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2023-2024学年陕西师大附中八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分）1．（3分）9的算术平方根是（）A．±3B．﹣3C．3D．92．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3B．0.3，0.4，0.5C．6，8，10D．10，20，24 3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（x2+1，﹣2）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（3分）若点（2，3）在正比例函数y＝kx图象上，则下列各点也在这个正比例函数图象上的是（）A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣4，﹣6）D．（﹣1，﹣2）5．（3分）已知实数a、b，若a＜b，则下列结论中，不一定成立的是（）A．﹣2a+1＞﹣2b+1B．ax2＜bx2C．D．a+x＜b+x6．（3分）下列命题中是真命题的是（）A．相等的角是对顶角B．同旁内角互补C．数轴上的点与实数一一对应D．无限小数都是无理数7．（3分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC．若∠ABC＝54°，则∠1的大小为（）A．36°B．54°C．72°D．73°8．（3分）某同学对数据28，32，36，42，5，54进行统计分析时，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不清楚了，但计算结果与被涂污的数字无关的是（）A．平均数B．中位数C．方差D．标准差9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD 为边在BD左上方作等边△BDE．若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为（）A．5cm B．cm C．6cm D．cm10．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满足二元一次方程组，则m+2n＝（）A．0B．2C．4D．6二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）在实数，，，中，无理数有个．12．（3分）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝100m，则这名滑雪运动员的高度下降了米．13．（3分）点P（3，m）在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离相等，则m的值是．14．（3分）若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣1）和点B （1，2），则不等式kx+b≥2的解集为．15．（3分）若不等式组．的解集为x＞a，则a的取值范围是．16．（3分）古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里在数羊的数量．如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同．则乙的羊数量为只．17．（3分）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝cm．三、解答题（共7小题，共49分）18．（8分）计算：（1）；（2）．19．（8分）解方程组：（1）；（2）．20．（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC，请你用无刻度的直尺和圆规在AB上找一点P，使得∠APC＝2∠B．（保留作图痕迹，不写作法）21．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．试说明：DG∥BA．22．（7分）某校为了解本校学生对“二十大”的关注程度，对八、九年级学生进行了“二十大”知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩，整理、分析如下，共分成四组：A（80≤x＜85），B（85≤x＜90），C（90≤x＜95），D（95≤x≤100），其中八年级10名学生的成绩分别是96，80，96，90，100，86，96，82，90，84；九年级学生的成绩在C组中的数据是90，91，92．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数方差八年级9090b42.4九年级90C10037.8根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述a，b，c的值：a＝，b＝，c＝；（2）你认为这次竞赛中哪个年级成绩更好，为什么？（3）若该校九年级共500人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀（x≥90）的九年级学生有多少人？23．（6分）寒假期间，小华一家开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升．已知剩余油量y（升）是行驶路程x（千米）的一次函数．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当汽车行驶60千米时，求剩余油量；（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．24．（10分）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．（1）【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；（2）【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．2023-2024学年陕西师大附中八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分）1．【分析】根据算术平方根的定义求解．【解答】解：∵32＝9，∴9的算术平方根是3．故选：C．【点评】本题考查了算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a（x≥0），那么x就是a的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．2．【分析】根据勾股数的定义解答即可．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴1，2，3不是勾股数，不符合题意；B、∵0.3，0.4，0.5都不是整数，∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意；C、62+82＝102，∴6，8，10是勾股数，符合题意；D、∵102+202≠242，∴10，20，24不是勾股数，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．3．