下不等式中，属于一元一次不等式的是〔 〕A 、4＞1B 、3x －24＜4C 、12x < D 、4x －3＜2y －72、与不等式321132x x -+<-有相同解集的是〔 〕A 、3x －3＜〔4x ＋1〕－1B 、3(x －3)＜2〔4x ＋1〕－1C 、2(x －3)＜3〔2x ＋1〕－6D 、3x －9＜4x －43、不等式13(19)762x x-<--的解集是〔 〕A 、x 可取任何数B 、全体正数C 、全体负数D 、无解4、关于x 的方程5－a(1－x)＝8x －(3－a)x 的解是负数，那么a 的取值范围是( )A 、a ＜－4B 、a ＞5C 、a ＞－5D 、a ＜－55、假设方程组3133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解为x 、y ，且x ＋y ＞0，那么k 的取值范围是〔〕 A 、k ＞4 B 、k ＞－4 C 、k ＜4 D 、k ＜－46、不等式2x －1≥3x 一5的正整数解的个数为 ( )A 、1B 、2C 、3D 、47、不等式732122x x --+<的负整数解有〔 〕A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、假设不等式〔3a －2〕x ＋2＜3的解集是x ＜2，那么a 必须满足( )A 、a ＝56B 、a ＞56C 、a ＜56D 、a ＝－129、不等式10(x －4〕＋x ≥－84的非正整数解是_____________、10、假设51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式，那么该不等式的解集为 、11、2R －3y ＝6，要使y 是正数，那么R 的取值范围是______________、12、假设关于x 的不等式(2n －3)x ＜5的解集为x ＞－31，那么n ＝ 、13、不等式12xx ->与65ax x ->的解集相同，那么a =______、14、假设关于x 的不等式x －1≤a 有四个非负整数解， a 的取值范围是 、15、当k 时，代数式23(k －1)的值不小于代数式1－516k-的值、 【三】能力提升16、下面解不等式的过程是否正确，如不正确，请找出错误之处，并改正、 解不等式：1334--x ＜557x -解：去分母，得()15345--x ＜()x 573- ①去括号，得2015152115x x --<- ②移项、合并，得 5＜21 ③因为x 不存在，因此原不等式无解、 ④17、解以下不等式，并把解集在数轴上表示出来:〔1〕3(x+2)－8≥1－2(x －1)； (2)123--x ＞35-x ； (3)21--x x ≤322+-x ； (4)2x x -＜31681+-++x x 、 18、当x 为何值时，代数式31232+-+x x 的值分别满足以下条件： 〔1〕是非负数；〔2〕不大于1、 19、假设关于x 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123p y x p y x 的解满足x >y ，求p 的取值范围、 20、假设2(x ＋1)－5＜3(x －1)＋4的最小整数解是方程13x －mx ＝5的解，求代数式1122--m m 的值、【四】聚沙成塔是否存在整数m ，使关于x 的不等式m x 31+＞m m x 9+与1+x ＞32m x +-是同解不等式？假设存在，求出整数m 和不等式的解集；假设不存在，请说明理由、 1、4 一元一次不等式〔2〕【一】目标导航1、进一步巩固求一元一次不等式的解集、2、能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题、【二】基础过关1、亮亮预备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元、设x 个月后他至少有300元，那么能够用于计算所需要的月数x 的不等式是〔 〕A 、30x －45≥300B 、30x ＋45≥300C 、30x －45≤300D 、30x+45≤3002、初三的几位同学拍了一张合影作留念，冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元、在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数 〔 〕A 、至多6人B 、至少6人C 、至多5人D 、至少5人 3、2x ＋1是不小于－3的负数，表示为 〔 〕A 、－3≤2x ＋1≤0B 、－3＜2x ＋1＜0C 、－3≤2x ＋1＜0D 、－3＜2x ＋1≤04、现用甲、乙两种运输车将46t 抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t ，乙种运输车载重4t ，安排车辆不超过10辆，那么甲种运输车至少应安排〔 〕A 、4辆B 、5辆C 、6辆D 、7辆5、小颖预备用21元钱买笔和笔记本、每支笔3元，每个笔记本2元，她买了4个笔记本，那么她最多还能够买〔 〕支笔、A 、1B 、2C 、3D 、46、某试卷共有20道题，每道题选对得10分，选错了或者不选扣5分，至少要选对_____ 道题，其得分才能许多于80分、7、某人10∶10离家赶11∶00的火车，他家离车站10公里，他离家后先以3公里/时的速度走了5分钟，然后乘公共汽车去车站，公共汽车每小时至少走______公里才能不误当次火车、8、幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友、假设每人3件，那么还剩余59件；假设每人5件，那么最后一个小朋友分到玩具，但不足4件，这批玩具共有 件、【三】能力提升9、一个工程队原定在10天内至少要挖土600立方米，在前两天一共完成了120立方米，由于整个工程调整工期，要求提早两天完成挖土任务、以后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？10、某厂原定计划年产某种机器1 000台，现在改进了技术，预备力争提早超额完成，但开始的三个月内，由于工人不熟悉新技术，只生产100台机器，问以后每个月至少要生产多少台？11、小明在上午8：20分步行动身去春游，10：20小刚在同一地骑自行车动身，小明每小时走4千米，小刚要在11点前追上小明，小刚的速度应至少是多少？