(完整版)实数知识点总结及习题练习,推荐文档

实数知识点及典型例题一、实数知识点。

（一）实数的分类。

1. 有理数。

- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。

例如：5，0，-3。

- 分数：正分数、负分数统称为分数。

分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。

例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。

- 有理数：整数和分数统称为有理数。

2. 无理数。

- 无理数是无限不循环小数。

例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。

3. 实数。

- 有理数和无理数统称为实数。

（二）实数的相关概念。

1. 数轴。

- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。

2. 相反数。

- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

a的相反数是-a，0的相反数是0。

例如：3与-3互为相反数。

- 若a、b互为相反数，则a + b=0。

3. 绝对值。

- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。

- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。

例如：| 5| = 5，| -3|=3。

4. 倒数。

- 乘积为1的两个数互为倒数。

a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。

例如：2的倒数是(1)/(2)。

（三）实数的运算。

1. 运算法则。

- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。

- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。

- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。

2. 运算律。

- 加法交换律：a + b=b + a。

- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。

- 乘法交换律：ab = ba。

实数习题集【知识要点】1．实数分类：2．相反数：互为相反数b a ,0=+b a 4．倒数：互为倒数没有倒数.b a ,0;1=ab 5．平方根，立方根：±.==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2a 若a x ，a x a x 33,==记作的立方根叫做数则数6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法.【课前热身】1、36的平方根是 ；的算术平方根是 ；162、8的立方根是 ；＝ ；327-3、的相反数是 ；绝对值等于的数是37-34、的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是。

5、的绝对值是 ，的绝对值是 。

211-6、9的平方根的绝对值的相反数是 。

7的相反数是 ，的相反数的绝对值是。

+-8的相反数之和的倒数的平方为 。

--+【典型例题】例1、把下列各数分别填入相应的集合里：2,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---∙- 有理数集合：｛ ｝；无理数集合：｛ ｝；负实数集合：｛ ｝；例2、比较数的大小（1）（2）2332与6756--与例3．化简：实数有理数无理数整数（包括正整数，零，负整数）分数（包括正分数，负整数）正无理数负无理数)0(>a 3．绝对值：=a a0a -)0(=a )0(<a（1）233221-+-+-（2+例4．已知是实数，且有，求的值.b a ,0)2(132=+++-b a b a ,例5 若|2x+1|与互为相反数，则－xy 的平方根的值是多少？x y 481+总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例6．已知为有理数，且，求的平方根b a ,3)323(2b a +=-b a +例7. 已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图试化简：。

x zx y y z x z x z ---++++-【课堂练习】1．无限小数包括无限循环小数和 ，其中 是有理数， 是无理数.2．如果，则是一个 数，的整数部分是 .102=x x x 3．的平方根是 ，立方根是 .644．的相反数是 ，绝对值是 .51-5．若 .==x x 则66．当时，有意义；_______x 32-x 7．当时，有意义；_______x x -118．若一个正数的平方根是和，则，这个正数是 ；12-a 2+-a ____=a 9．当时，化简;10≤≤x __________12=-+x x 10．的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（ ）.b a , A 、B 、C 、D 、b a +b a -ab ab -11．全体小数所在的集合是（ ）.A 、分数集合B 、有理数集合C 、无理数集合D 、实数集合12．等式成立的条件是（ ）.1112-=+⋅-x x x A 、B 、C 、D 、1≥x 1-≥x 11≤≤-x 11≥-≤或x 13．若，则等于（ ）.64611)23(3=-+x x A 、B 、C、D 、214141-49-14．计算：（1） （221--4-（3（4） 24+-+-++81214150232-+-ab15．若，求的值.054=-++-y x x xy16．设a 、b 是有理数，且满足，求的值(21a +=-b a17．若，求的值。