【分析】根据平方数非负数判断出点P的横坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：∵x2≥0，∴x2+1≥1，∴点P的横坐标是正数，∴点P（x2+1，﹣2）所在的象限第四象限．故选：D．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．【分析】将点（2，3）代入函数表达式：y＝kx得：3＝2k，解得：k＝，故函数的表达式为：y＝x，即可求解．【解答】解：将点（2，3）代入函数表达式：y＝kx得：3＝2k，解得：k＝，故函数的表达式为：y＝x，，当x＝3时，y＝，当x＝﹣3时，y＝﹣，当x＝﹣4时，y＝﹣6，当x＝﹣1时，y＝，故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，熟悉k与函数图象的关系．5．【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：A．∵a＜b，∴﹣2a+1＞﹣2b+1，原变形正确，故本选项不符合题意；B．∵a＜b，∴ax2＜bx2，必须规定x≠0，原变形不一定正确，故本选项符合题意；C．∵a＜b，∴＜，原变形正确，故本选项不符合题意；D．∵a＜b，∴a+x＜b+x，原变形正确，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6．【分析】根据对顶角、平行线的性质、实数与数轴、无理数的概念判断即可．【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；B、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，不符合题意；C、数轴上的点与实数一一对应，说法是真命题，符合题意；D、无限不循环小数都是无理数，故本选项说法是假命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．【分析】由l1∥l2，∠ABC＝54°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数，又由以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC，可得AC＝AB，即可证得∠ACB＝∠ABC＝54°，然后由平角的定义即可求得答案．【解答】解：∵l1∥l2，∠ABC＝54°，∴∠2＝∠ABC＝54°，∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，∴AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC＝54°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠1＝72°．故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质与等腰三角形的性质，以及平角的定义．注意两直线平行，内错角相等．8．【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断即可．【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为36，与被涂污数字无关．故选：B．【点评】本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和标准差的概念．9．【分析】过点E作EF⊥AB，先求出∠EBF＝45°，EB＝DB，根据勾股定理求出BD的长几颗解答．【解答】解：过点E作EF⊥AB，如图：∵△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，∴BC＝6cm，∠ABC＝60°，∵∠CBD＝45°，△BDE是等边三角形，∴BD＝6cm＝BE，∠EBF＝45°，∴EF＝BF＝6cm，∴点E到AB边的距离为6cm，故选：C．【点评】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．10．【分析】原方程组可化为：，用整体思想得出，再用加减消元法解出m、n，代入m+2n计算即可．【解答】解：原方程组可化为：，∵关于x，y的二元一次方程组的解为，∴，①+②，得m＝4，把m＝4代入①，得n＝﹣2，∴m+2n＝4+2×（﹣2）＝0，故选：A．【点评】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组，整体思想的应用是解题关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）11．【分析】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解：是分数，属于有理数；＝2，＝4，是整数，属于有理数；，属于无理数．故无理数有，共1个．故答案为：1．【点评】本题考查无理数的识别、立方根和算术平方根，熟练掌握相关概念是解题的关键．12．【分析】根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝100m，则AC＝AB＝50（m），故答案为：50．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握直角三角形的性质是解题的关键．13．【分析】根据已知条件，P在第四象限，即点P的横纵坐标均为正，纵坐标为负，根据题意列出等式，解之即可解出m．【解答】解：∵点P（3，m）在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离相等，∴3+m＝0，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出关于m的等式是解题关键．14．【分析】直接利用图象得出答案．【解答】解：如图所示：不等式kx+b≥2的解集为：x≥1，故答案为：x≥1．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．15．【分析】根据不等式解集判断口诀同大取大可知：a≥﹣3．【解答】解：因为两不等式的解集均为大于号，根据同大取大可知a≥﹣3．故答案为：a≥﹣3．【点评】本题主要考查的是不等式组的解集的判断方法，掌握不等式组解集的判断口诀是解题的关键．16．【分析】设甲放x只羊，乙放y只羊，根据“如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同”列出方程组解答即可．【解答】解：设甲放x只羊，乙放y只羊，由题意得，解得：．答：乙的羊数量45只．故答案为：45．【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，根据数量的变化，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．17．【分析】如图，连接DF，可证得Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），则AF＝EF，设AF＝x cm，则EF＝x cm，利用勾股定理求得x＝，再由△FGE∽△FMB，即可求得答案．