有限单元法原理与应用

有限单元法

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

第２４卷　第４期　２００７年ｌ２月　吉　林　建　筑　工　程　学　院　学　报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｌｉｎ　Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌ　ａｎｄ　Ｃｉｖｉｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ＶＯ１．２４　ＮＯ．４　Ｄｅ０．２００７　

有限单元法在基础设计中的应用　

景卫岐　，　袁宝远　

（１：河海大学土木工程学院，南京２［０　１）９８１；　陈金国　王洪彪　

２：山东东明县建设局，荷泽２７４５００）　

摘要：有限单元法随着计算机的发展而迅速发展，在土木工程中应周越来越广泛，有着其他方法无可比拟的优点，　同样在基础设计中有限元法也得到了应用，以筏极基础有限元计算为例．阐述了　算软件利用有限单元法计算的　

步骤　关键词：有限单元法；计算软件；基础设计；篾板基础　中图分类号：ＴＵ　４７　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９．１２８８（２００７ｊ０４—００１７．０３　

１有限单元法　

１．１有限单元法（ＦＥＭ）简介　

有限元法（ＦＩＮＩＴＥ　ＥＬＥＭＥＮＴ）是随着计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，它作为采　

用计算机的数值分析方法，在各个领域得到了广泛地应用．１９６０年，ＣＩ　ＯＵＧＨ在他的一篇论文“平面分析的　

有限元法”中最早引入了有限元这一术语．这一方法是结构分析专家把杆件结构力学中的位移法推广到求解　

连续体介质力学问题．有限单元法现在的发展趋势是集成化、通用化、输入职能化和结果输出可视化．　

有限单元法起源于航空工程中的矩阵分析，它是把一连续的介质看作由有限数目的单元组成的集合体，　

在各单元内，假定具有一定理想化的位移与应力分布模式，各单元间通过节点相连接，并借以实现应力的传　

递，各单元之间的交接面要求位移协调．通过力的平衡条件，建立求解方程组，便可得到各单元和节点的位移　

和应力（川．　

弹性力学问题中的物理方程、几何方程、虚功方程、最小势能原理及单元的位移模式，是导出有限公式的　

基础，可以按平衡原理、变分原理及加权残值法等导出有限元法的基本公式．　

第２７卷第ｌ期　２００６年２月　华北水利水电学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎｏｒｔｈ　Ｃｈｉｎａ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｗａｔｅｒ　Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ　ａｎｄ　Ｈｙｄｒｏｅｌｅｃｔｒｉｃ　Ｐｏｗｅｒ　Ｖ０Ｉ．２７　Ｎｏ．１　Ｆｅｂ．２００６　

文章编号：１００２—５６３４（２００６）０１—００１２—０３　

非线性有限单元法在结构分析中的应用　

杨　剑　，周家新２，寇国伟２　

（Ｉ．河海大学土木工程学院，江苏南京２１００９８；２．农一师。新疆阿克苏８４３０００）　

摘要：非线性是材料的基本性质之一．结合具体的算例，用编制的三维弹塑性程序实现了材料的非线性性　

质，并与弹塑性解析解进行了比较，所得结果验证了程序的正确性．　关键词：非线性；有限单元法；解析解　

中图分类号：ＴＵ３１３　文献标识码：Ａ　

工程结构中的力学问题，就其本质应属于非线　

性的范畴，也就是说，所研究的该类结构体系的内部　

响应量与所作用的外来因素是非线性的因果关系．　

线性假设只是实际问题的一种简化，随着线性问题　

的基本理论和分析方法的日趋完善，非线性问题的　

研究便成为学术界和工程应用研究的热点之一…．　

根据导致问题的非线性的原因，非线性问题主　

要归纳为３种基本类型：材料非线性、几何非线性、　

接触非线性．而材料非线性问题在工程实际中应用　

最广泛，因此，只讨论材料非线性问题．　

１材料非线性问题　

材料非线性问题的主要特征是材料的应力一应　

变关系表现为非线性性质，即由于本构方程的非线　

性引起整个问题解的非线性．　

１．１材料非线性本构关系　

用有限单元法分析应力应变的关系，可表示为　

｛　｝＿［Ｄ］｛ｅ｝　（１）　

由于材料的应力一应变关系是非线性的，反映　

到式（１）中，矩阵［Ｄ］就不是常量，随应力或应变改　

变．其特征是在材料变形过程中，应力和应变不再具　

有一一对应关系，应变的大小与加载历史有关，与时　

间无关，卸载过程中，应力与应变之间按材料固有的　

弹性规律变化，完全卸载后有不可恢复的残余　

第ｌ６卷第２期　２０１０年２月　水利科技与经济　Ｗａｔｅｒ　Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｙ　Ｖ０ｌ＿１６　Ｎｏ．２　Ｆｅｂ．，２０１０　

表２水库大坝坝坡稳定计算成果表　

从坝坡稳定计算结果可以看出：大坝在正常情况下　及非正常情况下，大坝的最小安全系数均大于规范允许　最小安全系数１．２５及１．１０，大坝是稳定的。　

５　结论　

本文用有限元法对大坝进行了渗流稳定分析，并分　别运用强度储备法对其进行了坝坡稳定计算，该大坝坝　坡的稳定都是安全的，而渗流都是不稳定的。为了使大　坝更加安全、稳定，建议采用水平铺塑的防渗方案。　

［参考文献］　

［１］顾慰慈．渗流计算原理及应用［Ｍ］．北京：中国建材　工业出版社。２０００．１４５．　［２］武　亮，郭怀志．二阶矩矩阵有限元可靠度分析　［Ｍ］．北京：北京科学技术出版社，１９９２．８—１３．　［３］殷有泉．固体力学非线性有限元引论［Ｍ］．北京：北　京大学出版社，１９８７．４８—５２．　［４］吴世伟，张思俊，余强．坝上游水位变化规律及统　计量［Ｊ］．华东水利学院学报，１９８４，（４）：３６—４２．　［５］郭怀志，黄东军．重力坝抗滑稳定可靠度分析的数值　方法［Ｊ］．水利水电技术，１９８８，１９（１ｏ）：３３，３７．　［６］ＳＬ３１９－－２００５，混凝土重力坝设计规范［Ｓ］．　［７］孙恭尧，曾雄辉．重力坝有限元法计算的参数取值和　安全储备［Ｊ］．水电站设计，２００２，１８（２）：２５—３０．　［８］潘家铮．重力坝设计［Ｍ］．北京：水利电力出版社，　１９８７．２５—３０．　［９］赵国藩．工程结构可靠性理论与应用［Ｍ］．大连：大　连理工大学出版社，１９９６．　（责任编辑：赫晓彦）　

有限单元法　

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个　

互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程