交变电流的产生和描述 经典教案

1 交变电流的产生和描述

知识点一 交变电流、交变电流的图象

1．交变电流

(1)定义：大小和方向都随时间做周期性变化的电流．

(2)按正弦规律变化的交变电流叫正弦式交变电流．

2．正弦式交变电流的产生和图象

(1)产生：在匀强磁场里，线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动．

(2)图象：用以描述交变电流随时间变化的规律，如果线圈从中性面位置开始计时，其图象为正弦曲线．如图甲、乙、丙所示．

知识点二 正弦式交变电流的函数表达式、峰值和有效值

1．周期和频率

(1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化(线圈转一周)所需的时间，单位是秒(s)，公式T＝2πω.

(2)频率(f)：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数．单位是赫兹(Hz)．

(3)周期和频率的关系：T＝1f或f＝1T.

2．正弦式交变电流的函数表达式(线圈在中性面位置开始计时)

(1)电动势e随时间变化的规律：e＝Emsinωt.

(2)负载两端的电压u随时间变化的规律：u＝Umsinωt.

(3)电流i随时间变化的规律：i＝Imsinωt.其中ω等于线圈转动的角速度，Em＝nBSω.

3．交变电流的瞬时值、峰值、有效值

(1)瞬时值：交变电流某一时刻的值，是时间的函数．

(2)峰值：交变电流(电流、电压或电动势)所能达到的最大的值，也叫最大值．

(3)有效值：跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫做交变电流的有效值．对正弦式交变电流，其有效值和峰值的关系为：E＝Em2，U＝Um2，I＝Im2.

【 基础自测】

1．匀强磁场中有一长方形闭合导线框，分别以相同的角速度绕图a、b、c、d所示的固定转轴旋转，用Ia、Ib、Ic、Id表示四种情况下线框中电流的有效值，则( D ) 2

A．Ia>Id B．Ia>Ib

C．Ib>Ic D．Ic＝Id

解析：由题意可知，无论转轴在中心，还是在一边，还是在其他位置，转动切割磁感线的线框面积不变，根据Em＝nBSω，知线框感应电动势的最大值是相同的，因此四种情况下，线框产生感应电动势的瞬时表达式相同，即为e＝Emsinωt，由闭合电路欧姆定律可知，感应电流瞬时表达式也相同，即为i＝Imsinωt，则感应电流的最大值Im、感应电流的有效值Im2均相同，故D项正确，A、B、C项错误．

2.如图所示，直线OO′的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场B1，右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B2，且B1>B2，一总阻值为R的导线框ABCD以OO′为轴做角速度为ω的匀速转动，导线框的AB边长为l1，BC边长为l2.以图示位置作为计时起点，规定导线框内电流沿A→B→C→D→A流动时为电流的正方向．则下列图象中能表示线框中感应电流随时间变化的是( A )

解析：回路中的感应电动势为e＝e1＋e2＝B1l2ω·l12sinωt＋B2l2ω·l12sinωt＝B1＋B2l1l2ω2sinωt，则电流为i＝

B1＋B2l1l2ω2R·sinωt，故A项正确，B、C、D项错误．

3．长为a、宽为b的矩形线框有n匝，每匝线圈电阻为R，如图所示，对称轴MN的左侧处在磁感应强度为B的匀强磁场中，第一次将线框从磁场中以速度v匀速拉出；第二次让线框以ω＝2vb的角速度转过90°角．那么( D )

A．通过导线横截面的电量q1q2＝1n 3 B．通过导线横截面的电量q1q2＝12

C．线框发热功率P1P2＝2n1

D．线框发热功率P1P2＝21

解析：根据法拉第电磁感应定律，得出感应电动势E＝nΔΦΔt，结合闭合电路欧姆定律I＝EnR与电量表达式q＝It，即可解得电量q＝ΔΦR，虽然两次的运动方式不同，但它们的磁通量的变化量相同，因此它们的电量之比为11，故A、B项错误；瞬时感应电动势E＝BLv，则感应电流的大小之比即为感应电动势大小之比，E1＝nBav，第二次产生的感应电动势如图所示：最大值E2m＝nBab2ω，有效值E2＝E2m2，再根据线框的发热功率P＝E2nR，可知线框发热功率P1P2＝21，故C项错误，D项正确．

4．三个相同的电阻，分别通过如图甲、乙、丙所示的交变电流，三个图中的I0和周期T相同．下列说法中正确的是(

C )

A．在相同时间内三个电阻发热量相等 B．在相同时间内，甲、乙发热量相等，是丙发热量的2倍

C．在相同时间内，甲、丙发热量相等，是乙发热量的12

D．在相同时间内，乙发热量最大，甲次之，丙的发热量最小

解析：甲的有效值为：I＝I02，由Q＝I2Rt可知一个周期内甲的发热量为：Q1＝I20RT2；乙前、后半个周期电流大小相等，故其发热量为：Q2＝I20RT；丙只有前半个周期有电流，故其发热量为：Q3＝I20R×12T＝I20RT2；故可知在相同时间内，甲、丙发热量相等，是乙发热量的12，故C项正确．

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知识点一 交变电流的产生和描述

1．正弦式交变电流的产生

(1)线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动．

(2)两个特殊位置的特点：

①线圈平面与中性面重合时，S⊥B，Φ最大，ΔΦΔt＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变．

②线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，ΔΦΔt最大，e最大，i最大，电流方向不改变．

(3)电流方向的改变：线圈通过中性面时，电流方向发生改变，一个周期内线圈两次通过中性面，因此电流的方向改变两次．

(4)交变电动势的最大值Em＝nBSω，与转轴位置无关，与线圈形状无关．

2．正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时) 5

1．[交变电流的产生]