12、学校图书馆有15万册图书需要搬迁，原预备每天在一个班级的劳动课上，安排一个小组同学关心搬运图书，两天共搬了1.8万册、假如要求在一周内搬完，设每个小组搬运图书数相同，那么在以后5天内，每天至少安排几个小组？13、红星公司要招聘A 、B 两个工种的工人150人，A 、B 两个工种的工人的月工资分别为600元和1 000元，现要求B 工种的人数许多于A 工种人数的2倍，那么招聘A 工种工人多少时，可使每月所付的工资最少？如今每月工资为多少元？14、某城市平均每天生产垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾处理厂处理，甲厂每小时可处理垃圾55吨，需费用550元;乙厂每小时可处理垃圾45吨,需费用495元、假设规定该城市每天处理垃圾的费用不超过7 370元，那么甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？15、“六·一”儿童节那天，小强去商店买东西，看见每盒饼干的标价是整数．．，因此小强拿出10元钱递给商店的阿姨，下面是他俩的对话：假如每盒饼干和每袋牛奶的标价分别设为x 元，y 元，请你依照以上信息： 〔1〕找出y 与x 之间的关系式；〔2〕请利用不等关系，求出每盒饼干和每袋牛奶的标价、【四】聚沙成塔某校进行庆祝“十七大”的文娱汇演，评出一等奖5个，二等奖10个，三等奖25个、学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，同时只能从下表所列物品中(2)学校要求一等奖奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖奖品单价是三等奖奖品单价的4倍，在总费用不超过1 000元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种方案需多少钱？6 一元一次不等式与一次函数〔1〕【一】目标导航1、一元一次不等式，一元一次方程与一次函数的关系，感知不等式，函数，方程的不同作用与内在联系、2、依照函数图象观看方程的解及不等式的解集、【二】基础过关1、函数y ＝8x －11，要使y ＞0，那么x 应取( )A 、x ＞811B 、x ＜811 C 、x ＞0 D 、x ＜02、一次函数y ＝kx ＋b 的图像，如下图，当x ＜0时，y 的取值范围是〔 •〕A 、y ＞0 B 、y ＜0 C 、－2＜y ＜0 D 、y ＜－2＋1x b 〕 B 2 D 、y ＜－4 x +a kx +b 5题 题 题14题 5、一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，那么以下结论①k ＜0；②a ＞0；③当x ＜3 时，y 1＜y 2中，正确的个数是〔 〕A 、0B 、1C 、2D 、36、如图，直线y kx b =+交坐标轴于A ，B 两点，那么不等式0kx b +>的解集是〔 〕A 、x ＞－2B 、x ＞3C 、x ＜－2D 、x ＜37、关于x 的不等式ax ＋1＞0〔a ≠0〕的解集是x ＜1，那么直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是〔 〕A 、〔0，1〕B 、〔－1，0〕C 、〔0，－1〕D 、〔1，0〕6题 8题8、直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如下图，那么关于x 的不等式12k x b k x +>的解为〔 〕A 、x ＞－1B 、x ＜－1C 、x ＜－2D 、无法确定9、假设一次函数y ＝(m －1)x －m ＋4的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，那么m 的取值范围是________、10、如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数，由图可知行李的重量只要不超过________千克，就能够免费托运、11、当自变量x 时，函数y ＝5x ＋4的值大于0；当x 时，函数y ＝5x ＋4的值小于0、12、2x －y ＝0，且x －5＞y ，那么x 的取值范围是________、13、如图，函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P(－2，－5)，那么依照图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是_______________、 14、如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b 1与y 2＝k 2x ＋b 2于A(3，2)，那么不等式(k 2－k 1)x ＋b 2－b 1＞0的解集为15、关于x 的不等式kx －2＞0〔k ≠0〕的解集是x ＜－3那么直线y ＝－kx ＋2与x•轴的交点是__________、16、不等式－x ＋5＞3x －3的解集是x ＜2，那么直 线y ＝－x ＋5与y ＝3x －3•的交点坐标是_________、【三】能力提升17、：y 1=x+3，y 2=－x+2，求满足以下条件时x 的取值范围：〔1〕y 1 ＜y 2 〔2〕2y 1－y 2≤418、在同一坐标系中画出一次函数y 1＝－x ＋1与y 2＝2x －2的图象，并依照图象回答以下问题：〔1〕写出直线y 1＝－x ＋1与y 2＝2x －2的交点P 的坐标、〔2〕直截了当写出：当x 取何值时y 1＞y 2；y 1＜y 2 x b +x）【四】聚沙成塔假如x ，y 满足不等式组3050x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，那么你能画出点(x ，y)所在的平面区域吗?1、5 一元一次不等式与一次函数〔2〕【一】目标导航1、通过用不等式的知识去解决实际问题，提高学生解决问题的能力、2、把数学知识与现实生活相联系，让学生体会数学与人类生活的紧密联系及对人类历史进展的作用，增强学生学数学的兴趣和积极性、【二】基础过关1、荆门市的中小学每学年都要进行春季体育达标运动会，为进一步科学地指导学生提高运动成绩，某体育老师在学校的春季达标运动会上依照一名同学1 500m 跑的测试情况汇成下图，图中OA 是一条折线段，图形反映的是这名同学跑的距离与时间的关系，由图可知以下说法错误的选项是〔 〕A 、这名同学跑完1 500m 用了6分钟，最后一分钟跑了300m ；B 、这名同学的速度越来越快；C 、这名同学第3至第5分钟的速度最慢；D 