小学奥数讲义4年级-8-直线形面积初步-难版

第8讲

直线形面积初步

图形的周长与面积的计算是小学数学中最基本、最重要的内容之一。周长和面积这两个概念是不同的，它们使用的单位、计算公式也是不同的。周长是指围成平面图形一周的线段的总和；而面积是指围成的平面图形的大小。所以周长通常采用的长度单位有：米、分米、厘米；面积通常采用的单位有：平方米、平方分米、平方厘米。

1．三角形

从三角形的一个角的顶点向它的对边画一条垂线，顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。注意：锐角三角形的高在三角形的内部，直角三角形的两条直角边是它的高，钝角三角形的其中两个高在三角形的外部。

三角形的高所在的边叫做三角形的底。

面积公式=底×高÷2或用字母表示为：S=ah÷2．

2．平行四边形

从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点到垂足间的线段叫做平行四边形的高，这条边叫做平行四边形的底。

面积公式=底×高或用字母表示为：S=ah。

长方形与正方形是特殊的平行四边形。

长方形面积=长×宽，周长=（长+宽）×2。

正方形的面积=边长×边长，周长=边长×4。

3．梯形

在梯形里，互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰；以上底向下底引一条垂线，这点到垂足间的线段叫做梯形的高。梯形两腰中点的连线叫做梯形的中位线。

中位线的长度=（上底+下底）÷2

面积公式=（上底+下底）×高÷2或：中位线×高

用字母表示为：S=（a+b）×h÷2或：m×h 知识梳理

【例1】★已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？

22BA

【解析】从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面积相等。因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积，再除以2就能得到长方形A和B的面积，再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长。求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。

【小试牛刀】有一块长方形草地，长20米，宽15米。在它的四周向外筑一条宽2米的小路，求小路的面积。

【解析】156

【例2】★（1980～1981年美国小学数学奥林匹克第四次试题）一个长方形的周长是22厘米，如果它的长和宽均为整数厘米，这个长方形的面积有多少种可能值？（面积最大为多少？面积最小是多少？）

【解析】22÷2=11（厘米）,11=1＋10=2＋9=3＋8=4＋7=5＋6,

长（宽）共5种可能，面积也有5种可能。

面积最大：5×6=30（平方厘米），面积最小：1×10=10（平方厘米）

答：面积有5种可能。

【例3】★★（第三届“华杯赛”决赛口试试题）一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道红条，如图所示，红条宽都是2厘米。问：这条手帕白色部分的面积是多少？ 典型例题

【解析】把阴影部分平移到两边，空白部分就成为边长为14的正方形，所以空白部分面积这：（18－2×2）×（18－2×2）=196（平方厘米）

【例4】★一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。

【解析】因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。

【小试牛刀】下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。

302432PNMFEDCBA

【解析】40

【例5】★★ 把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？

【解析】我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个正方形的面积差40平方分米就是图中的A和B两部分，如图。如果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，A和B

正好组成一个长方形，此长方形的面积是40平方分米，长20分米，宽是40÷20=2（分米），即大、小两个正方形的边长相差2分米。因此，大正方形的边长就是（20+2）÷2=11（分米），面积是11×11=121（平方分米）

【小试牛刀】如图7所示，一个正方形的水池的周围，环绕着一条宽5米的小路，小路的面积为300平方米，那么正方形水池的面积是多少？

【解析】欲求正方形水池的面积，须知图中的小正方形的边长，或者大正方形的面积（或边长）。如图8，将环形小路进行分割，得四个面积相等的长方形，由于小路的面积已知，那么每块长方形的面积为300÷4=75（平方米），长方形的长为75÷5=15（米），那么小正方形的边长可知为75÷5=10（米），面积易求。

将环形小路分成四块面积相等的长方形，每个长方形的面积：300÷4=75（平方米），长为：75÷5=15（米）水池的边长为：15－5=10（米）面积为：10×10=100（平方米）

【例6】★有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1倍，并画出来。

【解析】由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的边长或面积。我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。以正方形的四条边为准，分别作出4个等腰直角三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原正方形面积的2倍。

【例7】★★如图，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米。那么

图中阴影部分面积是多少平方厘米？

【解析】4×3÷2=6。

【小试牛刀】★★如图，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是8厘米，BC的长是6厘米。那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？