如图所示，矩形线圈abcd在匀强磁场中可以分别绕垂直于磁场方向的轴P1和P2以相同的角速度匀速转动，当线圈平面转到与磁场方向平行时( A )

A．线圈绕P1转动时的电流等于绕P2转动时的电流

B．线圈绕P1转动时的电动势小于绕P2转动时的电动势

C．线圈绕P1和P2转动时电流的方向相同，都是a→b→c→d→a

D．线圈绕P1转动时dc边受到的安培力大于绕P2转动时dc边受到的安培力

解析：绕圈绕垂直于磁场方向的轴转动产生交变电流，产生的电流、电动势及线圈各边所受安培力大小与转轴所在位置无关，故A对，B、D错；图示时刻产生电流的方向为a→d→c→b→a，故C错．

2．[交变电流的图象]

(多选)如图甲是小型交流发电机的示意图，两磁极N、S间的磁场可视为水平方向的匀强磁场，为交流电流表．线圈绕垂直于磁场的水平轴OO′沿逆时针方向匀速转动，从图示位置开始计时，产生的交变电流随时间变化的图象如图乙所示．以下判断正确的是( AC ) 6

A．电流表的示数为10 A

B．线圈转动的角速度为50π rad/s

C．0.01 s时线圈平面与磁场方向平行

D．0.02 s时电阻R中电流的方向自右向左

解析：电流表的示数为交变电流的有效值10 A，A项正确；由ω＝2πT可得，线圈转动的角速度为ω＝100π rad/s，B项错；0.01 s时，电路中电流最大，故该时刻通过线圈的磁通量最小，即该时刻线圈平面与磁场平行，C项正确；根据楞次定律可得，0.02 s时电阻R中电流的方向自左向右，D项错．

3．[交变电流的瞬时表达式]

(2019·吉林质检)边长为a的N匝正方形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线且与线圈在同一平面内的对称轴匀速转动，转速为n，线圈所围面积内的磁通量Φ随时间t变化的规律如图所示，图象中Φ0为已知．则下列说法正确的是( D )

A．t1时刻线圈中感应电动势最大

B．t2时刻线圈中感应电流为零

C．匀强磁场的磁感应强度大小为Φ0Na2

D．线圈中瞬时感应电动势的表达式为e＝2NπΦ0ncos2πnt

解析：t1时刻线圈的磁通量最大，但磁通量的变化率为0，根据法拉第电磁感应定律可知此时线圈中感应电动势为0，A项错误；t2时刻线圈的磁通量为零，但磁通量的变化率最大，根据法拉第电磁感应定律可知此时线圈中感应电流为最大值，B项错误；磁通量与线圈匝数无关，根据磁通量的定义可得Φ0＝Ba2，B＝Φ0a2，C项错误；线圈中瞬时感应电动势的表达式为e＝NBSωcosωt＝2NπΦ0ncos2πnt，D项正确．

知识点二 有效值的理解与计算

1．有效值的理解

跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫做交变电流的有效值．对于正弦交流电，其有效值和峰值的关系为E＝Em2，U＝Um2，I＝Im2.

2．有效值的计算

(1)计算有效值时要注意根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”列式求解．

(2)利用两类公式Q＝I2Rt和Q＝U2Rt可分别求得电流有效值和电压有效值． 7 (3)若图象部分是正弦(或余弦)交流电，其中的从零(或最大值)开始的14周期整数倍的部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系Im＝2I、Um＝2U求解．

3．几种典型的交变电流的有效值

4．[正弦式交变电流的有效值]

电阻R1、R2与交流电源按照图甲所示方式连接，R1＝10 Ω，R2＝20 Ω.合上开关S后，通过电阻R2的正弦交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示．则( B ) 8 A．通过R1的电流有效值是65 A

B．R1两端的电压有效值是6 V

C．通过R2的电流最大值是652 A

D．R2两端的电压最大值是62 V

解析：首先从交变电流图象中找出交变电流的最大值即为通过R2的电流的最大值，为352 A，由正弦交变电流最大值与有效值的关系Im＝2I，可知其有效值为0.6 A，由于R1与R2串联，所以通过R1的电流的有效值也是0.6 A，A、C错误；R1两端电压的有效值为U1＝IR1＝6 V，B正确；R2两端电压的最大值为Um2＝ImR2＝352×20 V＝122 V，D错误．

5．[部分缺失的正弦式交变电流的有效值]

如图所示为一个经双可控硅调节后加在电灯上的电压，正弦交流电的每一个二分之一周期中，前面四分之一周期被截去，则现在电灯上电压的有效值为( D )

A．Um B.Um2

C.Um3 D.Um2

解析：由题给图象可知，交流电压的变化规律具有周期性，用电流热效应的等效法求解．设电灯的阻值为R，正弦交流电压的有效值与峰值的关系是U＝Um2，由于一个周期内半个周期有交流电压，一周期内交流电产生的热量为Q＝Um22Rt＝U2m2R·T2，设交流电压的有效值为U，由电流热效应得Q＝U2m2R·T2＝U2R·T，所以该交流电压的有效值U＝Um2.选项D正确．

6．[方形波的有效值]

通过一阻值R＝100 Ω的电阻的交变电流如图所示，其周期为1 s．电阻两端电压的有效值为( B )

A．12 V B．410 V

C．15 V D．85 V

解析：根据图象，一个周期T＝1 s，设该交变电流的有效值为U,0～0.4 s的时间间隔为t1＝0.4 s,0.4～0.5 s的时间间隔t2＝0.1 s，根据电流的热效应，由2(I21Rt1＋I22Rt2)＝U2R·T，解得U＝410 V，B正确．