2016年湖南省六校联考高考数学模拟试卷(理科)(解析版)

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合，，则 （A ）（B ）（C ）（D ）（2）设，其中x ，y 是实数，则（A ）1（B（CD ）2（3）已知等差数列前9项的和为27，，则（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ） 32 （D ）43 （5）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是2{|430}A x x x =-+<{|230}B x x =->A B =3(3,)2--3(3,)2-3(1,)23(,3)2(1i)1i x y +=+i =x y +{}n a 10=8a 100=a（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（8）若，则（A ）（B ）（C ）（D ）（9）执行右面的程序图，如果输入的，则输出x ，y 的值满足（A ）（B ）（C ）（D ）(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=，|DE|=C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，平面ABCD =m ，平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为101a b c >><<，c c a b <c c ab ba <log log b a a c b c <log log a b c c <011x y n ===，，2y x =3y x =4y x =5y x =a ⋂a ⋂(B(D) 12.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =.(14)的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）（15）设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为。

数学（理工农医类）第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.设i 为虚数单位，则复数32ii+的虚部是（ ） A ．3i B ．3i - C ．3 D ．-32.记集合{}{}|0,|sin ,A x x a B y y x x R =->==∈，若0A B ∈ ，则a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．[)0,+∞D ．()0,+∞3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱4.二项式()52x -展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．16 C ．80 D ．-805.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ）A ．()111n n a -=-+ B ．2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数C ．2sin 2n n a π= D ．()cos 11n a n π=-+ 6.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（ ）A ．10种B ．60种C ．125种D ．243种7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算210K =，则下列选项正确的是：（ ） A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 8.函数[]1sin ,2,232y x x πππ⎛⎫=-∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．2,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和9.非负实数x y 、满足()ln 10x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ） A ．2和1 B ．2和-1 C ．1和-1 D ．2和-210.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.911.已知函数()(),1xf x eg x x ==+，则关于()(),f x g x 的语句为假命题的是（ ）A ．()(),x R f x g x ∀∈>B ．()()1212,,x x R f x g x ∃∈<C ．()()000,x R f x g x ∃∈=D ．0x R ∃∈，使得()()()()00,x R f x g x f x g x ∀∈-≤-12.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>经过抛物线()22:20C y px p =>的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线1C 的离心率是（ ）A ．2B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.1xe dx =⎰__________．14. ABC ∆的周长等于()2sin sin sin A B C ++，则其外接圆半径等于_________．15. M N 、分别为双曲线22143x y -=左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则MN v的最小值为___________．16.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，令()()()2014F x x b f x b =--+，若b 是a c 、的等差中项，则()()F a F c +=___________．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足12122n n a a a n++++= ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和． 18.（本小题满分12分）空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050 为优；101150 为轻度污染；151200 为中度污染；201300 为重度污染；300>为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天 的AQI 的茎叶图如右．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望． 19.（本小题满分12分）如图，矩形BDEF 垂直于正方形,ABCD GC 垂直于平面ABCD ．且1,2AB D EC GDE ==．（1）证明：面GEF ⊥面AEF ； （2）求二面角B EG C --的余弦值． 20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>()2,1P -是1C 上一点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设A B Q 、、是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交1C 于异于P Q 、的两点C D 、．点C 关于原点的对称点为E ．证明：直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形． 21.（本小题满分12分）已知函数()21ln 2f x a x x ax =+-（a 为常数）有两个极值点． （1）求实数a 的取值范围；（2）设()f x 的两个极值点分别为12,x x ．若不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立，求λ的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，C D 、是以AB 为直径的半圆上两点，且 AD CD=．（1）若//CD AB ，证明：直线AC 平分DAB ∠；（2）作DE AB ⊥交AC 于E ．证明：2CD AE AC = ．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为[)24cos 30,0,2ρρθθπ-+=∈．（1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线 2C 的参数方程为cos 6sin6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设,,αβγ均为实数．（1）证明：()()cos cos sin ;sin cos cos αβαβαβαβ+≤++≤+． （2）若0αβγ++=，证明：cos cos cos 1αβγ++≥．参考答案一、选择题二、填空题13. 1e - 14. 1 15. 4 16. 4028 三、解答题17.【解析】（1）当1n =时，由题设知14a =；当2n ≥时，由题设12122n n a a a n++++= ，知121221n n a a a n -+++=- ． 两式相减得：122n nn a n+=-，即()22nn a n n =≥ ，故{}n a 的通项公式为()*4,122,n n n a n n n N =⎧⎪=⎨≥∈⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）设{}n a 的前n 项和为n S ， 则2212222n n S n =⨯+⨯++⨯ ，()33121222122n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ，两式相减得()1232222n nn S n +=⨯-+++()()1112421124n n n n n +-+=⨯-⨯-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．【解析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为63105=，从而估计该月空气质量优良的天数为330185⨯=．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）估计某天空气质量优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0，1，2，3． ()()()322123328323632540,1,251255512555125P P C P C ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫========= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()332735125P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， 故ξ的分布列为：显然333,,3 1.855B E ξξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.【解析】解法一：（1）如图，设EF 中点为M ，连结AM GM AG AC 、、、． 不妨设1CG =，因为CG ⊥面ABCD ，故CG AC ⊥，从而在等腰AEF ∆，等腰GEF ∆中分别求得AM ， 此时在AMG ∆中有222=AM GM AG +， 所以AM GM ⊥，因为M 是等腰AEF ∆底边中点，所以AM EF ⊥，所以AM ⊥平面GEF ，因此面GEF ⊥面AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）如图延长EG DC 、，设交点为H ，作CN GH ⊥，垂足为N ，连结BN ， 因为,BC CG BC DC ⊥⊥， 所以BC ⊥面EDH ，从而BC EH ⊥，又因为CN GH ⊥， 所以EG ⊥面BCN ，从而EG BN ⊥， 所以BNC ∠即为二面角B EG C --的平面角， 不妨设1CG =，则在直角EDH ∆中可求得CN =于是在RT BCN ∆中可求得cos CNB ∠=，所以二面角B EG C --的余弦值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -． 不妨设1CG =，则由题设条件可知：()()()()()2,0,0,2,2,0,0,0,2,2,2,2,0,2,1A B E F G ．()()()2,0,2,2,2,0,0,2,1AE EF EG =-==-，设面AEF 的法向量为(),,n x y z =，由00AE n EF n ⎧=⎨=⎩得：220220x z x y -+=⎧⎨+=⎩， 可取()1,1,1n =-， 设面GEF 的法向量为m ，由00EG m EF m ⎧=⎨=⎩知，可取()1,1,2m =-， 于是1120m n =--+= ，所以面GEF ⊥面AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）()()2,2,2,2,0,1EF GB =-=-，设面BEG 的法向量为(),,u x y z =，由00EB u GB u ⎧=⎨=⎩得：020x y z x z +-=⎧⎨-=⎩，可取()1,1,2u =， 因为DA ⊥平面EGC ，故取平面EGC 的法向量为()2,0,0DA =，因此cos ,u DA u DA u DA===． 所以二面角B EG C --．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.【解析】（1）因为1C，所以224a b =， 从而1C 的方程为：222214x y b b+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分代入()2,1P -解得：22b =，因此28a =．所以椭圆1C 的方程为：22182x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由题设知A B 、的坐标分别为()()2,1,2,1--， 因此直线l 的斜率为12，设直线l 的方程为：12y x t =+， 由2212182y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222240x tx t ++-=， 当0∆>时，不妨设()()1122,,,C x y D x y ， 于是212122,24x x t x x t +=-=-， 分别设直线PD PE 、的斜率为12,k k ， 则()()()()()()2121211221211221112222y x x y y y k k x x x x ---++---+=+=+-++-， 则要证直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证()()()()212112210y x x y ---++=，而()()()()()()212121122112122124y x x y y y x y x y x x ---++=--++--()()211212121212224424240x x x x t x x x x x x t x x t t =---++--=--+-=-++-=所以直线PD PE 、与y 轴转成的三角形是等腰三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.【解析】（1）()()20a x ax af x x a x x x-+'=+-=>，于是()f x 有两个极值点需要二次方程20x ax a -+=有两正根，设其两根为12,x x ，则212124000a a x x a x x a ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得4a >，不妨设12x x <，此时在()10,x 上()()120,,f x x x '>上()()20,f x x '<+∞上()0f x '>， 因此12,x x 是()f x 的两个极值点，符合题意．所以a 的取值范围是()4,+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）()()221211122211ln ln 22f x f x a x x ax a x x ax +=+-++- ()()()()221212122121212121ln 21ln 21ln 12a x x x x a x x a x x x x x x a x x a a a ++-+=++--+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 于是()()12121ln 12f x f x a a x x +=--+， 令()1ln 12a a a ϕ=--，则()112a a ϕ'=-， 因为4a >，所以()0a ϕ'<，于是()1ln 12a a a ϕ=--在()4,+∞上单调递减， 因此()()()()12124ln 43f x f x a x x ϕϕ+=<=-+．且()()1212f x f x x x ++可无限接近ln 43-， 又因为120x x +>，故不等式()()()1212f x f x x x λ+<+等价于()()1212f x f x x x λ+<+， 所以λ的最小值为ln 43-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【解析】（1）由题设//CD AB 可知，DCA BAC ∠=∠，因为 AD DC=，所以DAC DCA ∠=∠， 从而DAC BAC ∠=∠，因此，AC 平分DAB ∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由DE AB ⊥知，090ADE DAB ∠+∠=，因为AB 为直径，所以090DBA DAB ∠+∠=，从而ADE ABD ∠=∠，又因为ABD DCA ∠=∠，所以ADE ACD ∠=∠，因此ADE ACD ∆∆ ，所以2AD AE AC = ，而AD DC =，所以2CD AE AC = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.【解析】（1）将222c o s x y xρρθ⎧=+⎨=⎩代入24cos 30ρρθ-+=得：()2221x y -+=．．．．．．．．4分（2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6π的直线， 因此2C 的极坐标方程为6πθ=或76πθ=，0ρ>，将6πθ=代入21:30C ρ-+=，解得：ρ=同理，将76πθ=代入1C 得：ρ=故12,C C 公共点的极坐标为6π⎫⎪⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.【解析】（1）()cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβαβαβ+=-≤+≤+； ()sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβαβαβ+=+≤+≤+．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知，()()()cos cos sin cos cos cos αβγαβγαβγ++≤++≤++， 而0αβγ++=，故cos cos cos 1αβγ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

2016年湖南省高三普通高等学校招生全国统一考前演练数学试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|x﹣1＜0}，B={x|0≤x＜2}，那么A∩B等于（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|x＞2}C．{x|0≤x＜1}D．{x|1＜x＜2}2．若=i，则复数z为（）A．iB．﹣iC．2D．﹣2i3．下列命题中真命题是（）A． B．∃x∈（﹣∞，0），2x＞1C．∀x∈R，x2≥x﹣1D．∀x∈（0，π），sinx＞cosx4．函数y=cos（2x﹣）的图象可由函数y=sin2x的图象向（）A．右平移个单位B．右平移个单位C．左平移个单位D．左平移个单位5．已知，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用表示的表达式为（）A． B． C． D．6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．15B．29C．31D．637．设M为平面上以A（4，1），B（﹣1，﹣6），C（﹣3，2）三点为顶点的三角形区域（包括内部和边界），当点（x，y）在M上变化时，z=4x﹣3y的取值范围是（）A．[﹣18，13]B．[0，14]C．[13，14]D．[﹣18，14]8．在正方体中放入9个球，一个与立方体6个表面相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个表面相切，若正视的方向是某条棱的方向，则正视图为（）A． B． C． D．9．某中学拟安排6名实习老师到高一年级的3个班实习，每班2人，则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种10．（a+b+c）10的展开式中，合并同类项后不同的项有（）A．66B．78C．105D．12011．已知a，b为正数，则“a+b≤2“是“+≤2“成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件12．∀x∈（0，）都有：f（x）＞0且f（x）＜f′（x）tanx，则下列各式成立的是（）A． f（）＜f（）＜f（）＜f（）B． f（）＜f（）＜f（）＜f（）C． f（）＜f（）＜f（）＜f（）D． f（）＜f（）＜f（）＜f（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13．以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为．14．f（x）=在区间（1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是．15．圆台的侧面积为πcm2，它的内切球的表面积是4πcm2，则圆台的体积为cm3．16．Rt△ABC中，∠A=90°，sin sin=．若∠B，∠C的平分线的长的乘积为8，BC= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1BC的底面△ABC中，CA=CB=2，∠BCA=90°，棱AA1=4，M．N 分别是A1B1，A1A的中点．（1）求证：A1B⊥C1M；（2）设直线BN与平面ABC1所成的角为θ，求sinθ．18．已知等差数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}的前两项为a2，a5且公比为3，记数列{a n}的前n项和为A n，数列{b n}的前n项和为B n．（I）求A n，B n；（Ⅱ）如果≥，试求所有正整数n的值．19．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对此班50人进行了问卷调查得到了如下已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，A1，A2，A3，A4，A5还喜欢打羽毛球，B1，B2，B3还喜欢打乒乓球，C1，C2还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B1和C1不全被选中的概率．（参考公式：，其中n=a+b+c+d）20．已知点A是抛物线y=上的一个动点，过A作圆D：x2+（y﹣）2=r2（r＞0）的两条切线，它们分别切圆D于E，F两点．（1）当r=，A点坐标为（2，2）时，求两条切线的方程；（2）对于给定的正数r，当A运动时，A总在圆D外部，直线EF都不通过的点构成一个区域，求这个区域的面积的取值范围．21．已知f（x）=x2+ax+lnx不是单调函数．（1）求a的取值范围；（2）如果对满足条件的一个实数a，函数f（x）+m都至多有一个零点，求实数m的最大值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。

