SAS学习系列25. 非线性回归

非线性回归分析的入门知识在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。

在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。

因此，非线性回归分析就应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。

本文将介绍非线性回归分析的入门知识，包括非线性回归模型的基本概念、常见的非线性回归模型以及参数估计方法等内容。

一、非线性回归模型的基本概念在回归分析中，线性回归模型是最简单和最常用的模型之一，其数学表达式为：$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_pX_p +\varepsilon$$其中，$Y$表示因变量，$X_1, X_2, ..., X_p$表示自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_p$表示模型的参数，$\varepsilon$表示误差项。

线性回归模型的关键特点是因变量$Y$与自变量$X$之间呈线性关系。

而非线性回归模型则允许因变量$Y$与自变量$X$之间呈现非线性关系，其数学表达式可以是各种形式的非线性函数，例如指数函数、对数函数、多项式函数等。

一般来说，非线性回归模型可以表示为：$$Y = f(X, \beta) + \varepsilon$$其中，$f(X, \beta)$表示非线性函数，$\beta$表示模型的参数。

非线性回归模型的关键在于确定合适的非线性函数形式$f(X,\beta)$以及估计参数$\beta$。

二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种简单且常见的非线性回归模型，其形式为： $$Y = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2X^2 + ... + \beta_nX^n +\varepsilon$$其中，$X^2, X^3, ..., X^n$表示自变量$X$的高次项，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$表示模型的参数。

SAS进行多元非线性回归多元非线性回归方程重要方法是转化为线性回归方程.转化时应首先选择适合的非线性回归形式，并将其线性化。

对于实际问题，首先应对原始数据进行作图或通过观察，选择适当函数进行拟合。

已知1978~2006年全国GDP（y），第一产业x1、第二产业x2、工业生产总值x3、第三产业生产总值x4，请建立y对x1~x4的回归模型。

[plain]viewplaincopyprint?1. dataex;2. inputyx1-x4@@;3. y1=log(y);z1=log(x1);z2=log(x2);z3=log(x3);z4=log(x4);/*对数据做变化，取对数后再做回归分析*/4. cards;5. 16.84535.60927.44366.37353.79256. 21.3836.632910.05858.75844.69167. 23.17166.581911.14249.66235.44738. 25.72897.097412.318110.66416.31349. 28.62477.797313.510111.2887.317310. 32.31039.195214.634312.08648.480811. 36.403710.068816.166412.982210.168512. 45.077412.084419.730115.583813.262913. 51.474913.139522.25217.452816.083414. 63.413517.454327.536321.419321.122915. 82.348419.430435.629428.867827.288616. 92.714321.203139.383233.019432.12817. 101.463324.377240.579634.337836.506518. 117.417824.194148.475941.011444.747819. 147.521326.615162.683452.289358.221920. 188.895830.161382.385367.892176.349221. 253.057735.8777111.32491.4335105.85622. 320.407245.578137.4362102.6372137.39323. 397.570158.3757167.9238130.2389171.270624. 475.869168.732197.5005157.0486209.636625. 534.596970.7519222.8439174.1697241.001126. 580.03671.3285238.4684187.0766270.239127. 656.409874.1104268.3988206.0297313.900628. 728.077478.3636297.0933217.9077352.620529. 812.846979.1826328.0378229.521405.626530. 929.485883.2886393.6734268.2806452.523831. 1133.8828103.3327504.571341.5303525.979132. 1519.90112.59655.27469.28752.0433. 1790.66123.25774.66584.41892.7534. ;35. p rocreg;/*reg调用回归模块*/36. m odely1=z1z2z3z4/cli;/*表示以z1z2z3z4为自变量，y1为应变量建立回归模型，/cli表示要求预测区间。

用SAS 作回归分析前面我们介绍了相关分析，并且知道变量之间线性相关的程度可以通过相关系数来衡量。

但在实际工作中，仅仅知道变量之间存在相关关系往往是不够的，还需要进一步明确它们之间有怎样的关系。

换句话说，实际工作者常常想知道某些变量发生变化后，另一个相关变量的变化程度。

例如，第六章中已经证明消费和收入之间有很强的相关关系，而且也知道，消费随着收入的变化而变化，问题是当收入变化某一幅度后，消费会有多大的变化？再比如，在股票市场上，股票收益会随着股票风险的变化而变化。