第十三章 实数知识要点一： 1．实数的性质（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）；（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方；（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 2．实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．3．实数的分类（1）按实数的定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 （2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数4．实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数．【典型例题】2-1C B A 例1若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1)分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a 为实数, a 2、( a +1)2、2a 均为非负数，∴－a 2≤0，－( a +1)2≤0，－2a ≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A 、B 、C 不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(a -+1)﹤0．故选D例2 实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a =分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a ﹤2,于是,22)2(,112a a a a a -=-=--=-所以, 2)2(1-+-a a =a －1+2－a =1.例3 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ） A. 5－2 B. 2－5 C.5－3 D.3－5分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质．B 、C 两点关于点A 对称，因而B 、C 两点到点A 的距离是相同的，点B 到点A 的距离是5－1，所以点C 到点A 的距离也是5－1，设点C 到点O 的距离为a ，所以a +1=5－1，即a =5－2．又因为点C 所表示的实数为负数，所以点C 所表示的实数为2－5．例4 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为分析：因为（a －2）2+3-b =0，所以a －2=0，b －3=0。

七年级下册实数重点总结及常见习题本文档将对七年级下册实数的重点知识进行总结，并提供一些常见题供练。

内容概述1. 实数的概念和分类：- 说明实数的概念及其包含的数的种类（自然数、整数、有理数、无理数）。

- 举例说明每个数的特点和应用。

2. 实数的运算性质：- 解释加法、减法、乘法、除法的运算规则。

- 强调实数运算的封闭性和交换律、结合律、分配律等性质。

3. 实数的比较和大小关系：- 论述实数之间的大小关系，如大于、小于、等于。

- 介绍不等式的表示方法和解不等式的基本思路。

4. 实数的绝对值：- 定义实数的绝对值及其性质。

- 通过具体示例演示绝对值的应用。

5. 实数的乘方和开方：- 介绍乘方与开方的概念，以及它们在实数范围内的计算规则。

常见题示例1. 判断题：1. 自然数是实数。

2. 无理数是整数。

3. 有理数是整数的子集。

4. 加法满足交换律。

5. 减法满足结合律。

2. 选择题：1. 下列数中是无理数的是（A）。

- A. √2- B. 0- C. 3/4- D. -52. 若 a 是有理数，b 是无理数，则 a + b 一定是（B）。

- A. 整数- B. 无理数- C. 有理数- D. 自然数3. 对于任意正整数 n，下列哪个不是整数（D）。

- A. n + 1- B. n - 1- C. -n- D. √n以上题仅为示例，以帮助学生复和巩固所学的实数知识。

参考资料。

初一实数所有知识点总结和常考题知识点：一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4. 实数与数轴上点的关系：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。

三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x ≥0)中，规定a x =。

实数知识点及例题一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。

有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数。

例如，π（圆周率）、根号 2 等都是无理数。

而像 3、－5、025 等则是有理数。

二、实数的分类1、按定义分类：有理数：整数和分数。

无理数：无限不循环小数。

2、按性质分类：正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。

负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。

三、实数的基本性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，必定有 a ＞ b、a ＝ b 或a ＜b 三种关系之一成立。

2、实数的稠密性：两个不相等的实数之间总有另一个实数存在。

3、实数的四则运算：实数的加、减、乘、除（除数不为 0）运算满足相应的运算律。

四、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。

实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

例如，在数轴上表示 2 的点在原点右侧距离原点 2 个单位长度。

五、绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a。

绝对值的性质：1、｜a| ≥ 0，即绝对值是非负的。

2、若｜a| ＝｜b|，则 a ＝ ±b。

例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。

六、相反数实数 a 的相反数是 a，它们的和为 0，即 a ＋（a) ＝ 0。

例如，5 的相反数是－5，它们的和为 0。

若两个实数的乘积为 1，则这两个数互为倒数。

非零实数 a 的倒数是 1/a。

例如，2 的倒数是 1/2，－3 的倒数是－1/3。

八、实数的运算1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

2、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

3、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类,7等；（1）开方开不尽的数，如32π+8等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）是有理数，而不是无判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16理数。

3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

如果，那么x叫做a的平方根。

（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

如果，那么x叫做a的立方根。

2、运算名称（1）求一个正数a 的平方根的运算，叫做开平方。

平方与开平方互为逆运算。

（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

开立方和立方互为逆运算。

3、运算符号（1）正数a 的算术平方根，记作“a ”。

（2）a(a ≥0)的平方根的符号表达为。

（3）一个数a 的立方根，用表示，其中a 是被开方数，3是根指数。

4、运算公式4、开方规律小结（1）若a ≥0，则a 的平方根是a ±，a 的算术平方根a ；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。