2016年湖南省湘潭市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∃x0∈R，+lnx0≤0”的否定是（）A．∀x∈R，+lnx＞0B．∀x∈R，+lnx≥0C．∃x0∈R，+lnx0＜0D．∃x0∈R，+lnx0＞02．（5分）集合P＝{x||x|＞1}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝（）A．[﹣2，﹣1]B．（1，2）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2]D．[﹣2，2]3．（5分）已知i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣1008B．﹣1008i C．1008D．20164．（5分）在△ABC中，BC：AB＝2：，∠B＝30°，则∠C＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．（5分）下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝﹣|x﹣1|B．y＝x2﹣2x+3C．y＝ln（x+1）D．y＝26．（5分）已知向量＝（3，4），若λ＝（3λ，2μ）（λ，μ∈R），且|λ|＝5，则λ+μ＝（）A．3B．﹣3C．±3D．﹣17．（5分）如图所示的流程图，若输入x的值为0，则输出x的值为（）A．2016B．2016.5C．2019D．2017.58．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝（）4x+8y的最小值为（）A．（）28B．（）23C．4D．110．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．今共有粮38石，按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”，已知甲分得18石，则“衰分比”为（）A．B．C．D．12．（5分）椭圆＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2﹣）6的展开式的常数项是（用数字作答）14．（5分）已知e为自然对数的底数，则曲线y＝xe x在点（1，e）处的切线斜率为．15．（5分）已知f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝1+a x（a ＞0）且a≠1），若f（﹣1）＝﹣，则a＝．16．（5分）已知两点A（0，﹣6），B（0，6），若圆（x﹣a）2+（y﹣3）2＝4上任意一点P，都有∠APB为钝角，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}满足：S n＝1﹣a n（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n 项和．（Ⅰ）试求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：（n∈N*），试求{b n}的前n项和公式T n．18．（12分）某中学选取20名优秀同学参加2015年英语应用知识竞赛，将他们的成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（1）从频率分布直方图中，估计本次考试的高分率（大于等于80分视为高分）；（2）若从20名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100）记1分，用x表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，设Q为棱PC上一点，＝λ（1）求证：当λ＝时，BQ∥平面P AD；（2）若PD＝1，BC＝，BC⊥BD，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P的平面角为45°．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝﹣x 的一个交点的横坐标为8．（I）求抛物线C方程；（II）不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△F AB的面积．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝﹣（x为实常数）．（1）当a＝1时，求函数φ（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e2f（x）＝g（x）（其中e＝2.71828…）在区间[]上有解，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是圆O的直径，P是线段AB延长线上一点，割线PCD 交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交线段AC的延长线于点E，交线段AD的延长线于点F，且PE•PF＝5，PB＝OA．（1）求证：C，D，E，F四点共圆；（2）求圆O的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（附加题﹣选做题）（坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣2|（1）解不等式f（x）≥0；（2）若f（x）≤a﹣2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．2016年湖南省湘潭市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∃x0∈R，+lnx0≤0”的否定是（）A．∀x∈R，+lnx＞0B．∀x∈R，+lnx≥0C．∃x0∈R，+lnx0＜0D．∃x0∈R，+lnx0＞0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，“∃x0∈R，+lnx0≤0”的否定是∀x∈R，+lnx＞0，故选：A．2．（5分）集合P＝{x||x|＞1}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝（）A．[﹣2，﹣1]B．（1，2）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2]D．[﹣2，2]【解答】解：∵集合P＝{x||x|＞1}＝{x|x＞1或x＜﹣1}，Q＝{x|y＝}＝{x|﹣2≤x≤2}，∴P∩Q＝{x|﹣2≤x≤﹣1或1＜x≤2}＝[﹣2，﹣1）∪（1，2]．故选：C．3．（5分）已知i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣1008B．﹣1008i C．1008D．2016【解答】解：复数＝＝1008﹣1008i的虚部是﹣1008．故选：A．4．（5分）在△ABC中，BC：AB＝2：，∠B＝30°，则∠C＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：∵BC：AB＝2：，不妨取a＝2，c＝．∴b2＝﹣2×＝1．∴b2+c2＝a2，∴∠A＝90°．∴∠C＝60°．故选：C．5．（5分）下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝﹣|x﹣1|B．y＝x2﹣2x+3C．y＝ln（x+1）D．y＝2【解答】解：对于A，y＝，故函数在（0，1）递增，不合题意；对于B，函数的对称轴是x＝1，函数在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，不合题意；对于C，y＝ln（x+1）在（0，+∞）递增，不合题意；对于D，函数在R递减，符合题意；故选：D．6．（5分）已知向量＝（3，4），若λ＝（3λ，2μ）（λ，μ∈R），且|λ|＝5，则λ+μ＝（）A．3B．﹣3C．±3D．﹣1【解答】解：根据题意，向量＝（3，4），则λ＝（3λ，4λ），又由λ＝（3λ，2μ），则有4λ＝2μ，即μ＝2λ，又由|λ|＝5，则有（3λ）2+（4λ）2＝25，解可得λ＝±1，当λ＝1时，μ＝2λ＝2，此时λ+μ＝3，当λ＝﹣1时，μ＝2λ＝﹣2，此时λ+μ＝﹣3，即λ+μ＝±3；故选：C．7．（5分）如图所示的流程图，若输入x的值为0，则输出x的值为（）A．2016B．2016.5C．2019D．2017.5【解答】解：模拟执行程序框图，可得一次循环x＝3，二次循环x＝6，…672次循环，x＝2016，再次循环x＝2019，故选：C．8．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：y＝sin（2x+）＝sin2（x+），y＝sin（2x﹣）＝sin2（x﹣），所以将y＝sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y＝sin（2x﹣）的图象，故选：B．9．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝（）4x+8y的最小值为（）A．（）28B．（）23C．4D．1【解答】解：设m＝4x+8y，则要求z的最小值，则等价为求m的最大值，由m＝4x+8y得y＝﹣x+，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y＝﹣x+，由图象知当直线y＝﹣x+经过点A时，直线的截距最大，此时m最大，由，得得A（1，3），此时m＝4+8×3＝28，则z的最小值为（）28，故选：A．10．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个半圆锥挖去一个半圆柱．∴该几何体的体积V＝﹣＝．故选：A．11．（5分）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．今共有粮38石，按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”，已知甲分得18石，则“衰分比”为（）A．B．C．D．【解答】解：设“衰分比”为q，则18+18q+18q2＝38，解得q＝或q＝﹣（舍），故选：A．12．（5分）椭圆＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，由题意知，OM＝b，又OM是△FPF1的中位线，∴OM＝PF2＝b，PF2＝2b，由椭圆的定义知PF1＝2a﹣PF2＝2a﹣2b，又MF1＝PF1＝（2a﹣2b）＝a﹣b，又OF1＝c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2＝c2，又a2﹣b2＝c2，可得2a＝3b，故有4a2＝9b2＝9（a2﹣c2），由此可求得离心率e＝＝，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2﹣）6的展开式的常数项是60（用数字作答）【解答】解：通项公式T r+1＝＝（﹣1）r26﹣r，令3﹣＝0，解得r＝4．∴常数项是＝60．故答案为：60．14．（5分）已知e为自然对数的底数，则曲线y＝xe x在点（1，e）处的切线斜率为2e．【解答】解：y＝xe x的导数为y′＝（1+x）e x，由导数的几何意义，可得曲线在点（1，e）处的切线斜率为2e．故答案为：2e．15．（5分）已知f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝1+a x（a＞0）且a≠1），若f（﹣1）＝﹣，则a＝．【解答】解：由题意，当x＞0时，f（x）＝1+a x（a＞0）且a≠1），f（﹣1）＝﹣，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1﹣a＝﹣，∴a＝．故答案为．16．（5分）已知两点A（0，﹣6），B（0，6），若圆（x﹣a）2+（y﹣3）2＝4上任意一点P，都有∠APB为钝角，则实数a的取值范围是﹣．【解答】解：要使圆（x﹣a）2+（y﹣3）2＝4上任意一点P，都有∠APB为钝角，则圆（x﹣a）2+（y﹣3）2＝4与圆x2+y2＝36内含，即圆心距小于半径之差，，解得a2＜7，﹣＜a＜故答案为：（﹣，）三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}满足：S n＝1﹣a n（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n 项和．（Ⅰ）试求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：（n∈N*），试求{b n}的前n项和公式T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S n＝1﹣a n①∴S n+1＝1﹣a n+1②②﹣①得a n+1＝﹣a n+1+a n⇒a n；n＝1时，a1＝1﹣a1⇒a1＝（6分）（Ⅱ）因为b n＝＝n•2n．所以T n＝1×2+2×22+3×23+…+n×2n③故2T n＝1×22+2×23+…+n×2n+1④③﹣④﹣T n＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝整理得T n＝（n﹣1）2n+1+2．（12分）18．（12分）某中学选取20名优秀同学参加2015年英语应用知识竞赛，将他们的成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（1）从频率分布直方图中，估计本次考试的高分率（大于等于80分视为高分）；（2）若从20名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100）记1分，用x表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，计算本次考试的高分率（大于等于80分视为高分）为（0.025+0.005）×10＝0.3；∴估计本次考试的高分率为30%；（2）学生成绩在[40，70）的有0.4×60＝24人，在[70，100]的有0.6×60＝36人，并且X的可能取值是0，1，2；则P（X＝0）＝＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；所以X的分布列为数学期望为EX＝0×+1×+2×＝＝1.2．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，设Q为棱PC上一点，＝λ（1）求证：当λ＝时，BQ∥平面P AD；（2）若PD＝1，BC＝，BC⊥BD，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P的平面角为45°．【解答】（1）证明：设PD的中点为F，连接F，∵点Q，F分别是△PCD的中点，∴QF∥CD，且QF＝CD，∴QF∥AB，且QF＝AB，∴四边形F ABQ是平行四边形．∴BQ∥AF，又AF⊂平面P AD，BQ⊄平面P AD，∴BQ∥平面P AD．（2）解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，2，0），A（1，0，0），B（1，1，0）．令Q（x0，y0，z0），∵＝λ∴，Q（0，2λ，1﹣λ），∵BC⊥平面PBD，∴平面PBD的法向量为＝（﹣1，1，0）．设平面QBD的法向量为＝（x，y，z），则．令y＝1，得＝（﹣1，1，）．若二面角Q﹣BD﹣P为45°，则＝，解得λ＝﹣1±，∵Q在PC上，0＜λ＜1．∴．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝﹣x 的一个交点的横坐标为8．（I）求抛物线C方程；（II）不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△F AB的面积．【解答】解：（I）由题意，抛物线C与直线l1：y＝﹣x的一个交点的坐标为（8，﹣8），代入抛物线方程可得64＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线C方程为y2＝8x；（II）∵不过原点的直线l2与l1垂直，∴可设l2的方程为x＝y+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l2与x轴交点为M直线方程代入抛物线方程，可得y2﹣8y﹣8m＝0△＝64+32m＞0，∴m＞﹣2由韦达定理得y1+y2＝8，y1y2＝﹣8m，∴x1x2＝m2，由题意，OA⊥OB，即x1x2+y1y2＝m2﹣8m＝0∴m＝8或m＝0（舍去）∴l2的方程为x＝y+8，M（8，0）＝＝3＝24．∴S△F AB21．（12分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝﹣（x为实常数）．（1）当a＝1时，求函数φ（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e2f（x）＝g（x）（其中e＝2.71828…）在区间[]上有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，函数φ（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx﹣+，∴φ′（x）＝＝；x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0∴函数φ（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增∴x＝4时，φ（x）min＝2ln2﹣；（2）方程e2f（x）＝g（x）可化为x2＝﹣，∴a＝﹣x3，设y＝﹣x3，则y′＝﹣3x2，∵x∈[]∴函数在[]上单调递增，在[，1]上单调递减∵x＝时，y＝；x＝时，y＝；x＝1时，y＝，∴y∈[]∴a∈[][选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是圆O的直径，P是线段AB延长线上一点，割线PCD 交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交线段AC的延长线于点E，交线段AD的延长线于点F，且PE•PF＝5，PB＝OA．（1）求证：C，D，E，F四点共圆；（2）求圆O的面积．【解答】（1）证明：连结BD，AB是圆O的直径，直径所对圆周角为直角可得∠BDA＝90°，由同弧所对圆周角相等，可得∠CDB＝∠CAB，又∠PEC＝90°﹣∠CAB，∠PDF＝90°﹣∠CDB，可得：∠PEC＝∠PDF，故D，C，E，F四点共圆；（2）解：设圆O的半径为r，由圆的割线定理可得，PE•PF＝PC•PD＝PB•P A＝r（2r+r）＝5，解得r＝2，可得圆O的面积为4π．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（附加题﹣选做题）（坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．【解答】解：（1）由，α∈[0，2π），得x2+y＝1，x∈[﹣1，1]．（2）由．得曲线D的普通方程为x+y+2＝0得x2﹣x﹣3＝0解x＝，故曲线C与曲线D无公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣2|（1）解不等式f（x）≥0；（2）若f（x）≤a﹣2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）x≤﹣，不等式可化为﹣2x﹣1+2x﹣2≥0，不成立；﹣＜x＜1，不等式可化为2x+1+2x﹣2≥0，∴x≥，∴≤x＜1；x≥1，不等式可化为2x+1﹣2x+2≥0，恒成立，综上可得，不等式的解集为[，+∞）．（2）∵f（x）≤a﹣2对任意实数x恒成立，∴f max（x）≤a﹣2．由（1）可得，f max（x）＝3，∴3≤a﹣2，即实数a的取值范围为[5，+∞）．。