一般来说，收益和风险是正相关的，也就是说，风险越大收益就越高，风险越小收益也越小，著名的资本资产定价模型（CAPM ）正说明了这种关系。

现在的问题是当某个投资者知道了某只股票的风险后，他能够预测出这只股票的平均收益吗？类似这类通过某些变量的已知值来预测另一个变量的平均值的问题正是回归分析所要解决的。

第一节 线性回归分析方法简介一、回归分析的含义及其所要解决的问题“回归”(Regression)这一名词最初是由19世纪英国生物学家兼统计学家F.Galton(F.高尔顿)在一篇著名的遗传学论文中引入的。

高尔顿发现，虽然有一个趋势：父母高，儿女也高；父母矮，儿女也矮，但给定父母的身高，儿女辈的平均身高却趋向于或者“回归”到全体人口的平均身高的趋势。

这一回归定律后来被统计学家K.Pearson 通过上千个家庭成员身高的实际调查数据进一步得到证实，从而产生了“回归”这一名称。

当然，现代意义上的“回归”比其原始含义要广得多。

一般来说，现代意义上的回归分析是研究一个变量（也称为因变量Dependent Variable 或被解释变量Explained Variable ）对另一个或多个变量（也称为自变量Independent Variable 或Explanatory Variable ）的依赖关系，其目的在于通过自变量的给定值来预测因变量的平均值或某个特定值。

非线性回归NLIN过程NLIN过程是SAS系统中专门用于实现非线性回归的过程。

由于非线性模型要比线性模型更难作出估计，因此对于某些模型，NLIN过程并不能保证进行成功的拟合。

NLIN 过程的语句格式为：PROC NLIN DATA=数据集名<选项>；MODEL因变量名=表达式；PARAMETERS参数名=值；BOUNDS表达式；DER.参数名=表达式；DER.参数名.参数名=表达式RUN；其中PROC语句、MODEL语句和PARAMERERS语句是必须的，其他语句可根据永辉以及模型的需要而进行选用。

语句说明（1）PROC语句用于规定运行NLIN过程，并制定要分析的数据集名。

选项有：METHOD=选项---规定NLIN过程使用的迭代方法。

AMERHOD=选项---规定迭代过程中所使用（2）MODEL语句用于规定因变量和要拟合的模型表达式。

（3）PARAMERERS语句用于规定模型中的参数名，以及它们的初始值。

（4）BOUNDS语句用于限定参数估计的范围。

（5）DER语句用来规定对参数的一阶或二阶导数的表达式。

对变量间非线性相关问题的曲线拟合，先决定非线性模型的函数类型，处理的方法主要有：当实际问题的曲线类型不易确定时，由于任意曲线都可由多项式来逼近，因此经常用多项式回归来近似拟合曲线对于可线性化的问题则通过变量代换将其线性化，从而归结为前面的多元线性回归问题来解决。

若变量间的非线性关系式已知，且难以用变量代换法将其线性化，则进行数值迭代的非线性回归分析。

1、非线性回归proc nlin过程对于不能线性化的非线性模型，在SAS系统中可通过proc nlin 过程来实现相应的计算。

Proc nlin 过程采用最小二乘法及迭代估计法来建立一个非线性模型。

用户一般须自定参数的名字、参数的启动值、非线性的模型与迭代估计所用的方法；若用户不指明，则默认为高斯-牛顿迭代法。

Proc nlin 过程的主要控制语句：PROC NLIN <options>；MODEL dependent=expression;PARAMETERS parameter=values<parameter=values,……>;BOUNDS inequality<,……, inequality>;ID variables;OUTPUT OUT=SAS-data-set keyword=names<,……, keyword=names>;BY variables;RUN;Proc nlin 语句选项列表中的主要选项outset=数据集名-----指定存放参数估计的每步迭代结果的数据集名。

非线性回归数学知识点总结非线性回归分析通常基于统计原理和方法，通过对观测数据的分析来估计模型参数，从而找到自变量和因变量之间的关系。

对于不同类型的非线性关系，可以采用不同的非线性回归模型来进行分析。

本篇文章将从以下几个方面来总结非线性回归的相关数学知识点：非线性回归模型的基本概念、非线性回归模型的参数估计、非线性回归模型的假设检验、非线性回归模型的模型选择和验证等。

