八年级数学《课题学习“制作视力表”》教学案例

制作视⼒表
制作视⼒表（研究性学习）⼿册
研究主题：如何制作视⼒表
学校：青岛五⼗九中学
班级：初⼆（7）班
姓名：苗涵洋
课题名称：制作视⼒表
研究背景:
研究⽬的：运⽤所学的数学知识来解决，加强知识的运⽤。

研究过程:
研究⽅式：翻阅课本来查找相关的信息；上⽹查阅相关的资料；询问⽼师、家长来得到帮助。

课题研究计划：参考距离5⽶使⽤的视⼒表，并利⽤现有的数学知识做出距离3⽶使⽤的视⼒表的第⼀个，通过平移和旋转做出完整的对数视⼒表。

研究成果（以学⽣研究性学习报告、体会或作品呈现）
度量测试距离为5⽶的标准视⼒表中视⼒为0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，1.5，2.0所对应的“E”的长a，宽b，
空⽩缺⼝d，并填写下表１：
㈠.
㈡.根据书本p172图4得，ｂ１：ｌ１＝ｂ２：ｌ２，理由：∵∠ｐ１ｏｄ１＝∠ｐ２ｏｄ２，⼜∵ｐ１ｄ１∥ｐ２ｄ２，
∴∠ｄ１ｐ１ｏ＝∠ｄ２ｐ２ｏ，
∴⊿ｄ１ｐ１ｏ∽⊿ｄ２ｐ２ｏ，
∴ｂ１：ｌ１＝ｂ２：ｌ２．
㈢．根据㈡得出来的ｂ１：ｌ１＝ｂ２：ｌ２，得出测试距离为3⽶的视⼒表中视⼒为
0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，1.5，2.0所对应的“E”的长a，宽b，空⽩缺⼝d，并填写下表２：。

综合与实践制作视力表学生起点分析“制作视力表” 是学生充分学习图形相似内容，引入的一节课题学习，学生此前已完成“图形相似”与“图形位似”的学习，“线段的比”也相当的熟悉，在这样的基础上研究制作视力表，可以加深学生对知识的理解及综合运用；“视力表”是学生熟知的生活实例，引导学生观察、分析生活现实和数学现实的相似现象，探究发现视力表的制作原理，激发学生研究应用数学知识的乐趣。

教学任务分析课题学习“制作视力表”以探究视力表中蕴含的数学知识，体会视力表的制作原理，进一步发展学生综合运用数学知识分析问题，解决问题的能力；借助“制作视力表”进一步理解相似图形及其相似比、位似图形、位似比等有关内容。

借助视力表为载体，帮助学生感受图形的相似；提高学生把握事物内在规律的能力；体验数形结合的思想. 教学时培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；可以组建四人活动小组合作学习，促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流；教学目标1、探究视力表中蕴含的数学知识，体会视力表的制作原理，进一步发展学生综合运用数学知识分析问题，解决问题的能力；2、通过度量” E”的长、宽及空白缺口宽，培养大家的动手能力，对所测量的数据进行探索它们之间的关系，训练学生的探索能力．3、通过探索视力表中的奥秘，让学生感受到数学活动充满着探索与创造，同时让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情景,导入课题；第二环节：探究新知；第三环节：课堂练习；第四环节：深入探究，得出结论；第五环节：运用结论，制作视力表；第六环节：课堂总结；第七环节：布置作业。

课前准备工作：准备三角板、视力表、硬纸板数张。

第一环节：创设情景，导入课题［师］视力表对我们来说并不陌生•但你想过吗？视力表中蕴含着一定数学知识•你知道是什么知识吗？本节课我们就来探索其中蕴含的奥秘.第二环节：探究新知［师］现在我们查视力时用的视力表，通常是哪一种呢？［生］是由一组字母” E”组成的视力表.［师］对，它是以能分辨” E”的开口朝向为依据来测定视力的•换句话说，它的测试依据是能否看清楚” E”的两个空白缺口（如下图1中AB、CD两个缺口）.下面我们以“标准对数视力表”为例，探索视力表中的奥秘：1、度量视力表中视力为0.1，0.2，0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8, 1.0，1.2，1.5，2.0 所对应的” E”的长a,宽b,空白缺口宽d,（如图2）.投影片（课题学习A）图1请大家量视力表中的各个” E”，并填写课本上的表格.［生］填表如下：（投影片课题学习B）2、观察数学完成以下问题串(1) 观察上表你直观的发现了什么？ (2)观察上表，看这些数据之间有什么关系，从而决定视力表中的各” E ”形图之间有什么关系？视力表中的各“ E ”图形之间有什么关系？［生］视力为0.1时，a=72 mm, b=72 mm, d=15 mm 可知” E ”的长和宽相等.15=7.5 . 215=5.3视力为 0.2 时,a=36 mm,b=36 mm,d=7.5 mm 可知” E ” 的长和宽相等，且 72=36,视力为 0.3 时,a=24 mm,b=24 mm,d=5 mm 可知” E ”的长和宽相等，并且72=24, 3视力为 0.4 时, 72a=18 mm,b=18 mm,d=3.8 mm 可知” E ” 的长和宽相等，且 一=18,15=3.75 .因为测量时有误差，眼睛大致可以精确到0.1 mm,所以有15 ~3.8 .44由此可以猜想，视力为 0.5 时，a=72 =14.5 mm, b=^72 =14.5 mm, d=®=3 mm 5 5 572 15a= =9 mm, b=9 mm, d= =1.9 mm. 8 8 7215a= =7.2 mm, b=7.2 mm, d= =1.5 mm. 10 10 7215a= =3.6 mm, b=3.6 mm, d= =0.75 mm.2020视力为 视力为 视力为 0.8 时, 1.0 时, 2.0 时,由此可知：视力表中的各” E'形图都是长与宽相等的图形，如果把视力为0.1 时的” E”形图作为基本图形，则视力为0.2，0.3…2.0时的” E”形图都与基本图形是相似图形．活动目的：通过组织学生自我实际度量，并将各自的度量结果填在表格中，让学生在实际操作中，就去直觉的感知其中的奥秘，再通过小组的合作探究，发现a，b，d数学之间的关系，从而得知“标准对数视力表”中不同的视力所对应的”E'形图都与基本图形是相似图形，从而所有“ E”形图都是相似图形。