山西省高三下5月联考押题数学（理）试题一、选择题1．若i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，若121iz i-=+，则||z 为（ ）A ．2．2C ．52D ．1【答案】A【解析】试题分析：因为121312i i z i ---==+，所以132i z -+=，||z =，选A.【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 点为(,)a b 、共轭为.-a bi2．设集合{|x A x e =，集合{|lg lg 2}B x x =≤-，则A B 等于（ ） A ．R B ．[0,)+∞ C ．(0,)+∞ D ．φ 【答案】C【解析】试题分析：1{|(,)2x A x e =>=+∞，1{|lg lg 2}(0,]2B x x =≤-=，因此A B (0,)=+∞，选C.【考点】集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，63a =，则48a a +（ ） A ．有最小值6 B ．有最大值6 C ．有最大值9 D ．有最小值3 【答案】A【解析】试题分析：48626a a a +≥==，当且仅当483a a ==时取等号，选A.【考点】等比数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.4．设,,a b c 为ABC ∆的三边长，若222c a b =+，c o s 2A A +=，则B∠的大小为（ ）A ．12πB ．6πC ．4πD ．512π【答案】D 【解析】试题分析：2222c a b C π=+⇒=，cos sin()6264A A A A πππ+=⇒+=⇒+=，5()24612B πππππ∠=---=，选D. 【考点】解三角形5．如图给出的是计算1111124640304032+++++ 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）A ．4030?i ≤B ．4030?i ≥C ．4032?i ≤D ．4032?i ≥ 【答案】C【解析】试题分析：当4032i =时，11111,403424640304032S i =+++++= ；当4034i =时，结束循环，因此可填4032?i ≤，选C. 【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6．现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样的分法有（ ）种. A ．36 B ．9 C ．18 D ．15 【答案】B【解析】试题分析：先分配数学书，有3种方法；再分配语文书，（第一人领数学书）对应1,1,1；0,1,2；0,2,1三种方法，共33=9种，选B. 【考点】排列组合【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法： （1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ．172π B ．34π C．3D． 【答案】B【解析】试题分析：几何体为一个四棱锥，其顶点为长方体四个顶点，长方体的长宽高为4,3,3，因此四棱锥外接球直径为长方体对角线，即2R =2434.R ππ=选B.【考点】三视图【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.8．M 是ABC ∆所在平面上一点，满足2MA MB MC AB ++= ，则ABM ABC SS ∆∆为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:1D ．1:4 【答案】B 【解析】试题分析：因为22()3M A M B M C A B M AM B++=⇒++=-⇒所以13ABM ABC S AM S BC ∆∆==,选B. 【考点】向量表示9．下列说法错误的是（ ）A ．若,a b R ∈，且4a b +>，则,a b 至少有一个大于2B ．若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件C ．若命题1:"0"1p x >-，则1:"0"1p x ⌝≤- D ．ABC ∆中，A 是最大角，则222sin sin sin A B C >+是ABC ∆为钝角三角形的充要条件【答案】C【解析】试题分析：逆否命题： “若,a b 都不大于2，则4a b +≤”为真，所以原命题为真；若p 是q 的充分不必要条件，则q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；若命题1:"0"1p x >-，则1:"01"1p x x ⌝≤=-或； 222222sin sin sin cos 0A B C a b c A A >+⇔>+⇔<⇔⇔最大角为钝角ABC ∆为钝角三角形，因此说法错误的是C.【考点】命题真假，充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．10．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，ABC ∆为等边三角形，且1AB =1AB 与1C B 所成的角的大小（ ） A ．60 B ．90 C ．105 D ．75 【答案】B【解析】试题分析：取BC 中点M ，则在矩形11BBCC 中易得11C B B M ⊥，又1AA ⊥底面ABC 得1BB AM ⊥,而BC AM ⊥,因此AM ⊥侧面11BBCC ，即AM ⊥1C B ，因而1C B ⊥面1AB M ，即1C B ⊥1AB ，选B.【考点】线面垂直关系11．已知定义在R 上的函数()f x 满足'()()0xf x f x ->，当01m n <<<时，下面选项中最大的一项是（ ）A ．()n nf m mB ．log (log )m n n f m ⋅C ．()m m f n nD ．log (log )n m m f n ⋅ 【答案】B【解析】试题分析：令()g()f x x x =，则2()()()0x f x f x g x x '-'=>，又1,1,l o g 1,l o g n m n m m n m n<<><，所以最大的一项是(log )g(log )log n n n f m m m==log (log )m n n f m ⋅，选B.【考点】利用导数研究函数单调性【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e =，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x =，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P（P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线22(0)y px p =>于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OP OF OQ =+，则双曲线的离心率的平方为（ ）A1 D【答案】D【解析】试题分析：2pc =，2,P a x PF b c==，因为1()2OP OF OQ =+ ，所以P为FQ 中点，即22Q PQ b x b c=⇒=-，，因此2242224222()10a c b c a bc a c a c e e c =+-⇒=⇒=-⇒--=，又1e >，所以2e =，选D. 【考点】抛物线定义，双曲线渐近线【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点P 的坐标．2．若P （x 0，y 0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则弦长为|AB|＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．二、填空题13．已知抛物线的方程为22y x =，则该抛物线的准线方程为 .【答案】12y =-【解析】试题分析：221122222p y x x y y =⇒=⇒=⇒=- 【考点】抛物线的准线14．由直线12x =，y x =，曲线1y x =所围封闭图形的面积为 .【答案】3ln 28-【解析】试题分析：面积为121112213(x)(ln )ln 228x dx x x-=-=-⎰【考点】定积分【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤 （1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； （3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和． 2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论． 15．若将函数7()(1)f x x =-表示为270127()(1)(1)(1)f x a a x a x a x =+++++++ ，其中（i a R ∈，0,1,2,,7i = ）为实数，则4a 等于 . 【答案】-280【解析】试题分析：77()(1)=[-2+(1)]f x x x =-+，所以4347(2)280.a C =-=-【考点】二项展开式16．已知数列{}n a ，11a =，且110n n n n a a a a ----=（*2,n n N ≥∈），记2121n n n b a a -+=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足不等式817n T <成立的最大正整数n 为 . 【答案】7【解析】试题分析：因为1111101n n n n n n a a a a a a -----=⇒-=，所以111(1)1n n n n a a n =+-=⇒=，2121111()22121n n n b a a n n -+==--+，所以118(1)822117n T n n =-<⇒<+，因此最大正整数n 为7. 【考点】等差数列定义，裂项相消求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c a n a n ＋1（其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数）的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如1（n －1）（n ＋1）（n≥2）或1n （n ＋2）.三、解答题17．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边长分别是,,a b c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆,a b ；（2）求2ba +的最大值.【答案】（1）2,2a b ==（2【解析】试题分析：（1）先根据三角形面积公式得1sin 2S ab C ==4ab =；再根据余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即224a b ab +-=，解方程组得2,2a b ==（2）由余弦定理得224a b ab +-=，令2b a t +=，消去a 得：2272404b bt t -+-=，由0∆≥得3b ≤，经验证，3b =满足题意，故2b a +的最大值为3，也可利用正弦定理，将边转化为角，利用正弦函数有界性求最值. 试题解析：解：（1）∵2,60c C == ，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得：224a b ab +-=，根据三角形的面积1sin 2S ab C ==4ab =， 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，解得：2,2a b ==. （2）由题意2sin c R C ==则sin sin 2(sin )2(sin())2223b B B a R A R B π+=+=++2))23RB B ϕϕ=+=+（其中tan ϕ=），当sin()1B ϕ+=时，2b a +的最大值为3.【考点】正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18．某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计，其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.（1）填写教师水平和教师管理水平评价的2×2列联表：问：是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X ：①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X 的数学期望和方差.【答案】（1）可以（2）①见解析②85EX =，2425DX =. 【解析】试题分析：（1）由题意依次算出对教师教学水平给出好评的学生人数180，对教师管理水平给出好评的学生人数225，去掉对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的学生人数120，得对教师教学水平和教师管理水平不满意的学生人数60，对教师教学水平不满意和教师管理水平好评的学生人数105，最后根据总数300人填空，根据卡方公式算出22300(1201560105)16.66710.82818012022575K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，得出结论（2）①先确定随机变量取法：0,1,2,3,4，再分别求对应概率，实际是一个二项分布：X ～2(4,)5B ②根据二项分布公式求X 的数学期望和方差.试题解析：解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的22⨯列联表：22300(1201560105)16.66710.82818012022575K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关；（2）对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为25，且X 的取值可以是0,1,2,3,4，其中43(0)()5P X ==；13423(1)()()55P X C ==；222423(2)()()55P X C ==； 331423(3)()()55P X C ==；440423(4)()()55P X C ==，X 的分布列为：由于X ～2(4,)5B ，则28455EX =⨯=，22244(1)5525DX =⨯⨯-=.【考点】卡方公式，概率分布及数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X ～B （n ，p ）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E （X ）＝np ）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19．如图，已知四棱锥S ABCD -，SB AD ⊥，侧面SAD 是边长为4的等边三角形，底面ABCD 为菱形，侧面SAD 与底面ABCD 所成的二面角为120 .（1）求点S 到平面ABCD 的距离；（2）若E 为SC 的中点，求二面角A DE C --的正弦值.【答案】（1）3.（2【解析】试题分析：（1）取AD 的中点F ，则SF AD ⊥，因为SB AD ⊥，所以AD SBF ⊥面,从而SFB ∠为侧面SAD 与底面ABCD 所成的二面角的平面角，即120SFB ∠= ，再作SO ⊥ BF ，垂足为点O ，因此sin 603SO SF === （2）根据垂直关系，建立空间直角坐标系：以O 为坐标原点，使y 轴与AD 平行，,OB OS 所在直线分别为,x z 轴，求出各点坐标，利用方程组解出各面法向量，最后根据向量数量积求夹角，再由二面角与法向量夹角关系确定结论 试题解析：（1）解：如图，作SO ⊥平面ABCD ，垂足为点O ， 连接,,,OB OA OD OB 与AD 交于点F ，连接SF .∵SB AD ⊥，∴OB AD ⊥. ∵SA SD =，∴OA OD =.∴点F 为AD 的中点，所以SF AD ⊥.由此知，SFB ∠为侧面SAD 与底面ABCD 所成的二面角的平面角， ∴120SFB ∠= ，60SFO ∠= .由已知可求得：SF =∴sin 603SO SF === ， 即点S 到平面ABCD 的距离为3.（2）如图以O 为坐标原点，使y 轴与AD 平行，,OB OS 所在直线分别为,x z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)S，4,0)C -，∴3(,2,)22E -，A，2,0)D -，∴(0,4,0)AD =-，3()22DE =，3()22CE =- .设平面ADE 的法向量为(,,)m x y z =，则40302m AD y m DE x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z =-，则0x y ==，∴1)m =-.设平面DCE 的法向量为(,,)n x y z =，则32022302n CE x y z n DE x z ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ ，令1z =-，则3x y ==，∴1)n =-，cos ,||||m n m n m n ⋅<>===记二面角A DE C --为θ，sin θ==，即二面角A DE C --.【考点】线面垂直判定定理，利用空间向量求二面角20．已知12,F F 分别为椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左、右两个焦点，椭圆上点1(2M 到12,F F 两点的距离之和等于4.（1）求椭圆C 的方程； （2）已知过右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于点N （点N 在第一象限），,E F 是椭圆C 上的两个动点，如果0EN FN k k +=，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.【答案】（1）22143x y +=（2）12 【解析】试题分析：（1）由椭圆上点到12,F F 两点的距离之和等于242a a =⇒=，再将1(,)24M 代入椭圆方程得23b =（2）证明定值问题，一般方法为以算代证，以直线EN 的斜率表示E F 、的坐标，进而表示EF 斜率.由直线EN 方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理求出E 的横坐标，进而得到E 点纵坐标，再根据直线NF 的斜率与NE 的斜率互为相反数，以k -代k ，可得F 点坐标，最后根据两点斜率公式求出EF 斜率为定值.试题解析：解：（1）依据椭圆的定义242a a =⇒=，1(2M 在椭圆22214x y b +=上， 得椭圆方程22143x y +=.（2）设直线NE 的方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=. 设(,)E E E x y ，(,)F F F x y ，因为点3(1,)2N 在椭圆上，所以由韦达定理得：24(32)134E k k x k-+=-+. 所以2234()12234E k x k--=+，32E E y kx k =+-. 又直线NF 的斜率与NE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，可得2234()12234F k x k +-=+，32F F y kx k =-++， 所以直线EF 的斜率()212F E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--，即直线EF 的斜率为定值，其值为12. 【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21．设函数1()xm xf x e--=. （1）求函数()f x 在[0,2]上的单调区间；（2）当0,m k R =∈时，求函数2()()g x f x kx =-在R 上零点个数.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：（1）先求导函数，得零点，再讨论零点与定义区间位置关系，确定导函数符号变化规律：当20m -≤时，不变号；当02m <<时，先减后增（2）研究函数零点个数，可先分量分离，转化为对应函数图像交点个数：2()()0g x f x kx =-=2211(0)x x x x kx k x e x e--⇒=⇒=≠，即研究函数21(0)x x y x x e -=≠与y k =函数交点个数.先利用导数研究函数21(0)x xy x x e -=≠示意图，即单调性变化规律：在(,),2)-∞上单调递减，在(,02,)+∞上单调递增.两个V 型，所以结合图像可得交点个数.试题解析：解：（1）'2()xx m f x e+-=， 当20m -≤，即2m ≥时，[0,2]x ∈，'()0f x ≥，()f x 在[0,2]上单调递增； 当02m <<时，令'()0f x <，得02x m <<-，令'()0f x >，得22m x -<<， 所以()f x 在[0,2]m -上单调递减，在[2,2]m -上单调递增； 当0m ≤时，'()0f x ≤，()f x 在[0,2]上单调递减. （2）由2()()0g x f x kx =-=2211(0)x xx x kx k x e x e --⇒=⇒=≠，令21()x x h x x e -=，2'32()x x h x x e-=，由'()0h x >0x ⇒<<或x >由'()0h x <x ⇒<0x <<∴()h x 在(,-∞上单调递减，在()+∞上单调递增.在0x <时，当x =()h x 取得极小值，且1(2h =， 当x →-∞时，()h x →+∞；0x →时，()h x →+∞.在0x >时，当x =()h x 取得极小值0h =<，当0x →时，()h x →+∞，x →+∞时，()0h x →.综上结合图形得：当k <当k =102k ≤<0k <<或12k +=12k >有三个零点.【考点】利用函数求函数单调区间，利用导数研究函数零点【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 22．选修4-1：几何证明选讲BD 是等腰直角ABC ∆腰AC 上的中线，AM BD ⊥于点M ，延长AM 交BC 于点N ，AF BC ⊥于点F ，AF 与BD 交于点E .（1）求证：ABE ∆≌ACN ∆； （2）求证：ADB CDN ∠=∠. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证明三角形全等，先确定证明方向，本题为一边两角，两个直接条件045BAE C ∠=∠=，AB AC =，第三个条件要用到ABD NAC ∠∠，为ADB ∠的余角（2）分析法：若ADB CDN ∠=∠，而AE N C =，AD CD =，因此须证ADE ∆≌CDN ∆，显然可替代另一组角：045EAD C ∠=∠=试题解析：（1）045BAE C ∠=∠=，AB AC =，ABD NAC ∠=∠（ADB ∠的余角）， ∴ABE ∆≌ACN ∆. （2）由（1）可得， AE NC =， AD CD =， 045EAD C ∠=∠=，∴ADE ∆≌CDN ∆， ∴ADB CDN ∠=∠. 【考点】三角形全等23．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2sin 6cos 0ρθθ-=，直线l 的参数方程为：312x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），l 与C 交于12,P P 两点. （1）求曲线C 的直角坐标方程及l 的普通方程； （2）已知0(3,0)P ，求0102||||||P P P P -的值. 【答案】（1）26y x =，30x -=（2）【解析】试题分析：（1）利用sin cos y x ρθρθ=⎧⎨=⎩将极坐标方程转化为直角坐标方程26y x=，利用代入消元法将参数方程为：312xy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为普通方程30x-=（2）根据直线参数方程几何意义得010212|||||||||||P P P P t t-=-，因此将l的参数方程代入26y x=，得：2720t--=，再结合韦达定理得结果试题解析：（1）∵2sin6cos0ρθθ-=，由sincosyxρθρθ=⎧⎨=⎩，得26y x=，即C的直角坐标方程.直线l消去参数得30x-=.（2）将l的参数方程代入26y x=，得：2720t--=.设12,P P对应参数分别为12,t t，12t t+=1272t t=-，所求01021212|||||||||||||P P P P t t t t-=-=+=【考点】极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程，直线参数方程几何意义24．选修4-5：不等式选讲函数()||2|3|f x x x=-+.（1）解不等式()2f x≥；（2）若存在x R∈使不等式()|32|0f x t--≥成立，求参数t的取值范围.【答案】（1）8{|4}3x x-≤≤-（2）15[,]33-【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，最后求它们解集的并集（2）先将存在型转化为对应函数最值：max()|32|0f x t--≥，再根据绝对值三角不等式求函数最值max()3f x=，最后解不等式试题解析：解：6,3()36,306,0x xf x x xx x+<-⎧⎪=---≤≤⎨⎪-->⎩，（1）362xx<-⎧⎨+≥⎩或30362xx-≤≤⎧⎨--≥⎩或62xx>⎧⎨--≥⎩，∴43x-≤<-或833x-≤≤-或φ∴不等式()2f x ≥的解集为8{|4}3x x -≤≤-.（2）∵max ()3f x =，∴只需max ()|32|0f x t --≥，即3|32|0t --≥，亦即|32|3t -≤，解之得：1533t -≤≤，∴参数t 的取值范围为15[,]33-.【考点】绝对值定义，绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学 （湖南考生用）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则AB =（ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)2解析：∵{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭． ∴332AB x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，故选D ．2．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2 解析：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩．所以222x yi x y +=+=，故选B ．3．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ）A ．100B ．99C ．98D ．97解析：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差1051105a a d -==-，∴100109098a a d =+=，故选C ．4．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车， 且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．34解析：如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30BACD小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟． 根据几何概型之长度比，所求概率10101402P +==，故选B ． 5．已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4， 则n 的取值范围是（ ）A ．