实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。

第二章：实数【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；ππππ（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。

如：2-是无理数π（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。

如2,π（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，39,5,2如：等；无理数也不一定带根号，如：）9π3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003…75-252.±32-…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。

（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有 ( )个π432【算术平方根】：1.定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，a x =2记为：“”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。

例如32=9，那么9的算术平方根a 是3，即。

39=特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根00=2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数a 是非负数。

（2）算术平方根a 本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两a个互为相反数的值，表示为：。

复习：实数知识点总结一、平方根：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根（或二次方根）。

记作a x ±=性质：（1）平方根号里的数是非负数，即0≥a（2）正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

例 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 .2、如果102=x ，则x 是一个 数，x 的整数部分是 .3、=22 ，()23-= ，213= ，()=-225 ，20= ， 综上所述，=2a .4、()=29 ，()=236 ，()=⎪⎭⎫ ⎝⎛-227 ，()=20 ， 综上所述，()=2a .二、立方根：如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根）。

记作3a x =性质：（1）立方根号里的数是任意实数（2）任意实数的立方根只有一个，且符号相同例 1、8的立方根是 ；327-＝ .2、=-3343 ，=-3343 ，则33433a3、37-的相反数是 .4、=33a ，()=33a .三、实数分类⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧ 0无限不循环小数负无理数正无理数无理数无限不循环小数有限小数或负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数说明：（1）实数与数轴上的点一一对应。

（2）相反数：a ，b 是实数且互为相反数b a b a -==+⇔,0（3）绝对值：设a 表示一个实数，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=时当时当时当0 000 a a a a a a例 1、把下列各数分别填入相应的集合里：()2,2,3.0,1010010001.0,125,722,0,123-----•π 有理数集合：｛ ｝；无理数集合：｛ ｝；负实数集合：｛ ｝；2、2-的绝对值是，11-的绝对值是 .3+的相反数是，-的相反数的绝对值是 .4、计算：22322+-测试题：一、选择题：1、实数38 2π 34 310 25 其中无理数有（）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个2、如果162=x ，则的值是（）A 、 4B 、 -4C 、 4±D 、 2±3、下列说法正确的是（）A 、 25的平方根是5B 、22-的算术平方根是2C 、 8.0的立方根是2.0D 、65是3625的一个平方根 4、下列说法其中错误的有（ ）个⑴无限小数都是无理数 ⑵无理数都是无限小数 ⑶带根号的数都是无理数⑷两个无理数的和还是无理数 （5）两个无理数的积还是无理数A 、 3B 、 1C 、 4D 、 25、如果x x -=2成立的条件是（）A 、0≥xB 、0≤xC 、0>xD 、0<x6、下列说法错误的是（）A 、2a 与2)(a -相等 B 、a 与a -互为相反数C 、3a 与3a -是互为相反数D 、a 与a -相等 7、b a ,的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（ ）.A 、b a +B 、b a -C 、abD 、a b - 8、16的平方根是（ ） A. 4 B. -4 C. 4± D. 2±9、下列说法：① 任意一个数都有两个平方根； ② 3的平方根是3的算术平方根 ； ③ -125的立方根是5±； ④23是一个分数； ⑤ 32-无意义。

实数概念例题和知识点总结一、实数的概念实数，是有理数和无理数的总称。

有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

例如，π（圆周率）约等于 31415926就是一个无理数，因为它的小数部分是无限不循环的。

再比如√2（根号 2）约等于 141421356也是无理数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