第二课时●课题制作视力表（二）●教学目标（一）教学知识点探索视力表中的奥秘（二）能力训练要求通过动手操作和讨论探索，培养学生的动手能力，合作交流能力，独立思考的习惯和探索能力.（三）情感与价值观要求通过探索视力表中的奥秘，让学生体验数学知识在实践中的运用，从而增强大家学数学的信心和决心.同时，能获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识.●教学重点探究视力表中的奥秘●教学难点从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有的知识解决问题.●教学方法指导探索法主要让学生独立思考，再互相交流，抽象出数学问题，并能用数学知识解决问题.●教具准备视力表一张三角板一个用硬纸板复制视力表中为0.1，0.2，0.3，0.5，1.0所对应的”E”.投影片三张第一张：（记作课题学习 A）第二张：（记作课题学习B）第三张：（记作课题学习C）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课上节课我们已经对视力表中的各个”E”型字母的长a，宽b，空白缺口宽d作了一番研究，并已得出它们之间的关系.本节课我们将继续研究视力表，并能根据研究结果自己制作一个视力表.Ⅱ.新课讲解［师］请大家按下列步骤进行操作1.用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2，0.3，0.5，1.0所对应的”E”，并依次编号为①②③④⑤.取编号为①②的两个”E”，按下图的方式把它们放置在水平桌面上.12在一条直线上为止.这时我们说，在D1处用①号”E”测得的视力与在D2处用②号”E”测得的视力相同.投影片（课题学习B）［生］因为①号”E ”与②号”E ”都水平放置在桌面上，它们与桌面的边缘是垂直的.因此P 1A 1∥P 2A 2,又P 1，P 2，O 在一条直线上，所以∠O 为公共角，根据相似三角形的判定方法，两角对应相等的两个三角形相似，得 △P 1A 1O ∽△P 2A 2O ，所以2121l l b b =,即2211l b l b =. ［师］从大家的分析中可知，当人离①号”E ”的水平距离l 1与人离②号”E ”的水平距离l 2满足2121b b l l =时，用①号”E ”测得的视力和②号”E ”测得的视力相同. 3.按照上述方式，将①~⑤各个”E ”排列成下图所示的样子.先自己猜想应得出的结论，然后和同学交流，证明你的结论的正确与否.1与在D 2处用②号”E ”测得的视力，在D 3处用③号”E ”测得的视力，在D 4处用④号”E ”测得的视力，在D 5处用⑤号”E ”测得的视力都相同.经过讨论证实了结论的正确性.［师］大家做得非常棒.根据刚才大家讨论出的结论，我们可以据此自己制作视力表.Ⅲ.课堂练习制作一个测试距离为3 m 的视力表.1.由标准视力表中的b 1=72 mm,l 1为5 m,可计算出l 2=3 m 时，b 2的值得2121l l b b = ∴b 2=43.2 mm所以应制作一个”E ”型图，使得它的长与宽都是43.2 mm.从上节课我们的讨论结果看，视力为0.1的”E ”型图与视力为0.2的”E ”型图中的a ，b ，d 间的关系，我们可以得出测试距离为3 m 的视力表中的①号”E ”型图中的d 为9 mm.2.确定了①号”E ”型图后，我们就可以根据规律分别求出视力为0.2，0.3…2.0时的”E ”型图的大小.如下图.3.由标准视力表中的各行”E ”间的距离，相应地确定本视力表的行距.测试距离为3 m 的视力表就制作完成了.Ⅳ.课时小节本节课学习了如何找视力相同的图形”E ”的大小和它的落脚点，并能据此自己制作视力表.Ⅴ.课后作业制作一个测试距离为8 m 的视力表.图6Ⅵ.活动与探究为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在同一直线上；从标杆FE 退后127步的H处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上，求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？解：连结EC 并延长交AB 于点K ，∵△AKC ∽△ABG ,△ABG ∽△CDG∴△AKC ∽△CDG ∴DG KC CD AK =,即1236KC AK = 同理得△AKE ∽△EFH ∴FH KE EF AK =即6AK =1271000KC + ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==127100061236KC AK KC AK 解，得⎩⎨⎧==307501500KC AK ∴AB =A K+B K=1506答：山峰的高度AB 为1506步，标杆CD 与AB 间的水平距离为30750步.。

八年级数学《课题学习“制作视力表”》教学案例湖北省宜昌市第七中学李春梅课件制作：许倜教学目标：1、探究视力表中蕴含的数学知识的过程，体会视力表的制作原理，进一步发展学生综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力。

2、进一步理解相似图形及其相似比、位似图形及其位似比等有关内容。

3、体验从数学的角度观察、分析现实生活中的某些现象，初步形成“用数学”的自觉意识，并且让学生深切体会数学与实际生活息息相关。

教学重点：探究视力表中的数学问题。

教学难点：理解视力表的制作原理。

辅助手段：Z+Z智能教育平台——《超级画板》设计思路：1、本课题学习旨在结合前面学过的相似多边形及位似图形的相关内容，让学生通过实际操作和观察电脑操作，探究视力表中蕴含的数学知识，进一步发展学生综合运用数学知识分析问题、解决问题意的能力，初步形成“用数学”的能力。