1. 非线性回归模型的基本概念非线性回归模型是一种描述自变量和因变量之间非线性关系的数学模型。

非线性回归模型通常可以表示为如下形式：Y = f(X,θ) + ε其中，Y是因变量，X是自变量，f()是非线性函数，θ是模型参数，ε是误差项。

在实际问题中，我们可以根据问题的特点选择合适的非线性函数f()来描述自变量和因变量之间的关系。

比如，如果我们观测到因变量Y与自变量X之间存在指数关系，那么我们可以选择指数函数来描述这种关系。

如果我们观测到因变量Y与自变量X之间存在对数关系，我们可以选择对数函数来描述这种关系。

2. 非线性回归模型的参数估计在实际问题中，我们通常需要通过观测数据来估计非线性回归模型的参数。

参数估计的目标是求解模型参数θ的值，使得模型与观测数据的拟合程度最好。

参数估计的方法通常包括最小二乘法、最大似然估计、贝叶斯方法等。

其中，最小二乘法是应用最广泛的一种参数估计方法。

最小二乘法的基本思想是求解参数θ，使得模型预测值与观测数据的残差平方和最小。

3. 非线性回归模型的假设检验在参数估计之后，我们通常需要对非线性回归模型的拟合效果进行假设检验。

假设检验的目的是判断模型的拟合程度是否显著。

在假设检验中，通常会进行F检验、t检验、残差分析等。

F检验是用来判断整个模型的符合程度，t检验是用来判断模型参数的显著性。

残差分析是用来检验模型对观测数据的拟合程度。

4. 非线性回归模型的模型选择和验证在实际问题中，我们通常会遇到多个可能的非线性回归模型。

非线性回归模型非线性回归模型是研究量与量之间非线性关系的一种统计方法。

它利用可以描述非线性现象的数学模型，来拟合所需的结果，并反映所产生的参数的变化。

它的基本原理是通过观察变量之间的关系，以确定未知参数的数值可以拟合哪一种特定的函数。

以下是关于非线性回归模型的主要知识：一、主要原理非线性回归模型用来处理非线性关系的依赖变量和自变量之间的因果关系或效果。

它使用可以描述非线性现象的数学模型来拟合结果，并反映所产生的参数的变化。

二、类型1. 指数函数回归：利用指数函数进行拟合，以确定自变量和因变量之间关系，指数函数回归可能是最简单的非线性回归模型。

2. 对数函数回归：利用对数函数拟合，以确定自变量和因变量之间关系，它属于可泛化的非线性回归模型。

3. 偏差项回归：利用偏差项（离散变量或混合变量）构建的非线性回归模型，其中偏差项会有自身的参数，需要以正态分布估计参数。

4. 广义线性模型：利用广义线性模型拟合数据，以确定自变量和因变量之间关系，它是一类通用的非线性模型。

三、应用1. 时间序列分析：非线性回归模型可以利用时间序列数据进行拟合，得到完整的时间序列分析。

2. 数据建模：可以利用多因子回归模型全面分析多变量与因变量之间的变化趋势，以建立完整的模型，从而更好地理解数据背后的规律。

3. 预测：可以利用非线性回归模型对未知数据进行分析，从而有效预测出未来的趋势，为有效决策提供更好的依据。

四、优点1. 运用灵活：因为非线性回归模型的原理简单，实际应用却极其灵活，可以用于各种不同的数据分析。

2. 准确率高：它的准确性和稳定性都比线性回归模型高，因此可以在更多的情况下使用。

3. 结构简单：这种模型具有一种简洁实用的建模结构，并可以快速构建出模型所需的参数。

五、缺点1. 容易过拟合：由于非线性回归模型的参数容易受环境的影响，容易出现过拟合的情况。

2. 收敛慢：由于非线性回归模型很容易受参数限制，估计收敛速度往往比较慢。

几类常用非线性回归分析中最优模型的构建与SAS智能化实现一、本文概述本文旨在探讨几类常用非线性回归分析中最优模型的构建方法，以及如何利用SAS软件实现这些模型的智能化分析和处理。

