初中-数学-打印版
初中-数学-打印版 年级科目 八年级数学 课题 5.6 几何证明举例（3）
主备人 审核人 总课时数
教学
目标 1．证明并掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理。
2. 学会上述定理在几何证明及计算中的应用。
3．进一步熟悉证明题的一般方法，从已知和结论进行分析，严格书写过程。
4．培养学生认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度
重点
难点 进一步熟悉证明题的一般方法，从已知和结论进行分析，严格书写过程。
教 学 过 程
一、前置练习，积累知识
（1）已知AB是线段CD的垂直平分线, E是AB上的一点,如果EC=7cm,
那么ED= cm；如果∠ECD=60°,那么∠EDC= °。
（2）已知A和B两点在线段EF的垂直平分线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB
= ( ) A．95° B．15° C．95°或15° D．170°或30°
二、情景激趣，导入新课
我们学了线段垂直平分线的性质和判定，你能证明它们吗？
三、自主学习、合作探究
1预习检查
（1）线段是轴对称图形，它的对称轴是 。
（2）线段垂直平分线的性质及的逆命题是 ，逆命题是 命题。
2、典例精析
☆ 探究一 证明线段垂直平分线的性质定理
已知：直线 是线段AB的垂直平分线，垂足为点
点P是直线 上的任意一点。
求证： =
证明：（1）当点 不与线段的中点M重合时
∵CD⊥AB（已知）
∴∠ =∠ =90°（垂直平分线的定义）
∵PM=PM( ) MA= （垂直平分线的定义） 初中-数学-打印版
MN
DE
BCA
A
BCDEP
图⑴八年级数学（上）几何证明专题练习题
1、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于Q，作PR
∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。
RQ
DCA
BP
2、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证：∠ADB=∠FDC。
E
FD
CA
B
3、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB，求证：
MA⊥NA。
4、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交
AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．
5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。
6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，
连结EC、ED，求证：CE=DE
7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝
10，求△DCE的周长。
8．如图所示，已知AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，交AD于点E，连接AF，求证：∠B=∠CAF。A B C
O
M N
FE
DBCA
9．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF。
GF
E
DBCA
10．如图所示，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC=∠DAC，CE∥AB。求证：△CDE是等边三角形。
A
E
BDC
11．如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB边上取点D，在AC的延长线上
证明三角形全等的常见题型
全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等
1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1 已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
证明 ∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。
在△ABF和△DCE中，
∴ △ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2 已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，
∴ △ADE≌△CFE（ASA）.
∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）
3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3 （同例2）.
证明 ∵ FC∥AB（已知），
∴ ∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.
在△ADE和△CFE中，
∴ △ADE≌△CFE（AAS）.
∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等
1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。求证：
△ABD≌△ACE.
证明 ∵∠1=∠2（已知），
∠ADB=180°-∠1，
∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），
∴∠ADB = ∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
∴ △ABD≌△ACE（SAS）.
1 5.6.3 几何证明举例
1. 如图，△ABC中，∠CAB=120º，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF=（ ）
A．40º B．50º C．60º D．80º
2. 已知线段AB和它外一点P，若PA=PB，则点P在AB的____________________；若点P在AB的____________________，则PA=PB．
3. 已知：△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P．
求证：点P在BC的垂直平分线上．
4. ⑴作一个钝角三角形，利用尺规作这个三角形三条边的垂直平分线；
⑵作直角三角形和锐角三角形，利用尺规作三角形三条边的垂直平分线；
⑶你发现三角形三条边的垂直平分线与三角形的形状有怎样的位置关系？
5. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，AC，BD相交于E，由这些条件你能推出哪些结论（不再添加辅助线，不再标注字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论）？
6. 如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC．
求证：点Q在PR的垂直平分线上． 2
3 参考答案
1. C 2. 垂直平分线上；垂直平分线上．
3. 连结PA，PB，PC，PB=PA=PC，所以，点P在BC的垂直平分线上．
4. ⑴、⑵略；⑶锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部；直角三角形三边的垂直平分线的交点在斜边上，即斜边的中点；钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部．
5. AC平分对角；AC⊥BD；AC平分BD；△ABC≌△ACD等．
6. 提示：AB=AC，∴∠B=∠C，又PB=QC，QB=RC，∴△BPQ≌△CQR，∴QP=QR，∴点Q在PR的垂直平分线上． 4 百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。百度文库的文档由百度用户上传 ，需要经过百度的审核才能发布，百度自身不编辑或修改用户上传的文档内容。网友可以在线阅读和下载这些文档。百度文库的文档包括教学资料、考试题库、专业资料、公文写作、法律文件等多个领域的资料。百度用户上传文档可以得到一定的积分，下载有标价的文档则需要消耗积分。当前平台支持主流的doc(.docx)、.ppt(.pptx)、.xls(.xlsx)、.pot、.pps、.vsd、.rtf、.wps、.et、.dps、.pdf、.txt文件格式。