2、本堂课运用“Z+Z”智能教育平台——《超级画板》来制作课件，充分利用了其绘画、测量、动画等功能，使教师教得轻松，学生学得快乐。

教学过程及课堂实录：一、情境引入：师：同学们好！首先我想进行一项现场调查（众生好奇地望着老师）。

知道自己的视力情况的同学请举手（众生全部举手），那么，你是通过什么方式知道的？生1：我是通过视力表知道的。

生2：我是配眼镜时通过电脑验光知道的。

师：通过视力表这种方式知道自己视力的同学请举手（90%以上的同学举手）。

师：看来绝大多数同学都是通过视力表知道自己视力的。

其实视力表中蕴含着许多数学知识，大家想知道吗？众生：（热烈地）想！师：今天就以“标准对数视力表”为例，我们一起来探索视力表的奥秘。

【评】教师简明的语言，创设一个学生熟知而又与自身息息相关的问题情境，激发学生的好奇心和探究问题的兴趣，自然而又快捷地揭示本节课所要探究的问题.二、探究新知：1、通过观察测量探究视力表中“E”的形状及各个“E”间的关系师：首先请观察视力表（大屏幕显示视力表），你能通过观察发现一些数学知识吗？（学生小声议论，然后一部分学生举手）生1：我感觉每个“E”的外形是正方形。

《制作视力表》教案《制作视力表》教案一、教材分析“制作视力表”选自北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册第四章后的课题学习。

研究性课题学习的开设是本套教科书的一大特色．它对培养学生自主探索的能力、开拓创新的意识，实施素质教育有积极的促进作用。

本节内容与本章的第一节线段的比、第五节相似三角形、第六节、第八节、第九节的内容都有关系，是本章内容的一个综合运用。

与图形的平移、数据的测量、统计与物理学科中的凸透镜成像、视角等内容都发生着关系。

通过对本节的学习，可以练习巩固以上的数学、物理知识，重要的是使学生学会用数学的思维方式去观察、分析、解决日常生活中的问题，增强应用数学的意识、了解数学的价值。

通过对视力表的观察、充分挖掘视力表中所蕴含的相似图形、位似图形等丰富的数学知识，体会数学是一门基础学科，它与人类生活、自然社会的密切联系，从而增进对数学的理解和增强学好数学的信心。

经历对l1、l2、b1、b2数据的测量、分析、统计、观察、对比，经历图形“E”的形状、大小、位置、平衡、旋转的过程，充分感知：相似图形、位似图形的概念、性质，发展统计观念，获得从所需的数学知识、数学活动中获得经验，以及使用数学的意识和必要的应用技能.二、学情分析学生在第四章的学习中已经学习了线段的比、相似图形与位似图形的概念，对相似图形、位似图形有一个较强的感性认识。

本节作为第四章的最后一部分内容——课题研究，是对本章所学知识的一次总结和实践应用。

八年级学生已经基本具备了一定的观察、分析、对比、统计、归纳的能力和一定的阜新意识，他们有强烈的独立思考、自主探究的愿望，这些对本节内容的学习都是有很大帮助的。

但本节课所涉及的内容不但包括数学中的相似图形、位似图形等知识，同时也是对学生物理知识掌握的一次考查，如果没有物理知识作铺垫，将较难理解大“E”与小“E”为何因为测试距离的不同而可以同时衡量同一视力。

所以就本节内容，学生在用b/l来刻画视力的理解及应用上存在一定的困难。

1 / 3课题学习 制作视力表（第2课时）教学目标教学重点探索视力表中蕴含的数学知识教学难点视力表的制作原理教法学法动手操作，合作探究教学过程一诊断补偿 情景导入上节课我们探索视力表，发现视力表”E ”的长a,宽b ，空白缺口宽d 之间存在什么关系？这节课我们继续探索视力表中的秘密。

二探究释疑abd1学生以小组为单位动手操作：的“E ”，并依次编号为①②③④⑤。

取编号为①②的两个“E ”，按下图的方式把它们放置在水平桌面上。

如图，将②号“E ”沿水平桌面向右移动，直至从右侧点O 看去，点P 1, P 2,O 在一条直线上为止。

学生观察上图，你会发现什么问题？以小组为单位讨论交流。

师小结学生利用相似三角形的性质知当人离①号“E”的水平距离h 1与人离②号”E”水平距离 h 2满足2211h b h b 时，人站在D 1用①号“E”测得的视力与在D 2用②号“E”测得的视力相同。

思考：按照上面方式，将①～⑤各个“E”排列成如下图所示的样子，是否也存在这样的规律呢？ ①② 桌3 / 3学生以小组为单位，交流发现的规律：5544332211h b h b h b h b h b ====时，我们在D 1, D 2, D 3, D 4 D 5分别用①②③④⑤的“E ”测得的视力相同。

师小结我们可以用“E ”的高与它到眼睛的水平距离之比（hb）来刻画视力，若比值相同，那么用它们测得的视力就相同。

三随堂练习现有一个标准视力表，它要求的测试距离为5米，根据这个视力表，怎样制作一个测试距离为3米的视力表？如果要求测试距离为8米呢？ 学生以小组为单位合作完成。

四交流反思学生回顾自己在动手操作中发现的规律五布置作业到有关单位进行调查，目前较为通用的视力表有哪几种？它们与我们上面讨论的视力表一种什么换算关系？整理调查结果并写出调查报告。

综合与实践制作视力表学生起点分析“制作视力表” 是学生充分学习图形相似内容，引入的一节课题学习，学生此前已完成“图形相似”与“图形位似”的学习，“线段的比”也相当的熟悉，在这样的基础上研究制作视力表，可以加深学生对知识的理解及综合运用；“视力表”是学生熟知的生活实例，引导学生观察、分析生活现实和数学现实的相似现象，探究发现视力表的制作原理，激发学生研究应用数学知识的乐趣。

教学任务分析课题学习“制作视力表”以探究视力表中蕴含的数学知识，体会视力表的制作原理，进一步发展学生综合运用数学知识分析问题，解决问题的能力；借助“制作视力表”进一步理解相似图形及其相似比、位似图形、位似比等有关内容。