非线性回归分析在诸多领域，如社会科学、生物医学、工程技术和经济管理等，具有广泛的应用价值。

通过构建最优的非线性回归模型，我们可以更准确地揭示变量之间的复杂关系，提高预测和决策的精确度。

文章首先将对非线性回归分析的基本概念和原理进行简要介绍，为后续研究奠定基础。

接着，将重点讨论几类常用的非线性回归模型，包括多项式回归模型、指数回归模型、对数回归模型等，并分析它们的适用场景和优缺点。

在此基础上，本文将详细介绍如何利用SAS软件构建和优化这些非线性回归模型。

SAS作为一款强大的统计分析软件，提供了丰富的非线性回归分析工具，包括模型选择、参数估计、模型验证和预测等功能。

通过SAS的智能化实现，我们可以更高效地处理大量数据，提高模型的拟合度和预测精度。

本文将通过实际案例演示如何应用SAS软件进行非线性回归分析，展示其在实践中的应用价值和效果。

还将对非线性回归分析中可能遇到的问题和挑战进行讨论，并提出相应的解决策略和建议。

通过本文的研究，我们期望能为非线性回归分析领域的理论研究和实际应用提供有益的参考和借鉴，推动该领域的发展和进步。

二、非线性回归分析基础在统计学中，回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（响应变量）和自变量（预测变量）之间的关系。

当这种关系不能用简单的直线或平面来描述时，我们通常称之为非线性关系，此时就需要使用非线性回归分析。

非线性回归分析旨在找到一种最能描述数据之间复杂关系的数学模型。

其中，(y) 是因变量，(x) 是自变量（可能是一个或多个），(\beta) 是一组待估计的参数，而 (f) 是一个非线性函数。

非线性回归分析的目标是找到最佳的参数估计值 (\beta)，使得模型预测值与实际观测值之间的偏差最小。

几类常用非线性回归分析中最优模型的构建与SAS智能化实现随着数据量的不断增加，线性回归模型的应用范围逐渐受限。

非线性回归模型的应用逐渐成为了趋势。

在实际应用中，我们常用非线性模型对数据进行拟合和预测，从而达到更好的效果。

但是，如何进行最优模型的构建一直是非线性回归分析的难点之一。

本文主要探讨几类常用非线性回归分析中最优模型的构建与SAS智能化实现。

一、Logistic回归模型Logistic回归模型是非线性回归分析中最常用的模型之一，尤其适用于分类问题。

它主要是通过构建一种函数，将连续的自变量映射为离散的因变量。

简单来说，就是通过一定的数学模型，把数据点根据它们的特征属性分成两个或多个不同的类别。

但是，在构建Logistic回归模型时需要注意以下几点：1. 模型假设Logistic回归模型的假设是基于逻辑函数的，因此模型的输出变量必须是二元的（0或1）。

如果输出变量是多元的，则可以使用一些其他的非线性回归模型，如多层神经网络。

2. 自变量的选择在构建Logistic回归模型时，需要认真选择自变量。

在数据分析前，需要进行一定的特征选择。

那些能够最好地分类的自变量将被选择用于模型的拟合和预测。

3. 解释模型变量在最好的情况下，模型的每个变量都应该有一个明确的解释。

因此，在进行模型构建时，需要仔细考虑每个变量的含义，以便进行合理的模型解释。

在SAS中，Logistic回归模型的构建和拟合非常简单。

以下代码段展示了如何使用SAS构建Logistic回归模型：```proc logistic data=mydata;class category1 category2 category3;model y = x1 x2 x3 category1 category2 category3;run;```其中，`mydata`为数据集名称，`category1`、`category2`和`category3`是分类变量，`x1`、`x2`和`x3`是连续变量，`y`是因变量。