【解析】8×6÷2=24

【例8】★（2003年广东省小学数学“育苗杯”通讯赛）有一个长方形花圃，中间有一条一条宽2米的人行路（形如右下图）。花圃长50米，宽30米。那么，花的面积是多少平方米？

【解析】通过平移，花圃里种花的两部分正好拼成一个长（50-2）米，宽（30－2）米的长方形，所以种花的面积为50×30－（60＋96）=1344（平方米）。

【例9】★★人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。现在操场面积比原来增加多少平方米？

【解析】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是：（90+10）×（45+5）=5000（平方米），操场原来的面积是：90×45=4050（平方米）。所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。

（90+10）×（45+5）-（90×45）=950（平方米）

【小试牛刀】 一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？

【解析】由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9（米）；又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：36÷3=12（米），所以，这个长方形的面积是12×9=108（平方米）。 （36÷3）×（54÷9）=108（平方米）

【例10】★下图是一个养禽专业户用一段长16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求占地面积有多大。

【解析】根据题意，因为一面利用墙，所以两条长加上一条宽等于16米，而宽是4米，那么长是（16-4）÷2=6（米）。因此，占地面积是6×4=24（平方米）

（16-4）÷2×4=24（平方米）

【例11】★★（贵阳市第二届小学生数学竞赛试题）如图是由5个相同的小长方形拼成的一个大长方形，大长方形的周长是44厘米，求大长方形的面积。

【解析】小长方形的宽=44÷11=4（厘米）。大长方形的长=3×4=12（厘米）。大长方形的宽=44÷2－12=10（厘米）。大长方形的面积为12×（4＋6）=120（平方厘米）。

【小试牛刀】★★★（第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛第2试）如图，用标号为1，2，3，4，5的五种大小不同的正方形拼成一个大长方形，大长方形的长和宽分别是18，14，则标号为5的正方形的面积是 。

【解析】比较大长方形的长与宽，18=2号的边长+1号的边长，14=2号的边长+3号的边长，可知1号的边长比3号的边长多4。再由图知，2的边长比3的边长多5的边长，1的边长比2的边长也多5的边长，所以1的边长比3的边长多2个5的边长。所以5的边长为4÷

2=2，面积为4.

【例12】★★★（第一届华杯赛试题）用同样大小的长方形拼成如图4.10所示的矩形，长方形的宽时12厘米，求矩形的面积。

【解析】从第一排与第二排看，五个小纸片的长等于三个小纸片的长加三个小纸片的宽，也就是二个小纸片的长等于三个小纸片的宽．已知小纸片的宽是12 厘米，于是小纸片的长是12×3 ÷2 = 18厘米，

阴影部分是三个正方形，边长正好是小纸片的长与宽的差18—12 = 6 . 于是，阴影部分的面积是

6×6×3=108 平方厘米．

【例13】★求出图14中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【解析】阴影部分的面积是两部分三角形面积的和，两个三角形的高为8，它们底的和为15－5=10，那么阴影面积：10×8÷2=40（平方厘米）

【小试牛刀】求出图15中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【解析】将阴影部分看成是由两个三角形组合而成的。其中一个三角形底为3厘米，高为3厘米；另一个三角形的底为2厘米，高为3厘米。

则阴影面积：3×3÷2+2×3÷2＝7.5（平方厘米）

【例14】★★如图16所示，长方形的长、宽分别是8厘米、4厘米，阴影部分的总面积为11平方厘米，求四边形ABCD的面积。

【解析】长方形面积：8×4=32（平方厘米）

16248AFGS（平方厘米）

阴影长方形SSSSSAFGADHABE

=32－16－11

＝5（平方厘米）

8448ECHS（平方厘米）

四边形ABCD面积)(ADHABEEGHSSS

＝8－5＝3（平方厘米）

【例15】★★★（第四届“华杯赛”复试题）长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形，（如图）已知这四个正方形的面积的和是68平方米，求长方形ABCD的面积。

【解析】在原图的左下角补上一个与ABCD相同的长方形（如图）。形成一个正方形EGID的边长为8米。又由已知，正方形EFBA和BHIC的面积之和为68÷2=34（平方米）。这样就可求出长方形ABCD的面积了。

长方形ABCD的面积是15平方米。