二、实数的分类1、按定义分类实数可以分为有理数和无理数。

有理数又可以分为整数和分数。

整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。

无理数就是无限不循环小数。

2、按正负分类实数可以分为正实数、0、负实数。

正实数包括正有理数（正整数、正分数）和正无理数。

负实数包括负有理数（负整数、负分数）和负无理数。

三、实数的性质1、实数的相反数实数 a 的相反数是 a，0 的相反数是 0。

例如，5 的相反数是－5，π 的相反数是π。

2、实数的绝对值正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。

例如，｜5| ＝ 5，｜－5| ＝ 5 ，｜0| ＝ 0 。

3、实数的倒数若实数 a 不为 0，则 a 的倒数为 1/a 。

例如，5 的倒数是 1/5 ，－2 的倒数是－1/2 。

4、实数的运算实数的运算遵循加、减、乘、除、乘方、开方等运算规则。

加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)乘法交换律：ab ＝ ba乘法结合律：（ab)c ＝ a(bc)乘法分配律：a(b ＋ c) ＝ ab ＋ ac在进行实数运算时，要注意先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里的。

四、实数的大小比较1、数轴比较法在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

2、差值比较法设 a、b 是两个实数，若 a b ＞ 0，则 a ＞ b；若 a b ＝ 0，则 a ＝ b；若 a b ＜ 0，则 a ＜ b 。

实数1•算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“ .a”。

2. 如果x2a，则x叫做a的平方根，记作“ 土，a”（a称为被开方数）。

3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根。

4. 平方根和算术平方根的区别与联系：区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个且为正。

联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。

（3）0的算术平方根与平方根同为0。

5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“储”（a称为被开方数）。

6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0;负数有一个负的立方根。

7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

8. 立方根与平方根的区别：一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.9. 实数：有理数和无理数统称为实数有理数：有限小数或无限循环小数（分数又可以转化成无限循环小数）无理数：无限不循环小数（常见无理数有-2，，等）10. 数轴上的点和实数—对应。

题型规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和土1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3- a 本身为非负数，有非负性，即卩Va >0；有意义的条件是a> 0。

4、公式：⑴（j a）2=a （a>0）；⑵（a 取任何数）。

5、区分a ）2=a （a > 0）,与a2=a6、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0 （此性质应用很广，务必掌握）。

【典型例题】1. 下列语句中，正确的是（）A •一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B. 负数没有立方根C. 一个实数的立方根不是正数就是负数D. 立方根是这个数本身的数共有三个2. 下列说法正确的是（）2A. -2是（2）的算术平方根B. 3是-9的算术平方根C. 16的平方根是土4D. 27的立方根是土33. 已知实数x , y 满足 X 2+（y+1） 2=0,则x-y 等于 _________________4. 求下列各式的值（1） 、81 ；（ 2） 16 ；（ 3）、9 ；（ 4） ... （ 4）2\25 '4、 3 4= ____________5、 若m 、n 互为相反数，则 m J5 n = ________________26、 若a a ，贝 V a ___ 03、已知一个正数的两个平方根分别是2a - 2和a - 4,贝U a 的值是 _______5. 已知实数x , y 满足x 2+(y+1) 2=0,则 x-y 等于6. (1) 64的立方根是 4(2) 下列说法中：① 3都是27的立方根，②3 y 3 y ，③.64的立方根是2, ④ -8 2 4。

第一章数与式1.1 实数【考纲说明】1、掌握有理数的加、减、乘、除运算，理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算，能运用有理数的运算解决简单的问题。

2、理解无理数、实数、算术平方根的概念。

【知识梳理】一、实数1、实数的分类：2、实数的运算（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，其中常用的运算定律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法分配律、乘法结合律。

（2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。

运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行。

3、实数的大小比较常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。

（1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。

（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小。

（3）设a，b是任意两实数，若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b; 若a-b<0,则a<b 。

二、数轴（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

（2）数轴的三要素为原点、正方向和单位长度。

数轴上的点与实数一一对应，所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的不都是有理数。

三、相反数、倒数、绝对值1、只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。

零的相反数是零。

若实数a 、b 互为相反数，则a+b=0。

2、1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。

零没有倒数。

若实数a 、b 互为倒数，则ab=1。

3、从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。

一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。

四、近似数、有效数字、科学计数法（1）对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始到最末一位数字为止，都是这个近似数的有效数字；（2）将较大的正数N （N>1）写成10na ⨯的形式，其中110a ≤<，指数n 为原数的整数位数减1的差；（3）将将较小的正数N 表示为10na ⨯的形式，其中110a ≤<，指数n 为第一位有效数字前零的个数的相反数。