几类常用非线性回归分析中最优模型的构建与SAS智能化实现摘要：非线性回归分析是一种常见的数据建模方法，在许多实际应用中起着重要作用。

本文将介绍几类常用的非线性回归分析模型，包括多项式回归模型、指数回归模型、对数回归模型和幂函数回归模型，并提出了构建最优模型的方法。

同时，还将介绍SAS软件如何实现这些非线性回归分析。

关键词：非线性回归分析；最优模型；SAS1. 引言随着数据科学的快速发展，非线性回归模型在数据建模中得到了广泛的应用。

与线性回归模型相比，非线性回归模型能够更好地拟合复杂的数据关系。

在实际应用中，选择最优的非线性回归模型对于提高模型的预测性能至关重要。

因此，本文将介绍几类常用的非线性回归模型，并提出构建最优模型的方法。

2. 多项式回归模型多项式回归模型是非线性回归分析中最为常见的模型之一。

它通过增加自变量的高次项来拟合多项式关系。

对于给定的数据集，我们可以通过交叉验证或信息准则等方法选择适当的多项式阶数，从而得到最优的多项式回归模型。

SAS软件提供了相关函数和过程，可以自动选择最优的多项式阶数，并给出相应的模型解释。

3. 指数回归模型指数回归模型适用于具有指数增长或衰减趋势的数据。

在指数回归模型中，因变量和自变量之间的关系可以表示为y =a * exp(b * x)，其中a和b是待估计的参数。

为了求解这些参数，可以利用最小二乘法或最大似然估计等方法。

SAS提供了指数回归模型的拟合函数和过程，使得模型构建过程更加简便。

4. 对数回归模型对数回归模型适用于自变量和因变量之间呈现指数关系的数据。

对数回归模型可以通过对因变量或自变量取对数来转化为线性回归模型。

常用的对数回归模型有对数线性模型和对数多项式模型。

SAS软件提供了对数回归模型的构建和拟合过程，可以根据数据的特点选择最合适的对数回归模型。

5. 幂函数回归模型幂函数回归模型是非线性回归模型的又一种常见形式。

幂函数回归模型通过引入幂函数来拟合数据。

第三十四课 非线性回归分析现实世界中严格的线性模型并不多见，它们或多或少都带有某种程度的近似；在不少情况下，非线性模型可能更加符合实际。

由于人们在传统上常把“非线性”视为畏途，非线性回归的应用在国内还不够普及。

事实上，在计算机与统计软件十分发达的令天，非线性回归的基本统计分析已经与线性回归一样切实可行。

在常见的软件包中（诸如SAS 、SPSS 等等），人们已经可以像线性回归一样，方便的对非线性回归进行统计分析。

因此，在国内回归分析方法的应用中，已经到了“更上一层楼”，线性回归与非线性回归同时并重的时候。

对变量间非线性相关问题的曲线拟合，处理的方法主要有：● 首先决定非线性模型的函数类型，对于其中可线性化问题则通过变量变换将其线性化，从而归结为前面的多元线性回归问题来解决。

● 若实际问题的曲线类型不易确定时，由于任意曲线皆可由多项式来逼近，故常可用多项式回归来拟合曲线。

● 若变量间非线性关系式已知（多数未知），且难以用变量变换法将其线性化，则进行数值迭代的非线性回归分析。

一、 可变换成线性的非线性回归在实际问题中一些非线性回归模型可通过变量变换的方法化为线性回归问题。

例如，对非线性回归模型()t i t i t i t ix b ix a y εα+++=∑=210sin cos(34.1)即可作变换：t t t t t t t t x x x x x x x x 2sin ,2cos ,sin ,cos 4321====将其化为多元线性回归模型。

一般地，若非线性模型的表达式为：()()()t m m t t t x g b x g b x g b b y ++++= 22110(34.2) 则可作变量变换：()()()t m m t t t t t x g x x g x x g x ===*2*21*1,,, (34.3)将其化为线性回归模型的表达式，从而用前面线性模型的方法来解决，其中式(34.3)中的x t 也可为自变量构成的向量。

25. 非线性回归现实世界中严格的线性模型并不多见，它们或多或少都带有某种程度的近似；在不少情况下，非线性模型可能更加符合实际。

对变量间非线性相关问题的曲线拟合，处理的方法主要有：〔1〕首先确定非线性模型的函数类型，对于其中可线性化问题那么通过变量变换将其线性化，从而归结为前面的多元线性回归问题来解决；〔2〕假设实际问题的曲线类型不易确定时，由于任意曲线皆可由多项式来逼近，故常可用多项式回归来拟合曲线；〔3〕假设变量间非线性关系式〔多数未知〕，且难以用变量变换法将其线性化，那么进行数值迭代的非线性回归分析。

〔一〕可变换为线性的非线性回归在很多场合，可以对非线性模型进行线性化处理，尤其是可变换为线性的非线性回归，运用最小二乘法进行推断，对线性化后的线性模型，可以应用REG过程步进行计算。