、这名同学第2、第3这两分钟的速度是一样的、2、某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于商品积压，商品预备打折出售，但要保证利润率不低于5至多可打〔 〕 A 、6折 B 、7折 C 、8折 D 、9折 3、一次函数y ＝2x －4与x 轴的交点坐标为〔2，0〕，那么一元一次不等式2x －4≤0的解集应是〔 〕A 、x ≤2B 、x ＜2C 、x ≥2D 、x ＞24、小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，假如每支钢笔5元，每个笔记本2元，那么小明最多能买______支钢笔、【三】能力提升5、甲有存款600元，乙有存款2 000元，从本月开始，他们进行零存整取储蓄，甲每月存款500元，乙每月存款200元、(1)求甲、乙的存款额y 1、y 2(元)与存款月数x(月)之间的函数关系式，画出函数图象、(2)请问到第几个月，甲的存款额超过乙的存款额？6、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经市场调研发明，假如本月初出售，可获利10%，然后将本利再投资其他商品，到下月初又可获利10%；假如下月初出售可获利25%，但要支付仓储费8000元、请你依照商场的资金情况，向商场提出合理化建议，说明何时出售获利较多？7、某市为鼓舞居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：假设每户每月用水不超过8 立方米，那么每立方米按1元收费；假设每户每月用水超过8立方米，那么超过的部分每立方米按2元收费、某用户7月份用水x 立方米，交纳水费y 元、(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；(2)此用户要想每月水费不超过20元，那么每月的用水量最多不超过多少立方米?8、如图，OA ，BA 分别表示甲、乙两名学生运动过程中路程S(米)与时间t 〔秒〕之间（分钟） 1题的函数关系图像、试依照图像回答以下问题：〔1〕假如甲、乙二人均沿同一方向在同一直线上行进，动身时乙在甲前面多少米处？〔2〕假如甲、乙二人所行路程记为S甲，S乙，试写出S甲与t及S乙与t的关系式；〔3〕在什么时间段内甲走在乙的前面？在什么时间段内甲走在乙的后面，在什么时间甲乙二人相遇？9、为了加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑，甲公司的报价是每台5800元，优惠条件是购买10台以上，那么从第11台开始按报价的70%计算；乙公司的报价也是每台5800元，优惠条件是每台均按报价的85%计算、假如你是学校有关方面负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？请说明理由、10、小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多〔设为a人，a > 8〕，就站到A窗口队伍的后面、过了2分钟，他发明A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人、〔1〕如今，假设小杰接着在A窗口排队，那么他到达窗口所花的时间是多少？〔用含a的代数式表示〕〔2〕如今，假设小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B 窗口所花的时间比接着在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围〔不考虑其他因素〕、11、某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元；〔1〕符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；〔2〕假如每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？12、哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付0、4元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟，付话费0、6元〔那个地方均指市内通话〕、假设一个市内通话时间为x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元、〔1〕写出y1，y2与x的关系式；〔2〕一个月通话为多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？13、某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：〔注：获利＝售价－进价〕(1) 该商场购进A、B两种商品各多少件?(2) 商场第二次以原进价购进A、B两种商品、购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折销售、假设两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利许多于81 600元，B种商品最低售价为每件多少元?苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷预备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1 400元收益； ④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；〔1〕假设租用水面n 亩，那么年租金共需__________元；〔2〕水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润〔利润=收益－成本〕；〔3〕李大爷现在资金25 000元，他预备再向银行贷不超过25 000元的款，用于蟹虾混合养殖、银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35 000元？