借助视力表为载体，帮助学生感受图形的相似；提高学生把握事物内在规律的能力；体验数形结合的思想.教学时培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；可以组建四人活动小组合作学习，促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流；教学目标1、探究视力表中蕴含的数学知识，体会视力表的制作原理，进一步发展学生综合运用数学知识分析问题，解决问题的能力；2、通过度量”E”的长、宽及空白缺口宽，培养大家的动手能力，对所测量的数据进行探索它们之间的关系，训练学生的探索能力．3、通过探索视力表中的奥秘，让学生感受到数学活动充满着探索与创造，同时让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情景,导入课题；第二环节：探究新知；，得出结论,第三环节：课堂练习；第四环节：运用结论,第六环节：课堂总结；第七环节：布置作业。

教学设计：一、创设情境，导入新课提出问题：同学们，你们是否用视力表测过视力呢？那么“视力表”中是否蕴含着一些数学知识呢？我们能否利用这些数学知识制作一张视力表呢？——今天就让我们一同走进综合与实践课——《制作视力表》二、合作交流，解读新知活动一：“一个”E1、请同学们观察手中的测试距离为5m 的标准对数视力表，你能发现它有哪些特点呢？2、量一量：请同学们度量视力为0.12的“E ”对应的a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 值，再以四人为一小组将度量的数据汇总到下表中，并与你的小组成员一同观察数据，看看你们有怎样的发现？得出结论：（1）“E”的外边图形是正方形，a=b ；（2）c=d=e=f=g=h=1/5a=1/5b ；3、通过对“E”的探索，现在你能说说看，如何作一个“E”吗？活动二：“一行”E1、在视力表中，除0.1对应的E 只有一个，其余视力对应的每一行中都由多个E 构成，那么如何作出“一行”E 呢？（教师投影演示视力为0.2的一行E 通过旋转、平移得到，或是轴对称得到）bac feg d h2、得出结论（1）同一行都是E都是全等的；（2）同一行E之间可以通过平移、旋转、轴对称相互得到；活动三：“一列” E1、观察表格，思考：视力与a之间存在怎样的关系呢？2、请同学们四人为一小组，分别计算每一个视力中的a与视力为0.1中a的比值，并观察比值，看看此时你能得到怎样的结论？设计说明：通过观察视力表，可以发现从上至下，视力在逐渐增大，而E的大小却在逐渐减小，通过思考此问题，让学生从表格中发现数的规律以及E图形的变化规律，再通过计算进一步证明提出的结论，从而验证了每一列E都是相似的。

“制作视力表”教学设计作者：万静来源：《读写算》2018年第09期摘要以问题为载体、学生自主参与探究为主的“综合与实践”该如何处理学生课外自主探究和课堂内探究的关系？我们一直在努力的探索，以综合与实践《制作视力表》的教学案例为载体，谈谈自己的认识。

关键词发现；论证；表达中图分类号：G305，TE321，Q344+.13 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）09-0251-01一、内容解析“制作视力表”选自北师大版教材九年级上册综合与实践活动课题，综合与实践课题的开设是本套教科书的一大特色，它对培养学生自主探索能力、开拓创新的意识，实施素质教育有积极的促进作用。

二、教学过程【第一环节】情境引入回顾展示，视频（探究掠影），展示学生课前自主探究的过程。

本环节设计了“回顾”与“展示”两个活动，视频“探究掠影”回放课前自主探究的历程：1.收集材料：生活中有哪些类型的视力表？2.原理探索：视力与物理凸透镜成像，生物学近视眼的矫正等有何关系？3.问题聚焦：（1）视力表中蕴含着哪些数学知识？（2）如何认识视力？（3）视力表的制作方案？【设计意图】1.视频画面隐含对学生课前自主探究的“过程性”评价。

2.视频过程体现了问题探究过程：“问题背景”、“提出问题”、“问题聚焦”、“问题探究”，片头视频既是自主活动的总结，又是课堂深化探究的开始。

【第二环节】小组汇报课前“问题聚焦”提出了很多问题，促成全班分成4个小组：材料收集小组，生物、物理原理探索小组，测量操作小组，小小制作家小组。

课内小组代表从以下几个方面作汇报：（1）生活中有哪些视力表？（2）几何画板演示眼睛成像大小的成因，本环节展示一个组对“人眼是如何看见物体”的专题探究——“1视角”。

【设计意图】跨学科的课题，需要为全班学生普及相关基础知识，探究活动是自主的，也是多元的，有的小组从测试中不仅提出了问题，对“视力”的理解方式有多种，他们有从物理成像原理理解的，也有从生物机理的视角理解。

制作视力表（一）教学目标：1、探究视力表中蕴含的数学知识，体会视力表的制作原理，进一步发展运用数学知识分析问题、解决问题的能力；2、进一步理解图形的相似、相似比，位似图形及其位似比等相关概念及性质；3、体验用数学的知识观察、分析现实生活中的某些现象，初步形成“用数学”的自觉意识。

（二）设计思路：本课题结合前面学过的相似三角形及位似图形的相关概念及性质等，通过学生的实际操作,意在使学生探究现实生活中某些熟悉事物或现象中蕴含的数学知识，进一步发展学生综合运用数学知识提出问题，分析、解决问题的能力，以初步形成用数学的意识. 视力表作为现实生活中大家熟悉的事物，其制作原理是什么？即视力表中各种“E”大小是如何规定的、他们之间有没有一定的(换算)关系等，本课题是通过探究视力表的制作原理来揭示其中蕴含的数学知识，具体内容按以下方式呈现：问题情境—探究（建立模型）—归纳（求解）—解释—应用与拓展。

（三）课前准备：测试距离分别为5米和3米的标准对数视力表若干份,黑板上挂测试距离为5和3米的标准对数视力表各一张，自制“E”的模型大小两个。

提前通知学生带测量工具(直尺或三角板)和计算工具(计算器).【教学过程】：（一）创设问题情境，引起探究课题：师：同学们,你知道吗?每年的3月3日是什么日子？生：爱眼日。