例1 有实验数据如下：试分别采用指数回归〔y =ae bx〕方法进行回归分析。

代码：data exam25_1;input x y;cards;1.1 109.951.2 40.451.3 20.091.4 24.531.5 11.021.6 7.391.7 4.951.82.721.9 1.822 1.492.1 0.822.2 0.32.3 0.22.4 0.22;run;proc sgplot data = exam25_1;scatter x = x y = y;run;proc corr data = exam25_1;var x y;run;data new1;set exam25_1;v = log(y);run;proc sgplot data = new1;scatter x = x y = v;title'变量代换后数据';run;proc reg data = new1;var x v;model v = x;print cli;title'残差图';plot residual. * predicted.;run;data new2;set exam25_1;y1 = 14530.28*exp(-4.73895*x);run;proc gplot data = new2;plot y*x=1 y1*x=2 /overlay;symbol v=dot i=none cv=red;symbol2i=sm color=blue;title'指数回归图';运行结果：程序说明：〔1〕调整后的R 2=0.9831，说明拟合程度很好；F 检验的P 值=0.0001<α=0.05，拒绝原假设，故直线回归的斜率不为0；〔2〕将线性回归系数代入，得到原回归方程y =14530.28*e −4.73895x〔3〕残差图趋势，符合残差随机正态分布的假设〔不带其它明显趋势〕。