(–1,3)B ．(–1,3)C ．(0,3)D ．(0,3) 解析：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<．由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距， ∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =，则21m =，∴13n -<<，故选A ． 6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ） A ．17π B ．18πC ．20πD ．28π 解析：原立体图如图所示：这是一个球被切掉左上角的18后的三视图．则其表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和．∵37428()833r ππ⨯=，解得2r =，∴2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯，故选A ． 7．函数2||2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为（ ）解析：()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；0x >时，()22x f x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-=．因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ，故选D ．8．若1a b >>，01c <<，则（ ）A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <解析：对A ：由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；对B ： 由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；对C ：要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a，只需ln b b 和ln a a ．构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()ln 110f x x '=+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<． 又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 对D ：要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb的大小．而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<． 又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误，故选C ．9．执行右面的程序框图，如果输入的011x y n ===，，， 则输出x ，y 的值满足（ ） A ．2y x = B ．3y x = C ．4y x = D ．5y x = 解析：如下表：循环节运行次数 12n x x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()y y ny =判断2236x y +≥是否输出 ()1n n n =+运行前1/ /1第一次 0 1 否 否 2第二次 12 2否 否 3第三次 326是是输出32x =，6y =，满足4y x =，故选C ． 10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A ． 2B ．4C ．6D ．8 解析：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理．设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，题目条件翻译如图：F设()0,22A x ，,52p D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①点,52p D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②点()0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③ 联立①②③解得4p =，∴焦点到准线的距离为4p =，故选B ．11．平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面AB B 1A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A ．32 B ．22 C ．33 D ．13解析：如图所示：αAA 1BB 1DCC 1D 1∵α∥平面11CB D ，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥．又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =，∴111B D m ∥，故11B D m ∥；同理可得：1CD n ∥．故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111B C B D CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即113sin 2CD B ∠=，故选A ． 巧解：在正方体中，易知平面BD A 1//平面CB 1D 1，而平移不改变角的大小，可取m BD =，1n A B =，而⊿BD A 1为正三角形，3sin 602=，故选A ． 12．已知函数()sin()(0)2f x x+πωϕωϕ=>≤，，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5()1836ππ，单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5 解析：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则21k ω=+，其中k ∈Z ．∵()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，∴5π,123618122T ππω-=≤≤．接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故选B ．另解：由题意知112()(),2444k k Z πππω+⋅=--∈，解得221k T πω==+，其中k ∈Z ．又因为()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，所以2252()213618T k ππππω==≥-+，解得112k <． 当5k =时，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭不单调（因为π5π18436T π<-<）；当4k =时，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调，符合题意，所以ω的最大值为9．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且222||||||a b a b +=+，则m = .解析：由已知得：()1,3a b m +=+，∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．或由222||||||a b a b +=+，得0a b ⋅=，∴1120m ⨯+⨯=，解得2m =-． 14．5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）解析：设展开式的第1k +项为1k T +，{}0,1,2,3,4,5k ∈，∴()()5552155C 2C 2k kkkk kk T x x x---+==．当532k -=时，4k =，即454543255C 210T x x --==，故答案为10． 15．设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．解析：由于{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=，其中1a 是首项，q 是公比．∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩．故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()()()21174932 (472)22412111...222n n n n n a a a ⎡⎤⎛⎫-+-++----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当3n =或4时，21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-，此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭取到最大值62．所以12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为64．16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值 为 元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为：**1.50.51500.3905360000x y x y x y x y x N y N⎧+⎪+⎪⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪∈⎪∈⎪⎩≤≤≤≥≥目标函数2100900300(73)z x y x y =+=+．作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)． 在(60,100)处取得最大值，210060900100216000z =⨯+⨯=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B+b A c =．（I ）求C ； （II ）若7c =，ABC ∆的面积为332，求ABC ∆的周长． 解析：（I ）由已知及正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=，即()2cos sin sin C A B C ⋅+=．故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =，所以π3C =． （II ）由已知，1333sin 242S ab C ab =⋅==，又π3C =，所以6ab =． 由已知及余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅，即221722a b ab =+-⋅， 故2213a b +=，从而()225a b +=，∴5a b +=．所以ABC △的周长为57a b c ++=+．ABCDEFGx yz 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=， 且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． （I ）证明：平面ABEF ⊥EFDC ；（II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．解析：（I ）由已知可得AF DF ⊥，AF FE ⊥，所以AF ⊥平面EFDC ． 又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ．（II ）过D 作DG EF ⊥，垂足为G ，由（I ）知DG ⊥平面ABEF ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，为||GF 单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（I ）知60DFE ∠=，则||2DF =，||3DG =，可得()140A ，，，()340B -，，，()300E -，，，()003D ，，． 由已知，//AB EF ，所以//AB 平面EFDC ．又平面ABCD 平面EFDC CD =，故//AB CD ，//EF CD ．由//BE AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以CEF ∠为二面角C -BE -F 的平面角，60CEF ∠=，从而可得(203)C -，，．所以()103EC =，，，(0,4,0)EB =，()343AC =--，，，(4,0,0)AB =-． 设()n x y z =，，是平面BCE 的法向量， 则=0n EC n EB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩，即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(3,0,3)n =-． 设m 是平面ABCD 的法向量，则=0m AC m AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩， 同理可取(0,3,4)m =． 则219cos ,19n m n m n m⋅<>==-⋅．故二面角E BC A --的余弦值为21919-．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时， 可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在 三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？解析：（I ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而()160.20.20.04P X ==⨯=；()170.20.40.40.20.16P X ==⨯+⨯=；()180.20.20.20.20.40.40.24P X ==⨯+⨯+⨯=；()190.20.20.20.20.40.20.20.40.24P X ==⨯+⨯+⨯+⨯=； ()200.40.20.20.40.20.20.2P X ==⨯+⨯+⨯=； ()210.20.20.20.20.08P x ==⨯+⨯=；()220.20.20.04P x ==⨯=．所以X 的分布列为X 1617 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04（II ）由（I ）知()180.44P X ≤=，()190.68P X ≤=，故n 的最小值为19．（III ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．当19n =时，192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08EY =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯432112344224xEDABC(192003500)0.044040+⨯+⨯⨯=；当20n =时，202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044080EY =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=． 可知当19n =时所需费用的期望值小于20n =时所需费用的期望值，故应选19n =．20. （本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合， l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.解析：（I ）因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ==∠∠∠． 所以||||EB ED =，故||EA EB EA ED AD +=+=．又圆A 的标准方程为()22116x y ++=，从而||4AD =，所以4EA EB +=． 由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为： 22143x y +=，(0y ≠)； （II ）221:143x y C +=；设:1l x my =+，因为PQ l ⊥，设():1PQ y m x =--，联立l 与椭圆1C ：221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=．则()()2222222363634121||1||13434M N m m m MN m y y m m m +++=+-=+=++.432112344224xQPNMAB圆心A 到PQ 距离()22|11||2|11m m d mm---==++，所以2222224434||2||21611m m PQ AQ d m m+=-=-=++，∴())2222222121114342411||||2412,831223413431MPNQm m m S MN PQ m m m m +++⎡=⋅=⋅⋅==∈⎣+++++．（II ）另解：设,(0,)MBA θθπ∠=∈，则在MAB ∆中应用余弦定理，得：222||||||2||||c o s M A M B A B M B A B θ=+-⋅⋅，结合4M A M B +=可解得32cos MB θ=-．类似的，可得32cos NB θ=+．从而233122cos 2cos 4cos MN MB NB θθθ=+=+=-+-． 此时直线PQ 的方程为cos sin cos x y θθθ=+， 于是圆的弦长222222cos ||24()44cos cos sin PQ θθθθ=-=-+．则四边形MPNQ 面积2124||24cos S MN PQ θ=⋅⋅=-，故四边形MPNQ面积的取值范围是[12,83)．21．（本小题满分12分）已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-有两个零点. (I) 求a 的取值范围；(II)设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.解析：（I ）由已知得：()()()()()12112x x f x x e a x x e a '=-+-=-+．① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意； ② 若0a >，那么20x x e a e +>>．所以当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1x <时，()0f x '<，()f x 单调递减．即：x(),1-∞1()1,+∞()f x '-+()f x↘ 极小值↗故()f x 在()1,+∞上至多一个零点，在(),1-∞上至多一个零点． 由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--， 则()0f x =的两根21412e e ae t a --+=+，22412e e aet a-++=+， 12t t <， 因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+-->， 因此，当1x <且1x t <时，()0f x >；又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=．当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>，()f x 单调递增； 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()()()120x f x x e a '=-+<，()f x 单调递减； 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()0f x '>，()f x 单调递增．即：x()(),ln 2a -∞-()ln 2a - ()()ln 2,1a -1()1,+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗而极大值()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -⎡⎤⎣⎦， 那么()()ln 20f x f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解； 而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点． 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．④ 若2ea =-，那么()ln 21a -=．当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()0f x '>，()f x 单调递增；当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()0f x '>，()f x 单调递增．又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若2ea <-，则()ln 21a ->．当1x <时，10x -<，()ln 212220a x e a e a ea -+<+<+=，即()0f x '>，()f x 单调递增． 当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()0f x '<，()f x 单调递减．当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()0f x '>，()f x 单调递增．即：x(),1-∞1()()1,ln 2a -()ln 2a - ()()ln 2,a -+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗故当()ln 2x a -≤时，()f x 在1x =处取到最大值()1f e =-， 那么()0f x e -<≤恒成立，即()0f x =无解． 当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点． 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞．（II ）由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211x x x e x e a x x ---==--．设()()()221x x e g x x -=-，则()()12g x g x =．那么()()()23211x x g x e x -+'=-． 当1x <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增． 设0m >，构造代数式：()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭． 设()2111mm h m e m -=++，0m >． 则()()222201m m h m e m '=>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上， 不妨设12x x <，则必有121x x <<．令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔->， 整理得122x x +<．分析：第（Ⅰ）问是典型的零点个数问题，分离变量即可；第（Ⅱ）问是典型的极值点偏移问题，对称化构造即可．另解：（Ⅰ）显然1x =不是函数()f x 的零点．当1x ≠时，方程()0f x =等价于22e (1)x x a x --=⋅-．记右侧函数为()g x ，求导得()2345e (1)x x x g x x -+'=⋅-． 因此函数()g x 在(),1-∞上单调递减，而在()1,+∞上单调递增． 由于函数()g x 在(),1-∞上的取值范围是(),0-∞， 而在()1,+∞上的取值范围是(),-∞+∞，因此当0a -<时， 函数()f x 有两个零点，所求a 的取值范围为()0,+∞．（Ⅱ）根据（Ⅰ），不妨设121x x <<，则只需证明212x x <-． 考虑到函数()g x 在()1,+∞上单调递增．于是只需证明21()(2)g x g x <-，也即11()(2)g x g x <-．接下来证明：1x ∀<，()(2)0g x g x --<，也即1x ∀<，2e (2)e 0x x x x --+⋅<．设2()e (2)e x x h x x x -=-+⋅，则其导数2()(e e )(1)x x h x x -'=--， 当1x <时，有2e e 0x x --<，于是在(),1-∞上，()h x 单调递增， 而(1)0h =，于是在(),1-∞上，有()0h x <，因此原命题得证．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB =120°．以O 为圆心，12OA 为半径作圆． (I)证明：直线AB 与⊙O 相切；(II)点C ，D 在⊙O 上，且A ,B ,C ,D 四点共圆，证明：AB ∥CD ．解析：（I ）设E 是AB 中点，连结OE ．因为120OA OB AOB =∠=︒，，所以OE AB AOE ⊥∠，=60°．在Rt AOE ∆中，12OE AO =， 即O 到直线AB 的距离等于⊙O 半径，所以直线AB 与⊙O 相切． （II ）因为2OA OD =，所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心．设O '是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线OO '．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O '在线段AB 的垂直平分线上， 所以OO AB '⊥．同理可证，OO CD '⊥．所以AB CD ∥．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； （II ）直线C 3的极坐标方程为0a θ=，其中0a 满足tan 0a =2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．解析：（I ）消去参数t 得到1C 的普通方程()2221x y a +-= ①1C 是以()01，为圆心，a 为半径的圆． 将cos sin x y ρθρθ==，代入1C 的普通方程中， 得到1C 的极坐标方程为222sin 10a ρρθ-+-=．（II ）曲线1C ，2C 的公共点的极坐标满足方程组222sin 104cos a ρρθρθ⎧-+-=⎨=⎩．若0ρ≠，由方程组得 2216cos 8sin cos 10a θθθ-+-=，由已知tan 2θ=， 可得216cos 8sin cos 0θθθ-=，从而210a -=，解得1a =-（舍去）或1a =．当1a =时，极点也为1C ，2C 的公共点，在3C 上，所以1a =．24．（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. （I ）画出y = f (x )的图像； （II ）求不等式|()|1f x >的解集．O11解析：（I ）()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩，≤，，，y = f (x )的图像如图所示．（II ）由()f x 的表达式及图像，当()1f x =时，可得1x =或3x =； 当()1f x =-时，可得13x =或5x =， 故()1f x >的解集为{|13}x x <<；()1f x <-的解集为1{|5}3x x x <>或．所以|()|1f x >的解集为1{|135}3x x x x <<<>或或．。