【解答】解：如图，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝BC＝4cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，∵点M是BC边的中点，∴CM＝BM＝BC＝2cm，由折叠得：DE＝CD＝4cm，EM＝CM＝2cm，∠DEM＝∠C＝90°，∴∠DEF＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE，∴∠A＝∠DEF，在Rt△DAF和Rt△DEF中，，∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），∴AF＝EF，设AF＝x cm，则EF＝x cm，∴BF＝（4﹣x）cm，FM＝（x+2）cm，在Rt△BFM中，BF2+BM2＝FM2，∴（4﹣x）2+22＝（x+2）2，解得：x＝，∴AF＝EF＝cm，BF＝4﹣＝cm，FM＝+2＝cm，∵∠FEG＝∠DEM＝90°，∴∠FEG＝∠B＝90°，∵∠EFG＝∠BFM，∴△FGE∽△FMB，∴＝，即＝，∴FG＝cm，故答案为：．【点评】此题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质．此题有一定难度，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．三、解答题（共7小题，共49分）18．【分析】（1）先利用二次根式的性质化简二次根式，再根据绝对值和负整数指数幂的意义计算，然后合并即可；（2）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣（1﹣）﹣×2＝3﹣1+﹣＝2；（2）原式＝2﹣＝2﹣3＝﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和负整数指数幂是解决问题的关键．19．【分析】（1）用代入法求解方程组比较简便；（2）变形2x+y＝1，可用代入法求解，亦可①×2﹣②用加减法求解．【解答】解：（1），把②代入①，得2（1﹣y）+4y＝5，解得，y＝，把y＝代入②，得x＝1﹣＝﹣．∴原方程组的解为．（2）．由②得3x﹣3+2y＝12④，由①，得y＝5﹣4x③，把③代入④得3x﹣3+2（5﹣4x）＝12，解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入③，得y＝5﹣（4×﹣1）＝9．所以原方程组的解为．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，题目相对简单，掌握代入、加减消元法是解决本题的关键．20．【分析】作线段BC的垂直平分线EF，交AB于点P，连接PC，点P即为所求作．【解答】解：如图，点P即为所求作．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．【分析】根据平行线的判定及性质即可求出答案．【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠EFB＝∠ADB＝90°，∴EF∥AD，∴∠1＝∠BAD，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BAD，∴DG∥AB．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．22．【分析】（1）用1分别减去其它三组所占百分比即可得出a的值，根据众数和中位数的定义即可得出b、c的值；（2）可从平均数、众数、中位数和方差角度分析求解；（3）利用样本估计总体即可．【解答】解：（1）由题意可知，a%＝1﹣﹣10%﹣20%＝40%，故a＝40；八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是96分，故众数b＝96；九年级10名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为91、92，故中位数为c ＝＝91.5，故答案为：40；96；91.5；（2）九年级成绩相对更好，理由如下：①九年级测试成绩的中位数和众数大于八年级；②九年级测试成绩的方差小于八年级；（3）500×（1﹣20%﹣10%）＝350（人）．答：估计竞赛成绩优秀（x≥90）的九年级学生大约有350人．【点评】本题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键．23．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）当x＝60时，求出y的值即可；（3）当x＝200时，求出y的值，与3比较大小，即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），将x＝0，y＝35和x＝80，y＝25代入y＝kx+b，得，解得，∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣x+35．（2）当x＝60时，y＝﹣×60+35＝27.5，∴当汽车行驶60千米时，求剩余油量是27.5升．（3）能．理由如下：当x＝200时，y＝﹣×200+35＝10，∵10＞3，∴他们能否在汽车报警前回到家．【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是解题的关键．24．【分析】（1）根据题意画出图形，由CA＝CB，∠C＝90°，得∠ABC＝45°，而BD⊥AB，即得∠PBE＝∠ABC+∠ABD＝135°；（2）过P作PM∥AB交AC于M，证明△PCM是等腰直角三角形，得CP＝CM，∠PMC ＝45°，即可证△APM≌△PEB（ASA），故PA＝PE；（3）当P在线段BC上时，过P作PM∥AB交AC于M，结合（2）可得AB＝BP+BE；当P在线段CB的延长线上时，过P作PN⊥BC交BE于N，证明△BPN是等腰直角三角形，可得∠ABP＝135°，BP＝NP，BN＝BP，∠PNB＝45°，即可证△EPN≌△APB（ASA），EN＝BA，根据BE＝EN+BN，即得BE＝BA+BP．【解答】解：（1）画出图形如下：∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠ABC＝45°，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠PBE＝∠ABC+∠ABD＝45°+90°＝135°；故答案为：135；（2）PA＝PE，理由如下：过P作PM∥AB交AC于M，如图：∴∠MPC＝∠ABC＝45°，∴△PCM是等腰直角三角形，∴CP＝CM，∠PMC＝45°，∴CA﹣CM＝CB﹣CP，即AM＝BP，∠AMP＝135°＝∠PBE，∵∠APE＝90°，∴∠EPB＝90°﹣∠APC＝∠PAC，∴△APM≌△PEB（ASA），∴PA＝PE；（3）当P在线段BC上时，过P作PM∥AB交AC于M，如图：由（2）可知，BE＝PM，BP＝AM，∵AB＝（AM+CM），∴AB＝BP+CM，∵PM＝CM，∴AB＝BP+BE；当P在线段CB的延长线上时，过P作PN⊥BC交BE于N，如图：∵∠ABD＝90°，∠ABC＝45°，∴∠PBN＝180°﹣∠ABC﹣∠ABD＝45°，∴△BPN是等腰直角三角形，∠ABP＝135°，∴BP＝NP，BN＝BP，∠PNB＝45°，∴∠PNE＝135°＝∠ABP，∵∠APE＝90°，∴∠EPN＝90°﹣∠APN＝∠APB，∴△EPN≌△APB（ASA），∴EN＝BA，∵BE＝EN+BN，∴BE＝BA+BP；综上所述，当P在线段BC上时，AB＝BP+BE；当P在线段CB的延长线上时，BE ＝BA+BP．【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题。