师：很遗憾，回答错误。

“3”象我们的耳朵，3月3日是全国爱耳日，那么爱眼日是什么时间呢？（学生猜测）师：6月6日，并且为“国际爱眼日”.眼睛是心灵的窗户，爱护眼睛，保护视力，对于我们来说至关重要，同学们，你们对自己的视力情况了解吗？（随机提问几位同学的视力是多少）你是通过什么样的方式知道的？(现场测试该同学的视力)生：(学生自由发言)……(学生会谈到测试距离问题)师：老师的视力现在还是1.5(也就是达到5.2),因为我借助视力表经常测试视力，时刻提醒自己保护视力的。

现在老师有个问题想请西安的同学帮个忙，原来我用的视力表测试距离是5米，可现在老师买了新房，小房间的距离只有2.8米，走访了许多书店和眼镜店只发现了测试距离是5米和3米的视力表，你能帮我做一个测试距离是2.8米的视力表吗？这就是今天我们一同要探究的《课题学习：制作视力表》。

学生起点分析制作视力表” 是学生充分学习图形相似内容，引入的一节课题学习，学生此前已完成“图形相似”与“图形位似”的学习， “线段的比”也相当的熟悉，在这样 的基础上研究制作视力表，可以加深学生对知识的理解及综合运用； 生熟知的生活实例，引导学生观察、分析生活现实和数学现实的相似现象，探究发现 视力表的制作原理，激发学生研究应用数学知识的乐趣。

教学任务分析课题学习“制作视力表”以探究视力表中蕴含的数学知识， 体会视力表的制作原 理，进一步发展学生综合运用数学知识分析问题，解决问题的能力；借助“制作视力表”进一步理解相似图形及其相似比、位似图形、位似比等有关内容。

借助视力表为 载体，帮助学生感受图形的相似；提高学生把握事物内在规律的能力；体验数形结合 的思想. 教学时培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交 流的能力， 同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试， 不要以教师的讲解代替学生 的思考、讨论；可以组建四人活动小组合作学习，促成学生以良好的情感态度主动参 与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流；教学目标1、探究视力表中蕴含的数学知识，体会视力表的制作原理，进一步发展学生综合运用数学知识分析问题，解决问题的能力；2、通过度量” E ”的长、宽及空白缺口宽，培养大家的动手能力，对所测量的数据进行探索它们之间的关系，训练学生的探索能力．3、通过探索视力表中的奥秘，让学生感受到数学活动充满着探索与创造，同时让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节： 第一环节：创设情景 ,导入课题；第二环节：探究新 知；第三环节：课堂练习；第四环节：深入探究，得出结论；第五环节：运用结论，综合与实践制作视力表视力表”是学制作视力表；第六环节：课堂总结；第七环节：布置作业。

课前准备工作：准备三角板、视力表、硬纸板数张。

第一环节：创设情景，导入课题［师］视力表对我们来说并不陌生.但你想过吗？视力表中蕴含着一定数学知 识.你知道是什么知识吗？本节课我们就来探索其中蕴含的奥秘.第二环节：探究新知［师］现在我们查视力时用的视力表，通常是哪一种呢? ［生］是由一组字母” E ” E ”的开口朝向为依据来测定视力的.换句话说，它 的两个空白缺口（如下图1中AB 、CD 两个缺口）.F 面我们以“标准对数视力表”为例，探索视力表中的奥秘:1、度量视力表中视力为 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2, 1.5, 2.0所对应的” E ”的长a ,宽b ,空白缺口宽d ,（如图2）.［生］填表如下：（投影片 课题学习B ）组成的视力表. ［师］对，它是以能分辨” 的测试依据是能否看清楚” E ”A b 图1D投影片（课题学习A ）请大家量视力表中的各个” E ”，并填写课本上的表格.2、观察数学完成以下问题串。

制作视力表教学目标（一）教学知识点探索视力表中的奥秘（二）能力训练要求通过度量”E”的长、宽及空白缺口宽，培养大家的动手能力．对所测量的数据进行探索它们之间的关系，训练学生的探索能力．（三）情感与价值观要求通过探索视力表中的奥秘，让学生感受到数学活动充满着探索与创造，同时让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．教学重点探索视力表中蕴含的数学知识教学难点探索视力表中蕴含的数学知识教学方法指导探索法即在教师的指导下，由学生自己动手去操作，并和同伴互相交流探索出结果．教具准备视力表一张三角板一个硬纸板若干张投影片两张第一张：（记作课题学习 A）第二张：（记作课题学习B）教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课［师］视力表对我们来说并不陌生．但你想过吗？视力表中蕴含着一定数学知识．你知道是什么知识吗？本节课我们就来探索其中蕴含的奥秘．Ⅱ．新课讲解［师］现在我们查视力时用的视力表，通常是哪一种呢？［生］是由一组字母”E”组成的视力表．［师］对，它是以能分辨”E”的开口朝向为依据来测定视力的．换句话说，它的测试依据是能否看清楚”E”的两个空白缺口（如下图中AB、CD两个缺口）．图1下面我们以“标准对数视力表”为例，探索视力表中的奥秘：度量视力表中视力为0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，1.5，2.0所对应的”E”的长a，宽b，空白缺口宽d，（如图2）．投影片（课题学习A）［生］填表如下：（投影片课题学习B）中的各”E ”形图之间有什么关系？［生］视力为0.1时，a =72 mm,b =72 mm,d =15 mm,可知”E ”的长和宽相等．视力为0.2时，a =36 mm,b =36 mm,d =7.5 mm,可知”E ”的长和宽相等，且272=36，215=7.5． 视力为0.3时，a =24 mm,b =24 mm,d =5 mm,可知”E ”的长和宽相等，并且372=24，315=5． 视力为0.4时，a =18 mm,b =18 mm,d =3.8 mm,可知”E ”的长和宽相等，且472=18，415=3.75．因为测量时有误差，眼睛大致可以精确到0.1 mm,所以有415≈3.8．由此可以猜想，视力为0.5时，a =572=14.5 mm,b =572=14.5 mm,d =515=3 mm ．视力为0.8时，a =772=9 mm,b =9 mm,d =815=1.9 mm ． 视力为1.0时，a =1072=7.2 mm,b =7.2 mm,d =1015=1.5 mm ． 视力为2.0时，a =2072=3.6 mm,b =3.6 mm,d =2015=0.75 mm ． 由此可知：视力表中的各”E ”形图都是长与宽相等的图形，如果把视力为0.1时的”E ”形图作为基本图形，则视力为0.2，0.3…2.0时的”E ”形图都与基本图形是相似图形．Ⅲ．课堂练习若一个视力表中的视力为0.1的”E ”的长、宽都为60 mm,空白缺口宽为12.5 mm ，求视力为0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，1.5，2.0时”E ”的长、宽，空白缺口宽．Ⅳ．课时小结本节课我们自己动手，探索出视力不同的”E ”形图之间的关系．Ⅴ．课后作业到有关单位进行调查，目前较为通用的视力表有哪几种？Ⅵ．活动与探究一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5米有一棵树，在河的对岸每隔50米有一根电线杆，在这岸离开岸边25米处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河宽．图3解：根据题意画图：可知DE =50 m,BC =20 m,AM =25 m ．∵BC ∥DE∴△ABC ∽△ADE ∴AN AM DE BC = 即AN255020= ∴AN =62.5 （m ）∴MN=AN－AM=62.5－25=37.5 （m）答：河宽为37.5 m．板书设计。