第22卷第1期大　学　数　学Vol.22,№.1 2006年2月COLL EGE MA T H EMA TICS Feb.2006应用SA S解非线性回归问题韩汉鹏(华南热带农业大学基础学院,海南儋州571737) [摘　要].应用SAS/STA T估计非线性回归模型中的参数.首先,通过变量代换,把可以线性化的非线性回归模型化为线性回归模型,并用普通最小二乘法、主成分分析法和偏最小二乘法求模型中的参数和回归模型.其次,通过改良的高斯—牛顿迭代法来估计Logistic模型和Compertz模型中的参数.[关键词]非线性回归模型;主成分分析;偏最小二乘回归法;改良高斯—牛顿迭代法;SAS/STA T[中图分类号]O212 [文献标识码]B [文章编号]167221454(2006)01200042051　引 言线性回归分析被应用于许多领域,取得了可喜的成绩.然而,在自然科学中严格的线性模型并不多见.由于非线性回归分析计算繁杂,因而传统上把非线性回归视为畏途,使之应用受到限制.随着大型统计软件SAS等的出现,非线性回归的统计分析也可以像线性回归一样切实可行.本文讨论应用SAS/STA T求解非线性回归的若干问题.2　可线性化的非线性回归分析在实际应用中,许多回归模型的被解释变量与解释变量之间的关系并不是线性的,但被解释变量与未知参数之间的关系却是线性的.于是,有关被解释变量对解释变量的非线性回归分析可以通过变量代换转化成对解释变量也是线性回归分析的情形.2.1　非线性模型已知的情形一块土地的立地指数是用来描述该土地上林木生产潜力的一种方法,它是以造林年数和优势木平均高为基础的立地指数方程H=L exp(b-(-1/A+1/20)).表1中给出了两种不同立地类型林分的观测数据共25次(见表1).现建立每一类型林分的立地指数方程.表1　部分林木样地测高材料类型111111111111样地111222333444年龄2224288121481012252628树高12.613.014.05.56.87.211.713.714.322.222.322.6类型2222222222222样地1111222333444年龄101112142226278912252629树高15.116.016.917.013.414.414.85.36.78.211.612.213.5这是一个可线性化的非线性回归模型,两边取对数得y=a+bx,其中y=ln H,a=ln L,x=1/20-1/A.应用统计软件SAS先求第一类型林分的立地指数方程,程序如下:　[收稿日期]2005201218data han1;　inp ut A H @@;　x =1/20-1/A ;　y =log (H );　cards22　12.6　24　13.0　28　14.0　8　5.5　12　6.8　14　7.2　8　11.7　10　13.712　14.3　25　22.2　26　22.3　28　22.6;proc reg ;　model y =x ;　run ;　部分输出结果如下:Source F Value Pr >F Variable Estimate t Value Pr >|t|Model 7.150.0233Intercept 2.6980921.66<.0001Errorx8.812372.670.0233 由以上结果可得b =8.81237,a =ln L =2.69809,即L =14.85,y =14.85+8.81237x.同理可得第二类型林分立地指数方程为y =2.60467+6.13084x.于是,两种类型林分立地指数和长势变化率的差异检验,就是两条回归直线的共截距性和平行性的检验,其实质上是单因子完全随机试验的协方差分析.2.2　非线性回归模型未知的情形表2为一只红铃虫的产卵数与温度的数据,试根据这些数据拟合适当的模型.表2　产卵数与温数的数据表温度x 21232527293235产卵数y711212466115325 根据经验可用指数方程y =β0e β1x和二次方程y =β0+β1x 2进行拟合.先进行线性化u =a +β1x ,其中u =ln y ,a =ln β0和y =β0+β1t ,其中t =x 2.SAS 程序如下:data han2;　inp ut x y @@;　u =log (y );　t =x 332;　cards ;21　7　23　11　25　21　27　24　29　66　32　115　35　325;proc reg ;　model u =x ;　model y =t ;　run ;　部分输出结果如下:Dependent Variable :u Dependent Variable :y Source F Value Pr >F Source F Value Pr >F Model 333.87<.0001Model 20.290.0064R -Square 0.9852R -Square 0.8023Variable Estimate t Value Pr >|t|Variable Estimate t Value Pr >|t|Intercept -3.84917-9.300.0002Intercept -202.54342-3.050.0284X0.2720318.27<.0001t0.366984.500.0064 结果显示两个回归方程都显著.由拟合优度R 2值可知,用指数方程进行拟合比用二次方程好,其中β0=e -3.84917=0.0214,β1=0.27203,回归方程y =0.0214e0.27203x.2.3　单因子试验反应曲线的拟合单因子试验设计中,因子的合理值范围可通过配合反应曲线进行讨论.如果因子有a 个水平,则有可能配合最高为a -1阶的多项式.在人造纤维拉力强度试验中,纤维中的棉花百分率是影响拉力强度的因素,因子水平与试验结果见表3.下面用多项式回归、主成分分析和偏最小二乘法进行讨论.因回归分析显示4次项不显著,故可配合3次多项式.在以下的S A S 程序中,z 1=x ,z 2=x 2,z 3=x 3.5第1期 韩汉鹏:应用SAS 解非线性回归问题表3　纤维拉力强度数据表棉花百分率(%)观察值1234515771511920121712181825141818191930192522192335710111511 data han3;　inp ut　y　z1　z2　z3　@@;　cards;;(数据集输入略)proc pls cv=one out model=had4met hod=simples;model　y=z1　z2　z3;　run;proc　reg　data=han3　outest=han5;model　y=z1　z2　z3/pcomit=1　outvif;　run;proc　reg　data=han3;model　y=z1　z2　z3;　p roc　print;　run;以上程序之偏最小二乘法、主成分回归和多项式回归的主要输出结果如下:Obs LV T YPE z1z2z3X y Y13SIM......2.CEN TER256759375.15.04.3.SCAL E7.2169363.36114504.62.5.1517.93B-12.623933.956-21.41..model type depvar ridge pcomit rmse Intercept z1z2z3y model1parms y.. 3.0483962.6114-9.01140.48143-0.0076-1 Variable Parameter Estimate St d Error t Value Pr>|t|Intercept62.6114339.75744 1.570.1302 z19.01143 5.19661-1.730.0976z20.481430.21605 2.230.0369z30.00760.00287-2.640.0152 由输出结果可得z1-25 7.2169×(-12.6239)+z2-675363.361×33.956+z3-1937514504.62×(-21.4)=y-15.045.1517,化简得y=62.6287-9.0114z1+0.4814z2-0.0076z3,此为偏最小二乘法建立的回归方程.