侧视图正视图俯视图11221=R 绝密★启用前湖南省东部六校2016届高三联考试题理科数学答案总分：150分 时量：120分钟 考试时间：2015年12月8日由株洲市二中高三理科数学备课组命制一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；每小题只有一个正确答案） 1．已知全集U=R ，集合{}lg(1)A x y x ==-，集合{}225B yy x x ==++，则A B =I（ C ）A ．∅B ．（1，2]C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞ 2．已知复数z 满足()3425i z -=，则z =（ D ）A ．34i --B ．34i -+C ．34i -D ．34i +3．设α为锐角，若cos ()6πα+＝45，则sin (2)3πα+的值为（ B ）A ．2512B ．2425C ．2425-D ．1225-4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为 ( C ) A.158 B.94 C.35D.915．已知双曲线22221x y a b-= （0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，以1F 、2F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为 ( C )A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=6．下左图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入（ D ） A ．M q i = B ．M q N = C ． N q M N =+ D ．Mq M N=+7．一个几何体的三视图如上右图，则该几何体的体积为 ( D ) A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π68．若,a b ∈R ，命题p :直线y ax b =+与圆221x y +=相交；命题2q :1a b >-，则p 是q 的 ( A )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知)(x f 是偶函数，它在[)+∞,0上是减函数，若(lg )(2)f x f >，则x 的取值范围是（ C ）A ．1(,1)100 B ．1(0,)(1,)100+∞U C ．1(,100)100D ．()()0,1100,+∞U 10．已知不等式组220,22,22x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当PAB ∆的面积最小时，cos APB ∠的值为（ B ）A ．78 B ．12 C ．34 D ．3211．如上右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r,则2x y +的最小值为（ C ）A ．2B ．13 C ．3223+ D ．34 12．设点P 在曲线2x y e =上，点Q 在曲线2ln ln -=x y 上，则|PQ |的最小值为 ( D )A ．1－ln 2 B.2 (1－ln 2) C ．)2ln 1(2+ D.2(1＋ln 2)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．如果n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是 21 ． 14．函数3sin 3cos y x x =+([0,]2x π∈) 的单调递增区间是 ]3,0[π.15．对于问题：“已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(-，解关于x 的不等式02>+-c bx ax ”，给出如下一种解法：解：由02>++c bx ax 的解集为)2,1(-，得0)()(2>+-+-c x b x a 的解集为)1,2(-，即关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为)1,2(-.参考上述解法，若关于x 的不等式0<++++c x bx a x k 的解集为)1,21()31,1(Y --，则关于x 的不等式0111<++++cx bx ax kx 的解集为_____），（），（211-3-Y _______． 16．已知椭圆C 的方程为13422=+y x ，B A 、为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上不同于B A 、的动点，直线4=x 与直线PB PA 、分别交于N M 、两点，若)0,7(D ，则过N M D 、、三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点，其坐标为 )0,1( ．A MB GN C三、解答题：（本大题分必做题和选做题两部分，满分70分，解答须写出详细的计算步骤、证明过程）（一）必做题：17．（本小题满分12分）株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为)2520[，，)3025[，，)35,30[，)40,35[，)45,40[，)50,45[，)55,50[等七组,其频率分布直方图如下图所示。