1、6 一元一次不等式组〔1〕【一】目标导航1、理解一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集、解不等式组等概念、2、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集、【二】基础过关1、以下不等式组中，解集是2＜x ＜3的不等式组是( )A 、⎩⎨⎧>>23x xB 、⎩⎨⎧<>23x xC 、⎩⎨⎧><23x xD 、⎩⎨⎧<<23x x2、在数轴上从左至右的三个数为a ，1＋a ，－a ，那么a 的取值范围是〔 〕A 、a ＜12B 、a ＜0C 、a ＞0D 、a ＜－123、不等式组10235x x +⎧⎨+<⎩≤，的解集在数轴上表示为〔 〕4、不等式组31025x x +>⎧⎨<⎩的整数解的个数是〔 〕 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个5、在平面直角坐标系内，P 〔2x －6，x －5〕在第四象限，那么x 的取值范围为〔 〕A 、3＜x ＜5B 、－3＜x ＜5C 、－5＜x ＜3D 、－5＜x ＜－36、不等式：①1x >，②4x >，③2x <，④21x ->-，从这四个不等式中取两个，构成正整数解是2的不等式组是〔 〕A 、①与②B 、②与③C 、③与④D 、①与④ 7、方程组43283x m x y m +=⎧⎨-=⎩的解x 、y 满足x ＞y ，那么m 的取值范围是〔 〕A 、m ＞109B 、m ＞910C 、m ＞1019D 、m ＞1910A B C D8、假设y 同时满足y ＋1＞0与y －2＜0，那么y 的取值范围是______________、9、不等式组3010x x -<⎧⎨+⎩≥的解集是 、10、不等式组20.53 2.52x x x -⎧⎨---⎩≥≥的解集是 、11、假设不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解，那么m 的取值范围是 、 12、不等式组15x x x >-⎧⎪⎨⎪<⎩≥2的解集是_________________、 13、不等式组2x x a >⎧⎨>⎩的解集为x ＞2，那么a 的取值范围是_____________、14、假设不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为－1＜x ＜1，那么〔a ＋1〕〔b －1〕的值等于________、15、假设不等式组4050a x x a ->⎧⎨+->⎩无解，那么a 的取值范围是_______________、【三】能力提升16、解以下不等式组：〔1〕328212x x -<⎧⎨->⎩ 〔2〕572431(1)0.54x x x -≥-⎧⎪⎨--<⎪⎩ 〔3〕2x ＜1－x ≤x ＋5 〔4〕3(1)2(9)34140.50.2x x x x -<+⎧⎪-+⎨-≤-⎪⎩17、解不等式组3(21)42132 1.2x x x x ⎧--⎪⎪⎨+⎪>-⎪⎩≤，把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解、18、求同时满足不等式6x －2≥3x －4和2112132x x+--<的整数x 的值、19、求不等式组73442555(4)2(4)3x x x x x -+⎧≥-⎪⎪⎨⎪+-≥-⎪⎩的非负整数解、【四】聚沙成塔假设关于x 、y 的二元一次方程组533x y m x y m -=-⎧⎨+=+⎩中，x 的值为负数，y 的值为正数，求m 的取值范围、1、6 一元一次不等式组〔2〕【一】目标导航1、用一元一次不等式组的知识去解决实际问题、2、通过解决实际问题，初步认识数学与人类生活的紧密联系及对人类历史进展的作用、【二】基础过关1、某城市的一种出租车起价是10元(即行驶路程在5km 以内都需付费10元)，达到或超过5km 后，每增加1km 加价1.2元(不足1km 部分按1km 计)，现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程大约是多少?2、一玩具厂生产甲、乙两种玩具，造一个甲种玩具需用金属80克，塑料140克；造一个乙种玩具需用金属100克，塑料120克、假设工厂有金属4 600克，塑料6 440克，计划用两种材料生产甲、乙两种玩具共50件，求甲种玩具件数的取值范围、3、现计划把甲种货物1 240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6 000元，使用B 型车厢每节费用为8 000元、〔1〕设运送这批货物的总费用为y 万元．．，这列货车挂A 型车厢x 节，试定出用车厢节数x 表示总费用y 的公式、〔2〕假如每节A 型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B 型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A 、B 两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？【三】能力提升4、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A 、B 两种型号的设备，其〔1〕请你设计该企业有几种购买方案；〔2〕假设企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案； 〔3〕在第〔2〕问的条件下，假设每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？〔注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费〕5、某厂计划2 004年生产一种新产品，下面是2 003年底提供的信息，人事部：明年生产工人不多于800人，每人每年可提供2 400个工时；市场部：预测明年该产品。