七年级下册实数基础知识总结及常见练习一、实数的概念和性质1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数在内的数的集合。

2. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数是不能表示为两个整数之比的数。

3. 实数的性质- 实数满足传递性，即若a < b且b < c，则a < c。

- 实数满足加法和乘法的结合律、交换律和分配律。

- 实数满足相反数存在性，即对于任意实数a，都存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。

- 实数满足乘法逆元存在性，即对于任意非零实数a，都存在一个实数1/a，使得a × (1/a) = 1。

二、实数的运算1. 实数的加法和减法实数的加法满足交换律和结合律。

两个实数相加得到的实数称为它们的和。

减法可以看作是加法的逆运算。

2. 实数的乘法和除法实数的乘法满足交换律和结合律。

两个实数相乘得到的实数称为它们的积。

除法可以看作是乘法的逆运算。

三、实数的比较与排序1. 实数的大小比较实数可以通过比较大小来确定它们的相对大小关系。

常用的比较符号有小于号（<）、大于号（>）、小于等于号（≤）和大于等于号（≥）。

2. 实数的排序实数可以通过大小比较来进行排序。

从小到大排列实数可以用升序表示，从大到小排列实数可以用降序表示。

四、实数的常见练1. 给出下列实数的有理数和无理数表示形式：π，√5，-3，0.25。

2. 计算下列实数的和：-2.5 +3.7。

3. 计算下列实数的差：4.2 - (-1.8)。

4. 计算下列实数的积：0.6 × (-2.5)。

5. 计算下列实数的商：-1.5 ÷ 0.5。

五、总结本文总结了七年级下册实数基础知识，包括实数的定义和分类、实数的性质、实数的运算、实数的比较与排序，并提供了常见练习题供练习。

掌握实数的基础知识对于数学的学习和应用具有重要意义。

实数知识点和典型例题练习题总结(超全面).doc实数知识点和典型例题练习题总结（超全面）引言实数是数学中最基本的数的概念之一，它包括有理数和无理数。

掌握实数的知识点对于解决各种数学问题至关重要。

本文档旨在全面总结实数的知识点和典型例题，以帮助学生深入理解和掌握实数的概念、性质和运算。

实数的定义与分类实数的定义实数是可以在数轴上表示的数，它包括有理数和无理数。

有理数有理数是可以表示为两个整数的比的数，即形式为 ( \frac{p}{q} ) 的数，其中 ( p ) 和 ( q ) 是整数，且 ( q \neq 0 )。

无理数无理数是不能表示为两个整数比的实数，例如圆周率 ( \pi ) 和黄金分割比 ( \phi )。

实数的性质有序性实数具有有序性，即对于任意两个实数 ( a ) 和 ( b )，要么 ( a < b )，要么 ( a > b )，或者 ( a = b )。

完备性实数的完备性指的是，任意实数的上界和下界都存在极限点。

稠密性实数具有稠密性，即在任意两个不同的实数之间，都存在无穷多个实数。

实数的运算加法实数的加法满足交换律和结合律。

减法实数的减法是加法的逆运算。

乘法实数的乘法同样满足交换律、结合律和分配律。

除法实数的除法是乘法的逆运算，但除数不能为零。

乘方实数的乘方表示将一个数自乘若干次。

开方实数的开方是乘方的逆运算，表示求一个数的 ( n ) 次根。

典型例题例题1：实数的比较给定两个实数 ( a = \sqrt{2} ) 和 ( b = \sqrt{3} )，比较它们的大小。

解答：由于 ( 2 < 3 )，因此 ( \sqrt{2} < \sqrt{3} )，即 ( a < b )。

例题2：实数的运算计算 ( (-3)^2 + \pi - \frac{1}{2} ) 的值。

解答：根据实数的运算法则，我们有 ( (-3)^2 = 9 )，所以 ( 9 + \pi - \frac{1}{2} )。

第二章 实数实数主要知识点【无理数】（1）无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π（2）有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

练习：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿。

（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个A 2B 3C 4D 5【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

练习：（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。

【算术平方根】（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。