对“课题学习——制作视力表”一课的课例评析这是一堂数学专题学习活动课——制作视力表。

是学生探究性学习的典型课例。

教师通过让学生探究视力表中的数学问题，从而掌握视力表的制作方法。

这一过程综合运用数学知识分析问题、解决问题，使学生既学到了探究问题的方法，又使他们感受到数学来源于实际生活，而在生活中有着广泛的应用。

本人着重从一下方面对本课进行讨论评价。

首先，教师在教学中充分体现了学生的主体地位。

本节课，教师从实际问题出发，通过有层次、环环相扣的问题，创设了许多与实际生活有关的问题情境，活跃了课堂气氛，激发了学生的学习和探究兴趣。

如开始让学生展示课前准备的几个视力表，举例以前所见到的视力表等。

再观察分析这些E型图的特点，过渡到怎样制作E型图，进而探究两个E的关系，到制作E型图，拓展到根据相关条件制作符合要求的E型图。

教师有效地引导学生从数学的角度、用数学的方法研究实际问题，进而解决实际问题，体现了课题学习的价值。

本课以学生的主动参与为基础，以学生的思维发展为目标，让他们懂得如何去自主探究、合作交流。

如在小组合作测量了视力表中“E”的有关数据后，对数据的分析，教师关注每个学生对活动的参与程度，与小组成员的交往、协作能力，得到实验结果后与他人的交流、表述等。

老师在此给学生提供了较多的空间和时间，各组成员都有机会做汇报展示，小组交流合作的任务达四次之多，学生的主体作用得到充分的发挥。

其次，对课题学习模式的探讨。

课题学习要经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的基本模式。

通过这种模式使学生体验数学知识之间的内在联系，如这节课所体现的相似、位似知识在生活中的应用等，初步形成对相似图形的整体认识；获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识；通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。

正如一位学生在课堂小结谈体会说：在这节课中我学会了如何制作视力表，想不到一张小小的视力表，竟然包含这么多数学知识，今后我们要用数学的视角看待生活，用数学的方法思考生活中遇到的问题。

综合与实践制作视力表学生起点分析“制作视力表” 是学生充分学习图形相似内容，引入的一节课题学习，学生此前已完成“图形相似”与“图形位似”的学习，“线段的比”也相当的熟悉，在这样的基础上研究制作视力表，可以加深学生对知识的理解及综合运用；“视力表”是学生熟知的生活实例，引导学生观察、分析生活现实和数学现实的相似现象，探究发现视力表的制作原理，激发学生研究应用数学知识的乐趣。

教学任务分析课题学习“制作视力表”以探究视力表中蕴含的数学知识，体会视力表的制作原理，进一步发展学生综合运用数学知识分析问题，解决问题的能力；借助“制作视力表”进一步理解相似图形及其相似比、位似图形、位似比等有关内容。

借助视力表为载体，帮助学生感受图形的相似；提高学生把握事物内在规律的能力；体验数形结合的思想.教学时培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；可以组建四人活动小组合作学习，促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流；教学目标1、探究视力表中蕴含的数学知识，体会视力表的制作原理，进一步发展学生综合运用数学知识分析问题，解决问题的能力；2、通过度量”E”的长、宽及空白缺口宽，培养大家的动手能力，对所测量的数据进行探索它们之间的关系，训练学生的探索能力．3、通过探索视力表中的奥秘，让学生感受到数学活动充满着探索与创造，同时让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情景,导入课题；第二环节：探究新知；第三环节：课堂练习；第四环节：深入探究，得出结论；第五环节：运用结论，制作视力表；第六环节：课堂总结；第七环节：布置作业。

课前准备工作：准备三角板、视力表、硬纸板数张。

第一环节：创设情景，导入课题［师］视力表对我们来说并不陌生．但你想过吗？视力表中蕴含着一定数学知识．你知道是什么知识吗？本节课我们就来探索其中蕴含的奥秘．第二环节：探究新知［师］现在我们查视力时用的视力表，通常是哪一种呢？［生］是由一组字母”E”组成的视力表．［师］对，它是以能分辨”E”的开口朝向为依据来测定视力的．换句话说，它的测试依据是能否看清楚”E”的两个空白缺口（如下图1中AB、CD两个缺口）．图1下面我们以“标准对数视力表”为例，探索视力表中的奥秘：1、度量视力表中视力为0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，1.5，2.0所对应的”E”的长a，宽b，空白缺口宽d，（如图2）．投影片（课题学习A）请大家量视力表中的各个”E”，并填写课本上的表格．［生］填表如下：（投影片课题学习B）2、观察数学完成以下问题串。