北师大版八年级数学下册导学练学霸数学目录第一章：三角形的证明第二章：不等式第三章：平移、旋转第四章：因式分解第五章：分式及方程第六章：平行四边形轴对称（讲义）➢课前预习1.剪纸艺术源远流长，是中华民族智慧的结晶，为我们的生活添加了别样的色彩．请欣赏以下美丽的剪纸图片，你发现它们有什么共同的特点？2.做一做，想一想在纸上画一条线段AB，并将线段对折，思考：（1）折痕两边的线段________（填“相等”或“不相等”）；（2）折痕与线段AB____________（填“垂直”或“不垂直”）；（3）在折痕上任找一点P，并连接AP，BP，沿着折痕对折，可发现AP_____BP（填“>”，“<”或“=”）．3.如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，若PM=4 cm，则PN=______cm．PNMBA➢知识点睛1.如果把一个图形沿一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合，则称这两个图形__________，这条直线叫做_________．2.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________，这条直线叫做_______．3.在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴___________，对应线段________，对应角________．4.垂直平分线性质定理：___________________________________________________．5.角平分线性质定理：___________________________________________________．➢精讲精练1.如图，在10×10的正方形网格中作图：作出△ABC关于直线l的对称图形△A1B1C1．lC BA2. 作图题：利用网格线，作出△ABC 关于直线l 的对称图形△AB 1C 1．3. 下列四个图案中，是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 如图是用笔尖扎重叠的纸得到的成轴对称的两个图形，则AB 的对应线段是_________，EF 的对应线段是_________，∠A 的对应角是______．连接CE 交l 于点O ，则_____⊥_____，且________=________．l B D F HGEOCAAEB D CF第4题图 第5题图5. 如图，裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．若∠BAF =60°，则∠AEF =_____．6. 如图，先将正方形纸片ABCD 对折，折痕为MN ，再把点B 折叠到折痕MN 上，折痕为AE ，点B在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样得到的△ADH 中（ ）A ．AD DH AH ≠=B ．AD DH AH ==C ．DH AD AH ≠=D ．AD DH AH ≠≠HN M ED CBAEBDC第6题图 第7题图7. 已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，连接AD ．若AC =4 cm ，BC =8 cm ，则△ADC 的周长为__________．8. 已知：如图，在△ABC 中，DF ，EG 分别是AB ，AC 的垂直平分线，且△ADE 的周长为32 cm ，则BC =__________．A GEDBF C P DNO MCA B第8题图第9题图9. 已知：如图，点P 关于OA ，OB 的对称点分别为C ，D ，连接CD ，交OA 于点M ，交OB 于点N ．若△PMN 的周长为8，则CD 的长为_________．10. 如图，MD ，ME 分别为△ABC 的边AB ，BC 的垂直平分线，若MA =3，求MC 的长度．MABC D E11. 如图，OP 平分∠MON ，P A ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若P A =3，则PQ 的最小值是____________．QP MNAOE DC第11题图 第12题图12. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，若CD =3 cm ，AB =10 cm ，则△ABD 的面积为_________．13. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB =3 cm ，AC =2 cm ，则S △ABD :S △ACD =_________．14. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，DM 平分 ∠ADC ，AM 平分∠DAB ．求证：MB =MC ．ABCD M【参考答案】➢ 课前预习1. 都是左右两边对称的图形。

1.3《线段的垂直平分线》一、选择题1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝80°，∠C ＝70°，分别以点A 和点B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠DAC 的度数为( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°2．如图，△ABC 中，∠B =55°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N 作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为( )A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°3．如图，已知△ABC (AC ＜BC )，用尺规在BC 边上确定一点P ，使得PA +PC =BC ，则下列四种不同的作图方法中，正确．．的是( ) A ．B ．C ．D ．4．如图，长方形ABCD 中∠DAC ＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于1212( )A ．34°B ．44°C ．56°D ．68°5．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，交于点D ，连接，若的周长为，，则的周长为( )A ．B ．C ．D ．6.如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，AB ＞BC ，分别以顶点A 、B 为圆心，大于AB 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M 、N ，作直线MN 交边CB 于点D ．若AD ＝5，CD ＝3，则BC 长是( )A ．7B ．8C ．12D ．137.