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A 2016年湖南高考数学理科试卷真题2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学适用地区：安徽、湖北、福建、湖南、山西、河北、江西、广东、河南注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x=-+<，{|230}B x x=->，则A B =（A）3(3,)2--（B）3(3,)2-（C）3(1,)2（D）3(,3)2（2）设(1i)1ix y+=+，其中x，y是实数，则i=x y+（A）1（BC（D）2（3）已知等差数列{}na前9项的和为27，10=8a，则100=a（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A）（B）（C）（D）（5）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则（A ）c c a b <（B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=，|DE|=则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ⋂平面ABCD =m ，a ⋂平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为(A)2(B )2 (C)3 (D)1312.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =. (14)5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）（15）设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为。

数学（理工农医类）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}|20,2,1,0,1,2A x x x B =-≤=--，则AB =（ ）A ．{}2,1--B ．{}1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,2 2.已知11zii i =+-，则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ） A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限3.已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．54.已知命题():0,,32xxp x ∀∈+∞>；命题():,0,32q x x x ∃∈-∞>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝5.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点F 到渐近线的距离等于2a ，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．3 6.已知函数()()cos 02f x x ππϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，()()00f x f =-，则正确的选项是（ ）A ．0,16x πϕ== B ．04,63x πϕ==C ．0,13x πϕ==D ．02,33x πϕ== 7.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．-2B ．12C ．-1D ．2 8.在长为2的线段AB 上任意取一点C ，以线段AC 为半径的圆面积小于π的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．34 D ．4π9.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ）A ．2B ．4C ．2．4+10.如图所示，直四棱柱1111ABCD A BC D -O ，四边形ABCD 为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB 的长为（ ）A ．1 B．211.已知函数()()21,02,0axax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,0- B ．()0,+∞ C ．()2,0- D ．(),2-∞-12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,b,c a ，已知2,sin c A B ==，则ABC ∆面积的最大值为（ ） ABCD ．2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，将答案填在答题纸上）13.若,x y 满足约束条件0122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值是____________．14. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭人展开式中含2x 项的系数为_____________． 15.已知正实数x y 、满足xy x y =+，若2xy m ≥-恒成立，则实数m 的最大值是__________．16.过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，作,AC BD 垂直抛物线的准线l 于,,C D O 为坐标原点，则下列结论正确的是__________（填写序号）． ①AC CD BD BA +=-；②存在R λ∈，使得AD AO λ=成立； ③0FC FD =；④准线l 上任意点M ，都使得0AM BM >三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足111,433n n n a S S a +==++． （1）证明：{}1n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 18.（本小题满分12分）如图，正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长为4，4,PD E =为PA 的中点．（1）求证：平面EBD ⊥平面 PAC ； （2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值． 19.（本小题满分12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的统计数据：（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y bx a =+；（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：()()()1122211,n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点()1,0F 的距离与它到直线2x =的距离之比为2． （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线()0y kx m m =+≠与曲线E 交于,A B 两点，与x 轴、y 轴分别交于,C D 两点（且C D 、在A B 、之间或同时在A B 、之外）．问：是否存在定值k ，对于满足条件的任意实数m ，都有OAC ∆的面积与OBD ∆的面积相等，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分） 已知函数()()ln xf x mx m R x=-∈． （1）当0m =时，求函数()f x 零点的个数；（2）当0m ≥时，求证：函数()f x 有且只有一个极值点；（3）当0b a >>时，总有()()1f b f a b a->-成立，求实数m 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 为O 的直径，过点B 作O 的切线,BC OC 交O 于点,E AE 的延长线交BC于点D ．（1）求证：2CE CD CB =； （2）若122,5AB BC ==，求CE 和CD 的长． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆1C 和2C 的参数方程分别是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）和cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆1C 和2C 的极坐标方程；（2）射线:OM θα=与圆1C 的交点为O P 、，与圆2C 的交点为O Q 、，求OP OQ 的最大值．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x a m x a =-++．（1）当1m a ==-时，求不等式()f x x ≥的解集；（2）不等式()()201f x m ≥<<恒成立时，实数a 的取值范围是{}|33a a a ≤-≥或，求实数m 的集合．参考答案一、选择题二、填空题 13. 12-14. 2 15. 6 16. ①②③ 三、解答题17.【解析】（1）∵143n n n S S a +=++，∴143n n a a +=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ∴1144411n n n n a a a a +++==++，∴()2221244444411114443333333n n n n n S a a a n n=+++=-+-++-=+++-=+++-()14141443149nn n m +--=⨯-=--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18.【解析】（1）设ACBD O =，连结,EO PO ，∵O 为正方形的中心，∴PO ⊥底面ABCD ，∴PO BD ⊥． 又∵ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥， ∵POAC O =，∴BD ⊥平面 PAC ，又∵BD ⊂平面 EBD ，∴平面 EBD ⊥平面 PAC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）∵PO ⊥平面 ABCD ，AC BD ⊥，建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分则()()(,,,A B P E()(22,0,0,2,OA BE ==-，∵,OA PO OA BD ⊥⊥，∴OA 为平面PBD 的一个法向量． 设BE 与平面 PBD 所成角为θ，则6sin cos ,6OA BE OA BE OA BEθ===， ∴直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.【解析】（1）解法一：容易算得2013,260.2x y ==，()()()12113,260.2132013niii nii x x y y b a y bx x x ==--===-=-⨯-∑∑，故所求的回归直线方程为()13260.2132013132013260.2y x x =+-⨯=-+．．．．．．．．．．．．．．．．6分解法二：由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似直线上升，为此时数据预处理如下表：对预处理后的数据，容易算得11110, 3.2n ni i i i x x y y n n ======∑∑，122113013, 3.210ni ii ni i x y nx yb a y bx x nx==-====-=-∑∑ 所求的回归直线方程为()()2572013132013 3.2y b x a x -=-+=-+， 即()132013260.2y x =-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）根据题意，该城市2023年的居民生活用水量与该城市2020年的居民生活用水量相当，当2020x =时满足（1）中所求的回归直线方程．此时()1320202013260.2351.2y =-+=（万吨）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．【解析】（1）设(),M x y 2=，整理得2212x y +=， ∴轨迹E 的方程为2212x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）联立2222y kx mx y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()222124220k xmkx m +++-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分()()()()22222441222821mk k m k m ∆=-+-=-+，由0∆>得()2221*m k <+．设()()1122,,,A x y B x y ，则122421mkx x k -+=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分由题意，不妨设(),0,0,m C D m k ⎛⎫-⎪⎝⎭， OAC ∆的面积与OBD ∆的面积总相等AC BD ⇔=恒成立⇔线段AB 的中点与线段CD 的中点重合．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴2421mk m k k -=-+，解得2k =±，即存在定值2k =±，对于满足条件0m ≠，且m <*）的任意实数m ，都有OAC ∆的面积与OBD ∆的面积相等．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．【解析】（1）当0m =时，()()()2ln 1ln 0,x xf x x f x x x-'=>=，令()0f x '=，得x e =，∴函数()f x 在区间()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∵()()max 110,0f x f e f e ee ⎛⎫==>=-< ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 在区间()0,e 内有且只有一个零点； 又当x e >时，()ln 0xf x x=>恒成立， ∴函数()f x 在区间(),e +∞内没有零点．综上可知，当0m =时，函数()f x 有且只有1个零点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）证明：∵()()ln 0xf x mx m x=-≥， ∴()()2221ln 1ln 0x x mx f x m x x x---'=-=>， 令()21ln g x x mx =--，∵()120g x mx x'=--<，∴函数()g x 在区间()0,+∞上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∵2102m m m m g e e -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭（∵m e m >），()20ge m e =-<，∴()00,x ∃∈+∞，使得()00g x =，∴当()00,x x ∈时，()0g x >，即()()0,f x f x '>在区间()00,x 单调递增； 当()0x x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在区间()0,x +∞单调递减， ∴0x x =是函数()f x 在区间()0,+∞内的极大值点，即当0m ≥时，函数()f x 有且只有一个极值点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）∵当0b a >>时，总有()()1f b f a b a->-成立， 即当0b a >>时，总有()()f b b f a a ->-成立，也就是函数()()h x f x x =-在区间()0,+∞上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 由()()()ln 10x h x m x x x =-+>可得()()21ln 10xh x m x-'=-+≥在区间()0,+∞恒成立，即21ln 1xm x -≤-在区间()0,+∞恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设()21ln 1x k x x -=-，则()()32ln 30x k x x x-'=>， 令()0k x '=，则32x e =，∴当320,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k x '<，函数()k x 在区间320,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当32+x e ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，时，()0k x '>，函数()k x 在区间32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；∴()32333min3112112k x k e e ee ⎛⎫==--=-- ⎪⎝⎭，∴所求m 的取值范围是3112m e ≤--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．【解析】（1）证明：连接BE ， ∵BC 为O 的切线，∴090ABC ∠=，∵AEO CED ∠=∠，∴CED CBE ∠=∠，∵C C ∠=∠，∴CEDCBE ∆∆， ∵C C ∠=∠，∴CEDCBE ∆∆， ∴CE CD CB CE=， ∴2CE CD CB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）∵121,5OB BC ==，∴135OC =， ∴85CE OC OE =-=， 由（1）2CE CD CB =，得281255CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴1615CD =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23．【解析】（1）圆1C 和2C 的普通方程分别是()2224x y -+=和()2211x y +-=，∴圆1C 和2C 的极坐标方程分别是4cos ρθ=和2sin ρθ=．．．．．．．．．．．．．．5分（2）依题意得，点,P Q 的极坐标分别为()4cos ,P αα和()2sin ,Q αα，不妨取0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴4cos ,2sin OP OQ αα==，从而4sin 24OP OQ α=≤，当且仅当sin 21α=±时，即4πα=时，上式取“=”，O P O Q 取最大值4．．．．．．．．．．．．．．．10分24．【解析】（1）当1x <-时，不等式等价于()()11x x x -++-≥，解得2x ≤-；当11x -≤<时，不等式等价于()()11x x x ++-≥，解得01x ≤<；当1x ≥时，不等式等价于()()11x x x +--≥，解得12x ≤≤，综上，不等式()f x x ≥的解集为{}|202x x x ≤-≤≤或.．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()()()()12122f x x a m x a m x a x a m x a m a m x a m a =-++=-+++--≥+--≥≥， 解得1a m ≤-或1a m≥，又实数a 的取值范围是{}|33a a a ≤-≥或， 故13m =，即13m =， ∴实数m 的集合是1|m 3m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分。