学生通过现实生活中的经验积累，很容易确认这一结论：利用不同测试距离的视力表测量所得视力是相同的，但从数学角度说明这一结论的正确性，对于他们来说既陌生又新奇，所以这一问题及活动的设置更能激发学生强烈的求知欲望，感受数学与现实生活的密切联系，增强学习数学的信心。

培养学生归纳，总结，概括，口头表达能力。

同时，反思自己在学习中还存在那些不足，
自己的学习习惯是否还需要改进。

多媒体演示部分课题学习：制作视力表
各种视力表
E E E E
以给定的标准视力表为基础，制作一个测试距离为3米的视力表。

作者：西安市第六十二中学王瑶。

《制作视力表》说课设计《制作视力表》是九年制义务教育北师大版八年级数学下册第四章的课题学习。

我将从教材分析以及教学过程两部分设计说课稿。

一、教材分析在教材分析中，我将从教学目标、教学重点、教学难点三个方面加以说明。

1.教学目标：（1）知识与技能目标：探索视力表中蕴含的数学知识，体会视力表的制作原理，进一步发展学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

（2）过程与方法目标：①通过动手操作，培养学生的动手能力。

②在探索过程中培养学生的自主探索能力和合作交流能力。

（3）情感与价值观：体验从数学的角度观察、分析现实生活中的某些现象，初步形成“用数学”的自觉意识，激发求知欲和学习兴趣。

2.教学重点：探索视力表中蕴含的数学知识、视力表的制作原理。

3.教学难点：理解视力表中是用“E”字的高度和测试距离之比来检查视力的。

为了能够落实目标、突出重点、突破难点，在讲授本节课时，我将采用以下方法进行教学：二、教法分析1.情境教学法：创设问题情境，以学生感兴趣的并容易回答的问题为开端，让学生在熟悉的场景中轻松、愉快地回答老师提出的问题后，带着成功的喜悦进入新课的学习。

2.任务驱动法：将本节课的学习内容设计成学生感兴趣的学习任务，让学生带着任务去探究，激发他们的好奇心和求知欲。

3.实践教学法：在学生掌握制作原理后，将安排学生进行实践应用，学以致用。

这三种教学方法将贯穿于整个教学过程中，以帮助学生快速、正确地理解学习内容。

三、学法指导本节课采用自主探索与小组交流相结合的学习方式，让学生遵循“观察——猜想——验证——归纳——拓展”的主线进行学习，用已有的知识解决问题（最后，就是以上三个方面的综合应用，即教学过程部分）。

四、教学过程1.创设情境，导入新课。

本节课我设计了如下情境引入新课：同学们，你测过视力吗？你都见过什么样的视力表？把你搜集到的E型视力表展示给大家。

我们发现这些视力表有测试距离为5米的，有测试距离为3米的，还有测试距离为30厘米的，这些视力表都是以测试距离为５米的标准对数视力表为依据制作的，是怎样做的呢？这就是我们今天这节课所要探究的问题。