主成分分析和多项式回归建立的方程为y=62.6114-9.0114z1+0.48143z2-0.0076z3.此例利用主成分分析和多项式进行建模的结果相同.但应注意,主成分分析提取的主成分,因其只考虑对自变量的综合能力,完全撇开对因变量的影响,这就导致主成分虽然能很好地概括自变量集中的信息,却往往对因变量缺乏解释能力.相比之下,偏最小二乘法在自变量集中提取主成分时,既能很好地概括自变量集中的信息,又对因变量有最强的解释能力.因此,当自变量集存在较强的共线性时,用偏最小二乘法建模比主成分建模要好.6大　学　数　学 第22卷3　不可线性化的非线性回归分析当非线性回归分析没有现成的模型时,可通过刻画一个与数据性态相似的模型来表示之.如果数据单调上升趋于某一渐近线,那么Michaelis 2Menten 模型、指数增长模型或者Logistic 模型也许是合适的;如果数据有峰值但随后衰减于消失,那么双指数模型、分母含有二次项的Michaelis 2Menten 模型或者Gamma 函数也许是合适的.雷雪芹博士在研究河南斗鸡与肉鸡杂交改良效果的试验中,对杂交鸡的生长发育结果用数学模型进行拟合,寻求最佳生长模型.现取其中一组数据(见表4)进行拟合.表4　斗鸡与肉鸡杂交改良数据表(重量单位:g )周龄初生123456789101112体重43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.922199.002438.892737.71 根据经验,可选用Logistic 曲线y =B1+a e -kt和Compertz 曲线y =B e -b e-kt来进行拟合.先对Logistic 曲线进行线性化,得ln a -kt =ln B -yy.由试验数据取B =3000,用线性回归求a ,k 初值,SAS 程序如下:data han6;　inp ut t y @@;　w =3000-y ;　z =log (w/y );　cards ;0　43.65　1　109.86　2　187.21　3　312.67　4　496.58　5　707.65　6　960.257　1238.75　8　1560.00　9　1824.29　10　2199.00　11　2438.89　12　2737.71;proc reg ;　model z =t ;　run ;　部分输出结果如下:Source Sum of Squares Mean Square F Value Pr >F Model 44.4367644.436761150.75<.0001Error 0.424770.03862Variable Parameter EstimateSt d Error t Value Pr >|t|Intercept3.803240.1030036.93<.0001t-0.494120.01457-33.92<.0001 由以上结果可得,k =0.4941,ln a =3.80324,即a =44.8463以B ,a ,k 的值作为拟合初值,应用非线性参数估计之高斯—牛顿迭代法,SAS/STA T 编程如下:data han7;　inp ut t y @@;　cards ;0　43.65　1　109.86　2　187.21　3　312.67　4　496.58　5　707.65　6　960.257　1238.75　8　1560.00　9　1824.29　10　2199.00　11　2438.89　12　2737.71;proc nlin met hod =gauss ;parms b =3000to 3265by 50　a =44.8463to 64by 5　k =0.4941to 0.53by 0.01;temp =1+a 3exp (-k 3t );　model y =b/(1+a 3exp (-k 3t ));　der.b =1/temp ;der.a =-exp (-k 3t )3b/temp 332;　der.k =exp (-k 3t )3b 3a 3t/temp 332;　run ;程序的部分输出结果如下:Source Sum of Squares Mean Square F Value Pr >F Regressio n 2737355191245175169.32<.0001Residual 17651.31765.1Corrected Total105043587第1期 韩汉鹏:应用SAS 解非线性回归问题Parameter Estimate St d Error App roximate 95%Confidence Limit sb 3260.4118.32996.73524.1a 30.5351 2.566924.815536.2546k0.41480.01820.37430.4553由结果得y =3260.4÷(1+30.5351e -0.4148t ,拟合优度R 2=1-17651.3÷10504358=0.99832.同理,对于Compertz 曲线,可得方程y =4810.076e -4.592e -0.1747t,拟合优度R 2=0.99971.由两曲线的R 2值可知,选用Compertz 曲线y =4810.076e -4.592e -0.1747t进行拟合效果更好.[参　考　文　献][1]　唐守正,李勇.生物数学模型的统计学基础[M ].北京:科学出版社,2002.[2]　袁志发,周静.多元统计分析[M ].北京:科学出版社,2002.[3]　高惠璇.实用统计方法与SAS 系统[M ].北京:北京大学出版社,2001.[4]　彭昭英.世界统计与分析全才SAS 系统应用开发指南[M ].北京:北京希望电子出版社,2000.[5]　周纪芗.回归分析[M ].上海:华东师范大学出版社,1993.The Application of SAS/STAT on Nonlinear R egressionH A N H an 2peng(South China University of Tropic Agricultural ,Hainan DanZhou 571737,China )Abstract :We use SAS/STA T program to estimate nonlinear regression model parameters.The first ,we transform nonlinear regression model into linear model with transformed variables and estimate model parameters by used the methods of ordinary least squares ,principal component analysis and partial least squares regression ,from which the model parameters and the regression line itself can be estimated.The second ,we use modified G auss 2Newton iterative procedure to estimate Logistic and Compertz model parameters.K ey w ords :nonlinear regression model ;principal component analysis ;partial least squares regression ;modified G auss 2Newton iterative procedure ;SAS/STA T8大　学　数　学 第22卷。