如图，在△ABC 中，DE 是边AB 的垂直平分线，垂足为E ，交BC 边于D 点，若AC ＝5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ，则BC 的长为( )ABC ∆A B 12AB M N MN BC AD ADC ∆107AB =ABC∆714172012A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm8.如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于( )A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm9.如图，点A,B,C表示某公司三个车间的位置，现在要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在( )A．△ABC三边的中线的交点上B．△ABC三内角平分线的交点上C．△ABC三内高线的交点上D．△ABC三边垂直平分线的交点上，我们知道按如图所作10.如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF GH的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是( )．A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线11.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧MN的长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②CD是△ADC的高；③点D在AB的垂直平分线上；④∠ADC=61°．其中正确的有( ).A．1个B．2个C．3个D．4个12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD ⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正确的个数有( )A．4个B．3个C．2个D．1个13.已知锐角∠AOB如图，(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；(2)以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；(3)连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )A ．∠BOG ＝∠AOBB ．若CG ＝OC ，则∠AOB ＝30° C ．OF 垂直平分CGD ．CG ＝2FG14.如图，△ABC 中，AC ＝BC ，直线l 经过点C ，则( )A ．l 垂直ABB ．l 平分ABC ．l 垂直平分ABD ．不能确定二、填空题 1.如图，分别以线段的端点和为圆心大于的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线，在直线上取一点，使得，延长至， 的度数为__________．2.如图，在中，分别以点A 和点C 为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ；作直线MN 分别交BC 、AC 于点D 、点E ，若，的周长为13cm ，则的周长为________.AB A B 12AB l l C 25CAB ∠=︒AC M BCM∠ABC ∆12AC 3AE m =ABD ∆ABC ∆3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S：S△ABC＝_____．△AED4．如图，在△ABC中，AC＝5 cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是8 cm，则线段BC的长为________ cm.5．如图，△ABC 中，∠BAC＝108°，E，G 分别为AB，AC 中点，且DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝_________°．三、解答题1.已知△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°．(1)尺规作图：在AB边上找一点D使得DB＝DC(要求：不写作法，保留作图痕迹)；(2)求∠ADC．2.如图，在的边上求作点，做得与的面积相等．(保留作图痕迹，不写作法)3.如图，已知△ABC ，点 P 为 BC 上一点．(1)尺规作图：作直线 EF ，使得点 A 与点 P 关于直线 EF 对称，直线 EF 交直线 AC 于 E ，交直线 AB 于 F ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)连接 PE ，AP ，AP 交 EF 于点 O ，若 AP 平分∠BAC ，请在(1)的基础上说明 PE =AF ．4.如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，用圆规分别以A 、C 为圆心，大于AC 的一半的长度为半径画弧，产生如图所示的两个交点M 、N ，作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ． ABC BC D ABD △ACD△(1)根据作法判断直线DE为线段AC的线；(2)连接AE，若∠C=36°，求∠BAE的度数．5.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．(1)求BC的长；(2)分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．6．如图，已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E.(1)求∠BAD的度数；(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周长.7.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，(1)若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．8.已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。