争鸣探索２０２４年４月下半月㊀㊀㊀初中数学项目式教学设计以 制作视力表 为例◉西华师范大学㊀王雨晨㊀㊀摘要:在 双减 和新课标的背景下,以解决真实复杂问题为导向的教学方法 项目式教学,成为各学校教师努力的方向,项目式教学也更注重培养学生的核心素养,鼓励学生将知识应用到生活中去解决实际问题．本文中将以北师大版初中数学九年级上册综合与实践部分的 制作视力表 为内容,展开项目式教学设计．关键词:项目式教学;初中数学;图形的相似㊀㊀近年来, 双减 和新课标中都重点提出了核心素养的概念,相对于传统观念,提高发现并解决实际问题的能力变得更为关键,人们开始重视项目式教学的实施与推广．由于现在信息发展十分迅速,学生接收信息的渠道非常多,部分学生厌倦了被动接受学习的方式,我们正好可以借此机会尝试开展项目式教学,来弥补传统填鸭式教育的不足,促进学生数学思维的发展．１项目式教学项目式教学是指学生围绕一个需要解决的真实且复杂的问题,借助工具,以小组形式进行探究并进行成果展示的教学方法．新课标中明确提出学生的数学学习最终应该落实到应用与实践上,重点在于解决实际问题．项目式教学的实施能够帮助学生熟练掌握所学的数学知识并学以致用,还能促进学生自主学习[１]．项目式教学主要是在初中阶段进行,项目式教学大致可以分为三个部分:入项㊁子项目㊁出项．入项也就是明确任务,入项时需要从学生的真实情况出发,交代清楚项目的背景,明确什么问题有待解决;子项目也就是子任务,为了使教学活动顺利进行,教师可以预见性地将整个项目分为若干个小项目,为学生指明研究的方向;出项也就是成果展示,整个项目成果展示要以学生为中心,同时确保展示的成果与入项是相对应的．２项目式教学案例设计２．１前期准备２．１．１确定主题项目式教学的关键是发掘合适的项目,项目的选取要依据教材,从学生的立场出发,找寻学生能够发现并探究的生活实例． 图形的相似 不仅是学生学习的重难点,还与生活中的一些现象息息相关,只训练学生这一单元的解题能力会使学生对相似的理解片面化,缺少应用意识．以 制作视力表 为主题设计的项目活动,聚焦学生生活的真实问题,能够让学生了解相似图形在实际生活中的作用,提升学生合作沟通㊁解决问题的能力,同时加强保护眼睛的意识．从学生的需求来看,我国青少年近视问题呈高发性㊁低龄化㊁重度化趋势,保护眼睛㊁预防近视的重要性日益凸显． 制作视力表 课题接近学生生活,活动结束后教师在墙上张贴学生制作的视力表,首先能够让学生欣赏到自己的研究成果,也能提醒他们注意平时的用眼习惯．同时,初三的学生已经学习了眼睛成像原理,对近视已经有了初步认识,知晓其中的物理知识,但不清楚其中所蕴含的数学知识,通过此次 制作视力表 的活动,学生可以感受到各学科之间相互融合,体会数学是解决社会问题的研究工具这一理念．因此,本次项目可以作为第四章的趣味教学活动供学生学习．２．１．２明确目标根据课程标准要求,确定本次项目式教学的学习目标为:能够运用图形相似等知识解决实际问题,仿照标准的视力表,制作距离变化后新的视力表;在制作视力表的过程中积累数学活动经验,培养动手操作能力;感受数学在社会发展过程中是不可或缺的,增强学习数学的信心．２．１．３组建小组作为一种合作学习模式,组建合适的小组也是活动顺利进行以及学生成功融入活动的前提．一般情况下,学生会根据爱好㊁兴趣㊁能力等因素自行组建小组,但为了避免产生扎堆现象,教师应该综合评定小组成员的能力,给予意见并尝试调换,保证每一位学生都能积极地参与其中．小组成员确定后需进行组内分工,每个人都要有自己的任务,有自己的责任,能够为小组活动贡献自己的力量[２]．８８２０２４年４月下半月㊀争鸣探索㊀㊀㊀㊀２．２中期实践在活动开始前,按照书本第二问的要求提前准备好硬纸板．环节１:创设情境,导入项目．教师利用多媒体展示视力表的图片,从 你了解视力表吗 这一问题开始,并展示标准对数视力表,讲解视力表的背景知识,让学生找寻视力表中蕴含的数学特征,顺势提出驱动性问题:坐在最后一排与坐在第一排的学生可以看同一个视力表吗如何根据教室的面积大小制作合适的视力表设计意图:通过视力表这一载体,将物理与数学联系起来．驱动性问题是学生感兴趣和切实需要的,结果也是开放的,有利于学生发散思维．环节２:拆分项目,指明方向．根据学生对相似图形知识掌握的基本情况,可以分成两个子项目．子项目一:观察标准对数视力表,提出猜测并动手操作验证．子项目二:分组完成不同距离下视力表的制作．设计意图:拆分之后的小项目是学生进行探究的一条绳索,尤其是对项目活动无从下手的学生,他们能够借此熟悉探究学习的步骤,为探究做好铺垫．环节３:项目探究．针对子项目一,组织学生分别对测试距离为３．３m 和５m 的数据进行研究,完成课本上的表格．学生可能会有疑问:为什么两种测试距离测出来的视力是一致的此时,引导学生观察同一视力下,不同测试距离中各 E 形图之间有什么关系．教师顺势讲解 视角外界物体发射出来的光线在眼球内节点处所形成的角．同时,利用动画向学生展示:视角不变,视力一定;视力一定,视角不变．借助事先准备好的硬纸板,按照书上的步骤,以小组为单位动手操作．学生在动手操作的过程中可以发现 E 形图与节点构成的五个直角三角形相似,能够顺理成章地找出 E形图的高与测试距离之间的关系,不难得出b １l １＝b ２l ２＝b ３l ３＝b ４l ４＝b ５l ５,验证了之前的猜想正确．针对子项目二,学生已经对制作不同距离视力表的思路有了大致轮廓．教师根据教室的规格选定几个测试距离,例如３m ,４m ,６m ,７m 等,让每个小组制作不同测试距离的视力表,鼓励学生装饰视力表并规定好成果展示的时间．为了学生能够顺利完成视力表的制作,教师应该提出几点要求:(１)设计制作视力表的方案;(２)记录探究过程中的疑难或成果;(３)记录每位组员的工作等．设计意图:小组活动锻炼了学生合作沟通的能力,培养了学生的数学抽象和数学建模等数学核心素养,同时还伴随着学生责任意识的培养．２．３后期展示环节４:成果展示．成果展示能够有效地将活动效果反馈给师生,这里的成果包括最终成果以及探究过程中的成长与小成果．成果展示要以学生为中心,给学生创造自主展示和交流成果的机会,鼓励学生做出别具一格的成果汇报,不局限于P P T 展示．教师应要求每个小组派代表汇报本小组的成果内容及制作视力表的思路,也可以分享自己的收获和体会．本次活动接近尾声时,可以让感兴趣的学生进行进一步的探究,比如,不同医院的体检部门有什么样的视力表,它们与本次活动探究的视力有什么换算关系?最好能整理撰写一份调查报告．设计意图:学生可以体会劳动果实带来的喜悦之情,为台下的学生讲清楚制作视力表过程的同时,语言表达能力也得到了锻炼．环节５:项目评价．项目评价起着激励学生进一步学习的作用,对学生的表现㊁变化以及学习成果进行及时有效的评价,有利于教师优化下一次课堂教学．项目评价主要包括组内成员评价㊁不同组学生之间互评㊁教师评价．组内评价是小组成员根据小组成员在合作过程中的表现互相打分,便于组内监督;不同组学生之间的互评主要是指学生在进行成果展示时,台下的学生对该小组的汇报进行点评,评价该小组的数据是否准确㊁制作的视力表是否符合要求㊁有哪些东西是自己没有想到的;教师评价是整个项目评价的重要部分,教师应该把握好成果展示的时机,对学生提出具有针对性的建议．设计意图:学生的成果没有对错之分,但是总会有学生没有注意的地方,项目评价为后续教师了解学情㊁安排下一节教学内容提供便利．３实施建议项目式教学是一个灵活多样的教学活动,需要教师有很高的教学机智,能够及时处理项目活动中的小插曲．教师要注意角色的转变,在项目活动中大胆地相信学生可以做得更好,给学生充足的时间自主探索㊁体会数学的魅力．教师不能把项目式教学看作拯救传统教学的新方法,不是所有的教学内容都可以运用项目式教学．我们要拥有批判性思维,结合学生的特色选择合适的教学内容㊁教学方法,不能为了实施项目式教学而强行安排项目．参考文献:[１]吕治成．项目式教学法在初中数学教学中的应用策略[J ]．理科爱好者,２０２２(３):１４７Ｇ１４９．[２]梁宙荣．项目式学习模式在初中数学教学中的应用探索 以 函数 教学为例[J ]．理科爱好者,２０２２(３):７４Ｇ７６．Z９８。