2016年湖南省六校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A=｛x｜x2﹣6x+5≤0｝,B=｛x｜y=｝，A∩B=(）A．[1,+∞）B．[1，3]C．（3，5]D．[3，5］2．命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数3．若执行如图的程序框图，输出S的值为6，则判断框中应填入的条件是(）A．k＜32? B．k＜65？C．k＜64？D．k＜31？4．下列函数中在上为减函数的是（)A．y=2cos2x﹣1 B．y=﹣tanxC． D．y=sin2x+cos2x5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2， (960)分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间［451，750］的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．156．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．6πB．C．3πD．7．若的展开式中的常数项为a，则的值为(）A．6 B．20 C．8 D．248．若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．1 B．C．2 D．9．已知数列{a n｝的通项公式a n=5﹣n，其前n项和为S n,将数列{a n｝的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项,记｛b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，则实数λ的取值范围是（)A．λ≥2 B．λ＞3 C．λ≥3 D．λ＞210．已知两个不相等的非零向量,两组向量和均由2个和3个排成一列而成．记，S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的是(）A．B．C．若⊥，则S min与｜|无关D．S有5个不同的值11．设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c 为三边长的三角形,则实数p的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2］C．D．以上均不正确12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点,不同两点P,Q在椭圆C上，且关于x轴对称,设直线AP，BQ的斜率分别为m,n,则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知复数,则｜z｜=．14．在△ABC中，BC=，AC=2,△ABC的面积为4,则AB的长为．15．已知圆x2+y2﹣4x+2y+5﹣a2=0与圆x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16=0相交于A（x1，y1）,B（x2，y2)两点，且满足x+y=x+y,则b=．16．给出下列命题:(1）设f(x）与g(x）是定义在R上的两个函数，若|f（x1）+f(x2）|≥｜g（x1）+g(x2)|恒成立,且f（x）为奇函数，则g（x)也是奇函数；（2）若∀x1，x2∈R，都有|f（x1)﹣f(x2)|＞｜g(x1)﹣g(x2)|成立,且函数f（x）在R上递增，则f(x）+g（x）在R上也递增；（3）已知a＞0，a≠1,函数f(x)=，若函数f（x）在［0，2］上的最大值比最小值多，则实数a的取值集合为;(4）存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1｜+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共5小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列｛a n｝的前n项和为S n,常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？18．如图,在多面体ABCDE中,DB⊥平面ABC，AE∥DB,且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．(1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．19．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）30 18［30，40）36 24［40，50）12 9[50，60] 4 3（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30)抽取的人数;（2）求全校教师的平均年龄;（3）随机从年龄段[20,30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．20．已知抛物线方程为x2=2py(p＞0)，其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点,过A,B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．(1)求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为,求直线AB的斜率k．21．已知函数f（x）=e﹣x（lnx﹣2k)(k为常数,e=2。

第 1 页 共 11页2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的．1．已知（为虚数单位），则复数( )2(1)1i i z-=+i z =A ．B ．C ．D ．1i +1i-1i-+1i--【解析】由题意得，得．故选D ．2(1)2111i iz i i i--===--++考点：复数的运算．2．设，是两个集合，则“”是“”的( )A B A B A = A B ⊆A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆ ，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件．故选C ．考点：集合的关系．3．执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( )A ．B ．C ．D ．76739894【解析】由题意得，输出的为数列的前三S 1(21)(21)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭项和，而，所以1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，从而．故选B ．11(122121n n S n n =-=++337S =考点：程序框图，裂项相消求数列的和．1第 2 页 共 11 页4．若变量，满足约束条件，则的最小值为( )x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x y x z -=3A ． B ．C ．1D ．27-1-【解析】如图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当，时，y x z -=3的最小值是7-．故选2x =-1y =A ．考点：线性规划．5． 设函数，则是( ))1ln()1ln()(x x x f --+=)(x f A ． 奇函数，且在是增函数B ． 奇函数，且在是减函数)1,0()1,0(C ． 偶函数，且在是增函数D ． 偶函数，且在是减函数)1,0()1,0(【解析】试题分析：显然，定义域为，关于原点对称，()f x (1,1)-又∵，∴为奇函数，显然在上单调()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-()f x ()f x (0,1)递增．故选A ．考点：函数的性质．6．已知的展开式中含的项的系数为30，则( )5(xax -23x =a A ．B ．C ．6D ．33-6-【解析】，令，可得，从而．故选D ．5215(1)r r r rr T C a x-+=-1r =530a -=6a =-考点：二项式定理．7． 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布C 的密度曲线）的点的个数的估计值为( ))1,0(N A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772附：若，则),(~2σμN X ,6826.0)(=+≤<-σμσμX P ．9544.0)22(=+≤<-σμσμX P 【解析】根据正态分布的性质，．故选．1(01)(11)0.34132P x P x <<=-<<=C 考点：正态分布．8． 已知点，，在圆上运动，且 ． 若点的坐标为,A B C 122=+y x BC AB ⊥P )0,2(第 3 页 共 11 页则的最大值为( )||PC PB PA ++A ．6 B ．7C ．8D ．9【解析】由题意得为圆的直径，故可设，，，AC (,)A m n (,)B m n --(,)C x y ∴，而，∴的(6,)PA PB PC x y ++=- 22(6)371249x y x -+=-≤||PC PB PA ++最大值为7．故选．B 考点：圆的性质，平面向量数量积．9． 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，x x f 2sin )(=ϕ)20(πϕ<<)(x g 若对满足的，，有，则( )2|)()(|21=-x g x f 1x 2x 3||min 21π=-x x =ϕA ．B ．C ．D ．125π3π4π6π【解析】向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨设ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-．故选D ．考点：三角函数的图象和性质．10． 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率）( )原工件的体积新工件的体积=A ．B ．C ．D ．π98π916π2124）－（π21212）－（【解析】问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如下图所示，则有，∴，212x h -=22h x =-∴长方体的体积为22(2)(22)x h x x =-，当且仅当4(22)x x x =-A A 3224()3x x x ++-≤3227=时，等号成立，2223x x x =-=即∴利用率为．故选A ．232162719123ππ=A A考点：圆锥内接长方体，基本不等式求最值．侧侧侧侧侧侧1育（列讲话，员中开我第 4 页 共 11 页二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．__________．⎰=-2)1(dx x 【解析】．⎰=-2)1(dx x 2201|02x x -=考点：定积分的计算．12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员的人数是_________．]151,139[【解析】由茎叶图可知，在区间]151,139[的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为435720=⨯人．考点：系统抽样，茎叶图．13．设是双曲线的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰F C 1:2222=-by a x C P PF 为其虚轴的一个端点，则的离心率为________．C 【解析】根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线(,0)F c (0,)b (,2)c b -上，∴，从而．222241c b a b -=ce a==考点：双曲线的标准方程及其性质．14．设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则n S }{n a n 11=a 321,2,3S S S ___________．=n a 【解析】等比数列中，，∴}{n a 2111S a a q q =+=+231S q q =++，24(1)31q q q +=+++解得，∴．3q =13n n a -=考点：等比、等比数列的通项公式及其前n 项和．的意业。

湖南省株洲市2016年高考数学一模试卷（理科）(解析版）一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，A={y｜y=2x+1｝，B=｛x|lnx＜0｝,则A∩B=（）A．｛x|0＜x＜1｝B．{x|＜x≤1｝C．｛x|x＜1}D．∅2．已知复数（其中i是虚数单位，满足i2=﹣1），则z的共轭复数是(）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i3．已知命题p：∀x1，x2∈R，(f（x2）﹣f(x1)）（x2﹣x1)≥0，则￢p是(）A．∃x1，x2∈R，(f（x2）﹣f（x1））(x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，(f（x2）﹣f(x1))（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，(f（x2）﹣f（x1））(x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））(x2﹣x1）＜04．若α∈（，π），则3cos2α=sin(﹣α)，则sin2α的值为（)A．B．﹣C．D．﹣5．在如图所示的程序框图中,若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10］B．(2,+∞）C．（2，4］ D．(4，+∞)6．有关以下命题：①用相关指数R2来刻画回归效果,R2越小,说明模型的拟合效果越好；②已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2），P(ξ≤4）=0。

79，则P（ξ≤﹣2）=0。

21;③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60；其中正确的命题的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个7．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A．2+2+B．16+2 C．8+2D．8+8．若x,y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为2,则实数a的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣29．已知等差数列｛a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1,S n是数列｛a n｝前n项的和,则（n∈N+）的最小值为(）A．4 B．3 C．2﹣2 D．10．过双曲线﹣=1（a＞0,b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为(）A．B．2 C．D．11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N＊),则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3。

2016年湖南省高考数学模拟试卷（理科）（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=8，则a=（）A.-1B.0C.1D.2【答案】D【解析】解：由（2+ai）（a-2i）=8，得4a+（a2-4）i=8，∴，解得a=2．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等的条件列式求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2.已知集合A={x|-3＜x＜3}，B={x|x（x-4）＜0}，则A∪B=（）A.（0，4）B.（-3，4）C.（0，3）D.（3，4）【答案】B【解析】解：∵集合A={x|-3＜x＜3}，B={x|x（x-4）＜0}={x|0＜x＜4}，∴A∪B={x|-3＜x＜4}=（-3，4）．故选：B．利用并集的性质求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．3.“-1＜x＜2”是“|x-2|＜1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：由|x-2|＜1，解得1＜x＜3，∴“-1＜x＜2”是“|x-2|＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．由|x-2|＜1，解得1＜x＜3，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A.91，91.5B.91，92C.91.5，91.5D.91.5，92【答案】C【解析】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；∴这组数据的中位数为=91.5，平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5．故选：C．根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数与平均数即可．本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目．5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=-9，a2+a8=-2，当S n取得最小值时，n=（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】解：等差数列{a n}中，a1=-9，a2+a8=2a1+8d=-18+8d=-2，解得d=2，所以，S n=-9n+=n2-10n=（n-5）2-25，故当n=5时，S n取得最小值，故选：A．利用等差数列的通项公式，可求得公差d=2，从而可得其前n项和为S n的表达式，配方即可求得答案．本题考查等差数列的性质，考查其通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．6.执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A.5B.3C.4D.2【答案】A【解析】解：模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为：k=2，k=3，k=4，k=5，大于4，可得S=sin=，输出S的值为．故选：A．模拟执行程序，依次写出每次循环k的值，当k=5时，大于4，计算输出S的值为，从而得解．本题主要考查了循环结果的程序框图，模拟执行程序正确得到k的值是解题的关键，属于基础题．7.函数y=sin（2x+φ），，的部分图象如图，则φ的值为（）A.或B.C.D.【答案】B【解析】解：由已知中函数y=sin（2x+φ）（φ，）的图象过（，0）点代入解析式，结合五点法作图，sin（+φ）=0，+φ=π+2kπ，k∈Z，∵φ，，∴k=0，∴φ=，故选：B．由已知中函数的图象，通过坐标（，0）代入解析式，结合φ，求出φ值，得到答案．本题考查的知识点是由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，特殊点是解答本题的关键．8.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A. B. C.D.【答案】C【解析】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．9.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：×1×1×=，故组合体的体积V=1-=，故选：A由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，分别计算正方体和四棱锥的体积，相减可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10.设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A.90°B.60°C.45°D.30°【答案】D【解析】解：∵G是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移项化简，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cos A===，∵A为三角形的内角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故选：D根据三角形重心的性质得到，可得．由已知向量等式移项化简，可得=，根据平面向量基本定理得到，从而可得a=b=c，最后根据余弦定理加以计算，可得角A的大小．本题给出三角形中的向量等式，求角A的大小，着重考查了三角形重心的性质、平面向量基本定理和利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．11.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A.36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【解析】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O-ABC=V C-AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，利用三棱锥O-ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大是关键．12.已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|=|BM|，∠AMB=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，在R t△BMN中，∵BM=AB=2a，∠MBN=60°，∴|BN|=a，，故点M的坐标为M（2a，），代入双曲线方程得a2=b2，即c2=2a2，∴．故选：B．由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到R t△BNM，通过求解直角三角形得到M坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合隐含条件求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是______ （用数字作答）【答案】10【解析】解：展开式的通项公式T r+1==2-r，令=8，解得r=2，∴（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是=10．故答案为：10．由展开式的通项公式T r+1==2-r，令=8，解得r即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知函数f（x）=，，＞，且f（a）=-3，则f（6-a）= ______ ．【答案】-【解析】解：∵函数f（x）=，，＞，∴当a≤1时，2a-2-2=-3，无解；当a＞1时，-log2（a+1）=-3，解得a=7，∴f（6-a）=f（-1）=2-1-2-2=-，故答案为：-由函数f（x）=，，＞且f（a）=-3，求出a值，可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，方程思想，难度中档．15.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为______ ．【答案】5【解析】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=-x+z，平移直线y=-x可知，当直线经过点A（4，-1）时，目标函数取最大值，代值计算可得z的最大值为：2×4-3=5，故答案为：5．作出可行域，变形目标函数，平移直线y=-x数形结合可得结论．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．16.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）-1是奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为______ ．【答案】（0，+∞）【解析】解：由题意令g（x）=，则′′′=′，∵f（x）＞f′（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上是单调递减函数，∵y=f（x）-1为奇函数，∴f（0）-1=0，即f（0）=1，g（0）=1，则不等式f（x）＜e x等价为＜1=g（0），即g（x）＜g（0），解得x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．根据条件构造函数令g（x）=，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数的结论：f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积．（Ⅰ）求sin A与cos A的值；（Ⅱ）设，若tan C=2，求λ的值．【答案】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由题意可得：，…（3分）所以解得：sin A+2cos A=2，又因为sin2A+cos2A=1，解方程组可得．…（8分）（Ⅱ）∵tan C=2，C为三角形的内角，∴易得，…（10分）∴…（12分）∴．…（14分）【解析】（Ⅰ）由三角形面积公式及余弦定理化简已知等式可得，解得：sin A+2cos A=2，又sin2A+cos2A=1，从而解方程组即可得解．（Ⅱ）由tan C=2，可得sin C，cos C的值，可得，从而由正弦定理即可解得．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，同角三角函数关系式的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．18.为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作标本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）【答案】解：（1）甲班抽取的5名学生的成绩为102，112，117，124，136，从中有放回地抽取两个数据，基本事件总数n=52=25，其中只有一个优秀成绩，包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，∴其中只有一个优秀成绩的概率p==．（2）由茎叶图知甲班抽取的5名学生中有2名学生成绩优秀，乙班抽取的5名学生中有1名学生成绩优秀，由此得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）=+=，P（X=3）==，EX==．【解析】（1）甲班抽取的5名学生的成绩为102，112，117，124，136，从中有放回地抽取两个数据，基本事件总数n=52=25，其中只有一个优秀成绩，包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，由此利用等可能事件概率计算公式能求出其中只有一个优秀成绩的概率．（2）由茎叶图知甲班抽取的5名学生中有2名学生成绩优秀，乙班抽取的5名学生中有1名学生成绩优秀，由此得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19.已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C-PQ-D的余弦值．【答案】（Ⅰ）①证明：∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面APB，又PB⊂平面APB，∴PB⊥AD，∵PD⊥PB，AD∩PD=D，∴PB⊥平面PAD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC．②证明：取PB中点M，连结RM，SM，∵R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，∴SM∥CB∥AD，RM∥AP，又AD∩AP=A，∴平面PAD∥平面SMR，∵RS⊂平面SMR，∴RS∥平面PAD．（Ⅱ）解：由已知得，解得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（0，0，0），P（，，），D（0，-，1），C（0，，2），∴，，，，，，=（0，，2），设平面PDQ的法向量，，，则，取y=2，得，，，设平面PCQ的法向量，，，则，取b=4，得=（0，4，-3），设二面角C-PQ-D的平面角为θ，∴cosθ=|cos＜，＞|=||=，∴二面角C-PQ-D的余弦值为．【解析】（Ⅰ）①由已知得AD⊥平面APB，从而PB⊥AD，由此能证明平面PAD⊥平面PBC．②取PB中点M，连结RM，SM，由已知推导出平面PAD∥平面SMR，由此能证明RS∥平面PAD．（Ⅱ）由已知得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PQ-D的余弦值．本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20.已知函数f（x）=2lnx-ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，＜．【答案】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=，x＞0．若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．若a＞2，当x∈（，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若0＜a＜2，当x∈（1，）时，f（x）递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，f（x）≤f（1）=0，合题意．故a=2，且lnx≤x-1（当且仅当x=1时取“=”）．当0＜x1＜x2时，f（x2）-f（x1）=2ln-2（x2-x1）＜2（-1）-2（x2-x1）=2（-1）（x2-x1），∴＜2（-1）．【解析】（I）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（II）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnx≤x-1（当且仅当x=1时取“=”）．利用此结论即可证明．熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键．21.已知椭圆C1：+x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1），∴c=1，又b2=1，∴∴椭圆方程为：+x2=1．…（4分）（Ⅱ）F2（0，-1），由已知可知直线l1的斜率必存在，设直线l1：y=kx-1由消去y并化简得x2-4kx+4=0∵直线l1与抛物线C2相切于点A．∴△=（-4k）2-4×4=0，得k=±1．…（5分）∵切点A在第一象限．∴k=1…（6分）∵l∥l1∴设直线l的方程为y=x+m由，消去y整理得3x2+2mx+m2-2=0，…（7分）△=（2m）2-12（m2-2）＞0，解得＜＜．设B（x1，y1），C（x2，y2），则，．…（8分）又直线l交y轴于D（0，m）∴…（10分）=当，即，时，．…（11分）所以，所求直线l的方程为．…（12分）【解析】（Ⅰ）求出抛物线的F1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程．（Ⅱ）F2（0，-1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程．本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．22.如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB的大小．【答案】（Ⅰ）证明：连接OD∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（Ⅱ）解：设OA=1，AD=x，则AB=2，AE=x+3，由AB2=AD•AE得x（x+3）=4，∴x=1，∴∠OAD=60°，∠AEB=30°．【解析】（Ⅰ）连接OD，由弦AD∥OC，易证得∠COB=∠COD，继而证得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC与⊙O相切于点B，可得∠ODC=90°，即可证得CD 是⊙O的切线．（Ⅱ）利用射影定理，求出AD，即可求∠AEB的大小．此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及射影定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．23.在直角坐标系x O y中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ-2sinθ）=7距离的最小值．【答案】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y-3）2=1，∴C1为圆心是（-4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，，直线C3：ρ（cosθ-2sinθ）=7化为x-2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）-13|，从而当cosθsinθ=，sinθ=-时，d取得最小值．【解析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，，直线C3：ρ（cosθ-2sinθ）=7化为x-2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a-1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）+a-1＞0即为|x-2|+a-1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（-∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（-∞，a+1）∪（3-a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x-2|＞-|x+3|+m对任意实数x 恒成立，即|x-2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，于是得m ＜5，故m的取值范围是（-∞，5）．【解析】（1）不等式转化为|x-2|+|a-1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x-2|+|x+3|＞m 恒成立，利用不等式的性质求出|x-2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．。

湖南省长沙市2016届高三模拟（一）理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设i 为虚数单位，则复数32ii+的虚部是（ ） A ．3i B ．3i - C ．3 D ．-3 【答案】D 【解析】 试题分析：()()232323223i ii i i i i i++==-+=-，所以其虚部为3-，选D ． 考点：复数的运算．2.记集合{}{}|0,|sin ,A x x a B y y x x R =->==∈，若0AB ∈，则a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．[)0,+∞D ．()0,+∞ 【答案】A考点：1.三角函数的值域；2.集合的运算．3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱 【答案】B 【解析】试题分析：当棱锥和棱柱分别为正四棱锥和正四棱柱时，会出现正方形；圆柱的横截面为长方形，当其底面直径和高相等时，就是正方形；对于圆锥，三视图可能出现的有：圆、三角形．所以选B ． 考点：三视图．4.二项式()52x -展开式中x 的系数为（ ）A ．5B ．16C ．80D ．-80 【答案】C 【解析】试题分析：根据二项式定理其通项公式为：()5152rr rr T C x -+=-，则当4r =时，其展开式中的x 的系数为：()445280C -=，选C ．考点：二项式定理．【易错点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n a b -+T =．本题需要注意二项展开式中b a ,所对应的指数，即()5152r r r r T C x -+=-，否则容易出错．另外当4r =时，x 的系数为()445280C -=，注意计算问题．5.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ） A ．()111n n a -=-+ B ．2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 C ．2sin 2n n a π= D ．()cos 11n a n π=-+ 【答案】C考点：数列的通项公式．6.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿， 则不同的填法有（ ）A ．10种B ．60种C ．125种D ．243种 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，不同的填法有：3554360A =⨯⨯=种，选B ．考点：排列．7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算210K =，则下列选项正确的是（ ） A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A考点：1.独立检验；2.统计． 8.函数[]1sin ,2,232y x x πππ⎛⎫=-∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．2,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和【答案】D 【解析】试题分析：1sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，要求其单调递增区间则：1322,2232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得：51144,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈．当0k =时，递增区间为：511,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当1k =-时，递增区间为：17,33ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．因为[]2,2x ππ∈-，所以递增区间为：52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和，选D ． 考点：三角函数的单调区间．9.非负实数x y 、满足()ln 10x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ） A ．2和1 B ．2和-1 C ．1和-1 D ．2和-2 【答案】D考点：线性规划．10.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.9 【答案】A试题分析：根据程序框图：111,1122i S ===-⨯；1111112,1112232233i S ==-+=-+-=-⨯；；当1,11i n S n ==-+．当3n =时，13144S =-=；当4n =时，14155S =-=；当9n =时，1911010S =-=；当171110n -=+时，73n N =∉，所以选A ．考点： 1.程序框图；2.数列裂项相消法求和．11.已知函数()(),1xf x eg x x ==+，则关于()(),f x g x 的语句为假命题的是（ ）A ．()(),x R f x g x ∀∈>B ．()()1212,,x x R f x g x ∃∈<C ．()()000,x R f x g x ∃∈=D ．0x R ∃∈，使得()()()()00,x R f x g x f x g x ∀∈-≤- 【答案】A考点：导数在函数中的应用．【思路点晴】本题考查的是导数在函数中的应用及数形结合的思想，属于中档题．本题是选择题，可利用排除法解决本题．另外本题也可用数形结合法解题，做出两个函数的图象，可知直线()1+=x x g 是函数()x e x f =在0=x 处的切线，从图象可知B 、C 、D 都正确，只有A 是错误的．通过数形结合的方法，能直观的得出结论，减少推理过程，减少计算．12.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>经过抛物线()22:20C y px p =>的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线1C 的离心率是（ ）A ．2B D【解析】试题分析：由已知得：2p a =， 所以抛物线的准线为x a =，又双曲线的渐近线为：by x a=±，则双曲线的渐近线与抛物线的准线的交点为：(),a b -和(),a b --．因为围成的是一个等边三角形，所以a =，则()222233a b c a ==-，即243e =，所以e =D ．考点：1.双曲线的离心率；2.双曲线的渐近线；3.抛物线的性质．【方法点晴】本题主要考查的是双曲线的性质和抛物线的性质，属于中档题。

安徽省亳州市2022届物理高一(下)期末达标测试模拟试题一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．(本题9分)一枚火箭搭载着卫星以速率v0进入太空预定位置，由控制系统使箭体与卫星分离．已知前部分的卫星质量为m1，后部分的箭体质量为m2，分离后箭体以速率v2沿火箭原方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星的速率v1为（）A．v0-v2B．v0+v2C．2 1021mv v vm=-D．2．(本题9分)关于自由落体运动，下列说法中正确的是（）A．初速度为零的竖直向下的运动是自由落体运动B．只在重力作用下的竖直向下的运动是自由落体运动C．在地球上不同的地方重力加速度g的值是一样的D．自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动3．(本题9分)如图所示,质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为o30的固定斜面，其运动的加速度大小为34g,此物体在斜面上上升的最大高度为h,则在这个过程中物体（）A．重力势能增加了34mghB．克服摩擦力做功14mghC．动能损失了14mghD．机械能损失了12mgh4．(本题9分)在粗糙水平木板上放一个物块，沿逆时针方向做匀速圆周运动，为水平直径，为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，下列说法正确的是（）A．物块始终受到三个力的作用B ．只有在a 、b 、c 、d 四点，物块受到的合外力才指向圆心C ．物块在a 点受摩擦力方向向左D ．物块在c 点处于超重状态5． (本题9分)18世纪的物理学家发现，真空中两个点电荷间存在相互的作用．点电荷间的相互作用力跟两个点电荷的电荷量有关，跟它们之间的距离有关，发现这个规律的科学家是（ ） A ．牛顿B ．伽利略C ．库仑D ．法拉第6．如图所示，物体与路面之间的动摩擦因数处处相同且不为零，运动中无碰撞能量损失。